---
title: "Kinematika Titik"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik
---

# Bab 11 — Kinematika Titik

Kereta pada sebuah kereta luncur memasuki loopnya pada $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, melambat sambil menanjak, tergantung sesaat di puncaknya, lalu meraung keluar lagi; penumpangnya merasa terhimpit ke kursinya di dasar dan nyaris tanpa berat di puncaknya. Menggambarkan perjalanan itu — di mana keretanya, seberapa cepat ia bergerak, bagaimana [kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) berbelok dan berubah — itulah kinematika, dan ia menuntut lebih daripada $x$, $y$, $z$ sebuah jalan lurus: [koordinat polar](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) untuk apa pun yang berputar, dan kerangka yang ikut berjalan bersama keretanya sendiri. Bab ini menyiapkan perkakas itu, membuktikan rumus [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) dan [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) pada masing-masingnya, lalu menerapkannya pada gerak yang akan dipanggil setiap bab berikutnya: melingkar, heliks, harmonik, dan gerak menyusuri sebarang kurva.

## 11.1 Kedudukan, kecepatan, percepatan

**Definisi 11.1 (Kerangka acuan; kedudukan; lintasan).**

*Kerangka acuan* adalah benda tegar yang dianggap tetap (laboratorium, Bumi, sebuah kereta), bersama sebuah jam. *Partikel titik* $M$ — benda yang ukurannya tak berarti bagi gerak yang dipelajari — ditentukan letaknya pada tiap saat oleh *vektor posisi*nya $\vect{OM}(t)$ dari titik asal $O$ yang melekat pada kerangkanya; kurva yang digambarkan $M$ adalah *lintasan*nya. Gerak selalu berupa gerak *relatif terhadap sebuah kerangka*: penumpang yang sama diam di dalam keretanya dan bergerak di stasiunnya.

**Definisi 11.2 (Kecepatan dan percepatan).**

*Kecepatan* dan *percepatan* $M$ dalam kerangkanya adalah

$$
\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad
\vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},
$$

yaitu turunan fungsi vektor: turunan sebuah vektor diperoleh dengan menurunkan komponennya dalam basis yang *tetap di dalam kerangkanya*. Kecepatannya menyinggung [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame) dan menunjuk searah geraknya; normanya $v$ adalah *kelajuan*nya. Satuannya: $\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Proposisi 11.3 (Koordinat Kartesius).**

Dengan basis ortonormal tetap $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ dan $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$,

$$
\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad
\vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,
$$

dengan titik menyatakan $\dd/\dd t$.

**Bukti.** Vektor basisnya tetap; hanya komponennya yang berubah. ∎

**Contoh 11.4 (Proyektil).**

Ditembakkan dari $O$ dengan laju $v_0$ dan sudut $\alpha$ di atas mendatar, koordinat sebuah bola (dinamika, bab berikutnya) adalah $x = v_0\cos\alpha\,t$, $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$. Maka $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$, $\vect a = -g\vect e_z$: [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) tetap sementara [kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) berbelok; di puncaknya ($\dot z = 0$, $t = v_0\sin\alpha/g$) [kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) mendatar dan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) tegak lurus terhadapnya. Dengan menghilangkan $t$: $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$, sebuah parabola.

![Parabola sebuah proyektil: kecepatannya menyinggung lintasannya dan berbelok, sedangkan percepatan g tetap. Di puncaknya kecepatan dan percepatannya tegak lurus: kelajuannya sesaat stasioner sementara arahnya masih berubah.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-243698fae792.svg)

*Parabola sebuah proyektil: [kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) menyinggung [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame) dan berbelok, sedangkan [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect g$ tetap. Di puncaknya [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) dan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) tegak lurus: kelajuannya sesaat stasioner sementara arahnya masih berubah.*

## 11.2 Koordinat silinder

**Definisi 11.5 (Koordinat silinder dan basisnya).**

Titik $M$ ditentukan letaknya oleh $r \geq 0$ (jaraknya ke sumbu $z$), sudut $\theta$ proyeksinya pada bidang $xy$ terhadap $\vect e_x$, dan $z$: $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$, dengan

$$
\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad
\vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,
$$

dan $\vect e_z$ membentuk *basis lokal* $(\vect e_r, \vect e_\theta,
\vect e_z)$, yang ortonormal dan langsung, dan yang *bergerak bersama $M$*. Pada bidangnya ($z$ tetap) inilah *koordinat polar* $(r, \theta)$.

**Lema 11.6 (Turunan basis lokalnya).**

$$
\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad
\frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad
\frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .
$$

**Bukti.** Turunkan komponennya: $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\,
\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$, dan serupa untuk $\vect e_\theta$. Turunan sebuah vektor satuan yang berputar tegak lurus terhadapnya, dengan norma sebesar laju sudutnya. ∎

**Teorema 11.7 (Kecepatan dan percepatan dalam koordinat silinder).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z,
\qquad
\vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r
+ \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .
$$

**Bukti.** Turunkan $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ dengan lemanya: $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$. Turunkan sekali lagi: $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta +
\dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2
\vect e_r + \ddot z\vect e_z$; lalu kumpulkan. ∎

![Koordinat polar: basis lokalnya ( e_r, e_ ) berputar bersama M; kecepatannya mempunyai bagian radial r dan bagian ortoradial r. Di sini lintasannya (merah) memilin ke luar, sehingga r > 0 dan v condong ke luar dari garis singgung lingkarannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-98a6b555635a.svg)

*[Koordinat polar](#def-b1-point-kinematics-cylindrical): [basis lokalnya](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ berputar bersama $M$; [kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) mempunyai bagian radial $\dot r$ dan bagian ortoradial $r\dot\theta$. Di sini [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame) (merah) memilin ke luar, sehingga $\dot r > 0$ dan $\vect v$ condong ke luar dari garis singgung lingkarannya.*

**Akibat 11.8 (Gerak melingkar).**

Pada lingkaran berjari-jari $R$ ($r = R$, $z = 0$), dengan *[kecepatan sudut](#cor-b1-point-kinematics-circular)* $\omega = \dot\theta$:

$$
\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad
\vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta
= -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .
$$

Untuk [gerak melingkar](#cor-b1-point-kinematics-circular) *beraturan* ($\omega$ tetap), [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) murni *sentripetal*, bernorma $v^2/R = R\omega^2$, walaupun kelajuannya tetap.

**Bukti.** Tetapkan $\dot r = \ddot r = 0$ dalam teoremanya; $v = R\omega$. ∎

**Contoh 11.9 (Dua lingkaran).**

Sebuah mobil memutari bundaran berjari-jari $20\,\mathrm{m}$ pada $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, separuh $g$, terarah ke pusatnya — itulah yang harus dipasok bannya. Bulan ($R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $T = 27.3\,\mathrm{d}$): $\omega = 2\pi/T =
2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, seper $3600$ dari $g$ di permukaan Bumi, pada enam puluh jari-jari Bumi — perbandingan yang dibuat Newton ([Bab 16](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#ch-b1-central-forces)).

## 11.3 Koordinat bola

**Definisi 11.10 (Koordinat bola).**

Titik $M$ ditentukan letaknya oleh jaraknya $r = OM$, *kolatitude* $\theta \in [0, \pi]$ antara $\vect{OM}$ dan $\vect e_z$, serta *azimut* $\varphi$ proyeksinya pada bidang $xy$: $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ dengan

$$
\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;
$$

$\vect e_\theta$ (menyinggung meridiannya, ke arah $\theta$ yang menaik) dan $\vect e_\varphi$ (menyinggung lingkaran lintangnya) melengkapi basis ortonormal lokalnya. Di Bumi, $\theta$ adalah $90^\circ$ dikurangi lintangnya dan $\varphi$ adalah bujurnya.

**Proposisi 11.11 (Kecepatan dalam koordinat bola).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .
$$

**Bukti.** $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\,
\vect e_\varphi$: suku pertamanya adalah perputaran pada bidang meridiannya (seperti pada kasus polarnya), suku keduanya perputaran terhadap $\vect e_z$ dengan laju $\dot\varphi$ sebuah vektor yang jaraknya ke sumbunya adalah $\sin\theta$. Lalu $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$. [Percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) tak diperlukan tahun ini. ∎

![Koordinat bola (r, , ) dan basis lokalnya: e_r radial, e_ menyusuri meridiannya (ke arah selatan pada sebuah bola dunia), e_ menyusuri lingkaran lintangnya (ke arah timur).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-64181e6f86ea.svg)

*[Koordinat bola](#def-b1-point-kinematics-spherical) $(r, \theta, \varphi)$ dan [basis lokalnya](#def-b1-point-kinematics-cylindrical): $\vect e_r$ radial, $\vect e_\theta$ menyusuri meridiannya (ke arah selatan pada sebuah bola dunia), $\vect e_\varphi$ menyusuri lingkaran lintangnya (ke arah timur).*

## 11.4 Basis Frenet

**Definisi 11.12 (Absis lengkung; basis Frenet).**

Sepanjang sebuah [lintasan](#def-b1-point-kinematics-frame), *absis lengkung* $s(t)$ adalah panjang busur dari sebuah titik acuan, yang dihitung secara aljabar; $v = \dot s$. Di $M$, vektor singgung satuan $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ menunjuk ke arah $s$ yang menaik; *jari-jari kelengkungan* $\rho > 0$ dan vektor normal satuan $\vect N$, yang menunjuk ke sisi cekungnya (pusat kelengkungannya), didefinisikan oleh

$$
\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .
$$

$(\vect T, \vect N)$ adalah *basis Frenet*; $\rho = \infty$ pada garis lurus, dan $\rho = R$ pada lingkaran berjari-jari $R$.

**Teorema 11.13 (Percepatan dalam basis Frenet).**

$$
\vect v = v\,\vect T, \qquad
\vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .
$$

Komponen *tangensial* $\dd v/\dd t$ mengukur seberapa cepat kelajuannya berubah; komponen *normal* $v^2/\rho$, yang selalu ke arah pusat kelengkungannya, mengukur seberapa cepat arahnya berbelok. Geraknya beraturan jika dan hanya jika $\vect a \perp \vect v$; ia lurus jika dan hanya jika $\vect a \parallel \vect v$.

**Bukti.** $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$. Lalu $\vect a =
\dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s
= \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$. Bahwa $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ menyusul dari $\vect T\cdot\vect T = 1$ yang diturunkan. ∎

![Basis Frenet pada sebuah titik kurva: T searah geraknya, N ke arah pusat kelengkungannya C. Percepatannya terbelah menjadi bagian tangensial v T (mempercepat atau mengerem) dan bagian normal (v2/ ) N (berbelok).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-e43086adc724.svg)

*[Basis Frenet](#def-b1-point-kinematics-frenet) pada sebuah titik kurva: $\vect T$ searah geraknya, $\vect N$ ke arah pusat kelengkungannya $C$. [Percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) terbelah menjadi bagian tangensial $\dot v\vect T$ (mempercepat atau mengerem) dan bagian normal $(v^2/\rho)\vect N$ (berbelok).*

**Contoh 11.14 (Mengerem di sebuah tikungan).**

Sebuah mobil pada $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) di tikungan berjari-jari $100\,\mathrm{m}$ mengerem pada $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_N = 625/100 =
6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Bagian normalnya mendominasi: tikungan pertama-tama adalah perbelokan, dan cengkeraman bannya (bab berikutnya) membatasi $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$, yang menjelaskan mengapa orang mengerem *sebelum* tikungannya.

## 11.5 Gerak baku

**Proposisi 11.15 (Gerak lurus berubah beraturan).**

Pada sebuah sumbu, $\ddot x = a$ tetap, dari $x_0$ dan $v_0$: $v = v_0 + at$, $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$, dan $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$.

**Bukti.** Integralkan dua kali; hilangkan $t$ di antara kedua hubungan pertamanya. ∎

**Proposisi 11.16 (Gerak heliks).**

$r = R$, $\theta = \omega t$, $z = v_zt$ (dengan $R$, $\omega$, $v_z$ tetap): kelajuannya $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ tetap, [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ sentripetal dan bernorma tetap, dan [jari-jari kelengkungannya](#def-b1-point-kinematics-frenet) $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$.

**Bukti.** [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) dengan $\dot r = 0$, $\ddot\theta = 0$, $\ddot z = 0$; geraknya beraturan, sehingga $\vect a$ murni normal dan $v^2/\rho = R\omega^2$. ∎

**Proposisi 11.17 (Gerak harmonik).**

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$: $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, $\ddot x = -\omega^2 x$. [Kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) mendahului kedudukannya seperempat periode dan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) berlawanan dengan kedudukannya; $v_{\max} =
A\omega$, $a_{\max} = A\omega^2$. Inilah proyeksi pada sebuah garis tengah dari [gerak melingkar](#cor-b1-point-kinematics-circular) beraturan berjari-jari $A$ dan berkecepatan sudut $\omega$.

**Bukti.** Turunkan; untuk proyeksinya, ambil $x = A\cos\theta$ dengan $\theta =
\omega t + \varphi$. ∎

**Metode 11.18 (Memilih koordinat).**

- Gerak lurus atau parabolik, dengan [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) tetap: Kartesius.
- Gerak mengelilingi sebuah sumbu atau sebuah titik (lingkaran, pilinan, orbit, meja putar): silinder/polar; basisnya bergerak, jadi pakailah [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) , jangan pernah menurunkan komponennya secara naif.
- Sebuah kurva tertentu ( [lintasan](#def-b1-point-kinematics-frame) , tikungan, loop) ketika hukum kelajuannya diketahui: Frenet, yang memisahkan “seberapa cepat” dari “ke arah mana”.

Apa pun pilihannya, $\vect v$ dan $\vect a$ adalah vektor yang bergantung pada kerangkanya, dan sebuah hasil baru lengkap bila kerangkanya disebutkan.

## 11.6 Latihan

**Latihan 11.1 ★.**

Sebuah mobil berangkat dari keadaan diam dengan $x(t) = 2.0\,t^2$ (satuan SI). Berapa [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) dan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) pada $t = 3.0\,\mathrm{s}$; jarak yang ditempuhnya dalam $5\,\mathrm{s}$ pertama; dan waktu untuk mencapai $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$?

**Solusi Latihan 11.1.**

$v = 4.0t$: $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $3.0\,\mathrm{s}$; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $t = 27.8/4.0
= 6.9\,\mathrm{s}$.

**Latihan 11.2 ★.**

Sebuah titik bergerak pada sebuah bidang dengan $r = 2.0\,\mathrm{m}$ dan $\theta = 3.0\,t$ (rad, SI). Berikan $\vect v$ dan $\vect a$ dalam basis polarnya, normanya, dan sifat geraknya.

**Solusi Latihan 11.2.**

$\dot r = 0$, $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta
= 6.0\,\vect e_\theta$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$); $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r =
-18\,\vect e_r$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). [Gerak melingkar](#cor-b1-point-kinematics-circular) beraturan: kelajuannya tetap, [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) sentripetal.

**Latihan 11.3 ★.**

Sebuah titik di khatulistiwa ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, hari sideris $86\,164\,\mathrm{s}$): berapa kelajuan dan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) dalam kerangka geosentrik? Bandingkan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) dengan $g$.

**Solusi Latihan 11.3.**

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, yaitu $g/290$.

**Latihan 11.4 ★.**

Sebuah bola dilemparkan dengan $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $\alpha = 40^\circ$; koordinatnya seperti pada [Contoh 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile). Carilah waktu sampai puncaknya, tinggi maksimumnya, jangkauannya, dan [kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) saat mendarat.

**Solusi Latihan 11.4.**

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Puncaknya pada $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$, tingginya $7.71^2/(2 \times 9.81) =
3.0\,\mathrm{m}$. Jangkauannya $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$. Saat mendarat: $(9.19, -7.71)$, $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pada $40^\circ$ di bawah mendatar.

**Latihan 11.5 ★★.**

Seorang pesepeda pada $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ memasuki tikungan berjari-jari $25\,\mathrm{m}$ lalu mempercepat pada $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Berikan $\vect a$ dalam [basis Frenet](#def-b1-point-kinematics-frenet) dan normanya; bagaimana setelah $5\,\mathrm{s}$ dengan [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) yang sama pada tikungan yang sama?

**Solusi Latihan 11.5.**

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a =
4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Setelah $5\,\mathrm{s}$: $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $a_N = 225/25 =
9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Latihan 11.6 ★★.**

Sebuah titik menyusuri pilinan $r = b\theta$, $\theta = \omega t$ (dengan $b$, $\omega$ tetap). Hitunglah $\vect v$, kelajuannya, dan $\vect a$ dalam basis polarnya. Dari mana suku $2\dot r\dot\theta$ berasal?

**Solusi Latihan 11.6.**

$r = b\omega t$, $\dot r = b\omega$, $\ddot r = 0$, $\dot\theta = \omega$: $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$, $v = b\omega
\sqrt{1 + \omega^2t^2}$; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\,
\vect e_\theta$. Suku $2\dot r\dot\theta$ mempunyai dua paruh yang sama besar: arah [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) radialnya berputar dengan laju $\dot\theta$ (memberi $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$), dan bergerak ke luar memperbesar kelajuan ortoradialnya $r\dot\theta$ (satu $\dot r\dot\theta$ lagi).

**Latihan 11.7 ★★.**

Heliks: $R = 2.0\,\mathrm{m}$, $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Berapa kelajuan, [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity), kisar heliksnya, dan [jari-jari kelengkungannya](#def-b1-point-kinematics-frenet)?

**Solusi Latihan 11.7.**

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = R\omega^2 =
2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ke arah sumbunya; kisarnya $v_z \times 2\pi/\omega =
3.1\,\mathrm{m}$; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$.

**Latihan 11.8 ★★.**

Sebuah torak bergerak sebagai $x = 0.10\cos(10t)$ (SI). Berikan $v_{\max}$, $a_{\max}$, hubungan fase antara $x$, $v$, $a$, dan kedudukan tempat $\abs v$ dan $\abs a$ terbesar.

**Solusi Latihan 11.8.**

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v$ mendahului $x$ seperempat periode, dan $a = -\omega^2x$ berlawanan dengan $x$. $\abs v$ terbesar pada $x = 0$, $\abs a$ pada ujungnya $x = \pm A$.

**Latihan 11.9 ★★.**

Berangkat dari $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$, turunkan $\dd\vect e_r/\dd t$ dan $\dd\vect e_\theta/\dd t$, lalu [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) dan [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) polar [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**Solusi Latihan 11.9.**

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y)
= \dot\theta\,\vect e_\theta$; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\,
\vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$. Lalu $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$, dan dengan menurunkannya sekali lagi memakai kaidah hasil kali diperoleh [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**Latihan 11.10 ★★★.**

Untuk proyektil [Contoh 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile), carilah [jari-jari kelengkungan](#def-b1-point-kinematics-frenet) [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame) di puncaknya dan di titik tembaknya (pakailah komponen normal $\vect g$). Yang mana yang lebih kecil, dan mengapa?

**Solusi Latihan 11.10.**

Puncak: $v = v_0\cos\alpha$, $a_N = g$: $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$. Titik tembak: $v = v_0$, $a_N = g\cos\alpha$: $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$. Jari-jari di puncaknya lebih kecil dengan faktor $\cos^3\alpha$: parabolanya paling membengkok di tempat ia paling lambat dan di tempat seluruh $\vect g$ bersifat normal.

**Latihan 11.11 ★★★.**

Sebuah roda berjari-jari $R$ menggelinding tanpa tergelincir dengan laju $v$; sebuah titik pada peleknya berkoordinat $x = vt - R\sin(vt/R)$, $y = R - R\cos(vt/R)$ (sebuah sikloid). Hitunglah [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) dan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity); tunjukkan bahwa ketika ia menyentuh tanah [kecepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) lenyap dan [percepatannya](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v^2/R$ ke atas; lalu carilah kelajuannya di puncaknya.

**Solusi Latihan 11.11.**

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$, $\dot y = v\sin(vt/R)$; $\ddot x = (v^2/R)
\sin(vt/R)$, $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$. Di tanahnya ($vt/R = 2\pi n$): $\dot x = \dot y = 0$ dan $\vect a = (0, v^2/R)$, ke atas. Di puncaknya ($vt/R = \pi$): $\dot x = 2v$, $\dot y = 0$: kelajuannya $2v$.

**Latihan 11.12 ★★★.**

Seseorang berjalan ke luar menyusuri jari-jari sebuah meja putar yang berputar dengan $\omega$ tetap, dengan laju tetap $u$ relatif terhadap meja putarnya: $r = ut$, $\theta = \omega t$. Hitunglah $\vect a$ dalam basis polarnya, kenali kedua sukunya, lalu hitunglah keduanya untuk $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ pada $t = 2.0\,\mathrm{s}$. Suku mana yang tak berpadanan bagi orang yang berjalan di atas tanah?

**Solusi Latihan 11.12.**

$\ddot r = 0$, $\dot r = u$, $\dot\theta = \omega$: $\vect a = -ut\omega^2\,
\vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$. Pada $t = 2.0\,\mathrm{s}$: $-2.0\,\vect e_r
+ 2.0\,\vect e_\theta$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Yang pertama adalah suku sentripetal perputarannya; yang kedua, $2\dot r\dot\theta$, ada hanya karena arah radialnya sendiri berputar — di atas tanah, berjalan lurus dengan laju tetap sama sekali tak memberi [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity).

![Sebuah loop tegak (Yomiuriland, Tokyo): berbentuk tetes air mata dan bukan lingkaran, sehingga kelengkungannya terbesar di puncaknya tempat kelajuannya terkecil — geometri soal akhir pekan. Foto: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/img-427803100044.jpg)

*Sebuah loop tegak (Yomiuriland, Tokyo): berbentuk tetes air [mata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-eye) dan bukan lingkaran, sehingga kelengkungannya terbesar di puncaknya tempat kelajuannya terkecil — geometri soal akhir pekan. Foto: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.*

## 11.7 Soal: Loop kereta luncur

**Soal 11.1.**

Soal akhir pekan — sebuah kereta memasuki loop tegak pada sembilan puluh kilometer tiap jam: di mana ia melambat, ke mana percepatannya menunjuk, berapa $g$ yang dirasakan penumpangnya, dan mengapa loop modern bukan lingkaran

Sebuah kereta, yang diperlakukan sebagai titik $M$, berjalan pada loop melingkar tegak berjari-jari $R = 10\,\mathrm{m}$, berpusat $C$. Kedudukannya diberikan oleh sudut $\theta$ antara $\vect{CM}$ dan garis tegak ke bawah ($\theta =
0$ di dasarnya, $\pi$ di puncaknya). Gesekan diabaikan, dan hukum kelajuannya (diturunkan dalam [Bab 13](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#ch-b1-work-and-energy)) adalah

$$
v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),
$$

dengan $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sebagai kelajuan di dasarnya; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Bagian I — Kinematika pada lingkarannya.**

1. Dalam [koordinat polar](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) yang berpusat di $C$ (dengan $\vect e_r$ dari $C$ ke $M$ ), tuliskan $\vect v$ dan $\vect a$ bagi gerak pada lingkarannya.
2. Kenali vektor Frenet $\vect T$ dan $\vect N$ dalam $\vect e_r$ dan $\vect e_\theta$ , serta [jari-jari kelengkungannya](#def-b1-point-kinematics-frenet) .
3. Hitunglah kelajuannya di puncaknya, dan di titik sampingnya $\theta = \pi/2$ dan $3\pi/2$ .
4. Turunkan hukum kelajuannya terhadap waktu untuk menunjukkan bahwa [percepatan tangensialnya](#thm-b1-point-kinematics-frenet) $a_T = -g\sin\theta$ . Tafsirkan tandanya pada perjalanan naik dan pada perjalanan turun.
5. Nyatakan [percepatan normalnya](#thm-b1-point-kinematics-frenet) $a_N(\theta)$ lalu hitunglah di dasarnya, di sampingnya dan di puncaknya.
6. Berikan norma $\vect a$ pada keempat titik itu dan sudut yang dibentuknya dengan garis tegak di puncaknya.
7. Pada titik mana $\vect a$ tegak lurus terhadap $\vect v$ ? Sejajar?

**Bagian II — Laju sudut dan pewaktuannya.**

8. Nyatakan $\dot\theta$ sebagai fungsi $\theta$ lalu hitunglah di dasarnya dan di puncaknya.
9. Tunjukkan bahwa $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (persamaan sebuah bandul) lalu berikan komentar.
10. Sebagai pembanding, hitunglah periode osilasi kecil sebuah bandul sederhana sepanjang $R$ ( [Contoh 1.8](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#ex-b1-units-dimensions-pendulum) telah memberikan bentuknya; $k = 2\pi$ ).
11. Taksirlah waktu untuk mengelilingi loopnya, dengan memakai rata-rata kelajuan pada keempat titik acuannya.
12. Kelajuan minimum di puncaknya agar keretanya tetap pada [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame) (bab berikutnya) adalah $\sqrt{gR}$ . Apakah syarat itu terpenuhi? Berapa $v_0$ minimum yang diperlukan?

**Bagian III — Apa yang dirasakan penumpangnya.** Berat semu tiap satuan massa yang dirasakan seorang penumpang adalah $\vect a - \vect g$ (diterima saja di sini, diturunkan dalam [Bab 12](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#ch-b1-newton-dynamics)); normanya dalam satuan $g$ disebut “beban-$g$”.

13. Hitunglah beban- $g$ di dasarnya.
14. Hitunglah di puncaknya, lalu katakan ke arah mana penumpangnya tertekan (ke kursinya atau ke pengamannya).
15. Hitunglah di titik sampingnya.
16. Penumpang menoleransi sekitar $4g$ untuk waktu singkat. Apakah loop ini lolos? Di mana masalahnya?
17. Tunjukkan bahwa, untuk loop melingkar yang dimasuki tepat cukup cepat untuk melewati puncaknya (berat semunya nol di sana), beban- $g$ di dasarnya niscaya $6g$ , berapa pun $R$ -nya.

**Bagian IV — Loop klotoid.** Loop modern berbentuk “tetes air [mata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-eye)”: [jari-jari kelengkungannya](#def-b1-point-kinematics-frenet) besar di dasarnya dan kecil di puncaknya.

18. Dengan memakai bentuk Frenet $\vect a$ , jelaskan mengapa mengubah $\rho$ di sepanjang [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame) mengubah $a_N$ tanpa mengubah hukum kelajuannya (yang hanya bergantung pada ketinggiannya).
19. Pilihlah $\rho_{\text{dasar}}$ agar beban- $g$ di dasarnya $3g$ dengan $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
20. Di puncaknya, ketinggiannya tetap $2R = 20\,\mathrm{m}$ di atas dasarnya. Pilihlah $\rho_{\text{puncak}}$ agar beban- $g$ di sana $1.5g$ .
21. Sebuah klotoid berkelengkungan sebanding dengan panjang busurnya, $1/\rho = s/A^2$ . Menyusuri jalan masuk semacam itu, dengan kelajuan yang nyaris tetap, bagaimana $a_N$ tumbuh terhadap waktu, dan mengapa hal itu lebih lembut bagi leher daripada lingkaran (yang $a_N$ -nya melompat di jalan masuknya)?
22. Sketsalah bentuk loop yang dihasilkannya secara kualitatif lalu ringkaslah dalam dua kalimat mengapa ia menggantikan lingkarannya.

**Bagian V — Dilihat dari tanah.** Sebuah [kamera](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-camera) setinggi tanah, $50\,\mathrm{m}$ dari pusat loopnya pada bidangnya, mengikuti keretanya.

23. Ketika keretanya berada di puncaknya, bergerak mendatar pada $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , dengan laju sudut berapa (rad/s) [kameranya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-camera) harus berputar? ( [Koordinat polar](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) dari [kameranya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-camera) .)
24. Mengapa [kamera](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-camera) yang berputar dengan laju tetap merupakan pengikut yang buruk bagi [gerak melingkar](#cor-b1-point-kinematics-circular) beraturan?
25. Ringkaslah pelajaran bab ini dari loopnya: sistem koordinat mana yang menjawab pertanyaan yang mana.

**Solusi Soal 11.1.**

**1.** $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$; $\vect a = -R\dot\theta^2
\,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$.

**2.** $\vect T = \vect e_\theta$ (gerak dengan $\theta$ yang menaik), $\vect N = -\vect e_r$ (ke arah $C$), $\rho = R$.

**3.** Puncak: $v^2 = 625 - 392 = 233$, $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Samping: $625 - 196 = 429$, $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**4.** $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ dan $v = R\dot\theta$: $\dot v = -g\sin\theta$. Negatif untuk $0 < \theta < \pi$ (melambat pada perjalanan naik), positif pada perjalanan turun.

**5.** $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$: dasarnya $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; sampingnya $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; puncaknya $62.5 -
39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**6.** Dasar: $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (tanpa bagian tangensial); samping: $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; puncak: $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, menunjuk lurus ke bawah ke arah $C$: sudutnya $0$ dengan garis tegaknya.

**7.** Tegak lurus di dasarnya dan di puncaknya ($a_T = 0$); tak pernah sejajar ($a_N > 0$ di mana-mana).

**8.** $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$: dasarnya $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, puncaknya $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**9.** $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$: persamaan bandul sederhana sepanjang $R$ — keretanya di atas [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame) adalah bandulan yang melewati puncaknya.

**10.** $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$.

**11.** Rata-rata $25$, $20.7$, $15.3$, $20.7$: sekitar $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; panjangnya $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$: kira-kira $3\,\mathrm{s}$.

**12.** $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$: ya. Minimumnya: $v_0^2 \geq
gR + 4gR = 5gR = 490$, $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**13.** Dasar: $\vect a = 62.5$ ke atas, $\vect g$ ke bawah: $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$.

**14.** Puncak: keduanya ke bawah, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$, yang menekan penumpangnya ke kursinya (ke arah pusatnya, yaitu ke atas bagi penumpang yang terbalik).

**15.** Samping: $\vect a = 42.9$ mendatar ke arah $C$ ditambah $9.8$ ke bawah (tangensial); $\vect a - \vect g$ adalah $42.9$ mendatar: $4.4g$ ke samping, ke arah pusatnya.

**16.** Tak lolos: $7.4g$ di dasarnya (puncak dan sampingnya baik-baik saja).

**17.** Berat semunya nol di puncaknya: $v_{\text{puncak}}^2 = gR$; lalu $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$, $a_N = 5g$ di dasarnya dan bebannya $5g + g = 6g$, bebas dari $R$.

**18.** $a_N = v^2/\rho$: $v$ ditetapkan oleh ketinggiannya (energi), $\rho$ oleh geometri [lintasannya](#def-b1-point-kinematics-frame); $\rho$ yang berbeda pada ketinggian yang sama mengubah $a_N$ saja.

**19.** $a_N + g = 3g$: $a_N = 2g$, $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 =
32\,\mathrm{m}$.

**20.** $v_{\text{puncak}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_N - g = 1.5g$: $a_N =
24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$.

**21.** $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$: ia tumbuh linear dari nol — laju perubahan [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) yang tetap — alih-alih melompat dari $0$ ke $v^2/R$ di jalan masuk sebuah lingkaran, yang dirasakan leher sebagai sebuah pukulan.

**22.** Sebuah tetes air [mata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-eye): lebar dan melengkung landai di dasarnya tempat keretanya cepat, sempit di puncaknya tempat ia lambat. Ia menjaga bebannya di dekat $3g$ di sepanjangnya dan mendatangkannya secara berangsur.

**23.** Garis pandangnya: jarak mendatar $50\,\mathrm{m}$, tinggi $20\,\mathrm{m}$: $r = 53.9\,\mathrm{m}$, sudut ketinggiannya $\beta = 21.8^\circ$. Komponen melintang [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) mendatarnya adalah $v\sin\beta = 15 \times
0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**24.** Dilihat dari titik yang tak sepusat, laju sudut garis pandangnya tidak tetap (cepat ketika keretanya dekat, lambat ketika jauh): [kamera](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-camera) berlaju tetap akan hanyut meninggalkan keretanya.

**25.** [Koordinat polar](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) di $C$ untuk [kecepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) dan [percepatan](#def-b1-point-kinematics-velocity) pada lingkarannya; pemisahan Frenet untuk “mempercepat” lawan “berbelok” dan untuk klotoidnya; [koordinat polar](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) di [kameranya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-camera) untuk laju pengikutannya; energi (bab berikutnya) untuk hukum kelajuannya.