---
title: "Régimes transitoires : premier et second ordre"
book: "Physique universitaire — 1re année"
subject: physics
language: fr
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/7-regimes-transitoires-premier-et-second-ordre
---

# Chapitre 7 — Régimes transitoires : premier et second ordre

Appuyez sur le coin d’une voiture à l’arrêt, puis lâchez. Une voiture en bon état remonte une fois et s’arrête ; une voiture aux amortisseurs fatigués oscille deux ou trois fois avant de se stabiliser. Dans un laboratoire d’électronique, les deux mêmes comportements apparaissent à l’oscilloscope lorsqu’un condensateur se décharge dans une bobine : un retour sans oscillation, ou une sonnerie qui s’éteint. L’un et l’autre sont le *transitoire* entre deux [régimes permanents](#def-b1-transient-regimes-firstorder), et tous deux obéissent à la même petite famille d’équations différentielles linéaires — du premier ordre pour un seul réservoir d’énergie, du second ordre pour deux qui s’échangent. Ce chapitre les résout une fois pour toutes, nomme leurs paramètres ([constante de temps](#def-b1-transient-regimes-firstorder), [pulsation propre](#def-b1-transient-regimes-secondorder), [facteur de qualité](#def-b1-transient-regimes-secondorder)), et montre que les mêmes nombres décrivent un circuit et une suspension.

![Une bobine, un condensateur et une résistance sur une plaque d’essai, et à l’oscilloscope l’oscillation amortie qui suit un échelon : le régime pseudo-périodique de ce chapitre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/img-5618bb456d89.jpg)

*Une bobine, un condensateur et une résistance sur une plaque d’essai, et à l’oscilloscope l’oscillation amortie qui suit un échelon : le [régime pseudo-périodique](#thm-b1-transient-regimes-regimes) de ce chapitre.*

## 7.1 Systèmes du premier ordre

**Définition 7.1 (Système linéaire du premier ordre).**

Une grandeur $x(t)$ obéit à une *équation linéaire du premier ordre à coefficients constants* lorsque

$$
\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,
$$

avec $\tau > 0$ la *constante de temps* et $x_\infty$ une constante (la valeur imposée par la source). Son *régime permanent* est $x = x_\infty$ ; le *régime transitoire* est l’approche vers lui depuis la valeur initiale $x(0) = x_0$.

**Théorème 7.2 (Solution).**

L’unique solution vérifiant $x(0) = x_0$ est

$$
x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .
$$

L’écart au [régime permanent](#def-b1-transient-regimes-firstorder) est divisé par $\eu^{-1} \approx
0.37$ à chaque $\tau$ : $63\%$ du chemin en $\tau$, $95\%$ en $3\tau$, $99\%$ en $4.6\tau$. La tangente à l’origine atteint $x_\infty$ en $t = \tau$.

**Démonstration.** $y = x - x_\infty$ obéit à $\tau y' + y = 0$, dont les solutions sont $y = K\eu^{-t/\tau}$ (le cours de mathématiques sur les équations différentielles linéaires démontre qu’il n’y en a pas d’autres) ; $K = x_0 - x_\infty$. La pente en $0$ vaut $-(x_0 - x_\infty)/\tau$, qui comblerait l’écart en une durée $\tau$. ∎

![Réponse indicielle du premier ordre depuis x_0 = 0 : la tangente initiale rencontre l’asymptote en t = ; 63\% du chemin en , 95\% en 3. Tout transitoire du premier ordre est cette courbe, dilatée par et translatée par x_0 et x_∈fty.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-e1ad58760d1d.svg)

*Réponse indicielle du premier ordre depuis $x_0 = 0$ : la tangente initiale rencontre l’asymptote en $t = \tau$ ; $63\%$ du chemin en $\tau$, $95\%$ en $3\tau$. Tout transitoire du premier ordre est cette courbe, dilatée par $\tau$ et translatée par $x_0$ et $x_\infty$.*

**Proposition 7.3 (Circuits RC et RL).**

Un condensateur $C$ chargé à travers une résistance $R$ par une source idéale $E$ obéit à $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$ : $\tau = RC$, $u_{C,\infty} = E$. Une bobine $L$ en série avec $R$ sous $E$ obéit à $(L/R)\,\dd i/\dd t + i =
E/R$ : $\tau = L/R$, $i_\infty = E/R$. Source retirée ($E \to 0$), les mêmes équations décrivent la décharge vers zéro.

**Démonstration.** [Loi des mailles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $E = Ri + u_C$ avec $i = C\,\dd u_C/\dd t$ ; [loi des mailles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$. ∎

**Proposition 7.4 (Conditions de continuité).**

La tension aux bornes d’un condensateur et le courant dans une bobine sont des fonctions continues du temps : à un instant de commutation $t_0$, $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ et $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$. Les courants dans les résistances et les tensions aux bornes des bobines peuvent, elles, sauter.

**Démonstration.** Un saut de $u_C$ exigerait $i = C\,\dd u_C/\dd t$ infini, un saut de $i_L$ exigerait $u = L\,\dd i/\dd t$ infini ; l’un et l’autre sont impossibles dans un circuit aux tensions et courants finis (de façon équivalente, les énergies stockées $\tfrac12 Cu_C^2$ et $\tfrac12 Li^2$ ne peuvent varier instantanément sans puissance infinie). ∎

**Méthode 7.5 (Résoudre un transitoire du premier ordre).**

1. Écrire les [lois des mailles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) et des nœuds après la commutation, avec les lois des composants ; se ramener à une seule équation en $u_C$ ou $i_L$ et la mettre sous la forme $\tau x' + x = x_\infty$ ; y lire $\tau$ et $x_\infty$ (cette dernière est aussi le [régime permanent](#def-b1-transient-regimes-firstorder) , obtenu en remplaçant $C$ par un circuit ouvert et $L$ par un fil).
2. Trouver $x_0$ par continuité de $u_C$ ou de $i_L$ à l’instant de commutation, en utilisant le circuit *d’avant* .
3. Écrire $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ; en déduire les autres grandeurs par dérivation et [loi des mailles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .

Lorsque le condensateur voit un réseau de résistances et de sources, on remplace d’abord ce réseau par son équivalent de Thévenin $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ ([Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#ch-b1-dc-circuits)) : $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$, $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$.

**Proposition 7.6 (Bilan énergétique de la charge d’un RC).**

En chargeant un condensateur de $0$ à $E$ à travers une résistance $R$ quelconque, la source fournit $CE^2$, le condensateur stocke $\tfrac12 CE^2$, et la résistance dissipe l’autre $\tfrac12 CE^2$ — quelle que soit $R$.

**Démonstration.** $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ ; la source fournit $\int_0^\infty Ei\,\dd t
= E \cdot (E/R)\tau = CE^2$ ; la résistance prend $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t
= (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$ ; la différence est l’énergie stockée $\tfrac12 CE^2$. Une $R$ plus petite dissipe la même énergie plus vite. ∎

**Exemple 7.7 (La bobine d’un relais).**

$L = 20\,\mathrm{mH}$, $R = 5.0\,\Omega$, $E = 10\,\mathrm{V}$ : $\tau =
4.0\,\mathrm{ms}$, $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$ ; les contacts se ferment lorsque $i$ atteint $1.5\,\mathrm{A}$, c’est-à-dire en $t = -\tau\ln(1 - 0.75) =
5.5\,\mathrm{ms}$. À l’ouverture du circuit, $i$ doit retomber depuis $2\,\mathrm{A}$ ; une diode « de roue libre » placée aux bornes de la bobine lui offre un chemin par $R$ seule, $\tau = 4\,\mathrm{ms}$, au lieu d’une étincelle.

## 7.2 Systèmes du second ordre

**Définition 7.8 (Forme canonique du second ordre).**

Une grandeur $x(t)$ est un *système linéaire du second ordre* lorsque

$$
\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x
= \omega_0^2\,x_\infty ,
$$

avec $\omega_0 > 0$ la *[pulsation](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) propre*, $Q > 0$ le *facteur de qualité* ([sans dimension](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-dimension)), et $x_\infty$ le [régime permanent](#def-b1-transient-regimes-firstorder). On écrit aussi $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$, avec $\xi = 1/2Q$ le *coefficient d’amortissement*.

**Proposition 7.9 (Le circuit RLC série).**

Un condensateur $C$, une bobine $L$ et une résistance $R$ en série sous une source $E$ : la tension du condensateur obéit à la forme canonique avec

$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}},
\qquad u_{C,\infty} = E .
$$

**Démonstration.** [Loi des mailles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) : $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ avec $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$ ; on divise par $LC$ et on identifie $\omega_0^2 = 1/LC$, $\omega_0/Q = R/L$. ∎

![Les deux visages du système du second ordre : le circuit RLC série (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) et le système masse–ressort–amortisseur (_0 = √k/m, Q = √km/). Même équation, mêmes trois régimes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-835ccde5ccf2.svg)

*Les deux visages du [système du second ordre](#def-b1-transient-regimes-secondorder) : le [circuit RLC](#prop-b1-transient-regimes-rlc) série ($\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = \sqrt{L/C}/R$) et le système masse–ressort–amortisseur ($\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$). Même équation, mêmes trois régimes.*

**Proposition 7.10 (L’oscillateur mécanique).**

Une masse $m$ au bout d’un ressort de raideur $k$, munie d’un amortisseur visqueux de coefficient $\alpha$ (force $-\alpha\dot x$), et écartée de $x$ de sa position d’équilibre, obéit à $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ : c’est la forme canonique avec

$$
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .
$$

La correspondance $x \leftrightarrow q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow 1/C$ transporte tout résultat d’un système sur l’autre.

**Démonstration.** La deuxième loi de Newton ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/12-les-lois-de-newton#ch-b1-newton-dynamics)) avec la force de rappel $-kx$ et la force d’amortissement ; on divise par $m$. ∎

**Théorème 7.11 (Les trois régimes).**

Les solutions de l’équation homogène $x'' + (\omega_0/Q)x' +
\omega_0^2 x = 0$ sont gouvernées par les racines de $r^2 + (\omega_0/Q)r +
\omega_0^2 = 0$, de discriminant $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$ :

- $Q < \tfrac12$ , régime *apériodique* : deux racines réelles négatives $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , un retour sans oscillation ;
- $Q = \tfrac12$ , régime *critique* : une racine double $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , le retour le plus rapide sans dépassement ;
- $Q > \tfrac12$, régime *pseudo-périodique* : racines complexes $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ avec $$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad  \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}},  \qquad  x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$$ une oscillation amortie de *pseudo-période* $T = 2\pi/\omega$ à l’intérieur de l’enveloppe $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$.

La solution complète avec un second membre constant est $x_\infty$ plus la solution homogène ; $A$ et $B$ se tirent de $x(0)$ et $x'(0)$.

**Démonstration.** Équation caractéristique d’une équation linéaire à coefficients constants (cours de mathématiques, équations linéaires du second ordre) : les racines valent $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$. Pour $Q > \tfrac12$, $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$, d’où la partie réelle $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ et la partie imaginaire $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$ ; les solutions réelles sont les combinaisons de $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ et de $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$. ∎

![Réponse indicielle d’un système du second ordre initialement au repos, pour trois facteurs de qualité. Q petit : une reptation lente ; Q = 1/2 : le retour le plus rapide sans dépassement ; Q grand : une sonnerie qui dure environ Q oscillations.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-e8a7d44c4a61.svg)

*Réponse indicielle d’un [système du second ordre](#def-b1-transient-regimes-secondorder) initialement au repos, pour trois [facteurs de qualité](#def-b1-transient-regimes-secondorder). $Q$ petit : une reptation lente ; $Q = \tfrac12$ : le retour le plus rapide sans dépassement ; $Q$ grand : une sonnerie qui dure environ $Q$ oscillations.*

**Proposition 7.12 (Lire QQQ sur un tracé pseudo-périodique).**

En [régime pseudo-périodique](#thm-b1-transient-regimes-regimes), deux maxima successifs sont dans le rapport $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$ ; le *[décrément logarithmique](#prop-b1-transient-regimes-decrement)*

$$
\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}}
\approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)
$$

donne $Q$ ; le nombre d’oscillations visibles avant que l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) ne tombe sous $5\%$ vaut environ $Q$. Pour $Q \gg 1$, $\omega \approx \omega_0$ et $T \approx 2\pi/\omega_0$.

**Démonstration.** L’enveloppe $\eu^{-t/\tau}$ est multipliée par $\eu^{-T/\tau}$ à chaque période ; $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$. L’enveloppe atteint $\eu^{-3}
\approx 5\%$ en $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$, c’est-à-dire après environ $Q$ périodes. ∎

![Décroissance libre pseudo-périodique, x = x_0 -t/ t : les maxima successifs sont réduits d’un facteur constant -T/, et (x_n/x_n+1) = T/ π/Q mesure le facteur de qualité sur le tracé.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-9bdad485c4bb.svg)

*Décroissance libre pseudo-périodique, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ : les maxima successifs sont réduits d’un facteur constant $\eu^{-T/\tau}$, et $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ mesure le [facteur de qualité](#def-b1-transient-regimes-secondorder) sur le tracé.*

**Exemple 7.13 (Une sonnerie RLC).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$ : $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f_0 =
5.03\,\mathrm{kHz}$), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$ : [régime pseudo-périodique](#thm-b1-transient-regimes-regimes), $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$, $\omega = 0.987\,\omega_0$, $T = 0.20\,\mathrm{ms}$, trois oscillations visibles. La résistance critique vaut $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$ ; au-delà, la décharge est apériodique.

**Méthode 7.14 (Résoudre un transitoire du second ordre).**

1. Écrire l’équation ; la mettre sous forme canonique ; y lire $\omega_0$ , $Q$ et $x_\infty$ .
2. Décider du régime d’après $Q$ et écrire la solution générale comme $x_\infty$ plus la solution homogène.
3. Trouver $x(0)$ et $x'(0)$ par continuité de $u_C$ et de $i_L$ (pour le RLC : $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ et $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ) ; en tirer les deux constantes.

**Exemple 7.15 (Conditions initiales).**

Le condensateur de l’exemple précédent est chargé sous $U_0$ puis, à $t = 0$, refermé sur $L$ et $R$ (sans source) : $x_\infty = 0$, $u_C(0) = U_0$, $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ puisque le courant dans la bobine était nul. D’où $A = U_0$ et $-A/\tau + B\omega = 0$, $B = U_0/(\omega\tau) =
U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$ : $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega
t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — pour $Q \gg 1$, simplement $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$, et le courant $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ culmine près de $U_0\sqrt{C/L} =
U_0/(\omega_0 L)$.

**Remarque 7.16 (Énergie).**

L’énergie stockée $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (ou $\tfrac12 kx^2
+ \tfrac12 m\dot x^2$) décroît au rythme $Ri^2$ ($\alpha\dot x^2$) : il suffit de dériver et d’utiliser l’équation. À chaque pseudo-période l’énergie est multipliée par $\eu^{-2T/\tau}$ ; avec $Q = 3$, environ $88\%$ en est perdue par oscillation. Un $Q$ élevé signifie une fuite lente devant l’oscillation — une bonne horloge, une résonance aiguë ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/8-regime-sinusoidal-force-et-impedance#ch-b1-sinusoidal-impedance)) — et un $Q$ faible un retour rapide : le bon choix pour une suspension ou l’aiguille d’un appareil de mesure.

## 7.3 Exercices

**Exercice 7.1 ★.**

Un [circuit RC](#prop-b1-transient-regimes-rcrl) : $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 47\,\mathrm{nF}$, chargé sous $E$. Calculer $\tau$, $u_C(\tau)/E$, et le temps pour atteindre $99\%$ de $E$.

**Solution de Exercice 7.1.**

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$ ; $u_C(\tau)/E
= 1 - \eu^{-1} = 0.63$ ; pour $99\%$ : $\eu^{-t/\tau} = 0.01$, $t = \tau\ln 100
= 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$.

**Exercice 7.2 ★.**

Un [circuit RL](#prop-b1-transient-regimes-rcrl) : $L = 20\,\mathrm{mH}$, $R = 5.0\,\Omega$, $E = 10\,\mathrm{V}$. Calculer $\tau$, le courant final, le courant à $t = \tau$, et la tension aux bornes de la bobine juste après la fermeture de l’interrupteur.

**Solution de Exercice 7.2.**

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$ ; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$ ; $i(\tau) =
0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$ ; en $0^+$, $i = 0$ (continuité), donc $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$.

**Exercice 7.3 ★.**

Un RLC série : $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$. Calculer $\omega_0$, $f_0$, $Q$ ; nommer le régime ; donner $\tau$ et la pseudo-période.

**Solution de Exercice 7.3.**

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$ ; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$ : pseudo-périodique ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}
= 0.987\omega_0$, $T = 0.20\,\mathrm{ms}$.

**Exercice 7.4 ★.**

Pour les mêmes $L$ et $C$, quelle résistance donne le [régime critique](#thm-b1-transient-regimes-regimes) ? Que vaut alors $Q$ ? Que se passe-t-il pour $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$ ?

**Solution de Exercice 7.4.**

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$, $Q = \tfrac12$. À $2\,\mathrm{k}\Omega$, $Q = 0.16$ : apériodique, une reptation lente gouvernée par la petite racine $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ (échelle de temps $0.2\,\mathrm{ms}$, mais sans oscillation).

**Exercice 7.5 ★★.**

Un condensateur chargé $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ se décharge dans une résistance $R$ inconnue ; la tension est divisée par deux toutes les $3.5\,\mathrm{ms}$. Montrer que cette demi-vie vaut $\tau\ln 2$ et trouver $R$.

**Solution de Exercice 7.5.**

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ est divisée par deux lorsque $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$ : $t_{1/2}
= \tau\ln 2$. $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$, $R = \tau/C =
5.1\,\mathrm{k}\Omega$.

**Exercice 7.6 ★★.**

Montrer par intégration directe que charger un condensateur de $0$ à $E$ à travers $R$ dissipe exactement $\tfrac12 CE^2$ dans $R$, indépendamment de $R$. Que devient le rendement du transfert, et comment pourrait-on faire mieux ?

**Solution de Exercice 7.6.**

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$ : $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) =
\tfrac12 CE^2$, sans trace de $R$. La source fournit $CE^2$ : rendement de $50\%$ quelle que soit la résistance. Mieux : charger à travers une bobine (le courant n’est alors plus proportionnel à l’écart de tension) ou par paliers de tension — chaque palier de $E/n$ ne perd que $\tfrac12 C(E/n)^2$.

**Exercice 7.7 ★★.**

À l’oscilloscope, la décharge libre d’un RLC montre des maxima successifs de $2.0\,\mathrm{V}$, $1.5\,\mathrm{V}$ et $1.12\,\mathrm{V}$, espacés de $0.40\,\mathrm{ms}$. En déduire $Q$, $\omega_0$, puis, avec $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$, les valeurs de $L$ et de $R$.

**Solution de Exercice 7.7.**

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (et $\ln(1.5/1.12) = 0.29$ : cohérent) ; $Q \approx \pi/\delta = 11$. $T = 0.40\,\mathrm{ms}$, donc $\omega_0 \approx
2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (la correction $1/8Q^2$ vaut $0.1\%$). $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$ ; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$.

**Exercice 7.8 ★★.**

Un condensateur chargé sous $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ ($C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$) est basculé sur une bobine $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ de faible résistance ($Q \gg 1$). Écrire $u_C(t)$ et $i(t)$, et estimer le courant de crête. Où se trouve l’énergie au moment de ce maximum ?

**Solution de Exercice 7.8.**

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$ ; $i = -C\,\dd u_C/\dd t
\approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (pour $t \ll \tau$), de crête $U_0\sqrt{C/L}
= 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$, atteinte un quart de période après la fermeture, quand $u_C = 0$ : toute l’énergie ($\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$) est alors magnétique, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$.

**Exercice 7.9 ★★.**

Un quart de voiture : $m = 400\,\mathrm{kg}$ sur un ressort $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Calculer $\omega_0$, $f_0$ et le [coefficient d’amortissement](#def-b1-transient-regimes-secondorder) critique. Avec un amortisseur $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, donner $Q$, le régime, la pseudo-période et le temps de décroissance $\tau$.

**Solution de Exercice 7.9.**

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. Pour $\alpha = 2000$ : $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$, [régime pseudo-périodique](#thm-b1-transient-regimes-regimes) ; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$.

**Exercice 7.10 ★★★.**

Une bobine $L = 0.50\,\mathrm{H}$ est parcourue par $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$ ; on débranche la source et on laisse la bobine sur une résistance de décharge $R = 100\,\Omega$. Donner $i(t)$, $\tau$, la tension de crête aux bornes de la bobine et l’énergie dissipée. Que se passerait-il sans la résistance ?

**Solution de Exercice 7.10.**

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$, $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$ ; tension de crête $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ en $t = 0^+$ ; énergie $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ dissipée dans $R$. Sans la résistance, le courant n’a plus de chemin : $\dd i/\dd t$ devient énorme, la tension de la bobine atteint des kilovolts, et un arc jaillit à l’interrupteur.

**Exercice 7.11 ★★★.**

Un condensateur $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ est chargé sous $E = 12\,\mathrm{V}$ à travers $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$, tandis que $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ est branchée à ses bornes. À l’aide d’un équivalent de Thévenin, trouver la [constante de temps](#def-b1-transient-regimes-firstorder) et la tension finale ; écrire $u_C(t)$ depuis $u_C(0) = 0$.

**Solution de Exercice 7.11.**

Vu de $C$ : $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$, $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$ ; $\tau =
R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$ ; $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ V.

**Exercice 7.12 ★★★.**

[Régime critique](#thm-b1-transient-regimes-regimes), échelon depuis le repos ($x(0) = x'(0) = 0$) : montrer que $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$, et trouver numériquement le temps pour atteindre $95\%$ de $x_\infty$ (en unités de $1/\omega_0$). Le comparer au temps d’établissement de l’enveloppe pour $Q = 5$ et à celui de la racine lente pour $Q = 0.1$ ; conclure sur les raisons qui font du [régime critique](#thm-b1-transient-regimes-regimes) la cible de l’ingénieur.

**Solution de Exercice 7.12.**

Racine double $-\omega_0$ : $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ ; $x(0) = 0$ donne $A = -x_\infty$, $x'(0) = 0$ donne $B = \omega_0 A$ : $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$. Pour $95\%$ : $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$, $s \approx 4.7$ : $t_{95} = 4.7/\omega_0$. Pour $Q = 5$, l’enveloppe $\eu^{-t/\tau}$ avec $\tau = 10/\omega_0$ demande $3\tau = 30/\omega_0$ ; pour $Q = 0.1$, la racine lente vaut $\abs{r_+} \approx
\omega_0 Q$ et $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$. Les deux sont six fois plus lents : l’amortissement critique est le retour sans dépassement le plus rapide, exactement ce que veulent un appareil de mesure, un ferme-porte ou une suspension.

## 7.4 Problème : dimensionner une suspension

**Problème 7.1.**

Problème du week-end — la même équation différentielle sur une paillasse et sous une voiture : combien de rebonds tolère un amortisseur usé, ce que choisit le concepteur, et comment un seul nombre distingue les deux

La partie I étudie un [circuit RLC](#prop-b1-transient-regimes-rlc) série, $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$ ; les parties II à IV un quart de voiture : une masse $m = 350\,\mathrm{kg}$ posée sur un ressort $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ et un amortisseur exerçant $-\alpha\dot x$. Dépassement de la réponse indicielle en [régime pseudo-périodique](#thm-b1-transient-regimes-regimes) (donné) : $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$, $\xi = 1/2Q$.

**Partie I — Le circuit.**

1. Écrire la [loi des mailles](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/6-circuits-en-courant-continu-lois-de-kirchhoff-et-theoremes#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) pour le RLC série sous une source $E$ , puis l’équation différentielle vérifiée par $u_C$ .
2. La mettre sous forme canonique ; exprimer $\omega_0$ et $Q$ .
3. Calculer $\omega_0$ , $f_0$ et la résistance critique $R_c$ .
4. Écrire l’équation caractéristique et son discriminant ; énoncer les trois régimes en fonction de $Q$ .
5. Dans le cas pseudo-périodique, donner $\tau$ , $\omega$ et la forme de $u_C(t)$ .
6. Pour $R = 100\,\Omega$ , calculer $Q$ , $\tau$ , la pseudo-période et le nombre d’oscillations visibles.
7. Le condensateur, chargé sous $U_0$ , est basculé sur $L$ et $R$ à $t = 0$ . Donner $u_C(0^+)$ et $\dd u_C/\dd t(0^+)$ , avec la raison physique de chacune.

**Partie II — Le quart de voiture.**

8. En comptant $x$ depuis la position d’équilibre, écrire la deuxième loi de Newton pour la caisse et montrer que le poids disparaît.
9. Mettre l’équation sous forme canonique ; donner $\omega_0$ et $Q$ en fonction de $m$ , $k$ , $\alpha$ , et lister les correspondances électromécaniques.
10. Calculer $\omega_0$ , $f_0$ et le coefficient critique $\alpha_c$ .
11. Le concepteur monte $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : calculer $Q$ , $\xi$ , et nommer le régime.
12. Calculer $\tau$ et la pseudo-période.
13. Calculer le dépassement après un échelon (un trottoir) : la voiture est-elle confortable ?
14. Quelle résistance $R$ donnerait au circuit de la partie I le même $Q$ que cette suspension ?

**Partie III — L’amortisseur usé.** L’huile a fui : $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

15. Calculer $Q$ , la pseudo-période et $\tau$ .
16. De quel facteur les maxima successifs diminuent-ils ? Combien de rebonds sont visibles avant que l’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal) passe sous $5\%$ ?
17. Le test du rebond : on enfonce le coin de $x_0 =  5.0\,\mathrm{cm}$ puis on lâche. Donner les conditions initiales, l’énergie stockée dans le ressort, et dire où passe cette énergie.
18. Estimer la vitesse maximale de la caisse lors du premier retour ( $\approx x_0\omega_0$ pour $Q \gg 1$ ) et la force maximale dans l’amortisseur.
19. Pourquoi l’amortissement exactement critique ( $Q = \tfrac12$ ) n’est-il pas le choix du concepteur, bien qu’il ne donne aucun dépassement ? (Penser aux derniers millimètres du retour.)
20. Calculer le dépassement pour l’amortisseur usé et le comparer à celui de la partie II.

**Partie IV — Diagnostiquer $Q$ sur un tracé.** Un accéléromètre fixé sur la caisse enregistre la décroissance libre.

21. Pour la voiture usée, les maxima successifs valent $1.00$ , $0.25$ et $0.062$ (unités arbitraires). Calculer le [décrément logarithmique](#prop-b1-transient-regimes-decrement) , en déduire $\xi$ exactement par $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , puis $Q$ ; comparer à la partie III.
22. Pour la voiture saine, aucun second maximum n’est visible ; seul le dépassement, $3.8\%$ , se lit. Inverser la formule du dépassement pour trouver $\xi$ et $Q$ .
23. Quelle fraction de l’énergie mécanique l’amortisseur usé dissipe-t-il par pseudo-période ?
24. Un technicien qui n’a pas de voiture sous la main monte le RLC de la partie I avec un $R$ choisi pour que $Q = 2.3$ : quelle valeur de $R$ , et pourquoi le tracé de l’oscilloscope, porté en fonction de $\omega_0 t$ , a-t-il exactement la même forme que celui de la voiture ?
25. Récapituler : quel nombre [sans dimension](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/1-unites-dimensions-et-mesure#def-b1-units-dimensions-dimension) décide de la forme de tout transitoire du second ordre, quelle valeur vise le concepteur d’une suspension, et ce qu’un conducteur doit conclure de « plus d’un rebond ».

**Solution de Problème 7.1.**

**1.** $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$, $i = C\,\dd u_C/\dd t$ : $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$.

**2.** $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ avec $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = \sqrt{L/C}/R$.

**3.** $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$, $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$.

**4.** $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$, $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2
- 4)$ : $Q < \tfrac12$ apériodique, $Q = \tfrac12$ critique, $Q > \tfrac12$ pseudo-périodique.

**5.** $\tau = 2Q/\omega_0$, $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$, $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$.

**6.** $Q = 3.16$, $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$, $T = 2\pi/\omega =
0.20\,\mathrm{ms}$, environ trois oscillations.

**7.** $u_C(0^+) = U_0$ ($u_C$ continue : courant fini) ; $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ($i_L$ continue et nulle avant).

**8.** $m\ddot x = -k(x + x_{\text{eq}}) - \alpha\dot x + mg$ avec $kx_{\text{eq}} = mg$ : $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$.

**9.** $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$ ; $x \leftrightarrow
q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow
R$, $k \leftrightarrow 1/C$.

**10.** $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 =
1.26\,\mathrm{Hz}$ ; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

**11.** $Q = 2775/4000 = 0.69$, $\xi = 0.72$ : pseudo-périodique, juste en deçà du critique.

**12.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$ ; $\omega = \omega_0\sqrt{1
- \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 1.1\,\mathrm{s}$.

**13.** Dépassement $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$ : une petite remontée au-delà de l’équilibre, et c’est fini — confortable.

**14.** $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$.

**15.** $Q = 2775/1200 = 2.3$, $\xi = 0.22$ ; $\omega = 0.976\omega_0$, $T = 0.81\,\mathrm{s}$ ; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$.

**16.** $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$ : chaque rebond vaut le quart du précédent ; $0.25^3 = 1.6\%$ : trois rebonds visibles.

**17.** $x(0) = -x_0$, $\dot x(0) = 0$ ; énergie $\tfrac12 kx_0^2 =
0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$, dissipée en chaleur dans l’huile de l’amortisseur.

**18.** $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; force dans l’amortisseur $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$.

**19.** À $Q = \tfrac12$, le retour est en $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0
t}$, qui rampe asymptotiquement : les derniers millimètres sont longs. Un système légèrement sous-amorti ($\xi \approx 0.7$) dépasse de quelques pour cent mais entre plus tôt, et reste, dans une bande de tolérance.

**20.** $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$, contre $3.8\%$ : la voiture usée rebondit à mi-hauteur au-delà de l’équilibre.

**21.** $\delta = \ln 4 = 1.39$ (deux fois, cohérent) ; $\xi =
\delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$, $Q = 1/2\xi = 2.3$ : la valeur de l’amortisseur usé.

**22.** $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$, donc $\xi =
3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$, $Q = 0.69$.

**23.** L’énergie est $\propto$ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/fr/chapter/5-propagation-dun-signal-ondes-progressives-et-stationnaires#def-b1-wave-propagation-signal)$^2$ : fraction restante par période $0.25^2 = 6\%$, donc $94\%$ dissipés par pseudo-période.

**24.** $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$. Dans la variable $\omega_0 t$, l’équation canonique ne contient plus que $Q$ : deux systèmes de même $Q$ tracent la même courbe.

**25.** Le [facteur de qualité](#def-b1-transient-regimes-secondorder) $Q$ (ou $\xi$) fixe à lui seul la forme ; un concepteur vise $Q \approx 0.7$ ($\xi \approx 0.7$) ; plus d’un rebond visible signifie un $Q$ nettement supérieur à $1$ : l’amortisseur est usé.