---
title: "Gaya Sentral: Planet dan Satelit"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit
---

# Bab 16 — Gaya Sentral: Planet dan Satelit

Tiga puluh satu satelit mengelilingi Bumi dua kali sehari, masing-masing sebuah jam sekaligus sebuah radio, dan sebuah telepon yang mendengar empat di antaranya tahu di mana ia berada sampai beberapa meter. Komet Halley jatuh menuju Matahari selama tiga puluh delapan tahun, mengayun mengitarinya dalam beberapa pekan, lalu memanjat menjauh lagi selama tiga puluh delapan tahun berikutnya. Sebuah wahana yang menuju Mars meninggalkan Bumi tepat dengan laju yang membuat [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) sekadar mencium orbit Mars. Semuanya adalah gerak sebuah benda yang tertarik ke sebuah titik tetap oleh gaya yang jatuh sebagai kebalikan kuadrat jaraknya, dan semuanya menyusul dari dua besaran kekal — energi dan [momentum sudut](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#def-b1-angular-momentum-L) — ditambah satu gagasan baru, yaitu potensial efektif. Bab ini menurunkan bentuk dan [laju orbitnya](#thm-b1-central-forces-circular), ketiga [hukum Kepler](#thm-b1-central-forces-conics), serta aritmetika menempatkan sebuah satelit di tempat yang dikehendaki.

## 16.1 Gaya sentral yang konservatif

**Definisi 16.1 (Gaya sentral; gaya sentral konservatif).**

Sebuah gaya disebut *sentral* berpusat $O$ bila ia selalu terarah menyusuri $\vect{OM}$: $\vect F = F(M)\,\vect e_r$. Ia disebut *sentral [konservatif](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative)* bila besarnya hanya bergantung pada $r = OM$: $\vect F =
F(r)\,\vect e_r$, yang diturunkan dari [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p(r)$ dengan $F(r) = -\dd E_p/\dd r$.

**Teorema 16.2 (Gerak di bawah gaya sentral konservatif).**

Sebuah partikel bermassa $m$ yang hanya dikenai gaya [sentral konservatif](#def-b1-central-forces-central):

1. menjaga [momentum sudutnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#def-b1-angular-momentum-L) $\vect L_O$ ; geraknya bidang dan, dalam [koordinat polar](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-cylindrical) pada bidang itu, $r^2\dot\theta = C$ bersifat tetap ( [hukum luas sapuan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#cor-b1-angular-momentum-central) , [Akibat 15.5](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#cor-b1-angular-momentum-central) );
2. menjaga [energi mekaniknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-em) $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2)  + E_p(r)$, yang dapat ditulis $$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad  E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$$

Gerak radialnya dengan demikian adalah gerak sebuah partikel satu dimensi dalam *potensial efektif* $E_{p,\mathrm{eff}}$: [titik balik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-turning) radialnya adalah akar $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$, geraknya terikat bila ia terperangkap di antara dua di antaranya, dan melingkar bila $r$ duduk pada sebuah minimum $E_{p,\mathrm{eff}}$.

**Bukti.** Bagian 1 adalah [Akibat 15.5](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#cor-b1-angular-momentum-central). Gayanya [konservatif](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) dan tak ada gaya lain yang bekerja, sehingga $E_m$ kekal; di bidangnya, $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ dan $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$. Suku $mC^2/2r^2$, yaitu [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) gerak sudutnya, berlaku sebagai *[penghalang sentrifugal](#prop-b1-central-forces-effective)* yang menolak dalam soal radialnya, dan kepadanya berlaku analisis satu dimensi [Bab 13](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#ch-b1-work-and-energy). ∎

## 16.2 Gravitasi Newton

**Definisi 16.3 (Gravitasi semesta).**

Massa titik $M$ di $O$ menarik massa titik $m$ di $M$ dengan

$$
\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ di tak hingga}),
$$

$G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$. Benda yang setangkup bola menarik di luar dirinya seolah seluruh massanya berada di pusatnya (diterima saja; akibat teorema Gauss, [Bab 26](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#ch-b1-electrostatics-gauss)).

**Proposisi 16.4 (Potensial efektif gravitasi).**

Untuk $E_p = -GMm/r$,

$$
E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}
$$

menuju $+\infty$ ketika $r \to 0$ (untuk $L \neq 0$), menuju $0^-$ di tak hingga, dan mempunyai satu minimum pada $r_c = L^2/GMm^2$ yang bernilai $-G^2M^2m^3/2L^2$. Maka: $E_m < 0$ — [gerak terikat](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-turning) antara jari-jari minimum dan maksimum (perigee dan apogee); $E_m \geq 0$ — tak terikat, bendanya datang dari dan kembali ke tak hingga; $E_m$ sama dengan minimumnya — [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) berjari-jari $r_c$.

**Bukti.** Limitnya terlihat langsung; $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ pada $r_c$; substitusikan. Kasus melingkarnya adalah $\dot r = 0$ selamanya, yang hanya mungkin pada minimumnya. ∎

![Potensial efektif gravitasi Newton: tarikan -GMm/r ditambah penghalang sentrifugal L2/2mr2. Di bawah energi nol, gerak radialnya terperangkap di antara dua titik balik (perigee, apogee); pada minimumnya orbitnya melingkar; pada atau di atas nol bendanya lolos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/fig-1f0726875eaa.svg)

*Potensial efektif [gravitasi](#def-b1-central-forces-gravitation) Newton: tarikan $-GMm/r$ ditambah [penghalang sentrifugal](#prop-b1-central-forces-effective) $L^2/2mr^2$. Di bawah energi nol, gerak radialnya terperangkap di antara dua [titik balik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-turning) (perigee, apogee); pada minimumnya orbitnya melingkar; pada atau di atas nol bendanya lolos.*

**Teorema 16.5 (Orbit lingkaran).**

Pada [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) berjari-jari $r$ mengelilingi massa $M$:

$$
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad
T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad
E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .
$$

Khususnya $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ sama bagi semua [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) mengelilingi pusat yang sama ([hukum ketiga Kepler](#thm-b1-central-forces-circular)).

**Bukti.** [Gerak melingkar](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#cor-b1-point-kinematics-circular) beraturan menuntut [gaya sentripetal](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#prop-b1-newton-dynamics-centripetal) $mv^2/r = GMm/r^2$; $T = 2\pi r/v$; $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ dan $E_p = -GMm/r$. ∎

**Contoh 16.6 (Tiga orbit).**

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$. Orbit rendah ($r = 6770\,\mathrm{km}$, $400\,\mathrm{km}$ di atas): $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $T = 92\,\mathrm{min}$. Geostasioner ($T = 86\,164\,\mathrm{s}$, satu hari sideris): $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} =
42\,200\,\mathrm{km}$, $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Bulan ($r = 384\,000\,\mathrm{km}$): $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — dan [percepatan sentripetalnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#cor-b1-point-kinematics-circular) $v^2/r =
2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ adalah $g/3600$ pada enam puluh jari-jari Bumi: kebalikan kuadrat, yang diperiksa Newton sendiri.

## 16.3 Hukum Kepler dan bentuk orbit

**Teorema 16.7 (Lintasan dalam medan Newton).**

[Lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) sebuah benda dalam medan massa tetap $M$ adalah [irisan kerucut](#thm-b1-central-forces-conics) dengan $O$ pada salah satu fokusnya: elips bila $E_m < 0$, parabola bila $E_m = 0$, hiperbola bila $E_m > 0$. Untuk elips bersetengah sumbu panjang $a$ dan bereksentrisitas $e$:

- (Kepler I) pusat gayanya berada di sebuah fokus; perigee dan apogeenya berada pada $r_p = a(1 - e)$ dan $r_a = a(1 + e)$ ;
- (Kepler II) [kecepatan arealnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#cor-b1-angular-momentum-central) tetap ( [hukum luas sapuan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#cor-b1-angular-momentum-central) );
- (Kepler III) periodenya menuruti $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ ;
- energinya hanya bergantung pada $a$, $E_m = -GMm/2a$, sehingga laju pada jarak $r$ diberikan oleh $$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$$

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 16.8 (Apa yang dibuktikan dan apa yang diterima saja).**

Kepler II dan penggolongan energinya telah dibuktikan di atas. Bahwa orbit terikatnya tepat berupa elips dengan $O$ pada sebuah fokus, beserta Kepler III dan $E_m = -GMm/2a$ secara umum, menuntut pengintegralan persamaan radialnya (volume Tahun ke-2 melakukannya); untuk [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) ($a = r$, $e = 0$) setiap pernyataannya menyusut menjadi [Teorema 16.5](#thm-b1-central-forces-circular), dan itulah pemeriksaan yang dapat kita lakukan di sini. Hubungan $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ menyusul dari $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$ begitu rumus energi itu diterima.

![Kiri: orbit elips mengelilingi fokus O — setengah sumbu panjang a, setengah sumbu pendek b, jarak fokus c = ea; bendanya paling cepat di perigee P dan paling lambat di apogee A. Kanan: sebuah hiperbola (energi positif) dan sebuah parabola (energi nol) mengelilingi fokus yang sama — lintasan tak terikat komet dan wahana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/fig-2c1aadf4ebcf.svg)

*Kiri: orbit elips mengelilingi fokus $O$ — setengah sumbu panjang $a$, setengah sumbu pendek $b$, [jarak fokus](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $c = ea$; bendanya paling cepat di perigee $P$ dan paling lambat di apogee $A$. Kanan: sebuah hiperbola (energi positif) dan sebuah parabola (energi nol) mengelilingi fokus yang sama — [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) tak terikat komet dan wahana.*

**Contoh 16.9 (Komet Halley).**

Perihelion $0.586\,\mathrm{AU}$, aphelion $35.1\,\mathrm{AU}$: $a = 17.8\,\mathrm{AU}$, $e = 0.967$, $T = \sqrt{17.8^3} = 75\,\mathrm{tahun}$ (Kepler III dalam satuan astronomi dan tahun, tempat $T^2 = a^3$ bagi Matahari). Dengan $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, lajunya di perihelion adalah $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan di aphelion $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — enam puluh kali lebih lambat, sebagaimana dituntut [hukum luas sapuannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#cor-b1-angular-momentum-central) ($r_pv_p = r_av_a$).

## 16.4 Satelit

**Proposisi 16.10 (Laju lepas; orbit geostasioner).**

Dari permukaan sebuah benda bermassa $M$ dan berjari-jari $R$, laju lontar minimum untuk mencapai tak hingga adalah $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$, dengan $v_c = \sqrt{GM/R}$ sebagai laju lingkaran di permukaan tanahnya: $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ bagi Bumi. Satelit *geostasioner* mengorbit pada bidang khatulistiwa dengan periode sideris Bumi, pada $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ ($35\,800\,\mathrm{km}$ di atas tanah).

**Bukti.** $E_m \geq 0$: $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$. Kepler III dengan $T = 86\,164\,\mathrm{s}$. ∎

**Proposisi 16.11 (Alih Hohmann).**

Untuk memindahkan sebuah satelit dari [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) berjari-jari $r_1$ ke [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) sebidang berjari-jari $r_2 > r_1$ dengan dua penyalaan singkat, nyalakan mesinnya di $r_1$ untuk memasuki *elips alih* yang berperigee $r_1$ dan berapogee $r_2$ ($a = (r_1 + r_2)/2$), meluncur bebaslah setengah periode, lalu nyalakan lagi di $r_2$ untuk membundarkannya:

$$
\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right),
\qquad
\Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right),
\qquad
t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .
$$

**Bukti.** Laju pada elips alihnya dari $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ di $r_1$ dan $r_2$; kurangkan laju lingkarannya; dan setengah periode [Teorema 16.7](#thm-b1-central-forces-conics). ∎

![Sebuah alih Hohmann antara dua orbit lingkaran: penyalaan pertama di orbit dalamnya menaikkan apogeenya ke r_2; setengah elips kemudian, penyalaan kedua menaikkan perigeenya — rute dua penyalaan yang paling hemat bahan bakar, dan yang membawa sebuah wahana ke Mars.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/fig-1d0f08bc00f6.svg)

*Sebuah [alih Hohmann](#prop-b1-central-forces-hohmann) antara dua [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective): penyalaan pertama di orbit dalamnya menaikkan apogeenya ke $r_2$; setengah elips kemudian, penyalaan kedua menaikkan perigeenya — rute dua penyalaan yang paling hemat bahan bakar, dan yang membawa sebuah wahana ke Mars.*

**Contoh 16.12 (Dari orbit rendah ke geostasioner).**

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$, $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$: $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, meluncur bebas $5.3\,\mathrm{h}$. Totalnya, $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, adalah separuh dari yang sudah dibayar peluncuran ke orbit rendah: “mil terakhir” menuju orbit tinggi itu mahal, dan satelitnya membawa mesinnya sendiri untuk itu.

**Catatan 16.13 (Pusat yang menolak).**

Untuk gaya kebalikan kuadrat yang menolak (dua muatan sejenis, [Bab 26](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#ch-b1-electrostatics-gauss)) potensial efektifnya tak bersumur: setiap [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) berupa hiperbola, partikelnya mendekat, dibelokkan lalu pergi. Ketika sebuah partikel $\alpha$ ditembakkan lurus ke sebuah inti emas, jarak pendekatan terdekatnya menyusul dari energinya semata, $E_k =
2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — cara Rutherford membatasi ukuran intinya ([Latihan 16.11](#exo-b1-central-forces-11)).

## 16.5 Latihan

**Latihan 16.1 ★.**

Stasiun Luar Angkasa Internasional mengorbit pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$ ($R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$, $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$). Berapa lajunya, periodenya, dan berapa kali matahari terbit yang dilihat awaknya tiap hari?

**Solusi Latihan 16.1.**

$r = 6770\,\mathrm{km}$: $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi r/v
= 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$; $1440/92 \approx 16$ kali matahari terbit tiap hari.

**Latihan 16.2 ★.**

Carilah jari-jari dan ketinggian [orbit geostasioner](#prop-b1-central-forces-escape) dari hari sideris $86\,164\,\mathrm{s}$, serta [laju orbitnya](#thm-b1-central-forces-circular).

**Solusi Latihan 16.2.**

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3}
= 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$: ketinggiannya $35\,800\,\mathrm{km}$; $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Latihan 16.3 ★.**

Berapa [laju lepas](#prop-b1-central-forces-escape) dari Bumi dan dari Bulan ($GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $R = 1740\,\mathrm{km}$)? Mengapa Bulan tak menyimpan atmosfer?

**Solusi Latihan 16.3.**

$v_e = \sqrt{2GM/R}$: Bumi $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; Bulan $\sqrt{2 \times 4.90\times
10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Molekul gas yang berkelajuan beberapa ratus meter tiap sekon mempunyai ekor distribusi kelajuan di atas $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; sepanjang zaman geologi, gas Bulan bocor pergi.

**Latihan 16.4 ★.**

Mars mempunyai $a = 1.524\,\mathrm{AU}$, Jupiter $5.20\,\mathrm{AU}$: berapa tahunnya, menurut [hukum ketiga Kepler](#thm-b1-central-forces-circular)? Bagaimana benda pada $30\,\mathrm{AU}$ (Neptunus)?

**Solusi Latihan 16.4.**

$T = a^{3/2}$ (tahun, AU): Mars $1.88\,\mathrm{yr}$; Jupiter $11.9\,\mathrm{yr}$; $30\,\mathrm{AU}$: $164\,\mathrm{yr}$.

**Latihan 16.5 ★★.**

Berapa energi yang diperlukan untuk menempatkan $1000\,\mathrm{kg}$ pada orbit stasiun luar angkasa itu mulai dari keadaan diam di permukaannya (abaikan perputaran Bumi dan udaranya)? Bandingkan dengan energi kimia bensin ($46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$).

**Solusi Latihan 16.5.**

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times
10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times
10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$, yaitu energi $0.7\,\mathrm{kg}$ bensin tiap kilogram yang ditempatkan di orbit (roket memerlukan jauh lebih banyak, karena harus mengangkat bahan bakarnya sendiri).

**Latihan 16.6 ★★.**

Komet Halley: perihelion $0.586\,\mathrm{AU}$, aphelion $35.1\,\mathrm{AU}$. Hitunglah $a$, $e$, periodenya, dan lajunya di perihelion dan di aphelion ($GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$).

**Solusi Latihan 16.6.**

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$; $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$; $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$. $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ dengan $r_p =
8.77\times10^{10}$ m, $a = 2.67\times10^{12}$ m: $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Latihan 16.7 ★★.**

[Alih Hohmann](#prop-b1-central-forces-hohmann) dari orbit stasiun luar angkasa ($6770\,\mathrm{km}$) ke [orbit geostasioner](#prop-b1-central-forces-escape) ($42\,200\,\mathrm{km}$): kedua penyalaannya, totalnya, dan durasinya.

**Solusi Latihan 16.7.**

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$. $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; pada elipsnya di $r_1$: $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Di $r_2$: $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, lingkarannya $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Totalnya $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; durasinya $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$.

**Latihan 16.8 ★★.**

Tunjukkan bahwa minimum $E_{p,\mathrm{eff}}$ duduk pada $r_c = L^2/GMm^2$, dan bahwa osilasi radial kecil di sekitarnya berfrekuensi sudut $\sqrt{GM/r_c^3}$ — yaitu frekuensi orbitnya sendiri. Apa yang dikatakannya tentang [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) yang sedikit terganggu?

**Solusi Latihan 16.8.**

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ pada $r_c = L^2/GMm^2$. $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$; pada $r_c$, $L^2 = GMm^2r_c$ memberi $E'' = GMm/r_c^3$, sehingga $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{orb}}^2$. Usikan radial yang kecil berosilasi tepat sekali tiap putaran: orbitnya menutup pada dirinya sendiri — sebuah elips yang sedikit lonjong, bukan roset.

**Latihan 16.9 ★★.**

Antariksawan di stasiun luar angkasa melayang. Jelaskan dengan gayanya; berapa nilai $g$ pada ketinggian mereka, dan mengapa hal itu tak bertentangan dengan melayangnya?

**Solusi Latihan 16.9.**

Hanya [gravitasi](#def-b1-central-forces-gravitation) yang bekerja pada stasiunnya dan awaknya sama rata; keduanya jatuh pada orbit yang sama, sehingga tak diperlukan gaya sentuh di antara keduanya — tak ada lantai yang mendorong, dan karena itu “tanpa berat”. $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2
= 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: [gravitasinya](#def-b1-central-forces-gravitation) nyaris sekuat penuh; beratnya tidak lenyap, ia sepenuhnya terpakai untuk membengkokkan [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame).

**Latihan 16.10 ★★★.**

“Uji Bulan” Newton: hitunglah [percepatan sentripetal](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#cor-b1-point-kinematics-circular) Bulan dari $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ dan $T = 27.3\,\mathrm{d}$, lalu bandingkan dengan $g(R/r)^2$. Simpulkan.

**Solusi Latihan 16.10.**

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 =
2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: hukum gaya yang sama yang menjatuhkan sebuah apel menahan Bulan, terencerkan sebagai $1/r^2$.

**Latihan 16.11 ★★★.**

Sebuah partikel $\alpha$ ($q = 2e$, $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$) ditembakkan lurus ke sebuah inti emas ($Z = 79$), yang dianggap tetap. Dengan memakai kekekalan energi bersama $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ ($1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$), carilah jarak pendekatan terdekatnya; bandingkan dengan jari-jari intinya, sekitar $7\,\mathrm{fm}$. Berapa energi yang diperlukan untuk menyentuh intinya?

**Solusi Latihan 16.11.**

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$: $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79
\times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$, enam kali jari-jari intinya: partikel $\alpha$-nya berbalik sebelum menyentuh. Untuk mencapai $7\,\mathrm{fm}$: $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$.

**Latihan 16.12 ★★★.**

Sebuah satelit di orbit rendah diperlambat sisa atmosfernya, sehingga [energi mekaniknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-em) berkurang. Tunjukkan dengan $E_m = -GMm/2r$ dan $v = \sqrt{GM/r}$ bahwa ia lalu bergerak *lebih cepat*. Ke mana energinya pergi, dan berapa bagian [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) yang hilang itu menjadi kalor?

**Solusi Latihan 16.12.**

$E_m = -GMm/2r$ berkurang $\Rightarrow$ $r$ berkurang $\Rightarrow$ $v =
\sqrt{GM/r}$ bertambah. [Energi kinetiknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) $GMm/2r$ naik sebesar $\abs{\Delta E}$ sementara [energi potensialnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) $-GMm/r$ turun sebesar $2\abs{\Delta E}$: separuh [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) yang dilepaskan menjadi kinetik, dan separuhnya dilesapkan sebagai kalor oleh [gaya hambatnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#prop-b1-newton-dynamics-drag).

![Sebuah satelit GPS (gambaran seniman NASA): satu dari tiga puluhan satelit dalam konstelasi 20\,200\, km pada soal akhir pekan, masing-masing sebuah jam pada orbit Kepler.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/img-cc30b677620c.jpg)

*Sebuah satelit GPS (gambaran seniman NASA): satu dari tiga puluhan satelit dalam konstelasi $20\,200\,\mathrm{km}$ pada soal akhir pekan, masing-masing sebuah jam pada orbit Kepler.*

## 16.6 Soal: Satelit yang memberitahu di mana Anda berada

**Soal 16.1.**

Soal akhir pekan — sebuah konstelasi navigasi dua puluh ribu kilometer di atas: orbitnya, bahan bakar untuk sampai ke sana, berapa satelit yang dapat dilihat sebuah telepon, dan mengapa jamnya harus disuruh berjalan lambat

Data: $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$, hari sideris $86\,164\,\mathrm{s}$, $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Satelitnya mengelilingi Bumi tepat dalam setengah hari sideris pada [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective).

**Bagian I — Orbitnya.**

1. Hitunglah jari-jari orbitnya dan ketinggiannya.
2. Hitunglah [laju orbitnya](#thm-b1-central-forces-circular) .
3. Hitunglah percepatan satelitnya lalu bandingkan dengan $g$ di permukaannya.
4. Hitunglah [energi mekaniknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-em) tiap kilogram, beserta bagian kinetik dan bagian potensialnya.
5. Mengapa dipilih setengah hari sideris dan bukan setengah hari surya? Apa yang dilihat berulang oleh pengamat di tanah?
6. Dilihat dari sebuah satelit, cakram Bumi membentang berapa derajat?
7. Bandingkan jari-jari orbitnya dengan jari-jari [orbit geostasioner](#prop-b1-central-forces-escape) ; mana yang lebih tinggi, dan dengan faktor berapa?

**Bagian II — Sampai ke sana.**

8. Berapa energi tiap kilogram untuk berjalan dari keadaan diam di permukaan ke orbit akhirnya (abaikan udaranya dan putaran Bumi).
9. Peluncurnya lebih dulu mencapai [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) rendah pada $400\,\mathrm{km}$ . Berapa lajunya di sana?
10. [Alih Hohmann](#prop-b1-central-forces-hohmann) dari orbit itu ke orbit akhirnya: berapa kedua penyalaannya dan jumlahnya?
11. Berapa durasi alihnya?
12. Bandingkan jumlah penyalaannya dengan [laju lepas](#prop-b1-central-forces-escape) dari orbit rendah: seberapa jauh misi ini dari “meninggalkan Bumi”?
13. Tingkat atas beserta satelitnya bermassa $2000\,\mathrm{kg}$ sebelum alihnya; laju semburan mesinnya $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan persamaan roket memberi $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ . Berapa propelan yang diperlukan bagi kedua penyalaannya?

**Bagian III — Cakupan dan pewaktuan.**

14. Sebuah satelit terlihat dari setiap titik Bumi yang terletak di dalam kerucut bersetengah sudut $\theta$ dengan $\cos\theta = R/r$ terhadap garis Bumi–satelit. Hitunglah $\theta$ dan bagian $(1 - \cos\theta)/2$ permukaan Bumi yang dicakupnya.
15. Dengan $24$ satelit yang tersebar merata, berapa yang terlihat rata-rata dari satu titik? Apakah minimum $4$ yang diperlukan bagi sebuah penentuan posisi masuk akal?
16. Berapa waktu tempuh cahaya dari sebuah satelit di zenit; di cakrawala?
17. Untuk menentukan letak penerimanya sampai $3\,\mathrm{m}$ , sampai ketelitian berapa [sinyalnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) harus diwaktukan?
18. Jam penerimanya sendiri berupa kuarsa murah yang meleset beberapa milisekon: mengapa diperlukan empat satelit dan bukan tiga?
19. Jam satelitnya bersifat atom. Berikan kemantapan nisbi yang diperlukan agar galatnya $3\,\mathrm{m}$ setelah satu hari.

**Bagian IV — Kerelatifan, sekilas.** Dua pengaruh menggeser jam satelitnya relatif terhadap jam di tanah (rumusnya diterima saja, dari volume Tahun ke-3): gerak memperlambat sebuah jam sebesar bagian $v^2/2c^2$; ketinggian mempercepatnya sebesar $GM(1/R - 1/r)/c^2$.

20. Hitunglah perlambatan akibat lajunya, dalam mikrosekon tiap hari.
21. Hitunglah percepatan akibat ketinggiannya, dalam mikrosekon tiap hari.
22. Berapa pengaruh bersihnya, dan berapa galat posisi yang akan ditimbulkannya tiap hari jika tak dikoreksi?
23. Jam satelitnya disetel sebelum diluncurkan ke $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ alih-alih $10.23\,\mathrm{MHz}$ . Periksalah bahwa hal ini mengimbangi pengaruh bersihnya.
24. Orbitnya tidak tepat menuruti Kepler: sebutkan tiga usikan lalu katakan bagaimana sistemnya mengatasinya.
25. Ringkaslah rangkaiannya: dua hukum kekekalan, satu orbit, satu konstelasi, dan satu koreksi yang takkan diduga siapa pun.

**Solusi Soal 16.1.**

**1.** $T = 43\,082\,\mathrm{s}$: $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14}
\times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$; ketinggiannya $20\,190\,\mathrm{km}$.

**2.** $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**3.** $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$, tujuh belas kali lebih lemah daripada di permukaannya — tetapi tak nol: satelitnya terus-menerus jatuh mengelilingi Bumi.

**4.** $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$; $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$, $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$.

**5.** Bumi berputar sekali tiap hari sideris relatif terhadap bintangnya (kerangka orbitnya); setelah dua orbit satelitnya kembali di atas titik tanah yang sama: jejak tanahnya berulang tiap hari sideris.

**6.** $\sin\beta = R/r = 0.240$: $\beta = 13.9^\circ$, yaitu cakram selebar $28^\circ$.

**7.** Geostasionernya $42\,200\,\mathrm{km}$: $1.59$ kali lebih tinggi; orbit navigasinya berada di bawahnya.

**8.** $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times
10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$.

**9.** $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$: $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**10.** $a = 16\,665\,\mathrm{km}$; di $r_1$: $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} =
9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; di $r_2$: $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ terhadap lingkarannya $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; totalnya $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**11.** $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$.

**12.** Lepas dari orbit rendah: $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ misinya melampauinya — mencapai orbit ini kira-kira semahal meninggalkan Bumi sama sekali.

**13.** $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$: $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$, propelannya $1360\,\mathrm{kg}$ — dua pertiga massanya.

**14.** $\cos\theta = 0.240$, $\theta = 76^\circ$; bagiannya $(1 - 0.240)/2
= 0.38$.

**15.** $24 \times 0.38 = 9$ rata-rata; empat terlampaui dengan nyaman hampir selalu.

**16.** Zenit: $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$; cakrawala: jaraknya $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, $86\,\mathrm{ms}$.

**17.** $3/c = 10\,\mathrm{ns}$.

**18.** Simpangan jam penerimanya menjadi besaran keempat yang tak diketahui di samping ketiga koordinatnya: empat jarak, empat persamaan.

**19.** $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$.

**20.** $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$: $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ tiap hari, lambat.

**21.** $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/
8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$: $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ tiap hari, cepat.

**22.** Bersihnya $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ tiap hari; $c \times 38.5\times10^{-6}
= 11.5\,\mathrm{km}$ galat tiap hari.

**23.** $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$, cocok dengan nilai bersihnya $4.5\times10^{-10}$ ($38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ sepanjang $86\,400\,\mathrm{s}$).

**24.** Tonjolan khatulistiwa Bumi, tarikan Bulan dan Matahari, tekanan radiasi surya (dan penyalaan pendorong yang kecil): segmen tanahnya mengukur orbitnya terus-menerus lalu mengunggah efemeris yang segar, yang disiarkan satelitnya.

**25.** Energi dan [momentum sudut](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#def-b1-angular-momentum-L) menetapkan [orbit lingkaran](#prop-b1-central-forces-effective) dari periodenya; Kepler III menempatkannya; geometri menetapkan cakupan dan waktu cahayanya; dan jamnya — jantung sistemnya — harus dikoreksi akibat kerelatifan sebesar $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ sehari, atau penentuan posisinya hanyut sejauh sepuluh kilometer menjelang malam.