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title: "Propagation d’un signal : ondes progressives et stationnaires"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 5
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires
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# Chapitre 5 — Propagation d’un signal : ondes progressives et stationnaires

Pincez une corde de guitare et toute une salle entend une note ; posez un doigt en son milieu et la note saute d’une octave. Placez-vous entre deux haut-parleurs qui jouent le même son et, en marchant lentement, vous traversez tous les quelques décimètres des zones de quasi-silence. La lumière de deux trous d’aiguille peint des raies sur un écran. Rien n’est transporté d’un endroit à un autre dans aucun de ces phénomènes — ni air, ni corde, ni verre ne voyage — et pourtant quelque chose se propage : un *[signal](#def-b1-wave-propagation-signal)*. Ce chapitre décrit comment un [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) se déplace, ce qu’est une onde sinusoïdale et ce qui arrive lorsque deux ondes se rencontrent : la superposition, les interférences et les [ondes stationnaires](#thm-b1-wave-propagation-standing), que tous les chapitres d’ondes à venir — acoustique, optique, physique quantique — réutiliseront.

![Six cordes, six fréquences fondamentales : chacune est une onde stationnaire fixée au sillet et au chevalet, que les doigts raccourcissent pour monter la hauteur du son.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/img-2b9e076c4256.jpg)

*Six cordes, six [fréquences fondamentales](#prop-b1-wave-propagation-modes) : chacune est une [onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing) fixée au sillet et au chevalet, que les doigts raccourcissent pour monter la hauteur du son.*

## 5.1 Les signaux

**Définition 5.1 (Signal ; signal sinusoïdal).**

Un *signal* est une [grandeur physique](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-unit) qui varie dans le temps et porte de l’information : la surpression acoustique sur un microphone, la tension aux bornes d’une antenne, le déplacement transversal d’un point d’une corde. Le *signal sinusoïdal*

$$
s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)
$$

a pour *amplitude* $A > 0$, *pulsation* $\omega$ ($\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), *fréquence* $f = \omega/2\pi$, *période* $T = 1/f$ et *phase à l’origine* $\varphi$ ; $\omega t + \varphi$ est sa *phase* à l’instant $t$.

**Remarque 5.2 (Spectre).**

Tout [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) périodique de période $T$ est une somme de sinusoïdes de fréquences $f_1 = 1/T$ (le *fondamental*) et de ses multiples $nf_1$ (les *harmoniques*) ; la liste de leurs [amplitudes](#def-b1-wave-propagation-signal) est le *spectre* du [signal](#def-b1-wave-propagation-signal). Une flûte et un violon qui jouent la même note partagent le fondamental et diffèrent par le spectre — c’est le timbre. La décomposition (celle de Fourier) est énoncée et utilisée au [Chapitre 9](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/9-filtres-et-fonctions-de-transfert#ch-b1-filters-transfer-functions) ; elle importe ici parce que les sinusoïdes se propagent simplement, et que ce qui vaut pour chaque sinusoïde vaut, par addition, pour tout [signal](#def-b1-wave-propagation-signal).

**Proposition 5.3 (Battements).**

La somme de deux sinusoïdes de même [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) et de fréquences voisines $f_1 > f_2$,

$$
A\cos(2\pi f_1 t) + A\cos(2\pi f_2 t)
= 2A\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 - f_2}{2}\,t\big)\cos\!\big(2\pi\tfrac{f_1 + f_2}{2}\,t\big),
$$

est une sinusoïde à la fréquence moyenne, dont l’[amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) $\abs{2A\cos(\pi(f_1 - f_2)t)}$ enfle et s’éteint à la *fréquence de battement* $f_1 - f_2$.

**Démonstration.** $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$. Le facteur lent s’annule deux fois par période $2/(f_1 - f_2)$ qui lui est propre, donc l’enveloppe $\abs{\cdot}$ a pour fréquence $f_1 - f_2$. ∎

![Battements entre 22\, Hz et 20\, Hz : une oscillation à 21\, Hz dont l’enveloppe (en pointillés) bat deux fois par seconde — la différence des fréquences.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-a90fcb3aab57.svg)

*Battements entre $22\,\mathrm{Hz}$ et $20\,\mathrm{Hz}$ : une oscillation à $21\,\mathrm{Hz}$ dont l’enveloppe (en pointillés) bat deux fois par seconde — la différence des fréquences.*

**Exemple 5.4 (Accorder à l’oreille).**

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ et une corde à $443\,\mathrm{Hz}$ sonnés ensemble palpitent trois fois par seconde ; tendre la corde ralentit la palpitation, et lorsqu’elle cesse la corde est accordée. L’oreille entend la fréquence moyenne ($441.5\,\mathrm{Hz}$) comme hauteur et l’enveloppe à $3\,\mathrm{Hz}$ comme une intensité qui vacille : les battements rendent audible un écart de fréquence de moins d’un pour cent.

## 5.2 Ondes progressives

**Définition 5.5 (Onde progressive, célérité).**

Un [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) $s(x, t)$ défini le long d’un axe est une *onde progressive* se déplaçant dans le sens $+x$ à la *célérité* $c$ si

$$
s(x, t) = f\!\left(t - \frac{x}{c}\right) = F(x - ct)
$$

pour une certaine fonction $f$ (ou $F$) : la forme est emportée sans déformation, décalée de $c\,\Delta t$ pendant la durée $\Delta t$. Une onde qui se déplace vers $-x$ s’écrit $g(t + x/c)$. Un milieu où toute forme se propage sans déformation à la même $c$ est *non dispersif*.

**Proposition 5.6 (Retard).**

Le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) reçu en $x_2$ est le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) émis en $x_1 < x_2$, retardé de $\tau = (x_2 - x_1)/c$ : $s(x_2, t) = s(x_1, t - \tau)$.

**Démonstration.** $s(x_2, t) = f(t - x_2/c) = f\big((t - \tau) - x_1/c\big) = s(x_1, t - \tau)$. ∎

**Exemple 5.7 (Quelques célérités).**

Le son dans l’air, $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : un tonnerre $3\,\mathrm{s}$ après l’éclair place l’impact à $1\,\mathrm{km}$. Le son dans l’eau, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dans l’acier, $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Les ondes transversales sur une corde de tension $F$ et de masse linéique $\mu$ : $c = \sqrt{F/\mu}$, comme l’annonçait l’analyse dimensionnelle ([Exercice 1.5](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#exo-b1-units-dimensions-5)) — $140\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour une corde de guitare. La lumière dans le vide, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; dans le verre, $c/n$. La [célérité](#def-b1-wave-propagation-travelling) est une propriété du milieu, non de la source : un murmure et un cri arrivent ensemble.

**Proposition 5.8 (Onde progressive sinusoïdale).**

Une source sinusoïdale $s(0, t) = A\cos(\omega t)$ lance

$$
s(x, t) = A\cos\!\big(\omega(t - x/c)\big) = A\cos(\omega t - kx),
\qquad k = \frac{\omega}{c} = \frac{2\pi}{\lambda},
\qquad \lambda = cT = \frac{c}{f}.
$$

L’onde est périodique dans le temps (de période $T$) et dans l’espace (de période la *[longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)* $\lambda$) ; $k$ est le *[nombre d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)* ; deux points distants de $d$ oscillent avec le déphasage $\Delta\varphi = 2\pi d/\lambda = kd$ — en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) si $d = n\lambda$, en opposition de [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) si $d = (n + \tfrac12)\lambda$. La vitesse à laquelle se déplace une crête, $v_\varphi = \omega/k$, est la *[vitesse de phase](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)* ; ici $v_\varphi = c$.

**Démonstration.** Il suffit de substituer $f(u) = A\cos(\omega u)$ dans $f(t - x/c)$. À $x$ fixé, le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) se reproduit après $T = 2\pi/\omega$ ; à $t$ fixé, il se reproduit après $\lambda$ avec $k\lambda = 2\pi$. Pour deux points $x_1$ et $x_2 = x_1 + d$, les [phases](#def-b1-wave-propagation-signal) diffèrent de $kd$. Une crête ($\omega t - kx = \text{const}$) se déplace à $\dd x/\dd t = \omega/k$. ∎

![La double périodicité d’une onde progressive sinusoïdale : un instantané à temps fixé se reproduit toutes les longueurs d’onde et glisse à la vitesse c ; le signal en un point fixé se reproduit à chaque période T, avec = cT.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-db278ed3c689.svg)

![La double périodicité d’une onde progressive sinusoïdale : un instantané à temps fixé se reproduit toutes les longueurs d’onde et glisse à la vitesse c ; le signal en un point fixé se reproduit à chaque période T, avec = cT.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-39d2128e836b.svg)

*La [double périodicité](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) d’une [onde progressive](#def-b1-wave-propagation-travelling) sinusoïdale : un instantané à temps fixé se reproduit toutes les [longueurs d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $\lambda$ et glisse à la vitesse $c$ ; le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) en un point fixé se reproduit à chaque période $T$, avec $\lambda = cT$.*

**Définition 5.9 (Dispersion).**

Un milieu est *dispersif* lorsque la [vitesse de phase](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) dépend de la fréquence. Un [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) non sinusoïdal, somme de sinusoïdes, se déforme alors en voyageant, ses composantes se séparant peu à peu. Le son dans l’air et la lumière dans le vide sont non dispersifs ; la lumière dans le verre ([Chapitre 2](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/2-optique-geometrique-rayons-reflexion-refraction#ch-b1-rays-reflection-refraction)) et les vagues en eau profonde sont dispersives — la longue houle d’une tempête lointaine arrive un jour avant le clapot court.

## 5.3 Superposition et interférences

**Théorème 5.10 (Superposition).**

Dans un milieu linéaire, lorsque plusieurs ondes se propagent ensemble, le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) résultant en chaque point et à chaque instant est la somme des signaux que chaque onde produirait seule.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 5.11 (Linéarité).**

La superposition est un énoncé sur les équations du milieu (linéaires en le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal)), vrai tant que les [amplitudes](#def-b1-wave-propagation-signal) restent faibles : un son sous le seuil de la douleur, une lumière sous les intensités de découpe laser, une corde pincée doucement. Deux faisceaux lumineux se croisent sans se perturber ; deux rides se traversent et ressortent intactes. Ce que l’on observe *là où elles se recouvrent* est l’objet des interférences.

**Théorème 5.12 (Deux signaux sinusoïdaux de même fréquence).**

En un point où arrivent deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, $s_1 = A_1\cos(\omega t + \varphi_1)$ et $s_2 = A_2\cos(\omega t + \varphi_2)$, la somme est une sinusoïde de même fréquence dont l’[amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) vérifie

$$
A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\varphi,
\qquad \Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 .
$$

Pour des ondes dont l’intensité (puissance par unité d’aire) est proportionnelle à $A^2$, les intensités obéissent à la *formule de Fresnel*

$$
I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,\cos\Delta\varphi .
$$

Les interférences sont *constructives* ($A = A_1 + A_2$) lorsque $\Delta\varphi = 2n\pi$, *destructives* ($A = \abs{A_1 - A_2}$) lorsque $\Delta\varphi = (2n + 1)\pi$, $n \in \Z$.

**Démonstration.** Développons : $s_1 + s_2 = (A_1\cos\varphi_1 + A_2\cos\varphi_2)\cos\omega t -
(A_1\sin\varphi_1 + A_2\sin\varphi_2)\sin\omega t = X\cos\omega t -
Y\sin\omega t = A\cos(\omega t + \varphi)$ avec $A^2 = X^2 + Y^2 =
A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2(\cos\varphi_1\cos\varphi_2 + \sin\varphi_1\sin\varphi_2)$. Géométriquement : $A$ est la longueur de la somme de deux vecteurs de longueurs $A_1$ et $A_2$ faisant l’angle $\Delta\varphi$ (loi des cosinus). ∎

**Proposition 5.13 (Deux sources en phase ; différence de marche).**

Deux sources qui émettent en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) à la [longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $\lambda$, aux distances $d_1$ et $d_2$ d’un point $M$, arrivent en $M$ avec $\Delta\varphi = 2\pi\,\delta/\lambda$, où $\delta = d_2 - d_1$ est la *[différence de marche](#prop-b1-wave-propagation-pathdiff)*. Les interférences en $M$ sont constructives si $\delta = n\lambda$, destructives si $\delta = (n + \tfrac12)\lambda$.

**Démonstration.** Chaque onde arrive avec le retard de [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) $kd_i = 2\pi d_i/\lambda$ de son trajet ([Proposition 5.8](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)) ; la différence vaut $2\pi(d_2 - d_1)/\lambda$. On applique alors le [Théorème 5.12](#thm-b1-wave-propagation-fresnel). ∎

**Exemple 5.14 (Deux haut-parleurs).**

Deux haut-parleurs distants de $2.0\,\mathrm{m}$ émettent en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) le même son à $850\,\mathrm{Hz}$ ($\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$). Sur la médiatrice, $\delta = 0$ : fort partout. Le long du segment qui les joint, $\delta$ varie de $2\lambda$ par [longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de déplacement, si bien que les zones calmes ($\delta = \pm\lambda/2, \pm 3\lambda/2, \dots$) se suivent tous les $\lambda/2 = 20\,\mathrm{cm}$ — une [onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing), objet de la section suivante. Inversez les fils d’un haut-parleur pour qu’il émette en opposition de [phase](#def-b1-wave-propagation-signal), et le fort et le calme échangent leurs places.

**Exemple 5.15 (Trous d’Young).**

Deux trous d’aiguille $S_1$ et $S_2$, distants de $a$, éclairés par une même source monochromatique (de sorte qu’ils émettent en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal)), envoient la lumière sur un écran situé à la distance $D \gg a$. En un point de l’écran à la hauteur $x$ de l’axe, la [différence de marche](#prop-b1-wave-propagation-pathdiff) vaut

$$
\delta = S_2M - S_1M \approx \frac{a\,x}{D}
$$

(pour $x \ll D$ : $S_{1,2}M = \sqrt{D^2 + (x \mp a/2)^2} \approx D +
(x \mp a/2)^2/2D$, puis on soustrait). Les franges brillantes sont en $x = n\lambda D/a$ : l’*interfrange* vaut

$$
i = \frac{\lambda D}{a} .
$$

Avec $a = 0.50\,\mathrm{mm}$, $D = 2.0\,\mathrm{m}$, $\lambda = 633\,\mathrm{nm}$ : $i = 2.5\,\mathrm{mm}$ — une règle mesure la [longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de la lumière. Dans un milieu d’indice $n$, la différence à utiliser est celle des *[chemins optiques](#ex-b1-wave-propagation-young)* $n \times$ longueur, puisque $\lambda = \lambda_0/n$.

![Trous d’Young : deux sources en phase, distantes de a, atteignent le point M d’un écran lointain par des trajets qui diffèrent de ax/D. L’intensité sur l’écran, 4I_0 2(π x/i), alterne franges brillantes et sombres espacées de i = D/a.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-c0ec21609838.svg)

*[Trous d’Young](#ex-b1-wave-propagation-young) : deux sources en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal), distantes de $a$, atteignent le point $M$ d’un écran lointain par des trajets qui diffèrent de $\delta \approx ax/D$. L’intensité sur l’écran, $4I_0\cos^2(\pi x/i)$, alterne franges brillantes et sombres espacées de $i = \lambda D/a$.*

**Remarque 5.16 (Cohérence).**

La formule de Fresnel suppose un déphasage fixe. Deux lampes distinctes ont des [phases](#def-b1-wave-propagation-signal) qui sautent au hasard des milliards de fois par seconde ; la moyenne de $\cos\Delta\varphi$ est nulle et les intensités s’additionnent simplement : pas de franges. Les interférences exigent des sources *cohérentes* — en pratique, deux ondes issues d’une seule source, par deux trous, deux fentes, les deux faces d’une lame mince, ou une lame séparatrice. Deux haut-parleurs alimentés par un même générateur sont cohérents ; deux chanteurs ne le sont pas.

## 5.4 Ondes stationnaires

**Théorème 5.17 (Onde stationnaire).**

Deux ondes sinusoïdales de même [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) et de même fréquence se propageant en sens contraires s’additionnent en

$$
A\cos(\omega t - kx) + A\cos(\omega t + kx) = 2A\cos(kx)\cos(\omega t),
$$

une *[onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing)* : chaque point oscille en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) (ou en opposition de [phase](#def-b1-wave-propagation-signal)) avec une [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) $2A\abs{\cos kx}$ qui dépend de la position — nulle aux *nœuds* $x = (n + \tfrac12)\lambda/2$, maximale aux *ventres* $x = n\lambda/2$ ; deux nœuds sont distants de $\lambda/2$. Rien ne se propage : les variables $x$ et $t$ sont séparées.

**Démonstration.** $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a - b}{2}\cos\frac{a + b}{2}$ avec $a = \omega t - kx$ et $b = \omega t + kx$. ∎

**Proposition 5.18 (Modes d’une corde fixée à ses deux extrémités).**

Une corde de longueur $L$ et de [célérité](#def-b1-wave-propagation-travelling) $c$, fixée en $x = 0$ et $x = L$, ne peut entretenir une [onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing) sinusoïdale que si $L$ contient un nombre entier de demi-longueurs d’onde :

$$
\lambda_n = \frac{2L}{n}, \qquad f_n = n\,\frac{c}{2L} = n f_1,
\qquad n = 1, 2, 3, \dots
$$

Ce sont ses *[modes propres](#prop-b1-wave-propagation-modes)* ; $f_1 = c/2L$ est le *fondamental* et les $f_n$ ses harmoniques. Excitée à une extrémité à une fréquence proche de $f_n$, la corde entre en résonance sur la forme du mode $n$ ([expérience de Melde](#prop-b1-wave-propagation-modes)) ; pincée, elle vibre sur une superposition de modes, et l’oreille entend $f_1$ comme hauteur.

**Démonstration.** Une extrémité fixe est un nœud. L’onde réfléchie en $x = L$ repart en arrière et se superpose à l’onde incidente en une [onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing) ; pour que son nœud tombe aussi en $x = 0$, il faut remplacer $\cos kx$ par $\sin kx$ (décalage de l’origine) et imposer $\sin kL = 0$ : $kL = n\pi$, $\lambda_n = 2L/n$ et $f_n = c/\lambda_n$. ∎

![Les trois premiers modes d’une corde fixée à ses deux extrémités : n demi-longueurs d’onde tiennent dans L ; la corde oscille entre les deux formes extrêmes (sombre et claire), les nœuds restant immobiles. Fréquences f_n = nf_1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-wave-propagation/fig-dcd63a535124.svg)

*Les trois premiers modes d’une corde fixée à ses deux extrémités : $n$ demi-longueurs d’onde tiennent dans $L$ ; la corde oscille entre les deux formes extrêmes (sombre et claire), les nœuds restant immobiles. Fréquences $f_n = nf_1$.*

**Exemple 5.19 (Une corde de guitare).**

$L = 65\,\mathrm{cm}$, accordée sur $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ : $c = 2Lf_1 =
143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; avec $\mu = 5.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ la tension vaut $F = \mu c^2
= 102\,\mathrm{N}$ — dix kilogrammes suspendus à chaque corde. Un doigt appuyé sur la douzième case divise $L$ par deux et double $f_1$ : c’est l’octave. Un doigt qui se contente d’*effleurer* le milieu y impose un nœud et tue tous les modes impairs : la corde sonne à $2f_1$, l’« harmonique » des guitaristes.

**Remarque 5.20 (Tuyaux, et un aperçu).**

La colonne d’air d’une flûte, ouverte aux deux bouts, a des nœuds de pression aux deux extrémités et les mêmes modes $f_n = nc/2L$ ; un tuyau fermé à une extrémité y a un nœud et un ventre à l’extrémité ouverte, d’où $L = (2n + 1)\lambda/4$ et seules les harmoniques impaires $f = (2n + 1)c/4L$ sonnent — le timbre creux de la clarinette. Confiner une onde entre deux parois *quantifie* donc ses fréquences ; lorsque l’onde est l’onde de matière d’un électron dans un atome, le même décompte de demi-longueurs d’onde quantifie son énergie ([Chapitre 30](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/30-introduction-a-la-physique-quantique#ch-b1-quantum-introduction)).

## 5.5 Exercices

**Exercice 5.1 ★.**

Le tonnerre arrive $6.0\,\mathrm{s}$ après l’éclair : à quelle distance est l’impact ? Un écho de sonar revient après $0.40\,\mathrm{s}$ dans l’eau ($c = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) : quelle est la profondeur du fond ?

**Solution de Exercice 5.1.**

$d = 340 \times 6.0 = 2.0\,\mathrm{km}$. Aller-retour : profondeur $= 1500 \times
0.40/2 = 300\,\mathrm{m}$.

**Exercice 5.2 ★.**

Une onde sonore de $440\,\mathrm{Hz}$ se propage dans l’air ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Calculer sa [longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal), le déphasage entre deux microphones distants de $20\,\mathrm{cm}$ le long de la direction de propagation, et les distances auxquelles deux points oscillent en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal).

**Solution de Exercice 5.2.**

$\lambda = 340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ ; $\Delta\varphi = 2\pi \times
0.20/0.773 = 1.6\,\mathrm{rad}$ ($93^\circ$) ; en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) pour des écarts $n\lambda = n \times 0.77\,\mathrm{m}$.

**Exercice 5.3 ★.**

Une corde a une tension de $80\,\mathrm{N}$ et une masse linéique de $4.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calculer $c$, puis la [longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) d’une onde à $200\,\mathrm{Hz}$ sur cette corde.

**Solution de Exercice 5.3.**

$c = \sqrt{80/4.0\times10^{-3}} = 141\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f =
0.71\,\mathrm{m}$.

**Exercice 5.4 ★.**

Un diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ et une corde à $444\,\mathrm{Hz}$ : combien de battements par seconde ? Quelle est la période de l’enveloppe ? On détend la corde et les battements ralentissent à $1\,\mathrm{Hz}$ : quelle est sa fréquence maintenant (deux réponses en principe — laquelle, et comment le vérifier) ?

**Solution de Exercice 5.4.**

$444 - 440 = 4$ battements par seconde ; période de l’enveloppe $1/4 = 0.25\,\mathrm{s}$. Détendre abaisse la corde : $441\,\mathrm{Hz}$ (atteindre $439\,\mathrm{Hz}$ aurait supposé passer par le silence à $440\,\mathrm{Hz}$) ; on vérifie en détendant un peu plus : les battements doivent disparaître, puis revenir.

**Exercice 5.5 ★★.**

Une corde de $0.60\,\mathrm{m}$, $c = 240\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, est fixée à ses deux extrémités. Donner les fréquences des trois premiers modes et la position des nœuds du troisième. Où faut-il effleurer la corde pour qu’elle sonne à $600\,\mathrm{Hz}$ ?

**Solution de Exercice 5.5.**

$f_1 = c/2L = 240/1.2 = 200\,\mathrm{Hz}$ ; puis $400$ et $600\,\mathrm{Hz}$. Troisième mode : nœuds en $0$, $0.20$, $0.40$, $0.60\,\mathrm{m}$. Effleurer à $20\,\mathrm{cm}$ (ou $40\,\mathrm{cm}$) d’une extrémité : le nœud imposé là ne garde que $n = 3, 6, \dots$, et la corde sonne à $600\,\mathrm{Hz}$.

**Exercice 5.6 ★★.**

Deux haut-parleurs distants de $2.0\,\mathrm{m}$ émettent $850\,\mathrm{Hz}$ en [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) ($c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Situer les zones calmes sur le segment qui les joint, et dire ce qu’entend un auditeur qui marche le long de la médiatrice. Qu’est-ce qui change si l’un des deux est câblé en opposition de [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) ?

**Solution de Exercice 5.6.**

$\lambda = 0.40\,\mathrm{m}$. Sur le segment, à la distance $x$ du haut-parleur 1, $\delta = (2.0 - x) - x = 2.0 - 2x$ ; silence pour $\delta = \pm\lambda/2,
\pm 3\lambda/2, \dots$ : $x = 0.1, 0.3, \dots, 1.9$ m, tous les $20\,\mathrm{cm}$ ; le milieu est fort. Sur la médiatrice, $\delta = 0$ : fort tout du long (seule joue la décroissance en $1/r$). En opposition de [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) : le fort et le calme s’échangent — silence au milieu et tous les $20\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 5.7 ★★.**

[Trous d’Young](#ex-b1-wave-propagation-young) : $a = 0.20\,\mathrm{mm}$, $D = 1.5\,\mathrm{m}$, lumière de sodium $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$. Calculer l’interfrange ; puis pour une lumière bleue à $450\,\mathrm{nm}$ ; combien de franges brillantes tiennent dans $2.0\,\mathrm{cm}$ autour du centre avec la lampe à sodium ?

**Solution de Exercice 5.7.**

$i = \lambda D/a = 5.89\times10^{-7} \times 1.5/2.0\times10^{-4} =
4.4\,\mathrm{mm}$ ; dans le bleu, $3.4\,\mathrm{mm}$. Dans $\pm1.0\,\mathrm{cm}$ : franges en $0$, $\pm 4.4$, $\pm 8.8$ mm — soit cinq.

**Exercice 5.8 ★★.**

Deux ondes cohérentes d’intensités $I_0$ et $I_0$ interfèrent : donner $I_{\max}$ et $I_{\min}$. Même question pour $I_0$ et $I_0/4$. Définir le contraste $(I_{\max} - I_{\min})/(I_{\max} + I_{\min})$ et le calculer dans les deux cas.

**Solution de Exercice 5.8.**

Intensités égales : $I_{\max} = 4I_0$, $I_{\min} = 0$, contraste $1$. Pour $I_0$ et $I_0/4$ : $I_{\max} = I_0(1 + \tfrac14 + 2 \times \tfrac12) = 2.25I_0$, $I_{\min} =
I_0(1.25 - 1) = 0.25I_0$ ; contraste $2.0/2.5 = 0.8$.

**Exercice 5.9 ★★.**

Un tuyau de $0.50\,\mathrm{m}$ ($c = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Donner ses trois premières fréquences de résonance s’il est fermé à une extrémité, puis s’il est ouvert aux deux. Lequel est la clarinette, lequel la flûte ?

**Solution de Exercice 5.9.**

Fermé–ouvert : $f = (2n + 1)c/4L = 170$, $510$, $850\,\mathrm{Hz}$ (harmoniques impaires seulement : la clarinette). Ouvert–ouvert : $nc/2L = 340$, $680$, $1020\,\mathrm{Hz}$ (la flûte).

**Exercice 5.10 ★★★.**

En eau profonde, la [vitesse de phase](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) d’une onde sinusoïdale vaut $v_\varphi = \sqrt{g\lambda/2\pi}$. La calculer pour $\lambda = 10\,\mathrm{m}$ puis $100\,\mathrm{m}$. Une tempête à $1000\,\mathrm{km}$ lève les deux : quelle houle atteint la côte la première, et avec quelle avance ? Pourquoi cela rend-il la mer « dispersive » ?

**Solution de Exercice 5.10.**

$v_\varphi = \sqrt{9.81 \times 10/2\pi} = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour $100\,\mathrm{m}$. La longue houle d’abord : $10^6/12.5 =
22\,\mathrm{h}$ contre $10^6/3.95 = 70\,\mathrm{h}$, deux jours plus tôt. La vitesse dépend de la [longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) : une mer mêlée se trie par [longueur d’onde](#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) en voyageant — c’est la dispersion.

**Exercice 5.11 ★★★.**

Montrer qu’effleurer une corde en un point situé à $L/3$ d’une extrémité ne laisse subsister que les modes de fréquences $3f_1, 6f_1, \dots$, et que pincer une corde en son milieu n’excite aucun mode pair. (Indication : que réclame de chaque $\sin(n\pi x/L)$ la présence, en ce point, d’un nœud ou d’un déplacement maximal ?)

**Solution de Exercice 5.11.**

Le mode $n$ a la forme $\sin(n\pi x/L)$. Imposer un nœud en $x = L/3$ exige $\sin(n\pi/3) = 0$, c’est-à-dire $n$ multiple de $3$ : fréquences $3f_1,
6f_1, \dots$ Pincer en $L/2$ donne à la corde un déplacement maximal en ce point, auquel le mode $n$ ne peut contribuer que si $\sin(n\pi/2) \neq 0$ : les modes pairs, qui ont un nœud en $L/2$, ne reçoivent rien.

**Exercice 5.12 ★★★.**

Un récepteur radio placé à la distance $d$ devant un mur métallique reçoit l’onde directe d’un émetteur lointain et l’onde réfléchie par le mur, qui parcourt $2d$ de plus et gagne à la réflexion un déphasage supplémentaire de $\pi$. À $f = 100\,\mathrm{MHz}$, trouver les distances $d$ auxquelles le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) s’annule et celles où il est le plus fort. En quoi cela explique-t-il les « zones mortes » d’un autoradio dans un tunnel ?

**Solution de Exercice 5.12.**

$\lambda = c/f = 3.0\,\mathrm{m}$. Déphasage $2\pi(2d)/\lambda + \pi$ ; destructif lorsqu’il vaut $(2m + 1)\pi$ : $2d/\lambda = m$, $d = m\lambda/2 = 0, 1.5, 3.0, \dots$ m ; constructif lorsque $2d/\lambda =
m + \tfrac12$ : $d = 0.75, 2.25, \dots$ m. Les parois et le plafond d’un tunnel réfléchissent l’onde : il s’établit un régime stationnaire, avec des zones mortes toutes les demi-longueurs d’onde sur le trajet de la voiture.

## 5.6 Problème : la corde de Melde et la guitare

**Problème 5.1.**

Problème du week-end — une corde vibrante sur un banc, une poulie et quelques masses, puis une guitare : comment le décompte des demi-longueurs d’onde fixe chaque note du manche

Une corde de masse linéique $\mu$ est tendue horizontalement avec une tension $F$ entre un petit vibreur électromagnétique placé en $x = L$ (qui l’agite transversalement avec une [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) minuscule à la fréquence $f$) et un point fixe en $x = 0$ ; les ondes transversales s’y propagent à $c = \sqrt{F/\mu}$ (établi dans le volume de deuxième année).

**Partie I — Les ondes sur la corde.**

1. Vérifier par analyse dimensionnelle que $\sqrt{F/\mu}$ est une vitesse.
2. Le vibreur envoie vers $x = 0$ l’onde $s_i(x, t) = A\cos(\omega t + kx)$ . Pourquoi le signe $+kx$ ? Donner $k$ en fonction de $f$ et de $c$ .
3. Pour $\mu = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $F = 0.90\,\mathrm{N}$ et $f = 50\,\mathrm{Hz}$ , calculer $c$ , $\lambda$ et $k$ .
4. Deux points de la corde sont distants de $15\,\mathrm{cm}$ . Quel est le déphasage entre leurs mouvements pour cette [onde progressive](#def-b1-wave-propagation-travelling) ?
5. Pour $A = 2.0\,\mathrm{mm}$ , quelle est la vitesse transversale maximale d’un point de la corde ? La comparer à $c$ .

**Partie II — Réflexion et [onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing).** À l’extrémité fixe $x = 0$, l’onde est réfléchie en changeant de signe : $s_r(x, t) = -A\cos(\omega t - kx)$.

6. Pourquoi l’onde réfléchie doit-elle porter $-kx$ dans sa [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) , et pourquoi l’ [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) est-elle changée de signe (penser à ce que doit valoir le [signal](#def-b1-wave-propagation-signal) total en $x = 0$ ) ?
7. Montrer que $s = s_i + s_r = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$ .
8. Situer les nœuds et les ventres ; donner la distance entre deux nœuds voisins.
9. L’ [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) propre du vibreur est si faible que $x = L$ est pratiquement un nœud. En déduire la condition sur $L$ pour obtenir une [onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing) de grande [amplitude](#def-b1-wave-propagation-signal) (résonance), et les fréquences permises $f_n$ .
10. Avec $L = 1.20\,\mathrm{m}$ et les données de la question 3, combien de demi-longueurs d’onde (« fuseaux ») apparaissent ? La corde est-elle à la résonance ?
11. En gardant $f = 50\,\mathrm{Hz}$ et $L$ , quelles tensions donnent des résonances à $3$ puis à $6$ fuseaux ?
12. Inversement, on compte les fuseaux pour mesurer $\mu$ : avec $F = 1.6\,\mathrm{N}$ , $3$ fuseaux à $50\,\mathrm{Hz}$ sur $1.20\,\mathrm{m}$ , calculer $\mu$ .
13. La tension est fixée par une masse $m$ suspendue à une poulie, $F = mg$ , avec $m$ connue à $\pm1\,\mathrm{g}$ près sur $163\,\mathrm{g}$ et $L$ à $\pm2\,\mathrm{mm}$ près. Quelle mesure limite $\mu$ , et quelle est son incertitude relative ?

**Partie III — La guitare.** Six cordes de longueur vibrante $L = 650\,\mathrm{mm}$ sont accordées sur $82.4\,\mathrm{Hz}$ (mi grave), $110$, $147$, $196$, $247$ et $329.6\,\mathrm{Hz}$ (mi aigu).

14. Quel mode l’oreille prend-elle pour la hauteur ? Exprimer $c$ sur chaque corde à partir de $L$ et de la hauteur, et la calculer pour les deux cordes de mi.
15. La corde de mi grave a $\mu = 6.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , celle de mi aigu $\mu = 0.40\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ : calculer leurs tensions. Pourquoi les cordes graves sont-elles filées de métal plutôt que simplement tendues davantage ?
16. La musique occidentale divise l’octave en douze demi-tons égaux : chaque case multiplie la fréquence par $2^{1/12}$ . Montrer que la $n$ -ième case doit se trouver à la distance $L(1 - 2^{-n/12})$ du sillet, et calculer la position des cases $1$ , $5$ , $7$ et $12$ .
17. L’écart entre cases diminue vers l’aigu : de quel facteur d’une case à la suivante ?
18. Un capodastre serré sur la case $3$ raccourcit toutes les cordes : de quel facteur monte-t-il chaque hauteur, et quelle est la nouvelle longueur vibrante ?
19. Effleurer (sans appuyer) la corde de mi grave au-dessus de la case $12$ , puis au-dessus de la case $7$ (en $L/3$ ), donne deux « harmoniques » : lesquelles fréquences, et quels modes survivent ?
20. Pincer près du chevalet sonne plus clair que pincer au-dessus de la rosace. Expliquer à l’aide de la forme des modes.
21. Deux cordes sont accordées à la quinte ( $f_2 = 1.5f_1$ ). Jouées ensemble, un auditeur entend un faible battement à $2\,\mathrm{Hz}$ entre la troisième harmonique de la corde grave et la deuxième harmonique de l’aiguë : quel est le rapport réel $f_2/f_1$ , si $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ ?

**Partie IV — Accorder au diapason.**

22. La corde de la ( $110\,\mathrm{Hz}$ ) est accordée sur le diapason à $440\,\mathrm{Hz}$ . Quelle harmonique de la corde bat contre le diapason ? Si l’on entend $3\,$ battements par seconde, quelles sont les deux fréquences possibles de la corde ?
23. On tourne la cheville, la tension monte légèrement et les battements s’accélèrent : laquelle des deux était-ce, et de quelle quantité relative la tension doit-elle changer pour atteindre la bonne hauteur ?
24. Montrer qu’une variation relative $\dd F/F$ de la tension change la fréquence de $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$ .
25. Récapituler l’enchaînement des résultats : comment la longueur, la tension et la masse de la corde fixent son fondamental, comment les cases fixent la gamme, et comment les battements l’accordent — et nommer l’unique relation qui est derrière tout cela.

**Solution de Problème 5.1.**

**1.** $[F/\mu] = M L T^{-2}/(M L^{-1}) = L^2 T^{-2}$ : le carré d’une vitesse.

**2.** Une onde qui va vers $-x$ dépend de $t + x/c$, c’est-à-dire de $\omega t + kx$ ; $k = \omega/c = 2\pi f/c$.

**3.** $c = \sqrt{0.90/1.0\times10^{-3}} = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\lambda = c/f = 0.60\,\mathrm{m}$ ; $k = 2\pi/\lambda = 10.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$.

**4.** $\Delta\varphi = kd = 10.5 \times 0.15 = 1.6\,\mathrm{rad} = \pi/2$.

**5.** $v_{\max} = A\omega = 2.0\times10^{-3} \times 2\pi \times 50 =
0.63\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cinquante fois moins que $c$ : les points de la corde se déplacent lentement tandis que la forme file.

**6.** Elle va vers $+x$ : sa [phase](#def-b1-wave-propagation-signal) est $\omega t - kx$. À l’extrémité fixe, le déplacement total est nul à tout instant : $s_i(0, t) + s_r(0, t)
= A\cos\omega t + (-A)\cos\omega t = 0$.

**7.** $\cos(\omega t + kx) - \cos(\omega t - kx) =
-2\sin(\omega t)\sin(kx)$, donc $s = -2A\sin(kx)\sin(\omega t)$.

**8.** Nœuds : $\sin kx = 0$, $x = n\lambda/2$ ; ventres $x = (n +
\tfrac12)\lambda/2$ ; nœuds voisins distants de $\lambda/2$.

**9.** $\sin kL = 0$ : $L = n\lambda/2$, c’est-à-dire $f_n = nc/2L$.

**10.** $n = 2L/\lambda = 2.4/0.60 = 4$ : quatre fuseaux, nombre entier — il y a résonance.

**11.** $3$ fuseaux : $\lambda = 2L/3 = 0.80\,\mathrm{m}$, $c = \lambda f
= 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $F = \mu c^2 = 1.6\,\mathrm{N}$. $6$ fuseaux : $\lambda =
0.40\,\mathrm{m}$, $c = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $F = 0.40\,\mathrm{N}$.

**12.** $c = 2Lf/n = 2 \times 1.20 \times 50/3 = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mu = F/c^2 = 1.6/1600 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m} = 1.0\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$.

**13.** $\mu = mgn^2/(4L^2f^2)$ : $u(\mu)/\mu = \sqrt{(u_m/m)^2 +
(2u_L/L)^2} = \sqrt{0.61^2 + 0.33^2}\,\% = 0.7\%$ ; c’est la masse qui limite.

**14.** Le fondamental. $c = 2Lf_1$ : mi grave $2 \times 0.650 \times
82.4 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; mi aigu $428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**15.** $F = \mu c^2$ : mi grave $6.0\times10^{-3} \times 107^2 =
69\,\mathrm{N}$ ; mi aigu $4.0\times10^{-4} \times 428^2 = 73\,\mathrm{N}$ — tensions comparables. Abaisser $f$ d’un facteur $4$ à $L$ et $\mu$ fixés demanderait $16$ fois moins de tension : une corde molle et bourdonnante. Le filage augmente $\mu$ à la place.

**16.** $f_n = 2^{n/12}f_1$ et $f \propto 1/L$ : $L_n = 2^{-n/12}L$, distance au sillet $L - L_n = L(1 - 2^{-n/12})$ : case 1 $36.5\,\mathrm{mm}$, case 5 $163\,\mathrm{mm}$, case 7 $216\,\mathrm{mm}$, case 12 $325\,\mathrm{mm}$.

**17.** Chaque écart vaut $2^{-1/12} = 0.944$ fois le précédent.

**18.** Facteur $2^{3/12} = 1.19$ (trois demi-tons) ; longueur $650 \times 2^{-3/12} = 547\,\mathrm{mm}$.

**19.** En effleurant en $L/2$ : modes pairs seulement, hauteur $2f_1 =
165\,\mathrm{Hz}$ ; en $L/3$ : multiples de $3$, hauteur $3f_1 = 247\,\mathrm{Hz}$.

**20.** Près d’une extrémité, $\sin(n\pi x/L) \approx n\pi x/L$ croît avec $n$ : les modes élevés sont relativement plus excités — son clair. Au-dessus de la rosace (près du milieu), les modes pairs sont faibles et le fondamental domine — son rond.

**21.** $3f_1 = 330\,\mathrm{Hz}$ bat à $2\,\mathrm{Hz}$ avec $2f_2$ : $f_2 = 166$ ou $164\,\mathrm{Hz}$, rapport $1.509$ ou $1.491$ (la quinte tempérée vaut $2^{7/12} = 1.498$).

**22.** La quatrième harmonique, $4f$. Trois battements : $4f = 437$ ou $443\,\mathrm{Hz}$, donc $f = 109.25$ ou $110.75\,\mathrm{Hz}$.

**23.** Les battements s’accélèrent quand on tend, donc la corde était trop haute : $110.75\,\mathrm{Hz}$. Elle doit baisser de $0.75/110.75 = 0.68\%$, c’est-à-dire la tension de $1.4\%$.

**24.** $f = (n/2L)\sqrt{F/\mu}$, donc $\ln f = \tfrac12\ln F + \text{const}$ et $\dd f/f = \tfrac12\,\dd F/F$.

**25.** $f_1 = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{F}{\mu}}$ : la longueur fixe $\lambda_1 = 2L$, la tension et la masse fixent $c$, les cases multiplient $L$ par $2^{-n/12}$, les battements révèlent $f - f_{\text{réf}}$. Derrière tout cela, une seule relation : $\lambda f = c$, avec la condition d’[onde stationnaire](#thm-b1-wave-propagation-standing) $L = n\lambda/2$.