---
title: "Satuan, Dimensi, dan Pengukuran"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran
---

# Bab 1 — Satuan, Dimensi, dan Pengukuran

Di sebuah laboratorium di ruang bawah tanah sebuah bandul berayun, sebuah stopwatch berdetak, dan seorang mahasiswa menuliskan $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Apakah itu nilai yang “benar”? Buku teks menyebut $9.81$. Apakah kedua angka itu selaras, apakah percobaannya dirancang dengan baik, langkah mana yang membatasinya — tidak satu pun dapat diputuskan dari digitnya saja. Fisika mengukur, dan pengukuran tanpa ketidakpastiannya hanyalah kabar angin. Bab ini menyiapkan bahasa bersama bagi seluruh bab berikutnya: [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit), [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension), [orde besar](#def-b1-units-dimensions-oom), dan aritmetika ketidakpastian yang jujur.

![Neraca Kibble NIST-4, salah satu instrumen yang kini mewujudkan kilogram dari tetapan Planck: sebuah massa ditimbang terhadap gaya elektromagnetik yang diukur dalam satuan listrik. Foto: J. L. Lee, NIST (domain publik).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-4f0aff410783.jpg)

*Neraca Kibble NIST-4, salah satu instrumen yang kini mewujudkan kilogram dari tetapan Planck: sebuah massa ditimbang terhadap gaya elektromagnetik yang diukur dalam [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) listrik. Foto: J. L. Lee, NIST (domain publik).*

## 1.1 Sistem Satuan Internasional

**Definisi 1.1 (Besaran fisis dan satuan).**

Sebuah *besaran fisis* adalah sifat yang dapat diukur: panjang, selang waktu, massa, arus. Mengukurnya berarti membandingkannya dengan besaran acuan sejenis, yaitu *satuan*: hasilnya sebuah bilangan dikali satuan, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$. Bilangannya saja tidak berarti apa-apa; satuannya saja tidak mengukur apa pun.

**Definisi 1.2 (Satuan dasar SI).**

*Sistem [Satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) Internasional* (SI) bertumpu pada tujuh *[satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) dasar*: sekon ($\mathrm{s}$), meter ($\mathrm{m}$), kilogram ($\mathrm{kg}$), ampere ($\mathrm{A}$), kelvin ($\mathrm{K}$), mol ($\mathrm{mol}$) dan candela ($\mathrm{cd}$). Sejak 2019 masing-masing didefinisikan dengan menetapkan nilai numerik sebuah tetapan alam: frekuensi hiperhalus sesium $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ mendefinisikan sekon; laju cahaya $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lalu mendefinisikan meter; tetapan Planck $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ mendefinisikan kilogram; muatan elementer $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ mendefinisikan ampere; tetapan Boltzmann $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ mendefinisikan kelvin; tetapan Avogadro $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ mendefinisikan mol; dan efikasi cahaya tetap $K_{\mathrm{cd}}$ mendefinisikan candela. Setiap [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) lain adalah *satuan turunan*, hasil kali pangkat-pangkat [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) dasar: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$, $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$, $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$.

![Tujuh satuan dasar (cincin luar) dan tujuh tetapan pendefinisi (cincin dalam). Sebuah tetapan yang ditetapkan hanya mendefinisikan satuannya bersama satuan yang sudah terdefinisi (garis putus-putus): c mengubah sekon menjadi meter, h memerlukan meter dan sekon untuk mendefinisikan kilogram, e memerlukan sekon untuk mendefinisikan ampere.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-816ead3c3bb9.svg)

*Tujuh [satuan dasar](#def-b1-units-dimensions-si) (cincin luar) dan tujuh tetapan pendefinisi (cincin dalam). Sebuah tetapan yang ditetapkan hanya mendefinisikan [satuannya](#def-b1-units-dimensions-unit) bersama [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) yang sudah terdefinisi (garis putus-putus): $c$ mengubah sekon menjadi meter, $h$ memerlukan meter dan sekon untuk mendefinisikan kilogram, $e$ memerlukan sekon untuk mendefinisikan ampere.*

**Catatan 1.3 (Nama dan lambang).**

[Satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) yang dinamai menurut nama orang ditulis dengan huruf kecil bila dieja penuh (newton, joule, pascal) dan dengan huruf besar sebagai lambang ($\mathrm{N}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{Pa}$); dieja penuh dengan huruf besar, kata itu berarti orangnya. Awalan menskalakan dengan pangkat sepuluh, dari p ($10^{-12}$) melalui n, $\mu$, m, k, M, G sampai T ($10^{12}$); kilogram adalah satu-satunya [satuan dasar](#def-b1-units-dimensions-si) yang membawa awalan pada namanya.

**Contoh 1.4 (Menguraikan sebuah satuan turunan).**

Volt: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$. Ohm: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$. Farad: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$. Penguraian seperti ini adalah pemeriksaan teraman bahwa sebuah rumus diingat dengan benar — subbab berikut membuatnya sistematis.

## 1.2 Analisis dimensi

**Definisi 1.5 (Dimensi).**

*Dimensi* sebuah besaran $X$, ditulis $[X]$, mencatat bagaimana $X$ tersusun dari tujuh besaran dasar, terlepas dari [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) yang dipilih: panjang $L$, massa $M$, waktu $T$, arus listrik $I$, suhu $\Theta$, jumlah zat $N$, intensitas cahaya $J$. Kelajuan berdimensi $[v] = L\,T^{-1}$, gaya $[F] = M\,L\,T^{-2}$, energi $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$. Besaran berdimensi $1$ (sudut, nisbah, indeks bias) disebut *tak berdimensi*.

**Teorema 1.6 (Asas kehomogenan dimensi).**

Dalam sebuah hukum fisika, kedua ruas sebuah kesamaan berdimensi sama, dan setiap suku sebuah penjumlahan berdimensi sama dengan keseluruhannya. Argumen eksponensial, logaritma, sinus atau kosinus [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension).

**Bukti.** Hukum-hukum fisika tidak bergantung pada [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) yang dipilih manusia. Mengubah [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) panjang dengan faktor $\lambda$ mengalikan setiap besaran berdimensi $L^a \cdots$ dengan $\lambda^{-a}$: sebuah kesamaan antara suku-suku berdimensi berbeda akan berlaku dalam satu sistem [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) dan gagal dalam sistem yang lain. Untuk fungsi seperti $\exp$, deret $1 + x + x^2/2 + \dots$ menjumlahkan pangkat-pangkat $x$ yang berbeda [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) kecuali jika $x$ [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension). ∎

**Metode 1.7 (Memeriksa sebuah rumus).**

1. Tuliskan [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) setiap lambang.
2. Sederhanakan tiap ruas (tiap suku) menjadi hasil kali $L^a M^b T^c \cdots$ .
3. Pangkat sama pada kedua ruas: rumusnya *mungkin* benar. Pangkat berbeda: rumusnya pasti salah — ada faktor $g$ yang hilang, besaran yang dikuadratkan padahal tidak seharusnya, atau pangkat yang berdimensi.

Rumus yang homogen masih bisa salah pada faktor [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) ($2$, $\pi$, $\tfrac12$): [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) tidak pernah melihatnya.

**Contoh 1.8 (Periode sebuah bandul).**

Sebuah bandul sepanjang $\ell$ bermassa $m$ berayun dalam gravitasi $g$. Andaikan periodenya $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ dengan $k$ [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension). Maka $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma =
L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, sehingga $\beta = 0$, $\gamma = -\tfrac12$, $\alpha = \tfrac12$:

$$
\tau = k\sqrt{\ell/g} .
$$

Tanpa menyelesaikan satu pun persamaan gerak: massanya lenyap, dan melipatduakan panjangnya mengalikan periodenya dengan $\sqrt2$. Dinamika ([Bab 14](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/14-osilator-mekanik-peredaman-dan-resonansi#ch-b1-oscillators-resonance)) kelak memberi $k = 2\pi$ untuk ayunan kecil.

**Proposisi 1.9 (Kelompok tak berdimensi).**

Jika sebuah besaran $Y$ bergantung pada $n$ besaran $X_1, \dots, X_n$ yang melibatkan $r$ [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) dasar yang bebas, hubungan itu dapat ditulis ulang antara $n + 1 - r$ kombinasi [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) dari $X_i$ dan $Y$. Ketika $n + 1 - r = 1$, kombinasi tunggal itu harus tetap, dan analisis [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) memberikan hukumnya sampai pada sebuah faktor numerik.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 1.10 (Menggunakan proposisi).**

Pernyataan umumnya (teorema Vaschy–Buckingham) adalah sepotong aljabar linear atas vektor-vektor pangkat. Yang penting di sini resepnya: daftarkan besaran yang relevan, hitung [dimensinya](#def-b1-units-dimensions-dimension), bentuk [kelompok tak berdimensinya](#prop-b1-units-dimensions-pi). Dalam [Contoh 1.8](#ex-b1-units-dimensions-pendulum), $n = 3$ ($\ell, m, g$), $r = 3$ ($L, M, T$), sehingga ada satu kelompok $\tau\sqrt{g/\ell}$ dan ia harus tetap. Hambatan pada sebuah bola berjari-jari $R$ yang bergerak dengan laju $v$ dalam fluida bermassa jenis $\rho$ dan berkekentalan $\eta$ melibatkan $n = 4$ besaran dan $r = 3$ [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension): dua kelompok, $F/(\rho v^2 R^2)$ dan $\rho v R/\eta$ (bilangan Reynolds), dan [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) saja tidak dapat mengatakan bagaimana yang pertama bergantung pada yang kedua — percobaan yang harus.

## 1.3 Orde besar

**Definisi 1.11 (Orde besar).**

*Orde besar* sebuah besaran adalah pangkat sepuluh yang terdekat kepadanya: $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (jari-jari Bumi) berorde besar $10^7$; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ berorde $10^3$; $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ lebih dekat ke $10^3$ daripada ke $10^4$ pada skala logaritmik (batasnya $\sqrt{10} \approx 3.16$). Dua besaran disebut “seorde” bila nisbahnya di bawah kira-kira $3$.

**Metode 1.12 (Menaksir).**

Untuk menaksir besaran yang tidak diukurkan siapa pun untuk Anda:

1. uraikan menjadi faktor-faktor yang dapat Anda taksir sampai pada faktor $2$ atau $3$ masing-masing;
2. taksir tiap faktor, pertahankan satu [angka penting](#def-b1-units-dimensions-sigfig) ;
3. kalikan, pertahankan pangkat sepuluh dan satu digit.

Galat pada faktor yang berbeda sebagian saling meniadakan; hasilnya biasanya benar sampai pada faktor $3$ sampai $10$, yang seringkali sudah cukup untuk menerima atau menolak sebuah hipotesis.

**Contoh 1.13 (Massa atmosfer).**

Tekanan atmosfer $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ adalah berat kolom udara di atas satu meter persegi, $P_0 = m_{\text{kol}}\,g$, sehingga $m_{\text{kol}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ tiap meter persegi. Permukaan Bumi seluas $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2
\approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; jadi atmosfer berbobot sekitar $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$. Nilai yang diterima $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — taksiran itu hanya memerlukan $P_0$ dan $R$.

**Definisi 1.14 (Angka penting).**

*Angka penting* sebuah bilangan tertulis adalah digitnya terhitung dari yang pertama tak nol: $0.0820$ punya tiga, $8.20 \times 10^{-2}$ punya tiga yang sama, $820$ bermakna ganda (dua atau tiga) kecuali ditulis $8.2 \times 10^{2}$ atau $8.20 \times 10^{2}$. Sebuah hasil ditulis dengan angka penting sebanyak yang diizinkan ketidakpastiannya ([Metode 1.20](#met-b1-units-dimensions-writing) di bawah): bukan “$g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$” bila digit keempatnya tak diketahui.

## 1.4 Ketidakpastian pengukuran

**Definisi 1.15 (Besaran ukur, galat, ketidakpastian).**

*Besaran ukur* adalah besaran yang hendak diukur. Mengulang sebuah pengukuran memberi nilai yang berpencar: pengukurannya bersifat *beragam*. *Galat* sebuah hasil adalah selisihnya yang tak diketahui terhadap nilai benar; *ketidakpastian baku* $u(x)$ sebuah hasil $x$ adalah simpangan baku nilai-nilai yang secara masuk akal dapat dikaitkan dengan besaran ukur — besaran yang justru *dapat* dievaluasi. Sumbernya: pengamat (waktu reaksi, paralaks), lingkungan (suhu, getaran), instrumen (resolusi, kalibrasi), dan metodenya (model yang hanya hampir benar).

**Proposisi 1.16 (Evaluasi tipe A).**

Dari $n$ nilai ulangan yang saling bebas $x_1, \dots, x_n$ dengan rata-rata $\bar x = \frac1n \sum x_i$ dan simpangan baku eksperimen

$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},
$$

taksiran terbaik [besaran ukurnya](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) adalah $\bar x$ dan [ketidakpastian bakunya](#def-b1-units-dimensions-uncertainty)

$$
u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .
$$

**Bukti sebagian.** Bahwa $s$ menaksir pencaran satu pengukuran tunggal adalah definisi simpangan baku eksperimen ($n - 1$ dan bukan $n$ karena rata-ratanya sendiri ditaksir dari datanya). Bahwa rata-rata $n$ nilai yang saling bebas berpencar $\sqrt n$ kali lebih sempit daripada satu nilai adalah penjumlahan ragam: ragam jumlah $n$ peubah yang saling bebas sama dengan $n$ kali ragam satu peubah, sehingga ragam rata-ratanya $s^2 n / n^2 = s^2/n$. Kuliah peluang tahun ini membuktikan keduanya. ∎

![Lima puluh pencatatan waktu periode bandul yang sama, dibin per 0.01\, s. Pencarannya s 0.016\, s (satu pencatatan); rata-rata kelimapuluhnya diketahui sampai s/√50 0.002\, s. Kurva lonceng adalah kurva Gauss dengan rata-rata dan pencaran yang sama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-7ffb6fbab45a.svg)

*Lima puluh pencatatan waktu periode bandul yang sama, dibin per $0.01\,\mathrm{s}$. Pencarannya $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (satu pencatatan); rata-rata kelimapuluhnya diketahui sampai $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$. Kurva lonceng adalah kurva Gauss dengan rata-rata dan pencaran yang sama.*

**Proposisi 1.17 (Evaluasi tipe B).**

Ketika sebuah nilai dibaca satu kali, ketidakpastiannya dievaluasi dari apa yang diketahui tentang instrumennya. Jika nilai benarnya dapat terletak di mana saja antara $x - a$ dan $x + a$ tanpa kecenderungan (distribusi *seragam* berlebar separuh $a$),

$$
u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .
$$

Untuk skala berskala bagi $\delta$ (lebar separuh $a = \delta/2$), $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$; hal yang sama berlaku bagi digit terakhir sebuah tampilan digital. Toleransi pabrikan yang disebut “$\pm a$” diperlakukan dengan cara yang sama kecuali lembar datanya menyatakan lain.

**Bukti.** Ragam distribusi seragam pada $[x - a, x + a]$ adalah $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3}
= \frac{a^2}{3}$; simpangan bakunya $a/\sqrt3$. ∎

![Sebuah pembacaan yang hanya diketahui terletak dalam ± a: kepadatan seragam 1/(2a), simpangan baku a/√3 0.58\,a — lebih kecil daripada a, karena ujung-ujungnya tak lebih mungkin daripada pusatnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-30a7b93b86ff.svg)

*Sebuah pembacaan yang hanya diketahui terletak dalam $\pm a$: kepadatan seragam $1/(2a)$, simpangan baku $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — lebih kecil daripada $a$, karena ujung-ujungnya tak lebih mungkin daripada pusatnya.*

**Teorema 1.18 (Ketidakpastian gabungan).**

Misalkan $y = f(x_1, \dots, x_n)$ dihitung dari nilai-nilai terukur yang saling bebas dengan [ketidakpastian baku](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) $u(x_i)$. Maka

$$
u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .
$$

Khususnya:

- jumlah atau selisih $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
- hasil kali atau hasil bagi $y = x_1 x_2$ atau $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2  + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
- pangkat $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

**Bukti.** Untuk simpangan kecil $\delta x_i$, uraian Taylor orde pertama memberi $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$. Simpangan itu saling bebas dan berrata-rata nol, sehingga ragam jumlahnya adalah jumlah ragamnya, masing-masing diskalakan dengan kuadrat koefisiennya — persis rumus yang dipajang. Kasus khususnya menyusul: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ memberi $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$, lalu bagi dengan $y^2 = x_1^2 x_2^2$; untuk $y = kx^\alpha$, $\partial y/\partial x = \alpha y/x$. ∎

**Contoh 1.19 (Massa jenis sebuah silinder).**

Sebuah silinder: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ($u = 0.01\,\mathrm{g}$), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.02\,\mathrm{mm}$), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.1\,\mathrm{mm}$). $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$, sehingga kuadrat ketidakpastian nisbinya menjumlahkan $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$, $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ dan $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$: diameternya yang menentukan, karena ia dikuadratkan dan diukur sampai $0.17\%$. $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}}
= 0.39\%$; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, jadi $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — kuningan.

**Metode 1.20 (Menuliskan sebuah hasil).**

1. Bulatkan ketidakpastiannya ke satu [angka penting](#def-b1-units-dimensions-sigfig) (dua bila angka pertamanya $1$ atau $2$ ).
2. Bulatkan nilainya ke tempat desimal yang sama.
3. Tuliskan nilai dan ketidakpastian beserta [satuannya](#def-b1-units-dimensions-unit) : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , atau $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Simpan digit tambahan *selama* perhitungan; bulatkan hanya di akhir.

**Definisi 1.21 (Simpangan ternormalisasi).**

Dua hasil $x_1 \pm u_1$ dan $x_2 \pm u_2$ atas [besaran ukur](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) yang sama dibandingkan melalui *simpangan ternormalisasi*

$$
z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .
$$

Keduanya *sesuai* bila $z \leq 2$; $z$ yang lebih besar menunjuk pada pengaruh yang tak diperhitungkan — atau pada ketidakpastian yang ditaksir terlalu rendah. Bila $x_2$ nilai acuan tanpa ketidakpastian yang disebutkan, ambil $u_2 = 0$.

**Catatan 1.22 (Mengapa 2).**

Jika kedua hasil berpencar seperti kurva Gauss, selisihnya bersimpangan baku $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$, dan sebuah kurva Gauss melampaui dua kali simpangan bakunya pada sekitar $5\%$ kasus. “$z \leq 2$” adalah kesepakatan, bukan teorema: ia menerima kira-kira satu di antara dua puluh pengukuran yang baik sebagai ketaksesuaian palsu.

## 1.5 Mencocokkan model dengan data

**Proposisi 1.23 (Garis kuadrat terkecil).**

Diberikan $n$ titik $(x_i, y_i)$ yang diharapkan memenuhi $y = a x + b$, garis lurus yang meminimumkan jumlah kuadrat jarak tegaknya $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ mempunyai

$$
a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2},
\qquad
b = \bar y - a\,\bar x .
$$

**Bukti.** Jumlah itu fungsi kuadrat dari $(a, b)$; menyamakan kedua turunan parsialnya dengan nol memberi dua persamaan linear: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$, yang berarti $\bar y = a \bar x + b$, dan $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$. Menyubstitusikan $b$ ke persamaan kedua lalu memusatkan variabelnya menghasilkan $a$. Peminimuman itu sendiri dikerjakan dalam kuliah matematika tentang fungsi dua variabel. ∎

**Metode 1.24 (Menguji model secara grafik).**

1. Pilih variabel yang membuat hukum yang diharapkan menjadi garis lurus: $\tau^2$ terhadap $\ell$ untuk bandul, $\ln y$ terhadap $\ln x$ untuk hukum pangkat $y = Cx^\alpha$ (kemiringan $\alpha$ ).
2. Gambarkan titik-titiknya *beserta batang ketidakpastiannya* .
3. Cocokkan garisnya; modelnya dapat diterima bila batangnya mengangkangi garisnya tanpa kecenderungan sisaan yang sistematik, dan bila perpotongannya sesuai ramalan model (nol, di sini).
4. Baca fisikanya dari kemiringannya, beserta ketidakpastiannya.

![2 terhadap untuk lima panjang bandul, beserta batang ketidakpastiannya; garis kuadrat terkecilnya melewati titik asal dalam batas ketidakpastian dan kemiringannya 4π2/g memberi g.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-56a516d0cd8b.svg)

*$\tau^2$ terhadap $\ell$ untuk lima panjang bandul, beserta batang ketidakpastiannya; garis [kuadrat terkecilnya](#prop-b1-units-dimensions-regression) melewati titik asal dalam batas ketidakpastian dan kemiringannya $4\pi^2/g$ memberi $g$.*

**Contoh 1.25 (Membaca ggg dari sebuah kemiringan).**

Kelima titik pada gambar mempunyai $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$, $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$, dan jumlah-jumlah $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$, $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$: kemiringan $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, perpotongan $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$, dapat diabaikan. Dengan $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$, $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

## 1.6 Latihan

**Latihan 1.1 ★.**

Nyatakan joule, watt, pascal dan coulomb dalam [satuan dasar](#def-b1-units-dimensions-si). Simpulkan bahwa $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ adalah [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) energi.

**Solusi Latihan 1.1.**

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$. $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (usaha gaya tekanan, $P\,\dd V$).

**Latihan 1.2 ★.**

Berikan [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) tekanan, daya, muatan listrik, tegangan, dan [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) tetapan $G$ (dalam $F = Gm_1m_2/r^2$), $h$ (dalam $E = h\nu$) serta $k_B$ (dalam $E = k_B T$).

**Solusi Latihan 1.2.**

Tekanan $M L^{-1} T^{-2}$; daya $M L^2 T^{-3}$; muatan $I\,T$; tegangan $=$ daya/arus $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$. $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$.

**Latihan 1.3 ★.**

Apakah rumus-rumus ini homogen? $v = \sqrt{2gh}$; $E = \tfrac12 m v$; $P = \rho g h$ untuk sebuah tekanan; $x = v_0 t +
\tfrac12 g t^2$; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$.

**Solusi Latihan 1.3.**

$\sqrt{2gh}$: $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$, homogen. $\tfrac12 mv$: $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$, bukan energi. $\rho g h$: $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$, sebuah tekanan. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$: kedua sukunya $L$, homogen. $2\pi\sqrt{g/\ell}$: $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — sebuah frekuensi, bukan periode. $I_0\eu^{-t/RC}$: $RC$ dalam $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$, argumennya [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension), homogen.

**Latihan 1.4 ★.**

Sebuah mistar berskala milimeter; sebuah neraca digital menampilkan langkah $0.01\,\mathrm{g}$; lembar data sebuah voltmeter menjanjikan “$\pm 0.5\%$ dari pembacaan”. Berikan [ketidakpastian baku](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) tipe B bagi panjang $12.7\,\mathrm{cm}$, massa $5.43\,\mathrm{g}$ dan pembacaan $4.80\,\mathrm{V}$.

**Solusi Latihan 1.4.**

Mistar: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$, $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$. Neraca: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$. Voltmeter: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$, $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$.

**Latihan 1.5 ★★.**

Laju $v$ gelombang pada tali teregang bergantung pada tegangan talinya $F$ (sebuah gaya) dan pada massa tiap [satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) panjangnya $\mu$. Carilah $v$ sampai pada sebuah faktor [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension). Pertanyaan yang sama untuk laju bunyi dalam gas bertekanan $P$ dan bermassa jenis $\rho$.

**Solusi Latihan 1.5.**

$v = k F^\alpha \mu^\beta$: $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$, sehingga $\alpha + \beta = 0$, $\alpha - \beta = 1$, $-2\alpha = -1$: $\alpha = \tfrac12$, $\beta = -\tfrac12$, $v = k\sqrt{F/\mu}$ (sesungguhnya $k = 1$). Bunyi: $P/\rho$ berdimensi $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$, sehingga $v = k\sqrt{P/\rho}$ ($k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ untuk udara).

**Latihan 1.6 ★★.**

Delapan pencatatan waktu jatuh yang sama, dalam milisekon: $452$, $447$, $461$, $455$, $449$, $458$, $444$, $454$. Hitunglah rata-ratanya, simpangan baku eksperimennya dan [ketidakpastian baku](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) rata-ratanya; tuliskan hasilnya.

**Solusi Latihan 1.6.**

Jumlah $= 3620\,\mathrm{ms}$, $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$. Simpangannya $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$; jumlah kuadratnya $226$; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$. Hasilnya: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$.

**Latihan 1.7 ★★.**

Sebuah hambatan diukur sebagai $R = U/I$ dengan $U = 4.80\,\mathrm{V}$, $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ dan $I = 12.4\,\mathrm{mA}$, $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$. Hitunglah $R$ dan $u(R)$; pengukuran mana yang harus diperbaiki lebih dahulu?

**Solusi Latihan 1.7.**

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$. Ketidakpastian nisbinya $0.03/4.80 =
0.63\%$ dan $0.2/12.4 = 1.6\%$; gabungannya $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$, $u(R) = 7\,\Omega$: $R = (387 \pm 7)\,\Omega$. Arusnya yang menentukan — perbaiki amperemeternya (atau jangkauannya) lebih dahulu.

**Latihan 1.8 ★★.**

Dua kelompok mengukur laju bunyi: $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Apakah keduanya sesuai? Kelompok ketiga memperoleh $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: sesuai dengan yang pertama? dengan yang kedua?

**Solusi Latihan 1.8.**

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$: sesuai. Yang ketiga terhadap yang pertama: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$: tepat di batas, nyaris sesuai. Yang ketiga terhadap yang kedua: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$: tak sesuai — sekurang-kurangnya salah satu dari keduanya mengandung galat sistematik atau ketidakpastian yang ditaksir terlalu rendah.

**Latihan 1.9 ★★.**

Volume sebuah bola dihitung dari diameternya $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ yang diukur dengan jangka sorong, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$. Hitunglah $V$, ketidakpastian nisbi dan mutlaknya, lalu tuliskan hasilnya.

**Solusi Latihan 1.9.**

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$. $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$, $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$: $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$.

**Latihan 1.10 ★★★.**

Sebuah bola kecil berjari-jari $R$ jatuh perlahan dalam cairan kental; hambatannya bergantung pada $R$, pada laju $v$ dan pada kekentalan $\eta$, yang berdimensi $M L^{-1} T^{-1}$. Tunjukkan bahwa $F = k\,\eta R v$. Pada laju tinggi hambatannya justru bergantung pada $R$, $v$ dan massa jenis fluida $\rho$: carilah hukum barunya. Taksirlah, untuk sebuah tetes hujan ($R = 1\,\mathrm{mm}$, $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, udara: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$), rezim mana yang berlaku dengan membandingkan kedua taksiran itu.

**Solusi Latihan 1.10.**

$F = k\eta^a R^b v^c$: $M$: $a = 1$; $T$: $-a - c = -2$, $c = 1$; $L$: $-a + b + c = 1$, $b = 1$: $F = k\eta R v$ (Stokes, $k = 6\pi$). Dengan $\rho$ sebagai gantinya: $M$: $a = 1$; $T$: $-c = -2$, $c = 2$; $L$: $-3 + b + 2 = 1$, $b = 2$: $F = k\rho R^2 v^2$. Tetes hujan: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx
1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 =
3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, tiga ratus kali lebih besar: rezim inersial (laju tinggi) yang berlaku — nisbah $\rho v R/\eta \approx 330$ adalah bilangan Reynolds.

**Latihan 1.11 ★★★.**

Empat pengukuran tegangan pada sebuah resistor untuk arus yang menaik: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$, $(4.0\,\mathrm{mA},
0.78\,\mathrm{V})$, $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$, $(8.0\,\mathrm{mA},
1.59\,\mathrm{V})$. Hitunglah kemiringan dan perpotongan [kuadrat terkecilnya](#prop-b1-units-dimensions-regression); simpulkan $R$; apakah perpotongannya sesuai dengan nol bila tiap $U$ membawa $u = 0.02\,\mathrm{V}$?

**Solusi Latihan 1.11.**

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$, $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$; simpangan pada $I$: $-3, -1, 1, 3$; pada $U$: $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$. $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$, $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$: $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$, $b = 1.000 - 0.199 \times 5 =
0.005\,\mathrm{V}$. Dengan $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ tiap titik, perpotongan $0.005\,\mathrm{V}$ masih jauh di dalam ketidakpastian: sesuai dengan nol, resistornya ohmik, $R \approx 199\,\Omega$.

**Latihan 1.12 ★★★.**

Dari $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ dan $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, bentuklah dengan analisis [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) sebuah panjang, sebuah waktu dan sebuah massa ([satuan](#def-b1-units-dimensions-unit) Planck). Hitunglah semuanya dan bandingkan dengan ukuran sebuah proton ($1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$) serta dengan massa manusia.

**Solusi Latihan 1.12.**

$\ell = G^a h^b c^c$: $M$: $-a + b = 0$; $T$: $-2a - b - c = 0$; $L$: $3a + 2b + c = 1$. Jadi $b = a$, $c = -3a$, $2a = 1$: $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}}
= 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}}
= 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$. Panjang Planck dua puluh [orde besar](#def-b1-units-dimensions-oom) di bawah sebuah proton; massa Planck, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$, sebutir debu — raksasa bagi sebuah partikel, mungil bagi seorang manusia ($10^9$ kali lebih ringan).

![Bahan mentah bab ini: sebuah jangka sorong, sebuah stopwatch, sebuah bola, sebuah mistar, dan sekolom pembacaan berulang yang tak pernah benar-benar sama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-013d91118919.jpg)

*Bahan mentah bab ini: sebuah jangka sorong, sebuah stopwatch, sebuah bola, sebuah mistar, dan sekolom pembacaan berulang yang tak pernah benar-benar sama.*

## 1.7 Soal: Mengukur $g$ dengan sebuah bandul

**Soal 1.1.**

Soal akhir pekan — seutas tali, sebuah bandulan, sebuah stopwatch dan sebuah pita ukur: seberapa baik meja dapur dapat mengukur medan gravitasi Bumi, dan mana di antara empat angkanya yang lemah

Sebuah bandul adalah bola baja yang digantung pada titik tetap dengan tali ringan; ayunan kecilnya berperiode $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ dengan $\ell$ jarak dari titik gantung ke pusat bolanya. Tujuannya sebuah nilai $g$ dengan ketidakpastian yang dapat dipertanggungjawabkan.

**Bagian I — Modelnya.**

1. Periksalah kehomogenan $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
2. Bolanya bermassa $m$ . Tunjukkan dengan [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) saja bahwa periodenya tidak mungkin bergantung pada $m$ jika ia hanya bergantung pada $\ell$ , $g$ dan $m$ .
3. Periodenya juga bergantung, sedikit, pada amplitudo $\theta_0$ ayunannya. Mengapa analisis [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension) mengizinkan hal ini, dan apa yang harus dilakukan secara eksperimental agar rumusnya berlaku?
4. Nyatakan $g$ sebagai fungsi $\ell$ dan $\tau$ .

**Bagian II — Mengukur panjangnya.** Pita ukurnya berskala milimeter; talinya sepanjang $99.0\,\mathrm{cm}$ dari gantungan sampai puncak bolanya, diameter bolanya $2.00\,\mathrm{cm}$, keduanya dibaca satu kali.

5. Hitunglah $\ell$ .
6. Evaluasilah ketidakpastian tipe B sebuah pembacaan tunggal pada pita ukurnya.
7. Menentukan letak titik gantung dan pusat bolanya menambahkan taksiran galat yang mungkin sebesar $\pm5\,\mathrm{mm}$ (seragam). Gabungkan dengan butir sebelumnya menjadi $u(\ell)$ , lalu berikan ketidakpastian nisbinya $u(\ell)/\ell$ .

**Bagian III — Mengukur periodenya.** Untuk mengurangi pengaruh waktu reaksi, orang mencatat waktu sepuluh periode. Delapan pencatatan semacam itu, dalam sekon: $20.12$, $20.05$, $20.18$, $20.09$, $20.15$, $20.02$, $20.11$, $20.08$.

8. Mengapa mencatat sepuluh periode dan bukan satu? Mengapa mengulangi pencatatannya delapan kali?
9. Hitunglah rata-rata $\overline{t_{10}}$ dan simpangan baku eksperimen $s$ kedelapan pencatatan itu.
10. Simpulkan [ketidakpastian baku](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) rata-ratanya, lalu periodenya $\tau$ dan ketidakpastiannya $u(\tau)$ .
11. Bandingkan $u(\tau)/\tau$ dengan $u(\ell)/\ell$ .

**Bagian IV — Hasilnya dan titik lemahnya.**

12. Hitunglah $g$ .
13. Tuliskan $u(g)/g$ dalam $u(\ell)/\ell$ dan $u(\tau)/\tau$ , lalu hitunglah.
14. Tuliskan hasilnya dalam bentuk baku.
15. Bandingkan dengan nilai acuan $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ melalui [simpangan ternormalisasi](#def-b1-units-dimensions-zscore) . Kesimpulannya?
16. Manakah di antara kedua besaran terukur itu yang membatasi ketelitian $g$ ? Usulkan dua perbaikan yang konkret dan katakan seberapa besar masing-masing akan menurunkan ketidakpastian nisbinya.
17. Andaikan, karena penjajaran yang ceroboh, setiap panjang ditaksir terlalu besar sebanyak $5\,\mathrm{mm}$ . Apakah hal ini sudah tercakup dalam anggaran ketidakpastiannya? Nama apa yang disandang galat semacam ini, dan bagaimana mendeteksinya?

**Bagian V — Lima panjang dan sebuah garis lurus.** Percobaannya diulang untuk $\ell = 0.400$, $0.600$, $0.800$, $1.000$ dan $1.200\,\mathrm{m}$, memberi $\tau^2 = 1.62$, $2.41$, $3.25$, $4.04$ dan $4.84\,\mathrm{s}^{2}$, masing-masing dengan $u(\tau^2) \approx 1\%$.

18. Mengapa menggambarkan $\tau^2$ terhadap $\ell$ dan bukan $\tau$ terhadap $\ell$ ?
19. Hitunglah $\bar\ell$ dan $\overline{\tau^2}$ .
20. Hitunglah kemiringan [kuadrat terkecil](#prop-b1-units-dimensions-regression) $a$ dan perpotongan $b$ .
21. Simpulkan $g$ dari kemiringannya.
22. Tafsirkan perpotongannya: apa yang akan disingkapkan oleh $b$ yang jelas tak nol?
23. Pencocokan oleh komputer melaporkan $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . Simpulkan $u(g)$ lalu tuliskan hasilnya.
24. Bandingkan hasil panjang tunggal Bagian IV dengan hasil ini melalui [simpangan ternormalisasi](#def-b1-units-dimensions-zscore) .
25. Seorang mahasiswa mengusulkan untuk mengukur sebagai gantinya satu ayunan bandul sepanjang $10\,\mathrm{m}$ di sebuah tangga dengan pita ukur dan stopwatch yang sama. Taksirlah ketidakpastian nisbi $g$ yang akan diberikannya, lalu simpulkan strategi terbaiknya.

**Solusi Soal 1.1.**

**1.** $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$.

**2.** $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ memberi $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, sehingga $\beta = 0$: tidak ada kombinasi $\ell$ dan $g$ yang dapat meniadakan sebuah massa.

**3.** $\theta_0$ [tak berdimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension), sehingga setiap faktor $f(\theta_0)$ tak terlihat oleh [dimensi](#def-b1-units-dimensions-dimension). Jagalah amplitudonya tetap kecil (di bawah kira-kira $10^\circ$), tempat $f \approx 1$ dengan ketelitian lebih baik daripada $0.2\%$.

**4.** $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$.

**5.** $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$.

**6.** $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$.

**7.** Penjajaran: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$; gabungannya $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — pembacaan pita ukurnya dapat diabaikan. $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**8.** Galat waktu reaksi (sekitar $0.1\,\mathrm{s}$) sama saja entah satu atau sepuluh periode yang dicatat, sehingga pengaruhnya pada satu periode sepuluh kali lebih kecil. Mengulanginya menyingkap pencarannya (karena itu $s$) dan membagi ketidakpastian rata-ratanya dengan $\sqrt8$.

**9.** Jumlah $= 160.80\,\mathrm{s}$, $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$. Simpangannya $0.02$, $-0.05$, $0.08$, $-0.01$, $0.05$, $-0.08$, $0.01$, $-0.02$; jumlah kuadratnya $188 \times 10^{-4}$; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$.

**10.** $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$, $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$.

**11.** $u(\tau)/\tau = 0.09\%$, tiga kali lebih kecil daripada $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**12.** $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 =
9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**13.** $g \propto \ell\,\tau^{-2}$: $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2
+ \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\%
= 0.34\%$.

**14.** $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**15.** $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$: sesuai.

**16.** Panjangnya ($0.29\%$ terhadap $0.18\%$ untuk suku periodenya). Menentukan letak kedua ujungnya sampai $\pm1\,\mathrm{mm}$ menurunkan $u(\ell)/\ell$ ke $0.06\%$ dan $u(g)/g$ ke $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$; melipatduakan panjangnya memotong $u(\ell)/\ell$ menjadi separuh dan memperpanjang $\tau$, sehingga menolong kedua suku. Mencatat dua puluh periode dan bukan sepuluh hanya memotong suku periodenya: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — untung kecil selagi panjangnya yang menjadi penghambat.

**17.** Tidak: pergeseran yang sama pada setiap pembacaan adalah *galat sistematik* (sebuah bias); anggarannya mencakup pencaran acak dan toleransi yang dinyatakan, bukan simpangan yang tetap. Ia terdeteksi dengan mengganti metode atau instrumen, atau — Bagian V — lewat perpotongan garis $\tau^2$–$\ell$ yang tak nol.

**18.** $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ adalah garis lurus melalui titik asal: kelinearan dan perpotongan nolnya sama-sama dapat diuji dengan mata dan dengan [kuadrat terkecil](#prop-b1-units-dimensions-regression); $\tau \propto \sqrt\ell$ tidak.

**19.** $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 =
3.232\,\mathrm{s}^{2}$.

**20.** Simpangan pada $\ell$: $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$; pada $\tau^2$: $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$. Jumlah silangnya $= 1.614$, $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$: $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$.

**21.** $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**22.** $b \approx 0$, seperti diramalkan modelnya. Sebuah $b$ yang jelas tak nol akan menyingkap simpangan sistematik $\delta$ pada setiap panjang ($\tau^2 = a(\ell_{\text{ukur}} - \delta)$ memberi $b = -a\delta$), misalnya pusat bola yang salah letak — atau sebuah pengaruh amplitudo.

**23.** $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$, $u(g) =
0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**24.** $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$: sepenuhnya sesuai. Pengukuran tunggal yang cermat itu lebih teliti; garisnya mengesahkan modelnya dan menjaga dari simpangan panjang.

**25.** $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$; satu ayunan yang dicatat dengan waktu reaksi sekitar $0.2\,\mathrm{s}$ memberi $u(\tau)/\tau \approx
3\%$, jadi $u(g)/g \approx 6\%$, sementara $u(\ell)/\ell$ turun ke $0.03\%$: dua puluh kali lebih buruk daripada Bagian IV. Keuntungan panjangnya terbuang oleh pencatatan satu periode saja. Strategi terbaik: bandul panjang *dan* banyak periode, diulang — sepuluh ayunan bandul $10\,\mathrm{m}$, delapan kali, memberi $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ dan $u(g)/g \approx 0.07\%$.