---
title: "Hukum Dinamika Newton"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton
---

# Bab 12 — Hukum Dinamika Newton

Seorang penerjun payung melangkah keluar dari pesawatnya dan, dalam belasan sekon, berhenti mengalami percepatan: pada dua ratus kilometer tiap jam udara mendorong balik sekuat tarikan Bumi. Sebuah mobil mengambil tikungan terlalu cepat dan bannya menyerah; sebuah truk di jalan gunung merangkak pada gigi rendah, ditahan oleh gesekan yang sama yang memungkinkannya berhenti di jalan datar. Kinematika menggambarkan gerak; dinamika menjelaskannya, dari satu hukum yang menghubungkan percepatan sebuah benda dengan [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) yang bekerja padanya. Bab ini menyatakan ketiga [hukum Newton](#thm-b1-newton-dynamics-laws), mendaftar [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) yang ditemui pada tingkat volume ini — berat, pegas, tali, sentuhan, [gesekan kering](#prop-b1-newton-dynamics-friction) dan fluida — lalu memperlihatkan cara berjalan dari gambar [gayanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) ke sebuah persamaan diferensial dan penyelesaiannya.

![Stasiun Luar Angkasa Internasional yang terlihat dari pesawat ulang-alik yang meninggalkannya (NASA): segala sesuatu di dalamnya jatuh bebas bersama-sama, dan itulah sebabnya tak ada apa pun di dalamnya yang tampak mempunyai berat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/img-58b3db574027.jpg)

*Stasiun Luar Angkasa Internasional yang terlihat dari pesawat ulang-alik yang meninggalkannya (NASA): segala sesuatu di dalamnya jatuh bebas bersama-sama, dan itulah sebabnya tak ada apa pun di dalamnya yang tampak mempunyai berat.*

## 12.1 Massa, momentum, dan ketiga hukumnya

**Definisi 12.1 (Massa, momentum, gaya).**

Sebuah [partikel titik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) mempunyai *massa inersia* $m > 0$ (kilogram), yaitu ukuran perlawanannya terhadap perubahan kecepatan, yang bebas dari kerangkanya. *Momentum*nya dalam sebuah kerangka adalah

$$
\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).
$$

Sebuah *gaya* $\vect F$ (newton) adalah tindakan benda lain terhadap partikelnya; gaya berjumlah sebagai vektor, dan *resultan*nya adalah jumlahnya $\sum\vect F$.

**Teorema 12.2 (Hukum Newton).**

1. *Asas kelembaman.* Ada kerangka, yang disebut *inersial* (atau Galilei), yang di dalamnya partikel yang tak dikenai [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) , atau dikenai [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) yang resultannya nol, bergerak lurus dengan kecepatan tetap. Sebarang kerangka yang bertranslasi lurus beraturan terhadap [kerangka inersial](#thm-b1-newton-dynamics-laws) juga bersifat inersial.
2. *Hukum [momentum](#def-b1-newton-dynamics-momentum).* Dalam [kerangka inersial](#thm-b1-newton-dynamics-laws), $$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{yaitu}\qquad  m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ untuk massa tetap } m .$$
3. *[Aksi dan reaksi](#thm-b1-newton-dynamics-laws).* Jika benda $A$ mengerahkan $\vect F_{A\to B}$ pada benda $B$ , maka $B$ mengerahkan $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ pada $A$ , menyusuri garis yang menghubungkan keduanya.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 12.3 (Apa yang dikatakan hukum-hukum itu).**

Hukum pertamanya bukan kasus khusus hukum kedua: ia *mendefinisikan* kerangka yang di dalamnya hukum kedua berlaku. Dalam praktik, sebuah laboratorium di Bumi bersifat inersial dengan ketelitian yang sangat baik bagi percobaan yang berlangsung beberapa menit ([Bab 18](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/18-kerangka-tak-inersial-dinamika-di-bumi#ch-b1-non-inertial-frames) mengukur galatnya); kerangka yang melekat pada Matahari dan bintang jauh lebih baik lagi. Hukum keduanya adalah persamaan vektor: tiga persamaan skalar, satu tiap sumbu, dan pemilihan sumbunya ([Bab 11](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#ch-b1-point-kinematics)) adalah keputusan pertama setiap soal. Hukum ketiganya berlaku pada tiap saat bagi [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) sentuh dan [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) gravitasi volume ini.

**Definisi 12.4 (Sistem tertutup; kekekalan momentum).**

*Sistem tertutup* tidak bertukar materi dengan luarnya. Untuk sistem partikel, [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) dalamnya saling meniadakan berpasangan (hukum ketiga), dan [momentum](#def-b1-newton-dynamics-momentum) totalnya $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ menuruti $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$: ia kekal ketika [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) luarnya lenyap ([Bab 19](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/19-sistem-titik-pengantar-benda-tegar#ch-b1-systems-of-points) mengembangkannya).

## 12.2 Gaya-gaya yang lazim

**Proposisi 12.5 (Berat dan gravitasi).**

Di dekat permukaan Bumi, benda bermassa $m$ ditarik oleh *berat*nya $\vect P = m\vect g$, dengan $\vect g$ sebagai [medan gravitasi](#prop-b1-newton-dynamics-weight) setempat, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, yang terarah ke bawah (ke pusatnya, nyaris tepat). Secara lebih umum, [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $M$ pada jarak $r$ menarik $m$ dengan $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ ([Bab 16](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#ch-b1-central-forces)); di permukaan sebuah bola berjari-jari $R$, $g = GM/R^2$. Perhatikan satuannya: $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ dan $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ adalah sama, dan itulah sebabnya semua benda jatuh dengan cara yang sama.

**Bukti.** Hukum gravitasi Newton diterima saja di sini dan digali dalam [Bab 16](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#ch-b1-central-forces); $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times
5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. ∎

**Proposisi 12.6 (Pegas; tali).**

Sebuah pegas ideal berkekakuan $k$ dan berpanjang alami $\ell_0$, yang teregang sampai panjang $\ell$ menyusuri vektor satuan $\vect u$ yang menunjuk dari ujung tetapnya ke bendanya, mengerahkan pada bendanya *[gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) pemulih*

$$
\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{hukum Hooke}),
$$

ke arah panjang alaminya. Tali ideal (tak bermassa, tak dapat memanjang) mengerahkan *tegangan* $\vect T$ menyusuri dirinya sendiri, yang menarik, dengan besar yang sama pada kedua ujungnya dan di sepanjangnya (bahkan melalui katrol tak bermassa tanpa gesekan).

**Bukti.** [Hukum Hooke](#prop-b1-newton-dynamics-springstring) adalah model empiris yang berlaku untuk perubahan bentuk yang kecil. Talinya: elemen tak bermassa menuruti $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ dari hukum kedua Newton, sehingga tegangannya diteruskan tanpa berubah. ∎

**Proposisi 12.7 (Gaya sentuh: reaksi normal dan gesekan kering).**

Permukaan padat mengerahkan pada benda yang menyentuhnya sebuah *[reaksi normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction)* $\vect N$, yang tegak lurus permukaannya dan menolak ($N \geq 0$: permukaan tak dapat menarik), dan sebuah *[gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) gesek* tangensial $\vect T$. Hukum Coulomb: jika bendanya tidak tergelincir, $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (gesekan *statis* menyesuaikan diri dengan apa yang diperlukan, sampai batas itu); jika ia tergelincir dengan kecepatan $\vect v_g$ relatif terhadap permukaannya, $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (gesekan *kinetis*, yang melawan gelincirannya), dengan $\mu_d \leq \mu_s$ berupa koefisien berorde $0.1$ sampai $1$ bergantung pada bahannya, bebas dari luas sentuhnya dan dari kelajuannya.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Kiri: gaya-gaya pada sebuah balok di bidang miring — berat, reaksi normal, gesekan menyusuri permukaannya — beserta sumbu alaminya. Kanan: hukum Coulomb: ketika diam, gesekannya mengimbangi gaya terapannya sampai _sN; begitu gelincirannya mulai, ia jatuh ke _dN dan tinggal di sana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-73cfb08faca4.svg)

![Kiri: gaya-gaya pada sebuah balok di bidang miring — berat, reaksi normal, gesekan menyusuri permukaannya — beserta sumbu alaminya. Kanan: hukum Coulomb: ketika diam, gesekannya mengimbangi gaya terapannya sampai _sN; begitu gelincirannya mulai, ia jatuh ke _dN dan tinggal di sana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-5311bca6f0d0.svg)

*Kiri: [gaya-gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) pada sebuah balok di bidang miring — berat, [reaksi normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction), gesekan menyusuri permukaannya — beserta sumbu alaminya. Kanan: hukum Coulomb: ketika diam, gesekannya mengimbangi [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) terapannya sampai $\mu_sN$; begitu gelincirannya mulai, ia jatuh ke $\mu_dN$ dan tinggal di sana.*

**Proposisi 12.8 (Gesekan fluida).**

Benda yang bergerak dengan kecepatan $\vect v$ menembus fluida yang diam merasakan *[gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag)* yang berlawanan dengan $\vect v$: pada laju rendah (benda kecil, fluida kental) ia linear, $\vect F = -\alpha\vect v$ — untuk bola berjari-jari $r$ dalam fluida berkekentalan $\eta$, $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes); pada laju tinggi (benda besar dan cepat di udara atau air) ia kuadratik,

$$
\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,
$$

dengan $\rho$ [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) jenis fluidanya, $S$ penampang lintang bendanya yang menghadap alirannya dan $C_x$ sebuah *koefisien hambat* [tak berdimensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#def-b1-units-dimensions-dimension) ($0.5$ untuk bola, $0.3$ untuk mobil, $1$ untuk cakram datar). Bilangan Reynolds $\rho vL/\eta$ ([Catatan 1.10](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#rem-b1-units-dimensions-pi)) yang memutuskan: linear di bawah $1$, kuadratik di atas kira-kira $1000$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 12.9 (Gaya lainnya).**

[Gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) apung (Archimedes) adalah resultan [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) tekanan, yang diturunkan dalam [Bab 21](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/21-statika-fluida#ch-b1-fluid-statics); [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) listrik dan [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) magnetik pada sebuah muatan adalah pokok bahasan [Bab 17](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/17-partikel-bermuatan-dalam-medan-e-dan-b#ch-b1-charged-particles). Semua [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) bab ini adalah *model* interaksi sentuh atau medan, yang berlaku dalam batas yang dinyatakan — pegas Hooke patah, gesekan Coulomb gagal pada tekanan tinggi, [gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag) Stokes gagal pada laju tinggi. Bagian dari setiap penyelesaian adalah memeriksa bahwa model yang dipakai memang berlaku.

## 12.3 Menyelesaikan sebuah soal dinamika

**Metode 12.10 (Dari situasinya ke persamaannya).**

1. *Sistem* : sebutkan benda yang diperlakukan sebagai titik.
2. *Kerangka* : sebutkan kerangkanya lalu periksa bahwa ia inersial (atau perlakukan demikian sampai ketelitian yang diminta).
3. *[Gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum)* : daftarkan setiap benda yang menyentuh atau menarik sistemnya, lalu lukiskan tiap [gayanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) pada sebuah gambar (diagram benda bebas); tak ada yang lain yang masuk.
4. *Koordinat* : pilihlah sumbu yang cocok dengan geraknya ( [Metode 11.18](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#met-b1-point-kinematics-choose) ) lalu nyatakan $\vect a$ .
5. *Proyeksikan* $m\vect a = \sum\vect F$ pada sumbunya; pakailah kendalanya (benda di atas permukaan tetap di atasnya: $a_\perp = 0$ ; tali berpanjang tetap: kelajuannya sama pada kedua ujungnya).
6. *Selesaikan* lalu *periksalah* : dimensinya, kasus batasnya, tandanya ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ bila diam).

**Contoh 12.11 (Balok di bidang miring).**

Balok bermassa $m$ pada bidang yang miring sebesar $\alpha$, dengan koefisien $\mu_s$, $\mu_d$. Sumbunya: $x$ menuruni lerengnya, $y$ menyusuri normalnya. Berat $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$, reaksi $(0, N)$, gesekan $(-T, 0)$ bila ia tergelincir turun. Menyusuri $y$: $N = mg\cos\alpha$. Ketika diam, menyusuri $x$: $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$, yaitu $\tan\alpha
\leq \mu_s$: baloknya bertahan sampai sudut $\arctan\mu_s$ — sebuah pengukuran $\mu_s$ yang tak memerlukan neraca. Ketika tergelincir: $ma = mg\sin\alpha -
\mu_dmg\cos\alpha$, sehingga $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$, bebas dari $m$: $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ untuk $\alpha = 30^\circ$, $\mu_d = 0.2$.

**Contoh 12.12 (Bandul sederhana).**

[Massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ pada tali sepanjang $\ell$, bersudut $\theta$ dari garis tegak ke bawah. [Koordinat polar](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-cylindrical) di titik gantungnya: $\vect a =
-\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$; [gayanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum): berat $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ dan tegangan $-T\vect e_r$. Menyusuri $\vect e_\theta$: $m\ell\ddot\theta =
-mg\sin\theta$,

$$
\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,
$$

yang untuk sudut kecil ($\sin\theta \approx \theta$) menjadi persamaan harmonik dengan $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$: periodenya $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, yaitu $k = 2\pi$ yang tak dapat dipasok [Contoh 1.8](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#ex-b1-units-dimensions-pendulum). Menyusuri $\vect e_r$: $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — talinya menarik paling kuat di dasarnya, tempat kelajuannya terbesar.

![Kiri: bandul sederhana, kedua gayanya dan basis polar yang dipakai untuk memproyeksikan hukum Newton. Kanan: benda yang jatuh dari keadaan diam di bawah beratnya dan sebuah gaya hambat: kelajuannya mendekati laju terminal v_∈fty, secara eksponensial untuk hambat linear (= m/), dan sebagai tangen hiperbolik untuk hambat kuadratik (= v_∈fty/g).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-42aff5404e26.svg)

![Kiri: bandul sederhana, kedua gayanya dan basis polar yang dipakai untuk memproyeksikan hukum Newton. Kanan: benda yang jatuh dari keadaan diam di bawah beratnya dan sebuah gaya hambat: kelajuannya mendekati laju terminal v_∈fty, secara eksponensial untuk hambat linear (= m/), dan sebagai tangen hiperbolik untuk hambat kuadratik (= v_∈fty/g).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-177c46f7573c.svg)

*Kiri: [bandul sederhana](#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), kedua [gayanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) dan basis polar yang dipakai untuk memproyeksikan [hukum Newton](#thm-b1-newton-dynamics-laws). Kanan: benda yang jatuh dari keadaan diam di bawah beratnya dan sebuah [gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag): kelajuannya mendekati [laju terminal](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_\infty$, secara eksponensial untuk hambat linear ($\tau = m/\alpha$), dan sebagai tangen hiperbolik untuk hambat kuadratik ($\tau = v_\infty/g$).*

**Proposisi 12.13 (Jatuh dengan gaya hambat; laju terminal).**

Benda bermassa $m$ yang jatuh dari keadaan diam di bawah beratnya dan sebuah [gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag) mencapai *[laju terminal](#prop-b1-newton-dynamics-terminal)* tempat keduanya mengimbangi. Hambat linear: $m\dot v = mg - \alpha v$, $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ dengan $v_\infty = mg/\alpha$, $\tau = m/\alpha$. Hambat kuadratik: $m\dot v = mg -
\tfrac12\rho C_xSv^2$, $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ dengan

$$
v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .
$$

**Bukti.** Linear: persamaan orde pertama, $\tau\dot v + v = v_\infty$ ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/7-rezim-peralihan-orde-pertama-dan-orde-kedua#thm-b1-transient-regimes-firstorder)). Kuadratik: dengan $u = v/v_\infty$, $\dot u = (1 - u^2)/\tau$; dengan memisahkan variabelnya, $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (pecahan rasional $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ terintegral menjadi $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$), sehingga $u = \tanh(t/\tau)$. ∎

**Contoh 12.14 (Dua laju terminal).**

Seorang penerjun payung, $m = 80\,\mathrm{kg}$, tengkurap, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ di udara ($\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2
\times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, yang dicapai (sampai $90\%$) dalam kira-kira $1.5\tau =
6\,\mathrm{s}$. Sebuah tetes kabut, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, dalam rezim Stokes ($\eta_{\text{udara}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$): $v_\infty = mg/6\pi\eta r =
1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — dan itulah sebabnya kabut menggantung di udara.

## 12.4 Gerak pada lingkaran: gaya kendala

**Proposisi 12.15 (Tuntutan sentripetal).**

Partikel yang bergerak pada lingkaran berjari-jari $R$ dengan laju $v$ harus menerima dari resultan [gayanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) sebuah komponen $mv^2/R$ yang terarah ke pusatnya. Apa pun yang memasoknya — tegangan sebuah tali, gesekan, reaksi jalan yang miring, gravitasi — menetapkan laju maksimum atau laju minimum yang membuat geraknya mungkin.

**Bukti.** Hukum kedua Newton dengan percepatan Frenet: komponen normal $\sum\vect F$ sama dengan $mv^2/\rho$. ∎

**Contoh 12.16 (Tiga lingkaran).**

*Tikungan datar*: gesekannya harus memasok $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$, sehingga $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$: $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ untuk $R = 50\,\mathrm{m}$, $\mu_s = 0.8$. *Tikungan miring* bersudut $\beta$, tanpa gesekan: reaksi $\vect N$ tegak lurus jalannya; secara tegak $N\cos\beta = mg$, secara mendatar $N\sin\beta = mv^2/R$, sehingga $v^2 = gR\tan\beta$ — satu-satunya laju yang membuat tikungan itu dapat diambil tanpa gesekan sama sekali. *Loop*: di puncaknya, dengan $\vect N$ menunjuk ke bawah ke arah pusatnya, $N + mg =
mv^2/R$, dan $N \geq 0$ menuntut $v \geq \sqrt{gR}$: di bawah itu, keretanya meninggalkan [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) ([Soal 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#pb-b1-point-kinematics-1) lagi, kini dijelaskan).

![Sebuah tikungan miring dilihat pada penampang lintangnya: tanpa gesekan, reaksi normal jalannya harus sekaligus menahan mobilnya dan mendorongnya ke arah pusatnya; komponen mendatarnya N memasok mv2/R, yang terjadi tepat pada satu laju, v = √gR.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-2373cc264dba.svg)

*Sebuah tikungan miring dilihat pada penampang lintangnya: tanpa gesekan, [reaksi normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction) jalannya harus sekaligus menahan mobilnya dan mendorongnya ke arah pusatnya; komponen mendatarnya $N\sin\beta$ memasok $mv^2/R$, yang terjadi tepat pada satu laju, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$.*

## 12.5 Latihan

**Latihan 12.1 ★.**

Seseorang bermassa $70\,\mathrm{kg}$ berdiri di atas timbangan di dalam sebuah lift. Berapa yang terbaca pada timbangannya (dalam newton dan dalam “kilogram”) ketika liftnya mempercepat ke atas pada $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, ke bawah pada $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, bergerak dengan kecepatan tetap, dan jatuh bebas?

**Solusi Latihan 12.1.**

Bacaan timbangannya $N = m(g + a)$ dengan $a$ percepatan ke atasnya: ke atas, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (“$84\,\mathrm{kg}$”); ke bawah, $70 \times 7.81 =
547\,\mathrm{N}$ (“$56\,\mathrm{kg}$”); kecepatan tetap, $687\,\mathrm{N}$ ($70\,\mathrm{kg}$); jatuh bebas, $0$.

**Latihan 12.2 ★.**

Sebuah balok $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ di atas meja tanpa gesekan diikat dengan tali lewat katrol tanpa gesekan ke [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) gantung $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. Carilah percepatan dan tegangannya.

**Solusi Latihan 12.2.**

Percepatan $a$ yang sama bagi keduanya (tali tak dapat memanjang): $m_1a = T$, $m_2a = m_2g - T$, sehingga $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$.

**Latihan 12.3 ★.**

Sebuah balok tergelincir menuruni bidang miring $30^\circ$ dengan $\mu_d = 0.20$. Hitunglah percepatannya dan kelajuannya setelah $5.0\,\mathrm{m}$ dari keadaan diam. Apakah jawabannya bergantung pada [massanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum)?

**Solusi Latihan 12.3.**

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tak ada [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) yang terlihat.

**Latihan 12.4 ★.**

Sebuah [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $0.50\,\mathrm{kg}$ tergantung pada pegas berkekakuan $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Carilah pertambahan panjang statisnya; lalu [frekuensi sudut](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) dan periode osilasi tegaknya di sekitar kesetimbangannya (tunjukkan bahwa persamaan geraknya harmonik).

**Solusi Latihan 12.4.**

$k\Delta\ell = mg$: $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$. Dengan $x$ sebagai simpangan dari kesetimbangannya, $m\ddot x = -kx$ (beratnya dan regangan statisnya saling meniadakan): $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 0.31\,\mathrm{s}$.

**Latihan 12.5 ★★.**

Sebuah peti duduk di atas landasan yang dimiringkan; ia mulai tergelincir pada $22^\circ$. Carilah $\mu_s$. Sebuah mobil di jalan datar dengan $\mu_s = 0.80$: berapa laju maksimumnya di tikungan berjari-jari $50\,\mathrm{m}$, dan di jalan basah dengan $\mu_s = 0.40$?

**Solusi Latihan 12.5.**

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$. Tikungan: $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$: $\sqrt{0.8
\times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$); ketika basah, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**Latihan 12.6 ★★.**

[Laju terminal](#prop-b1-newton-dynamics-terminal): seorang penerjun payung ($m = 80\,\mathrm{kg}$, $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$, $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); sebuah tetes kabut berjari-jari $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ di udara ($\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$), memakai [hukum Stokes](#prop-b1-newton-dynamics-drag). Periksalah dengan bilangan Reynolds bahwa tiap rezimnya memang yang tepat.

**Solusi Latihan 12.6.**

Penerjun payung: $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5}
\approx 10^6$: kuadratik. Tetes kabut: $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$, $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$: linear.

**Latihan 12.7 ★★.**

Sebuah bandul sepanjang $\ell$ dilepaskan dari keadaan diam pada $\theta_0 = 60^\circ$. Diketahui bahwa kelajuannya di dasarnya adalah $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ (energi, bab berikutnya), carilah tegangan talinya di dasarnya dalam satuan $mg$, dan di titik pelepasannya.

**Solusi Latihan 12.7.**

Dasar: $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$; $T = mg + mv^2/\ell =
2mg$. Titik pelepasannya: $v = 0$, $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$.

**Latihan 12.8 ★★.**

Sebuah tikungan berjari-jari $200\,\mathrm{m}$ dimiringkan sebesar $15^\circ$. Pada laju berapa ia dapat diambil tanpa gesekan sama sekali? Apa yang harus dilakukan gesekannya pada laju yang lebih rendah dan yang lebih tinggi?

**Solusi Latihan 12.8.**

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Lebih lambat: mobilnya cenderung tergelincir menuruni kemiringannya, gesekannya harus menunjuk mendaki; lebih cepat: gesekannya menunjuk menurun untuk menambah [gaya sentripetalnya](#prop-b1-newton-dynamics-centripetal).

**Latihan 12.9 ★★.**

Bandul kerucut: sebuah [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) pada tali sepanjang $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ menggambarkan lingkaran mendatar, dengan talinya membentuk $30^\circ$ terhadap garis tegak. Carilah [kecepatan sudutnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#cor-b1-point-kinematics-circular), periodenya dan tegangannya (dalam satuan $mg$).

**Solusi Latihan 12.9.**

$T\cos\alpha = mg$, $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$: $\omega =
\sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, periodenya $1.9\,\mathrm{s}$; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$.

**Latihan 12.10 ★★★.**

Sebuah mobil $1000\,\mathrm{kg}$ mencapai $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dari keadaan diam dalam $8.0\,\mathrm{s}$ dengan percepatan tetap. Carilah [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) resultannya, dan [koefisien gesek](#prop-b1-newton-dynamics-friction) minimum antara ban penggeraknya dan jalannya jika roda penggeraknya memikul seluruh beratnya. Apa yang membatasi mobil sport di jalan basah?

**Solusi Latihan 12.10.**

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $F = 3.5\,\mathrm{kN}$; $F \leq \mu_smg$ memberi $\mu_s \geq a/g = 0.35$. Di jalan basah $\mu_s \approx 0.4$ membatasi percepatannya di dekat $0.4g$ berapa pun mesinnya: cengkeraman, bukan tenaga.

**Latihan 12.11 ★★★.**

Sebuah benda jatuh dari keadaan diam dengan [gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag) linear, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$. Tuliskan $v(t)$ lalu turunkan jarak jatuhnya $z(t)$; hitunglah $v_\infty$, dan $z$ setelah $2.0\,\mathrm{s}$; bandingkan dengan jatuh bebas.

**Solusi Latihan 12.11.**

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$, $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$. Pada $2.0\,\mathrm{s}$: $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$, terhadap $\tfrac12 gt^2
= 20\,\mathrm{m}$ di hampa.

**Latihan 12.12 ★★★.**

Sebuah kereta bermassa $m$ berjalan di sisi dalam loop melingkar tegak berjari-jari $R$ ([Soal 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#pb-b1-point-kinematics-1)). Nyatakan [reaksi normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction) [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) sebagai fungsi sudut $\theta$ dari dasarnya dan kelajuannya $v(\theta)$; simpulkan laju minimum di puncaknya; dengan memakai $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$, carilah laju masuk minimum dan reaksinya di dasarnya pada kasus itu.

**Solusi Latihan 12.12.**

Proyeksi radial (ke arah pusatnya): $N - mg\cos\theta = mv^2/R$, sehingga $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$. Puncak ($\theta = \pi$): $N = m(v^2/R - g)
\geq 0$ jika dan hanya jika $v \geq \sqrt{gR}$. Dengan hukum kelajuannya, $v_{\text{puncak}}^2 =
v_0^2 - 4gR \geq gR$: $v_0 \geq \sqrt{5gR}$; lalu di dasarnya $N =
m(5g + g) = 6mg$.

![Jatuh bebas dengan udara: setelah beberapa sekon gaya hambat kuadratiknya mengimbangi beratnya dan penerjunnya jatuh dengan laju terminal mendekati 200\, km/ h — soal akhir pekan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/img-56eb68ace300.jpg)

*Jatuh bebas dengan udara: setelah beberapa sekon [gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag) kuadratiknya mengimbangi beratnya dan penerjunnya jatuh dengan [laju terminal](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) mendekati $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — soal akhir pekan.*

## 12.6 Soal: Sang penerjun payung

**Soal 12.1.**

Soal akhir pekan — dari pintu pesawat sampai ke tanah: jatuh bebas, udara yang mendorong balik, payung yang terbuka terlalu cepat, dan pendaratannya — satu hukum gerak, dua hukum hambat

Seorang penerjun payung beserta perlengkapannya bermassa $m = 80\,\mathrm{kg}$. Udara: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Ketika jatuh tengkurap, $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$; di bawah payung terbuka, $C_xS =
25\,\mathrm{m}^{2}$. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $z$ dihitung ke bawah dari titik terjunnya.

**Bagian I — Tanpa udara.**

1. Tuliskan hukum kedua Newton lalu berikan $v(t)$ dan $z(t)$ ; hitunglah keduanya pada $t = 10\,\mathrm{s}$ .
2. Hitunglah beratnya.
3. Penerjunnya merasa “tanpa berat” selama tahap ini walaupun gravitasi bekerja sepenuhnya. Jelaskan dengan [gayanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) (apa yang hilang dibandingkan dengan berdiri di atas tanah).
4. Apakah kerangka Bumi cukup inersial bagi soal ini? Sebutkan apa yang diabaikan.

**Bagian II — Jatuh menembus udara.**

5. Tuliskan [gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag) untuk jatuh tengkurap sebagai fungsi $v$ .
6. Tuliskan persamaan gerak untuk $v(t)$ .
7. Carilah [laju terminalnya](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_\infty$ (dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
8. Dengan $u = v/v_\infty$ dan $\tau = v_\infty/g$ , tunjukkan bahwa $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; lalu hitunglah $\tau$ .
9. Selesaikan dengan pemisahan variabel lalu tunjukkan bahwa $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
10. Setelah berapa lama $v = 0.9v_\infty$ ? $0.99v_\infty$ ?
11. Tunjukkan bahwa $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ lalu hitunglah jarak jatuhnya pada $t = 10\,\mathrm{s}$ ; bandingkan dengan Bagian I.
12. Taksirlah bilangan Reynolds pada $v_\infty$ dengan $L = 0.5\,\mathrm{m}$ lalu benarkan hukum kuadratiknya.

**Bagian III — Payungnya terbuka.**

13. Hitunglah [laju terminal](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) yang baru di bawah payung yang terbuka.
14. Jika payungnya terbuka seketika pada $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , berapa perlambatannya, dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ dan dalam $g$ ? Mengapa hal ini tak dapat diterima?
15. Payung sungguhan terbuka dalam sekitar $3\,\mathrm{s}$ . Taksirlah perlambatan rata-ratanya dan [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) rata-rata tali pengikatnya pada penerjunnya.
16. Begitu payungnya terbuka penuh, kelajuannya meluruh menuju $v_\infty$ yang baru: berapa [tetapan waktunya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/7-rezim-peralihan-orde-pertama-dan-orde-kedua#def-b1-transient-regimes-firstorder) yang baru $\tau' = v_\infty'/g$ , dan apa artinya bagi pendekatan ke penurunan yang tunak?
17. Dalam penurunan yang tunak, berapa [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) tali pengikatnya? Berikan alasan dengan hukum kedua.
18. Jelaskan mengapa [laju terminalnya](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) berubah sebagai $1/\sqrt{C_xS}$ : dengan faktor berapa payung yang luasnya separuh akan menaikkannya?
19. Seorang penerjun yang lebih berat ( $100\,\mathrm{kg}$ ) di bawah payung yang sama: berapa [laju terminalnya](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) ?

**Bagian IV — Pendaratan.**

20. Laju mendaratnya adalah $v_\infty$ payungnya. Dari ketinggian berapa orang harus melompat, tanpa udara, untuk membentur tanah dengan laju itu?
21. Pendaratan berkaki kaku menghentikan tubuhnya sepanjang $0.5\,\mathrm{m}$ ; berguling sepanjang $1.5\,\mathrm{m}$ . Taksirlah perlambatan rata-ratanya (dalam $g$ ) dan [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) rata-rata pada kakinya pada tiap kasus, lalu simpulkan.
22. Tepat sebelum menyentuh tanah, penerjunnya menarik kedua tali kendalinya, yang sesaat memperbesar [gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag) payungnya. Jelaskan secara kualitatif pengaruhnya pada kelajuannya.

**Bagian V — Benda kecil jatuh secara berbeda.**

23. Sebuah tetes hujan berjari-jari $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ): hitunglah [laju terminalnya](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) dengan hukum kuadratiknya, lalu periksalah bilangan Reynoldsnya.
24. Sebuah tetes kabut berjari-jari $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : pakailah [hukum Stokes](#prop-b1-newton-dynamics-drag) untuk $v_\infty$ lalu periksalah bahwa bilangan Reynoldsnya memang kecil.
25. Ringkaslah: satu persamaan gerak, dua rezim hambat, dan ketiga angka ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) yang memutuskan apakah sesuatu jatuh seperti batu, seperti daun, atau tidak jatuh sama sekali.

**Solusi Soal 12.1.**

**1.** $m\dot v = mg$: $v = gt$, $z = \tfrac12 gt^2$; pada $10\,\mathrm{s}$: $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $490\,\mathrm{m}$.

**2.** $mg = 785\,\mathrm{N}$.

**3.** Di atas tanah, lantainya mendorong ke atas dengan $N = mg$ — dorongan itulah yang dirasakan orang sebagai berat. Dalam jatuh bebas tak ada [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) sentuh: gravitasi bekerja pada setiap bagiannya sama rata dan tak ada yang menekan.

**4.** Ya, sampai sepersekian persen selama satu menit; yang diabaikan: perputaran Bumi (suku sentrifugal dan Coriolis, [Bab 18](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/18-kerangka-tak-inersial-dinamika-di-bumi#ch-b1-non-inertial-frames)) dan anginnya.

**5.** $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (SI).

**6.** $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$.

**7.** $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**8.** Bagi dengan $mg$: $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$.

**9.** $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$, sehingga $u = \tanh(t/\tau)$.

**10.** $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$; $0.99$: $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$.

**11.** $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$; pada $10\,\mathrm{s}$: $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$, terhadap $490\,\mathrm{m}$.

**12.** $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx
1.3 \times 10^{6}$: jauh di atas $1000$, jadi kuadratik.

**13.** $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**14.** Hambatnya $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$; $a = (24000 - 785)/80
= 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$: tali pengikatnya akan putus, atau penerjunnya.

**15.** Rata-rata $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$; [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) tali pengikatnya $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$.

**16.** $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$: dalam beberapa sekon setelah terbuka penuh, penurunannya sudah tunak.

**17.** $\vect a = \vect 0$: [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) tali pengikatnya $= mg = 785\,\mathrm{N}$.

**18.** Keseimbangan $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ memberi $v \propto (C_xS)^{-1/2}$: luasnya separuh, lajunya $\sqrt2$ kali ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$).

**19.** $v \propto \sqrt m$: $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**20.** $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$: sebuah lompatan dari lantai satu.

**21.** $a = v^2/2d$: $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ($5.3g$) sepanjang $0.5\,\mathrm{m}$, [gayanya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ($1.8g$) sepanjang $1.5\,\mathrm{m}$, $2.2\,\mathrm{kN}$. Bergulinglah.

**22.** [Gaya hambat](#prop-b1-newton-dynamics-drag) yang lebih besar (dan sedikit [gaya](#def-b1-newton-dynamics-momentum) angkat) sesaat melampaui beratnya: penerjunnya melambat lalu mendarat di bawah $v_\infty'$.

**23.** $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$, $S = \pi r^2 =
3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$: $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/
1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times
2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$: kuadratik (kira-kira).

**24.** $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ([Latihan 12.6](#exo-b1-newton-dynamics-6)); $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$: Stokes berlaku, secara taat asas.

**25.** $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{hambat}}$; [gaya hambatnya](#prop-b1-newton-dynamics-drag) linear terhadap $v$ bagi benda kecil dan lambat, dan kuadratik bagi benda besar dan cepat. Angkanya: $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi benda yang jatuh, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ di bawah payung (atau bagi tetes hujan), $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ bagi kabut — hukum yang sama membentang empat [orde besar](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#def-b1-units-dimensions-oom).