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title: "दिष्ट धारा परिपथ: किरचॉफ़ के नियम और प्रमेय"
book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1"
subject: physics
language: hi
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems
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# अध्याय 6 — दिष्ट धारा परिपथ: किरचॉफ़ के नियम और प्रमेय

ठंडी सुबह चाबी घुमाइए: स्टार्टर कराहता है, डैशबोर्ड की बत्तियाँ एक पल के लिए मंद पड़ती हैं, और कार खाँसती हुई जाग उठती है। जो बैटरी अभी-अभी स्थिर $12.6\,\mathrm{V}$ दे रही थी वह ग्यारह पर उतर आई है, क्योंकि स्टार्टर अपने डेढ़ सौ [ऐंपियर](#def-b1-dc-circuits-current) खींच रहा है — और समांतर में जुड़े शीर्षदीप इसकी क़ीमत चुकाते हैं। उस एक सेकंड की हर बात दो संरक्षण नियमों और रैखिक परिपथों की मुट्ठी भर प्रमेयों से सधती है, जिन्हें यह अध्याय कहता है, सिद्ध करता है और काम में लेता है: [किरचॉफ़ के नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), स्रोतों तथा प्रतिरोधकों के प्रतिरूप, विभाजक, तेवेनिन और नॉर्टन, और [क्रिया बिंदु](#met-b1-dc-circuits-loadline) खोजने की आलेखीय [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal)।

## 6.1 धारा, विभवांतर और अर्ध-स्थायी व्यवस्था

**परिभाषा 6.1 (विद्युत धारा).**

किसी पृष्ठ (जैसे तार की अनुप्रस्थ काट) से होकर बहती *विद्युत धारा* प्रति एकांक समय उसे पार करता आवेश है, जिसे किसी चुनी हुई दिशा में धनात्मक गिना जाता है:

$$
i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{ऐंपियर: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).
$$

दिशा उलटने पर $i$ का चिह्न बदल जाता है। किसी धातु में वाहक इलेक्ट्रॉन होते हैं, जो पारंपरिक धारा-दिशा के *विरुद्ध* बहते हैं, वह भी प्रति सेकंड मिलीमीटर के अंश भर।

**परिभाषा 6.2 (विभव और विभवांतर).**

परिपथ के हर बिंदु का एक *विद्युत विभव* $V$ (वोल्ट) होता है, जो किसी *भूसंपर्क* ($V = 0$) के चुनाव से तय होते नियतांक तक परिभाषित है। $A$ और $B$ के बीच *विभवांतर* विभवों का अंतर $u_{AB} = V_A - V_B$ है, जिसे $B$ से $A$ की ओर तीर से दिखाया जाता है। आवेश $q$ जो ऊर्जा $A$ से $B$ तक जाने में खोता है वह $q\,u_{AB}$ है (यह [अध्याय 27](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/27-electric-potential-conductors-and-capacitors#ch-b1-potential-capacitors) के स्थिरवैद्युत विभव से जुड़ता है)।

**परिभाषा 6.3 (अर्ध-स्थायी व्यवस्था (ARQS)).**

आकार $\ell$ का कोई परिपथ, जो आवृत्ति $f$ पर चलाया जा रहा हो, *अर्ध-स्थायी व्यवस्था* में तब है जब उसके अनुदिश विद्युत संकेतों का संचरण-काल $\ell/c$ आवर्तकाल $1/f$ के सामने नगण्य हो: $\ell \ll c/f$। तब हर क्षण किसी बिना शाखा वाले तार के हर बिंदु पर धारा एक ही होती है, और नीचे दिए नियम हर क्षण समय के साथ बदलती धाराओं और विभवांतरों पर (छोटे अक्षरों वाले $i$, $u$) ठीक वैसे ही लागू होते हैं जैसे स्थायी वालों पर ($I$, $U$)।

**उदाहरण 6.4 (अर्ध कितना अर्ध है).**

$50\,\mathrm{Hz}$ पर $c/f = 6000\,\mathrm{km}$: अतः कोई घर [अर्ध-स्थायी व्यवस्था](#def-b1-dc-circuits-arqs) में है। $1\,\mathrm{MHz}$ पर $300\,\mathrm{m}$: रेडियो भी अब भी है। $2\,\mathrm{GHz}$ पर $15\,\mathrm{cm}$: फ़ोन का परिपथ-पट्ट नहीं है, और उसकी पटरियों को संचरण-रेखाओं की तरह बरतना पड़ता है — यह वर्ष 2 के खंड का विषय है।

**प्रमेय 6.5 (किरचॉफ़ के नियम).**

[अर्ध-स्थायी व्यवस्था](#def-b1-dc-circuits-arqs) में:

1. *[संधि नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* : जिस संधि पर कई तार मिलते हैं, वहाँ आती धाराओं का योग जाती धाराओं के योग के बराबर होता है, $\sum_{\text{आती}} i_k = \sum_{\text{जाती}} i_k$ ।
2. *[पाश नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* : किसी भी बंद पाश के चारों ओर [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) , जब उन्हें भ्रमण की चुनी हुई दिशा से मिले चिह्न के साथ गिना जाए, जुड़कर शून्य हो जाते हैं: $\sum_{\text{पाश}} \pm u_k = 0$ ।

**उपपत्ति.** आवेश संरक्षित है और [अर्ध-स्थायी व्यवस्था](#def-b1-dc-circuits-arqs) में किसी संधि पर जमा नहीं होता: जो प्रति सेकंड आता है वही प्रति सेकंड चला जाता है। और [पाश नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) यही कहता है कि विभव स्थिति का फलन है: पाश के चारों ओर घूमकर आरंभ बिंदु पर लौटने पर विभव-पातों का योग $V_A - V_A = 0$ होता है। ∎

**संकेतन 6.6 (रूढ़ियाँ और शक्ति).**

दो सिरों वाले किसी अवयव (यानी *द्विसिरा*) के लिए *[अभिग्राही रूढ़ि](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) के तीर और धारा के तीर को विपरीत दिशाओं में खींचती है; जबकि *[जनित्र रूढ़ि](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* उन्हें एक ही दिशा में खींचती है। [अभिग्राही रूढ़ि](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) में द्विसिरा को *मिलती* शक्ति है

$$
p = u\,i \qquad (\text{वाट}),
$$

जो गरम होते [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) के लिए धनात्मक है और शक्ति देती बैटरी के लिए ऋणात्मक। [जनित्र रूढ़ि](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) में $p = ui$ *दी गई* शक्ति होती है।

![किसी द्विसिरा के लिए चिह्न की दो रूढ़ियाँ: तीर विपरीत (अभिग्राही) या एक-दिशा में (जनित्र)। भौतिकी दोनों में एक ही है; बस ui का चिह्न अलग तरह पढ़ा जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-e69330e83cbf.svg)

*किसी द्विसिरा के लिए चिह्न की दो रूढ़ियाँ: तीर विपरीत (अभिग्राही) या एक-दिशा में (जनित्र)। भौतिकी दोनों में एक ही है; बस $ui$ का चिह्न अलग तरह पढ़ा जाता है।*

## 6.2 द्विसिरा और उनके प्रतिरूप

**परिभाषा 6.7 (अभिलक्षणिक वक्र; प्रतिरोधक; ओम का नियम).**

किसी द्विसिरा का *अभिलक्षणिक वक्र* वह वक्र $i(u)$ (या $u(i)$) है जो वह लादता है। *प्रतिरोधक* का अभिलक्षणिक वक्र मूल बिंदु से गुज़रती सरल रेखा होता है, यानी *ओम का नियम*

$$
u = R\,i \qquad (\text{अभिग्राही रूढ़ि}),
$$

जहाँ $R$ उसका *प्रतिरोध* है (ओम में, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$) और $G = 1/R$ उसकी *चालकता* (सीमेंस में)। वह $p = Ri^2 =
u^2/R \geq 0$ पाता है, जो ऊष्मा के रूप में क्षय होती है (*जूल प्रभाव*)। लंबाई $\ell$, अनुप्रस्थ काट $S$ और प्रतिरोधकता $\rho$ के तार का $R = \rho\ell/S$ होता है।

**परिभाषा 6.8 (आदर्श और वास्तविक स्रोत).**

*आदर्श विभव स्रोत* धारा चाहे कुछ भी हो, $u = E$ लाद देता है; और $E$ उसका *विद्युत वाहक बल* है। *आदर्श धारा स्रोत* [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) चाहे कुछ भी हो, $i = I_N$ लाद देता है। किसी *वास्तविक स्रोत* (बैटरी, जनित्र, विद्युत आपूर्ति) का प्रतिरूप, [जनित्र रूढ़ि](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) में, यह है:

$$
u = E - r\,i \quad (\text{तेवेनिन प्रतिरूप: आदर्श विद्युत वाहक बल } E \text{ के साथ श्रेणी में } r)
$$

अथवा, उसी के तुल्य, $i = I_N - u/r$ (नॉर्टन प्रतिरूप: आदर्श धारा स्रोत $I_N = E/r$, $r$ के समांतर में); और $r$ *आंतरिक प्रतिरोध* है। $E$ खुले परिपथ का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) है और $I_N = E/r$ लघुपथ धारा।

**प्रतिज्ञप्ति 6.9 (किसी वास्तविक स्रोत का शक्ति-लेखा).**

वास्तविक स्रोत $(E, r)$, जो किसी [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ को खिलाता है, धारा $i = E/(R + r)$ देता है और शक्ति

$$
P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},
$$

जो अधिकतम है और $E^2/4r$ के बराबर, तब जब $R = r$ हो (*प्रतिबाधा-मिलान*), और तब दक्षता $P_R/(Ei) = R/(R + r)$ उस अधिकतम पर केवल $50\%$ रह जाती है।

**उपपत्ति.** [पाश नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): $E = ri + Ri$। $P_R = Ri^2$; अब $R/(R + r)^2$ का अवकलन कीजिए: $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$, जो $R = r$ पर शून्य है, उससे पहले धनात्मक और बाद में ऋणात्मक। स्रोत $Ei = (R + r)i^2$ देता है, जिसमें से $ri^2$ स्वयं स्रोत को गरम करता है। ∎

![बाएँ: किसी वास्तविक स्रोत (u = E - ri) और किसी प्रतिरोधी भार (u = Ri) के अभिलक्षणिक वक्र क्रिया बिंदु पर मिलते हैं। दाएँ: भार को दी गई शक्ति R = r पर शिखर पर पहुँचती है, जहाँ स्रोत की आधी शक्ति उसके अपने ही प्रतिरोध में बरबाद हो जाती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-9cddec997d88.svg)

![बाएँ: किसी वास्तविक स्रोत (u = E - ri) और किसी प्रतिरोधी भार (u = Ri) के अभिलक्षणिक वक्र क्रिया बिंदु पर मिलते हैं। दाएँ: भार को दी गई शक्ति R = r पर शिखर पर पहुँचती है, जहाँ स्रोत की आधी शक्ति उसके अपने ही प्रतिरोध में बरबाद हो जाती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-ef081915e244.svg)

*बाएँ: किसी वास्तविक स्रोत ($u = E - ri$) और किसी प्रतिरोधी भार ($u = Ri$) के अभिलक्षणिक वक्र [क्रिया बिंदु](#met-b1-dc-circuits-loadline) पर मिलते हैं। दाएँ: भार को दी गई शक्ति $R = r$ पर शिखर पर पहुँचती है, जहाँ स्रोत की आधी शक्ति उसके अपने ही प्रतिरोध में बरबाद हो जाती है।*

**उदाहरण 6.10 (भार के नीचे कार की बैटरी).**

खुला परिपथ $12.6\,\mathrm{V}$; और स्टार्टर के $120\,\mathrm{A}$ खींचते समय $11.4\,\mathrm{V}$: अतः $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$, $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (इसीलिए गिरा हुआ पाना वेल्डिंग-जैसा ख़तरा बन जाता है)। मिलान वाला भार $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ कुछ सेकंडों के लिए $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ ले लेता — लगभग उतना ही जितना किसी स्टार्टर मोटर को चाहिए।

**टिप्पणी 6.11 (अन्य द्विसिरा).**

*डायोड* केवल एक ही दिशा में चालन करता है: उसका एक आदर्शीकृत प्रतिरूप $u < U_0$ के लिए खुला परिपथ है, और चालन करते समय नियत [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u = U_0$ (सिलिकॉन के लिए लगभग $0.7\,\mathrm{V}$, किसी LED के लिए $2\,$ से $3\,\mathrm{V}$)। फ़िलामेंट लैंप ऐसा [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) है जिसका $R$ उसके ताप के साथ बढ़ता है, और अतः $i$ के साथ भी — यानी वक्र अभिलक्षणिक। स्थायी अवस्था में संधारित्र खुला परिपथ है ($i = C\,\dd u/\dd t = 0$) और प्रेरक लघुपथ ($u = L\,\dd i/\dd t = 0$); क्षणिक व्यवस्थाओं में उनकी भूमिका [अध्याय 7](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes) है।

## 6.3 संयोजन और विभाजक

**प्रतिज्ञप्ति 6.12 (श्रेणी और समांतर में प्रतिरोधक).**

श्रेणी में जुड़े [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) (समान धारा) जुड़ जाते हैं: $R = R_1 + R_2 + \cdots$। समांतर में जुड़े [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) (समान [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage)) अपनी चालकताएँ जोड़ते हैं: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$; और दो के लिए $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$, जिसे $R_1 \parallel R_2$ लिखा जाता है।

**उपपत्ति.** श्रेणी: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ ([पाश नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff))। समांतर: $i = i_1 +
i_2 = u/R_1 + u/R_2$ ([संधि नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff))। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 6.13 (विभव और धारा विभाजक).**

किसी [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u$ के आरपार श्रेणी में जुड़े दो [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) उसे अपने प्रतिरोधों के अनुपात में बाँट लेते हैं:

$$
u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .
$$

धारा $i$ से खिलाए गए, समांतर में जुड़े दो [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) उसे व्युत्क्रम अनुपात में बाँटते हैं:

$$
i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .
$$

**उपपत्ति.** श्रेणी: $i = u/(R_1 + R_2)$ और $u_2 = R_2 i$। समांतर: $u = (R_1
\parallel R_2)\,i$ और $i_2 = u/R_2$। ∎

![विभव विभाजक (बाएँ): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)। धारा विभाजक (दाएँ): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — धारा छोटे प्रतिरोध को अधिक पसंद करती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-246b3afb158f.svg)

*[विभव विभाजक](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (बाएँ): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$। [धारा विभाजक](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (दाएँ): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — धारा छोटे प्रतिरोध को अधिक पसंद करती है।*

**टिप्पणी 6.14 (विभाजक पर भार).**

विभाजक का सूत्र तभी टिकता है जब मध्यबिंदु से कोई धारा न खींची जाए। कोई भार $R_L$, जो $R_2$ के आरपार जोड़ा जाए, $R_2$ की जगह $R_2
\parallel R_L$ ले आता है और $u_2$ को गिरा देता है — यही “भार-प्रभाव” है, और यही कारण कि वोल्टमापी का प्रतिरोध ऊँचा और विभवमापी का नीचा होना चाहिए, उस चीज़ की तुलना में जिसे वह खिलाता है ([अभ्यास 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4))।

**विधि 6.15 (किसी जाल को समेटना).**

प्रतिरोधकों और एक स्रोत वाले किसी जाल में कोई एक धारा या [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) खोजने के लिए:

1. स्रोत से दूर से शुरू करके श्रेणी और समांतर के समूहों को उनके तुल्यों से बदलते जाइए, जब तक स्रोत के सामने एक ही [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) न रह जाए;
2. स्रोत की धारा निकालिए;
3. अब उलटा चलिए, धाराओं को धारा विभाजकों से और विभवांतरों को विभव विभाजकों से बाँटते हुए, अभीष्ट शाखा तक।

कई स्रोत हों, या ऐसी शाखा हो जिसके पड़ोसी बदलते रहते हों, तो अगले अनुभाग की प्रमेयें काम में लीजिए।

## 6.4 रैखिक परिपथों की प्रमेयें

**परिभाषा 6.16 (रैखिक द्विसिरा, रैखिक परिपथ).**

कोई द्विसिरा *रैखिक* है यदि उसका अभिलक्षणिक वक्र सरल रेखा हो ([प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor), आदर्श और वास्तविक स्रोत); और केवल रैखिक द्विसिराओं से बना परिपथ *रैखिक परिपथ* है। उसके अज्ञात रैखिक समीकरणों के एक निकाय का पालन करते हैं ([किरचॉफ़ के नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) और अभिलक्षणिक वक्र), जिसका हल अद्वितीय है।

**प्रमेय 6.17 (तेवेनिन और नॉर्टन).**

अपने किन्हीं दो सिरों $A$ और $B$ से देखने पर हर [रैखिक परिपथ](#def-b1-dc-circuits-linear) किसी वास्तविक स्रोत के तुल्य है: कोई [विद्युत वाहक बल](#def-b1-dc-circuits-sources) $E_{\mathrm{Th}}$, प्रतिरोध $R_{\mathrm{Th}}$ के साथ श्रेणी में (तेवेनिन), अथवा कोई [धारा स्रोत](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N =
E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$, $R_{\mathrm{Th}}$ के समांतर में (नॉर्टन), जहाँ

- $E_{\mathrm{Th}}$ खुले परिपथ का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u_{AB}$ है;
- $I_N$ $A$ से $B$ तक की लघुपथ धारा है;
- $R_{\mathrm{Th}}$ वह प्रतिरोध है जो $A$ और $B$ के बीच तब दिखता है जब हर स्वतंत्र स्रोत बुझा दिया जाए (आदर्श विभव स्रोतों की जगह तार, और आदर्श धारा स्रोतों की जगह खुला परिपथ)।

**आंशिक उपपत्ति.** रैखिकता के कारण सिरों पर [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u_{AB}$ और वहाँ से खींची जाती धारा $i$ के बीच का संबंध अफ़ाइन है: $u_{AB} = a - b\,i$। $i = 0$ रखने पर $a = E_{\mathrm{Th}}$ पहचाना जाता है; और $u_{AB} = 0$ रखने पर $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$। यह कि $b$ स्रोत बुझाकर दिखते प्रतिरोध के बराबर है, अध्यारोपण (नीचे) से निकलता है: $u_{AB}$ का जो भाग अकेली बाहरी धारा से आता है वही है जो प्रतिरोध $R_{\mathrm{Th}}$ का कोई निष्क्रिय जाल उत्पन्न करता। और यह कि हर रैखिक निकाय का निवेश–निर्गम संबंध अफ़ाइन होता है, रैखिक समीकरणों का बीजगणित है। ∎

**प्रमेय 6.18 (अध्यारोपण).**

कई स्वतंत्र स्रोतों वाले किसी [रैखिक परिपथ](#def-b1-dc-circuits-linear) में कोई भी धारा या [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) उन मानों का योग है जो वह तब लेता है जब हर स्रोत अकेला काम करे और बाक़ी बुझा दिए जाएँ।

**उपपत्ति.** समीकरण अज्ञातों में रैखिक हैं, और स्रोत उनका दायाँ पक्ष हैं; हल उसी दाएँ पक्ष का रैखिक फलन है, अतः वह हर स्रोत के लिए अलग-अलग निकले हलों का योग है। ∎

**प्रतिज्ञप्ति 6.19 (मिलमैन की प्रमेय).**

जो संधि $N$ विभवों $V_1, \dots, V_n$ वाले बिंदुओं से प्रतिरोधों $R_1, \dots, R_n$ के द्वारा जुड़ी हो (और किसी और चीज़ से नहीं), उसका विभव है

$$
V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},
$$

यानी अपने पड़ोसियों के विभवों का चालकता-भारित माध्य।

**उपपत्ति.** $N$ पर [संधि नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$; अब $V_N$ के लिए हल कीजिए। ∎

![एक साझे भार R_3 को खिलाते दो स्रोत। R_3 के सिरों से देखने पर बाक़ी परिपथ एक तेवेनिन स्रोत है (E_ Th, R_ Th); और मिलमैन की प्रमेय संधि N का विभव एक ही पंक्ति में दे देती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-30434c8dc9c6.svg)

*एक साझे भार $R_3$ को खिलाते दो स्रोत। $R_3$ के सिरों से देखने पर बाक़ी परिपथ एक तेवेनिन स्रोत है ($E_{\mathrm{Th}}$, $R_{\mathrm{Th}}$); और [मिलमैन की प्रमेय](#prop-b1-dc-circuits-millman) संधि $N$ का विभव एक ही पंक्ति में दे देती है।*

**उदाहरण 6.20 (एक ही उत्तर तक तीन रास्ते).**

आकृति में $E_1 = 10\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $E_2 =
5.0\,\mathrm{V}$, $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$। *मिलमैन*: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 =
6.25\,\mathrm{V}$। *अध्यारोपण*: अकेला $E_1$ $R_2 \parallel
R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$ देखता है, अतः $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$; अकेला $E_2$ $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$ देखता है, $u = 5 \times 0.667/2.667
= 1.25\,\mathrm{V}$; कुल $6.25\,\mathrm{V}$। *तेवेनिन*, $R_3$ से देखने पर: $E_{\mathrm{Th}}$ विभाजक $(E_1, R_1, R_2, E_2)$ के खुले परिपथ का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) है: $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times
2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 =
0.667\,\mathrm{k}\Omega$; अतः $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$।

## 6.5 क्रिया बिंदु; व्हीटस्टोन सेतु

**विधि 6.21 (आलेखीय क्रिया बिंदु).**

अरैखिक द्विसिरा (जिसका अभिलक्षणिक वक्र $i = g(u)$ है), जिसे किसी तेवेनिन स्रोत $(E, R)$ से खिलाया जाए, वहीं ठहरता है जहाँ दोनों संबंध एक साथ टिकें: द्विसिरा का अभिलक्षणिक वक्र और स्रोत की *[भार रेखा](#met-b1-dc-circuits-loadline)* $u = E - Ri$ एक ही अक्षों पर खींचिए; उनका प्रतिच्छेद ही *[क्रिया बिंदु](#met-b1-dc-circuits-loadline)* है। किसी LED का श्रेणी [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor), कोई ज़ेनर नियंत्रक या किसी ट्रांजिस्टर की अभिनति चुनना ठीक यही रचना है।

![कोई LED (देहली 2\, V के पास), जिसे E = 5\, V से R = 200\, के द्वारा खिलाया गया है: भार रेखा u = E - Ri डायोड के अभिलक्षणिक वक्र को 2.0\, V, 15\, mA पर काटती है। R बढ़ाने पर रेखा नीचे झुक जाती है और LED मंद पड़ जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-6e48896d8cd1.svg)

*कोई LED (देहली $2\,\mathrm{V}$ के पास), जिसे $E = 5\,\mathrm{V}$ से $R = 200\,\Omega$ के द्वारा खिलाया गया है: [भार रेखा](#met-b1-dc-circuits-loadline) $u = E - Ri$ डायोड के अभिलक्षणिक वक्र को $2.0\,\mathrm{V}$, $15\,\mathrm{mA}$ पर काटती है। $R$ बढ़ाने पर रेखा नीचे झुक जाती है और LED मंद पड़ जाता है।*

**प्रतिज्ञप्ति 6.22 (व्हीटस्टोन सेतु).**

चार [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_1, R_2$ (एक शाखा) और $R_3, R_4$ (दूसरी शाखा), किसी स्रोत $E$ के आरपार; सेतु का निर्गम दोनों मध्यबिंदुओं के बीच का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) है:

$$
u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),
$$

जो शून्य है (यानी सेतु *संतुलित* है) तभी जब $R_1R_4 = R_2R_3$ हो। $R_4$ को $R_4(1 + \epsilon)$ तक विक्षुब्ध करके, $\epsilon
\ll 1$ और $R_3 = R_4$ के साथ, संतुलित सेतु के लिए: $u \approx -E\epsilon/4$।

**उपपत्ति.** दो [विभव विभाजक](#prop-b1-dc-circuits-dividers); अब घटा दीजिए। संतुलन: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 +
R_2)$, यानी $R_2R_3 = R_1R_4$। $R_3 = R_4 = R$ और $R_1 = R_2$ के साथ: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 -
2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$। ∎

![व्हीटस्टोन सेतु: अगल-बगल रखे दो विभाजक। R_1R_4 = R_2R_3 होने पर संतुलित, यह किसी एक प्रतिरोध के नन्हे बदलाव (विकृति-मापी, तापप्रतिरोधी) को शून्य के आसपास के विभवांतर में बदल देता है, जिसे किसी बड़े विभवांतर के छोटे बदलाव की तुलना में कहीं आसानी से प्रवर्धित किया जा सकता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-bef8e1df3350.svg)

*[व्हीटस्टोन सेतु](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone): अगल-बगल रखे दो विभाजक। $R_1R_4 = R_2R_3$ होने पर संतुलित, यह किसी एक प्रतिरोध के नन्हे बदलाव (विकृति-मापी, तापप्रतिरोधी) को शून्य के आसपास के [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) में बदल देता है, जिसे किसी बड़े [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) के छोटे बदलाव की तुलना में कहीं आसानी से प्रवर्धित किया जा सकता है।*

## 6.6 अभ्यास

**अभ्यास 6.1 ★.**

कोई फ़ोन एक घंटे तक $1.5\,\mathrm{A}$ पर आवेशित होता है: कितना आवेश बहता है, कितने इलेक्ट्रॉन? आकलन कीजिए कि [अर्ध-स्थायी व्यवस्था](#def-b1-dc-circuits-arqs) $50\,\mathrm{Hz}$ पर घर की तारों के लिए टिकती है या नहीं, $1\,\mathrm{MHz}$ पर $10\,\mathrm{cm}$ के परिपथ के लिए, और उसी परिपथ के लिए $1\,\mathrm{GHz}$ पर।

**हल — अभ्यास 6.1.**

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$, $N = 5400/1.6\times10^{-19} =
3.4 \times 10^{22}$ इलेक्ट्रॉन। $c/f$: $50\,\mathrm{Hz}$ पर $6000\,\mathrm{km}$ (घर: हाँ); $1\,\mathrm{MHz}$ पर $300\,\mathrm{m}$ ($10\,\mathrm{cm}$ का परिपथ: हाँ); $1\,\mathrm{GHz}$ पर $30\,\mathrm{cm}$, जो $10\,\mathrm{cm}$ से तुलनीय है: नहीं।

**अभ्यास 6.2 ★.**

$230\,\mathrm{V}$ पर कोई $2000\,\mathrm{W}$ का ऊष्मक: धारा, प्रतिरोध, और $3.0\,\mathrm{h}$ में खर्च ऊर्जा (kWh में और जूल में)। उसकी $5.0\,\mathrm{m}$ लंबी ताँबे की डोरी की अनुप्रस्थ काट $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ है ($\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$): डोरी में खोई शक्ति निकालिए।

**हल — अभ्यास 6.2.**

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$; $E =
6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$। डोरी: एक चालक का $R = 1.7\times10^{-8}
\times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$, दोनों चालकों का $0.11\,\Omega$: अतः $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$।

**अभ्यास 6.3 ★.**

$10\,\Omega$, $20\,\Omega$ और $30\,\Omega$ के साथ: तीनों के श्रेणी में, समांतर में, और $(10 \parallel 20) + 30$ का प्रतिरोध निकालिए।

**हल — अभ्यास 6.3.**

श्रेणी $60\,\Omega$; समांतर $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$, और $30$ जोड़कर: $36.7\,\Omega$।

**अभ्यास 6.4 ★.**

कोई $12\,\mathrm{V}$ स्रोत श्रेणी में जुड़े $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ और $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ को खिलाता है। $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ के आरपार [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) निकालिए। फिर उसके आरपार प्रतिरोध $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ की कोई युक्ति जोड़ दी जाती है: नया [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage)? भार-प्रभाव पर निष्कर्ष निकालिए।

**हल — अभ्यास 6.4.**

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$। भार के साथ: $2.2 \parallel 2.2 =
1.1\,\mathrm{k}\Omega$, $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$: यानी भार विभाजक को $40\%$ नीचे खींच लेता है — कोई विभाजक तभी “बाँटता” है जब वह कहीं अधिक ऊँचे प्रतिरोध की किसी चीज़ को खिलाए।

**अभ्यास 6.5 ★★.**

कोई बैटरी खुली अवस्था में $12.6\,\mathrm{V}$ दिखाती है और $120\,\mathrm{A}$ देते समय $11.4\,\mathrm{V}$। उसका [आंतरिक प्रतिरोध](#def-b1-dc-circuits-sources) और लघुपथ धारा, स्टार्टर को दी गई शक्ति और भीतर खोई शक्ति, तथा दक्षता निकालिए।

**हल — अभ्यास 6.5.**

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$; $I_N = 12.6/0.010 =
1260\,\mathrm{A}$। स्टार्टर को $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$; खोई $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$; दक्षता $1368/1512 = 90\%$।

**अभ्यास 6.6 ★★.**

[अभ्यास 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4) के विभाजक ($E = 12\,\mathrm{V}$, $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$) का तेवेनिन तुल्य निकालिए, जैसा वह $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) के सिरों से दिखता है। उससे उस अभ्यास का भारित [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) फिर से पाइए।

**हल — अभ्यास 6.6.**

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (खुले परिपथ वाला विभाजक); $R_{\mathrm{Th}}
= 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (स्रोत लघुपथित)। भार के साथ: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$।

**अभ्यास 6.7 ★★.**

दो बैटरियाँ, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ($r_1 = 1.0\,\Omega$) और $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ($r_2 = 2.0\,\Omega$), समांतर में (समान ध्रुवता के साथ) $2.0\,\Omega$ के भार के आरपार जुड़ी हैं। भार का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) पहले अध्यारोपण से, फिर मिलमैन से निकालिए, और हर बैटरी में धारा भी। क्या दुर्बल बैटरी आवेशित हो रही है या विसर्जित?

**हल — अभ्यास 6.7.**

अध्यारोपण: अकेला $E_1$ $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$ देखता है, $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$; अकेला $E_2$ $r_1 \parallel R
= 0.667\,\Omega$ देखता है, $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$; कुल $6.25\,\mathrm{V}$। मिलमैन: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$। बैटरी 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ बाहर; बैटरी 2: $(5 - 6.25)/2
= -0.63\,\mathrm{A}$, यानी $0.63\,\mathrm{A}$ उसके *भीतर* — अतः उसे प्रबलतर बैटरी आवेशित कर रही है; और भार $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$।

**अभ्यास 6.8 ★★.**

कोई स्रोत $E = 9.0\,\mathrm{V}$, $r = 3.0\,\Omega$। $1.0\,\Omega$, $3.0\,\Omega$, $12\,\Omega$ के भारों को दी गई शक्ति निकालिए, और हर स्थिति में दक्षता। बैटरी से चलती किसी युक्ति के लिए अभियंता कौन-सा भार चुनेगा, और मिलान वाला क्यों नहीं?

**हल — अभ्यास 6.8.**

$i = 9/(R + 3)$, $P = Ri^2$, $\eta = R/(R + 3)$: $1\,\Omega$: $5.1\,\mathrm{W}$, $25\%$; $3\,\Omega$: $6.75\,\mathrm{W}$, $50\%$; $12\,\Omega$: $4.3\,\mathrm{W}$, $80\%$। बैटरी से चलती युक्ति को दक्षता चाहिए (बैटरी की उम्र), अतः $R \gg r$; और मिलान वाला भार आधी ऊर्जा बैटरी में ही ऊष्मा बनाकर बरबाद कर देता है।

**अभ्यास 6.9 ★★.**

कोई LED $2.0\,\mathrm{V}$ पर चालन करता है और उसे $5.0\,\mathrm{V}$ की आपूर्ति से $15\,\mathrm{mA}$ लेनी है। श्रेणी [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) चुनिए, [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) में और LED में शक्तियाँ निकालिए, तथा [भार रेखा](#met-b1-dc-circuits-loadline) की रचना खींचिए। यदि आपूर्ति $3.3\,\mathrm{V}$ हो तो क्या होगा?

**हल — अभ्यास 6.9.**

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$; $P_R = 3.0 \times 0.015 =
45\,\mathrm{mW}$, $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$। [भार रेखा](#met-b1-dc-circuits-loadline) $(0, 25\,\mathrm{mA})$ से $(5\,\mathrm{V}, 0)$ तक ऊर्ध्वाधर अभिलक्षणिक वक्र से $2.0\,\mathrm{V}$ पर मिलती है। $3.3\,\mathrm{V}$ पर वही [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) केवल $6.5\,\mathrm{mA}$ देता है; $15\,\mathrm{mA}$ के लिए $R = 1.3/0.015 =
87\,\Omega$ चाहिए।

**अभ्यास 6.10 ★★★.**

कोई विकृति-मापी $R_4 = R(1 + \epsilon)$, $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $5.0\,\mathrm{V}$ के आरपार तीन जड़े $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ प्रतिरोधकों वाले [व्हीटस्टोन सेतु](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) में बैठा है। $\epsilon$ में प्रथम कोटि तक निर्गम [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) व्युत्पन्न कीजिए और $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$ के लिए उसे निकालिए। किसी साधारण विभाजक में मापी के [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) को नापने से सेतु बेहतर क्यों है?

**हल — अभ्यास 6.10.**

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] =
-E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} =
-1.25\,\mathrm{mV}$। किसी साधारण विभाजक में वही बदलाव $2.5\,\mathrm{V}$ के विस्थापन के ऊपर बैठता है ($2.501\,25\,\mathrm{V}$); जबकि सेतु $1.25\,\mathrm{mV}$ को शून्य के आसपास देता है, जिसे बिना कुछ संतृप्त किए हज़ार गुना प्रवर्धित किया जा सकता है।

**अभ्यास 6.11 ★★★.**

बारह एक जैसे [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ किसी घन की कोरें बनाते हैं। सममिति का उपयोग करके (जब धारा $I$ एक कोने से घुसकर सम्मुख कोने से निकले, तब कौन-सी संधियाँ समान विभव पर होती हैं) दिखाइए कि सम्मुख कोनों के बीच प्रतिरोध $5R/6$ होता है।

**हल — अभ्यास 6.11.**

सममिति के कारण प्रवेश-कोने के तीनों पड़ोसी एक ही विभव साझा करते हैं, और निर्गम-कोने के तीनों पड़ोसी दूसरा। धारा $I$ तीन प्रवेश-कोरों में $I/3$ में बँटती है, फिर हर एक छह मध्य-कोरों में दो $I/6$ में, जो तीन निर्गम-कोरों में फिर से $I/3$ बन जाती हैं। [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage): $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$, अतः $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$।

**अभ्यास 6.12 ★★★.**

$4.0\,\Omega$ के समांतर में जुड़ा कोई [धारा स्रोत](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ किसी $2.0\,\Omega$ [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) के द्वारा $6.0\,\mathrm{V}$ की बैटरी (जिसका प्रतिरोध नगण्य है) से जुड़ा है, और बैटरी का [विद्युत वाहक बल](#def-b1-dc-circuits-sources) उसका विरोध करता है। नॉर्टन स्रोत को तेवेनिन में बदलिए और $2.0\,\Omega$ [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) की धारा तथा हर स्रोत से विनिमय की गई शक्ति निकालिए।

**हल — अभ्यास 6.12.**

तेवेनिन: $4.0\,\Omega$ के साथ श्रेणी में $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$। पाश: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$, $i = 0.33\,\mathrm{A}$, बैटरी की ओर। बैटरी को $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ मिलते हैं (आवेशन); और $2\,\Omega$ [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) $0.22\,\mathrm{W}$ क्षय करता है; नॉर्टन युग्म के सिरों का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$ है, अतः उसका $4\,\Omega$ $1.67\,\mathrm{A}$ ढोता है और $11.1\,\mathrm{W}$ क्षय करता है, तथा [धारा स्रोत](#def-b1-dc-circuits-sources) $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ देता है — यानी हिसाब पूरा बैठता है।

![बोनट के नीचे: 12\, V की बैटरी, उसके मोटे तार और प्रत्यावर्तित्र — यही सप्ताहांत समस्या का दिष्ट-धारा जाल है, जिसमें चालू करते समय सैकड़ों ऐंपियर बहते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/img-bd8366c9fe62.jpg)

*बोनट के नीचे: $12\,\mathrm{V}$ की बैटरी, उसके मोटे तार और प्रत्यावर्तित्र — यही सप्ताहांत समस्या का दिष्ट-धारा जाल है, जिसमें चालू करते समय सैकड़ों [ऐंपियर](#def-b1-dc-circuits-current) बहते हैं।*

## 6.7 समस्या: कार का विद्युत निकाय

**समस्या 6.1.**

सप्ताहांत समस्या — एक बैटरी, एक स्टार्टर, दो शीर्षदीप, एक प्रत्यावर्तित्र और कुछ मीटर ताँबा: धारा किसे मिलती है, क़ीमत कौन चुकाता है, और इंजन घुमाते समय बत्तियाँ मंद क्यों पड़ जाती हैं

बैटरी एक वास्तविक स्रोत है, [विद्युत वाहक बल](#def-b1-dc-circuits-sources) $E = 12.6\,\mathrm{V}$, [आंतरिक प्रतिरोध](#def-b1-dc-circuits-sources) $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$। ताँबा: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$।

**भाग I — अकेली बैटरी।**

1. [तेवेनिन प्रतिरूप](#def-b1-dc-circuits-sources) खींचिए और [जनित्र रूढ़ि](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) में $u(i)$ लिखिए।
2. खुले परिपथ का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) और लघुपथ धारा दीजिए। गिरा हुआ पाना सिरों को कभी जोड़ क्यों नहीं देना चाहिए?
3. उसी बैटरी का [नॉर्टन प्रतिरूप](#def-b1-dc-circuits-sources) लिखिए।
4. बैटरी किसी [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ को खिलाती है: धारा, सिरों का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) , दी गई शक्ति $P_R$ और $r$ में खोई शक्ति व्यक्त कीजिए।
5. दिखाइए कि $P_R$ $R = r$ पर अधिकतम है और वह अधिकतम निकालिए। तब दक्षता क्या है?
6. कोई तकनीशियन $12\,\mathrm{A}$ पर $u = 12.48\,\mathrm{V}$ और $120\,\mathrm{A}$ पर $u = 11.40\,\mathrm{V}$ नापता है। जाँचिए कि दोनों बिंदु प्रतिरूप पर बैठते हैं और समझाइए कि ऐसे बिंदुओं की शृंखला सरल-रेखा फ़िटिंग से $E$ और $r$ कैसे दे देती है।
7. बैटरी $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ संचित रखती है। वह अकेले दोनों $55\,\mathrm{W}$ के शीर्षदीप कितनी देर चला सकती है ( $12\,\mathrm{V}$ लीजिए)? जूल में यह कितनी ऊर्जा है?

**भाग II — बत्तियाँ जलाकर इंजन घुमाना।** स्टार्टर एक [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$ है; और हर शीर्षदीप $12.0\,\mathrm{V}$ पर $55\,\mathrm{W}$ का है तथा उसे [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) माना जाता है।

8. एक शीर्षदीप का और समांतर में दोनों का प्रतिरोध निकालिए।
9. अकेला स्टार्टर: धारा, सिरों का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) , स्टार्टर में शक्ति, और बैटरी में खोई शक्ति।
10. स्टार्टर और दोनों शीर्षदीप साथ-साथ: तुल्य भार-प्रतिरोध, कुल धारा, और सिरों का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) ।
11. [धारा विभाजक](#prop-b1-dc-circuits-dividers) से स्टार्टर की धारा और शीर्षदीपों की धारा निकालिए।
12. हर शीर्षदीप को अब कितनी शक्ति मिलती है, यह निकालिए और उसकी तुलना उसके नाममात्र मान से कीजिए: बत्तियाँ किस अंश से मंद पड़ती हैं?
13. [पाश नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) का उपयोग करके दो वाक्यों में समझाइए कि बत्तियाँ ठीक इसीलिए मंद पड़ती हैं कि स्टार्टर बड़ी धारा खींचता है।
14. क्या मोटे बैटरी-तार बत्तियों की मदद करेंगे? अभी गुणात्मक रूप से औचित्य दीजिए (भाग IV इसे संख्याओं में बाँधता है)।

**भाग III — इंजन चलता हुआ: प्रत्यावर्तित्र।** प्रत्यावर्तित्र दूसरा वास्तविक स्रोत है, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$, $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$, जो बैटरी के समांतर में है; स्टार्टर बंद है और दोनों शीर्षदीप जल रहे हैं।

15. परिपथ खींचिए: दो वास्तविक स्रोत और शीर्षदीपों का भार, तीनों उन्हीं दो संधियों के बीच समांतर में।
16. साझे सिरा-विभवांतर के लिए [मिलमैन की प्रमेय](#prop-b1-dc-circuits-millman) लगाइए।
17. इससे प्रत्यावर्तित्र की धारा, बैटरी की धारा (चिह्न!) और शीर्षदीपों की धारा निकालिए; [संधि नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) जाँचिए।
18. क्या बैटरी आवेशित हो रही है या विसर्जित? उसे कितनी शक्ति मिलती है, और प्रत्यावर्तित्र कितनी शक्ति देता है?
19. सिरा-विभवांतर को अध्यारोपण से फिर से पाइए (हर स्रोत अकेला, दूसरे की जगह उसका [आंतरिक प्रतिरोध](#def-b1-dc-circuits-sources) ) और जाँच कीजिए।

**भाग IV — संवेदक और तार।**

20. शीतलक संवेदक एक तापप्रतिरोधी है, जिसका प्रतिरोध $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ से गिरकर $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $300\,\Omega$ रह जाता है; वह $5.0\,\mathrm{V}$ से खिलाए गए किसी विभाजक का निचला [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) है, और ऊपरी [प्रतिरोधक](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_0$ है। निर्गम [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) व्यक्त कीजिए, और $R_0 = 775\,\Omega$ के लिए दोनों तापों पर उसे निकालिए।
21. दिखाइए कि दोनों तापों के बीच निर्गम का झूला तब सबसे बड़ा होता है जब $R_0$ संवेदक के दोनों मानों का गुणोत्तर माध्य हो, और ऊपर का मान जाँचिए।
22. वही संवेदक तीन $775\,\Omega$ प्रतिरोधकों वाले [व्हीटस्टोन सेतु](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) में रखा जाता है: सेतु का निर्गम लिखिए और बताइए कि वह किस ताप पर संतुलित है।
23. स्टार्टर का तार एक ओर $1.5\,\mathrm{m}$ लंबा है। $16\,\mathrm{mm}^{2}$ अनुप्रस्थ काट वाले एक चालक का प्रतिरोध, $140\,\mathrm{A}$ पर कुल विभव-पात, और तारों में क्षय होती शक्ति निकालिए।
24. वही $4\,\mathrm{mm}^{2}$ के तार के साथ: स्टार्टर का तार इतना मोटा क्यों होता है?
25. सार लिखिए: इंजन घुमाते समय सिरा-विभवांतर, स्टार्टर तक पहुँचती शक्ति का अंश, और वह इकलौता नियम जो बत्तियों का मंद पड़ना समझा देता है।

**हल — समस्या 6.1.**

**1.** आदर्श [विद्युत वाहक बल](#def-b1-dc-circuits-sources) $E$, $r$ के साथ श्रेणी में: $u = E - ri$।

**2.** $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$। सिरों के आरपार पड़ा कोई पाना उसे ढो लेता: कुछ ग्राम इस्पात में $16\,\mathrm{kW}$ — वह पिघलकर छिटक जाता है।

**3.** $10\,\mathrm{m}\Omega$ के समांतर में [धारा स्रोत](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 1260\,\mathrm{A}$।

**4.** $i = E/(R + r)$; $u = ER/(R + r)$; $P_R = E^2R/(R + r)^2$; $P_r = E^2r/(R + r)^2$.

**5.** $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$: अतः $R = r$ पर अधिकतम, $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$; और दक्षता $R/(R + r) = 50\%$।

**6.** $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$; $12.6 - 0.010 \times
120 = 11.40\,\mathrm{V}$। $u$ को $i$ के सामने आलेखित करने पर सरल रेखा मिलती है, जिसका अंतःखंड $E$ और ढाल $-r$ है ([न्यूनतम वर्ग](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/1-units-dimensions-and-measurement#prop-b1-units-dimensions-regression), [अध्याय 1](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/1-units-dimensions-and-measurement#ch-b1-units-dimensions))।

**7.** दो दीप: $12\,\mathrm{V}$ पर $110\,\mathrm{W}$, यानी $9.2\,\mathrm{A}$; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$। ऊर्जा $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$।

**8.** $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$; समांतर में $1.31\,\Omega$।

**9.** $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$; खोई $0.010 \times 140^2 =
196\,\mathrm{W}$।

**10.** $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$; $i = 12.6/0.0854
= 148\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$.

**11.** $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$; और दोनों दीपों के लिए $i_h =
8.5\,\mathrm{A}$।

**12.** हर दीप: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$, जबकि नाममात्र $55\,\mathrm{W}$: यानी $14\%$ की गिरावट।

**13.** [पाश नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): सिरों का [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u = E - ri$ है; स्टार्टर के $140\,\mathrm{A}$ बैटरी के भीतर $1.4\,\mathrm{V}$ का पात बनाते हैं, और उन्हीं सिरों पर समांतर में जुड़े दीपों को वही घटा हुआ [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) मिलता है।

**14.** केवल आंशिक रूप से: मोटे तार तारों में पात घटाते हैं, $r$ में नहीं; बैटरी के सिरों से खिलाए गए दीप फिर भी $E - ri$ ही देखते हैं।

**15.** उन्हीं दो संधियों के बीच तीन शाखाएँ: $(E, r)$, $(E_a, r_a)$ और $R_h = 1.31\,\Omega$।

**16.** $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763}
= \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$.

**17.** प्रत्यावर्तित्र $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$; बैटरी $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (जो उसके *भीतर* बह रही है); दीप $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$; और $28.3 = 18.6 + 9.8$।

**18.** आवेशित हो रही है। उसे $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ मिलते हैं ($234\,\mathrm{W}$ संचित, $3.5\,\mathrm{W}$ ऊष्मा); और प्रत्यावर्तित्र अपने सिरों पर $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ देता है।

**19.** अकेली बैटरी (प्रत्यावर्तित्र $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$): भार $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$, $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 =
10.44\,\mathrm{V}$। अकेला प्रत्यावर्तित्र (बैटरी $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$): भार $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$, $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 =
2.35\,\mathrm{V}$। योग $12.79\,\mathrm{V}$।

**20.** $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$: $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $3.60\,\mathrm{V}$, और $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $1.40\,\mathrm{V}$।

**21.** $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 +
R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$: अतः $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} =
775\,\Omega$।

**22.** $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$, जो तब शून्य है जब $R_s =
775\,\Omega$ हो, यानी उस मध्य-परास ताप पर जहाँ तापप्रतिरोधी वह मान पकड़ लेता है।

**23.** प्रति चालक $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} =
1.6\,\mathrm{m}\Omega$, कुल $3.2\,\mathrm{m}\Omega$; पात $0.0032
\times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$; शक्ति $63\,\mathrm{W}$।

**24.** $4\,\mathrm{mm}^{2}$: हर एक $6.4\,\mathrm{m}\Omega$, कुल $12.8\,\mathrm{m}\Omega$: पात $1.8\,\mathrm{V}$, $250\,\mathrm{W}$ बरबाद — स्टार्टर अपने [विभवांतर](#def-b1-dc-circuits-voltage) का छठा भाग खो देता। मोटा तार $R_{\text{तार}} \ll R_s$ बनाए रखता है।

**25.** इंजन घुमाते समय सिरों पर लगभग $11.1\,\mathrm{V}$; स्टार्टर को बैटरी की शक्ति का $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ मिलता है; और बत्तियों का मंद पड़ना [पाश नियम](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) है, $u = E - ri$।