--- title: "ज्यावक्रीय स्थायी व्यवस्था और प्रतिबाधा" book: "विश्वविद्यालय भौतिकी — वर्ष 1" subject: physics language: hi chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/8-sinusoidal-steady-state-and-impedance --- # अध्याय 8 — ज्यावक्रीय स्थायी व्यवस्था और प्रतिबाधा किसी पुराने रेडियो का घुंडी घुमाइए और उन सौ केंद्रों में से, जो सब एक साथ ऐंटेना तक पहुँचते हैं, एक ही सुनाई देने लगता है: एक कुंडली और एक परिवर्ती संधारित्र इस तरह सुर में बिठा दिए गए हैं कि ठीक एक ही आवृत्ति उन्हें अनुनाद में ले आती है। हर दीवार में गुनगुनाती बिजली $50\,\mathrm{Hz}$ की ज्या है; और जो कारख़ाना उस पर बड़ी मोटरें चलाता है, यदि उसकी धारा [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) से बहुत पिछड़ जाए तो उसे जुर्माना भरना पड़ता है। ज्याएँ रैखिक परिपथों की स्वाभाविक भाषा हैं — वे जैसी घुसती हैं वैसी ही निकलती हैं, बस पैमाना और खिसकाव बदलकर — और यह अध्याय उन्हें उनका बीजगणित देता है: [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex), प्रतिबाधाएँ, [RLC परिपथ](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#prop-b1-transient-regimes-rlc) का अनुनाद, और वह शक्ति जो ज्यावक्रीय धाराएँ सचमुच पहुँचाती हैं। ![एक ज्या और एक वर्ग तरंग दिखाता दोलनदर्शी: ज्या वही संकेत है जिस पर यह अध्याय जीता है, और वर्ग तरंग वही जिसे अगला अध्याय ज्याओं में तोड़ता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/img-1d22c9099832.jpg) *एक ज्या और एक वर्ग तरंग दिखाता दोलनदर्शी: ज्या वही संकेत है जिस पर यह अध्याय जीता है, और वर्ग तरंग वही जिसे अगला अध्याय ज्याओं में तोड़ता है।* ## 8.1 ज्यावक्रीय स्थायी व्यवस्था **प्रतिज्ञप्ति 8.1 (प्रणोदित ज्यावक्रीय व्यवस्था).** [कोणीय आवृत्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $\omega$ के किसी ज्यावक्रीय स्रोत से चलाए जाते [रैखिक परिपथ](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-linear) में, क्षणिक अवस्थाएँ मर जाने के बाद, हर धारा और हर [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) उसी [कोणीय आवृत्ति](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $\omega$ की ज्या होता है, और हर एक का अपना [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) तथा अपनी [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) होती है: $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$। **उपपत्ति.** परिपथ के समीकरण नियत गुणांकों वाले रैखिक अवकल समीकरण हैं; उनका सामान्य हल कोई एक विशेष हल जमा समांगी समीकरण के हल है, और वे हल [अध्याय 7](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes) की क्षणिक अवस्थाएँ हैं, जो क्षीण हो जाती हैं (हर वास्तविक परिपथ में कुछ न कुछ प्रतिरोध होता है)। कोई ज्यावक्रीय विशेष हल इसलिए मिलता है कि आवृत्ति $\omega$ की ज्या का अवकलन उसी आवृत्ति की ज्या देता है: अतः समीकरणों को पद-दर-पद संतुष्ट किया जा सकता है — और नीचे की सम्मिश्र विधि उसे स्पष्ट रूप से रच देती है। ∎ **परिभाषा 8.2 (सम्मिश्र आयाम).** ज्या $x(t) = X\cos(\omega t + \varphi)$ के साथ सम्मिश्र संकेत $\underline{x}(t) = X\eu^{j(\omega t + \varphi)}$ जोड़ा जाता है, ताकि $x = \Rea(\underline{x})$ हो, और *सम्मिश्र [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal)* $$ \underline{X} = X\eu^{j\varphi}, \qquad \underline{x}(t) = \underline{X}\,\eu^{j\omega t}, $$ जो [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $X = \abs{\underline{X}}$ और [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $\varphi = \arg\underline{X}$, दोनों ढोता है। यहाँ $j$ काल्पनिक इकाई को दर्शाता है, $j^2 = -1$, क्योंकि अक्षर $i$ धाराओं के लिए सुरक्षित है। लंबाई $X$ के सदिश के रूप में, कोण $\varphi$ पर, खींचा गया $\underline{X}$ एक *कला-सदिश* (फ़्रेनल सदिश) है। **प्रतिज्ञप्ति 8.3 (सम्मिश्र विधि के नियम).** 1. रैखिक संक्रियाएँ वास्तविक भाग लेने के साथ क्रम बदल सकती हैं: किसी योग का [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) सम्मिश्र आयामों का योग है। 2. समय के सापेक्ष अवकलन [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) को $j\omega$ से गुणा कर देता है; और समाकलन उसे $j\omega$ से भाग देता है। 3. [किरचॉफ़ के नियम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) , रैखिक होने के कारण, सम्मिश्र आयामों पर भी टिकते हैं। **उपपत्ति.** $\Rea(\underline a + \underline b) = \Rea\underline a + \Rea\underline b$; $\dd(\underline X\eu^{j\omega t})/\dd t = j\omega\underline X\eu^{j\omega t}$, और $\dd x/\dd t = \Rea(\dd\underline x/\dd t)$, क्योंकि अवकलन वास्तविक-रैखिक है। किसी संधि पर धाराओं के और किसी पाश के चारों ओर विभवांतरों के योग रैखिक हैं। ∎ **उदाहरण 8.4 (दो ज्याओं को जोड़ना).** $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) $3$ और $4\eu^{-j\pi/2} = -4j$ हैं (क्योंकि $\sin\omega t = \cos(\omega t - \pi/2)$); उनके योग $3 - 4j$ का मापांक $5$ और कोणांक $-0.927\ \mathrm{rad}$ है: अतः $5\cos(\omega t - 0.927)$। किसी त्रिकोणमितीय सर्वसमिका की ज़रूरत नहीं। ## 8.2 प्रतिबाधा **परिभाषा 8.5 (प्रतिबाधा, प्रवेश्यता).** [ज्यावक्रीय स्थायी व्यवस्था](#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) में किसी [रैखिक द्विसिरा](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-linear) के लिए ([अभिग्राही रूढ़ि](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) में) *प्रतिबाधा* सम्मिश्र आयामों का अनुपात है: $$ \underline Z = \frac{\underline U}{\underline I} = Z\eu^{j\varphi} \quad (\text{ओम}), $$ जिसका मापांक $Z = U/I$ आयामों को जोड़ता है और जिसका कोणांक $\varphi = \varphi_u - \varphi_i$ धारा पर [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) की कला-अग्रता है। उसका व्युत्क्रम $\underline Y = 1/\underline Z$ *प्रवेश्यता* है (सीमेंस में)। $\underline Z$ का वास्तविक भाग उसका प्रतिरोध है, और काल्पनिक भाग उसका *प्रतिघात*। **प्रतिज्ञप्ति 8.6 (R, L, C की प्रतिबाधाएँ).** $$ \underline Z_R = R, \qquad \underline Z_L = jL\omega, \qquad \underline Z_C = \frac{1}{jC\omega} = -\frac{j}{C\omega} . $$ [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) और धारा को समकला में रखता है; कुंडली में [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) धारा से $\pi/2$ आगे रहता है; और संधारित्र में वह $\pi/2$ पीछे। कम आवृत्ति पर कुंडली तार जैसी हो जाती है और संधारित्र खुला परिपथ; और ऊँची आवृत्ति पर उलटा। **उपपत्ति.** $u = Ri$; $u = L\,\dd i/\dd t \to \underline U = jL\omega\,\underline I$; $i = C\,\dd u/\dd t \to \underline I = jC\omega\,\underline U$। और $1$, $j$ तथा $-j$ के कोणांक $0$, $\pi/2$, $-\pi/2$ हैं। ∎ **प्रतिज्ञप्ति 8.7 (संयोजन; विभाजक; प्रमेयें).** श्रेणी में प्रतिबाधाएँ जुड़ती हैं; समांतर में प्रवेश्यताएँ जुड़ती हैं; और [अध्याय 6](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#ch-b1-dc-circuits) के विभव तथा [धारा विभाजक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#prop-b1-dc-circuits-dividers), तेवेनिन और नॉर्टन की प्रमेयें, अध्यारोपण तथा [मिलमैन की प्रमेय](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#prop-b1-dc-circuits-millman) — ये सब सम्मिश्र आयामों और प्रतिबाधाओं के साथ भी टिकते हैं, वास्तविक विभवांतरों, धाराओं और प्रतिरोधों की जगह। **उपपत्ति.** [अध्याय 6](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#ch-b1-dc-circuits) की हर उपपत्ति ने केवल [किरचॉफ़ के नियम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) और $u = Ri$ की रैखिकता का उपयोग किया था, और दोनों सम्मिश्र रूप में भी टिकते हैं। ∎ **उदाहरण 8.8 (RC विभाजक).** एक [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ और एक संधारित्र $C$, श्रेणी में $\underline E$ के आरपार, और निर्गम $C$ के आरपार: $\underline U_C = \underline E\,\dfrac{1/jC\omega} {R + 1/jC\omega} = \dfrac{\underline E}{1 + jRC\omega}$। [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $E/\sqrt{1 + (RC\omega)^2}$, [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $-\arctan(RC\omega)$: यानी कम आवृत्ति पर पूरा संचरण, $1/\sqrt2$ और $-45^\circ$ तब जब $\omega = 1/RC$ हो, और उसके परे $1/\omega$ जैसी गिरावट — यानी निम्न-पारक फ़िल्टर, जो [अध्याय 9](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/9-filters-and-transfer-functions#ch-b1-filters-transfer-functions) का विषय है। ## 8.3 श्रेणी RLC परिपथ: अनुनाद **प्रमेय 8.9 (धारा का अनुनाद).** [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$, कुंडली $L$ और संधारित्र $C$, जो $e(t) = E\cos\omega t$ के आरपार श्रेणी में जुड़े हों, जो धारा ढोते हैं उसका [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) है $$ \underline I = \frac{E}{R + j\left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)}, \qquad I = \frac{E}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \dfrac{1}{C\omega}\right)^2}}, \qquad \varphi_i = -\arctan\frac{L\omega - 1/C\omega}{R} . $$ [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) अधिकतम, $I_{\max} = E/R$, तब होता है जब धारा और [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) समकला में हों, यानी *अनुनाद* $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ पर। $Q = L\omega_0/R = 1/(RC\omega_0)$ और $x = \omega/\omega_0$ के साथ, $$ \frac{I}{I_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2\left(x - \dfrac1x\right)^2}} , $$ और *बैंड-चौड़ाई* — $\omega$ का वह अंतराल जिस पर $I \geq I_{\max}/\sqrt2$ रहे — है $$ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{\omega_0}{Q} = \frac{R}{L} . $$ **उपपत्ति.** श्रेणी में प्रतिबाधाएँ जुड़ती हैं: $\underline Z = R + jL\omega + 1/jC\omega$, और $\underline I = \underline E/\underline Z$। मापांक तब सबसे बड़ा होता है जब [प्रतिघात](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $L\omega - 1/C\omega$ लुप्त हो जाए, यानी $\omega_0$ पर। $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$ गुणनखंडित कीजिए और $R$ से भाग दीजिए: $L\omega_0/R = Q$। बैंड के सिरों पर $Q(x - 1/x) = \pm 1$, यानी $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$, जिसके धनात्मक मूल $x_{1,2} = \mp\frac{1}{2Q} + \sqrt{1 + \frac{1}{4Q^2}}$ हैं; और उनका अंतर $1/Q$ है। ∎ ![श्रेणी RLC: धारा का आयाम (बाएँ) और स्रोत के सापेक्ष उसकी कला (दाएँ), / _0 के सामने, Q = 1, 3, 10 के लिए। Q बढ़ने पर शिखर सँकरा होता जाता है (= _0/Q); अनुनाद से नीचे परिपथ धारिता जैसा बरतता है (धारा आगे रहती है) और उसके ऊपर प्रेरकत्व जैसा (धारा पिछड़ती है)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-74f88f6a89eb.svg) ![श्रेणी RLC: धारा का आयाम (बाएँ) और स्रोत के सापेक्ष उसकी कला (दाएँ), / _0 के सामने, Q = 1, 3, 10 के लिए। Q बढ़ने पर शिखर सँकरा होता जाता है (= _0/Q); अनुनाद से नीचे परिपथ धारिता जैसा बरतता है (धारा आगे रहती है) और उसके ऊपर प्रेरकत्व जैसा (धारा पिछड़ती है)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-9bef167671c0.svg) *श्रेणी RLC: धारा का [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) (बाएँ) और स्रोत के सापेक्ष उसकी [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) (दाएँ), $\omega/\omega_0$ के सामने, $Q = 1, 3, 10$ के लिए। $Q$ बढ़ने पर शिखर सँकरा होता जाता है ($\Delta\omega = \omega_0/Q$); अनुनाद से नीचे परिपथ धारिता जैसा बरतता है (धारा आगे रहती है) और उसके ऊपर प्रेरकत्व जैसा (धारा पिछड़ती है)।* ![अनुनाद के ऊपर श्रेणी RLC का कला-सदिश आरेख: U_R I के अनुदिश, U_L एक चौथाई घुमाव आगे, U_C एक चौथाई घुमाव पीछे; और उनका योग E धारा से आगे रहता है। अनुनाद पर U_L और U_C कट जाते हैं और E = U_R।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-b403cb43517d.svg) *अनुनाद के ऊपर श्रेणी RLC का [कला-सदिश](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) आरेख: $\underline U_R$ $\underline I$ के अनुदिश, $\underline U_L$ एक चौथाई घुमाव आगे, $\underline U_C$ एक चौथाई घुमाव पीछे; और उनका योग $\underline E$ धारा से $\varphi$ आगे रहता है। अनुनाद पर $\underline U_L$ और $\underline U_C$ कट जाते हैं और $\underline E = \underline U_R$।* **प्रतिज्ञप्ति 8.10 (विभव-आवर्धन).** अनुनाद पर कुंडली और संधारित्र के आरपार विभवांतरों का [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) समान $QE$ होता है और उनकी कलाएँ विपरीत: अतः $Q \gg 1$ के लिए संधारित्र स्रोत से $Q$ गुना बड़ा [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) ढोता है। [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $U_C(\omega)$ ख़ुद भी, $Q > 1/\sqrt2$ के लिए, $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$ पर शिखर पर आता है, जो $\omega_0$ से ज़रा नीचे है, और वहाँ $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$। **उपपत्ति.** $\omega_0$ पर $\underline U_C = \underline I/jC\omega_0 = -jQE$ और $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$, क्योंकि $I = E/R$। सामान्य रूप में $U_C = I/C\omega = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ (अंश और हर को $1/C\omega_0$ से गुणा कीजिए); हर का वर्ग $(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2$ है, जो $x^2$ में द्विघात है और $x^2 = 1 - 1/2Q^2$ पर न्यूनतम होता है, जब वह धनात्मक हो, और न्यूनतम $1/Q^2 - 1/4Q^4$ है। ∎ **उदाहरण 8.11 (रेडियो सुर में बिठाना).** एक कुंडली $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ और एक परिवर्ती संधारित्र: $C = 127\,\mathrm{pF}$ $f_0 = 1.00\,\mathrm{MHz}$ पर सुर बिठा देता है। कुंडली के तार के प्रतिरोध $R = 12.6\,\Omega$ के साथ $L\omega_0 = 1257\,\Omega$ और $Q = 100$: अतः बैंड-चौड़ाई $\Delta f = f_0/Q = 10\,\mathrm{kHz}$ — यानी किसी AM चैनल की चौड़ाई — और किसी दूर के प्रेषक से प्रेरित $10\,\text{µ}\mathrm{V}$ संधारित्र के आरपार $QE = 1\,\mathrm{mV}$ बन जाते हैं, बिना कोई क़ीमत चुकाए। सप्ताहांत समस्या यही अभिग्राही बनाती है। **टिप्पणी 8.12 (QQQ फिर से क्यों).** इस अध्याय का $Q$ वही $Q$ है जो [अध्याय 7](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes) का है: जो परिपथ चोट खाकर लगभग $Q$ दोलनों तक झनझनाता है, वही चलाए जाने पर $\omega_0/Q$ चौड़े बैंड पर अनुनाद करता है। दोनों एक ही अनुपात कहते हैं: $2\pi$ गुना संचित ऊर्जा बटा प्रति आवर्तकाल क्षय हुई ऊर्जा ([अभ्यास 8.12](#exo-b1-sinusoidal-impedance-12))। तीखा अनुनाद और लंबी झनझनाहट एक ही गुण हैं, और वैसी ही है धीमी अनुक्रिया: बैंड-चौड़ाई $\Delta\omega$ का कोई फ़िल्टर थमने में लगभग $1/\Delta\omega$ कोटि का समय लेता है। ## 8.4 ज्यावक्रीय व्यवस्था में शक्ति **परिभाषा 8.13 (वर्ग-माध्य-मूल मान).** किसी आवर्ती संकेत $x(t)$ का *वर्ग-माध्य-मूल* (या प्रभावी) मान $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\langle x^2\rangle}$ है, यानी एक आवर्तकाल पर $x^2$ के काल-औसत का वर्गमूल। [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $X$ की किसी ज्या के लिए $X_{\mathrm{rms}} = X/\sqrt2$। घरेलू बिजली के $230\,\mathrm{V}$ प्रभावी मान हैं; उनका [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $325\,\mathrm{V}$ है। **प्रमेय 8.14 (औसत शक्ति).** जिस द्विसिरा के लिए $u = U\cos\omega t$ और $i = I\cos(\omega t - \varphi)$ हो ([अभिग्राही रूढ़ि](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)), वह तात्क्षणिक शक्ति $p = ui$ पाता है, जिसका औसत है $$ P = \tfrac12\,UI\cos\varphi = U_{\mathrm{rms}}I_{\mathrm{rms}}\cos\varphi = \tfrac12\Rea\!\big(\underline U\,\underline I^{\,*}\big) = \tfrac12\Rea(\underline Z)\,I^2, $$ जहाँ $\cos\varphi$ *[शक्ति गुणक](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power)* है। कोई [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) $\tfrac12 RI^2 = RI_{\mathrm{rms}}^2$ पाता है; और कोई आदर्श कुंडली या संधारित्र ($\varphi = \pm\pi/2$) कोई [औसत शक्ति](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) नहीं पाता — वह आधे आवर्तकाल में ऊर्जा संचित करता है और दूसरे आधे में लौटा देता है। **उपपत्ति.** $p = UI\cos\omega t\cos(\omega t - \varphi) = \tfrac12 UI[\cos\varphi + \cos(2\omega t - \varphi)]$; और दूसरा पद औसत में शून्य हो जाता है। $\underline U = U$ तथा $\underline I = I\eu^{-j\varphi}$ के साथ $\underline U\,\underline I^* = UI\eu^{j\varphi}$, जिसका वास्तविक भाग $UI\cos\varphi$ है; और $\underline U = \underline Z\,\underline I$ से $\underline U\,\underline I^* = \underline Z I^2$ मिलता है। ∎ ![धारा और विभवांतर के बीच 60 की कला-पिछड़न वाले किसी द्विसिरा को मिलती तात्क्षणिक शक्ति: वह 2 पर धड़कती है, शून्य से नीचे भी उतरती है (ऊर्जा स्रोत को लौटी हुई), और उसका औसत 1/2 UI होता है — यहाँ समकला में जितनी होती उसकी आधी।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/fig-b99b41dec6bc.svg) *धारा और [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) के बीच $60^\circ$ की कला-पिछड़न वाले किसी द्विसिरा को मिलती तात्क्षणिक शक्ति: वह $2\omega$ पर धड़कती है, शून्य से नीचे भी उतरती है (ऊर्जा स्रोत को लौटी हुई), और उसका औसत $\tfrac12 UI\cos\varphi$ होता है — यहाँ समकला में जितनी होती उसकी आधी।* **उदाहरण 8.15 (शक्ति गुणक का संशोधन).** $230\,\mathrm{V}$ प्रभावी पर चलती किसी कार्यशाला की मोटर $2.0\,\mathrm{kW}$ खींचती है, जहाँ $\cos\varphi = 0.70$ (प्रेरकीय): अतः $I_{\mathrm{rms}} = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$, जबकि [शक्ति गुणक](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $1$ होने पर $8.7\,\mathrm{A}$ होती — अतिरिक्त धारा बिजली कंपनी के तारों को यों ही गरम करती है, और इसीलिए जुर्माना लगता है। समांतर में लगा कोई संधारित्र कुंडली के चौथाई-आवर्तकाल वाले ऊर्जा-झूले स्थानीय रूप से जुटा देता है: *[प्रतिघाती शक्ति](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power)* $P\tan\varphi = 2.0\,\mathrm{kvar}$ के लिए $50\,\mathrm{Hz}$ पर $C = P\tan\varphi/(\omega U_{\mathrm{rms}}^2) \approx 120\,\text{µ}\mathrm{F}$ चाहिए, और तब रेखा-धारा गिरकर $8.7\,\mathrm{A}$ रह जाती है। ## 8.5 अभ्यास **अभ्यास 8.1 ★.** $u = 5\cos(\omega t + \pi/3)$ (V) का [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) ध्रुवीय और कार्तीय रूप में दीजिए। सम्मिश्र आयामों की सहायता से $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$ को एक ही कोज्या के रूप में लिखिए। **हल — अभ्यास 8.1.** $\underline U = 5\eu^{j\pi/3} = 2.5 + 4.33j$ (V)। $3\cos\omega t + 4\sin\omega t$: $3 + 4\eu^{-j\pi/2} = 3 - 4j$, मापांक $5$, कोणांक $-\arctan(4/3) = -0.927\,\mathrm{rad}$: अतः $5\cos(\omega t - 0.927)$। **अभ्यास 8.2 ★.** $R = 100\,\Omega$, $L = 0.10\,\mathrm{H}$ और $C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$ की [प्रतिबाधा](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $50\,\mathrm{Hz}$ पर और $1.0\,\mathrm{kHz}$ पर निकालिए। $50\,\mathrm{Hz}$ पर श्रेणी में जुड़े $R$ और $L$ की [प्रतिबाधा](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) का मापांक तथा [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) दीजिए। **हल — अभ्यास 8.2.** $R$: दोनों पर $100\,\Omega$। $L\omega$: $31.4\,\Omega$ ($50\,\mathrm{Hz}$), $628\,\Omega$ ($1\,\mathrm{kHz}$)। $1/C\omega$: $318\,\Omega$, $15.9\,\Omega$। $50\,\mathrm{Hz}$ पर श्रेणी $RL$: $\abs{\underline Z} = \sqrt{100^2 + 31.4^2} = 105\,\Omega$, [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $\arctan(0.314) = 17^\circ$। **अभ्यास 8.3 ★.** घरेलू बिजली $230\,\mathrm{V}$ प्रभावी है: उसका [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) क्या है? कोई $2.0\,\mathrm{kW}$ का ऊष्मक: प्रभावी और शिखर धारा। दिखाइए कि किसी [प्रतिरोधक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-resistor) में [औसत शक्ति](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $RI_{\mathrm{rms}}^2$ होती है। **हल — अभ्यास 8.3.** $U = 230\sqrt2 = 325\,\mathrm{V}$। $I_{\mathrm{rms}} = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$, शिखर $12.3\,\mathrm{A}$। $\langle Ri^2\rangle = R\langle i^2\rangle = RI_{\mathrm{rms}}^2$, [प्रभावी मान](#def-b1-sinusoidal-impedance-rms) की परिभाषा से ही। **अभ्यास 8.4 ★.** श्रेणी RLC: $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$, $E = 1.0\,\mathrm{V}$। $f_0$, $Q$, हर्ट्ज़ में बैंड-चौड़ाई और अनुनाद पर धारा का [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) दीजिए। **हल — अभ्यास 8.4.** $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 5.03\,\mathrm{kHz}$; $Q = \sqrt{L/C}/R = 3.16$; $\Delta f = f_0/Q = 1.6\,\mathrm{kHz}$; $I_{\max} = E/R = 10\,\mathrm{mA}$। **अभ्यास 8.5 ★★.** RC विभाजक, निर्गम $C$ के आरपार: $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 159\,\mathrm{nF}$। किस आवृत्ति पर निर्गम निवेश का $1/\sqrt2$ होता है? $1.0\,\mathrm{kHz}$ पर और $10\,\mathrm{kHz}$ पर निर्गम का आयाम-अनुपात तथा [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) दीजिए। **हल — अभ्यास 8.5.** $1/\sqrt2$ $\omega = 1/RC$ पर: $f_c = 1/(2\pi RC) = 1.0\,\mathrm{kHz}$। $1.0\,\mathrm{kHz}$ पर: अनुपात $0.71$, [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $-45^\circ$। $10\,\mathrm{kHz}$ पर: $RC\omega = 10$, अनुपात $1/\sqrt{101} = 0.10$, [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $-84^\circ$। **अभ्यास 8.6 ★★.** किसी आवृत्ति पर श्रेणी RLC में $R = 100\,\Omega$, $L\omega = 250\,\Omega$, $1/C\omega = 100\,\Omega$, और $E = 1.0\,\mathrm{V}$ है। $\underline Z$, धारा का [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) और [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal), तथा तीनों विभवांतरों के [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) निकालिए; [कला-सदिश](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) आरेख खींचिए। क्या परिपथ अनुनाद के ऊपर है या नीचे? **हल — अभ्यास 8.6.** $\underline Z = 100 + j(250 - 100) = 100 + 150j$: $Z = 180\,\Omega$, $\arg = 56^\circ$। $I = 1.0/180 = 5.6\,\mathrm{mA}$, जो स्रोत से $56^\circ$ पिछड़ती है। $U_R = 0.56\,\mathrm{V}$, $U_L = 1.39\,\mathrm{V}$, $U_C = 0.56\,\mathrm{V}$; [कला-सदिश](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex): $U_R$ $I$ के अनुदिश, $U_L$ ऊपर, $U_C$ नीचे, परिणामी $1.0\,\mathrm{V}$। $L\omega > 1/C\omega$: यानी अनुनाद के ऊपर (प्रेरकीय)। **अभ्यास 8.7 ★★.** रेडियो: $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$, $C$ $50\,$ से $500\,\mathrm{pF}$ तक समायोज्य। आवृत्ति-परास, $1.00\,\mathrm{MHz}$ के लिए धारिता, और $Q = 100$ के साथ बैंड-चौड़ाई तथा $9\,\mathrm{kHz}$ दूर के किसी केंद्र का क्षीणन (आयाम-अनुपात) निकालिए। ऐंटेना का [विद्युत वाहक बल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) $10\,\text{µ}\mathrm{V}$: अनुनाद पर $C$ के आरपार [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage)? **हल — अभ्यास 8.7.** $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$: $1.59\,\mathrm{MHz}$ ($50\,\mathrm{pF}$) से $0.50\,\mathrm{MHz}$ ($500\,\mathrm{pF}$) तक। $1.00\,\mathrm{MHz}$ पर: $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$। $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$। $1.009\,\mathrm{MHz}$ पर केंद्र: $x = 1.009$, $Q(x - 1/x) = 1.8$, अनुपात $1/\sqrt{1 + 3.2} = 0.49$। संधारित्र का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) $QE = 1.0\,\mathrm{mV}$। **अभ्यास 8.8 ★★.** श्रेणी RLC की दोनों अर्ध-शक्ति आवृत्तियाँ व्युत्पन्न कीजिए और दिखाइए कि उनका अंतर $\omega_0/Q$ है और उनका गुणनफल $\omega_0^2$। **हल — अभ्यास 8.8.** $Q(x - 1/x) = \pm1 \Leftrightarrow x^2 \mp x/Q - 1 = 0$; धनात्मक मूल $x_{1,2} = \mp 1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$। अंतर $1/Q$, अतः $\Delta\omega = \omega_0/Q$; गुणनफल $(1 + 1/4Q^2) - 1/4Q^2 = 1$, अतः $\omega_1\omega_2 = \omega_0^2$ (बैंड लघुगणकीय पैमाने पर सममित है)। **अभ्यास 8.9 ★★.** $230\,\mathrm{V}$ प्रभावी, $50\,\mathrm{Hz}$ पर चलती कोई मोटर $\cos\varphi = 0.70$ के साथ $2.0\,\mathrm{kW}$ सोखती है। प्रभावी धारा, [प्रतिघाती शक्ति](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power), समांतर में वह धारिता जो [शक्ति गुणक](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) को $1$ पर ले आए, और नई धारा निकालिए। आपूर्ति-रेखा में $0.50\,\Omega$ है: पहले और बाद में जूल हानियाँ। **हल — अभ्यास 8.9.** $I = P/(U\cos\varphi) = 2000/(230 \times 0.70) = 12.4\,\mathrm{A}$। [प्रतिघाती शक्ति](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $P\tan\varphi = 2000 \times 1.02 = 2.0\,\mathrm{kvar}$। $C = 2040/(314 \times 230^2) = 123\,\text{µ}\mathrm{F}$। नई धारा $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$। हानियाँ पहले $0.50 \times 12.4^2 = 77\,\mathrm{W}$, बाद में $0.50 \times 8.7^2 = 38\,\mathrm{W}$। **अभ्यास 8.10 ★★★.** किसी [धारा स्रोत](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) से खिलाया गया समांतर RLC: [प्रवेश्यता](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) लिखिए, दिखाइए कि [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ पर अधिकतम है और वहाँ $RI$ के बराबर, और यह कि बैंड-चौड़ाई $\Delta\omega = 1/RC$ है, यानी $Q = R\sqrt{C/L}$। आँकड़े: $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $L = 1.0\,\mathrm{mH}$, $C = 1.0\,\mathrm{nF}$। **हल — अभ्यास 8.10.** $\underline Y = 1/R + j(C\omega - 1/L\omega)$; $\underline U = \underline I/ \underline Y$ तब अधिकतम है जब प्रतिग्राहिता लुप्त हो, यानी $\omega_0$ पर, जहाँ $U = RI$। अर्ध-शक्ति: $\abs{C\omega - 1/L\omega} = 1/R$, यानी $RC\omega_0(x - 1/x) = \pm1$: अतः $\Delta\omega = \omega_0/(RC\omega_0) = 1/RC$ और $Q = RC\omega_0 = R\sqrt{C/L}$। आँकड़े: $\omega_0 = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f_0 = 159\,\mathrm{kHz}$), $Q = 10^4\sqrt{10^{-6}} = 10$, $\Delta f = 16\,\mathrm{kHz}$। **अभ्यास 8.11 ★★★.** दिखाइए कि किसी श्रेणी RLC के संधारित्र का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) $U_C = E/\sqrt{(1 - x^2)^2 + x^2/Q^2}$ है, कि वह $x_r = \sqrt{1 - 1/2Q^2}$ पर शिखर पर आता है यदि $Q > 1/\sqrt2$ हो, और $x_r$ तथा $U_{C,\max}/E$ निकालिए, $Q = 3.16$ के लिए। $Q < 1/\sqrt2$ के लिए क्या होता है? **हल — अभ्यास 8.11.** $U_C = I/C\omega = E/[C\omega\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}]$; भीतर $C\omega$ से गुणा कीजिए: $\sqrt{(RC\omega)^2 + (LC\omega^2 - 1)^2} = \sqrt{x^2/Q^2 + (1 - x^2)^2}$। $s = x^2$ के साथ: $(1 - s)^2 + s/Q^2$ $s = 1 - 1/2Q^2$ पर न्यूनतम है (यदि वह धनात्मक हो), और न्यूनतम $1/Q^2 - 1/4Q^4$: अतः $U_{C,\max} = QE/\sqrt{1 - 1/4Q^2}$। $Q = 3.16$: $x_r = 0.975$, $U_{C,\max} = 3.2E$। $Q < 1/\sqrt2$ के लिए न्यूनतम $s = 0$ पर है: तब $U_C$ $E$ से एकदिष्ट रूप से घटता जाता है, कोई शिखर नहीं। **अभ्यास 8.12 ★★★.** किसी श्रेणी RLC के अनुनाद पर दिखाइए कि कुल संचित ऊर्जा $\tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2$ नियत है और $\tfrac12 LI^2$ के बराबर, प्रति आवर्तकाल $R$ में क्षय हुई ऊर्जा निकालिए, और सिद्ध कीजिए कि $2\pi\,(\text{संचित})/(\text{प्रति आवर्तकाल क्षय}) = Q$। **हल — अभ्यास 8.12.** अनुनाद पर $i = I\cos\omega_0 t$ और $u_C = (I/C\omega_0)\sin\omega_0 t$, अतः $1/C\omega_0^2 = L$ का उपयोग करके, $$ \tfrac12 Li^2 + \tfrac12 Cu_C^2 = \tfrac12 LI^2\cos^2\omega_0 t + \tfrac12 LI^2\sin^2\omega_0 t = \tfrac12 LI^2 . $$ प्रति आवर्तकाल क्षय: $\tfrac12 RI^2T$। अनुपात $\times 2\pi$: $2\pi L/(RT) = L\omega_0/R = Q$। ![वाल्व रेडियो को सुर में बिठाना: घुंडी घुमाने से संधारित्र बदलता है, संधारित्र किसी LC परिपथ की अनुनाद आवृत्ति तय करता है, और जिस केंद्र की आवृत्ति उससे मेल खाती है वही सुनाई देता है — यही सप्ताहांत समस्या है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-sinusoidal-impedance/img-9d0e0e3a0a3d.jpg) *वाल्व रेडियो को सुर में बिठाना: घुंडी घुमाने से संधारित्र बदलता है, संधारित्र किसी $LC$ परिपथ की अनुनाद आवृत्ति तय करता है, और जिस केंद्र की आवृत्ति उससे मेल खाती है वही सुनाई देता है — यही सप्ताहांत समस्या है।* ## 8.6 समस्या: अनुनादी रेडियो अभिग्राही **समस्या 8.1.** सप्ताहांत समस्या — एक कुंडली, एक परिवर्ती संधारित्र और एक ऐंटेना: कोई श्रेणी अनुनाद सौ में से एक केंद्र कैसे चुन लेता है, उसके मंद संकेत को सौ गुना कैसे कर देता है, और उसे मनमाने ढंग से वरणात्मक क्यों नहीं बनाया जा सकता ऐंटेना का प्रतिरूप एक आदर्श ज्यावक्रीय [विद्युत वाहक बल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) $e(t) = E\cos\omega t$ है, जो कुंडली $L = 200\,\text{µ}\mathrm{H}$ के साथ श्रेणी में है, जिसके तार का प्रतिरोध $R = 12.6\,\Omega$ है, और साथ में परिवर्ती संधारित्र $C$। अभिग्राही $C$ के आरपार [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) पढ़ता है। आगे (भाग IV में) ऐंटेना का अपना प्रतिरोध $R_a = 50\,\Omega$ भी हिसाब में लिया जाता है। **भाग I — अनुनादी धारा।** 1. श्रेणी परिपथ की सम्मिश्र [प्रतिबाधा](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) लिखिए। 2. धारा का [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) दीजिए, फिर उसका [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $I(\omega)$ और उसकी [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $\varphi_i(\omega)$ , $e$ के सापेक्ष। 3. दिखाइए कि $I$ $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ पर अधिकतम है; तब $I_{\max}$ और [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) दीजिए। 4. कौन-सी धारिता $f_0 = 1.000\,\mathrm{MHz}$ पर सुर बिठाती है? $L\omega_0$ निकालिए। 5. $Q = L\omega_0/R$ परिभाषित कीजिए और उसे निकालिए। 6. दिखाइए कि $I/I_{\max} = 1/\sqrt{1 + Q^2(x - 1/x)^2}$ , जहाँ $x = \omega/\omega_0$ । 7. अनुनाद से नीचे और ऊपर $\varphi_i$ का चिह्न बताइए और उसकी व्याख्या कीजिए (धारिता जैसा या प्रेरकत्व जैसा व्यवहार)। **भाग II — वरणात्मकता।** 8. वह शर्त लिखिए जो उन दो आवृत्तियों को परिभाषित करती है जिन पर $I = I_{\max}/\sqrt2$ हो। 9. उसे हल कीजिए और दिखाइए कि $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \omega_0/Q$ । 10. इस अभिग्राही की बैंड-चौड़ाई $\Delta f$ निकालिए। 11. कोई दूसरा केंद्र $1.010\,\mathrm{MHz}$ पर प्रसारित करता है और तीसरा $1.020\,\mathrm{MHz}$ पर: हर एक के लिए आयाम-अनुपात $I/I_{\max}$ और उससे मिलता शक्ति-अनुपात डेसिबल में निकालिए। 12. AM केंद्र आपस में $9\,$ से $10\,\mathrm{kHz}$ दूर होते हैं। क्या यह अभिग्राही पर्याप्त वरणात्मक है? उसे क्या बेहतर बनाएगा? 13. संधारित्र $50\,$ और $500\,\mathrm{pF}$ के बीच बिठाया जा सकता है: अभिग्राही कौन-सा आवृत्ति-बैंड ढकता है? **भाग III — विभव-आवर्धन।** 14. संधारित्र के [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) का [सम्मिश्र आयाम](#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) व्यक्त कीजिए और दिखाइए कि अनुनाद पर उसका [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) $QE$ है। 15. ऐंटेना का [विद्युत वाहक बल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ है: $I_{\max}$ और अनुनाद पर संधारित्र का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) निकालिए। टिप्पणी कीजिए। 16. दिखाइए कि अनुनाद पर कुंडली के [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) का [आयाम](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) वही है और वह संधारित्र के [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) से [कला](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/5-signal-propagation-travelling-and-standing-waves#def-b1-wave-propagation-signal) में विपरीत है: तब स्रोत को क्या “दिखता” है? 17. अनुनाद पर परिपथ में संचित ऊर्जा और प्रति आवर्तकाल क्षय हुई ऊर्जा निकालिए; जाँचिए कि उनका अनुपात गुणा $2\pi$ $Q$ है। 18. [अध्याय 7](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#ch-b1-transient-regimes) के अनुसार इस परिपथ का [कालांक](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/7-transient-regimes-first-and-second-order#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$ क्या है? बहुत ऊँचा $Q$ आख़िरकार वाणी और संगीत को विकृत क्यों कर देता है (श्रव्य बैंड-चौड़ाई: AM के लिए लगभग $5\,\mathrm{kHz}$ )? 19. यदि कुंडली के तार का प्रतिरोध दुगुना हो जाए (पतला तार), तो $Q$ , बैंड-चौड़ाई और संधारित्र का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) कैसे बदलेंगे? **भाग IV — ऐंटेना का प्रतिरोध, और शक्ति।** 20. श्रेणी में $R_a = 50\,\Omega$ के साथ $Q$ , बैंड-चौड़ाई और $E = 10\,\text{µ}\mathrm{V}$ के लिए संधारित्र का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-voltage) फिर से निकालिए। निष्कर्ष निकालिए। 21. अनुनाद पर ऐंटेना के [विद्युत वाहक बल](https://one-course.com/books/physics/3/hi/chapter/6-dc-circuits-kirchhoffs-laws-and-theorems#def-b1-dc-circuits-sources) से दी गई [औसत शक्ति](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) और $R_a$ में क्षय हुआ अंश निकालिए। 22. अधिकतम-शक्ति प्रमेय $R_a$ के बराबर भार-प्रतिरोध माँगती: यह लक्ष्य वरणात्मकता से टकराव में क्यों है? 23. वास्तविक अभिग्राही ऐंटेना को कुंडली के किसी टैप से जोड़ते हैं, या किसी छोटे युग्मन संधारित्र से। गुणात्मक रूप से समझाइए कि इससे क्या हासिल होता है। 24. $P = \tfrac12 UI\cos\varphi$ का उपयोग करके दोनों अर्ध-शक्ति आवृत्तियों पर [शक्ति गुणक](#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) निकालिए और नाम “अर्ध-शक्ति” समझाइए। 25. अभिकल्पना का सार लिखिए: $Q$ क्या देता है, उसकी क़ीमत क्या है, और $10\,\mathrm{kHz}$ चैनलों वाले $1\,\mathrm{MHz}$ अभिग्राही के लिए कौन-सा मान चुना जाता है। **हल — समस्या 8.1.** **1.** $\underline Z = R + j(L\omega - 1/C\omega)$. **2.** $\underline I = E/\underline Z$; $I = E/\sqrt{R^2 + (L\omega - 1/C\omega)^2}$; $\varphi_i = -\arctan[(L\omega - 1/C\omega)/R]$. **3.** [प्रतिघात](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$ पर लुप्त हो जाता है: अतः $I_{\max} = E/R$, $\varphi_i = 0$। **4.** $C = 1/(4\pi^2f_0^2L) = 127\,\mathrm{pF}$; $L\omega_0 = 2\times10^{-4} \times 6.28\times10^6 = 1257\,\Omega$. **5.** $Q = 1257/12.6 = 100$। **6.** $L\omega - 1/C\omega = L\omega_0(x - 1/x)$, अब $R$ से भाग दीजिए। **7.** $x < 1$: [प्रतिघात](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) ऋणात्मक, $\varphi_i > 0$, धारा आगे रहती है (धारिता जैसा); $x > 1$: पिछड़ती है (प्रेरकत्व जैसा)। **8.** $Q(x - 1/x) = \pm1$. **9.** $x^2 \mp x/Q - 1 = 0$, $x_{1,2} = \mp1/2Q + \sqrt{1 + 1/4Q^2}$, $x_2 - x_1 = 1/Q$: अतः $\Delta\omega = \omega_0/Q$। **10.** $\Delta f = 10\,\mathrm{kHz}$. **11.** $1.010\,\mathrm{MHz}$: $Q(x - 1/x) = 100 \times 0.0199 = 2.0$, अनुपात $1/\sqrt{5.0} = 0.45$, शक्ति $0.20$: यानी $-7\,\mathrm{dB}$। $1.020\,\mathrm{MHz}$: $3.96$, अनुपात $0.25$, शक्ति $0.06$: यानी $-12\,\mathrm{dB}$। **12.** सीमांत: पड़ोसी केंद्र केवल $7\,\mathrm{dB}$ नीचे है। ऊँचा $Q$ (कम $R$), या शृंखला में कई सुर-बिठाए चरण, चुनाव को तीखा कर देते हैं। **13.** $0.50\,\mathrm{MHz}$ से $1.59\,\mathrm{MHz}$ तक: यानी AM बैंड। **14.** $\underline U_C = \underline I/jC\omega$; और $\omega_0$ पर $U_C = I_{\max}/C\omega_0 = E/(RC\omega_0) = QE$। **15.** $I_{\max} = 10^{-5}/12.6 = 0.79\,\text{µ}\mathrm{A}$; $U_C = QE = 1.0\,\mathrm{mV}$: यानी बिना किसी प्रवर्धक के सौ गुना विभव-लाभ। **16.** $\underline U_L = jL\omega_0\underline I = jQE$, $\underline U_C = -jQE$: बराबर और विपरीत, अतः वे कट जाते हैं; और स्रोत को अकेला $R$ दिखता है। **17.** संचित $\tfrac12 LI_{\max}^2 = 6.2 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$; प्रति आवर्तकाल क्षय $\tfrac12 RI_{\max}^2T = 3.9 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$; और $2\pi \times 6.2/0.39 \approx 100 = Q$। **18.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 32\,\text{µ}\mathrm{s}$। परिपथ $\sim\tau$ से तेज़ बदलावों का पीछा नहीं कर सकता: बैंड-चौड़ाई $\Delta f$ केवल $\Delta f$ से धीमे मॉडुलनों को जाने देती है; $Q = 1000$ के साथ $\Delta f = 1\,\mathrm{kHz}$ होता और कार्यक्रम के ऊँचे स्वर खो जाते। **19.** $Q$ आधा होकर $50$, $\Delta f$ दुगुना होकर $20\,\mathrm{kHz}$, और $U_C$ आधा होकर $0.5\,\mathrm{mV}$। **20.** $R_{\text{कुल}} = 62.6\,\Omega$: $Q = 1257/62.6 = 20$, $\Delta f = 50\,\mathrm{kHz}$, $U_C = 20 \times 10\,\text{µ}\mathrm{V} = 0.2\,\mathrm{mV}$: यानी सुग्राहिता और वरणात्मकता, दोनों ढह जाती हैं। **21.** $P = E^2/(2R_{\text{कुल}}) = 10^{-10}/125 = 8 \times 10^{-13}\,\mathrm{W}$; और $R_a$ में अंश: $50/62.6 = 80\%$। **22.** मिलान $R_a$ के बराबर भार-प्रतिरोध माँगता है, यानी कोई बड़ा कुल प्रतिरोध; जबकि वरणात्मकता सबसे छोटा संभव कुल प्रतिरोध माँगती है ($Q = L\omega_0/R_{\text{कुल}}$)। सीधे जोड़ से दोनों एक साथ नहीं मिल सकते। **23.** कोई टैप या कोई छोटा युग्मन संधारित्र ऐंटेना के सामने अनुनादी परिपथ का केवल एक अंश रखता है: अतः ऐंटेना का प्रतिरोध परिपथ को कहीं घटा हुआ “दिखता” है, जिससे $Q$ ऊँचा बना रहता है, जबकि ऐंटेना फिर भी अपनी इष्टतम के पास शक्ति देता रहता है। **24.** अर्ध-शक्ति आवृत्तियों पर [प्रतिघात](#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $\pm R$ के बराबर होता है, अतः $\varphi = \pm45^\circ$ और $\cos\varphi = 1/\sqrt2$; और साथ ही $I = I_{\max}/\sqrt2$ भी, इसलिए $P = \tfrac12 EI\cos\varphi$ अपने अनुनादी मान का आधा रह जाता है। **25.** $Q$ संकेत को $Q$ गुना कर देता है और बैंड को $f_0/Q$ तक सँकरा, जिसकी क़ीमत है धीमी अनुक्रिया ($\tau = 2Q/\omega_0$) और ऐंटेना से नाज़ुक युग्मन; और $1\,\mathrm{MHz}$ पर $10\,\mathrm{kHz}$ चैनलों के लिए $Q \approx 100$ ही वह संख्या है — बशर्ते ऐंटेना हलके से युग्मित रखा जाए।