---
title: "Teori Kinetik dan Gas Ideal"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal
---

# Bab 20 — Teori Kinetik dan Gas Ideal

Udara di dalam sebuah ruang kelas seberat seorang dewasa, dan memuat lebih banyak molekul daripada butir pasir di Bumi, masing-masing terbang dengan laju peluru senapan dan bertumbukan sepuluh miliar kali tiap sekon dengan tetangganya. Tak seorang pun dapat mengikuti satu di antaranya; tak seorang pun perlu. Segenggam rata-rata — [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure), [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature), volume, jumlah zat — melukiskan udaranya secara lengkap bagi setiap keperluan keteknikan, dan gambaran sederhana tentang molekul yang memantul dari dinding menjelaskan dari mana rata-rata itu datang dan bagaimana semuanya berhubungan. Bab ini membuka bagian termodinamika volume ini dengan memandang materi dari kedua ujungnya: kekacauan mikroskopik dan ketenangan makroskopik, serta teori kinetik yang menghubungkan keduanya pada kasus [gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model).

## 20.1 Dua skala pemerian

**Definisi 20.1 (Skala mikroskopik dan makroskopik).**

Pada skala *mikroskopik* materi tersusun atas molekul: $1\,\mathrm{mol}$ memuat $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ di antaranya, masing-masing berukuran $0.3\,\mathrm{nm}$; dalam gas pada keadaan biasa jaraknya $3\,\mathrm{nm}$, bergerak dengan ratusan meter tiap sekon dan bertumbukan tiap $70\,\mathrm{nm}$ atau sekitarnya. Pada skala *makroskopik* sebuah sistem dilukiskan oleh beberapa *[variabel keadaan](#def-b1-kinetic-theory-equilibrium)* — [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) $P$, volume $V$, [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T$, jumlah zat $n$ — yang merupakan rata-rata atas molekul yang jumlahnya luar biasa besar. Sebuah variabel disebut *ekstensif* bila ia berlipat dua ketika sistemnya dilipatduakan ($V$, $n$, massa, energi), *intensif* bila tidak ($P$, $T$, massa jenis).

**Definisi 20.2 (Kesetimbangan termodinamika).**

Sebuah sistem berada dalam *kesetimbangan termodinamika* bila variabel keadaannya seragam dan tetap terhadap waktu serta tak ada aliran materi atau energi makroskopik yang melintasinya. Barulah ketika itu $P$ dan $T$ terdefinisi bagi sistemnya sebagai keseluruhan; *persamaan keadaan* menghubungkan keduanya dengan $V$ dan $n$.

**Definisi 20.3 (Tekanan).**

Fluida yang diam mendorong setiap unsur permukaan $\dd S$ sebuah dinding dengan gaya $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ yang tegak lurus padanya, menuju dindingnya; $P$ adalah *tekanan*, dalam pascal ($1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$); $1\,\mathrm{bar}
= 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. Pada sebuah titik ia tak bergantung pada arah hadap permukaannya ([Bab 21](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/21-statika-fluida#ch-b1-fluid-statics)).

**Definisi 20.4 (Suhu).**

Dua sistem yang bersentuhan melalui dinding yang meneruskan energi lama-kelamaan mencapai keadaan bersama: keduanya lalu bersuhu sama, itulah *suhu*, dan dua benda yang masing-masing setimbang dengan benda ketiga juga setimbang satu sama lain (*hukum ke-nol*). Skala kelvin ditetapkan oleh $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ secara eksak; Celsius: $\theta = T - 273.15$. Teori kinetik di bawah memberi $T$ makna mikroskopiknya.

## 20.2 Model kinetik gas ideal

**Definisi 20.5 (Gas ideal, model mikroskopik).**

Yang disebut *gas ideal* (gas sempurna) adalah kumpulan $N$ molekul, yang diperlakukan sebagai titik bermassa $m$, bergerak bebas dan acak — tanpa interaksi selain tumbukan singkat — di dalam wadah bervolume $V$. Pada kesetimbangan distribusi kecepatannya isotropik dan tunak; $n^* = N/V$ adalah konsentrasi molekulnya dan $\langle v^2\rangle$ kelajuan kuadrat rata-ratanya.

**Teorema 20.6 (Tekanan kinetik).**

[Tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) yang dikerahkan gasnya pada dindingnya adalah

$$
P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,
$$

dengan $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ adalah [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) rata-rata sebuah molekul.

**Bukti sebagian.** Ambil model sederhana yang di dalamnya semua molekulnya berkelajuan $u$ dan bergerak menyusuri ketiga sumbunya, seperenam ke tiap arah. Sebuah molekul yang menghantam dinding $x = 0$ tegak lurus memantul balik secara lenting dan menyampaikan momentum $2mu$ kepadanya. Dalam waktu $\dd t$, molekul yang bergerak menuju dindingnya dan mencapai luas $S$ adalah molekul di dalam lempeng setebal $u\,\dd t$, yaitu seperenam dari $n^*Su\,\dd t$ molekul di sana. Gaya $=$ momentum tiap waktu $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$, sehingga $P = \tfrac13 n^*mu^2$. Merata-ratakan atas distribusi kelajuan dan arah yang sebenarnya menggantikan $u^2$ dengan $\langle v^2\rangle$ (keisotropikannya memberikan $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$); volume Tahun ke-2 mengerjakannya secara lengkap. ∎

![Kiri: asal kinetik tekanan — molekul yang menghantam sebuah dinding lalu memantul balik menyampaikan momentum kepadanya; jumlahnya tiap sekon dikali 2mu adalah gayanya. Kanan: kelajuan yang sebenarnya tersebar (distribusi Maxwell, di sini untuk nitrogen pada dua suhu); satu-satunya u pada modelnya digantikan oleh kelajuan rms.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-kinetic-theory/fig-1fd54c475ce9.svg)

*Kiri: asal kinetik [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) — molekul yang menghantam sebuah dinding lalu memantul balik menyampaikan momentum kepadanya; jumlahnya tiap sekon dikali $2mu$ adalah gayanya. Kanan: kelajuan yang sebenarnya tersebar (distribusi Maxwell, di sini untuk nitrogen pada dua [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature)); satu-satunya $u$ pada modelnya digantikan oleh [kelajuan rms](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp).*

**Definisi 20.7 (Suhu kinetik; persamaan keadaan).**

[Suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature) sebuah [gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model) *didefinisikan* oleh [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) rata-rata molekulnya,

$$
\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,
$$

sehingga, digabungkan dengan [Teorema 20.6](#thm-b1-kinetic-theory-pressure),

$$
PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,
$$

itulah *persamaan keadaan [gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model)*. Yang disebut *kelajuan rms* (akar rata-rata kuadrat) adalah $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$, dengan $M$ massa molarnya.

**Contoh 20.8 (Angka-angka untuk udara).**

Nitrogen pada $300\,\mathrm{K}$: $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} =
517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; hidrogen, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; makin berat makin lambat, sebagai $1/\sqrt M$. Pada $1\,\mathrm{bar}$ dan $300\,\mathrm{K}$, $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$: $24\,\mathrm{L}$ tiap [mol](#def-b1-kinetic-theory-scales), $2.7 \times 10^{22}\,$ molekul dalam satu liter. Ruang kelas $200\,\mathrm{m}^{3}$: $8300\,\mathrm{mol}$, $240\,\mathrm{kg}$ udara.

**Catatan 20.9 (Mengapa modelnya berhasil, dan kapan ia gagal).**

Di antara dua tumbukan sebuah molekul udara terbang sejauh *[lintasan bebas rata-rata](#rem-b1-kinetic-theory-validity)* $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — dua ratus kali ukurannya: gasnya sebagian besar kosong, interaksinya jarang, dan $PV = nRT$ berlaku dengan ketelitian lebih baik daripada satu persen pada [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) biasa. Pada [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) tinggi atau [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature) rendah volume molekulnya sendiri dan tarikannya berperan: persamaan van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ mengoreksi keduanya, dan di bawah [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature) kritis gasnya mencair ([Bab 25](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/25-perubahan-fase-zat-murni#ch-b1-phase-changes)).

![Diagram Clapeyron sebuah gas ideal: pada tiap suhu isotermnya berupa hiperbola P = nRT/V, makin tinggi untuk T yang makin tinggi. Sebuah transformasi adalah lintasan pada bidang ini; sebuah siklus, lintasan tertutup ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-kinetic-theory/fig-010903a70bbd.svg)

*Diagram Clapeyron sebuah [gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model): pada tiap [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature) isotermnya berupa hiperbola $P = nRT/V$, makin tinggi untuk $T$ yang makin tinggi. Sebuah transformasi adalah [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) pada bidang ini; sebuah siklus, [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) tertutup ([Bab 24](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/24-mesin-kalor-dan-mesin-termodinamika#ch-b1-heat-engines)).*

## 20.3 Energi dalam gas ideal

**Definisi 20.10 (Energi dalam).**

Yang disebut *energi dalam* $U$ sebuah sistem adalah jumlah [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) molekulnya dalam kerangka tempat sistemnya diam ditambah [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) timbal baliknya; ia adalah fungsi keadaan yang ekstensif.

**Proposisi 20.11 (Energi dalam gas ideal).**

Bagi [gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model) $U$ hanya bergantung pada $T$ ([hukum Joule](#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) pertama):

$$
\begin{gather*}
U = \tfrac32 nRT \quad (\text{monoatomik: He, Ne, Ar}), \\
U = \tfrac52 nRT \quad (\text{diatomik pada suhu biasa: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2),
\end{gather*}
$$

sehingga kapasitas kalor molar pada volume tetap $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ berturut-turut bernilai $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ dan $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$.

**Bukti sebagian.** Tak ada [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) timbal balik menurut hipotesisnya, sehingga $U = N\langle\epsilon_k\rangle
= \tfrac32 Nk_BT$ bagi molekul titik. Molekul diatomik juga berputar: masing-masing dari kedua derajat kebebasan rotasinya mengemban, pada kesetimbangan, $\tfrac12 k_BT$ yang sama seperti tiap derajat kebebasan translasinya (teorema *ekipartisi*, diterima tanpa bukti; volume Tahun ke-3 menurunkannya dan menjelaskan mengapa getarannya baru ikut serta di atas seribu [kelvin](#def-b1-kinetic-theory-temperature)). ∎

**Contoh 20.12 (Sekelas udara).**

Udara $8300\,\mathrm{mol}$ di ruang kelas pada $300\,\mathrm{K}$: $U = \tfrac52 \times
8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — energi satu setengah liter bensin, yang tersimpan dalam gerak molekul. Menghangatkan ruangannya sebesar $1$ K menuntut $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (pada volume tetap).

## 20.4 Fase terkondensasi

**Proposisi 20.13 (Model fase tak termampatkan dan tak termuaikan).**

Zat cair dan zat padat dimodelkan, pada tingkat ini, sebagai fase yang volumenya tetap — tak termampatkan maupun termuaikan — yang [energi dalamnya](#def-b1-kinetic-theory-U) hanya bergantung pada $T$: $\dd U = C\,\dd T$ dengan $C = mc$, dengan $c$ kalor jenisnya ($4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ untuk air, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ untuk baja). Simpangan nyatanya yang kecil diukur oleh koefisien pemuaian $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ($\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ untuk logam, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ untuk zat cair) dan kompresibilitas isotermal $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ($\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ untuk air, berbanding $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ untuk gas).

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 20.14 (Seberapa tak termampatkan).**

Air di dasar Palung Mariana ($1100\,\mathrm{bar}$) termampatkan sebesar $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$; sebatang rel baja $30\,\mathrm{m}$ yang dihangatkan sebesar $50$ K memanjang sebesar $\alpha L\Delta T =
18\,\mathrm{mm}$ — itulah alasan sambungan muai. Dibandingkan gas, yang volumenya menjadi separuh di bawah [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) yang dilipatduakan, model volume tetap ini baik sampai beberapa persen pada kebanyakan keadaan dalam volume ini.

## 20.5 Latihan

**Latihan 20.1 ★.**

Jumlah molekul dalam $1.0\,\mathrm{L}$ gas pada $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $1\,\mathrm{atm}$; jarak rata-rata antar tetangga; bandingkan dengan ukuran molekulnya $0.3\,\mathrm{nm}$.

**Solusi Latihan 20.1.**

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) =
2.7 \times 10^{22}$; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$, sepuluh kali ukuran molekulnya.

**Latihan 20.2 ★.**

[Kelajuan rms](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) H$_2$, N$_2$, O$_2$ dan CO$_2$ pada $300\,\mathrm{K}$, dan N$_2$ pada $77\,\mathrm{K}$ (nitrogen yang mendidih).

**Solusi Latihan 20.2.**

$u = \sqrt{3RT/M}$: H$_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, N$_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, O$_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, CO$_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; N$_2$ pada $77\,\mathrm{K}$: $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Latihan 20.3 ★.**

Sebuah ban mobil bervolume $30\,\mathrm{L}$ dipompa sampai [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) tolok $2.5\,\mathrm{bar}$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$. Jumlah zat dan massa udara di dalamnya; [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) mutlaknya setelah perjalanan yang memanaskannya sampai $50{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solusi Latihan 20.3.**

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ mutlak: $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314
\times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$, $125\,\mathrm{g}$. Pada $323\,\mathrm{K}$, $P \propto T$: $3.86\,\mathrm{bar}$ (tolok $2.85\,\mathrm{bar}$).

**Latihan 20.4 ★.**

Taksirlah [lintasan bebas rata-rata](#rem-b1-kinetic-theory-validity) molekul udara pada $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$ ($d = 0.37\,\mathrm{nm}$), dan frekuensi tumbukan satu molekul. Pada [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) berapa [lintasan bebas rata-ratanya](#rem-b1-kinetic-theory-validity) mencapai $1\,\mathrm{m}$ (sebuah “hampa”)?

**Solusi Latihan 20.4.**

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times
10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$; frekuensinya $u/\lambda \approx
500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\lambda \propto 1/P$: $1\,\mathrm{m}$ pada $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$.

**Latihan 20.5 ★★.**

Massa jenis udara pada $1.013\,\mathrm{bar}$ dan $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$), lalu pada $100{}^{\circ}\mathrm{C}$. Daya angkat sebuah balon udara panas $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (selisih kedua berat udaranya).

**Solusi Latihan 20.5.**

$\rho = PM/RT$: $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $293\,\mathrm{K}$, $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $373\,\mathrm{K}$. Daya angkatnya $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$: kira-kira $720\,\mathrm{kg}$.

**Latihan 20.6 ★★.**

Udara terdiri atas $21\%$ O$_2$ menurut jumlah molekulnya. [Tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parsial oksigen di permukaan laut; pada $5000\,\mathrm{m}$ tempat $P = 0.54\,\mathrm{atm}$; di puncak Everest ($0.33\,\mathrm{atm}$). Mengapa tubuh kepayahan di sana?

**Solusi Latihan 20.6.**

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$: $0.21\,\mathrm{atm}$; $0.11\,\mathrm{atm}$ pada $5000\,\mathrm{m}$; $0.07\,\mathrm{atm}$ di Everest — sepertiga nilainya di permukaan laut. Oksigen masuk ke dalam darah sebanding dengan [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parsialnya; pada sepertiganya, paru-paru tak dapat menjenuhkan hemoglobinnya.

**Latihan 20.7 ★★.**

Satu [mol](#def-b1-kinetic-theory-scales) CO$_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ dalam $1.0\,\mathrm{L}$: [tekanannya](#def-b1-kinetic-theory-pressure) menurut hukum [gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model), lalu menurut van der Waals ($a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$, $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$). Koreksi mana yang berkuasa di sini?

**Solusi Latihan 20.7.**

[Gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model): $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$. Van der Waals: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 =
22.4\,\mathrm{bar}$: tarikannya ($-3.6$ [bar](#def-b1-kinetic-theory-pressure)) mengalahkan volume tersingkirnya ($+1.2$ [bar](#def-b1-kinetic-theory-pressure)); CO$_2$ yang sebenarnya $10\%$ di bawah nilai idealnya.

**Latihan 20.8 ★★.**

[Energi dalam](#def-b1-kinetic-theory-U) udara di sebuah ruangan $50\,\mathrm{m}^{3}$ pada $1\,\mathrm{bar}$, $300\,\mathrm{K}$; energi untuk menghangatkannya sebesar $5\,\mathrm{K}$ pada volume tetap; waktunya dengan pemanas $2\,\mathrm{kW}$ (tanpa kerugian).

**Solusi Latihan 20.8.**

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$; $U = \tfrac52
nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$; $104\,\mathrm{s}$ dengan $2\,\mathrm{kW}$.

**Latihan 20.9 ★★.**

Sebatang rel baja $30\,\mathrm{m}$ ($\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$) di antara $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ dan $40{}^{\circ}\mathrm{C}$: perubahan panjangnya. Sebuah cincin kuningan ($\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$) bergaris tengah dalam $49.95\,\mathrm{mm}$ harus dapat disarungkan pada poros $50.00\,\mathrm{mm}$: sebesar apa ia harus dipanaskan?

**Solusi Latihan 20.9.**

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$. Cincin: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$: $\Delta T = 10^{-3}/
1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (lubangnya memuai seperti logam di sekelilingnya).

**Latihan 20.10 ★★★.**

Energi tiap molekul pada $300\,\mathrm{K}$ ($\tfrac32 k_BT$) dalam joule dan eV; kapasitas kalor molar $C_{V,m}$ argon dan nitrogen; mengapa kapasitas kalor nitrogen lebih besar padahal molekulnya lebih ringan?

**Solusi Latihan 20.10.**

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$. Argon $\tfrac32 R =
12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$; nitrogen $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$: molekul diatomiknya juga menyimpan [energi dalam](#def-b1-kinetic-theory-U) rotasi (dua derajat kebebasan tambahan), berapa pun massanya.

**Latihan 20.11 ★★★.**

Ulangi penurunan [tekanan kinetiknya](#thm-b1-kinetic-theory-pressure) pada model enam arah, lalu tunjukkan bahwa bagi distribusi kecepatan yang isotropik $\langle v_x^2\rangle
= \tfrac13\langle v^2\rangle$ dan bahwa rumus [tekanannya](#def-b1-kinetic-theory-pressure) tak berubah.

**Solusi Latihan 20.11.**

Model enam arah: seperti dalam teksnya, $P = \tfrac13 n^*mu^2$. Keisotropikan: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ dan jumlah ketiganya $\langle v^2\rangle$, sehingga masing-masing $\tfrac13\langle v^2\rangle$. Alasan fluksnya dengan sebuah distribusi memberikan $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (molekul dengan $v_x > 0$ yang menghantam dindingnya, masing-masing bermomentum $2mv_x$, berfluks $n^*v_x/2$ tiap kelas kelajuan, lalu dirata-ratakan), yakni $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — sama saja.

**Latihan 20.12 ★★★.**

[Kelajuan rms](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) H$_2$ dan O$_2$ pada $300\,\mathrm{K}$ dibandingkan dengan [laju lepas](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#prop-b1-central-forces-escape) Bumi, dan [laju lepas](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#prop-b1-central-forces-escape) Bulan ($2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$). Dengan mengetahui bahwa pecahan molekul yang lebih cepat daripada $3u$ kecil tetapi tak nol, jelaskan mengapa Bumi telah kehilangan hidrogennya dan Bulan seluruh atmosfernya.

**Solusi Latihan 20.12.**

H$_2$: $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, O$_2$: $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; Bumi $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, Bulan $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Bagi O$_2$ di Bumi, $v_e/u = 23$: ekor distribusi di luar itu sama sekali dapat diabaikan; bagi H$_2$, $v_e/u \approx 6$: pecahan yang amat kecil tetapi tetap lolos tiap tahun, dan sepanjang miliaran tahun hidrogennya habis. Di Bulan, $v_e/u$ bernilai $5$ bagi O$_2$ dan $1.2$ bagi H$_2$: semuanya bocor pergi.

## 20.6 Soal: Udara di dalam ruangan

**Soal 20.1.**

Soal akhir pekan — seruang kelas udara: menghitung molekulnya, menimbangnya, mengukur waktu terbangnya, dan memulihkan dari model yang sama daya angkat sebuah balon, tipisnya udara gunung, dan laju bunyi

Sebuah ruang kelas berukuran $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$; udaranya berada pada $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, $T = 293\,\mathrm{K}$, massa molar $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $79\%$ N$_2$ dan $21\%$ O$_2$ menurut jumlah molekulnya. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Bagian I — Menghitung dan menimbang.**

1. Jumlah zat udara ( [mol](#def-b1-kinetic-theory-scales) ) dan jumlah molekul di dalam ruangannya.
2. Massa udaranya; bandingkan dengan seorang manusia.
3. Konsentrasi molekulnya $n^*$ dan jarak rata-rata antar molekul ( $n^{*-1/3}$ ); bandingkan dengan garis tengah molekulnya $0.37\,\mathrm{nm}$ .
4. [Kelajuan rms](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) N $_2$ dan O $_2$ ; mengapa gas yang lebih berat bergerak lebih lambat pada [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature) yang sama?
5. [Energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) rata-rata satu molekul; [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) translasi total udara di ruangan itu; bandingkan dengan [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) sebuah mobil pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
6. [Lintasan bebas rata-rata](#rem-b1-kinetic-theory-validity) $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ dan waktu rata-rata antara dua tumbukan sebuah molekul.

**Bagian II — [Tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) dari hantaman.**

7. Dengan memakai model enam arah dengan $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , hitunglah jumlah hantaman tiap sekon pada $1\,\mathrm{cm}^{2}$ dindingnya.
8. Hitunglah momentum yang disampaikan tiap sekon, lalu periksalah bahwa ia menghasilkan kembali [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosfernya.
9. Gaya total udaranya pada satu dinding seluas $8\,\mathrm{m}$ kali $2.5\,\mathrm{m}$ ; mengapa dindingnya tak bergerak?
10. Ruangannya dihangatkan sampai $303\,\mathrm{K}$ dengan jendela tertutup dan tersegel: berapa [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) barunya, dan berapa gaya total pada dindingnya kini.
11. Penghangatan yang sama dengan jendela terbuka: apa yang pergi, dan berapa banyak?

**Bagian III — Gaya apung.**

12. Massa jenis udara di ruangan itu, dan massa jenis udara pada $373\,\mathrm{K}$ pada [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) yang sama.
13. Sebuah balon udara panas bervolume $2800\,\mathrm{m}^{3}$ diisi udara pada $373\,\mathrm{K}$ : berat udara panasnya, berat udara dingin yang didesaknya, dan daya angkat yang tersedia (Archimedes, [Bab 21](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/21-statika-fluida#ch-b1-fluid-statics) ).
14. Selubung, keranjang, pembakar dan gasnya berbobot $300\,\mathrm{kg}$ : berapa banyak penumpang $75\,\mathrm{kg}$ yang dapat diangkatnya?
15. Sampai [suhu](#def-b1-kinetic-theory-temperature) berapa udaranya harus dipanaskan untuk melipatduakan daya angkatnya, dan mengapa itu tidak dilakukan (selubungnya nilon)?
16. Sebuah balon helium bervolume sama pada $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): berapa daya angkatnya? Mengapa balon wisata tetap memakai udara panas?

**Bagian IV — Udara tipis dan laju bunyi.**

17. [Tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parsial oksigen di dalam ruangan itu.
18. Di puncak Everest $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ dan $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : konsentrasi molekul oksigennya dibandingkan dengan yang di ruangan itu.
19. [Tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosfer turun terhadap ketinggian kira-kira sebagai $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ dengan $H = RT/Mg$ ( [Bab 21](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/21-statika-fluida#ch-b1-fluid-statics) ): hitunglah $H$ untuk $260\,\mathrm{K}$ dan ketinggian tempat $P = P_0/2$ .
20. Laju bunyi dalam [gas ideal](#def-b1-kinetic-theory-model) adalah $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ dengan $\gamma = 1.4$ untuk udara ( [Bab 22](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/22-hukum-pertama-termodinamika#ch-b1-first-law) ): hitunglah pada $293\,\mathrm{K}$ lalu bandingkan dengan kelajuan rms-nya; tafsirkan kedekatannya.
21. Bagaimana $c_s$ berubah terhadap $T$ ? Laju bunyi di ruangan itu pada $303\,\mathrm{K}$ , dan dalam helium pada $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ): mengapa suara helium terdengar tinggi?
22. Di puncak Everest, apakah bunyi lebih cepat atau lebih lambat daripada di ruangan itu? Sebesar apa?
23. Udara di ruangan itu diganti argon pada $P$ dan $T$ yang sama: apa yang berubah pada jumlahnya, massanya, kelajuannya, dan [energi dalamnya](#def-b1-kinetic-theory-U) ?
24. [Energi dalam](#def-b1-kinetic-theory-U) udara di ruangan itu ( $U = \tfrac52 nRT$ ) dan energi untuk menghangatkannya sebesar $10\,\mathrm{K}$ pada volume tetap.
25. Ringkaslah dalam tiga baris apa yang diberikan model kinetiknya: besaran makroskopik mana yang dijelaskannya, dan dari satu rata-rata mikroskopik yang mana.

**Solusi Soal 20.1.**

**1.** $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$: $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314
\times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$.

**2.** $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$: tiga orang.

**3.** $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; jaraknya $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$, sembilan garis tengah molekul.

**4.** N$_2$: $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; O$_2$: $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Dengan $\tfrac32 k_BT$ yang sama tiap molekul: $\tfrac12 mu^2$ tetap, sehingga $u \propto 1/\sqrt m$.

**5.** $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$; totalnya $N \times 6.1\times10^{-21}
= 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; sebuah mobil $1000\,\mathrm{kg}$ pada $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — gerak molekul di ruangan itu setara delapan puluh mobil.

**6.** $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25})
= 66\,\mathrm{nm}$; waktunya $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**7.** Hantaman tiap sekon pada $S$: $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times
10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**8.** Masing-masing memberi $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$): gayanya $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23}
= 10\,\mathrm{N}$ pada $1\,\mathrm{cm}^{2}$: $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. Modelnya menghasilkan kembali [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosfer.

**9.** $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — dua ratus ton; [tekanan](#def-b1-kinetic-theory-pressure) yang sama bekerja di sisi lainnya.

**10.** $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; selisihnya $\Delta P\,S = 3.5
\times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ ke luar: tujuh ton pada dindingnya.

**11.** Udaranya mengalir keluar sampai [tekanannya](#def-b1-kinetic-theory-pressure) menyamai: $n \propto 1/T$ pada $P$, $V$ tetap: $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$, $8\,\mathrm{kg}$ pergi.

**12.** $\rho = PM/RT$: $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $293\,\mathrm{K}$; $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ pada $373\,\mathrm{K}$.

**13.** Udara panasnya $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$; udara dingin yang didesaknya $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$; daya angkatnya $7.1\,\mathrm{kN}$ ($725\,\mathrm{kg}$).

**14.** $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$: lima penumpang.

**15.** Daya angkatnya $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$: untuk melipatduakan $1 - 293/373 = 0.215$ dituntut $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ($240{}^{\circ}\mathrm{C}$), jauh di atas yang ditahan nilon (kira-kira $120{}^{\circ}\mathrm{C}$).

**16.** Helium $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: daya angkatnya $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ($2.9\,\mathrm{t}$), empat kali lebih besar — tetapi helium mahal dan hilang pada tiap pendaratan, sedangkan udara panas gratis dan daya angkatnya dapat diatur dengan pembakarnya.

**17.** $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$.

**18.** $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$: ruangan $2.1\times10^4/
(1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$; Everest $0.21 \times 0.33
\times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$: $38\%$ dari nilai di ruangan itu.

**19.** $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$; $P_0/2$ pada $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$.

**20.** $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, berbanding $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bagi campurannya: $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$. Bunyi adalah usikan yang dibawa oleh molekulnya sendiri, sehingga ia merambat dengan laju yang seorde dengan laju molekulnya — sedikit lebih kecil, karena hanya komponen menyusuri arah rambatnya yang berperan.

**21.** $c_s \propto \sqrt T$: $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Helium: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: resonansi saluran suaranya berskala dengan $c_s$, sehingga setiap forman menjadi tiga kali lebih tinggi.

**22.** Lebih dingin: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $8\%$ lebih lambat; [tekanannya](#def-b1-kinetic-theory-pressure) tak masuk hitungan.

**23.** $N$ sama (dengan $P$, $V$, $T$ yang sama); massanya $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$; kelajuannya $\times\sqrt{29/40}$: $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $U = \tfrac32 nRT$ dan bukan $\tfrac52$: $60\%$.

**24.** $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$.

**25.** Satu rerata, $\langle v^2\rangle$, menetapkan [tekanannya](#def-b1-kinetic-theory-pressure) ($\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$), mendefinisikan [suhunya](#def-b1-kinetic-theory-temperature) ($\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$), memberikan persamaan keadaannya dan [energi dalamnya](#def-b1-kinetic-theory-U), serta menetapkan skala laju bunyinya.