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title: "Miroirs et lentilles minces"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces
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# Chapitre 3 — Miroirs et lentilles minces

Un miroir de maquillage montre un visage deux fois plus grand ; le dos d’une cuillère le montre minuscule et droit, son creux minuscule et renversé ; une loupe tenue à bout de bras met la pièce à l’envers, tenue près de l’œil elle agrandit un timbre ; un objectif de téléphone gros comme une [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) peint toute la rue sur un capteur. Une seule relation algébrique entre trois distances gouverne chacune de ces [images](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), et ce chapitre l’établit — pour les miroirs courbes d’abord, puis pour la [lentille mince](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) dont presque tous les instruments d’optique sont faits.

![Une lentille convergente forme sur un écran l’image réelle et renversée d’une flamme de bougie : les distances de l’objet et de l’image obéissent à la relation de conjugaison de ce chapitre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/img-4e16a71a9752.jpg)

*Une [lentille convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) forme sur un écran l’[image réelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) et renversée d’une flamme de bougie : les distances de l’objet et de l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) obéissent à la relation de conjugaison de ce chapitre.*

## 3.1 Images et conditions de Gauss

**Définition 3.1 (Objet, image, stigmatisme).**

Un système optique reçoit les rayons issus d’un point $A$ (le *point objet*). Si tous les rayons émergents passent par un même point $A'$, ou semblent tous provenir d’un même point $A'$, le système est *stigmatique* pour $A$ et $A'$ est l’*image* de $A$. L’image est *réelle* si les rayons émergents se coupent effectivement en $A'$ (on peut la recueillir sur un écran), *virtuelle* si seuls leurs prolongements se coupent (on la voit à travers le système, on ne la projette pas). De même, l’objet est réel si les rayons incidents divergent depuis $A$, virtuel s’ils convergent vers $A$ au-delà de l’entrée du système. Le couple $(A, A')$ est *conjugué*.

**Définition 3.2 (Système centré ; conditions de Gauss).**

Un *système centré* possède un axe de symétrie de révolution, l’*axe optique*. Les rayons qui restent proches de l’axe et font avec lui de petits angles sont dits *paraxiaux* ; un système utilisé avec des rayons paraxiaux seulement travaille dans les *conditions de Gauss*. Dans ces conditions, un système centré est approximativement stigmatique pour tout point, et un plan objet perpendiculaire à l’axe a pour [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) un plan perpendiculaire à l’axe (*aplanétisme*).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 3.3 (Pourquoi de petits angles).**

Le [miroir plan](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) est le seul système simple rigoureusement stigmatique pour tout point. Un miroir ou une [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) sphérique n’est stigmatique que dans la mesure où $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$ : c’est cette approximation qui transforme la [loi de Snell-Descartes](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) en relations linéaires entre distances. En dehors d’elle, l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) d’un point est une tache (les *aberrations*), et le travail du concepteur — diaphragmes, associations de [lentilles](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), surfaces asphériques — consiste à ramener la tache sous ce que l’œil ou le capteur peut résoudre.

**Notation 3.4 (Mesures algébriques et grandissement).**

L’[axe optique](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) est orienté dans le sens de la lumière incidente ; la direction transversale est orientée vers le haut. Pour deux points $P$, $Q$ de l’axe, $\overline{PQ}$ désigne la [mesure algébrique](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why) ($\overline{PQ} > 0$ si $Q$ est en aval de $P$) ; pour un objet $AB$ perpendiculaire à l’axe et son [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'B'$, le *[grandissement transversal](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why)* vaut

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,
$$

négatif pour une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) renversée, de valeur absolue supérieure à $1$ pour une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) agrandie.

## 3.2 Miroirs sphériques

**Définition 3.5 (Miroir sphérique).**

Un *miroir sphérique* est une calotte sphérique réfléchissante de centre $C$ et de sommet $S$ (son intersection avec l’axe). Il est *concave* si la lumière rencontre le côté creux ($C$ du côté de la lumière incidente), *convexe* sinon. Son *foyer* $F$ est l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) d’un point à l’infini sur l’axe ; sa [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) vaut $f = \overline{SF}$.

**Proposition 3.6 (Foyer d’un miroir sphérique).**

Dans les [conditions de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), le [foyer](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) est le milieu de $SC$ : $\overline{SF} = \overline{SC}/2$. Un [miroir concave](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) a $f < 0$ ([foyer](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) réel, en avant) ; un [miroir convexe](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) a $f > 0$ ([foyer](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) virtuel, en arrière).

**Démonstration.** Un rayon parallèle à l’axe, à la hauteur $h$, rencontre le miroir en $I$ ; la normale en $I$ est le rayon $CI$, qui fait l’angle $\alpha$ avec l’axe, $\sin\alpha = h/R$. Réfléchi sous le même angle $\alpha$ par rapport à la normale, le rayon coupe l’axe en $F$ ; le triangle $CIF$ a des angles égaux $\alpha$ en $C$ et en $I$, donc $CF = IF$ et, en projetant, $CF = R/(2\cos\alpha)$. Pour des rayons paraxiaux $\cos\alpha \to 1$ et $CF = R/2$ : tous ces rayons coupent l’axe au même point, le milieu de $SC$. Signe : pour un [miroir concave](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror), $C$ et $F$ sont en avant (en amont), et $\overline{SC} < 0$. ∎

**Théorème 3.7 (Conjugaison pour un miroir sphérique).**

Dans les [conditions de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ d’un point $A$ de l’axe vérifie

$$
\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}
= \frac{1}{\overline{SF}},
\qquad
\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .
$$

**Démonstration.** Prenons un [miroir concave](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) et un objet réel $A$ au-delà de $C$ ; la forme algébrique couvre ensuite tous les cas. Un rayon issu de $A$ frappe le miroir en $I$ (à la hauteur $h$) et revient en $A'$ sur l’axe. Notons $u$, $u'$, $\omega$ les angles de $AI$, $A'I$ et $CI$ avec l’axe ; en paraxial, $u = h/AS$, $u' = h/A'S$, $\omega = h/CS$ (distances). La loi de la réflexion dit que la normale $CI$ est la bissectrice de l’angle entre $AI$ et $A'I$ : $\omega - u = u' - \omega$, c’est-à-dire $u + u' = 2\omega$, soit $1/AS + 1/A'S = 2/CS$ ; comme $\overline{SA}$, $\overline{SA'}$ et $\overline{SC}$ sont tous négatifs, c’est bien la relation affichée. Pour le grandissement, le rayon $B \to S \to B'$ réfléchi au sommet fait des angles égaux avec l’axe : $A'B'/SA' = AB/SA$ en longueurs, et l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) est renversée : $\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}$. ∎

**Méthode 3.8 (Construire une image dans un miroir).**

Pour un point objet $B$ hors de l’axe, tracer deux des quatre rayons remarquables ; leur intersection (ou celle de leurs prolongements) est $B'$ :

1. parallèle à l’axe $\to$ réfléchi en passant par $F$ ;
2. passant par $F$ $\to$ réfléchi parallèlement à l’axe ;
3. passant par $C$ $\to$ réfléchi sur lui-même ;
4. vers le sommet $S$ $\to$ réfléchi symétriquement par rapport à l’axe.

Puis $A'$ est le pied de la perpendiculaire abaissée de $B'$ sur l’axe.

![Un miroir concave (C, foyer F à mi-rayon). Pour un objet AB au-delà de C, le rayon parallèle à l’axe repart par F et le rayon passant par F repart parallèle : ils se croisent en B' — une image réelle, renversée et réduite, entre F et C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-1566047a0650.svg)

*Un [miroir concave](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) ($C$, [foyer](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) $F$ à mi-rayon). Pour un objet $AB$ au-delà de $C$, le rayon parallèle à l’axe repart par $F$ et le rayon passant par $F$ repart parallèle : ils se croisent en $B'$ — une [image réelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), renversée et réduite, entre $F$ et $C$.*

**Exemple 3.9 (Miroir de rasage, rétroviseur).**

Un [miroir concave](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de rayon $60\,\mathrm{cm}$ ($f = -30\,\mathrm{cm}$) devant un visage placé à $20\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60$, $\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm}$ — derrière le miroir, virtuelle — et $\gamma = -60/(-20) = +3$ : droite, trois fois plus grande, c’est le miroir de rasage. Un [miroir convexe](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de rayon $2.0\,\mathrm{m}$ ($f = +1.0\,\mathrm{m}$), avec une voiture à $20\,\mathrm{m}$ derrière : $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ (virtuelle, derrière), $\gamma = +0.048$ : droite, vingt fois plus petite, donc un champ large — le rétroviseur, avec son avertissement que les objets sont plus proches qu’ils ne le paraissent.

## 3.3 Lentilles minces

**Définition 3.10 (Lentille mince).**

Une *lentille* est un [milieu transparent](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#def-b1-rays-reflection-refraction-index) limité par deux surfaces sphériques (ou planes) ; elle est *mince* lorsque son épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure et devant les distances en jeu, de sorte que les deux sommets se confondent en un point, le *centre optique* $O$. Un rayon passant par $O$ n’est pas dévié. Le *[foyer](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)* $F'$ est l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) d’un point à l’infini sur l’axe ; le *[foyer](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) objet* $F$ est le point dont l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) est à l’infini ; tous deux sont à la même distance de $O$ : $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$, la *distance focale*. La lentille est *convergente* si $f' > 0$ ($F'$ réel, en aval ; bords plus minces que le centre), *divergente* si $f' < 0$. Sa *vergence* $V = 1/f'$ se mesure en *dioptries* ($1\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}$).

**Théorème 3.11 (Conjugaison pour une lentille mince).**

Dans les [conditions de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ d’un point $A$ de l’axe vérifie la [relation de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'},
\qquad
\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},
$$

et, de façon équivalente, la [relation de Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2,
\qquad
\gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .
$$

**Démonstration partielle.** Le fait décisif est qu’une [lentille mince](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) dévie vers l’axe un rayon qui la traverse à la hauteur $h$ de l’angle $h/f'$, quelle que soit la direction de ce rayon — chaque zone de la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) agit comme un prisme mince ([Remarque 2.21](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#rem-b1-rays-reflection-refraction-thin)) dont l’angle au sommet croît linéairement avec $h$ pour des surfaces sphériques ; cette linéarité, exacte en paraxial, est admise ici et démontrée à partir de la [loi de Snell-Descartes](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) sur deux surfaces sphériques dans le volume de deuxième année. Cela accordé : un rayon issu de $A$ (à la distance $p = -\overline{OA} > 0$ pour un objet réel) qui atteint la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) à la hauteur $h$ y arrive avec la pente $h/p$, est dévié de $h/f'$ et repart avec la pente $h/p - h/f'$ ; il coupe l’axe en $A'$ avec $h/\overline{OA'} = h/f' - h/p$, soit $1/\overline{OA'}
- 1/\overline{OA} = 1/f'$, indépendamment de $h$ : tous les rayons issus de $A$ se rejoignent en $A'$. Le rayon $B \to O \to B'$ passant par le centre est rectiligne, donc $\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}$. La forme de Newton s’obtient en substituant $\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA}
= -f' + \overline{FA}$ et $\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}$. ∎

**Méthode 3.12 (Construire une image à travers une lentille mince).**

Trois rayons remarquables issus de $B$ :

1. passant par $O$ : non dévié ;
2. parallèle à l’axe : émerge en passant par $F'$ ;
3. passant par $F$ : émerge parallèlement à l’axe.

Deux suffisent ; pour une [lentille divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), on utilise les prolongements (le rayon dirigé vers le $F$ situé derrière la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) émerge parallèle ; le rayon parallèle émerge comme s’il venait de $F'$, en avant).

![Une lentille convergente : objet AB au-delà de F. Le rayon passant par O va tout droit, le rayon parallèle se courbe en passant par F', le rayon passant par F ressort parallèle ; tous trois se rejoignent en B' : image réelle et renversée. Ici OA = -1.5f', donc OA' = 3f' et = -2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-9d98a81aa150.svg)

*Une [lentille convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) : objet $AB$ au-delà de $F$. Le rayon passant par $O$ va tout droit, le rayon parallèle se courbe en passant par $F'$, le rayon passant par $F$ ressort parallèle ; tous trois se rejoignent en $B'$ : [image réelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) et renversée. Ici $\overline{OA} = -1.5f'$, donc $\overline{OA'} = 3f'$ et $\gamma = -2$.*

![Une lentille divergente (F' en amont, F en aval) : le rayon parallèle émerge comme s’il venait de F', le rayon central va tout droit ; leurs prolongements se rejoignent en B' — une image virtuelle, droite et réduite, quelle que soit la position de l’objet.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-0212246928e4.svg)

*Une [lentille divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ($F'$ en amont, $F$ en aval) : le rayon parallèle émerge comme s’il venait de $F'$, le rayon central va tout droit ; leurs prolongements se rejoignent en $B'$ — une [image virtuelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), droite et réduite, quelle que soit la position de l’objet.*

**Exemple 3.13 (La même lentille, trois usages).**

Une [lentille convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Timbre à $3.0\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtuelle, $\gamma = +2.5$ : c’est la loupe. Lampe à $20\,\mathrm{cm}$ : $\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}$, réelle, $\gamma = -1/3$ : une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) renversée et réduite sur un carton. Fenêtre à $4\,\mathrm{m}$ : $\overline{OA'}
\approx f'$, minuscule [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) renversée dans le plan focal — l’appareil photographique. Trois usages, une seule relation.

**Proposition 3.14 (Grandissement longitudinal).**

Si l’objet se déplace le long de l’axe de $\dd\overline{OA}$, l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se déplace de $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$, dans le même sens.

**Démonstration.** Différentions la [relation de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) à $f'$ fixé : $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, d’où $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}$. ∎

**Remarque 3.15 (Profondeur de mise au point).**

Un projecteur de $\gamma = -50$ a $\gamma^2 = 2500$ : une diapositive qui gondole de $0.1\,\mathrm{mm}$ sous la chaleur de la lampe envoie son [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $25\,\mathrm{cm}$ hors du plan de l’écran. À l’inverse, un appareil photographique ($\abs\gamma
\ll 1$) tolère de grands déplacements de l’objet pour un minuscule décalage de l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) — c’est la profondeur de champ.

## 3.4 Mesurer une distance focale

**Méthode 3.16 (Autocollimation).**

Placer un [miroir plan](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) juste derrière la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) et déplacer le long de l’axe un objet lumineux (une croix sur un verre dépoli) jusqu’à ce que son [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), renvoyée à travers la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), se forme nette sur l’objet lui-même, renversée et de même taille. L’objet est alors dans le plan focal : les rayons quittent la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) parallèles, reviennent parallèles du miroir, et sont refocalisés dans le plan focal. La distance objet–lentille vaut $f'$.

**Proposition 3.17 (Méthode de Bessel).**

Un objet et un écran sont fixés à la distance $D$ l’un de l’autre. Une [lentille convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) forme une [image réelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nette sur l’écran pour exactement deux positions si $D > 4f'$, pour une seule si $D = 4f'$, pour aucune si $D < 4f'$. Les deux positions sont distantes de $d$, avec

$$
f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .
$$

À $D = 4f'$ (Silbermann), l’unique position donne $\gamma = -1$.

**Démonstration.** Soit $p = -\overline{OA} > 0$ la distance objet–lentille ; alors $\overline{OA'} = D - p$ et Descartes donne $1/(D - p) + 1/p = 1/f'$, c’est-à-dire $p^2 - Dp + Df' = 0$ : le discriminant $D^2 - 4Df'$ est positif si et seulement si $D > 4f'$. Les deux racines $p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2$ ont pour somme $D$ (les positions sont symétriques : les distances objet et [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) s’échangent) et diffèrent de $d = \sqrt{D^2 - 4Df'}$ ; on en tire $f'$. Pour $D = 4f'$, $p = 2f' = \overline{OA'}$ et $\gamma = -1$. ∎

![Méthode de Bessel : objet et écran fixés à D > 4f' ; la lentille donne une image nette pour deux positions symétriques distantes de d (agrandie, réduite), et f' = (D2 - d2)/4D.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-2414cb041afe.svg)

*[Méthode de Bessel](#prop-b1-mirrors-thin-lenses-bessel) : objet et écran fixés à $D > 4f'$ ; la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) donne une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nette pour deux positions symétriques distantes de $d$ (agrandie, réduite), et $f' = (D^2 - d^2)/4D$.*

## 3.5 Deux lentilles minces

**Proposition 3.18 (Lentilles accolées ; doublet afocal).**

Deux [lentilles minces](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) accolées se comportent comme une seule [lentille mince](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [vergence](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $V = V_1 + V_2$. Deux [lentilles](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) placées de sorte que $F_1' = F_2$ forment un système *afocal* : un faisceau parallèle émerge parallèle, et un faisceau incliné de $\alpha$ émerge incliné de $\alpha' = G\alpha$, avec le *[grossissement angulaire](#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet)* $G = -f_1'/f_2'$.

**Démonstration.** L’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A_1$ donnée par $L_1$ est l’objet pour $L_2$. Accolées, $O_1 = O_2 = O$ : $1/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1$ et $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2$ ; il suffit d’additionner. [Système afocal](#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet) : un faisceau parallèle incliné de $\alpha$ converge dans le plan focal commun, à la hauteur $h = f_1'\alpha$ de l’axe (rayon passant par $O_1$) ; vu de $L_2$, ce point est dans son plan focal objet, donc le faisceau émerge parallèle, sous l’angle du rayon qui joint ce point à $O_2$ : $\alpha' = -h/f_2'$. ∎

**Exemple 3.19 (Une lunette en une ligne).**

$f_1' = 1000\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = -40$ ; la Lune, large d’un demi-degré, devient un disque de $20^\circ$ — la lunette astronomique du chapitre suivant. Avec un oculaire divergent, $f_2' = -25\,\mathrm{mm}$, $G = +40$ : [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) droite, c’est la lunette de Galilée.

## 3.6 Exercices

**Exercice 3.1 ★.**

Un [miroir concave](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) a $R = 40\,\mathrm{cm}$. Trouver l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) d’un objet placé à $60\,\mathrm{cm}$, $30\,\mathrm{cm}$ puis $10\,\mathrm{cm}$ du sommet : position, nature réelle ou virtuelle, grandissement.

**Solution de Exercice 3.1.**

$\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}$ ; $1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} -
1/\overline{SA}$. À $60\,\mathrm{cm}$ : $\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}$, réelle, $\gamma = -0.5$. À $30\,\mathrm{cm}$ : $\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}$, réelle, $\gamma = -2$. À $10\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10
= 1/20$, $\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm}$ derrière le miroir, virtuelle, $\gamma = +2$ (droite, agrandie).

**Exercice 3.2 ★.**

Une [lentille convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) a $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Trouver l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) d’un objet à $20\,\mathrm{cm}$, puis à $3.0\,\mathrm{cm}$ ; faire les constructions.

**Solution de Exercice 3.2.**

$\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20$, $\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}$, réelle et renversée, $\gamma = -1/3$. $\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtuelle et droite, $\gamma = +2.5$.

**Exercice 3.3 ★.**

Donner la [vergence](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) d’une [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $25\,\mathrm{cm}$ ; la [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) d’une [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $-2.0\,\delta$ ; la [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) d’une [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $+3.0\,\delta$ accolée à une [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $-1.0\,\delta$.

**Solution de Exercice 3.3.**

$V = 1/0.25 = +4.0\,\delta$ ; $f' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}$ ; $V = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta$, $f' = 50\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 3.4 ★.**

Avec $f' = 10\,\mathrm{cm}$ et un objet situé $15\,\mathrm{cm}$ avant $F$, utiliser la [relation de Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) pour situer l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) et trouver $\gamma$ ; vérifier avec la [relation de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj).

**Solution de Exercice 3.4.**

$\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}$ : $\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA}
= +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm}$ au-delà de $F'$, soit $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$ ; $\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67$. Par Descartes : $\overline{OA} =
-25\,\mathrm{cm}$, $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50$, $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 16.7/(-25) = -0.67$.

**Exercice 3.5 ★★.**

Un rétroviseur convexe a $R = 2.0\,\mathrm{m}$. Une voiture de $1.5\,\mathrm{m}$ de haut est à $20\,\mathrm{m}$ derrière : trouver la position de l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), sa hauteur, et expliquer l’avertissement « les objets sont plus proches qu’ils ne le paraissent ».

**Solution de Exercice 3.5.**

$\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}$, $\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}$ : $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ derrière le miroir (virtuelle, droite) ; $\gamma = -0.95/(-20) = +0.048$, [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) haute de $7.1\,\mathrm{cm}$. Le cerveau juge la distance sur la taille apparente : une voiture vue vingt fois plus petite à $0.95\,\mathrm{m}$ se lit comme une voiture lointaine — plus loin que $20\,\mathrm{m}$.

**Exercice 3.6 ★★.**

Un objectif photographique, $f' = 50\,\mathrm{mm}$, fait la mise au point sur un sujet à $2.0\,\mathrm{m}$. De combien doit-il se déplacer depuis son réglage sur l’infini ? Quel est le grandissement ? À quelle distance le photographe doit-il reculer pour qu’une personne de $1.8\,\mathrm{m}$ tienne dans les $24\,\mathrm{mm}$ de hauteur du capteur ?

**Solution de Exercice 3.6.**

$1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}$, $\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}$ : l’objectif s’éloigne de $1.3\,\mathrm{mm}$ du capteur. $\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026$. Pour $\abs\gamma = 24/1800
= 1/75$ : $\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) =
-3.8\,\mathrm{m}$.

**Exercice 3.7 ★★.**

Un projecteur doit montrer une diapositive large de $36\,\mathrm{mm}$ sous la forme d’une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) large de $1.8\,\mathrm{m}$ sur un écran situé à $5.0\,\mathrm{m}$ de la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Trouver la [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) nécessaire et la distance diapositive–lentille. Pourquoi la diapositive est-elle introduite à l’envers ?

**Solution de Exercice 3.7.**

$\gamma = -1.8/0.036 = -50$ ; $\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}$, $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}$ ; $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}$, $f' = 98\,\mathrm{mm}$. L’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) est renversée ($\gamma < 0$), haut–bas et gauche–droite : la diapositive s’introduit tournée de $180^\circ$.

**Exercice 3.8 ★★.**

Expliquer, schéma de rayons à l’appui, pourquoi l’autocollimation repère exactement le plan focal, et pourquoi l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) renvoyée est renversée et de même taille que l’objet. Qu’advient-il de cette [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) si le miroir est légèrement incliné ?

**Solution de Exercice 3.8.**

Objet dans le plan focal $\Rightarrow$ les rayons issus de chaque point quittent la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) parallèles ; le [miroir plan](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) les renvoie parallèles (direction symétrique) ; la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) focalise un faisceau parallèle dans son plan focal, au point symétrique du point source par rapport à l’axe : [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) dans le plan de l’objet, renversée, $\gamma = -1$. Incliner le miroir de $\alpha$ fait tourner le faisceau de retour de $2\alpha$ et décale l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) latéralement de $2\alpha f'$, toujours nette dans le même plan.

**Exercice 3.9 ★★.**

Un objet et un écran sont distants de $1.00\,\mathrm{m}$ ; on obtient des [images](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nettes pour deux positions de la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) distantes de $40\,\mathrm{cm}$. Trouver $f'$. Quelle est la plus petite distance objet–écran à laquelle cette [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) peut encore projeter une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nette, et avec quel grandissement ?

**Solution de Exercice 3.9.**

$f' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}$. Distance minimale $4f' = 84\,\mathrm{cm}$, avec $\gamma = -1$.

**Exercice 3.10 ★★★.**

Une [lentille convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ ($f_1' = 20\,\mathrm{cm}$) est suivie, $15\,\mathrm{cm}$ plus loin, d’une [lentille divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$ ($f_2' = -10\,\mathrm{cm}$). Situer l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) d’un objet à l’infini. Montrer qu’un objet lointain de diamètre apparent $\alpha$ donne une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de hauteur $40\,\mathrm{cm}\times\alpha$, et comparer à la longueur du montage : c’est le principe du téléobjectif.

**Solution de Exercice 3.10.**

$L_1$ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) l’infini en $F_1'$, $20\,\mathrm{cm}$ après $L_1$, soit $5\,\mathrm{cm}$ après $L_2$ : c’est un objet virtuel, $\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}$. $1/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10$ : [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) finale $10\,\mathrm{cm}$ après $L_2$. Hauteur de l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermédiaire $h_1 = f_1'\alpha = 20\alpha$ (cm) ; $\gamma_2 = 10/5 = 2$, donc $h = 40\alpha$ : [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) équivalente $40\,\mathrm{cm}$, dans un barillet long de $15 + 10 = 25\,\mathrm{cm}$ — un téléobjectif.

**Exercice 3.11 ★★★.**

Un [miroir concave](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) forme, sur un écran situé à $80\,\mathrm{cm}$ du filament d’une lampe, une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de ce filament trois fois plus grande. Trouver les positions du miroir et son rayon de courbure.

**Solution de Exercice 3.11.**

$\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ donne $\overline{SA'} =
3\overline{SA}$ ; les deux sont réels, en avant : $\overline{SA} = -x$, $\overline{SA'} = -3x$, et la distance écran–lampe vaut $2x = 80\,\mathrm{cm}$ : $x = 40\,\mathrm{cm}$. Le miroir est à $40\,\mathrm{cm}$ de la lampe et $120\,\mathrm{cm}$ de l’écran ; $1/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30$ : $R = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 3.12 ★★★.**

Le Soleil est vu sous $0.53^\circ$. Une [lentille convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de diamètre $10\,\mathrm{cm}$ et de [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $50\,\mathrm{cm}$ en forme l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sur une feuille de papier. Calculer le diamètre de l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), la puissance recueillie (éclairement solaire $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) et l’éclairement dans l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) ; comparer à l’éclairement solaire direct et conclure.

**Solution de Exercice 3.12.**

$\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ ; diamètre de l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $f'\theta =
4.6\,\mathrm{mm}$. Puissance recueillie $10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}$ ; aire de l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ ; éclairement $4.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, soit $470$ fois le soleil direct : le papier noircit puis s’enflamme — c’est la loupe ardente. En général le gain vaut $(D/f'\theta)^2$.

## 3.7 Problème : le projecteur de diapositives

**Problème 3.1.**

Problème du week-end — une lentille, mesurée sur un banc, puis chargée de projeter une diapositive à travers une salle : comment un projecteur se conçoit, se règle et se dote d’un convertisseur longue portée

Un objectif de projection $L_1$ est une [lentille mince](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) convergente de [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ inconnue. La diapositive mesure $24\,\mathrm{mm}$ de haut et $36\,\mathrm{mm}$ de large.

**Partie I — La [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) sur le banc.**

1. Énoncer la [relation de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) et le grandissement d’une [lentille mince](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , avec les conventions de signe.
2. Un objet et un écran sont fixés à la distance $D$ l’un de l’autre. Montrer qu’une [image réelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sur l’écran exige $D \geq 4f_1'$ .
3. Montrer que, lorsque $D > 4f_1'$ , les deux positions de la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) donnant une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nette sont symétriques par rapport au milieu de l’objet et de l’écran, et que $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ , où $d$ est leur écart.
4. Avec $D = 80.0\,\mathrm{cm}$ et $d = 40.0\,\mathrm{cm}$ , calculer $f_1'$ .
5. La [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) est logée dans un barillet épais dont on ne sait pas situer précisément le [centre optique](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) . Pourquoi cela n’affecte-t-il pas la méthode ?
6. Les distances portent $u(D) = 0.2\,\mathrm{cm}$ et $u(d) = 0.5\,\mathrm{cm}$ . Calculer $u(f_1')$ et écrire le résultat.
7. Donner le grandissement à chacune des deux positions. Laquelle correspond à un projecteur ?
8. Quel est le plus petit $D$ pour lequel une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nette existe, et quel est alors le grandissement (Silbermann) ?

**Partie II — Projeter l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image).** L’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sur l’écran doit être large de $1.80\,\mathrm{m}$. On prend $f_1' = 15.0\,\mathrm{cm}$.

9. Quel grandissement faut-il (avec son signe) ?
10. Calculer la distance lentille–écran et la distance diapositive–lentille.
11. Pourquoi la diapositive est-elle introduite à l’envers et inversée gauche–droite ?
12. L’écran est reculé à $10.0\,\mathrm{m}$ . De combien, et dans quel sens, faut-il déplacer la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) par rapport à la diapositive pour retrouver la netteté ? Quelle est alors la largeur de l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) ?

**Partie III — Tolérance de mise au point et lumière.**

13. Montrer qu’un petit déplacement $\dd\overline{OA}$ de la diapositive décale l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ .
14. Le film gondole de $0.10\,\mathrm{mm}$ sous la chaleur de la lampe. De combien le plan [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se déplace-t-il (écran à $7.65\,\mathrm{m}$ ) ? Commenter.
15. L’ouverture de l’objectif a $30\,\mathrm{mm}$ de diamètre. Si l’écran se trouve $20\,\mathrm{cm}$ hors du plan [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) , quel est le diamètre de la tache de flou d’un point de la diapositive ? Vue de $5\,\mathrm{m}$ , l’œil (résolution angulaire d’environ $3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) s’en aperçoit-il ?
16. La diapositive reçoit $2.0\,\mathrm{W}$ de lumière, qui parviennent intégralement à l’écran. Calculer l’éclairement (puissance par unité d’aire) sur la diapositive et sur l’écran, et montrer que leur rapport vaut $\gamma^2$ .

**Partie IV — Le convertisseur longue portée.** Dans une salle plus grande, l’écran est à $12.0\,\mathrm{m}$. Une [lentille divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$, $f_2' = -30.0\,\mathrm{cm}$, est fixée $8.0\,\mathrm{cm}$ derrière $L_1$ ; l’écran est à $12.0\,\mathrm{m}$ de $L_2$.

17. Pour que l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) finale soit réelle et sur l’écran, où (par rapport à $L_2$ ) l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermédiaire donnée par $L_1$ doit-elle se trouver ? Est-ce un objet réel ou virtuel pour $L_2$ ?
18. En déduire la position $\overline{O_1A}$ de la diapositive.
19. Calculer $\gamma_1$ , $\gamma_2$ et le grandissement total.
20. Donner la largeur de l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) , et la comparer à celle que $L_1$ seule donnerait sur le même écran (à $12.08\,\mathrm{m}$ de $L_1$ ).
21. Pour un objet à l’infini, montrer que le système équivaut à une [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) unique de [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_{\mathrm{eq}}$ avec $$\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},$$ $e = \overline{O_1O_2}$, au sens où un faisceau incliné de $\alpha$ converge à la hauteur $f_{\mathrm{eq}}\,\alpha$ de l’axe. Calculer $f_{\mathrm{eq}}$.
22. Vérifier que le rapport des largeurs d’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) (avec et sans convertisseur) est proche de $f_1'/f_{\mathrm{eq}}$ . Pourquoi seulement de façon approchée ?
23. Pourquoi l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermédiaire doit-elle se trouver à moins de $\abs{f_2'}$ au-delà de $L_2$ pour que l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) finale soit réelle ?
24. Avec la même lampe, de quel facteur l’éclairement de l’écran change-t-il lorsqu’on monte le convertisseur (même distance d’écran) ?
25. Récapituler : de quel facteur le convertisseur multiplie-t-il la [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , et qu’advient-il de la taille et de la luminosité de l’ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) à distance de projection donnée ?

**Solution de Problème 3.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$, $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}$ ; axe orienté dans le sens de la lumière, distances algébriques comptées depuis $O$.

**2.** $p = -\overline{OA}$, $\overline{OA'} = D - p$ : $1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'$, soit $p^2 - Dp + Df_1' = 0$ ; racines réelles si et seulement si $D^2 - 4Df_1' \geq 0$, c’est-à-dire $D \geq 4f_1'$.

**3.** La somme des racines vaut $D$ : $p_1 + p_2 = D$, donc $p_2 = D - p_1$ — les distances objet et [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) s’échangent, les positions sont symétriques par rapport au milieu. $d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}$, d’où $f_1' = (D^2 -
d^2)/4D$.

**4.** $f_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}$.

**5.** Seuls interviennent le déplacement $d$ du barillet entre les deux réglages nets et la distance objet–écran $D$ : ni l’un ni l’autre n’exige de savoir où se trouve $O$ à l’intérieur du barillet.

**6.** $\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125$, $\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25$ ; donc $u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 =
0.0195\,\mathrm{cm}^{2}$ et $u(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}$ : $f_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}$.

**7.** $p = (80 \mp 40)/2 = 20$ ou $60\,\mathrm{cm}$ : $\gamma =
-60/20 = -3$ (diapositive près de la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) agrandie : le projecteur) et $\gamma = -1/3$.

**8.** $D_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -1$.

**9.** $\gamma = -1.80/0.036 = -50$.

**10.** $\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 =
765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}$ ; $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma =
-15.3\,\mathrm{cm}$.

**11.** $\gamma < 0$ : l’[image réelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) est tournée de $180^\circ$ autour de l’axe, donc la diapositive s’introduit tournée de $180^\circ$ (à l’envers et inversée gauche–droite).

**12.** $\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA} = 1/1000
- 1/15$, $\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}$ : la [lentille](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) se rapproche de $0.7\,\mathrm{mm}$ de la diapositive. $\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7$ : [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) large de $2.36\,\mathrm{m}$.

**13.** Différentions Descartes : $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2
+ \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, donc $\dd\overline{OA'} =
(\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$.

**14.** $2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}$ : l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sort de la netteté à mesure que le film chauffe — d’où les diapositives montées sous verre, ou une mise au point qui suit le film.

**15.** Triangles semblables entre l’ouverture et le point [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) : flou $= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}$ ; vu de $5\,\mathrm{m}$, cela sous-tend $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ : imperceptible.

**16.** Aire de la diapositive $8.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}$ : $E_{\text{diapo}}
= 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; aire de l’écran $\gamma^2$ fois plus grande, $2.16\,\mathrm{m}^{2}$ : $E_{\text{écran}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; même puissance, aires dans le rapport $\gamma^2 = 2500$.

**17.** $\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{O_2A} =
1/1200 + 1/30 = 0.03417$, $\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}$ : l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermédiaire se trouve $29.3\,\mathrm{cm}$ *au-delà* de $L_2$ — un objet virtuel pour $L_2$ (les rayons issus de $L_1$ convergent vers elle).

**18.** $\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}$ ; $1/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398$, $\overline{O_1A} =
-25.1\,\mathrm{cm}$.

**19.** $\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49$ ; $\gamma_2 = 1200/29.3 =
41.0$ ; $\gamma = -60.9$.

**20.** Largeur $60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}$. Avec $L_1$ seule : $\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5$, largeur $2.86\,\mathrm{m}$.

**21.** Faisceau incliné de $\alpha$ : $L_1$ le focalise à la hauteur $h_1 = f_1'\alpha$ dans son plan focal, situé à $\overline{O_2A_1} = f_1' - e$ de $L_2$ ; $L_2$ [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) ce point en $\overline{O_2A'}$ avec $1/\overline{O_2A'}
= 1/f_2' + 1/(f_1' - e)$ et le grandit de $\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1'
- e)$, donc $h = \gamma_2 f_1'\alpha$ et $f_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1'
= \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}$, dont l’inverse est la formule annoncée. $1/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}$, $f_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}$.

**22.** $2.19/2.86 = 0.77$ et $15/19.6 = 0.77$. Seulement de façon approchée, parce que la diapositive est à distance finie et que les deux portées se mesurent depuis des [lentilles](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) différentes ; pour un objet à l’infini le rapport serait exact.

**23.** Objet virtuel à $p > 0$ au-delà d’une [lentille divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) : $1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}$, positif ([image réelle](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)) si et seulement si $p < \abs{f_2'}$.

**24.** Même puissance sur une [image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) d’aire $(2.19/2.86)^2 = 0.59$ fois plus petite : éclairement $\times 1.7$.

**25.** Le convertisseur multiplie la [distance focale](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) par $f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3$ ; à portée donnée, l’[image](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) est $1.3$ fois plus petite dans chaque direction et $1.7$ fois plus lumineuse — un objectif longue portée.