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title: "चुंबकस्थैतिकी: क्षेत्र, बल और द्विध्रुव"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1"
subject: physics
language: hi
chapter: 28
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/28-magnetostatics-field-forces-and-dipoles
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# अध्याय 28 — चुंबकस्थैतिकी: क्षेत्र, बल और द्विध्रुव

पास से गुज़रते किसी तार में धारा बहते ही दिक्सूचक की सुई घूम जाती है: ओर्स्टेड के 1820 के उस प्रेक्षण ने दो ऐसे विज्ञानों को जोड़ दिया जो अलग-अलग बड़े हुए थे, यानी विद्युत और चुंबकत्व, और कुछ ही महीनों में [ऐंपियर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-current) के पास धाराओं के बीच के बल का नियम था तथा बायो और सावार के पास किसी तार का क्षेत्र। यह अध्याय [चुंबकीय क्षेत्र](#def-b1-magnetostatics-field) की स्थैतिकी है: धाराएँ क्या बनाती हैं (क्षेत्र-चित्र, [बायो–सावार का नियम](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart), और [ऐंपियर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-current) की प्रमेय, यानी गाउस के नियम की चुंबकीय जुड़वाँ), क्षेत्र धाराओं के साथ क्या करता है ([लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace), जो हर मोटर और हर मापी को चलाता है), और [चुंबकीय द्विध्रुव](#def-b1-magnetostatics-moment), यानी वह धारा-पाश जो दिक्सूचक, चुंबक और पृथ्वी के अपने क्षेत्र की व्याख्या कर देता है।

![चुंबकत्व का सबसे पुराना यंत्र: दिक्सूचक की सुई एक छोटा चुंबकीय द्विध्रुव है, जो पृथ्वी के क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध हो जाती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-c52946ef6b63.jpg)

*चुंबकत्व का सबसे पुराना यंत्र: दिक्सूचक की सुई एक छोटा [चुंबकीय द्विध्रुव](#def-b1-magnetostatics-moment) है, जो पृथ्वी के क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध हो जाती है।*

![ओर्स्टेड का प्रयोग: परिपथ बंद कीजिए और सुई घूम जाती है — यानी कोई धारा चुंबकीय क्षेत्र बनाती है, जो तार का चक्कर लगाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-2e2eacba0aff.jpg)

*ओर्स्टेड का प्रयोग: परिपथ बंद कीजिए और सुई घूम जाती है — यानी कोई धारा [चुंबकीय क्षेत्र](#def-b1-magnetostatics-field) बनाती है, जो तार का चक्कर लगाता है।*

## 28.1 स्रोत और क्षेत्र-चित्र

**परिभाषा 28.1 (चुंबकस्थैतिक क्षेत्र).**

स्थायी धाराएँ (यानी स्थायी गति में आवेश) हर बिंदु पर एक *चुंबकीय क्षेत्र* $\vect B$ (टेस्ला, $\mathrm{T}$) बनाती हैं, जो उस बल $q\vect v\wedge\vect B$ से परिभाषित होता है जो वह किसी चलते परीक्षण आवेश पर लगाता है ([परिभाषा 17.1](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/17-charged-particles-in-e-and-b-fields#def-b1-charged-particles-lorentz))। उसकी *क्षेत्र-रेखाएँ* $\vect B$ की स्पर्शरेखा होती हैं और उसी के अनुदिश दिशित। स्थायी चुंबक भी अपने परमाणुओं की सूक्ष्म धाराओं से इसी प्रकृति के क्षेत्र बनाते हैं। परिमाण की कोटियाँ: पृथ्वी $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$; रेफ़्रिजरेटर का चुंबक $0.01\,\mathrm{T}$; चुंबकीय अनुनाद प्रतिबिंबन यंत्र $1.5\,\mathrm{T}$ से $3\,\mathrm{T}$ तक; और प्रयोगशाला के सबसे बड़े स्थायी क्षेत्र $45\,\mathrm{T}$।

**प्रतिज्ञप्ति 28.2 (क्षेत्र-चित्र).**

1. कोई सीधा तार: तार पर केंद्रित वृत्त, उस पर लंब तलों में, जिनकी दिशा *दाएँ हाथ के नियम* से मिलती है (अँगूठा धारा के अनुदिश, उँगलियाँ $\vect B$ के अनुदिश)।
2. कोई वृत्ताकार पाश: रेखाएँ पाश में से उसकी अक्ष के अनुदिश निकलती हैं और बाहर घूमकर बंद हो जाती हैं; और दूर से, किसी छोटे चुंबक का चित्र।
3. कोई लंबी परिनालिका: भीतर समांतर, सघन, एकसमान रेखाएँ; बाहर लगभग कोई क्षेत्र नहीं; और वही चित्र जो किसी छड़-चुंबक का है, जिसका “उत्तरी” फलक वही है जिससे रेखाएँ निकलती हैं।
4. चुंबकीय क्षेत्र-रेखाओं का न कोई आरंभ है, न अंत: वे या तो अपने ऊपर बंद हो जाती हैं या अनंत तक चली जाती हैं। इसके तुल्य, *किसी भी बंद पृष्ठ से होकर $\vect B$ का अभिवाह शून्य है* — यानी कोई चुंबकीय आवेश होते ही नहीं।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

![तीन क्षेत्र-चित्र। कोई बिंदु पाठक की ओर आती धारा है, और कोई क्रॉस दूर जाती धारा। किसी तार की रेखाएँ वृत्त हैं; किसी पाश की उसमें से निकलकर बाहर बंद हो जाती हैं; और किसी लंबी परिनालिका की भीतर सीधी तथा एकसमान हैं और दूर जाकर बंद होती हैं, जहाँ क्षेत्र कमज़ोर है — और हर स्थिति में उनका न कोई स्रोत है, न कोई कुंड।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-c1d0c5e4d9d1.svg)

*तीन क्षेत्र-चित्र। कोई बिंदु पाठक की ओर आती धारा है, और कोई क्रॉस दूर जाती धारा। किसी तार की रेखाएँ वृत्त हैं; किसी पाश की उसमें से निकलकर बाहर बंद हो जाती हैं; और किसी लंबी परिनालिका की भीतर सीधी तथा एकसमान हैं और दूर जाकर बंद होती हैं, जहाँ क्षेत्र कमज़ोर है — और हर स्थिति में उनका न कोई स्रोत है, न कोई कुंड।*

**प्रतिज्ञप्ति 28.3 (B→\vect BB की सममितियाँ).**

दर्पण-परावर्तन के अधीन $\vect B$ $\vect E$ से *उलटा* बरतता है (वह एक *छद्म-सदिश* है, जो किसी सदिश गुणनफल से बना है): धाराओं के किसी *सममिति* तल के किसी बिंदु पर $\vect B$ उस तल पर *लंब* होता है; और किसी *प्रतिसममिति* तल के किसी बिंदु पर (जहाँ दर्पण-प्रतिबिंब धाराओं को उलट देता है) $\vect B$ तल *में* ही रहता है। अपरिवर्तिताएँ वैसे ही चलती हैं जैसे $\vect E$ के लिए।

**उपपत्ति.** किसी धारा-अवयव का क्षेत्र $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ होता है (नीचे देखिए); और कोई दर्पण किसी सदिश गुणनफल के एक गुणक को, किसी सच्चे सदिश के प्रतिबिंब के सापेक्ष, उलट देता है, अतः $\vect B$ का प्रतिबिंब उस तीर के दर्पण-प्रतिबिंब का विपरीत होता है। किसी [सममिति तल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/26-electrostatics-field-and-gausss-law#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) पर $\vect B$ को अपने ही दर्पण-प्रतिबिंब के विपरीत के बराबर होना पड़ता है, अतः वह तल पर अभिलंब होता है; और किसी [प्रतिसममिति तल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/26-electrostatics-field-and-gausss-law#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) पर, विपरीत का विपरीत: यानी तल में। ∎

**उदाहरण 28.4 (सममितियों को काम में लेना).**

किसी सीधे तार के लिए, तार को रखने वाला हर तल कोई [सममिति तल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/26-electrostatics-field-and-gausss-law#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) है, अतः हर बिंदु पर $\vect B$ उस तल पर लंब है जो तार और उस बिंदु से जाता है: यानी लंबत्रिज्य, और तार के अनुदिश तथा उसके चारों ओर की अपरिवर्तिता से $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$। किसी पाश के लिए, पाश का तल कोई [सममिति तल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/26-electrostatics-field-and-gausss-law#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) है: उस पर $\vect B$ पाश पर अभिलंब है; और अक्ष उसे रखने वाले हर [प्रतिसममिति तल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/26-electrostatics-field-and-gausss-law#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) में है: अतः अक्ष पर $\vect B$ अक्ष के अनुदिश है।

## 28.2 बायो–सावार का नियम

**प्रमेय 28.5 (बायो–सावार).**

धारा $I$ ले जाता कोई परिपथ $M$ पर यह क्षेत्र बनाता है

$$
\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{परिपथ}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,
$$

जो परिपथ के उन अवयवों $\dd\vect l$ पर योग है जो बिंदुओं $P$ पर हैं और धारा के अनुदिश दिशित हैं, जहाँ $\vect e_{PM}$ $P$ से $M$ तक का एकांक सदिश है, और $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ *[निर्वात की चुंबकशीलता](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart)*। हर अवयव ऐसा क्षेत्र देता है जो उस पर और रेखा $PM$ पर लंब है, और जो $1/PM^2$ की तरह गिरता है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**प्रतिज्ञप्ति 28.6 (तार, पाश, परिनालिका).**

1. अनंत सीधा तार, $r$ दूरी पर: $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ ।
2. $R$ त्रिज्या का वृत्ताकार पाश, उसकी अक्ष पर केंद्र से $z$ दूरी पर: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R}  \sin^3\alpha$ , जहाँ $\alpha$ वह अर्ध-कोण है जिस पर पाश $M$ से दिखता है; और केंद्र पर $B = \mu_0I/2R$ ।
3. प्रति मीटर $n$ फेरों की परिनालिका, उसकी अक्ष पर: $B = \tfrac12\mu_0nI  (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , जहाँ $\alpha_1, \alpha_2$ वे कोण हैं जिन पर दोनों सिरे दिखते हैं; और किसी लंबी परिनालिका के लिए भीतर $B = \mu_0nI$ , तथा किसी सिरे पर उसका आधा।

**उपपत्ति.** (1) $M$ तार से $r$ दूरी पर, और $P$ उसके अनुदिश भुज $z$ पर: $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ का परिमाण $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ है, जहाँ $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$, और सारे योगदान लंबत्रिज्य हैं: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$। (2) पाश का हर अवयव एक ही दूरी $\sqrt{R^2 + z^2}$ पर है, $M$ से, और $\vect e_{PM}$ पर लंब; उसके क्षेत्र का परिमाण $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$ है, और पाश के चारों ओर के योग में केवल अक्षीय घटक, यानी उसका अंश $R/\sqrt{R^2 + z^2}$, बचता है: $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 +
z^2)^{3/2}$। (3) परिनालिका का कोई फाँक $\dd z'$ धारा $nI\,\dd z'$ का एक पाश है; और $z' - z = R/\tan\alpha$, $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$ के साथ, परिनालिका पर $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$; और अपरिमित रूप से लंबी होने पर, $\alpha_1 \to 0$, $\alpha_2 \to \pi$। ∎

![इस अध्याय की तीनों बायो–सावार गणनाएँ: किसी तार का अवयव l और M पर उसका योगदान, जो आकृति के तल पर लंब है; वह पाश जो M से अर्ध-कोण पर दिखता है; और वह परिनालिका जिसके सिरे _1 तथा _2 पर दिखते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-3d2190e46368.svg)

*इस अध्याय की तीनों बायो–सावार गणनाएँ: किसी तार का अवयव $\dd\vect l$ और $M$ पर उसका योगदान, जो आकृति के तल पर लंब है; वह पाश जो $M$ से अर्ध-कोण $\alpha$ पर दिखता है; और वह परिनालिका जिसके सिरे $\alpha_1$ तथा $\alpha_2$ पर दिखते हैं।*

**उदाहरण 28.7 (परिमाण की कोटियाँ).**

$1\,\mathrm{cm}$ पर $10\,\mathrm{A}$ का कोई तार: $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 =
2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$, यानी पृथ्वी के क्षेत्र से चार गुना — सुई सचमुच घूमती है। $5\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या और $100$ फेरों की कोई कुंडली, $2\,\mathrm{A}$ पर: $\mu_0NI/2R =
2.5\,\mathrm{mT}$, उसके केंद्र पर। और प्रति मीटर $1000$ फेरों की कोई परिनालिका $5\,\mathrm{A}$ पर: $6.3\,\mathrm{mT}$; तथा आपेक्षिक चुंबकशीलता $1000$ के किसी लोहे के क्रोड के साथ कई [टेस्ला](#def-b1-magnetostatics-field) मिलते, यदि लोहा $2\,\mathrm{T}$ के पास संतृप्त न हो जाता — यही हर विद्युत्चुंबक की छत है, और इसीलिए सबसे प्रबल क्षेत्र बिना लोहे की अतिचालक कुंडलियों से आते हैं।

## 28.3 ऐंपियर का नियम

**प्रमेय 28.8 (ऐंपियर).**

$\vect B$ का परिचालन, किसी भी बंद दिशित वक्र $\Gamma$ के अनुदिश, $\mu_0$ गुना उस कुल धारा के बराबर होता है जो $\Gamma$ से घिरे किसी भी पृष्ठ को पार करती है, और जिसे तब धनात्मक गिना जाता है जब वह $\Gamma$ की दिशा से दाएँ हाथ के नियम द्वारा मिली दिशा में पार करे:

$$
\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{घिरी}} .
$$

**उपपत्ति.** किसी सीधे तार पर केंद्रित $r$ त्रिज्या के किसी वृत्त के लिए, $\vect B$ स्पर्शरेखीय है और हर जगह $\mu_0I/2\pi r$ परिमाण का, अतः परिचालन $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$ है, जो $r$ से स्वतंत्र है; और तार को न घेरते किसी वक्र के लिए योगदान कट जाते हैं। सामान्य स्थिति स्वीकृत है (वर्ष 2 का खंड)। ∎

**विधि 28.9 (ऐंपियर का नियम काम में लेना).**

गाउस की तरह ही: (1) सममितियाँ $\vect B$ की दिशा और वह चर दे देती हैं जिस पर वह निर्भर है; (2) $M$ से होकर कोई *ऐंपियरी पाश* चुनिए, जिस पर $\vect B$ या तो स्पर्शरेखीय हो और अचर परिमाण का, या फिर लंब; (3) उसमें से जाती धारा गिनिए; (4) हल कीजिए। यह अनंत तारों तथा बेलनों, अनंत परिनालिकाओं तथा टोरॉइडों, और अनंत धारा-चादरों के लिए चलता है।

**प्रतिज्ञप्ति 28.10 (बेलन, परिनालिका, टोरॉइड).**

1. $a$ त्रिज्या का कोई बेलनाकार तार, जो $I$ एकसमान ले जाए: भीतर $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ , और बाहर $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ — अधिकतम पृष्ठ पर है।
2. प्रति मीटर $n$ फेरों की कोई अनंत परिनालिका: भीतर $\vect B = \mu_0nI\,  \vect e_z$ एकसमान, और बाहर $\vect 0$ , चाहे उसकी अनुप्रस्थ काट का आकार कुछ भी हो।
3. $N$ फेरों का कोई टोरॉइड: कुंडलनों के भीतर $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ , और बाहर शून्य — यानी अपने ऊपर बंद हुई कोई परिनालिका, जिसका कोई आवारा क्षेत्र नहीं।

**उपपत्ति.** (1) $r$ त्रिज्या का वृत्त: $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ या $\mu_0I$। (2) $\vect B$ सममिति से अक्षीय है और, दोनों लंबी भुजाएँ बाहर रखते किसी आयत पर [ऐंपियर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-current) से, बाहर एकसमान, अतः शून्य (वह अनंत पर लुप्त हो जाता है); और एक लंबी भुजा भीतर रखते, $\ell$ लंबाई के किसी आयत से $B\ell =
\mu_0n\ell I$। (3) टोरस के भीतर $r$ त्रिज्या का वृत्त: $2\pi rB =
\mu_0NI$; और बाहर घिरी हुई धारा शून्य है। ∎

![बाएँ: किसी मोटे तार का क्षेत्र, जो भीतर रैखिक है और बाहर 1/r में, और पृष्ठ पर सबसे बड़ा। दाएँ: वह ऐंपियरी आयत जो किसी अनंत परिनालिका का क्षेत्र दे देता है — परिचालन में केवल भीतर वाली भुजा ही योगदान करती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-1ef0e79077d7.svg)

![बाएँ: किसी मोटे तार का क्षेत्र, जो भीतर रैखिक है और बाहर 1/r में, और पृष्ठ पर सबसे बड़ा। दाएँ: वह ऐंपियरी आयत जो किसी अनंत परिनालिका का क्षेत्र दे देता है — परिचालन में केवल भीतर वाली भुजा ही योगदान करती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-de5d25652b92.svg)

*बाएँ: किसी मोटे तार का क्षेत्र, जो भीतर रैखिक है और बाहर $1/r$ में, और पृष्ठ पर सबसे बड़ा। दाएँ: वह ऐंपियरी आयत जो किसी अनंत [परिनालिका का क्षेत्र](#prop-b1-magnetostatics-three) दे देता है — परिचालन में केवल भीतर वाली भुजा ही योगदान करती है।*

## 28.4 लाप्लास बल

**प्रमेय 28.11 (लाप्लास बल).**

कोई चालक अवयव $\dd\vect l$, जो $I$ ले जा रहा हो और किसी क्षेत्र $\vect B$ में हो, बल $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ पाता है; और किसी एकसमान क्षेत्र में कोई सीधा खंड $\vect L$ बल $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$ पाता है, जिसका परिमाण $ILB\sin\theta$ है और जो तार तथा क्षेत्र दोनों पर लंब होता है।

**उपपत्ति.** $\dd\vect l$ के आवेश-वाहक (संख्या $n\,S\,\dd l$, आवेश $q$, और अपवाह वेग $\vect v$) हर एक $q\vect v\wedge\vect B$ अनुभव करते हैं; और उनका योग $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$ है, क्योंकि $I = nqvS$ है और $\vect v$ $\dd\vect l$ के अनुदिश। वाहक यह बल अपनी टक्करों के ज़रिए तार की जालक तक पहुँचा देते हैं। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 28.12 (समांतर तारों के बीच बल).**

$d$ दूरी पर के दो लंबे समांतर तार, जो $I_1$ और $I_2$ ले जा रहे हों, धाराओं के समांतर होने पर एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं और प्रतिसमांतर होने पर प्रतिकर्षित, और प्रति एकांक लंबाई बल यह है

$$
\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .
$$

$1\,\mathrm{m}$ की दूरी पर $1\,\mathrm{A}$ ले जाते दो तार प्रति मीटर $2 \times 10^{-7}$ न्यूटन अनुभव करते हैं — यही 1948 से 2019 तक ऐंपियर की परिभाषा थी, और यहीं से $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ का मान आया।

**उपपत्ति.** तार 1 तार 2 पर $\mu_0I_1/2\pi d$ बनाता है, जो उस पर लंब है; और तार 2 की $\ell$ लंबाई पर [लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace) $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$ है, जो धाराओं के समांतर होने पर तार 1 की ओर होता है (दाएँ हाथ के नियम से जाँचिए)। ∎

![लाप्लास बल: समांतर तारों के बीच (बाएँ, बीच में) और किसी क्षेत्र को पार करती धारा ले जाती किसी सरकती छड़ पर (दाएँ) — यानी लाप्लास की पटरियाँ, जिनका ऊर्जा-संतुलन का विषय है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-5c19887ee1f6.svg)

*[लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace): समांतर तारों के बीच (बाएँ, बीच में) और किसी क्षेत्र को पार करती धारा ले जाती किसी सरकती छड़ पर (दाएँ) — यानी लाप्लास की पटरियाँ, जिनका ऊर्जा-संतुलन [अध्याय 29](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/29-electromagnetic-induction-and-applications#ch-b1-induction) का विषय है।*

## 28.5 चुंबकीय द्विध्रुव

**परिभाषा 28.13 (चुंबकीय आघूर्ण).**

$S$ क्षेत्रफल का कोई तलीय पाश, जो $I$ ले जा रहा हो और दाएँ हाथ के नियम से दिशित हो (अभिलंब $\vect n$ अँगूठे के अनुदिश, जब उँगलियाँ $I$ के पीछे चलें), *चुंबकीय आघूर्ण* $\vect m = IS\,\vect n$ ($\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$) रखता है; और $N$ फेरों के लिए, $NIS\,\vect n$। $r \gg \sqrt S$ दूरियों से देखने पर वह पाश कोई *चुंबकीय द्विध्रुव* है: उसके क्षेत्र का रूप ठीक [विद्युत द्विध्रुव](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/27-electric-potential-conductors-and-capacitors#def-b1-potential-capacitors-dipole) जैसा है, जहाँ $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$:

$$
B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad
B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .
$$

कोई छड़-चुंबक, कोई परमाणु, और पृथ्वी — सब चुंबकीय द्विध्रुव हैं: पृथ्वी का आघूर्ण $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ है, और किसी इलेक्ट्रॉन का $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (यानी बोर मैग्नेटॉन)।

**उपपत्ति.** अक्ष पर [पाश का क्षेत्र](#prop-b1-magnetostatics-three) $\mu_0IR^2/2z^3$, जो $z \gg R$ के लिए है, $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ के बराबर बैठता है, जहाँ $m = I\pi R^2$, और $B_r$ से मेल खाता है, $\theta = 0$ पर; और पूरा कोणीय रूप स्वीकृत है। ∎

**प्रमेय 28.14 (किसी क्षेत्र में द्विध्रुव).**

कोई [चुंबकीय आघूर्ण](#def-b1-magnetostatics-moment) $\vect m$, जो किसी एकसमान क्षेत्र $\vect B$ में हो, कोई परिणामी बल नहीं पाता, पर एक [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ पाता है जो उसे क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध कर देता है, और उसकी [स्थितिज ऊर्जा](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/13-work-energy-and-potential-energy#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p = -\vect m\cdot\vect B$ होती है। किसी असमान क्षेत्र में, पंक्तिबद्ध होने पर वह प्रबल क्षेत्र वाले भाग की ओर खिंचता है (और विपरीत-पंक्तिबद्ध होने पर दूर धकेला जाता है)।

**उपपत्ति.** $a \times b$ के किसी आयताकार पाश के लिए, जिसका अभिलंब $\vect n$ कोण $\theta$ बनाता हो $\vect B$ के साथ: घूर्णन-अक्ष के समांतर $b$ लंबाई की दोनों भुजाओं पर [लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace) $\pm IbB$ हैं, जो विपरीत हैं और $a\sin\theta$ की दूरी पर: यानी $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$ आघूर्ण का एक युग्म, जो $\theta$ घटाना चाहता है; और बाकी दोनों भुजाओं पर बल विपरीत तथा संरेख हैं। ऊर्जा: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$, जहाँ $\Gamma = -mB\sin\theta$, जिससे $E_p = -mB\cos\theta$ मिलता है। कोई भी तलीय पाश छोटे आयतों का योग है; और असमान वाली स्थिति स्वीकृत है। ∎

![बाएँ: किसी एकसमान क्षेत्र में कोई धारा-पाश, जो अपने घूर्णन-अक्ष के अनुदिश देखा गया है — दोनों भुजाओं पर लाप्लास बल एक ऐसा युग्म बनाते हैं जो आघूर्ण को क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध कर देता है। दाएँ: किसी छड़-चुंबक की क्षेत्र-रेखाएँ किसी चुंबकीय द्विध्रुव की ही हैं, आकार में विद्युत द्विध्रुव जैसी, जो उत्तरी फलक से निकलकर दक्षिणी पर लौट आती हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-46904b0e47c3.svg)

*बाएँ: किसी एकसमान क्षेत्र में कोई धारा-पाश, जो अपने घूर्णन-अक्ष के अनुदिश देखा गया है — दोनों भुजाओं पर [लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace) एक ऐसा युग्म बनाते हैं जो आघूर्ण को क्षेत्र के अनुदिश पंक्तिबद्ध कर देता है। दाएँ: किसी छड़-चुंबक की क्षेत्र-रेखाएँ किसी [चुंबकीय द्विध्रुव](#def-b1-magnetostatics-moment) की ही हैं, आकार में [विद्युत द्विध्रुव](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/27-electric-potential-conductors-and-capacitors#def-b1-potential-capacitors-dipole) जैसी, जो उत्तरी फलक से निकलकर दक्षिणी पर लौट आती हैं।*

**उदाहरण 28.15 (दिक्सूचक और पृथ्वी).**

दिक्सूचक की सुई एक छोटा चुंबक है, जिसका आघूर्ण $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ है; और पृथ्वी के क्षेत्र के क्षैतिज घटक में, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) $mB_h\sin\theta$ उसे उत्तर की ओर घुमा देता है, और वह उत्तर के आसपास $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ आवर्तकाल से दोलन करती है ([अभ्यास 28.9](#exo-b1-magnetostatics-9))। पृथ्वी का अपना द्विध्रुव, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, द्रव लोहे के क्रोड में घूमती कुछ अरब [ऐंपियर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-current) की किसी धारा के तुल्य है; और वह सतह पर जो क्षेत्र बनाता है वही इस अध्याय का सबसे कमज़ोर क्षेत्र है और वही सबसे पहले काम में लिया गया।

## 28.6 अभ्यास

**अभ्यास 28.1 ★.**

$10\,\mathrm{A}$ ले जाते किसी सीधे तार से $1.0\,\mathrm{cm}$ पर क्षेत्र; उसी दूरी पर $1\,\mathrm{T}$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक धारा; और वह दूरी जिस पर $100\,\mathrm{A}$ के किसी तार का क्षेत्र पृथ्वी के $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ के बराबर हो जाए।

**हल — अभ्यास 28.1.**

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$। $1\,\mathrm{T}$ के लिए: $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$। और पृथ्वी वाला मान $r = 2 \times 10^{-7} \times
100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$ पर।

**अभ्यास 28.2 ★.**

$100$ फेरों, $5.0\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या की किसी कुंडली के केंद्र पर क्षेत्र, जब वह $2.0\,\mathrm{A}$ ले जा रही हो; और उसकी अक्ष पर केंद्र से $5.0\,\mathrm{cm}$ तथा $50\,\mathrm{cm}$ पर।

**हल — अभ्यास 28.2.**

केंद्र: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$। $z = R$ पर: $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$: $0.89\,\mathrm{mT}$। और $z = 10R$ पर: $\times(1/101)^{3/2}
= 10^{-3}$: $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$, यानी पहले से ही $1/z^3$ वाला द्विध्रुव नियम।

**अभ्यास 28.3 ★.**

प्रति मीटर $1000$ फेरों की कोई परिनालिका $5.0\,\mathrm{A}$ ले जाती है: सिरों से दूर भीतर क्षेत्र; और ठीक सिरे पर। $0.5\,\mathrm{mm}$ के तार के कितने फेरे प्रति मीटर एक ही परत में लपेटे जा सकते हैं, और तब $5\,\mathrm{A}$ पर क्षेत्र।

**हल — अभ्यास 28.3.**

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$; और सिरे पर, आधा: $3.1\,\mathrm{mT}$। $0.5\,\mathrm{mm}$ का तार: प्रति मीटर $2000$ फेरे, अतः $5\,\mathrm{A}$ पर $12.6\,\mathrm{mT}$।

**अभ्यास 28.4 ★.**

$0.10\,\mathrm{T}$ के किसी क्षेत्र पर लंब, $10\,\mathrm{A}$ ले जाते $1.0\,\mathrm{m}$ के तार पर बल; और उसी तार पर, जब वह क्षेत्र से $30{}^{\circ}$ पर हो। किसी मोटर के $5\,\mathrm{cm}$ त्रिज्या के घूर्णक पर ऐसे $100$ तार हैं: [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) ([परिमाण की कोटि](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/1-units-dimensions-and-measurement#def-b1-units-dimensions-oom))।

**हल — अभ्यास 28.4.**

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$; और $30{}^{\circ}$ पर, $\sin30^\circ$ से: $0.5\,\mathrm{N}$। मोटर: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — यानी कोई छोटी औद्योगिक मोटर।

**अभ्यास 28.5 ★★.**

किसी परिमित सीधे खंड का क्षेत्र, उसकी रेखा से $d$ दूरी पर, जब उसके सिरे कोणों $\alpha_1$ तथा $\alpha_2$ पर दिखते हों (जो लंब से नापे गए हैं): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$। अनंत तार वाली सीमा जाँचिए। और $a$ भुजा के किसी वर्गाकार पाश के केंद्र पर क्षेत्र।

**हल — अभ्यास 28.5.**

$z = d\tan\alpha$ के साथ: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}
(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$; और अनंत तार, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$: $\mu_0I/2\pi d$। वर्ग: हर भुजा $d = a/2$ पर, जो $\pm45^\circ$ पर दिखती है, $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$ देती है; और चारों भुजाएँ: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (उसी “त्रिज्या” $a/2$ का कोई वृत्त $\mu_0I/a$ देता)।

**अभ्यास 28.6 ★★.**

*हेल्महोल्ट्ज़ कुंडलियाँ।* दो एक-सी कुंडलियाँ ($N$ फेरे, त्रिज्या $R$), जो एक ही अक्ष पर $R$ दूरी पर रखी हों, एक ही धारा एक ही दिशा में ले जाती हैं। मध्यबिंदु पर क्षेत्र; दिखाइए कि वहाँ अक्ष के अनुदिश $B$ के पहले *और दूसरे* अवकलज लुप्त हो जाते हैं। आँकड़े: $N = 100$, $R = 15\,\mathrm{cm}$, $I = 1.0\,\mathrm{A}$।

**हल — अभ्यास 28.6.**

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$, जहाँ

$$
f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2} .
$$

मध्यबिंदु: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$। $f'$ विषम है, अतः $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$; और $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 + u^2)^{-7/2}$ का मान $u = R/2$ पर लुप्त हो जाता है, अतः $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$: यानी क्षेत्र तीसरी कोटि तक एकसमान है। आँकड़े: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 =
0.60\,\mathrm{mT}$।

**अभ्यास 28.7 ★★.**

$2.0\,\mathrm{mm}$ त्रिज्या का कोई ताँबे का तार $100\,\mathrm{A}$ ले जाता है। पृष्ठ पर, अक्ष से $1.0\,\mathrm{mm}$ पर, और $1.0\,\mathrm{cm}$ पर क्षेत्र। $B(r)$ का आलेख खींचिए। अब वही तार किसी समाक्ष तार का भीतरी चालक है, जिसका आवरण वापसी धारा ले जाता है: आवरण के बाहर क्षेत्र।

**हल — अभ्यास 28.7.**

पृष्ठ: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$; भीतर, $1\,\mathrm{mm}$ पर, $\times r/a$: $5\,\mathrm{mT}$; और $1\,\mathrm{cm}$ पर: $2\,\mathrm{mT}$। $B$ पृष्ठ तक रैखिक रूप से चढ़ता है, फिर $1/r$ की तरह गिरता है। समाक्ष: आवरण के बाहर घिरी हुई धारा शून्य है, अतः $B = 0$।

**अभ्यास 28.8 ★★.**

$1\,\mathrm{m}$ की दूरी पर $1\,\mathrm{A}$ ले जाते दो तारों के बीच प्रति मीटर बल; $10\,\mathrm{cm}$ की दूरी पर $10\,\mathrm{kA}$ ले जाती दो धारा-पट्टियों के बीच; और $100\,\mathrm{kA}$ के किसी लघुपथन के अधीन। पट्टियों को कौन थामे रखे?

**हल — अभ्यास 28.8.**

प्रति मीटर $2 \times 10^{-7}$ न्यूटन। धारा-पट्टियाँ: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; और $100\,\mathrm{kA}$ पर: $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — यानी प्रति मीटर दो टन। स्विचगियर के विद्युतरोधी आधार दोष-धारा के हिसाब से बनाए जाते हैं, काम की धारा के हिसाब से नहीं।

**अभ्यास 28.9 ★★.**

दिक्सूचक की कोई सुई, जिसका आघूर्ण $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ और [जड़त्व आघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ हो, किसी क्षैतिज क्षेत्र $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ में। $90{}^{\circ}$ पर [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment); उसे उत्तर से दक्षिण घुमाने का कार्य; और छोटे दोलनों का आवर्तकाल। उससे $B_h$ कैसे मापा जाए?

**हल — अभ्यास 28.9.**

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$; $J\ddot\theta =
-mB_h\theta$: $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} =
1.4\,\mathrm{s}$। दोलनों का समय लीजिए: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$, जब $m$ और $J$ ज्ञात हों (गाउस ने $m$ अलग से उस विक्षेप से नापा था जो वह किसी दूसरी सुई को देती है)।

**अभ्यास 28.10 ★★★.**

*द्विध्रुव के रूप में पृथ्वी।* (क) दिखाइए कि उसकी अक्ष पर, दूर जाकर, किसी [पाश का क्षेत्र](#prop-b1-magnetostatics-three) $B = \mu_0m/2\pi z^3$ है, जहाँ $m = I\pi R^2$; और [विद्युत द्विध्रुव](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/27-electric-potential-conductors-and-capacitors#def-b1-potential-capacitors-dipole) से तुलना कीजिए। (ख) चुंबकीय ध्रुव पर क्षेत्र लगभग $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ है: इससे पृथ्वी का [द्विध्रुव आघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/27-electric-potential-conductors-and-capacitors#def-b1-potential-capacitors-dipole) निकालिए। (ग) वह धारा जो $3000\,\mathrm{km}$ त्रिज्या के किसी पाश (यानी क्रोड) में इसे बना देती। (घ) द्विध्रुव प्रतिरूप पर भूमध्य रेखा पर क्षेत्र; और अक्षांश $45{}^{\circ}$ पर क्षेत्र का नति कोण ($B_r$ तथा $B_\theta$ लीजिए)।

**हल — अभ्यास 28.10.**

(क) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$: यानी विद्युत वाला $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$, जहाँ $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$। (ख) $m = 2\pi R_E^3B/
\mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$। (ग) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$। (घ) भूमध्य रेखा ($\theta = 90^\circ$): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, यानी ध्रुवीय मान का आधा। और $\theta = 45^\circ$ पर: $\tan(\text{नति}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$, यानी नति $= 63{}^{\circ}$ — मध्य अक्षांशों पर क्षेत्र भूमि में तेज़ी से गोता लगा देता है।

**अभ्यास 28.11 ★★★.**

*परिमित परिनालिका।* लंबाई $L = 20\,\mathrm{cm}$, त्रिज्या $R = 2.0\,\mathrm{cm}$, $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 3.0\,\mathrm{A}$। पाठ के सूत्र से केंद्र पर और किसी सिरे पर क्षेत्र; अनंत परिनालिका वाले मान का अंश; और अक्ष के अनुदिश बाहर किस दूरी पर क्षेत्र गिरकर केंद्र वाले मान का $1\%$ रह जाता है? अक्ष के अनुदिश $B(z)$ का आलेख खींचिए।

**हल — अभ्यास 28.11.**

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$। केंद्र: $\tan\alpha_1 =
R/(L/2) = 0.2$, $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$: $B = 0.981\,\mu_0nI =
7.4\,\mathrm{mT}$ ($98\%$)। सिरा: $\cos\alpha_1 = 0$, $\tan\alpha_2 = R/L$, $\cos\alpha_2 =
-0.995$: $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ ($50\%$)। सिरे से आगे $x$ पर बाहर, जहाँ दोनों सिरे एक ही ओर हैं: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)
\approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$; और केंद्र वाले मान का $1\%$ $x \approx 10\,\mathrm{cm}$ पर, यानी आधी लंबाई बाहर। $B(z)$: लंबाई के अधिकांश भाग पर चपटा शिखर, सिरों पर गिरकर आधा, और एक लंबाई दूर जाकर कुछ ही प्रतिशत।

**अभ्यास 28.12 ★★★.**

*चुंबकीय दाब।* किसी लंबी परिनालिका में क्षेत्र भीतर $B$ है और बाहर $0$; और कुंडलन प्रति मीटर लंबाई पृष्ठीय धारा $K = nI$ ले जाते हैं। (क) दिखाइए कि कुंडलनों *पर* क्षेत्र, यानी भीतर और बाहर का औसत, $B/2$ है, और उन पर [लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace) बाहर की ओर कोई दाब $p = B^2/2\mu_0$ है। (ख) $1\,\mathrm{T}$, $10\,\mathrm{T}$, $45\,\mathrm{T}$ के लिए आँकड़े; वायुमंडलीय दाब से और इस्पात की तन्य सामर्थ्य ($1\,\mathrm{GPa}$) से तुलना कीजिए। (ग) सबसे प्रबल स्थायी चुंबकों को कौन सीमित करता है?

**हल — अभ्यास 28.12.**

(क) कुंडलनों का अपना क्षेत्र उनके पार $0$ से $B$ तक उछल जाता है; और उन पर जो क्षेत्र लगता है वह माध्य है, $B/2$ (कोई चादर अपने ही ऊपर धक्का नहीं दे सकती)। कुंडलन के $\dd l$ लंबाई तथा $\dd z$ चौड़ाई के किसी अवयव पर, जो $K\,\dd z$ ले जाए, बल $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$ है, जो त्रिज्य रूप से बाहर की ओर है ($I\,\dd\vect l
\wedge\vect B$ से जाँचिए): अतः दाब $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$, क्योंकि $K = nI = B/\mu_0$। (ख) $1\,\mathrm{T}$: $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$; $10\,\mathrm{T}$: $400\,\mathrm{bar}$; $45\,\mathrm{T}$: $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$, यानी इस्पात के $1\,\mathrm{GPa}$ के पास। (ग) कुंडलनों को ऐसा दाब थामना पड़ता है जो $B^2$ की तरह बढ़ता है: लगभग $40\,\mathrm{T}$ से ऊपर न कोई पदार्थ सँभालता है, न कोई शीतलन-योजना — यानी स्थायी चुंबकों की सीमा यांत्रिक है (और अतिचालकों के लिए, उनका क्रांतिक क्षेत्र)।

![कोई उच्च-वोल्टता संचरण लाइन: प्रति परिपथ तीन चालक, जिनकी धाराओं का योग शून्य है, ताकि दूरी पर उनके क्षेत्र कट जाएँ। छायाचित्र: स्तेफ़ान आंद्रेय शंबोरा, CC BY 2.0।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-689accea7d17.jpg)

*कोई उच्च-वोल्टता संचरण लाइन: प्रति परिपथ तीन चालक, जिनकी धाराओं का योग शून्य है, ताकि दूरी पर उनके क्षेत्र कट जाएँ। छायाचित्र: स्तेफ़ान आंद्रेय शंबोरा, CC BY 2.0।*

## 28.7 समस्या: तार, लाइन और मापी

**समस्या 28.1.**

सप्ताहांत समस्या — किसी समाक्ष तार पर ऐंपियर का नियम, किसी विद्युत लाइन पर लाप्लास बल, और किसी चल-कुंडली धारामापी का अभिकल्प

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI; ताँबे की प्रतिरोधकता $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$।

**भाग I — समाक्ष तार।** कोई तार $I = 1.0\,\mathrm{A}$ को $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ त्रिज्या के ठोस ताँबे के क्रोड के अनुदिश ले जाता है और ऐसे आवरण के अनुदिश वापस लाता है जिसकी भीतरी त्रिज्या $b =
2.5\,\mathrm{mm}$ और बाहरी $c = 3.0\,\mathrm{mm}$ है; और हर चालक की काट पर धाराएँ एकसमान हैं।

1. सममितियाँ और अपरिवर्तिताएँ: $\vect B$ की दिशा और वह चर जिस पर वह निर्भर है।
2. [ऐंपियर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-current) के नियम से, क्रोड में, दोनों चालकों के बीच, और तार के बाहर $B(r)$ ।
3. $r = a$ और $r = b$ पर मान।
4. क्रोड की जगह उसी त्रिज्या $a$ की ताँबे की कोई पतली नली रख दी जाती है, जो वही धारा ले जाती है: हर क्षेत्र में क्या बदलता है?
5. आवरण के भीतर $B(r)$ ( $b < r < c$ ); $b$ और $c$ पर मान जाँचिए; और $B(r)$ का आलेख $0$ से $4\,\mathrm{mm}$ तक खींचिए।
6. आवरण पर [लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace) : दिशा (क्रोड की ओर आकर्षण या उससे प्रतिकर्षण?) और प्रति एकांक क्षेत्रफल परिमाण, जहाँ आवरण पर क्षेत्र $b$ तथा $c$ पर के मानों का औसत लिया जाए। $10\,\mathrm{kA}$ की किसी स्पंदित धारा के लिए भी वही।
7. संकेतों के लिए समाक्ष ज्यामिति ही क्यों काम में ली जाती है? $d = 2\,\mathrm{mm}$ की दूरी पर के समांतर तारों के किसी जोड़े से तुलना कीजिए: उस जोड़े से $D = 10\,\mathrm{cm}$ दूरी पर क्षेत्र (दो तारों का अध्यारोपण लीजिए)।

**भाग II — विद्युत लाइन।** $d = 1.0\,\mathrm{m}$ की दूरी पर दो क्षैतिज चालक, जो भूमि से $h = 10\,\mathrm{m}$ ऊपर हैं, $I = 500\,\mathrm{A}$ विपरीत दिशाओं में ले जाते हैं।

8. मध्यबिंदु के नीचे भूमि के बिंदु पर एक चालक का क्षेत्र; दिखाइए कि दोनों क्षेत्र मिलकर कोई ऊर्ध्वाधर क्षेत्र बना देते हैं और उसका मान दीजिए; पृथ्वी के क्षेत्र से और $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ की संस्तुत सीमा से तुलना कीजिए।
9. दिखाइए कि $D \gg d$ दूरियों पर उस जोड़े का क्षेत्र $\mu_0Id/2\pi D^2$ की तरह गिरता है: किसी अकेले तार से तेज़ी से क्यों?
10. किसी एक चालक के $1.0\,\mathrm{m}$ नीचे क्षेत्र, जहाँ कोई तकनीशियन काम कर सकता है।
11. चालकों के बीच प्रति मीटर बल; आकर्षण या प्रतिकर्षण? और $20\,\mathrm{kA}$ की किसी लघुपथन धारा के अधीन वही।
12. $300\,\mathrm{m}$ के किसी फैलाव पर बल, सामान्य में और लघुपथन में; फैलाव के भार ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ) से तुलना कीजिए; और लघुपथन के दौरान लाइनें क्या करती हैं?
13. कोई त्रिकला लाइन एक ही [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) की तीन धाराएँ ले जाती है, जो $120{}^{\circ}$ से खिसकी हुई हैं: दिखाइए कि हर क्षण उनका योग लुप्त हो जाता है, और दूर के क्षेत्र के लिए इसका क्या अर्थ है।
14. प्रश्न 8 वाले बिंदु पर कोई दिक्सूचक, जहाँ पृथ्वी का क्षैतिज क्षेत्र $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ है: क्या लाइन का क्षेत्र उसे विक्षेपित करता है? (उसकी दिशा पर विचार कीजिए।)

**भाग III — चल-कुंडली धारामापी।** कोई आयताकार कुंडली, $N = 200$ फेरे, भुजाएँ $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (जो घूर्णन-अक्ष के समांतर है) और $b = 3.0\,\mathrm{cm}$, बेलनाकार ध्रुव-खंडों के बीच की दरार में अपनी अक्ष के परितः घूमती है, जहाँ क्षेत्र $B = 0.20\,\mathrm{T}$ *त्रिज्य* है: यानी हमेशा कुंडली के तल में, और उसकी भुजाओं $a$ पर लंब। कोई कुंडलित स्प्रिंग प्रत्यानयन [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) $-C\theta$ लगाती है, जहाँ $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$। कुंडली और सुई का [जड़त्व आघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#prop-b1-angular-momentum-inertia): $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$।

15. चारों भुजाओं पर [लाप्लास बल](#thm-b1-magnetostatics-laplace) ; उनमें से कौन-से अक्ष के परितः [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) देते हैं?
16. किसी धारा $I$ के लिए [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) ; त्रिज्य क्षेत्र उसे $\theta$ से स्वतंत्र क्यों कर देता है?
17. साम्य पर विक्षेप $\theta$ ; प्रति मिलीऐंपियर रेडियन में सुग्राहिता; और $1.2\,\mathrm{rad}$ के पूर्ण-पैमाना विक्षेप के लिए धारा।
18. कुंडली $0.10\,\mathrm{mm}$ व्यास के ताँबे के तार से लपेटी गई है: कुंडली का प्रतिरोध; पूर्ण पैमाने पर उस पर वोल्टता और क्षय हुई शक्ति।
19. कुंडली की गति का समीकरण; और साम्य के आसपास दोलनों का स्वाभाविक आवर्तकाल।
20. क्षेत्र में कुंडली की गति एक रोकने वाला [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) $-\alpha\dot\theta$ प्रेरित करती है ( [अध्याय 29](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/29-electromagnetic-induction-and-applications#ch-b1-induction) ); क्रांतिक अवमंदन के लिए $\alpha$ का मान, और वह क्यों चाहिए।
21. $10\,\mathrm{V}$ पूर्ण-पैमाना वोल्टमापी बनाने के लिए श्रेणी-प्रतिरोध; और $1.0\,\mathrm{A}$ पूर्ण-पैमाना धारामापी बनाने के लिए शंट प्रतिरोध।
22. पूर्ण पैमाने पर कुंडली का [चुंबकीय आघूर्ण](#def-b1-magnetostatics-moment) ; और $0.20\,\mathrm{T}$ के किसी एकसमान क्षेत्र में पंक्तिबद्ध होने पर उसकी ऊर्जा $-\vect m\cdot  \vect B$ ; पूर्ण पैमाने पर स्प्रिंग में संचित ऊर्जा से तुलना कीजिए।
23. यदि क्षेत्र त्रिज्य के बजाय *एकसमान* होता, तो दिखाइए कि पैमाना अब रैखिक नहीं रहता: साम्य की शर्त लिखिए, जहाँ $\theta$ उस स्थिति से नापा जाए जिसमें कुंडली का तल $\vect B$ को रखता है।
24. $0.5\,\mathrm{mA}$ [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) की कोई $50\,\mathrm{Hz}$ धारा मापी को दी जाती है: सुई क्या दिखाती है, और क्यों? ( $50\,\mathrm{Hz}$ की तुलना [स्वाभाविक आवृत्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/14-mechanical-oscillators-damping-and-resonance#def-b1-oscillators-resonance-harmonic) से कीजिए।)
25. तीनों दृश्यों का सार तीन आँकड़ों में दीजिए, और बताइए कि हर एक को कौन-से एक नियम ने पैदा किया।

**हल — समस्या 28.1.**

**1.** अक्ष को रखने वाला हर तल धाराओं का कोई [सममिति तल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/26-electrostatics-field-and-gausss-law#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) है: अतः $\vect B$ उस पर लंब है, यानी लंबत्रिज्य; और अक्ष के अनुदिश तथा उसके चारों ओर की अपरिवर्तिता से: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$।

**2.** $r$ त्रिज्या का वृत्त: $2\pi rB = \mu_0I_{\text{घिरी}}$। क्रोड: $I_{\text{घिरी}} = Ir^2/a^2$, $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$; बीच में: $\mu_0I/2\pi r$; और बाहर ($r > c$): $I - I = 0$, $B = 0$।

**3.** $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$; $B(b) = 2 \times
10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$।

**4.** नली के भीतर कोई धारा घिरी नहीं होती: अतः वहाँ रैखिक चढ़ाई की जगह $B = 0$; और बाकी हर जगह कुछ नहीं बदलता — किसी बेलनाकार धारा के बाहर का क्षेत्र केवल कुल धारा पर निर्भर करता है।

**5.** $I_{\text{घिरी}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 -
b^2)$: $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$, जो $b$ पर $\mu_0I/2\pi b$ के बराबर है और $c$ पर शून्य: यानी संतत। आलेख: $0.5\,\mathrm{mm}$ पर $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ तक रैखिक, फिर $1/r$ से $2.5\,\mathrm{mm}$ पर $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ तक, फिर $3\,\mathrm{mm}$ पर गिरकर शून्य, और उसके आगे शून्य।

**6.** आवरण की धारा क्रोड की धारा से प्रतिसमांतर है: अतः प्रतिकर्षण, यानी बाहर की ओर कोई दाब। पृष्ठीय धारा $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; और माध्य क्षेत्र $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$: अतः $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$। $10\,\mathrm{kA}$ पर: $\times10^8$, यानी $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — स्पंदित-शक्ति के तार इसे झेलने लायक बनाए जाते हैं।

**7.** बाहर कोई क्षेत्र नहीं: अतः तार न कुछ विकीर्ण करता है, न अपने पड़ोसियों से कोई चुंबकीय व्यवधान उठाता है। तारों का कोई जोड़ा: दोनों क्षेत्र लगभग कट जाते हैं और $10\,\mathrm{cm}$ पर $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times
10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ बचता है — छोटा, पर समाक्ष तो शून्य ही देता है।

**8.** $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$: हर एक $\mu_0I/2\pi D =
1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ देता है, जो चालक से जाती रेखा पर लंब है। धाराएँ विपरीत हैं, अतः चालकों को जोड़ती रेखा के समांतर घटक कट जाते हैं और ऊर्ध्वाधर घटक जुड़ जाते हैं: $B = 2 \times 10^{-5} \times
(d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$, ऊर्ध्वाधर। यानी पृथ्वी के क्षेत्र से पचास गुना नीचे, और संस्तुत सीमा से सौ गुना नीचे।

**9.** $D \gg d$ के लिए, $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr)
\sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$: दोनों $1/D$ क्षेत्र प्रथम कोटि तक कट जाते हैं और केवल उनका अंतर बचता है, जिसका सापेक्ष आकार $d/D$ है — यानी कोई “दो-तार वाला द्विध्रुव”।

**10.** अपना चालक $1\,\mathrm{m}$ पर: $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ क्षैतिज; और दूसरा $1.41\,\mathrm{m}$ पर: $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, $45{}^{\circ}$ पर, विरोध में: अतः परिणामी $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$, यानी $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$, जो सार्वजनिक सीमा से नीचे है और व्यावसायिक सीमा से कहीं नीचे।

**11.** $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 =
0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, प्रतिकर्षी; और $20\,\mathrm{kA}$ पर: $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$।

**12.** सामान्य में $15\,\mathrm{N}$; और लघुपथन में $24\,\mathrm{kN}$, यानी फैलाव के $2.9\,\mathrm{kN}$ भार से आठ गुना: चालक एक-दूसरे से दूर उछल जाते हैं, झूलते हैं और लौटते समय आपस में टकरा भी सकते हैं — इसीलिए दूरी बनाए रखने वाले अवरोधक और कुछ ही चक्रों में खुल जाने वाले वियोजक लगाए जाते हैं।

**13.** $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) =
I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$: यानी तीनों कला-सदिशों का योग शून्य है। $1/D$ वाले क्षेत्र समाक्ष की तरह कट जाते हैं; और दूर का क्षेत्र $1/D^2$ की तरह या उससे भी तेज़ी से गिरता है।

**14.** वहाँ लाइन का क्षेत्र ऊर्ध्वाधर है; और कोई दिक्सूचक केवल क्षैतिज घटक पर ही प्रतिक्रिया करता है: अतः कोई विक्षेप नहीं (नति $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$, यानी तीन अंश बदलती है, जो दिक्सूचक दिखा ही नहीं सकता)।

**15.** भुजाएँ $a$ (जो अक्ष के समांतर हैं): त्रिज्य $\vect B$ उन पर लंब है, अतः हर एक पर बल $NIaB$, जो कुंडली के तल पर लंब है और दोनों भुजाओं पर विपरीत: यानी एक युग्म। भुजाएँ $b$: वहाँ $\dd\vect l$ त्रिज्य है, यानी $\vect B$ के समांतर: अतः कोई बल नहीं।

**16.** $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (न्यूटन-मीटर में, जहाँ $I$ [ऐंपियर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-current) में)। त्रिज्य क्षेत्र हमेशा कुंडली के तल में और भुजाओं $a$ पर लंब रहता है: अतः बल हमेशा तल पर अभिलंब होते हैं और उनकी [उत्तोलक भुजा](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) $b/2$ कभी नहीं बदलती।

**17.** $C\theta = NISB$: $\theta = 2400\,I$ रेडियन, अर्थात् $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$; और पूर्ण पैमाना $1.2\,\mathrm{rad}$ पर, $I = 0.50\,\mathrm{mA}$।

**18.** लंबाई $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$, काट $\pi(5 \times
10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$: $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} =
43\,\Omega$; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$।

**19.** $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$: $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7
\times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 0.51\,\mathrm{s}$।

**20.** $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$: क्रांतिक तब, जब $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$; तब सुई बिना आगे निकले सबसे तेज़ी से अपने पाठ पर पहुँच जाती है।

**21.** वोल्टमापी: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$। धारामापी: शंट $22\,\mathrm{mV}$ के नीचे $0.9995\,\mathrm{A}$ ले जाता है: $R_{\text{शंट}} =
22\,\mathrm{m}\Omega$।

**22.** $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; और स्प्रिंग $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 =
7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$: यानी वही कोटि — स्प्रिंग वही संचित रखती है जो चुंबकीय [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) ने कुंडली के घूमते समय किया।

**23.** किसी एकसमान क्षेत्र में [बलाघूर्ण](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/15-angular-momentum#def-b1-angular-momentum-moment) $mB\cos\theta$ होता (जो तब अधिकतम है जब तल $\vect B$ को रखता हो, और तब शून्य जब अभिलंब उसके अनुदिश हो): $C\theta =
NISB\,I\cos\theta$ — यानी केवल छोटे $\theta$ के लिए रैखिक, और पैमाने के ऊपरी सिरे पर दबा हुआ।

**24.** $50\,\mathrm{Hz}$, जबकि $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$: कुंडली साथ नहीं चल पाती; वह धारा के माध्य, यानी शून्य, पर ठहरी रहती है, बस $\approx \theta_{\text{स्थैतिक}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx
2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$ [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) की एक कँपकँपी के साथ, जो दिखती ही नहीं। कोई चल-कुंडली मापी माध्य पढ़ता है — प्रत्यावर्ती धारा के लिए उसे कोई दिष्टकारी चाहिए।

**25.** $1\,\mathrm{A}$ के किसी समाक्ष तार के क्रोड पर $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ और बाहर कुछ नहीं ([ऐंपियर का नियम](#thm-b1-magnetostatics-ampere)); $500\,\mathrm{A}$ की किसी लाइन के नीचे $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ और उसके चालकों के बीच $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ (बायो–सावार और लाप्लास); तथा मापी के लिए $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ (किसी स्प्रिंग के विरुद्ध लाप्लास का युग्म)।