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title: "ऊष्मा इंजन और मशीनें"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1"
subject: physics
language: hi
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/24-heat-engines-and-machines
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# अध्याय 24 — ऊष्मा इंजन और मशीनें

कार का इंजन, कोई बिजलीघर, कोई [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine) और कोई [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) — ये चारों एक ही वस्तु के चार पहलू हैं: कोई तरल किसी चक्र पर घुमाया जाता है, बारी-बारी से किसी गरम स्रोत और किसी ठंडे स्रोत के संस्पर्श में आता है, दोनों के साथ ऊष्मा और किसी दंड के साथ कार्य का आदान-प्रदान करता है। पहला नियम ऊर्जा का बहीखाता रखता है; और दूसरा नियम, एक चक्र पर के एन्ट्रॉपी-संतुलन के ज़रिए, वह सीमा बाँध देता है जिसे कोई चतुराई नहीं हरा सकती — यानी [कार्नो की प्रमेय](#thm-b1-heat-engines-carnot), अभियांत्रिकी की सबसे दूरगामी असमिका। यह अध्याय उस सीमा को व्युत्पन्न करता है, आदर्श चक्र और उसके पास आते वास्तविक चक्रों (ओटो, डीज़ल, स्टर्लिंग) की गणना करता है, मशीन को उलटकर ठंडक बनाता तथा घर गरम करता है, और दिखाता है कि किसी वास्तविक मशीन की सृजित एन्ट्रॉपी की क़ीमत, जूल-दर-जूल, खोए हुए कार्य में चुकाई जाती है।

## 24.1 चक्रीय मशीनें और दोनों नियम

**परिभाषा 24.1 (ऊष्मागतिक मशीन).**

*ऊष्मागतिक मशीन* कोई ऐसा [संवृत निकाय](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/12-newtons-laws-of-dynamics#def-b1-newton-dynamics-conservation) (कार्यकारी तरल) है जिसे किसी *चक्र* पर घुमाया जाता है, ताकि वह आवर्ती रूप से उसी अवस्था में लौट आए, और इस बीच वह बाहर के साथ कार्य $W$ का तथा ऊष्मा $Q_i$ का आदान-प्रदान उन स्रोतों के साथ करता रहे जो तापों $T_i$ पर हैं — ये स्रोत *ऊष्मा-भंडार* हैं, जिनका ताप इस आदान-प्रदान से नहीं बदलता। कोई *द्वितापी* मशीन दो ऊष्मा-भंडार काम में लेती है: $T_h$ पर गरम स्रोत और $T_c < T_h$ पर ठंडा स्रोत। वह *इंजन* है यदि वह कार्य देती हो ($W < 0$), *प्रशीतक* यदि उसे चलाकर ($W > 0$) ठंडे स्रोत से ऊष्मा ली जाती हो, और *ऊष्मा पंप* यदि उसे चलाकर गरम स्रोत को ऊष्मा दी जाती हो। सारी राशियाँ एक चक्र पर, बीजगणितीय रूप से, तरल को मिली हुई के रूप में गिनी जाती हैं।

**प्रमेय 24.2 (एक चक्र पर दोनों नियम; क्लॉज़ियस असमिका).**

किसी द्वितापी मशीन के एक चक्र पर,

$$
W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad
\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{created}} \leq 0 ,
$$

जहाँ दूसरे संबंध में समता तभी और केवल तभी होती है जब चक्र उत्क्रमणीय हो। और आम तौर पर, कितने भी ऊष्मा-भंडारों के लिए, $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (*[क्लॉज़ियस असमिका](#thm-b1-heat-engines-clausius)*)।

**उपपत्ति.** $U$ और $S$ अवस्था फलन हैं, अतः किसी चक्र पर $\Delta U = 0$ और $\Delta S = 0$ रहते हैं। पहला नियम $0 = W + Q_h + Q_c$ देता है; और एन्ट्रॉपी-संतुलन ([प्रमेय 23.1](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/23-the-second-law-entropy#thm-b1-second-law-entropy-secondlaw)) $0 = S_{\mathrm{exch}} +
S_{\mathrm{created}}$ देता है, जहाँ $S_{\mathrm{exch}} = \sum Q_i/T_i$ है, क्योंकि हर [ऊष्मा-भंडार](#def-b1-heat-engines-machine) अपने ही स्थिर ताप पर आदान-प्रदान करता है ([प्रतिज्ञप्ति 23.5](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/23-the-second-law-entropy#prop-b1-second-law-entropy-thermostat))। ∎

**उपप्रमेय 24.3 (केल्विन, फिर से).**

किसी *एकतापी* मशीन ($Q_c = 0$) के लिए $Q_h \leq 0$ होता है, अतः $W \geq 0$: यानी कोई चक्र किसी अकेले स्रोत की ऊष्मा को कार्य में नहीं बदल सकता। कोई जहाज़ समुद्र को ठंडा करके नहीं चल सकता — किसी इंजन को ऊष्मा छोड़ने के लिए कोई ठंडा स्रोत चाहिए, और दूसरा नियम बताता है कि कितनी छोड़नी पड़ेगी।

![किसी द्वितापी चक्र को घुमाने के दो ढंग। बाएँ: इंजन गरम स्रोत से ऊष्मा लेता है, उसका कुछ भाग ठंडे स्रोत को छोड़ देता है और अंतर को कार्य के रूप में दे देता है। दाएँ: वही मशीन उलटी चलाने पर ऊष्मा को ठंडे से गरम की ओर पंप करती है; वह प्रशीतक है यदि हमें Q_c चाहिए, और ऊष्मा पंप यदि हमें |Q_h| चाहिए।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-614f24afd449.svg)

*किसी द्वितापी चक्र को घुमाने के दो ढंग। बाएँ: इंजन गरम स्रोत से ऊष्मा लेता है, उसका कुछ भाग ठंडे स्रोत को छोड़ देता है और अंतर को कार्य के रूप में दे देता है। दाएँ: वही मशीन उलटी चलाने पर ऊष्मा को ठंडे से गरम की ओर पंप करती है; वह [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine) है यदि हमें $Q_c$ चाहिए, और [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) यदि हमें $|Q_h|$ चाहिए।*

## 24.2 कार्नो की प्रमेय

**परिभाषा 24.4 (दक्षता और निष्पादन गुणांक).**

किसी इंजन की *दक्षता* वह कार्य है जो वह गरम स्रोत से ली गई प्रति एकांक ऊष्मा पर देता है, $\eta = -W/Q_h$; किसी [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine) का *निष्पादन गुणांक* प्रति एकांक कार्य पर बनी ठंडक है, $e_f = Q_c/W$; और किसी [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) का, प्रति एकांक कार्य पर दी गई ऊष्मा, $e_p = -Q_h/W$। हर एक “जो हमें चाहिए” और “जो हम चुकाते हैं” का अनुपात है; कोई दक्षता अधिक से अधिक 1 हो सकती है, पर कोई निष्पादन गुणांक 1 से बड़ा भी हो सकता है।

**प्रमेय 24.5 (कार्नो).**

ऊष्मा-भंडारों $T_h > T_c$ के बीच,

$$
\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad
e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad
e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},
$$

जहाँ समता तभी और केवल तभी होती है जब चक्र उत्क्रमणीय हो। ये सीमाएँ केवल तापों पर निर्भर करती हैं — न तरल पर, न क्रियाविधि पर।

**उपपत्ति.** किसी इंजन के लिए ($Q_h > 0$): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$, और [क्लॉज़ियस असमिका](#thm-b1-heat-engines-clausius) $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$ देती है। किसी [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine) के लिए ($Q_c > 0$, $W > 0$): $W = -Q_h - Q_c$, जहाँ $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$, अतः $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ और $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$। [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) के लिए, $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$। समता वही उत्क्रमणीय स्थिति है, जिसमें हर जगह $S_{\mathrm{created}} = 0$ हो। ∎

**उदाहरण 24.6 (तीन आँकड़े).**

$T_h = 800\,\mathrm{K}$ और $T_c = 300\,\mathrm{K}$ की किसी नदी के बीच चलती कोई भाप-टरबाइन: $\eta_C = 0.625$; वास्तविक संयंत्र लगभग $0.40$ तक पहुँचते हैं। भीतर $275\,\mathrm{K}$ और $298\,\mathrm{K}$ की किसी रसोई के बीच का कोई घरेलू [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine): $e_f \leq 275/23 = 12$; वास्तविक मशीनें $2$ से $4$ देती हैं। और किसी घर को $293\,\mathrm{K}$ पर गरम करता कोई [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine), $273\,\mathrm{K}$ की हवा से: $e_p \leq 293/20 = 14.7$; वास्तविक पंप $3$ से $5$ देते हैं — फिर भी उतनी ही बिजली किसी [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) में जितनी देती, उससे तीन से पाँच गुना ([समस्या 24.1](#pb-b1-heat-engines-1))।

**टिप्पणी 24.7 (दक्षता 1 क्यों नहीं हो सकती).**

कोई इंजन जो ऊष्मा भीतर लेता है उसके साथ एन्ट्रॉपी $Q_h/T_h$ भी पा लेता है; कार्य कुछ भी बाहर नहीं ले जाता; और अकेला निकास वही ऊष्मा है जो ठंडे स्रोत को छोड़ी जाती है और $|Q_c|/T_c$ ले जाती है। एन्ट्रॉपी नष्ट नहीं की जा सकती, अतः कम से कम $Q_h T_c/T_h$ ऊष्मा फेंकनी ही पड़ती है, और कार्य वही है जो बच रहे। ठंडा स्रोत जितना नीचा और गरम स्रोत जितना ऊँचा, उतना अच्छा — इसी से शीतलन-मीनारें हैं, और और भी गरम टरबाइन-पंखुड़ियों की खोज।

## 24.3 कार्नो चक्र

**परिभाषा 24.8 (कार्नो चक्र).**

*कार्नो चक्र* वही उत्क्रमणीय द्वितापी चक्र है: दो उत्क्रमणीय समतापी वक्र, एक $T_h$ पर (गरम स्रोत के संस्पर्श में) और एक $T_c$ पर (ठंडे स्रोत के साथ), जिन्हें दो उत्क्रमणीय रुद्धोष्म चरण (समएन्ट्रॉपी, किसी स्रोत के संस्पर्श के बिना) जोड़ते हैं। $(V, P)$ तल में घड़ी की दिशा में घुमाने पर वह इंजन है; उलटी दिशा में, [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine) या [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine)। और [एन्ट्रॉपी आरेख](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/23-the-second-law-entropy#def-b1-second-law-entropy-TS) में वह एक आयत है।

**प्रतिज्ञप्ति 24.9 (आदर्श गैस का कार्नो चक्र).**

[आदर्श गैस](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) के $n$ मोलों को $A \to B$ (समतापी $T_h$, प्रसार), $B \to C$ (रुद्धोष्म), $C \to D$ (समतापी $T_c$, संपीडन), $D \to A$ (रुद्धोष्म) पर घुमाने पर:

$$
Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,
$$

यानी कार्नो का मान — जैसा किसी भी उत्क्रमणीय द्वितापी चक्र के लिए होना ही चाहिए।

**उपपत्ति.** किसी समतापी वक्र पर $\Delta U = 0$, अतः $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{अंतिम}}/
V_{\text{आरंभिक}})$। रुद्धोष्म चरणों पर $TV^{\gamma-1}$ अचर रहता है: यानी $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ और $T_hV_A^{\gamma-1} = T_cV_D^{\gamma-1}$, जिससे $V_C/V_D = V_B/V_A$ और $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) =
-nRT_c\ln(V_B/V_A)$। फिर $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$। ∎

![आदर्श गैस का कार्नो चक्र। बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में दो समतापी और दो (अधिक खड़े) रुद्धोष्म वक्र, घड़ी की दिशा में तय किए हुए; घिरा हुआ क्षेत्रफल दिया गया कार्य है। दाएँ: वही चक्र एन्ट्रॉपी आरेख में T_h - T_c ऊँचाई और Q_h/T_h चौड़ाई का एक आयत है; उसका क्षेत्रफल फिर से -W है, और उस क्षेत्रफल का ऊपरी भुजा के नीचे के क्षेत्रफल Q_h से अनुपात, देखते ही, 1 - T_c/T_h निकल आता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-64f5e24b9a3d.svg)

![आदर्श गैस का कार्नो चक्र। बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में दो समतापी और दो (अधिक खड़े) रुद्धोष्म वक्र, घड़ी की दिशा में तय किए हुए; घिरा हुआ क्षेत्रफल दिया गया कार्य है। दाएँ: वही चक्र एन्ट्रॉपी आरेख में T_h - T_c ऊँचाई और Q_h/T_h चौड़ाई का एक आयत है; उसका क्षेत्रफल फिर से -W है, और उस क्षेत्रफल का ऊपरी भुजा के नीचे के क्षेत्रफल Q_h से अनुपात, देखते ही, 1 - T_c/T_h निकल आता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-a7ec08597e47.svg)

*[आदर्श गैस](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) का [कार्नो चक्र](#def-b1-heat-engines-carnotcycle)। बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में दो समतापी और दो (अधिक खड़े) रुद्धोष्म वक्र, घड़ी की दिशा में तय किए हुए; घिरा हुआ क्षेत्रफल दिया गया कार्य है। दाएँ: वही चक्र [एन्ट्रॉपी आरेख](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/23-the-second-law-entropy#def-b1-second-law-entropy-TS) में $T_h - T_c$ ऊँचाई और $Q_h/T_h$ चौड़ाई का एक आयत है; उसका क्षेत्रफल फिर से $-W$ है, और उस क्षेत्रफल का ऊपरी भुजा के नीचे के क्षेत्रफल $Q_h$ से अनुपात, देखते ही, $1 - T_c/T_h$ निकल आता है।*

**टिप्पणी 24.10 (कार्नो का चक्र एक प्रमेय है, कोई इंजन नहीं).**

उत्क्रमणीय समतापी वक्रों के लिए ऊष्मा का हस्तांतरण अपरिमित रूप से धीमा और लुप्त होते ताप-अंतर के पार होना चाहिए: यानी कोई कार्नो इंजन अपना अधिकतम कार्य शून्य शक्ति पर देता है। वास्तविक मशीनें अपने विनिमयकों में परिमित ताप-अंतर स्वीकार करके [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) के बदले शक्ति ख़रीदती हैं ([अभ्यास 24.10](#exo-b1-heat-engines-10)); और कार्नो का मान वही छत बना रहता है जिससे हर अभिकल्प नापा जाता है।

## 24.4 वास्तविक इंजन-चक्र

**प्रतिज्ञप्ति 24.11 (ओटो चक्र).**

आदर्शीकृत पेट्रोल इंजन हवा ($\gamma$) को इस तरह घुमाता है: $1 \to 2$ $V_1$ से $V_2$ तक रुद्धोष्म संपीडन (*[संपीडन अनुपात](#prop-b1-heat-engines-otto)* $r = V_1/V_2$); $2 \to 3$ समआयतनिक तापन (यानी दहन); $3 \to 4$ वापस $V_1$ तक रुद्धोष्म प्रसार; $4 \to 1$ समआयतनिक शीतलन (यानी निकास)। उसकी [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) यह है

$$
\eta_{\text{ओटो}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .
$$

**उपपत्ति.** ऊष्मा का आदान-प्रदान केवल समआयतनिक चरणों पर: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ और $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$। रुद्धोष्म चरणों पर $TV^{\gamma-1}$ अचर है: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ और $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$, अतः $T_3 - T_2 =
(T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ और $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$। ∎

**उदाहरण 24.12 (किसी पेट्रोल इंजन के आँकड़े).**

$r = 9$, $\gamma = 1.4$: $9^{0.4} = 2.41$ और $\eta = 0.58$। कोई वास्तविक इंजन लगभग $0.30$ देता है: दहन तात्क्षणिक नहीं होता, $2500\,\mathrm{K}$ पर गैस आदर्श नहीं रहती, दीवारों को ऊष्मा रिसती है, और घर्षण तथा पंपन अपना हिस्सा ले जाते हैं। $r$ बढ़ाना मदद करता है — जब तक हवा–ईंधन मिश्रण संपीडन के अंत में अपने आप न जल उठे (खटखट); और डीज़ल इंजन इसी अवगुण को अपना सिद्धांत बना लेता है।

**प्रतिज्ञप्ति 24.13 (डीज़ल चक्र).**

[ओटो चक्र](#prop-b1-heat-engines-otto) के समआयतनिक तापन की जगह समदाबी तापन रख दीजिए, $V_2$ से $V_3 = \rho V_2$ तक (*अंतःक्षेप अनुपात* $\rho > 1$): [संपीडन अनुपात](#prop-b1-heat-engines-otto) $r$ के $15$ से $22$ तक होने से हवा पहले ही गरम हो चुकी होती है, और उसमें अंतःक्षिप्त ईंधन आते ही जल जाता है। तब

$$
\eta_{\text{डीज़ल}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,
$$

जो उसी $r$ के लिए ओटो के मान से छोटा है, पर कहीं बड़े $r$ के साथ पाया जाता है, अतः व्यवहार में बड़ा (बड़े इंजनों के लिए $0.40$ से $0.45$)।

**उपपत्ति.** $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$, $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$, अतः $\eta = 1 -
(T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$। $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$, $T_3 =
\rho T_2$ के साथ, और रुद्धोष्म चरण $3 \to 4$ पर ($V_4 = V_1 = rV_2$), $T_4 =
T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$: $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$। ∎

![बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में ओटो चक्र (r = 4 के साथ खींचा हुआ): दो रुद्धोष्म और दो समआयतनिक वक्र; ऊष्मा ऊपरी मृत केंद्र पर भीतर आती है और निकास के साथ चली जाती है। दाएँ: संपीडन अनुपात के सामने आदर्श दक्षताएँ; बिंदुदार रेखाएँ किसी पेट्रोल इंजन (r = 9) और किसी डीज़ल (r = 18, = 2) को चिह्नित करती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-cda06e1dec2e.svg)

![बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में ओटो चक्र (r = 4 के साथ खींचा हुआ): दो रुद्धोष्म और दो समआयतनिक वक्र; ऊष्मा ऊपरी मृत केंद्र पर भीतर आती है और निकास के साथ चली जाती है। दाएँ: संपीडन अनुपात के सामने आदर्श दक्षताएँ; बिंदुदार रेखाएँ किसी पेट्रोल इंजन (r = 9) और किसी डीज़ल (r = 18, = 2) को चिह्नित करती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-49854cb49a78.svg)

*बाएँ: क्लैपेरॉन आरेख में [ओटो चक्र](#prop-b1-heat-engines-otto) ($r = 4$ के साथ खींचा हुआ): दो रुद्धोष्म और दो समआयतनिक वक्र; ऊष्मा ऊपरी मृत केंद्र पर भीतर आती है और निकास के साथ चली जाती है। दाएँ: [संपीडन अनुपात](#prop-b1-heat-engines-otto) के सामने आदर्श दक्षताएँ; बिंदुदार रेखाएँ किसी पेट्रोल इंजन ($r = 9$) और किसी डीज़ल ($r = 18$, $\rho = 2$) को चिह्नित करती हैं।*

**प्रतिज्ञप्ति 24.14 (स्टर्लिंग चक्र और पुनर्जनक).**

दो समतापी वक्र ($T_c$, $T_h$), जिन्हें दो समआयतनिक वक्र जोड़ते हैं। समआयतनिक चरणों की ऊष्मा, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$, बराबर और विपरीत है; और यदि उसे ठंडे होते चरण पर किसी *पुनर्जनक* में (यानी किसी सरंध्र पिंड में, जिसमें से गैस बहती है) संचित करके गरम होते चरण पर लौटा दिया जाए, तो स्रोतों के साथ आदान-प्रदान केवल समतापी वक्र करते हैं, और $\eta = 1 - T_c/T_h$: यानी स्टर्लिंग इंजन अपने चक्र के आकार को छोड़कर हर बात में कार्नो इंजन ही है। पुनर्जनक के बिना समआयतनिक ऊष्मा गरम स्रोत से आनी पड़ती है और $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$, जो काफ़ी कम है ([अभ्यास 24.8](#exo-b1-heat-engines-8))।

**उपपत्ति.** समतापी वक्रों पर $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ और $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$, अतः समआयतनिक ऊष्माओं के कट जाने पर $-W = Q_h + Q_c + 0$; और हर स्थिति में उसे उस ऊष्मा से भाग दीजिए जो वास्तव में गरम स्रोत से ली गई। ∎

**टिप्पणी 24.15 (भाप और गैस टरबाइन).**

बिजलीघर किसी बेलन में गैस नहीं, बल्कि पानी काम में लेते हैं, जिसे उबाला जाता है, किसी टरबाइन में फैलाया जाता है, संघनित करके वापस पंप कर दिया जाता है (यानी रैंकिन चक्र, जिसमें दो प्रावस्था-परिवर्तन हैं — [अध्याय 25](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/25-phase-changes-of-a-pure-substance#ch-b1-phase-changes)); या फिर हवा, जिसे संपीडित किया जाता है, दहन से गरम किया जाता है और किसी गैस-टरबाइन में फैलाया जाता है (यानी ब्रेटन चक्र, दो रुद्धोष्म और दो समदाबी वक्र)। इनके विश्लेषण के लिए किसी बहते तरल का ऊर्जा-संतुलन चाहिए, जो वर्ष 2 के खंड में है; कार्नो की सीमा और इस अध्याय का तर्क ज्यों-का-त्यों लागू रहते हैं।

## 24.5 प्रशीतक और ऊष्मा पंप

**परिभाषा 24.16 (वाष्प-संपीडन चक्र).**

लगभग हर [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine), हिमकारक, वातानुकूलक और [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) किसी *शीतलक* को चार घटकों पर घुमाता है: कोई *संपीडक* (जो कार्य लेता है और वाष्प का दाब बढ़ाता है), कोई *संघनित्र* (जिसमें गरम वाष्प ऊँचे दाब पर द्रवित होकर गरम ओर को $|Q_h|$ छोड़ देती है), कोई *प्रसार कपाट* (जिसमें द्रव बिना कार्य या ऊष्मा के नीचे दाब पर उतर आता है और कुछ भाग वाष्प बन जाता है), और कोई *वाष्पित्र* (जिसमें बचा हुआ भाग नीचे दाब पर उबलकर ठंडी ओर से $Q_c$ सोख लेता है)। ऊष्मा वाष्पन की गुप्त ऊष्मा के रूप में ढोई जाती है, और दोनों दाब ही दोनों क्वथन-ताप तय करते हैं ([अध्याय 25](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/25-phase-changes-of-a-pure-substance#ch-b1-phase-changes))।

![वाष्प-संपीडन चक्र। शीतलक वाष्पित्र में उबलता है, जो ठंडी ओर से भी ठंडा है, और संघनित्र में संघनित होता है, जो गरम ओर से भी गरम है: अतः हर विनिमयक के पार ऊष्मा अपने स्वाभाविक ढंग से बहती है, और उसे T_ ev से T_ cd तक उठाने की क़ीमत संपीडक चुकाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-a418e6076bf8.svg)

*[वाष्प-संपीडन चक्र](#def-b1-heat-engines-vapourcycle)। [शीतलक](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) वाष्पित्र में उबलता है, जो ठंडी ओर से भी ठंडा है, और संघनित्र में संघनित होता है, जो गरम ओर से भी गरम है: अतः हर विनिमयक के पार ऊष्मा अपने स्वाभाविक ढंग से बहती है, और उसे $T_{\mathrm{ev}}$ से $T_{\mathrm{cd}}$ तक उठाने की क़ीमत संपीडक चुकाता है।*

**प्रतिज्ञप्ति 24.17 (ताप-अंतरों की क़ीमत).**

जो उत्क्रमणीय मशीन अपने ही भीतरी तापों $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ और $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ के बीच काम करे, उसका $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$ होता है, जो स्रोतों के बीच के कार्नो मान से छोटा है; और कोई वास्तविक मशीन उसका भी एक अंश (प्रायः $0.4$ से $0.6$) ही पाती है। अतः किसी [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) का निष्पादन बाहर का ताप गिरने के साथ और तापन-परिपथ की माँग का ताप बढ़ने के साथ गिरता जाता है।

**उपपत्ति.** [प्रमेय 24.5](#thm-b1-heat-engines-carnot) को उस तरल पर लगाइए जिसके [ऊष्मा-भंडार](#def-b1-heat-engines-machine) प्रभावी रूप से विनिमयकों के ताप हैं; और $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} >
T_h - T_c$ अनुपात को घटा देता है। ∎

![बाहर के ताप के सामने किसी ऊष्मा पंप का निष्पादन गुणांक: घर (20 C) और बाहर की हवा के बीच कार्नो सीमा; विनिमयकों के ताप-अंतर गिन लेने पर वही सीमा (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ out - 8\, K); और उसके 0.55 पर कोई यथार्थ मशीन। -10 C पर भी वास्तविक पंप बिजली के हर जूल पर लगभग तीन जूल ऊष्मा देता है, जहाँ कोई प्रतिरोधक एक ही देता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-8c417d7a2946.svg)

*बाहर के ताप के सामने किसी [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) का [निष्पादन गुणांक](#def-b1-heat-engines-efficiency): घर ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$) और बाहर की हवा के बीच कार्नो सीमा; विनिमयकों के ताप-अंतर गिन लेने पर वही सीमा ($T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$); और उसके $0.55$ पर कोई यथार्थ मशीन। $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर भी वास्तविक पंप बिजली के हर जूल पर लगभग तीन जूल ऊष्मा देता है, जहाँ कोई [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) एक ही देता है।*

**उदाहरण 24.18 (ऊष्मा पंप या प्रतिरोधक?).**

बाहर $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $6\,\mathrm{kW}$ खोते किसी घर को प्रतिरोधकों से $6\,\mathrm{kW}$ बिजली चाहिए; $268\,\mathrm{K}$ से $293\,\mathrm{K}$ तक का कोई आदर्श [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$ माँगता; और वह वास्तविक पंप, जिसके विनिमयकों के ताप $260\,\mathrm{K}$ तथा $313\,\mathrm{K}$ हों और गुणवत्ता-गुणक $0.55$ हो, $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$ के साथ $1.9\,\mathrm{kW}$ माँगता है। सप्ताहांत समस्या पूरा मौसम पार करती है, एन्ट्रॉपी समेत।

## 24.6 एन्ट्रॉपी और खोया कार्य

**प्रमेय 24.19 (खोया कार्य).**

प्रति चक्र एन्ट्रॉपी $S_{\mathrm{created}}$ सृजित करता कोई द्वितापी इंजन इतना देता है

$$
-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{created}} ,
$$

और $|Q_h|$ देता कोई द्वितापी [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{created}}$ खपाता है: यानी प्रति [केल्विन](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) सृजित हर जूल $T_c$ जूल कार्य की क़ीमत माँगता है, और ठंडे स्रोत का ताप ही एन्ट्रॉपी तथा कार्य के बीच की विनिमय-दर है।

**उपपत्ति.** [प्रमेय 24.2](#thm-b1-heat-engines-clausius) से, $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{created}})$; इसे $-W = Q_h + Q_c$ में रखिए। पंप के लिए वही दोनों संबंध $Q_h < 0$ के साथ लिखिए। ∎

**विधि 24.20 (किसी मशीन का लेखा-जोखा).**

हर स्रोत के साथ आदान-प्रदान की गई ऊष्माएँ और कार्य नापिए (या निकालिए); पहला नियम जाँचिए; प्रति चक्र या प्रति सेकंड $S_{\mathrm{created}} = -\sum Q_i/T_i$ निकालिए; खोई हुई शक्ति $T_c\dot S_{\mathrm{created}}$ है; और सृजन कहाँ हो रहा है यह पता करने के लिए (विनिमयकों में परिमित ताप-अंतर, घर्षण, अवरोधन, अनर्ध-स्थैतिक संपीडन) एन्ट्रॉपी-संतुलन को बारी-बारी से हर घटक पर लगाइए। जो घटक कोई एन्ट्रॉपी नहीं सृजित करता, उसे सुधारने का कोई लाभ नहीं।

**उदाहरण 24.21 (किसी बिजलीघर का लेखा).**

गरम स्रोत $800\,\mathrm{K}$, नदी $300\,\mathrm{K}$, $1.0\,\mathrm{GW}$ बिजली, $\eta = 0.40$ पर: $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$, $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$, अतः $\dot S_{\mathrm{created}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ और खोई हुई शक्ति $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$: यानी ठीक वह अंतर जो कार्नो के निर्गत $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ और वास्तविक $1.0\,\mathrm{GW}$ के बीच है। नदी उस $1.5\,\mathrm{GW}$ से गरम होती है जो उसे ढोनी पड़ती है; और गर्मियों में, जब वह गरम तथा उथली रहती है, संयंत्र अपना निर्गत घटा लेते हैं।

## 24.7 अभ्यास

**अभ्यास 24.1 ★.**

कोई बिजलीघर $800\,\mathrm{K}$ पर ऊष्मा लेता है और उसे $300\,\mathrm{K}$ की किसी नदी को छोड़ देता है। [कार्नो दक्षता](#thm-b1-heat-engines-carnot); और यदि वास्तविक [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$ हो तथा विद्युत निर्गत $1.0\,\mathrm{GW}$, तो प्रति सेकंड ईंधन से ली गई ऊष्मा और नदी को छोड़ी गई ऊष्मा।

**हल — अभ्यास 24.1.**

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$। $0.40$ पर: ईंधन से $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$, और नदी में $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ — यानी जितनी बिकती है उससे अधिक ऊष्मा फेंक दी जाती है।

**अभ्यास 24.2 ★.**

कोई [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine) $298\,\mathrm{K}$ की किसी रसोई में अपने भीतर का ताप $275\,\mathrm{K}$ बनाए रखता है। अधिकतम [निष्पादन गुणांक](#def-b1-heat-engines-efficiency); और $3$ के किसी वास्तविक गुणांक के साथ, दीवारों से भीतर रिसते $100\,\mathrm{W}$ हटाने के लिए आवश्यक [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)।

**हल — अभ्यास 24.2.**

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$। $e_f = 3$ के साथ: $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (और $133\,\mathrm{W}$ रसोई में चले जाते हैं)।

**अभ्यास 24.3 ★.**

$r = 9$ और $\gamma = 1.4$ वाले किसी [ओटो चक्र](#prop-b1-heat-engines-otto) की आदर्श [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency); और $r = 11$ (किसी आधुनिक सीधे-अंतःक्षेप इंजन) के साथ। $r = 20$ क्यों नहीं?

**हल — अभ्यास 24.3.**

$r = 9$: $9^{0.4} = 2.41$, $\eta = 0.585$; $r = 11$: $11^{0.4} = 2.61$, $\eta = 0.62$। $r = 20$ पर पेट्रोल–हवा का मिश्रण, लगभग $900\,\mathrm{K}$ तक संपीडित होकर, स्फुलिंग से पहले ही जल उठता (खटखट) और इंजन नष्ट कर देता; केवल डीज़ल, जो अकेली हवा संपीडित करता है, वहाँ तक जा सकता है।

**अभ्यास 24.4 ★.**

कोई [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) $280\,\mathrm{K}$ की बाहरी हवा से $300\,\mathrm{K}$ पर किसी घर को गरम करता है। अधिकतम $e_p$; $5\,\mathrm{kW}$ की तापन-माँग के लिए उस आदर्श पंप से और $e_p = 3.5$ वाले किसी वास्तविक पंप से आवश्यक [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff); और किसी [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) से तुलना कीजिए।

**हल — अभ्यास 24.4.**

$e_p \leq 300/20 = 15$: आदर्श शक्ति $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$; वास्तविक, $5/3.5 =
1.43\,\mathrm{kW}$; और [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor), $5\,\mathrm{kW}$।

**अभ्यास 24.5 ★★.**

[आदर्श गैस](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-model) का एक [मोल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) ($\gamma = 1.4$) $T_h = 500\,\mathrm{K}$ और $T_c = 300\,\mathrm{K}$ के बीच [कार्नो चक्र](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) चलाता है; गरम समतापी वक्र उसे $1.0\,\mathrm{L}$ से $3.0\,\mathrm{L}$ तक ले जाता है। $V_C$, $V_D$, $Q_h$, $Q_c$, $W$ निकालिए और [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) जाँचिए।

**हल — अभ्यास 24.5.**

रुद्धोष्म चरण: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} =
10.8\,\mathrm{L}$, $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (अतः $V_C/V_D = 3 =
V_B/V_A$)। $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$, $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$, $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$।

**अभ्यास 24.6 ★★.**

कोई आविष्कारक ऐसी चक्रीय मशीन का दावा करता है जो $400\,\mathrm{K}$ के किसी स्रोत से प्रति चक्र $1000\,\mathrm{J}$ लेती है, $300\,\mathrm{K}$ के किसी स्रोत को $800\,\mathrm{J}$ छोड़ती है और $200\,\mathrm{J}$ कार्य देती है। संभव है? प्रति चक्र सृजित एन्ट्रॉपी। कोई दूसरा आविष्कारक उन्हीं $1000\,\mathrm{J}$ से $300\,\mathrm{J}$ कार्य का दावा करता है, और $700\,\mathrm{J}$ छोड़ने का। संभव है? उन $1000\,\mathrm{J}$ से अधिक से अधिक कितना कार्य कोई पा सकता है?

**हल — अभ्यास 24.6.**

पहला दावा: ऊर्जा $200 = 1000 - 800$ बराबर बैठती है; क्लॉज़ियस $1000/400 - 800/300
= 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, अतः $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$: यानी संभव ($\eta = 0.20$)। दूसरा: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$: एन्ट्रॉपी नष्ट करनी पड़ती — यानी असंभव। अधिकतम: $\eta_C = 1 -
300/400 = 0.25$, अर्थात् $250\,\mathrm{J}$।

**अभ्यास 24.7 ★★.**

$r = 18$, $\rho = 2$, $\gamma = 1.4$ वाला [डीज़ल चक्र](#prop-b1-heat-engines-diesel): [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency); उसी $r$ के किसी [ओटो चक्र](#prop-b1-heat-engines-otto) से और $r = 9$ पर के [ओटो चक्र](#prop-b1-heat-engines-otto) से तुलना कीजिए। डीज़ल इतना बड़ा $r$ काम में क्यों ले सकता है?

**हल — अभ्यास 24.7.**

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$: $\eta = 1 -
1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$। $r = 18$ पर ओटो: $1 - 1/3.18 = 0.69$; और $r = 9$ पर: $0.585$। डीज़ल शुद्ध हवा संपीडित करता है: पहले से जल उठने के लिए कोई ईंधन मौजूद ही नहीं होता, और $900\,\mathrm{K}$ की हवा में अंतःक्षिप्त ईंधन आते ही जल जाता है — यानी खटखट की सीमा है ही नहीं।

**अभ्यास 24.8 ★★.**

[द्विपरमाणुक गैस](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) ($C_{V,m} = \tfrac52R$) के एक [मोल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) का, $600\,\mathrm{K}$ और $300\,\mathrm{K}$ के बीच, आयतन-अनुपात $V_1/V_2 = 2$ वाला [स्टर्लिंग चक्र](#prop-b1-heat-engines-stirling)। प्रति चक्र कार्य; और किसी पूर्ण पुनर्जनक के साथ तथा उसके बिना [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency)।

**हल — अभ्यास 24.8.**

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -8.314
\times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$: यानी प्रति चक्र $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$। पुनर्जनक के साथ $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$। उसके बिना गरम स्रोत को $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 =
6.24\,\mathrm{kJ}$ भी देनी पड़ती है: $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$।

**अभ्यास 24.9 ★★.**

$C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ ऊष्मा धारिता के दो एक-से गुटके, जो $T_1 =
400\,\mathrm{K}$ और $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ पर हैं, किसी इंजन के स्रोतों के रूप में तब तक काम में लिए जाते हैं जब तक वे किसी उभयनिष्ठ ताप $T_f$ पर न आ जाएँ। दिखाइए कि अधिकतम कार्य किसी उत्क्रमणीय इंजन से मिलता है, कि तब $T_f = \sqrt{T_1T_2}$ होता है, और $W_{\max}$ निकालिए। यदि गुटके केवल संस्पर्श में रख दिए जाते, तो $T_f$ क्या होता, और तब सृजित एन्ट्रॉपी कितनी?

**हल — अभ्यास 24.9.**

दोनों गुटकों की एन्ट्रॉपी: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) =
C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (इंजन की अपनी एन्ट्रॉपी हर चक्र में अपने मान पर लौट आती है), अतः $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$, और $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (पहला नियम) सबसे छोटे $T_f$ के लिए सबसे बड़ा होता है: यानी उत्क्रमणीय स्थिति, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$, $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$। सीधे संस्पर्श में: $T_f =
350\,\mathrm{K}$, कोई कार्य नहीं, $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) =
82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$।

**अभ्यास 24.10 ★★★.**

*अधिकतम शक्ति पर इंजन।* कोई उत्क्रमणीय इंजन भीतरी तापों $x$ और $y$ के बीच काम करता है, और स्रोतों के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान $K$ चालकता के विनिमयकों से करता है: $\dot Q_h = K(T_h - x)$ और $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$। (क) शक्ति $P$ और उत्क्रमणीय अंतर्भाग की एन्ट्रॉपी-शर्त लिखिए। (ख) दिखाइए कि $y = xT_c/(2x - T_h)$ है और कि $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$, जहाँ $u = 2x - T_h$। (ग) $u$ पर उच्चिष्ठ कीजिए और दिखाइए कि अधिकतम शक्ति पर [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ है। (घ) $T_h = 800\,\mathrm{K}$, $T_c = 300\,\mathrm{K}$ के लिए आँकड़े; [अभ्यास 24.1](#exo-b1-heat-engines-1) से तुलना कीजिए।

**हल — अभ्यास 24.10.**

(क) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$; उत्क्रमणीय अंतर्भाग कोई परिणामी एन्ट्रॉपी का आदान-प्रदान नहीं करता: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$। (ख) आड़ा-तिरछा गुणा कीजिए: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$, अतः $y(T_h - 2x) = -xT_c$ और $y = xT_c/(2x - T_h)$। फिर $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$; और $u = 2x - T_h$ के साथ, $T_h - x = (T_h - u)/2$ तथा $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) =
\tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$। (ग) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 +
T_hT_c/u^2) = 0$ $u = \sqrt{T_hT_c}$ पर, जो कोई उच्चिष्ठ है; तब $x = (T_h +
\sqrt{T_hT_c})/2$, $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$, और $\eta^\ast = 1 - y/x
= 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 -
\sqrt{T_c/T_h}$; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$। (घ) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$, जबकि $\eta_C = 0.625$: यानी [अभ्यास 24.1](#exo-b1-heat-engines-1) का वास्तविक $0.40$ ऐसा इंजन है जो शक्ति के लिए बनाया गया है, [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) के लिए नहीं।

**अभ्यास 24.11 ★★★.**

*अवशोषण [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine)।* बिना किसी चलते पुरज़े वाली कोई मशीन ऊष्मा $Q_h$ किसी ऐसे ज्वालक से लेती है जो $T_h$ पर हो, ऊष्मा $Q_c$ किसी ऐसे ठंडे कक्ष से जो $T_c$ पर हो, और ऊष्मा उस कमरे को छोड़ती है जो $T_0$ पर है ($T_c < T_0 <
T_h$), बिना किसी कार्य के। दिखाइए कि $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$, दोनों गुणकों की व्याख्या कीजिए, और $T_h = 400\,\mathrm{K}$, $T_0 =
300\,\mathrm{K}$, $T_c = 275\,\mathrm{K}$ के लिए वह सीमा निकालिए।

**हल — अभ्यास 24.11.**

चक्र: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ और $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$। $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$ हटाइए: $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$, अर्थात् $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$, जिससे $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$। पहला गुणक ज्वालक और कमरे के बीच किसी कार्नो इंजन की [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) है, और दूसरा कक्ष तथा कमरे के बीच किसी कार्नो [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine) का [निष्पादन गुणांक](#def-b1-heat-engines-efficiency): यानी सीमा वही है जो दोनों को आदर्श ढंग से जोड़ने पर मिलती है। आँकड़े: $0.25 \times 11 = 2.75$ (वास्तविक अवशोषण [प्रशीतक](#def-b1-heat-engines-machine): लगभग $0.6$)।

**अभ्यास 24.12 ★★★.**

*बिजली से तापन, तीन ढंग से।* बिजली $0.40$ [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) के किसी तापीय बिजलीघर में बनाई जाती है। ईंधन की ऊष्मा के प्रति जूल पर किसी घर तक कितनी ऊष्मा पहुँचती है, (क) किसी [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) से, (ख) $e_p = 3.5$ के किसी [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) से, (ग) यदि ईंधन सीधे $0.90$ [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) के किसी बॉयलर में जलाया जाए? (घ) और आदर्श: $800\,\mathrm{K}$ तथा $293\,\mathrm{K}$ के बीच कोई उत्क्रमणीय इंजन, जो $273\,\mathrm{K}$ और $293\,\mathrm{K}$ के बीच किसी उत्क्रमणीय [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) को चलाए — ईंधन के प्रति जूल कितनी ऊष्मा, और उत्तर एक से बड़ा क्यों है, बिना किसी बात का खंडन किए?

**हल — अभ्यास 24.12.**

(क) $0.40\,\mathrm{J}$। (ख) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$। (ग) $0.90\,\mathrm{J}$। (घ) इंजन $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$, पंप $e_p = 293/20 = 14.65$: $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (और इंजन की अपनी $0.37\,\mathrm{J}$, जो $293\,\mathrm{K}$ पर छोड़ी जाती है, घर को गरम कर सकती है: यानी $9.7\,\mathrm{J}$)। एक जूल से अधिक इसलिए कि बाकी बाहर की हवा से उठाया गया है: ऊर्जा संरक्षित रहती है, और दूसरा नियम केवल इतना माँगता है कि एन्ट्रॉपी नष्ट न हो, जिसे कोई उत्क्रमणीय शृंखला ठीक-ठीक निभाती है।

![सर्दियों में हवा से ऊष्मा लेता कोई ऊष्मा पंप: वह बाहर की ठंडी हवा से ऊष्मा लेता है और घर को उतनी बिजली से तीन-चार गुना ऊर्जा दे देता है जितनी वह खपाता है — यही सप्ताहांत समस्या है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/img-4f9781d64fbb.jpg)

*सर्दियों में हवा से ऊष्मा लेता कोई [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine): वह बाहर की ठंडी हवा से ऊष्मा लेता है और घर को उतनी बिजली से तीन-चार गुना ऊर्जा दे देता है जितनी वह खपाता है — यही सप्ताहांत समस्या है।*

## 24.8 समस्या: घर का ऊष्मा पंप

**समस्या 24.1.**

सप्ताहांत समस्या — पूरी सर्दी एक घर को गरम रखना: प्रतिरोधकों से, गैस से, किसी आदर्श ऊष्मा पंप से और किसी वास्तविक पंप से बिल, और वास्तविक पंप की बिजली जाती कहाँ है

कोई घर $K(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ की दर से ऊष्मा खोता है, जहाँ $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; और उसे $T_{\mathrm{in}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर रखा जाता है। अभिकल्प के लिए बाहर का ताप $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$; तापन-मौसम: $200$ दिन, जिनमें बाहर का माध्य ताप $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ हो। क़ीमतें: बिजली 0.25 € प्रति $\mathrm{kW}\mathrm{h}$, गैस 0.10 € प्रति $\mathrm{kW}\mathrm{h}$; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$।

**भाग I — घर और पुराने तरीक़े।**

1. अभिकल्प-ताप पर आवश्यक तापन-शक्ति।
2. पूरे मौसम में आवश्यक ऊर्जा, जूल में और $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ में।
3. विद्युत प्रतिरोधकों के साथ मौसम भर की लागत।
4. $0.90$ [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) के किसी गैस-बॉयलर के साथ लागत।
5. बिजली $0.40$ [दक्षता](#def-b1-heat-engines-efficiency) के किसी तापीय बिजलीघर से आती है। प्रति मौसम, प्रतिरोधकों से और बॉयलर से खपी ईंधन-ऊर्जा; और “विद्युत तापन ऊष्मागतिक रूप से फ़िज़ूलख़र्ची है” पर टिप्पणी कीजिए।

**भाग II — आदर्श [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine)।**

6. $e_p$ को परिभाषित कीजिए और एक चक्र पर दोनों नियमों से सिद्ध कीजिए कि $e_p \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ ।
7. अभिकल्प-ताप पर आदर्श $e_p$ , और तब आवश्यक [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ।
8. मौसम के माध्य ताप पर आदर्श $e_p$ , और (उसी मान को पूरे मौसम के लिए लेकर) मौसम भर की बिजली।
9. भौतिक रूप से समझाइए कि बाहर का ताप गिरने पर $e_p$ क्यों गिरता है, और किसी तापन-युक्ति के लिए यह सबसे बुरा संभव व्यवहार क्यों है।
10. अभिकल्प-बिंदु पर आदर्श पंप $0.53\,\mathrm{kW}$ खींचता है और $6.25\,\mathrm{kW}$ देता है: बाकी $5.7\,\mathrm{kW}$ आते कहाँ से हैं, और बाहर की ठंडी हवा को ठंडा करके किसी गरम घर को गरम करना दूसरे नियम का उल्लंघन क्यों नहीं है?

**भाग III — वास्तविक मशीन।** पंप कोई [वाष्प-संपीडन चक्र](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) चलाता है। [शीतलक](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ पर वाष्पित होता है और $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ पर संघनित (किसी फ़र्श-तापन परिपथ का पानी $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर चलता है); और मशीन उस कार्नो मान का $0.55$ पा लेती है जो $T_{\mathrm{ev}}$ तथा $T_{\mathrm{cd}}$ के बीच निकाला जाए। [शीतलक](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) की गुप्त ऊष्मा: $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$।

11. चक्र के चारों घटकों के नाम बताइए, बताइए कि तरल किसमें $Q_c$ पाता है, किसमें $|Q_h|$ देता है और किसमें $W$ पाता है, और वाष्पित्र को बाहर की हवा से ठंडा तथा संघनित्र को घर से गरम क्यों होना चाहिए।
12. अभिकल्प-ताप पर: $T_{\mathrm{ev}}$ , और कार्नो $e_p$ , $T_{\mathrm{ev}}$ तथा $T_{\mathrm{cd}}$ के बीच।
13. अभिकल्प-ताप पर वास्तविक $e_p$ , खींची गई [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) , और बाहर की हवा से ली गई ऊष्मा।
14. वाष्पित्र से होकर [शीतलक](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) की द्रव्यमान-प्रवाह दर।
15. वही प्रश्न (वास्तविक $e_p$ , [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ) $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ के माध्य ताप पर, जहाँ घर $3.25\,\mathrm{kW}$ खोता है।
16. $e_p$ को $T_{\mathrm{out}}$ के फलन के रूप में दीजिए; और माध्य-ताप वाला $e_p$ पूरे मौसम के लिए लेकर मौसम भर की बिजली तथा लागत। भाग I से तुलना कीजिए।
17. ऊष्मा-पंप वाले मौसम के लिए बिजलीघर में खपी ईंधन-ऊर्जा; प्रतिरोधकों और बॉयलर से तुलना कीजिए।
18. $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ की कोई शीत-लहर: ऊष्मा की माँग, वास्तविक $e_p$ , और पंप उसे दे पाता तो कितनी [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) । असल में संपीडक की क्षमता $T_{\mathrm{ev}}$ के साथ गिरती है और पंप वहाँ केवल $3.8\,\mathrm{kW}$ दे पाता है: आवश्यक सहायक प्रतिरोधक-शक्ति, और “ [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) का आकार तय करने” का अर्थ।
19. यदि घर में $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ का पानी माँगते पुराने रेडिएटर होते ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): अभिकल्प-ताप पर वास्तविक $e_p$ और [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ; और उत्सर्जकों के चुनाव पर निष्कर्ष निकालिए।

**भाग IV — बिजली जाती कहाँ है।**

20. दिखाइए कि जो [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) घर को $|Q_h|$ देता हो, $T_{\mathrm{in}}$ पर, और $T_{\mathrm{out}}$ की बाहरी हवा से लेता हो, उसके लिए $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}) + T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ ।
21. अभिकल्प-बिंदु पर, संघनित्र के पार ( $313\,\mathrm{K}$ से घर तक) और वाष्पित्र के पार (बाहर की हवा से $260\,\mathrm{K}$ तक) ऊष्मा के हस्तांतरण से प्रति सेकंड सृजित एन्ट्रॉपी।
22. ये दोनों ताप-अंतर कितनी [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) की क़ीमत माँगते हैं; और खींची गई $1.92\,\mathrm{kW}$ का कितना अंश।
23. वास्तविक मशीन द्वारा प्रति सेकंड सृजित कुल एन्ट्रॉपी (उसकी $1.92\,\mathrm{kW}$ की तुलना आदर्श $0.53\,\mathrm{kW}$ से कीजिए); उसमें विनिमयकों का हिस्सा; और बाकी स्रोतों के नाम बताइए।
24. दोनों अंतर आधे कर दीजिए ( $4\,\mathrm{K}$ और $10\,\mathrm{K}$ ): विनिमयकों में सृजित एन्ट्रॉपी और बची हुई [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ; किसी अंतर को आधा करना अभिकल्पक को क्या क़ीमत देता है?
25. तीन आँकड़ों में सार दीजिए: मौसम भर में बिजली के प्रति किलोवाट-घंटे पर ऊष्मा के कितने किलोवाट-घंटे; गैस के सामने मौसम भर की लागत; और, बिजली के प्रति $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ पर $60\,\mathrm{g}$ CO $_2$ तथा गैस के $200\,\mathrm{g}$ के साथ, हर रास्ते से निकला कार्बन।

**हल — समस्या 24.1.**

**1.** $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$।

**2.** माध्य हानि $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$, और $200 \times 86400 =
1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ के लिए: $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$।

**3.** $15600 \times 0.25 = 3900$ €।

**4.** गैस $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: यानी $1730$ €।

**5.** [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor): ईंधन की $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$; बॉयलर $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: यानी $2.25$ गुना कम। बिजली कार्य है, वह रूप जो कुछ भी कर सकता है; उसे किसी [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) में $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ की ऊष्मा बना देना उस $60\%$ ईंधन को भी फेंक देता है जो बिजलीघर में पहले ही खो चुका है, और [ऊष्मा पंप](#def-b1-heat-engines-machine) करने की संभावना को भी।

**6.** किसी चक्र पर $W + Q_h + Q_c = 0$ और $Q_h/T_{\mathrm{in}} +
Q_c/T_{\mathrm{out}} \leq 0$, जहाँ $Q_h < 0$, $Q_c > 0$: अतः $Q_c \leq
|Q_h|T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}$, इसलिए $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 -
T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}})$ और $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}})$।

**7.** $293/25 = 11.7$; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$।

**8.** $293/13 = 22.5$; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (लगभग $170$ €)।

**9.** प्रति उठाए गए जूल पर कार्य $(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})/
T_{\mathrm{in}}$ है, यानी उठान की “ऊँचाई”; बाहर जितनी ठंड, हर जूल को उतना ही ऊँचा पंप करना पड़ता है — और जूल भी उतने ही अधिक चाहिए, क्योंकि हानि भी $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$ के समानुपाती है: अतः [विद्युत शक्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ताप-अंतर के वर्ग की तरह बढ़ती है, और ठीक तभी सबसे बुरी होती है जब तापन सबसे अधिक ज़रूरी है।

**10.** बाहर की हवा से, जो ठंडी की जाती है: $Q_c = 6.25 - 0.53 =
5.7\,\mathrm{kW}$। दूसरा नियम ऊष्मा के ठंडे से गरम की ओर *अपने आप* बहने को मना करता है; यहाँ उठान की क़ीमत कार्य चुकाता है। जाँच: हवा से ली गई एन्ट्रॉपी $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, घर को दी गई एन्ट्रॉपी $6.25/293 =
21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — कुछ नष्ट नहीं, कुछ सृजित नहीं: यही आदर्श पंप है।

**11.** संपीडक ($W$ लेता है), संघनित्र ($|Q_h|$ देता है), प्रसार कपाट (कुछ नहीं), वाष्पित्र ($Q_c$ लेता है)। ऊष्मा केवल ताप की ढलान पर नीचे ही बहती है: अतः [शीतलक](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) को हवा से ठंडा होना चाहिए ताकि उससे ऊष्मा ले सके, और घर के पानी से गरम ताकि उसे ऊष्मा दे सके।

**12.** $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$; $e_{p,C} = 313/(313 - 260)
= 5.9$।

**13.** $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$; हवा से $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$।

**14.** $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$, यानी मिनट भर में $1.3\,\mathrm{kg}$।

**15.** $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$, $313/41 = 7.6$, $e_p = 4.2$; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$।

**16.** $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{out}}) = 172/(321 -
T_{\mathrm{out}})$ ($T_{\mathrm{out}}$ [केल्विन](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/20-kinetic-theory-and-the-perfect-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) में)। मौसम: $15600/4.2 =
3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$, $930$ € — जबकि प्रतिरोधकों से $3900$ और गैस से $1730$।

**17.** ईंधन की $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: यानी बॉयलर से $46\%$ कम और प्रतिरोधकों से चार गुना कम, वह भी $40\%$ वाले किसी बिजलीघर से होकर।

**18.** माँग $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$, $313/63 = 5.0$, $e_p = 2.7$, और यदि वह दे पाता तो $W = 3.2\,\mathrm{kW}$। क्षमता $3.8\,\mathrm{kW}$: अतः सहायक रूप में $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ के [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor)। सबसे ठंडे घंटे के हिसाब से बनाया गया पंप पूरी सर्दी बहुत बड़ा पड़ता — और बार-बार चालू-बंद होकर बेकार होता रहता; इसलिए आकार अभिकल्प-ताप के हिसाब से तय किया जाता है और दुर्लभ चरम को कोई सस्ता [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) ढक लेता है।

**19.** $338/(338 - 260) = 4.33$, $e_p = 2.4$, $W = 6.25/2.4 =
2.6\,\mathrm{kW}$: यानी $35{}^{\circ}\mathrm{C}$ के फ़र्श की तुलना में $36\%$ अधिक बिजली। नीचे ताप वाले उत्सर्जक आधी स्थापना होते हैं।

**20.** किसी चक्र पर एन्ट्रॉपी: $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} +
S_{\mathrm{created}} = 0$ से $Q_c = T_{\mathrm{out}}|Q_h|/T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ मिलता है; इसे $W = |Q_h| - Q_c$ में रखिए।

**21.** संघनित्र: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; वाष्पित्र: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$।

**22.** $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$: यानी $1.92\,\mathrm{kW}$ का चौथाई भाग।

**23.** $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; इसमें विनिमयकों का हिस्सा $36\%$ है; बाकी संपीडक से आता है (घर्षण, असमएन्ट्रॉपी संपीडन, मोटर की हानियाँ), कपाट के अवरोधन से (यानी एक मुक्त प्रसार), दाब-गिरावटों से, और पंखों से।

**24.** $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$: संघनित्र $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, वाष्पित्र $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: यानी $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, जबकि पहले $1.86$, अर्थात् $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ की बचत ($13\%$; पूरी मशीन, जो किसी बेहतर कार्नो मान के $0.55$ पर आँकी गई है, इससे अधिक पाती)। किसी अंतर को आधा करने का अर्थ है विनिमय-पृष्ठ दुगुना करना: यानी बड़े, महँगे विनिमयक और पंखों की अधिक शक्ति।

**25.** बिजली के प्रति किलोवाट-घंटे पर ऊष्मा के $15600/3700 = 4.2$ किलोवाट-घंटे; $930$ €, जबकि गैस के लिए $1730$; और कार्बन: $3700
\times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ जबकि $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — यानी पंद्रह गुना कम।