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title: "Instruments d’optique et œil"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/4-instruments-doptique-et-il
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# Chapitre 4 — Instruments d’optique et œil

Du dernier rang d’une salle de concert, une paire de jumelles ramène le visage de la chanteuse à portée de bras ; un [microscope](#def-b1-optical-instruments-microscope) transforme une goutte d’eau d’étang en ménagerie ; un téléphone épais comme un doigt photographie la Voie lactée. Chacun de ces instruments n’est qu’un petit nombre de [lentilles minces](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) disposées dans un seul but : présenter à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye), ou à un capteur, une image plus grande, plus lumineuse ou plus fine que celle que l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) formerait seul. Ce chapitre commence donc par l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) lui-même — ce qu’il peut et ce qu’il ne peut pas — puis construit la [loupe](#def-b1-optical-instruments-G), le [microscope](#def-b1-optical-instruments-microscope), la lunette et l’[appareil photographique](#def-b1-optical-instruments-camera) à partir de la relation de conjugaison du chapitre précédent.

![La lunette de 40 pouces de l’observatoire Yerkes (1897), toujours la plus grande lunette jamais construite : un objectif d’un mètre et un tube de dix-neuf. Au-delà de cette taille, une lentille fléchit sous son propre poids, et l’astronomie s’est tournée vers les miroirs.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-4e4f7ec86ae8.jpg)

*La lunette de 40 pouces de l’observatoire Yerkes (1897), toujours la plus grande lunette jamais construite : un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) d’un mètre et un tube de dix-neuf. Au-delà de cette taille, une [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) fléchit sous son propre poids, et l’astronomie s’est tournée vers les miroirs.*

![Une petite lunette au crépuscule : un objectif de grande distance focale et un oculaire de courte — la lunette afocale de ce chapitre, pointée vers la Lune de son problème du week-end.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ccb52c3300bb.jpg)

*Une petite lunette au crépuscule : un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) de grande [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) et un [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de courte — la lunette afocale de ce chapitre, pointée vers la Lune de son problème du week-end.*

## 4.1 L’œil

**Définition 4.1 (Œil réduit).**

L’*œil réduit* modélise la cornée et le cristallin par une seule [lentille mince](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) convergente de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) *variable*, et la *rétine* par un écran situé à une distance fixe $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ derrière elle. Des muscles changent la courbure du cristallin pour maintenir sur la rétine l’image de l’objet regardé : c’est l’*accommodation*. L’iris, devant le cristallin, est un diaphragme de diamètre variable, de $2\,$ à $8\,\mathrm{mm}$ : la *pupille*.

**Définition 4.2 (Punctum remotum, punctum proximum).**

Le *punctum remotum* est le point objet vu net sans accommoder ; le *punctum proximum* est le point le plus proche vu net avec l’[accommodation](#def-b1-optical-instruments-eye) maximale. Pour un [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) normal (emmétrope), le punctum remotum est à l’infini et le punctum proximum à $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$, la *distance minimale de vision distincte* conventionnelle. La différence des [vergences](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) nécessaires aux deux est l’*amplitude d’[accommodation](#def-b1-optical-instruments-eye)* : environ $4\,\delta$ chez un jeune adulte, décroissante avec l’âge.

**Exemple 4.3 (La vergence de l’œil).**

Objet lointain : une image à $d = 17\,\mathrm{mm}$ signifie $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 59\,\delta$. Objet à $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$. Quatre dioptries d’[accommodation](#def-b1-optical-instruments-eye) sur soixante : le cristallin n’ajoute que quelques pour cent au travail de la cornée, mais ces quelques pour cent font toute la lecture.

**Proposition 4.4 (Défauts et corrections).**

Un [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) *myope* est trop convergent : son [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) est à distance finie $D_r$ ; une [lentille divergente](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' = -D_r$ (portée près de l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye)) image l’infini sur le [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) et rétablit la vision de loin. Un [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) *hypermétrope* n’est pas assez convergent : son [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) est virtuel (derrière l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye)) et son [punctum proximum](#def-b1-optical-instruments-punctum) trop éloigné ; une [lentille convergente](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) le corrige. La *presbytie* est la perte d’[accommodation](#def-b1-optical-instruments-eye) avec l’âge : le [punctum proximum](#def-b1-optical-instruments-punctum) recule et la lecture exige des [lentilles convergentes](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), quel que soit le [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum).

**Démonstration.** Une [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) placée près de l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) forme avec lui un système dont l’objet doit être ce que l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) sait voir : la [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) doit transformer un objet à l’infini en une [image virtuelle](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sur le [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum), $\overline{OA'} = -D_r$ pour $\overline{OA} = -\infty$, d’où $f' = \overline{OA'} = -D_r$. Les autres cas relèvent du même argument avec les points pertinents. ∎

![L’œil réduit : une lentille mince de distance focale variable et une rétine 17\, mm derrière elle. Au repos, elle met au point les objets lointains ; en accommodant, elle raccourcit f' pour amener sur la rétine l’image d’un objet proche. L’image est renversée — le cerveau la remet à l’endroit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-9fb280ddbd80.svg)

*L’[œil réduit](#def-b1-optical-instruments-eye) : une [lentille mince](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) variable et une [rétine](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ derrière elle. Au repos, elle met au point les objets lointains ; en accommodant, elle raccourcit $f'$ pour amener sur la [rétine](#def-b1-optical-instruments-eye) l’image d’un objet proche. L’image est renversée — le cerveau la remet à l’endroit.*

**Définition 4.5 (Diamètre apparent et résolution angulaire).**

Le *diamètre apparent* d’un objet de hauteur $h$ situé à la distance $D$ vaut $\theta \approx h/D$ (petits angles). L’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) ne distingue deux points que si leur écart angulaire dépasse sa *résolution angulaire*, environ $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (une minute d’arc) : l’espacement des cônes et la diffraction à la pupille fixent tous deux cette limite.

**Remarque 4.6 (À quoi sert un instrument).**

Amené au [punctum proximum](#def-b1-optical-instruments-punctum), un détail de $1\,\mathrm{mm}$ est vu sous $1/250 =
4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ : treize fois la limite de résolution ; un détail de $0.05\,\mathrm{mm}$ est vu sous $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ et reste invisible. Les instruments qui regardent des objets proches ([loupe](#def-b1-optical-instruments-G), [microscope](#def-b1-optical-instruments-microscope)) augmentent le [diamètre apparent](#def-b1-optical-instruments-angular) au-delà de ce que peut faire le simple rapprochement de l’objet ; ceux qui visent des objets lointains (lunette) augmentent le [diamètre apparent](#def-b1-optical-instruments-angular) de ce dont on ne peut s’approcher ; l’[appareil photographique](#def-b1-optical-instruments-camera) remplace la [rétine](#def-b1-optical-instruments-eye) par un capteur capable d’intégrer la lumière pendant des secondes et d’être agrandi ensuite.

## 4.2 La loupe

**Définition 4.7 (Grossissement).**

Pour un instrument utilisé par l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye), le *grossissement* vaut $G = \theta'/\theta$, où $\theta'$ est le [diamètre apparent](#def-b1-optical-instruments-angular) de l’image vue à travers l’instrument et $\theta$ celui de l’objet vu à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu — placé au [punctum proximum](#def-b1-optical-instruments-punctum) $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ pour un objet proche, laissé en place pour un objet lointain.

**Proposition 4.8 (La loupe).**

Une [lentille convergente](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' < d_m$, l’objet étant dans son plan focal objet, donne une image à l’infini, vue sans [accommodation](#def-b1-optical-instruments-eye), avec

$$
G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .
$$

**Démonstration.** Objet $AB$ de hauteur $h$ dans le plan focal : les rayons issus de $B$ repartent parallèles, sous l’angle du rayon passant par $O$, $\theta' = h/f'$. [Œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu au mieux : $\theta = h/d_m$. Rapport $d_m/f'$. ∎

**Exemple 4.9 (La loupe d’horloger).**

$f' = 25\,\mathrm{mm}$ : $G = 250/25 = 10$, vendue « $10\times$ ». Un détail de $0.05\,\mathrm{mm}$ est alors vu sous $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, confortablement résolu. Pousser $G$ plus haut demande un $f'$ de quelques millimètres, donc une minuscule [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) collée à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) — c’est la limite de la [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) unique, et la raison d’être du [microscope](#def-b1-optical-instruments-microscope).

## 4.3 Le microscope

**Définition 4.10 (Microscope composé).**

Un *microscope* est un *objectif* $L_1$ de courte [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ qui forme d’un objet proche une image intermédiaire réelle et agrandie dans le plan focal objet d’un *oculaire* $L_2$ (de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_2'$), lequel joue le rôle de [loupe](#def-b1-optical-instruments-G). La distance $\Delta =
\overline{F_1'F_2}$ entre le foyer image de l’objectif et le foyer objet de l’oculaire est l’*intervalle optique*, normalisé à $160\,\mathrm{mm}$ sur les instruments classiques.

**Proposition 4.11 (Grossissement d’un microscope).**

L’image finale étant à l’infini,

$$
\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'},
\qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .
$$

**Démonstration.** L’image intermédiaire $A_1B_1$ est dans le plan focal objet de l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope), c’est-à-dire en $\overline{F_1'A_1} = \Delta$ ; la [relation de Newton](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) donne $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$. L’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) montre alors $A_1B_1$ (de hauteur $\abs{\gamma_1} h$) à l’infini sous l’angle $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$, contre $\theta = h/d_m$ à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu. ∎

![Le microscope : l’objectif forme une image intermédiaire A_1B_1 réelle, agrandie et renversée, dans le plan focal objet de l’oculaire ; l’oculaire la renvoie à l’infini, où l’œil au repos la voit sous un grand angle.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-0c702ab42aaa.svg)

*Le [microscope](#def-b1-optical-instruments-microscope) : l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) forme une image intermédiaire $A_1B_1$ réelle, agrandie et renversée, dans le plan focal objet de l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) ; l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) la renvoie à l’infini, où l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) au repos la voit sous un grand angle.*

**Exemple 4.12 (Un microscope d’étudiant).**

[Objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$ : $\gamma_1 = -40$, $G_2 = 10$, $G = 400$. L’objet est en $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 =
-0.10\,\mathrm{mm}$ de $F_1$, soit à $4.1\,\mathrm{mm}$ de l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope). Faire la mise au point, c’est déplacer tout le tube de fractions de millimètre.

**Remarque 4.13 (La limite de résolution).**

Grossir sans limite ne servirait à rien : la lumière est une onde, et un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) qui accepte les rayons dans un demi-angle $u$ (dans un milieu d’indice $n$) ne peut séparer deux points plus proches qu’environ $\lambda/(2n\sin u)$ — le traitement ondulatoire du volume de deuxième année l’établit. Avec $n\sin u \approx 1.4$ (immersion à huile) et $\lambda =
0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, la limite est voisine de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$. Pour rendre ce détail visible à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ à $25\,\mathrm{cm}$, soit $75\,\text{µ}\mathrm{m}$), un [grossissement](#def-b1-optical-instruments-G) d’environ $400$ suffit ; au-delà de $1000$, l’image n’est que plus grande, pas plus riche : c’est le *[grossissement](#def-b1-optical-instruments-G) vide*.

## 4.4 La lunette astronomique

**Proposition 4.14 (Lunette astronomique).**

Un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_1$ et un [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ tels que $F_1' = F_2$ forment un [système afocal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet) : une étoile (à l’infini) est vue à l’infini, l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) au repos l’observe, et

$$
G = -\frac{f_1'}{f_2'} .
$$

L’image du bord de l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) à travers l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) est le *[cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope)* : un disque brillant de diamètre $D/\abs G$ situé $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ derrière l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope), là où la pupille de l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) doit se placer pour recevoir toute la lumière.

**Démonstration.** Le [grossissement](#def-b1-optical-instruments-G) $G$ a été obtenu à la [Proposition 3.18](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet). Vu de $L_2$, l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) est un objet situé en $\overline{O_2O_1} = -(f_1'
+ f_2')$ ; Descartes donne $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2')
= f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$, et le grandissement $\overline{O_2P'}/
\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ ramène le diamètre $D$ à $D/\abs G$. Tout rayon entrant dans l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) ressort par le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope), puisque chaque point de l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) y est imagé. ∎

![La lunette astronomique : le faisceau parallèle venu d’une étoile est focalisé par l’objectif dans le plan focal commun, puis renvoyé à l’infini par l’oculaire, sous un angle G fois plus grand. Toute la lumière collectée par l’objectif de diamètre D passe par le cercle oculaire, de diamètre D/ G.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-b3c91609f990.svg)

*La [lunette astronomique](#prop-b1-optical-instruments-telescope) : le faisceau parallèle venu d’une étoile est focalisé par l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) dans le plan focal commun, puis renvoyé à l’infini par l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope), sous un angle $\abs G$ fois plus grand. Toute la lumière collectée par l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) de diamètre $D$ passe par le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope), de diamètre $D/\abs G$.*

**Proposition 4.15 (Ce qu’apporte une lunette).**

Par rapport à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu (pupille $d_p$) :

- *[diamètre apparent](#def-b1-optical-instruments-angular)* : multiplié par $\abs G$ ;
- *lumière recueillie* d’une source ponctuelle : multipliée par $(D/d_p)^2$ , pourvu que le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ne soit pas plus grand que la pupille de l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) , c’est-à-dire $\abs G \geq D/d_p$ ;
- *[résolution angulaire](#def-b1-optical-instruments-angular)* : la diffraction à l’ [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) la limite à $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (critère de Rayleigh), très en dessous de l’ $\epsilon$ de l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) ; le [grossissement](#def-b1-optical-instruments-G) qui rend cette limite visible est $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , et les [grossissements](#def-b1-optical-instruments-G) plus forts ne font qu’agrandir la tache.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 4.16 (Une lunette d’amateur de 150 millimètres).**

$D = 150\,\mathrm{mm}$, $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$, [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ : $G = -48$ ; [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $3.1\,\mathrm{mm}$ ; gain de lumière $(150/7)^2 \approx
460$ face à une pupille adaptée à la nuit de $7\,\mathrm{mm}$ ; résolution $1.22 \times
550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$, donc des cratères larges de $1.7\,\mathrm{km}$ sur la Lune ; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times
10^{-6} \approx 67$ — l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) ne montre aucun détail de plus, seulement un disque plus gros et plus terne. Le problème du week-end conçoit cet instrument.

**Remarque 4.17 (Télescopes, jumelles, lunettes de Galilée).**

Un [miroir concave](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ remplace la [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) d’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) dans le *télescope* (pas de dispersion chromatique, et un miroir peut faire plusieurs mètres et être soutenu par l’arrière) : tout ce qui précède vaut avec $f_1'$ la [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) du miroir. L’image est renversée — sans conséquence pour les étoiles ; pour l’usage terrestre, les jumelles insèrent une paire de prismes à [réflexion totale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) pour la redresser, et la lunette de Galilée emploie un [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) divergent ($f_2' < 0$, $G > 0$), plus courte mais de champ étroit.

## 4.5 L’appareil photographique

**Définition 4.18 (Appareil photographique ; nombre d’ouverture).**

Un *appareil photographique* est une [lentille convergente](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f'$ qui forme une [image réelle](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sur un capteur, en $\overline{OA'} \approx f'$ pour les sujets lointains ; la mise au point déplace l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope). Un diaphragme de diamètre $D$ limite le faisceau ; le *nombre d’ouverture* est $N = f'/D$ (noté $f/N$). Le *champ angulaire* vaut $2\arctan(\ell/2f')$ pour un capteur de largeur $\ell$.

**Proposition 4.19 (Exposition et profondeur de champ).**

L’éclairement du capteur varie comme $1/N^2$, donc le temps de pose donnant une même luminosité varie comme $N^2$. Un point situé à une autre distance que celle de la mise au point forme une tache de flou ; si l’on exige qu’elle reste sous un diamètre toléré $c$, un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) mis au point sur la *[distance hyperfocale](#prop-b1-optical-instruments-dof)*

$$
H = \frac{f'^2}{N c}
$$

rend nette, de façon acceptable, toute la scène de $H/2$ à l’infini.

**Démonstration.** Éclairement $=$ puissance/aire $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (l’image d’un sujet donné a une taille fixée par $f'$, et la puissance recueillie croît comme $D^2$). Mise au point à la distance $p$, image en $q \approx f'$ ; un point à l’infini se forme en $f'$, soit $q - f'$ avant le capteur ; son cône de rayons, de base $D$ à la [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), a pour diamètre $D(q - f')/q$ sur le capteur (triangles semblables). Avec $1/q = 1/f' - 1/p$ en paraxial, $q - f' \approx f'^2/p$ pour $p \gg f'$, si bien que le flou vaut $Df'/p = f'^2/(Np)$ ; il égale $c$ pour $p = H$. La même géométrie du côté proche donne la limite $H/2$. ∎

![Profondeur de champ : l’objectif est mis au point sur un point situé à la distance p (image sur le capteur) ; un point à l’infini se forme en F', avant le capteur, et laisse une tache de flou de diamètre c = Df'/p — plus petite pour une petite ouverture (grand N), d’où le compromis entre netteté et temps de pose.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-1e3f0ec139de.svg)

*[Profondeur de champ](#def-b1-optical-instruments-camera) : l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) est mis au point sur un point situé à la distance $p$ (image sur le capteur) ; un point à l’infini se forme en $F'$, avant le capteur, et laisse une tache de flou de diamètre $c = Df'/p$ — plus petite pour une petite ouverture (grand $N$), d’où le compromis entre netteté et temps de pose.*

**Exemple 4.20 (Plein format et téléphone).**

Un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $50\,\mathrm{mm}$ sur un capteur large de $36\,\mathrm{mm}$ : champ angulaire $2\arctan(18/50) = 40^\circ$ ; à $f/8$ avec $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$ : mis au point sur $10\,\mathrm{m}$, tout ce qui est au-delà de $5\,\mathrm{m}$ est net. Un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) de téléphone, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ à $f/1.8$ sur un capteur de $6\,\mathrm{mm}$ avec $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$ : même champ angulaire ($70{}^{\circ}$ de large), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) =
2.1\,\mathrm{m}$ — presque tout est net à la fois, et c’est pourquoi les téléphones simulent le flou d’arrière-plan par le calcul.

![Boîte de verres d’essai et monture d’essai d’un opticien : une lentille convergente ou divergente de la bonne vergence, placée devant l’œil, ramène son punctum remotum à l’infini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ee6212e4f9ea.jpg)

*Boîte de verres d’essai et monture d’essai d’un opticien : une [lentille convergente](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ou divergente de la bonne [vergence](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), placée devant l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye), ramène son [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) à l’infini.*

## 4.6 Exercices

**Exercice 4.1 ★.**

La [rétine](#def-b1-optical-instruments-eye) étant $17\,\mathrm{mm}$ derrière le cristallin, calculer la [vergence](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) d’un [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) normal qui regarde à l’infini, puis à $25\,\mathrm{cm}$ ; en déduire l’[amplitude d’accommodation](#def-b1-optical-instruments-punctum). À quelles [distances focales](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) cela correspond-il ?

**Solution de Exercice 4.1.**

À l’infini : $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$. À $25\,\mathrm{cm}$ : $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$, $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$. Amplitude $4.0\,\delta$.

**Exercice 4.2 ★.**

Un [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) myope a son [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) à $40\,\mathrm{cm}$. Quelle [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) le corrige ([distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), [vergence](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens)) ? Un [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) hypermétrope ne peut accommoder sur rien de plus proche que $1.0\,\mathrm{m}$ : quelle [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) lui permet de lire à $25\,\mathrm{cm}$ ?

**Solution de Exercice 4.2.**

Myope : l’infini doit être imagé sur le [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum), $f' = -40\,\mathrm{cm}$, $V = -2.5\,\delta$. Hypermétrope : un objet à $25\,\mathrm{cm}$ doit être imagé (virtuellement) à $1.0\,\mathrm{m}$ : $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA}
= -1 + 4 = +3.0\,\delta$.

**Exercice 4.3 ★.**

Une [loupe](#def-b1-optical-instruments-G) a $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$. Donner son [grossissement](#def-b1-optical-instruments-G), la position où tenir le timbre, et le [diamètre apparent](#def-b1-optical-instruments-angular) d’un détail de $2\,\mathrm{mm}$ à travers elle, comparé à celui vu à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu à $25\,\mathrm{cm}$.

**Solution de Exercice 4.3.**

$G = 25/4.0 = 6.3$ ; timbre dans le plan focal, à $4.0\,\mathrm{cm}$ de la [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Détail de $2\,\mathrm{mm}$ : $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$, contre $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ à $25\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 4.4 ★.**

Une lunette a $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$. Calculer $G$ avec un [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ puis de $9\,\mathrm{mm}$, la longueur du tube dans chaque cas, et le [diamètre apparent](#def-b1-optical-instruments-angular) de la Lune ($0.52^\circ$).

**Solution de Exercice 4.4.**

$G = 900/25 = 36$ et $900/9 = 100$ ; longueurs de tube $f_1' + f_2' =
925\,\mathrm{mm}$ et $909\,\mathrm{mm}$ ; Lune : $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ et $52^\circ$.

**Exercice 4.5 ★★.**

[Microscope](#def-b1-optical-instruments-microscope) : $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$. Calculer $\gamma_1$, $G_2$, $G$, et la distance objet–objectif. De combien faut-il déplacer le tube pour mettre au point $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ plus profond dans l’objet ?

**Solution de Exercice 4.5.**

$\gamma_1 = -160/4 = -40$ ; $G_2 = 250/20 = 12.5$ ; $G = 500$. $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$ : objet à $4.1\,\mathrm{mm}$ de l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope). L’objet doit rester à cette distance de l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope), donc tout le tube se déplace de $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — c’est la vis micrométrique.

**Exercice 4.6 ★★.**

Deux phares sont distants de $1.5\,\mathrm{m}$. À partir de quelle distance l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$) cesse-t-il de les distinguer ? Pour une lunette de $D = 100\,\mathrm{mm}$ : calculer sa limite de diffraction ($\lambda =
550\,\mathrm{nm}$), la distance à laquelle elle sépare les phares, et le [grossissement](#def-b1-optical-instruments-G) $G_r$ au-delà duquel elle ne montre rien de nouveau.

**Solution de Exercice 4.6.**

[Œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu : $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$. Lunette : $\theta_{\min}
= 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ ; les phares restent séparés jusqu’à $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (en principe — l’air et la courbure interviennent bien avant). $G_r = 3\times10^{-4}/
6.7\times10^{-6} = 45$.

**Exercice 4.7 ★★.**

Un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $50\,\mathrm{mm}$ à $f/2$ : quel est le diamètre de l’ouverture ? Une scène est correctement exposée à $f/2$ en $1/500$ $\mathrm{s}$ ; quel temps de pose à $f/8$ ? Qu’apporte la plus petite ouverture ?

**Solution de Exercice 4.7.**

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$. Exposition $\propto N^2$ : $(8/2)^2 = 16$ fois plus longue, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$. On y gagne de la [profondeur de champ](#def-b1-optical-instruments-camera) (et moins d’aberrations), au prix d’un flou de bougé ou d’un trépied.

**Exercice 4.8 ★★.**

Calculer la [distance hyperfocale](#prop-b1-optical-instruments-dof) d’un [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $35\,\mathrm{mm}$ à $f/11$ avec $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, et l’intervalle des distances nettes lorsqu’il est mis au point sur $H$. Les photographes de rue préréglent ainsi : pourquoi ?

**Solution de Exercice 4.8.**

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$ ; net de $H/2 =
1.9\,\mathrm{m}$ à l’infini. Préréglé sur $H$, l’appareil n’a plus de mise au point à faire : la photo se prend à l’instant où la scène a lieu.

**Exercice 4.9 ★★.**

Des jumelles « $8\times30$ » ont $G = 8$ et $D = 30\,\mathrm{mm}$. Calculer le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ; toute la lumière est-elle utilisée par une pupille nocturne de $7\,\mathrm{mm}$ ? Et pour des « $7\times50$ » ? Quelle paire vaut mieux au crépuscule, et pourquoi des « $20\times30$ » sont-elles un mauvais choix ?

**Solution de Exercice 4.9.**

$8\times30$ : [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$, toute la lumière entre dans l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye). $7\times50$ : $7.1\,\mathrm{mm}$, à la mesure de la pupille nocturne, et $(50/30)^2 = 2.8$ fois plus de lumière recueillie : la paire du crépuscule. $20\times30$ : [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $1.5\,\mathrm{mm}$, image terne, champ étroit et tremblement de la main grossi vingt fois.

**Exercice 4.10 ★★★.**

Le [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) d’un myope est à $25\,\mathrm{cm}$ de l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye). Calculer la [vergence](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de la [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de contact qui le corrige, puis celle de verres de lunettes portés $15\,\mathrm{mm}$ devant l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye). Quelle correction est la plus forte, et pourquoi les deux diffèrent-elles ?

**Solution de Exercice 4.10.**

[Lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de contact : $f' = -25\,\mathrm{cm}$, $V = -4.0\,\delta$. Lunettes : le [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) est à $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ du verre, donc $f' =
-23.5\,\mathrm{cm}$, $V = -4.3\,\delta$ — plus forte. Le verre doit former l’image sur le [punctum remotum](#def-b1-optical-instruments-punctum) de l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye), dont la distance au verre dépend de l’endroit où le verre est placé.

**Exercice 4.11 ★★★.**

Lunette de Galilée : $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$, $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$. Trouver l’écart des [lentilles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) pour un [système afocal](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet), $G$, et l’orientation de l’image. Situer le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) et expliquer pourquoi le champ est étroit.

**Solution de Exercice 4.11.**

Afocal : $F_1' = F_2$, écart $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (plus court que les $40\,\mathrm{cm}$ d’une lunette de Kepler de même $G$). $G = -30/(-10) =
+3$ : image droite. [Cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' =
-10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$ : virtuel, à l’intérieur du tube, là où l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) ne peut se placer ; derrière l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope), l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) ne capte que les faisceaux qui l’atteignent par hasard — d’où le champ étroit, reproche classique fait aux jumelles de théâtre.

**Exercice 4.12 ★★★.**

Une lunette de $200\,\mathrm{mm}$ et une pupille de $7\,\mathrm{mm}$. De quel facteur la lumière reçue d’une étoile est-elle augmentée ? Les astronomes classent les éclats en magnitudes, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$ ; l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) atteint la magnitude $6$ : quelle magnitude limite la lunette donne-t-elle ? Combien de fois plus loin une même lampe peut-elle être vue ?

**Solution de Exercice 4.12.**

$(200/7)^2 = 820$ ; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$ : magnitude limite $13.3$. Le flux étant $\propto 1/r^2$, la lampe est vue $\sqrt{820} = 29$ fois plus loin.

![La face visible de la Lune (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA) : la cible de la lunette du problème du week-end, 3476\, km de diamètre à 384\,000\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ce53ac82ea4e.jpg)

*La face visible de la Lune (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA) : la cible de la lunette du problème du week-end, $3476\,\mathrm{km}$ de diamètre à $384\,000\,\mathrm{km}$.*

## 4.7 Problème : concevoir une lunette pour la Lune

**Problème 4.1.**

Problème du week-end — une lunette de 150 millimètres sur une pelouse : choisir les oculaires, placer l’œil, compter la lumière, et découvrir le plus petit cratère qu’elle sait montrer

L’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) est une [lentille convergente](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ de [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ et de diamètre $D = 150\,\mathrm{mm}$ ; on dispose d’[oculaires](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ de [distances focales](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $25\,\mathrm{mm}$ et $6\,\mathrm{mm}$. La Lune est à $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ et vue sous $0.52^\circ$ ; la pupille nocturne de l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) vaut $7\,\mathrm{mm}$, sa résolution $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$.

**Partie I — Le montage afocal.**

1. Où faut-il placer l’ [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) pour qu’une étoile soit vue sans [accommodation](#def-b1-optical-instruments-eye) ? Donner la distance objectif–oculaire pour chaque [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
2. Vérifier, en appliquant la [relation de Descartes](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) à chaque [lentille](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) tour à tour, qu’un point à l’infini sur l’axe est imagé à l’infini.
3. Montrer qu’un faisceau venu d’une étoile située à l’angle $\alpha$ de l’axe émerge en faisceau parallèle sous l’angle $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
4. Calculer $G$ pour chaque [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) et le [diamètre apparent](#def-b1-optical-instruments-angular) de la Lune à travers chacun.
5. L’image est renversée. Pourquoi est-ce acceptable ici, et qu’ajouterait une lunette terrestre ?
6. Où se trouve l’image intermédiaire réelle de la Lune, et quel est son diamètre ? (On peut l’y photographier.)

**Partie II — Où placer l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye).**

7. Montrer que l’ [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) forme du bord de l’ [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) une [image réelle](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) en $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ derrière lui, de diamètre $D/\abs G$ (le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ).
8. Calculer la position et le diamètre du [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) pour chaque [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
9. Pourquoi la pupille de l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) doit-elle être placée sur le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ? Qu’advient-il du champ si on la place plus loin ?
10. Pour que la lumière d’une étoile soit intégralement utilisée, le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ne doit pas dépasser la pupille de l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) : en déduire le [grossissement](#def-b1-optical-instruments-G) utile minimal de cette lunette la nuit.

**Partie III — La résolution.**

11. Calculer la limite de diffraction $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ en radians et en secondes d’arc.
12. À quel plus petit cratère cet angle correspond-il sur la Lune ? Et pour l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu ?
13. Définir et calculer le [grossissement](#def-b1-optical-instruments-G) résolvant $G_r =  \epsilon/\theta_{\min}$ . Quel [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) en est le plus proche ?
14. Avec l’ [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$ , l’image paraît plus floue et plus terne qu’avec celui de $25\,\mathrm{mm}$ . Expliquer les deux effets.
15. La turbulence atmosphérique étale les images d’étoiles sur environ $1''$ . Pour quels diamètres d’ [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) la limite de Rayleigh cesse-t-elle de compter depuis le sol, et qu’apporte encore un $D$ plus grand ?

**Partie IV — La lumière.**

16. De quel facteur l’ [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) recueille-t-il plus de lumière que la pupille nocturne ?
17. Convertir en magnitudes ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ du rapport) ; si l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) atteint la magnitude $6$ , quelle magnitude la lunette atteint-elle ?
18. La pleine Lune délivre au sol un éclairement d’environ $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Quelle puissance entre dans l’ [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) , et comment se répartit-elle sur la [rétine](#def-b1-optical-instruments-eye) par rapport à l’observation à l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu (même raisonnement de puissance par unité d’angle solide : comparer la luminance à travers les deux [oculaires](#def-b1-optical-instruments-microscope) ) ?
19. Pourquoi une lunette ne rend-elle pas la surface de la Lune plus lumineuse par unité d’aire que l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu, alors qu’elle rend bien les étoiles plus brillantes ?

**Partie V — Le champ de vision.** L’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) porte, dans son plan focal, un diaphragme de champ circulaire de diamètre $20\,\mathrm{mm}$ ([oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$) ou $5\,\mathrm{mm}$ ([oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$).

20. Montrer que le champ réel vaut $2\arctan(\phi/2f_1')  \approx \phi/f_1'$ pour un diaphragme de diamètre $\phi$ .
21. Le calculer pour les deux [oculaires](#def-b1-optical-instruments-microscope) et dire si la Lune entière tient dans le champ.
22. Calculer le champ apparent (l’angle sous lequel l’ [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) voit le diaphragme à travers l’ [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) ) pour les deux.
23. La Terre tourne de $15''$ par seconde de temps : combien de temps la Lune met-elle à traverser le champ de chaque [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) sans suivi ?
24. Récapituler la conception : quel [oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) pour la Lune entière, lequel pour les cratères, et la taille du plus petit cratère que l’instrument sait révéler — son unique nombre.
25. Le même [objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) est remplacé par un [miroir concave](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de $150\,\mathrm{mm}$ et de même [distance focale](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/3-miroirs-et-lentilles-minces#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) . Lesquels des résultats précédents changent ?

**Solution de Problème 4.1.**

**1.** $F_2 = F_1'$ : écart $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ ([oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$) ou $1206\,\mathrm{mm}$ ($6\,\mathrm{mm}$).

**2.** $L_1$ : $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (image en $F_1'$). $L_2$ : $\overline{O_2A_1} = -f_2'$, donc $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2')
= 0$ : image à l’infini.

**3.** Le faisceau converge dans le plan focal commun à la hauteur $h =
f_1'\alpha$ (rayon passant par $O_1$) ; de là, le rayon passant par $O_2$ fixe la direction d’émergence, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$.

**4.** $G = -48$ et $-200$ ; Lune : $25^\circ$ et $104^\circ$.

**5.** Le haut et le bas n’ont pas de sens dans le ciel ; une lunette terrestre ajoute une paire de prismes redresseurs (ou un relais).

**6.** Dans le plan focal de $L_1$, de diamètre $f_1'\theta = 1200 \times
9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$.

**7.** $O_1$ vu comme objet en $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$ : $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$ ; grandissement $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$, diamètre $D/\abs G$.

**8.** $25\,\mathrm{mm}$ : $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 =
25.5\,\mathrm{mm}$, diamètre $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$. $6\,\mathrm{mm}$ : $6.0\,\mathrm{mm}$ derrière, diamètre $0.75\,\mathrm{mm}$.

**9.** Tout rayon entré dans l’[objectif](#def-b1-optical-instruments-microscope) passe par le [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) : un [œil](#def-b1-optical-instruments-eye) placé là reçoit tout le champ. Plus en arrière, il n’intercepte que les faisceaux centraux : le champ se réduit à un trou de serrure.

**10.** $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$ : $\abs G \geq 150/7 \approx 21$.

**11.** $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 =
4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$.

**12.** $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$ ; à l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu, $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$.

**13.** $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$ ; l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ ($48$) en est le plus proche, un peu en dessous ; celui de $6\,\mathrm{mm}$ ($200$) est trois fois au-dessus.

**14.** À $G = 200$, la tache de diffraction est vue sous $200 \times 4.5
\times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$ : visiblement floue. La lumière de la Lune s’étale sur une aire $(200/48)^2 = 17$ fois plus grande sur la [rétine](#def-b1-optical-instruments-eye) : image plus terne.

**15.** $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$ : $D = 1.22\lambda/\theta =
140\,\mathrm{mm}$. Au-delà, c’est la turbulence qui limite la résolution depuis le sol (sauf optique adaptative) ; un $D$ plus grand recueille encore plus de lumière et atteint des objets plus faibles.

**16.** $(150/7)^2 = 460$.

**17.** $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$ : magnitude $12.7$.

**18.** $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$, soit $460$ fois ce que reçoit l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu. L’image rétinienne est $\abs G^2$ fois plus grande en aire : rapport des luminances $460/G^2 = 0.20$ ($G = 48$), $0.012$ ($G = 200$) — soit $(D/\abs G)^2/d_p^2$, le carré du rapport du [cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) à la pupille.

**19.** Pour un objet étendu, la lumière recueillie croît comme $D^2$ mais l’aire de l’image comme $G^2 \geq (D/d_p)^2$ : la luminance ne peut au mieux qu’égaler celle de l’[œil](#def-b1-optical-instruments-eye) nu ([cercle oculaire](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $=$ pupille). Une étoile n’est pas résolue : toute sa lumière tombe dans une seule tache de diffraction, donc son éclat croît comme $(D/d_p)^2$.

**20.** Un point vu sous l’angle $\beta$ s’image à la hauteur $f_1'\beta$ dans le plan focal ; le diaphragme laisse passer $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$ : champ total $\phi/f_1'$ (petits angles).

**21.** $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$ : la Lune entière tient. $5/1200 = 0.24^\circ$ : elle ne tient pas.

**22.** Champ apparent $\phi/f_2'$ : $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$ ; $5/6 = 48^\circ$.

**23.** $0.95^\circ = 3420''$ : $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$, près de quatre minutes ; $0.24^\circ = 864''$ : $58\,\mathrm{s}$.

**24.** L’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ ($G = 48$, proche de $G_r$, lumineux, Lune entière) pour le disque ; celui de $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) pour regarder les cratères de plus près, plus terne et plus flou. Le nombre de l’instrument : des cratères jusqu’à $1.7\,\mathrm{km}$.

**25.** Mêmes $f_1'$ et $D$ : mêmes $G$, champs, [cercles oculaires](#prop-b1-optical-instruments-telescope), résolution et lumière (à l’obstruction centrale près). Gain : plus d’aberration chromatique. Changement pratique : le foyer se trouve devant le miroir, si bien qu’un petit miroir secondaire doit renvoyer le faisceau vers l’[oculaire](#def-b1-optical-instruments-microscope).