---
title: "Partikel Bermuatan dalam Medan E dan B"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 17
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/17-partikel-bermuatan-dalam-medan-e-dan-b
---

# Bab 17 — Partikel Bermuatan dalam Medan E dan B

Di dalam osiloskop yang menggambar jejak [Bab 7](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/7-rezim-peralihan-orde-pertama-dan-orde-kedua#ch-b1-transient-regimes), seberkas elektron dikemudikan melintasi layar oleh [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) di antara dua keping; di dalam magnet sebuah [spektrometer massa](#prop-b1-charged-particles-spectrometer), ion dua isotop terpisah beberapa milimeter karena yang satu delapan persen lebih berat daripada yang lain; di dalam siklotron sebuah rumah sakit, proton berpilin keluar melewati dua ratus putaran sebelum pergi dengan sepertiga laju cahaya untuk membakar sebuah tumor. Ketiganya adalah dinamika yang sama: sebuah muatan dalam medan seragam, listrik atau magnet, dan [hukum Newton](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#thm-b1-newton-dynamics-laws). Bab ini menuntaskannya — parabola dalam [medan listrik](#def-b1-charged-particles-lorentz), lingkaran dan heliks dalam [medan magnet](#def-b1-charged-particles-lorentz) — lalu mengubahnya menjadi alat yang memilah, mempercepat dan mengukur partikel bermuatan.

![Siklotron 60 inci di Berkeley, 1939 (Departemen Energi Amerika Serikat): di antara kutub-kutub magnetnya, proton berpilin keluar sambil ditendang dua kali tiap putaran, persis seperti dalam soal akhir pekan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-charged-particles/img-7d9447d1770f.jpg)

*Siklotron 60 inci di Berkeley, 1939 (Departemen Energi Amerika Serikat): di antara kutub-kutub magnetnya, proton berpilin keluar sambil ditendang dua kali tiap putaran, persis seperti dalam soal akhir pekan.*

## 17.1 Gaya Lorentz

**Definisi 17.1 (Gaya Lorentz).**

Sebuah partikel bermuatan $q$ yang bergerak dengan kecepatan $\vect v$ dalam medan listrik $\vect E$ dan medan magnet $\vect B$ menerima gaya

$$
\vect F = q\big(\vect E + \vect v\wedge\vect B\big) .
$$

Bagian listriknya searah $\vect E$ (atau berlawanan, untuk $q < 0$) dan tak bergantung pada geraknya; bagian magnetnya tegak lurus baik pada $\vect v$ maupun pada $\vect B$, sebanding dengan kelajuannya, dan lenyap bagi partikel yang diam. Satuan: $\vect E$ dalam $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (atau $\mathrm{N}/\mathrm{C}$), $\vect B$ dalam tesla ($\mathrm{T}$): $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{N}/(\mathrm{A}\,\mathrm{m})$.

**Proposisi 17.2 (Usaha gaya Lorentz).**

Gaya magnet tidak melakukan usaha: dayanya $q(\vect v\wedge\vect B)\cdot\vect v$ bernilai nol, sehingga [medan magnet](#def-b1-charged-particles-lorentz) saja mengubah arah kecepatannya tetapi tak pernah kelajuan maupun [energi kinetiknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke). Gaya listriknya berdaya $q\vect E\cdot\vect v$, dan di antara dua titik usahanya $q(V_A - V_B) =
qU_{AB}$ ([Bab 27](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/27-potensial-listrik-penghantar-dan-kapasitor#ch-b1-potential-capacitors)): partikel bermuatan $q$ yang menyeberangi [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) $U$ memperoleh [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) $\abs{qU}$.

**Bukti.** $\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$. Medan elektrostatiknya diturunkan dari potensialnya, $\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}V$, sehingga $q\vect E$ bersifat [konservatif](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) dengan $E_p = qV$. ∎

**Definisi 17.3 (Elektronvolt).**

Yang disebut *elektronvolt* adalah [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) yang diperoleh sebuah muatan elementer ketika menyeberangi satu volt: $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$. Kimia berlangsung pada beberapa eV, tabung sinar-X pada puluhan keV, fisika inti pada MeV, fisika partikel pada GeV dan TeV.

**Catatan 17.4 (Mengapa gravitasi diabaikan).**

Bagi sebuah elektron dalam medan $1\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ — nilai laboratorium yang sederhana — gaya listriknya $eE = 1.6 \times 10^{-16}\,\mathrm{N}$, berbanding berat $mg = 9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$: $10^{13}$ kali lebih kecil. Berat dibuang dari setiap perhitungan bab ini tanpa perlu berpikir dua kali. (Batas relativistiknya soal lain: rumus-rumus di bawah berlaku untuk $\tfrac12 mv^2 \ll mc^2$, yakni di bawah kira-kira $50\,\mathrm{keV}$ bagi elektron dan $100\,\mathrm{MeV}$ bagi proton; lihat volume Tahun ke-3.)

## 17.2 Medan listrik seragam

**Proposisi 17.5 (Percepatan dan pembelokan).**

Dalam medan seragam $\vect E$ percepatan $\vect a = q\vect E/m$ bersifat tetap: geraknya adalah gerak sebuah proyektil, dengan $q\vect E/m$ menggantikan $\vect g$.

- Dilepaskan dari keadaan diam dan dipercepat melalui [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) $U$ , partikelnya mencapai $v = \sqrt{2\abs{qU}/m}$ .
- Masuk dengan kelajuan $v_0$ menyusuri $x$ ke daerah sepanjang $L$ tempat $\vect E = E\vect e_y$ , ia menuruti parabola $y = (qE/2mv_0^2)x^2$ dan keluar terbelokkan sebesar sudut $\alpha$ dengan $\tan\alpha =  qEL/mv_0^2$ , seolah-olah datang menyusuri garis lurus dari tengah kepingnya.

**Bukti.** Energi: $\tfrac12 mv^2 = \abs{qU}$. Pembelokan: $x = v_0t$, $y =
\tfrac12(qE/m)t^2$; di pintu keluarnya, $\dd y/\dd x = (qE/m)(x/v_0^2)$ dihitung di $L$; garis singgung di pintu keluar, $y = (qEL/mv_0^2)(x - L/2)$, memotong sumbunya di $x = L/2$. ∎

![Pembelokan elektrostatik: di antara kepingnya elektron (di sini q < 0, terbelokkan menuju keping positif) menuruti sebuah parabola; di luar keping ia terbang lurus, seolah datang dari titik tengah kepingnya — geometri osiloskop tabung sinar katode.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-charged-particles/fig-a65d0445b8c8.svg)

*Pembelokan elektrostatik: di antara kepingnya elektron (di sini $q < 0$, terbelokkan menuju keping positif) menuruti sebuah parabola; di luar keping ia terbang lurus, seolah datang dari titik tengah kepingnya — geometri osiloskop tabung sinar katode.*

**Contoh 17.6 (Tabung osiloskop).**

Elektron yang dipercepat melalui $U_0 = 2.0\,\mathrm{kV}$ ($v_0 = 2.65 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, sepersepuluh $c$ — masih tak relativistik) melintasi keping sepanjang $4.0\,\mathrm{cm}$ yang terpisah $1.0\,\mathrm{cm}$ dan mengemban $100\,\mathrm{V}$: $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $\tan\alpha = eEL/mv_0^2 = EL/2U_0 = 0.10$, dan pada layar $30\,\mathrm{cm}$ di belakang pusat kepingnya bintiknya bergeser $3.0\,\mathrm{cm}$ — $0.3\,\mathrm{mm}$ tiap volt, itulah kepekaan tabungnya, yang ditetapkan [semata-mata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-eye) oleh geometri dan [tegangan pemercepatnya](#prop-b1-charged-particles-efield).

## 17.3 Medan magnet seragam

**Teorema 17.7 (Gerak dalam medan magnet seragam).**

Sebuah partikel bermuatan $q$, bermassa $m$, berkecepatan $\vect v_0$ tegak lurus pada $\vect B$ yang seragam, melukiskan lingkaran dengan kelajuan tetap $v_0$, berjari-jari dan berfrekuensi sudut

$$
R = \frac{mv_0}{\abs q B}, \qquad \omega_c = \frac{\abs q B}{m},
$$

dengan *[frekuensi siklotron](#thm-b1-charged-particles-bfield)* $\omega_c$ yang tak bergantung pada kelajuannya; arah putarannya bergantung pada tanda $q$. Bila $\vect v_0$ juga mempunyai komponen $v_\parallel$ menyusuri $\vect B$, komponen itu tak berubah dan [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) berupa *heliks* berjari-jari $mv_\perp/\abs qB$ dan berlangkah $2\pi mv_\parallel/\abs qB$ yang membelit garis-garis medannya.

**Bukti.** Gaya $q\vect v\wedge\vect B$ tegak lurus pada $\vect v$ dan pada $\vect B$; kelajuannya tetap (tak ada usaha) dan komponen menyusuri $\vect B$ tak merasakan gaya. Pada bidang yang tegak lurus $\vect B$ gaya itu bernorma tetap $\abs qv_\perp B$, selalu tegak lurus pada kecepatannya: [gerak melingkar](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#cor-b1-point-kinematics-circular) beraturan ([Teorema 11.13](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#thm-b1-point-kinematics-frenet)) dengan $mv_\perp^2/R =
\abs qv_\perp B$. Maka $\omega_c = v_\perp/R$; periode $2\pi m/\abs qB$ dikali $v_\parallel$ adalah langkahnya. ∎

![Kiri: sebuah muatan yang kecepatannya tegak lurus pada B berputar dengan frekuensi siklotron qB/m, gaya magnetnya memasok percepatan sentripetalnya. Kanan: dengan komponen kecepatan menyusuri B, sebuah heliks membelit garis medannya — gerak elektron yang terperangkap dalam medan Bumi.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-charged-particles/fig-3535f3f17f5f.svg)

*Kiri: sebuah muatan yang kecepatannya tegak lurus pada $\vect B$ berputar dengan [frekuensi siklotron](#thm-b1-charged-particles-bfield) $\abs qB/m$, gaya magnetnya memasok [percepatan sentripetalnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#cor-b1-point-kinematics-circular). Kanan: dengan komponen kecepatan menyusuri $\vect B$, sebuah heliks membelit garis medannya — gerak elektron yang terperangkap dalam medan Bumi.*

**Contoh 17.8 (Orde besar).**

Sebuah elektron $1\,\mathrm{keV}$ ($v = 1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) dalam $1\,\mathrm{mT}$: $R = 11\,\mathrm{cm}$, $\omega_c = 1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, satu putaran dalam $36\,\mathrm{ns}$ — periode yang sama pada energi berapa pun, dan itulah yang memungkinkan siklotron. Sebuah proton angin matahari ($1\,\mathrm{keV}$, $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) dalam medan Bumi $50\,\text{µ}\mathrm{T}$: $R = 92\,\mathrm{m}$; ia tak dapat menyeberangi garis medannya, hanya berpilin menyusurinya menuju kutub — aurora.

## 17.4 Instrumen

**Proposisi 17.9 (Selektor kecepatan dan spektrometer massa).**

Dalam medan seragam bersilang $\vect E \perp \vect B$, sebuah partikel yang bergerak tegak lurus pada keduanya lewat tanpa dibelokkan jika dan hanya jika $v = E/B$, berapa pun muatan dan massanya (*[selektor kecepatan](#prop-b1-charged-particles-spectrometer)*). Dalam [medan magnet](#def-b1-charged-particles-lorentz) saja, partikel yang kelajuannya diketahui melukiskan setengah lingkaran bergaris tengah $2mv/\abs qB$: mengukurnya memberikan $m/q$ (*[spektrometer massa](#prop-b1-charged-particles-spectrometer)*). Ion yang dipercepat melalui [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) $U$ lalu dibelokkan dalam $B$ mendarat pada

$$
R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{\abs q}} :
$$

dua isotop bermassa $m$ dan $m + \Delta m$ terpisah sejauh $\Delta R \approx
R\,\Delta m/2m$.

**Bukti.** $q\vect E + q\vect v\wedge\vect B = \vect 0$ menuntut $vB = E$ dengan arah yang tepat. $R = mv/qB$ dengan $v = \sqrt{2qU/m}$; diferensialkan $\ln R = \tfrac12\ln m + \text{tetapan}$. ∎

**Contoh 17.10 (Isotop karbon).**

Ion $^{12}$C dan $^{13}$C bermuatan tunggal yang dipercepat melalui $20\,\mathrm{kV}$ dalam $0.50\,\mathrm{T}$: $R = 14.1\,\mathrm{cm}$ dan $14.7\,\mathrm{cm}$, terpisah $5.8\,\mathrm{mm}$ — dua bintik terpisah pada detektornya, dan nisbah intensitasnya adalah kelimpahan isotopnya, yaitu bahan mentah penanggalan radiokarbon dan setiap analisis isotop.

**Proposisi 17.11 (Siklotron).**

Dua setengah tabung berongga (“dee”) dalam medan seragam $\vect B$, dengan [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) bolak-balik $U$ di antaranya pada [frekuensi siklotron](#thm-b1-charged-particles-bfield): partikelnya berputar di dalam tiap dee (tak ada medan di sana), dipercepat sebesar $\abs qU$ pada masing-masing dari dua penyeberangan celah tiap putaran, dan berpilin keluar dengan $R \propto v$; pada jari-jari ekstraksi $R_{\max}$ [energi kinetiknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) adalah

$$
E_k = \frac{q^2B^2R_{\max}^2}{2m},
$$

tak bergantung pada [tegangannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage), yang hanya menetapkan jumlah putarannya.

**Bukti.** Karena $\omega_c$ tak bergantung pada kelajuannya, [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) yang frekuensinya tetap terus selaras dengan partikelnya putaran demi putaran; $v = \abs qBR/m$ pada jari-jari $R$. ∎

![Siklotron: dua dee dalam medan magnet seragam; partikelnya berputar di dalam dee dan ditendang oleh tegangan celahnya dua kali tiap putaran, selalu sefase karena periodenya tak bergantung pada kelajuannya. Energi di tepinya hanya bergantung pada B dan jari-jarinya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-charged-particles/fig-0b6114844200.svg)

*Siklotron: dua dee dalam [medan magnet](#def-b1-charged-particles-lorentz) seragam; partikelnya berputar di dalam dee dan ditendang oleh [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) celahnya dua kali tiap putaran, selalu sefase karena periodenya tak bergantung pada kelajuannya. Energi di tepinya hanya bergantung pada $B$ dan jari-jarinya.*

**Contoh 17.12 (Sebuah siklotron rumah sakit).**

Proton, $B = 1.5\,\mathrm{T}$, $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$: $E_k =
(1.6\times10^{-19} \times 1.5 \times 0.5)^2/(2 \times 1.67\times10^{-27}) =
4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$, pada $f_c = \omega_c/2\pi = 23\,\mathrm{MHz}$. Dengan $50\,\mathrm{kV}$ pada dee-nya, $100\,\mathrm{keV}$ tiap putaran: $270$ putaran dalam $12\,\text{µ}\mathrm{s}$. Di atas beberapa puluh MeV pertambahan massa relativistiknya (volume Tahun ke-3) membuat protonnya keluar dari langkah; mesin terapi pada $230\,\mathrm{MeV}$ memodulasi frekuensi atau medannya untuk mengimbanginya — itulah pokok soal akhir pekannya.

**Proposisi 17.13 (Efek Hall).**

Sebuah pita setebal $d$ yang mengalirkan arus $I$ berupa pembawa bermuatan $q$ dan berkonsentrasi $n$, dalam medan $B$ yang tegak lurus pada pitanya, membangkitkan pada lebarnya *[tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) Hall*

$$
U_H = \frac{IB}{nqd} :
$$

sebanding dengan $B$ (sebuah magnetometer) dan berbanding terbalik dengan $n$ (sebuah penduga konsentrasi dan tanda pembawanya).

**Bukti.** Gaya magnet $qv_dB$ pada pembawanya (laju hanyut $v_d$) mendorongnya ke satu tepi sampai [medan listrik](#def-b1-charged-particles-lorentz) melintang $E_H$ mengimbanginya: $qE_H = qv_dB$, dan $U_H = E_Hw$ sepanjang lebar $w$; dengan $I = nqv_dwd$, $E_Hw = v_dBw = IB/(nqd)$. ∎

## 17.5 Latihan

**Latihan 17.1 ★.**

Ubahlah $1\,\mathrm{eV}$, $13.6\,\mathrm{eV}$, $1\,\mathrm{MeV}$ menjadi joule. Kelajuan sebuah elektron dan sebuah proton yang dipercepat dari keadaan diam melalui $1.0\,\mathrm{kV}$.

**Solusi Latihan 17.1.**

$1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$, $13.6\,\mathrm{eV} = 2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J}$, $1\,\mathrm{MeV} = 1.60 \times 10^{-13}\,\mathrm{J}$. $v = \sqrt{2eU/m}$: elektron $1.9 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; proton $4.4 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($\sqrt{1836}$ kali lebih lambat).

**Latihan 17.2 ★.**

Sebuah elektron $1.0\,\mathrm{keV}$ masuk tegak lurus ke dalam medan $1.0\,\mathrm{mT}$. Jari-jari, [frekuensi sudut](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) siklotron, periode.

**Solusi Latihan 17.2.**

$v = 1.88 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $R = mv/eB = 9.11\times10^{-31} \times 1.88\times10^7/
(1.6\times10^{-19} \times 10^{-3}) = 0.11\,\mathrm{m}$; $\omega_c = eB/m =
1.8 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi/\omega_c = 36\,\mathrm{ns}$.

**Latihan 17.3 ★.**

Sebuah proton pada $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dalam medan Bumi ($50\,\text{µ}\mathrm{T}$): jari-jari lingkarannya. Apa yang terjadi bila kecepatannya membentuk $30^\circ$ dengan medannya?

**Solusi Latihan 17.3.**

$R = mv/qB = 1.67\times10^{-27} \times 10^5/(1.6\times10^{-19} \times 5\times
10^{-5}) = 21\,\mathrm{m}$. Pada $30^\circ$: sebuah heliks berjari-jari $R\sin 30^\circ
= 10\,\mathrm{m}$ dan berlangkah $2\pi(m/qB)v\cos 30^\circ = 114\,\mathrm{m}$, menghanyut menyusuri garis medannya.

**Latihan 17.4 ★.**

Sebuah [selektor kecepatan](#prop-b1-charged-particles-spectrometer) mempunyai $E = 10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ dan $B = 20\,\mathrm{mT}$. Kelajuan mana yang lolos? Apa yang terjadi pada ion yang lebih cepat, dan pada kelajuan yang sama dengan muatan berlawanan?

**Solusi Latihan 17.4.**

$v = E/B = 10^4/0.020 = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ion yang lebih cepat: gaya magnetnya menang, mereka melengkung ke sisi magnetnya; muatan berlawanan pada kelajuan yang sama: kedua gayanya membalik dan tetap berimbang — selektornya buta terhadap tanda dan terhadap massanya.

**Latihan 17.5 ★★.**

Osiloskop: elektron pada $2.0\,\mathrm{kV}$, keping sepanjang $4.0\,\mathrm{cm}$, terpisah $1.0\,\mathrm{cm}$, $100\,\mathrm{V}$ di antaranya, layar $30\,\mathrm{cm}$ di belakang pusat kepingnya. Pembelokan pada layarnya dan kepekaannya dalam mm/V. Mengapa [tegangan pemercepat](#prop-b1-charged-particles-efield) yang lebih tinggi mengurangi kepekaannya?

**Solusi Latihan 17.5.**

$\tan\alpha = EL/2U_0 = 10^4 \times 0.04/4000 = 0.10$; pembelokannya $0.30 \times 0.10 = 3.0\,\mathrm{cm}$; kepekaannya $0.30\,\mathrm{mm}/\mathrm{V}$. Elektron yang lebih cepat lebih singkat berada di antara kepingnya: $\tan\alpha \propto 1/U_0$.

**Latihan 17.6 ★★.**

Ion $^{12}$C dan $^{13}$C bermuatan tunggal, dipercepat melalui $20\,\mathrm{kV}$, masuk ke dalam medan $0.50\,\mathrm{T}$ ($1\,\mathrm{u} = 1.66 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$). Jari-jari dan pemisahan kedua bintiknya setelah setengah putaran.

**Solusi Latihan 17.6.**

$R = \sqrt{2mU/e}/B$: $m_{12} = 1.99 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $R_{12} = \sqrt{2 \times
1.99\times10^{-26} \times 2\times10^4/1.6\times10^{-19}}/0.5 = 14.1\,\mathrm{cm}$; $R_{13} = R_{12}\sqrt{13/12} = 14.7\,\mathrm{cm}$; pemisahan $2\Delta R =
1.2\,\mathrm{cm}$ di antara kedua titik jatuhnya (jari-jarinya berselisih $5.8\,\mathrm{mm}$, garis tengahnya dua kali itu).

**Latihan 17.7 ★★.**

Sebuah siklotron proton mempunyai $B = 1.5\,\mathrm{T}$ dan $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$. Frekuensi [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) dee-nya, [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) maksimalnya, jumlah putaran untuk $50\,\mathrm{kV}$ pada dee-nya, waktu yang dihabiskan di dalamnya. Sebesar pecahan berapa massa protonnya bertambah di pintu keluar ($\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$, $mc^2 = 938\,\mathrm{MeV}$)?

**Solusi Latihan 17.7.**

$f_c = eB/2\pi m = 23\,\mathrm{MHz}$; $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} =
27\,\mathrm{MeV}$; $100\,\mathrm{keV}$ tiap putaran: $270$ putaran; waktunya $270/f_c =
12\,\text{µ}\mathrm{s}$; $\gamma - 1 = 27/938 = 2.9\%$.

**Latihan 17.8 ★★.**

Sebuah elektron pada $1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ masuk ke dalam medan $2.0\,\mathrm{mT}$ pada $30^\circ$ terhadap garis medannya. Jari-jari dan langkah heliksnya; jumlah putaran tiap meter menyusuri medannya.

**Solusi Latihan 17.8.**

$v_\perp = 5.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_\parallel = 8.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $R = mv_\perp/eB
= 9.11\times10^{-31} \times 5\times10^5/(3.2\times10^{-22}) = 1.4\,\mathrm{mm}$; periode $2\pi m/eB = 18\,\mathrm{ns}$, langkah $v_\parallel T = 1.5\,\mathrm{cm}$: kira-kira $64$ putaran tiap meter.

**Latihan 17.9 ★★.**

Sebuah bilah tembaga setebal $1.0\,\mathrm{mm}$ mengalirkan $5.0\,\mathrm{A}$ dalam $1.0\,\mathrm{T}$ ($n = 8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$). [Tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) Hallnya. Mengapa penginderaan Hall dibuat dari semikonduktor ($n \sim 1 \times 10^{22}\,\mathrm{m}^{-3}$)?

**Solusi Latihan 17.9.**

$U_H = IB/nqd = 5.0/(8.5\times10^{28} \times 1.6\times10^{-19} \times 10^{-3})
= 3.7 \times 10^{-7}\,\mathrm{V}$: di bawah satu mikrovolt. Dengan $n$ sepuluh juta kali lebih kecil, semikonduktor memberikan milivolt — penginderaan yang dapat dipakai.

**Latihan 17.10 ★★★.**

Buktikan dari [hukum Newton](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#thm-b1-newton-dynamics-laws) bahwa sebuah muatan dalam [medan magnet](#def-b1-charged-particles-lorentz) apa pun (seragam atau tidak), tanpa [medan listrik](#def-b1-charged-particles-lorentz), mempertahankan kelajuan yang tetap. Sebuah elektron $10\,\mathrm{keV}$ masuk ke daerah bermedan kuat dan tak seragam: apa yang dapat dan tak dapat berubah?

**Solusi Latihan 17.10.**

$m\,\dd\vect v/\dd t = q\vect v\wedge\vect B$; kalikan secara skalar dengan $\vect v$: $\dd(\tfrac12 mv^2)/
\dd t = 0$ berapa pun $\vect B(\vect r, t)$, asalkan tak ada $\vect E$. Arah kecepatannya, [jari-jari kelengkungannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frenet), dan langkahnya semuanya dapat berubah; kelajuannya dan [energi kinetiknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) ($10\,\mathrm{keV}$) tidak.

**Latihan 17.11 ★★★.**

Sebuah muatan $q$ mulai dari keadaan diam di titik asal dalam $\vect E = E\vect e_y$ dan $\vect B = B\vect e_z$. Tuliskan persamaan geraknya, tunjukkan bahwa partikelnya menghanyut secara rata-rata dengan kecepatan $E/B$ menyusuri $\vect e_x$ (petunjuk: carilah penyelesaian berbentuk $\vect v = \vect u + \vect w$ dengan $\vect u$ tetap), dan lukiskan [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) (sebuah sikloida). Angkanya untuk sebuah elektron dengan $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $B = 0.10\,\mathrm{T}$.

**Solusi Latihan 17.11.**

$m\dot v_x = qv_yB$, $m\dot v_y = qE - qv_xB$, $v_z = 0$. Dengan $\vect v =
(E/B)\vect e_x + \vect w$: $m\dot w_x = qw_yB$, $m\dot w_y = -qw_xB$ — rotasi siklotron murni dari $\vect w$ pada $\omega_c$. Mulai dari keadaan diam, $\vect w(0) = -(E/B)\vect e_x$: $\vect w$ berputar dengan norma tetap $E/B$, sehingga kecepatannya adalah hanyutan $E/B$ ditambah vektor berputar bernorma sama — sebuah sikloida, dengan titik runcing di tempat $\vect v = \vect 0$. Elektron: hanyutan $E/B =
1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega_c = 1.8 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, tinggi lengkungnya $2mE/qB^2 =
11\,\text{µ}\mathrm{m}$.

**Latihan 17.12 ★★★.**

Pada osiloskop [Latihan 17.5](#exo-b1-charged-particles-5), gantilah kepingnya dengan kumparan pembelok magnetik yang menghasilkan $1.0\,\mathrm{mT}$ sepanjang $4.0\,\mathrm{cm}$ yang sama. Sudut pembelokannya (sudut kecil: busur berjari-jari $R$ sepanjang $L$), dan pembelokan pada layarnya. Mengapa tabung televisi, dengan sudutnya yang besar, memakai pembelokan magnetik dan bukan listrik?

**Solusi Latihan 17.12.**

$R = mv_0/eB = 9.11\times10^{-31} \times 2.65\times10^7/(1.6\times10^{-22}) =
0.15\,\mathrm{m}$; $\alpha \approx L/R = 0.04/0.15 = 0.27$ (kira-kira $15^\circ$): pembelokannya $\approx 0.30 \times 0.27 = 8\,\mathrm{cm}$ untuk satu militesla yang sederhana. Sudut yang besar dengan keping akan menuntut kilovolt dan keping yang panjang; sebuah kumparan membelokkan berkasnya sampai puluhan derajat tanpa [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) sama sekali.

## 17.6 Soal: Proton melawan sebuah tumor

**Soal 17.1.**

Soal akhir pekan — siklotron di balik dinding sebuah rumah sakit: bagaimana proton dipusingkan sampai sepertiga laju cahaya, mengapa mesin sederhananya berhenti bekerja sebelum mencapai energi yang dituntut seorang terapis, dan berapa banyak proton yang diperlukan untuk mengobati sebuah tumor

Proton: $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $q = e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $mc^2 =
938\,\mathrm{MeV}$; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Siklotron: $B = 1.5\,\mathrm{T}$, jari-jari ekstraksi $R_{\max} = 0.50\,\mathrm{m}$, [amplitudo](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) dee $U = 50\,\mathrm{kV}$.

**Bagian I — Satu putaran.**

1. Tuliskan [gaya Lorentz](#def-b1-charged-particles-lorentz) pada sebuah proton yang bergerak dengan $\vect v$ tegak lurus pada $\vect B$ , dan tunjukkan bahwa kelajuannya tak dapat berubah di dalam sebuah dee.
2. Turunkan jari-jari lingkarannya dan periodenya; tunjukkan bahwa periodenya tak bergantung pada kelajuannya.
3. Hitunglah [frekuensi siklotron](#thm-b1-charged-particles-bfield) $f_c$ bagi proton-proton ini.
4. Energi yang diperoleh pada tiap penyeberangan celah; tiap putaran.
5. Mengapa [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) dee-nya harus berbolak-balik tepat pada $f_c$ ? Apa yang terjadi bila ia meleset sedikit?
6. Protonnya disuntikkan di pusat dengan kelajuan yang dapat diabaikan: jari-jari setelah putaran pertama? Setelah $n$ putaran?

**Bagian II — Menuju tepi.**

7. [Energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) pada ekstraksinya (dalam J dan MeV), dan kelajuannya, sebagai pecahan $c$ .
8. Jumlah putaran yang diperlukan dan waktu yang dihabiskan di dalam mesinnya.
9. Panjang total [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) pilinnya (jumlah kelilingnya — hampirilah jumlahnya dengan sebuah integral).
10. Apakah hasil pertanyaan 7 bergantung pada $U$ ? Pada apa $U$ bekerja?
11. Hampa di dalamnya harus baik: taksirlah jarak yang ditempuh sebuah proton di antara dua tumbukan dengan molekul gas sisa bila [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) bebas rata-ratanya harus melampaui panjang pilinnya; [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) bebas rata-rata berskala sebagai $1/p$ dan kira-kira $70\,\mathrm{nm}$ pada tekanan atmosfer. Tekanan berapa yang diperlukan?
12. Hitunglah $\gamma - 1 \approx E_k/mc^2$ pada ekstraksinya dan perubahan nisbi periodenya yang menyusul. Sepanjang jumlah putaran yang ditemukan di atas, sebesar pecahan periode berapa protonnya tergelincir terhadap [tegangannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) ? Berilah komentar.

**Bagian III — 230 MeV.** Terapi proton menuntut kira-kira $230\,\mathrm{MeV}$ untuk mencapai tumor sedalam $30\,\mathrm{cm}$.

13. Dengan rumus tak relativistiknya, hasil kali $BR$ berapa yang akan memberikan $230\,\mathrm{MeV}$ ? Dengan $B = 2.0\,\mathrm{T}$ , berapa jari-jarinya?
14. Pada energi itu $\gamma - 1 = 0.245$ : apa yang terjadi pada periode siklotronnya ketika protonnya memperoleh energi, dan mengapa siklotron berfrekuensi tetap gagal?
15. Ada dua penawarnya: mengubah-ubah frekuensi [tegangannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) selama pemercepatan (sinkrosiklotron), atau membuat $B$ tumbuh terhadap jari-jari sehingga $B/\gamma$ tinggal tetap (siklotron isokron). Jelaskan masing-masing dalam satu kalimat dan sebutkan satu kelemahan yang pertama.
16. Momentum relativistiknya adalah $p = \gamma mv$ dan jari-jarinya $R =  p/qB$ masih berlaku: dengan $\gamma = 1.245$ dan $v = 0.60c$ , hitunglah $R$ untuk $B = 2.0\,\mathrm{T}$ dan bandingkan dengan pertanyaan 13.
17. Berkas yang diekstraksi lewat di antara dua keping sepanjang $1.0\,\mathrm{m}$ dengan $E = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ agar dikemudikan sebesar sudut kecil: taksirlah sudut pembelokannya (secara tak relativistik, dengan $p$ dari pertanyaan sebelumnya sebagai pengganti $mv$ ). Apakah pengemudian listrik praktis di sini?
18. Pengemudian yang sama dengan magnet $1.0\,\mathrm{T}$ sepanjang $1.0\,\mathrm{m}$ : sudutnya? Simpulkan mengapa saluran berkas memakai magnet.

**Bagian IV — Dosisnya.**

19. Sebuah proton $230\,\mathrm{MeV}$ menyimpan sebagian besar energinya di dekat ujung jangkauannya (puncak Bragg). Bila semuanya diserap dalam sebuah tumor bermassa $0.50\,\mathrm{kg}$ , berapa banyak proton yang menyampaikan dosis $2.0\,\mathrm{Gy}$ ( $1\,\mathrm{Gy} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{kg}$ )?
20. Arus berkasnya $1.0\,\mathrm{nA}$ : berapa proton tiap sekon, dan lamanya satu sesi.
21. Daya yang dibawa berkasnya; bandingkan dengan sebuah bohlam.
22. Protonnya diperlambat sampai berhenti di dalam tubuh pasiennya: berapa kira-kira energi yang disimpan tiap proton pada sentimeter terakhirnya, bila seperempat energinya hilang di sana? Dalam [elektronvolt](#def-b1-charged-particles-eV) tiap mikrometer?
23. Tiap ionisasi dalam jaringan menuntut kira-kira $30\,\mathrm{eV}$ : berapa banyak ionisasi yang ditimbulkan satu proton sepanjang seluruh [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) ?
24. Mengapa berkas proton lebih disukai daripada sinar-X bagi tumor yang dalam, dalam satu kalimat tentang ke mana energinya pergi?
25. Ringkaslah rantainya dari [gaya Lorentz](#def-b1-charged-particles-lorentz) sampai dosisnya: persamaan mana yang menetapkan energinya, jari-jarinya, jumlah putarannya, dan waktu pengobatannya.

**Solusi Soal 17.1.**

**1.** $\vect F = e\vect v\wedge\vect B \perp \vect v$: tak ada daya, kelajuannya tetap.

**2.** $mv^2/R = evB$: $R = mv/eB$; $T = 2\pi R/v = 2\pi m/eB$, bebas dari $v$.

**3.** $f_c = eB/2\pi m = 1.6\times10^{-19} \times 1.5/(2\pi \times 1.67
\times10^{-27}) = 23\,\mathrm{MHz}$.

**4.** $eU = 50\,\mathrm{keV}$ tiap penyeberangan, $100\,\mathrm{keV}$ tiap putaran.

**5.** Celahnya harus berpolaritas mempercepat tiap kali protonnya tiba, berselang setengah periode; bila frekuensinya meleset, fasenya tergelincir dan tendangannya lama-lama justru memperlambat.

**6.** Setelah satu putaran $E_k = 100\,\mathrm{keV}$, $v = \sqrt{2E_k/m} =
4.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $R = mv/eB = 3.0\,\mathrm{cm}$; setelah $n$ putaran $E_k =
n \times 100\,\mathrm{keV}$ dan $R = 3.0\,\mathrm{cm}\sqrt n$.

**7.** $E_k = e^2B^2R^2/2m = 4.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 27\,\mathrm{MeV}$; $v =
\sqrt{2E_k/m} = 7.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 0.24c$.

**8.** $270$ putaran; $270 \times 43.5\,\mathrm{ns} = 12\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**9.** $\sum 2\pi R_n = 2\pi \times 0.030\sum\sqrt n \approx 2\pi \times 0.030
\times \tfrac23 \times 270^{3/2} = 560\,\mathrm{m}$.

**10.** Tidak: $E_k$ hanya bergantung pada $B$ dan $R_{\max}$; $U$ menetapkan jumlah putarannya dan waktunya.

**11.** [Lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) $560\,\mathrm{m}$: dituntut $\lambda \gtrsim 1\,\mathrm{km}$, yakni $p \lesssim 10^5\ \mathrm{Pa} \times 7\times10^{-8}/10^3 = 7 \times 10^{-6}\,\mathrm{Pa}$ — hampa yang tinggi.

**12.** $\gamma - 1 = 27/938 = 0.029$; periodenya tumbuh sebesar $2.9\%$. Sepanjang $270$ putaran gelincirnya menumpuk sampai beberapa periode — putaran terakhirnya akan keluar fase; dalam praktiknya $B$ dan fase suntikannya disetel, dan $27\,\mathrm{MeV}$ sudah dekat batas mesin sederhananya.

**13.** $E_k = (eBR)^2/2m$: $BR = \sqrt{2mE_k}/e = \sqrt{2 \times 1.67\times
10^{-27} \times 3.68\times10^{-11}}/1.6\times10^{-19} = 2.2\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}$; $R =
1.1\,\mathrm{m}$ pada $2\,\mathrm{T}$.

**14.** $T = 2\pi\gamma m/eB$ tumbuh sebesar $24\%$ dari pusat ke tepi: frekuensi yang tetap kehilangan langkahnya sama sekali.

**15.** Sinkrosiklotron: turunkan frekuensinya seiring bertambahnya energi gumpalannya — hanya satu gumpalan sekali jalan, arus rata-ratanya kecil. Isokron: bentuklah $B(R) \propto \gamma$ sehingga periodenya tinggal tetap — berkas yang sinambung, pilihan modern.

**16.** $p = \gamma mv = 1.245 \times 1.67\times10^{-27} \times 1.8\times10^8
= 3.7 \times 10^{-19}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $R = p/eB = 1.2\,\mathrm{m}$, sedikit lebih besar daripada $1.1\,\mathrm{m}$ yang tak relativistik.

**17.** Impuls melintangnya $eEL/v = 1.6\times10^{-19} \times 10^5 \times
1.0/1.8\times10^8 = 8.9 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; sudutnya $\approx 8.9\times10^{-23}/
3.7\times10^{-19} = 2.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$: tak ada harapan untuk mengemudi.

**18.** Secara magnetik: $R = p/eB = 2.3\,\mathrm{m}$, sudutnya $L/R = 0.43\,\mathrm{rad}
\approx 25^\circ$: seribu kali lebih besar — maka magnetlah pilihannya.

**19.** Energi tiap proton $3.68 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$; dosisnya $2.0 \times 0.50 =
1.0\,\mathrm{J}$: $2.7\times10^{10}$ proton.

**20.** $10^{-9}/1.6\times10^{-19} = 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{proton}/\mathrm{s}$: kira-kira $4.4\,\mathrm{s}$.

**21.** $P = 230\,\mathrm{MeV} \times 6.2 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1} = 0.23\,\mathrm{W}$: sebuah lampu malam, disampaikan tepat di tempat yang dikehendaki.

**22.** $58\,\mathrm{MeV}$ dalam $1\,\mathrm{cm}$: kira-kira $6\,\mathrm{keV}/\text{µ}\mathrm{m}$ — ionisasi yang padat menyusuri [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) terakhirnya.

**23.** $230\times10^6/30 \approx 8 \times 10^{6}$ ionisasi tiap proton — kerusakan molekuler yang membunuh selnya.

**24.** Sinar-X menyimpan energinya di sepanjang [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame), terbanyak di dekat pintu masuknya; proton menyimpan sebagian besarnya di ujung jangkauannya, menyisihkan jaringan di depannya dan tak meninggalkan apa pun di belakang.

**25.** $R = mv/eB$ dan $T = 2\pi m/eB$ (lingkarannya), $E_k = (eBR)^2/2m$ (energinya), $E_k/2eU$ (putarannya), dosis $=$ (proton $\times$ energi)/massa dan arus $= e \times$ laju (waktunya).