---
title: "Mesin Kalor dan Mesin Termodinamika"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/24-mesin-kalor-dan-mesin-termodinamika
---

# Bab 24 — Mesin Kalor dan Mesin Termodinamika

Mesin mobil, pembangkit listrik, [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) dan [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) adalah benda yang sama yang dilihat dari empat sisi: sebuah fluida yang dibawa mengelilingi sebuah siklus, bergantian bersentuhan dengan sumber panas dan sumber dingin, bertukar kalor dengan keduanya dan bertukar usaha dengan sebuah poros. Hukum pertama membukukan energinya; hukum kedua, melalui neraca entropi sepanjang satu siklus, menetapkan batas yang tak dapat dikalahkan kepandaian apa pun — teorema Carnot, yaitu ketaksamaan yang paling berpengaruh dalam keteknikan. Bab ini menurunkan batas itu, menghitung siklus idealnya dan siklus nyata yang mendekatinya (Otto, Diesel, Stirling), membalikkan mesinnya untuk membuat dingin dan untuk memanaskan rumah, serta memperlihatkan bagaimana entropi yang tercipta pada mesin nyata dibayar, joule demi joule, dengan [usaha yang hilang](#thm-b1-heat-engines-lostwork).

## 24.1 Mesin bersiklus dan kedua hukumnya

**Definisi 24.1 (Mesin termodinamika).**

Yang disebut *mesin termodinamika* adalah [sistem tertutup](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#def-b1-newton-dynamics-conservation) (fluida kerjanya) yang dibawa mengelilingi sebuah *siklus*, sehingga ia kembali secara berkala ke keadaan yang sama, sambil bertukar usaha $W$ dengan luarnya dan kalor $Q_i$ dengan sumber-sumber bersuhu $T_i$ — yaitu *termostat*, yang suhunya tak diubah oleh pertukaran itu. Sebuah mesin *diterm* memakai dua termostat, sumber panas pada $T_h$ dan sumber dingin pada $T_c < T_h$. Ia disebut *mesin* bila ia menyampaikan usaha ($W < 0$), sebuah *lemari es* bila ia digerakkan ($W > 0$) untuk mengambil kalor dari sumber dinginnya, dan sebuah *pompa kalor* bila ia digerakkan untuk memberi kalor kepada sumber panasnya. Semua besarannya dihitung sepanjang satu siklus, secara aljabar, sebagai yang diterima fluidanya.

**Teorema 24.2 (Kedua hukumnya sepanjang satu siklus; ketaksamaan Clausius).**

Sepanjang satu siklus sebuah mesin diterm,

$$
W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad
\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{cipta}} \leq 0 ,
$$

dengan kesamaan pada hubungan yang kedua jika dan hanya jika siklusnya reversibel. Secara lebih umum, bagi berapa pun banyaknya [termostat](#def-b1-heat-engines-machine), $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (*ketaksamaan Clausius*).

**Bukti.** $U$ dan $S$ adalah fungsi keadaan, sehingga $\Delta U = 0$ dan $\Delta S = 0$ sepanjang satu siklus. Hukum pertamanya memberikan $0 = W + Q_h + Q_c$; neraca entropinya ([Teorema 23.1](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/23-hukum-kedua-entropi#thm-b1-second-law-entropy-secondlaw)) memberikan $0 = S_{\mathrm{tukar}} +
S_{\mathrm{cipta}}$ dengan $S_{\mathrm{tukar}} = \sum Q_i/T_i$ karena tiap [termostatnya](#def-b1-heat-engines-machine) bertukar pada suhunya sendiri yang tetap ([Proposisi 23.5](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/23-hukum-kedua-entropi#prop-b1-second-law-entropy-thermostat)). ∎

**Akibat 24.3 (Kelvin sekali lagi).**

Sebuah mesin *monoterm* ($Q_c = 0$) mempunyai $Q_h \leq 0$, sehingga $W \geq 0$: tak ada siklus yang dapat mengubah kalor satu sumber saja menjadi usaha. Sebuah kapal tak dapat berlayar dengan mendinginkan lautnya — sebuah mesin memerlukan sumber dingin untuk membuang kalor, dan hukum kedua mengatakan berapa banyak yang harus dibuangnya.

![Dua arah mengelilingi siklus diterm. Kiri: mesinnya mengambil kalor dari sumber panasnya, membuang sebagian ke sumber dinginnya lalu menyampaikan selisihnya sebagai usaha. Kanan: mesin yang sama yang digerakkan mundur memompa kalor dari yang dingin ke yang panas; ia sebuah lemari es bila yang dikehendaki Q_c, sebuah pompa kalor bila yang dikehendaki |Q_h|.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-1e8cd0a8dcb0.svg)

*Dua arah mengelilingi siklus diterm. Kiri: mesinnya mengambil kalor dari sumber panasnya, membuang sebagian ke sumber dinginnya lalu menyampaikan selisihnya sebagai usaha. Kanan: mesin yang sama yang digerakkan mundur memompa kalor dari yang dingin ke yang panas; ia sebuah [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) bila yang dikehendaki $Q_c$, sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) bila yang dikehendaki $|Q_h|$.*

## 24.2 Teorema Carnot

**Definisi 24.4 (Efisiensi dan koefisien kinerja).**

Yang disebut *efisiensi* sebuah mesin adalah usaha yang disampaikannya tiap satuan kalor yang diambil dari sumber panasnya, $\eta = -W/Q_h$; yang disebut *koefisien kinerja* (COP) sebuah [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) adalah dingin yang dihasilkannya tiap satuan usaha, $e_f = Q_c/W$; dan bagi [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) adalah kalor yang disampaikannya tiap satuan usaha, $e_p = -Q_h/W$. Masing-masing adalah nisbah “apa yang dikehendaki” terhadap “apa yang dibayar”; sebuah efisiensi paling besar 1, sebuah COP dapat melebihi 1.

**Teorema 24.5 (Carnot).**

Di antara [termostat](#def-b1-heat-engines-machine) $T_h > T_c$,

$$
\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad
e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad
e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},
$$

dengan kesamaan jika dan hanya jika siklusnya reversibel. Batasnya hanya bergantung pada suhunya — bukan pada fluidanya, bukan pada mekanismenya.

**Bukti.** Bagi sebuah mesin ($Q_h > 0$): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$, dan ketaksamaan Clausius memberikan $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$. Bagi sebuah [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) ($Q_c > 0$, $W > 0$): $W = -Q_h - Q_c$ dengan $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$, sehingga $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ dan $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$. Bagi [pompa kalornya](#def-b1-heat-engines-machine), $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$. Kesamaannya adalah kasus reversibel $S_{\mathrm{cipta}} = 0$ di seluruhnya. ∎

**Contoh 24.6 (Tiga angka).**

Sebuah turbin uap di antara $T_h = 800\,\mathrm{K}$ dan sebuah sungai pada $T_c = 300\,\mathrm{K}$: $\eta_C = 0.625$; pembangkit nyata mencapai kira-kira $0.40$. Sebuah [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) rumah tangga di antara $275\,\mathrm{K}$ di dalamnya dan sebuah dapur pada $298\,\mathrm{K}$: $e_f \leq 275/23 = 12$; mesin nyata memberikan $2$ sampai $4$. Sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) yang menghangatkan rumah pada $293\,\mathrm{K}$ dari udara pada $273\,\mathrm{K}$: $e_p \leq 293/20 = 14.7$; pompa nyata memberikan $3$ sampai $5$ — masih tiga sampai lima kali yang akan diberikan listrik yang sama di dalam sebuah [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) ([Soal 24.1](#pb-b1-heat-engines-1)).

**Catatan 24.7 (Mengapa efisiensinya tak dapat bernilai 1).**

Sebuah mesin menerima entropi $Q_h/T_h$ bersama kalor yang diambilnya; usaha tak membawa apa pun keluar; satu-satunya pintu keluarnya adalah kalor yang dibuang ke sumber dinginnya, yang membawa $|Q_c|/T_c$. Karena entropi tak dapat diciptakan negatif, sekurang-kurangnya $Q_h T_c/T_h$ kalor harus dibuang, dan usahanya adalah sisanya. Makin rendah sumber dinginnya dan makin tinggi sumber panasnya, makin baik — dari sinilah menara pendinginnya, dan perburuan sudu turbin yang makin panas.

## 24.3 Siklus Carnot

**Definisi 24.8 (Siklus Carnot).**

Yang disebut *siklus Carnot* adalah siklus diterm yang reversibel: dua isoterm reversibel, pada $T_h$ (dalam sentuhan dengan sumber panasnya) dan pada $T_c$ (dengan sumber dinginnya), yang dihubungkan oleh dua kaki adiabatik reversibel (isentropik, tanpa sumber yang bersentuhan). Ditempuh searah jarum jam pada bidang $(V, P)$ ia sebuah mesin; berlawanan arah jarum jam, sebuah [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) atau [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine). Pada [diagram entropinya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/23-hukum-kedua-entropi#def-b1-second-law-entropy-TS) ia berupa persegi panjang.

**Proposisi 24.9 (Siklus Carnot sebuah gas ideal).**

Bagi $n$ [mol](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-scales) [gas ideal](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-model) yang dibawa mengelilingi $A \to B$ (isoterm $T_h$, ekspansi), $B \to C$ (adiabat), $C \to D$ (isoterm $T_c$, pemampatan), $D \to A$ (adiabat):

$$
Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,
$$

yaitu nilai Carnot — sebagaimana seharusnya bagi sebarang siklus diterm yang reversibel.

**Bukti.** Pada sebuah isoterm $\Delta U = 0$, sehingga $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{akhir}}/
V_{\text{awal}})$. Pada adiabatnya $TV^{\gamma-1}$ tetap: $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ dan $T_hV_A^{\gamma-1} =
T_cV_D^{\gamma-1}$, sehingga $V_C/V_D = V_B/V_A$ dan $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) =
-nRT_c\ln(V_B/V_A)$. Lalu $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$. ∎

![Siklus Carnot sebuah gas ideal. Kiri: pada diagram Clapeyron dua isoterm dan dua adiabat yang lebih curam, ditempuh searah jarum jam; luas yang dilingkupinya adalah usaha yang disampaikan. Kanan: siklus yang sama pada diagram entropi berupa persegi panjang setinggi T_h - T_c dan selebar Q_h/T_h; luasnya sekali lagi -W, dan nisbah luas itu terhadap luas di bawah sisi atasnya, Q_h, adalah 1 - T_c/T_h dengan sekali pandang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-e28e3465c7f3.svg)

![Siklus Carnot sebuah gas ideal. Kiri: pada diagram Clapeyron dua isoterm dan dua adiabat yang lebih curam, ditempuh searah jarum jam; luas yang dilingkupinya adalah usaha yang disampaikan. Kanan: siklus yang sama pada diagram entropi berupa persegi panjang setinggi T_h - T_c dan selebar Q_h/T_h; luasnya sekali lagi -W, dan nisbah luas itu terhadap luas di bawah sisi atasnya, Q_h, adalah 1 - T_c/T_h dengan sekali pandang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-a7ec08597e47.svg)

*[Siklus Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) sebuah [gas ideal](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-model). Kiri: pada diagram Clapeyron dua isoterm dan dua adiabat yang lebih curam, ditempuh searah jarum jam; luas yang dilingkupinya adalah usaha yang disampaikan. Kanan: siklus yang sama pada [diagram entropi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/23-hukum-kedua-entropi#def-b1-second-law-entropy-TS) berupa persegi panjang setinggi $T_h - T_c$ dan selebar $Q_h/T_h$; luasnya sekali lagi $-W$, dan nisbah luas itu terhadap luas di bawah sisi atasnya, $Q_h$, adalah $1 - T_c/T_h$ dengan sekali pandang.*

**Catatan 24.10 (Siklus Carnot adalah teorema, bukan mesin).**

Isoterm reversibel menuntut perpindahan kalor yang sangat lambat menyeberangi selisih suhu yang lenyap: sebuah mesin Carnot menyampaikan usaha maksimalnya pada daya nol. Mesin nyata menukar [efisiensi](#def-b1-heat-engines-efficiency) dengan daya dengan menerima selisih suhu yang berhingga pada penukar kalornya ([Latihan 24.10](#exo-b1-heat-engines-10)); nilai Carnot tetap menjadi langit-langit yang menjadi ukuran setiap rancangan.

## 24.4 Siklus mesin yang nyata

**Proposisi 24.11 (Siklus Otto).**

Mesin bensin yang diidealkan membawa udaranya ($\gamma$) mengelilingi: $1 \to 2$ pemampatan adiabatik dari $V_1$ ke $V_2$ (*[nisbah kompresi](#prop-b1-heat-engines-otto)* $r = V_1/V_2$); $2 \to 3$ pemanasan isokorik (yaitu pembakarannya); $3 \to 4$ ekspansi adiabatik kembali ke $V_1$; $4 \to 1$ pendinginan isokorik (yaitu gas buangnya). [Efisiensinya](#def-b1-heat-engines-efficiency) adalah

$$
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .
$$

**Bukti.** Kalor dipertukarkan hanya pada isokornya: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ dan $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$. Pada adiabatnya $TV^{\gamma-1}$ tetap: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ dan $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$, sehingga $T_3 - T_2 =
(T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ dan $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$. ∎

**Contoh 24.12 (Angka-angka untuk mesin bensin).**

$r = 9$, $\gamma = 1.4$: $9^{0.4} = 2.41$ dan $\eta = 0.58$. Mesin yang nyata memberikan kira-kira $0.30$: pembakarannya tidak seketika, gasnya tidak ideal pada $2500\,\mathrm{K}$, kalornya bocor ke dindingnya, gesekan dan pemompaan mengambil bagiannya. Menaikkan $r$ membantu — sampai campuran udara–bahan bakarnya menyala sendiri di akhir pemampatannya (ketukan); mesin Diesel mengubah cacat itu menjadi asasnya.

**Proposisi 24.13 (Siklus Diesel).**

Gantilah pemanasan isokorik [siklus Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) dengan pemanasan isobarik, dari $V_2$ ke $V_3 = \rho V_2$ (*nisbah pancung* $\rho > 1$): bahan bakar yang disuntikkan ke dalam udara yang sudah panas oleh [nisbah kompresi](#prop-b1-heat-engines-otto) $r$ sebesar $15$ sampai $22$ terbakar begitu ia tiba. Maka

$$
\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,
$$

yang lebih kecil daripada nilai Otto untuk $r$ yang sama tetapi dicapai dengan $r$ yang jauh lebih besar, sehingga dalam praktiknya lebih besar ($0.40$ sampai $0.45$ bagi mesin besar).

**Bukti.** $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$, $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$, sehingga $\eta = 1 -
(T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$. Dengan $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$, $T_3 =
\rho T_2$ dan, pada adiabat $3 \to 4$ ($V_4 = V_1 = rV_2$), $T_4 =
T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$: $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$. ∎

![Kiri: siklus Otto pada diagram Clapeyron (digambar dengan r = 4): dua adiabat dan dua isokor; kalornya masuk di titik mati atas dan pergi bersama gas buangnya. Kanan: efisiensi ideal terhadap nisbah kompresinya; garis putus-putusnya menandai sebuah mesin bensin (r = 9) dan sebuah Diesel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-5d41c6e37693.svg)

![Kiri: siklus Otto pada diagram Clapeyron (digambar dengan r = 4): dua adiabat dan dua isokor; kalornya masuk di titik mati atas dan pergi bersama gas buangnya. Kanan: efisiensi ideal terhadap nisbah kompresinya; garis putus-putusnya menandai sebuah mesin bensin (r = 9) dan sebuah Diesel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-9f3b2784b6a5.svg)

*Kiri: [siklus Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) pada diagram Clapeyron (digambar dengan $r = 4$): dua adiabat dan dua isokor; kalornya masuk di titik mati atas dan pergi bersama gas buangnya. Kanan: [efisiensi](#def-b1-heat-engines-efficiency) ideal terhadap [nisbah kompresinya](#prop-b1-heat-engines-otto); garis putus-putusnya menandai sebuah mesin bensin ($r = 9$) dan sebuah Diesel ($r = 18$, $\rho = 2$).*

**Proposisi 24.14 (Siklus Stirling dan regeneratornya).**

Dua isoterm ($T_c$, $T_h$) yang dihubungkan oleh dua isokor. Kalor pada kaki isokoriknya, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$, sama besar dan berlawanan; bila ia disimpan pada kaki pendinginannya di dalam sebuah *regenerator* (sebuah massa berpori yang dialiri gasnya) lalu dikembalikan pada kaki pemanasannya, hanya isotermnya yang bertukar dengan sumbernya, dan $\eta = 1 - T_c/T_h$: mesin Stirling adalah mesin Carnot dalam segala hal kecuali bentuk siklusnya. Tanpa regeneratornya kalor isokoriknya harus datang dari sumber panasnya dan $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$, jauh lebih kecil ([Latihan 24.8](#exo-b1-heat-engines-8)).

**Bukti.** Pada isotermnya $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ dan $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$, sehingga $-W = Q_h + Q_c + 0$ begitu kalor isokoriknya saling meniadakan; bagilah dengan kalor yang benar-benar diambil dari sumber panasnya pada tiap kasusnya. ∎

**Catatan 24.15 (Turbin uap dan turbin gas).**

Pembangkit listrik tak memakai gas di dalam tabung melainkan air yang dididihkan, diekspansikan melalui sebuah turbin, diembunkan lalu dipompa kembali (siklus Rankine, dengan dua perubahan wujud — [Bab 25](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/25-perubahan-fase-zat-murni#ch-b1-phase-changes)), atau udara yang dimampatkan, dipanaskan oleh pembakaran lalu diekspansikan dalam sebuah turbin gas (siklus Brayton, dua adiabat dan dua isobar). Analisisnya menuntut neraca energi sebuah fluida yang mengalir, yang diberikan dalam volume Tahun ke-2; batas Carnot dan logika bab ini berlaku tanpa perubahan.

## 24.5 Lemari es dan pompa kalor

**Definisi 24.16 (Siklus kompresi uap).**

Hampir setiap [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine), pembeku, penyejuk udara dan [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) menjalankan sebuah *refrigeran* mengelilingi empat komponen: sebuah *kompresor* (menerima usahanya, menaikkan tekanan uapnya), sebuah *kondensor* (uap panasnya mencair pada tekanan tinggi, melepaskan $|Q_h|$ ke sisi panasnya), sebuah *katup ekspansi* (cairannya jatuh ke tekanan rendah tanpa usaha maupun kalor, dan sebagian menguap seketika) dan sebuah *evaporator* (sisanya mendidih pada tekanan rendah, menyerap $Q_c$ dari sisi dinginnya). Kalornya dibawa sebagai kalor laten penguapan, dan kedua tekanannya menetapkan kedua suhu didihnya ([Bab 25](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/25-perubahan-fase-zat-murni#ch-b1-phase-changes)).

![Siklus kompresi uap. Refrigerannya mendidih di dalam evaporatornya, yang lebih dingin daripada sisi dinginnya, dan mengembun di dalam kondensornya, yang lebih panas daripada sisi panasnya: kalornya mengalir menurut arah alaminya menyeberangi tiap penukar kalor, dan kompresornya membayar pengangkatannya dari T_ ev ke T_ cd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-29db96669f0e.svg)

*[Siklus kompresi uap](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). [Refrigerannya](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) mendidih di dalam evaporatornya, yang lebih dingin daripada sisi dinginnya, dan mengembun di dalam kondensornya, yang lebih panas daripada sisi panasnya: kalornya mengalir menurut arah alaminya menyeberangi tiap penukar kalor, dan kompresornya membayar pengangkatannya dari $T_{\mathrm{ev}}$ ke $T_{\mathrm{cd}}$.*

**Proposisi 24.17 (Harga selisih suhunya).**

Sebuah mesin reversibel yang bekerja di antara suhu dalamnya sendiri $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ dan $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ mempunyai $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$, yang lebih kecil daripada nilai Carnot di antara sumbernya; mesin nyata mencapai sebagian saja (biasanya $0.4$ sampai $0.6$) bahkan dari nilai itu. Kinerja sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) karenanya turun ketika suhu luarnya turun dan ketika suhu yang dituntut rangkaian pemanasnya naik.

**Bukti.** Terapkan [Teorema 24.5](#thm-b1-heat-engines-carnot) pada fluidanya, yang [termostatnya](#def-b1-heat-engines-machine) sesungguhnya adalah suhu penukar kalornya; $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} >
T_h - T_c$ menurunkan nisbahnya. ∎

![Koefisien kinerja sebuah pompa kalor terhadap suhu luarnya: batas Carnot di antara rumah (20 C) dan udara luarnya; batasnya begitu selisih suhu penukar kalornya diperhitungkan (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ luar - 8\, K); dan sebuah mesin yang realistis pada 0.55 dari yang terakhir. Bahkan pada -10 C pompa nyatanya menyampaikan kira-kira tiga joule kalor tiap joule listrik, sedangkan sebuah resistor memberikan satu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-10dc73e72ced.svg)

*[Koefisien kinerja](#def-b1-heat-engines-efficiency) sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) terhadap suhu luarnya: batas Carnot di antara rumah ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$) dan udara luarnya; batasnya begitu selisih suhu penukar kalornya diperhitungkan ($T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{luar}} - 8\,\mathrm{K}$); dan sebuah mesin yang realistis pada $0.55$ dari yang terakhir. Bahkan pada $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ pompa nyatanya menyampaikan kira-kira tiga joule kalor tiap joule listrik, sedangkan sebuah [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) memberikan satu.*

**Contoh 24.18 (Pompa kalor atau resistor?).**

Sebuah rumah yang kehilangan $6\,\mathrm{kW}$ pada suhu luar $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ menuntut $6\,\mathrm{kW}$ listrik dengan [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor); sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) ideal dari $268\,\mathrm{K}$ ke $293\,\mathrm{K}$ akan menuntut $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$; sebuah pompa nyata dengan suhu penukar kalor $260\,\mathrm{K}$ dan $313\,\mathrm{K}$ serta faktor mutu $0.55$, $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$, menuntut $1.9\,\mathrm{kW}$. Soal akhir pekannya mengerjakan satu musim penuh, termasuk entropinya.

## 24.6 Entropi dan usaha yang hilang

**Teorema 24.19 (Usaha yang hilang).**

Sebuah mesin diterm yang menciptakan entropi $S_{\mathrm{cipta}}$ tiap siklus menyampaikan

$$
-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{cipta}} ,
$$

dan sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) diterm yang menyampaikan $|Q_h|$ menghabiskan $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{cipta}}$: setiap joule tiap [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-temperature) yang tercipta berharga $T_c$ joule usaha, dengan suhu sumber dinginnya menjadi kurs tukar antara entropi dan usaha.

**Bukti.** Dari [Teorema 24.2](#thm-b1-heat-engines-clausius), $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{cipta}})$; sisipkan ke dalam $-W = Q_h + Q_c$. Bagi pompanya, tuliskan kedua hubungan yang sama dengan $Q_h < 0$. ∎

**Metode 24.20 (Mengaudit sebuah mesin).**

Ukurlah (atau hitunglah) kalor yang dipertukarkan dengan tiap sumbernya dan usahanya; periksalah hukum pertamanya; hitunglah $S_{\mathrm{cipta}} = -\sum Q_i/T_i$ tiap siklus atau tiap sekon; daya yang hilang adalah $T_c\dot S_{\mathrm{cipta}}$; carilah letak penciptaannya (selisih suhu yang berhingga pada penukar kalornya, gesekan, pencekikan, pemampatan yang tak kuasistatik) dengan menerapkan neraca entropinya pada tiap komponen secara bergantian. Komponen yang tak menciptakan entropi tak layak diperbaiki.

**Contoh 24.21 (Audit sebuah pembangkit listrik).**

Sumber panas $800\,\mathrm{K}$, sungai $300\,\mathrm{K}$, $1.0\,\mathrm{GW}$ listrik pada $\eta = 0.40$: $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$, $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$, sehingga $\dot S_{\mathrm{cipta}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ dan daya yang hilang adalah $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$: tepat selisih antara keluaran Carnot $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ dan $1.0\,\mathrm{GW}$ yang nyata. Sungainya menghangat oleh $1.5\,\mathrm{GW}$ yang harus dibawanya pergi; pada musim panas, ketika ia hangat dan dangkal, pembangkitnya menahan diri.

## 24.7 Latihan

**Latihan 24.1 ★.**

Sebuah pembangkit listrik mengambil kalor pada $800\,\mathrm{K}$ lalu membuangnya ke sungai pada $300\,\mathrm{K}$. [Efisiensi Carnotnya](#thm-b1-heat-engines-carnot); bila [efisiensi](#def-b1-heat-engines-efficiency) nyatanya $0.40$ dan keluaran listriknya $1.0\,\mathrm{GW}$, berapa kalor yang diambil dari bahan bakarnya dan kalor yang dibuang ke sungainya tiap sekon.

**Solusi Latihan 24.1.**

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$. Pada $0.40$: $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ dari bahan bakarnya, $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ ke sungainya — lebih banyak kalor yang dibuang daripada yang dijual.

**Latihan 24.2 ★.**

Sebuah [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) menjaga bagian dalamnya pada $275\,\mathrm{K}$ di dapur bersuhu $298\,\mathrm{K}$. [Koefisien kinerja](#def-b1-heat-engines-efficiency) maksimumnya; dengan COP nyata sebesar $3$, berapa [daya listrik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) yang diperlukan untuk menyingkirkan $100\,\mathrm{W}$ yang bocor masuk melalui dindingnya.

**Solusi Latihan 24.2.**

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$. Dengan $e_f = 3$: $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (dan $133\,\mathrm{W}$ masuk ke dapurnya).

**Latihan 24.3 ★.**

[Efisiensi](#def-b1-heat-engines-efficiency) ideal [siklus Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) dengan $r = 9$ dan $\gamma = 1.4$; lalu dengan $r = 11$ (sebuah mesin injeksi langsung modern). Mengapa tidak $r = 20$?

**Solusi Latihan 24.3.**

$r = 9$: $9^{0.4} = 2.41$, $\eta = 0.585$; $r = 11$: $11^{0.4} = 2.61$, $\eta = 0.62$. Pada $r = 20$ campuran bensin–udaranya, yang termampatkan sampai kira-kira $900\,\mathrm{K}$, akan menyala sebelum businya memercik (ketukan) dan merusak mesinnya; hanya Diesel, yang memampatkan udara saja, yang dapat sampai ke sana.

**Latihan 24.4 ★.**

Sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) menghangatkan rumah pada $300\,\mathrm{K}$ dari udara luar pada $280\,\mathrm{K}$. Berapa $e_p$ maksimumnya; berapa [daya listrik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) bagi tuntutan pemanasan $5\,\mathrm{kW}$ dengan pompa ideal itu dan dengan pompa nyata ber-$e_p = 3.5$; bandingkan dengan sebuah [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor).

**Solusi Latihan 24.4.**

$e_p \leq 300/20 = 15$: daya idealnya $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$; yang nyata, $5/3.5 =
1.43\,\mathrm{kW}$; [resistornya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor), $5\,\mathrm{kW}$.

**Latihan 24.5 ★★.**

Satu [mol](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-scales) [gas ideal](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-model) ($\gamma = 1.4$) menjalankan [siklus Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) di antara $T_h = 500\,\mathrm{K}$ dan $T_c = 300\,\mathrm{K}$; isoterm panasnya membawanya dari $1.0\,\mathrm{L}$ ke $3.0\,\mathrm{L}$. Hitunglah $V_C$, $V_D$, $Q_h$, $Q_c$, $W$ lalu periksalah [efisiensinya](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Solusi Latihan 24.5.**

Adiabatnya: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} =
10.8\,\mathrm{L}$, $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (sehingga $V_C/V_D = 3 =
V_B/V_A$). $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$, $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$, $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$.

**Latihan 24.6 ★★.**

Seorang penemu mengaku mempunyai mesin bersiklus yang mengambil $1000\,\mathrm{J}$ tiap siklus dari sumber pada $400\,\mathrm{K}$, membuang $800\,\mathrm{J}$ ke sumber pada $300\,\mathrm{K}$ lalu menyampaikan $200\,\mathrm{J}$ usaha. Mungkinkah? Berapa entropi yang tercipta tiap siklusnya. Penemu kedua mengaku memperoleh $300\,\mathrm{J}$ usaha dari $1000\,\mathrm{J}$ yang sama, dengan membuang $700\,\mathrm{J}$. Mungkinkah? Berapa usaha terbanyak yang dapat diperoleh siapa pun dari $1000\,\mathrm{J}$ itu?

**Solusi Latihan 24.6.**

Pengakuan pertama: energinya $200 = 1000 - 800$ seimbang; Clausius $1000/400 - 800/300
= 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, sehingga $S_{\mathrm{cipta}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$: mungkin ($\eta = 0.20$). Yang kedua: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$: entropinya harus dimusnahkan — mustahil. Maksimumnya: $\eta_C = 1 -
300/400 = 0.25$, yakni $250\,\mathrm{J}$.

**Latihan 24.7 ★★.**

[Siklus Diesel](#prop-b1-heat-engines-diesel) dengan $r = 18$, $\rho = 2$, $\gamma = 1.4$: berapa [efisiensinya](#def-b1-heat-engines-efficiency); bandingkan dengan [siklus Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) ber-$r$ sama dan dengan [siklus Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) pada $r = 9$. Mengapa Diesel dapat memakai $r$ sebesar itu?

**Solusi Latihan 24.7.**

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$: $\eta = 1 -
1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$. Otto pada $r = 18$: $1 - 1/3.18 = 0.69$; pada $r = 9$: $0.585$. Diesel memampatkan udara murni: tak ada bahan bakar yang hadir untuk menyala mendahului, dan bahan bakarnya, yang disuntikkan ke dalam udara pada $900\,\mathrm{K}$, terbakar begitu ia masuk — batas ketukannya tak ada.

**Latihan 24.8 ★★.**

[Siklus Stirling](#prop-b1-heat-engines-stirling) satu [mol](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-scales) [gas diatomik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) ($C_{V,m} = \tfrac52R$) di antara $600\,\mathrm{K}$ dan $300\,\mathrm{K}$ dengan nisbah volume $V_1/V_2 = 2$. Berapa usaha tiap siklusnya; berapa [efisiensinya](#def-b1-heat-engines-efficiency) dengan regenerator yang sempurna dan tanpa regenerator.

**Solusi Latihan 24.8.**

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -8.314
\times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$: $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ tiap siklus. Dengan regeneratornya $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$. Tanpa regeneratornya sumber panasnya harus memasok pula $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 =
6.24\,\mathrm{kJ}$: $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$.

**Latihan 24.9 ★★.**

Dua balok identik berkapasitas kalor $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ pada $T_1 =
400\,\mathrm{K}$ dan $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ dipakai sebagai sumber sebuah mesin sampai keduanya mencapai suhu bersama $T_f$. Tunjukkan bahwa usaha maksimumnya diperoleh bagi mesin yang reversibel, bahwa $T_f = \sqrt{T_1T_2}$ ketika itu, lalu hitunglah $W_{\max}$. Berapa $T_f$ seandainya kedua baloknya sekadar disentuhkan, dan berapa entropi yang tercipta ketika itu?

**Solusi Latihan 24.9.**

Entropi kedua baloknya: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) =
C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{cipta}} \geq 0$ (entropi mesinnya sendiri kembali ke nilainya tiap siklus), sehingga $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$, dan $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (hukum pertama) terbesar bagi $T_f$ yang terkecil: yaitu kasus reversibelnya, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$, $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$. Sentuhan langsung: $T_f =
350\,\mathrm{K}$, tanpa usaha, $S_{\mathrm{cipta}} = 4000\ln(350^2/120000) =
82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$.

**Latihan 24.10 ★★★.**

*Mesin pada daya maksimum.* Sebuah mesin reversibel bekerja di antara suhu dalam $x$ dan $y$, dan bertukar kalor dengan sumbernya melalui penukar kalor berkonduktansi $K$: $\dot Q_h = K(T_h - x)$ dan $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$. (a) Tuliskan dayanya $P$ dan syarat entropi teras reversibelnya. (b) Tunjukkan bahwa $y = xT_c/(2x - T_h)$ dan bahwa $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ dengan $u = 2x - T_h$. (c) Maksimumkan terhadap $u$ lalu tunjukkan bahwa [efisiensi](#def-b1-heat-engines-efficiency) pada daya maksimumnya adalah $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$. (d) Angkanya untuk $T_h = 800\,\mathrm{K}$, $T_c = 300\,\mathrm{K}$; bandingkan dengan [Latihan 24.1](#exo-b1-heat-engines-1).

**Solusi Latihan 24.10.**

(a) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$; teras reversibelnya tak mempertukarkan entropi total: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$. (b) Kalikan silang: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$, sehingga $y(T_h - 2x) = -xT_c$ dan $y = xT_c/(2x - T_h)$. Lalu $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$; dengan $u = 2x - T_h$, $T_h - x = (T_h - u)/2$ dan $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) =
\tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$. (c) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 +
T_hT_c/u^2) = 0$ pada $u = \sqrt{T_hT_c}$, sebuah maksimum; lalu $x = (T_h +
\sqrt{T_hT_c})/2$, $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$, dan $\eta^\ast = 1 - y/x
= 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 -
\sqrt{T_c/T_h}$; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$. (d) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$, berbanding $\eta_C = 0.625$: nilai nyata $0.40$ pada [Latihan 24.1](#exo-b1-heat-engines-1) adalah mesin yang dibangun untuk daya, bukan untuk [efisiensi](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Latihan 24.11 ★★★.**

*[Lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) serapan.* Sebuah mesin tanpa bagian yang bergerak mengambil kalor $Q_h$ dari sebuah pembakar pada $T_h$, kalor $Q_c$ dari sebuah ruang dingin pada $T_c$, lalu membuang kalor ke ruangan pada $T_0$ ($T_c < T_0 <
T_h$), tanpa usaha. Tunjukkan bahwa $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$, tafsirkan kedua faktornya, lalu hitunglah batasnya untuk $T_h = 400\,\mathrm{K}$, $T_0 =
300\,\mathrm{K}$, $T_c = 275\,\mathrm{K}$.

**Solusi Latihan 24.11.**

Siklus: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ dan $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$. Hilangkan $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$: $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$, yakni $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$, sehingga $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$. Faktor pertamanya adalah [efisiensi](#def-b1-heat-engines-efficiency) sebuah mesin Carnot di antara pembakar dan ruangannya, yang kedua COP sebuah [lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) Carnot di antara ruang dingin dan ruangannya: batasnya adalah apa yang diperoleh dengan menggandengkan keduanya secara ideal. Angkanya: $0.25 \times 11 = 2.75$ ([lemari es](#def-b1-heat-engines-machine) serapan yang nyata: kira-kira $0.6$).

**Latihan 24.12 ★★★.**

*Memanaskan dengan listrik, tiga cara.* Listriknya dibuat di sebuah pembangkit termal berefisiensi $0.40$. Tiap joule kalor bahan bakarnya, berapa kalor yang sampai ke sebuah rumah (a) melalui sebuah [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor), (b) melalui sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) ber-$e_p = 3.5$, (c) bila bahan bakarnya dibakar langsung di sebuah ketel berefisiensi $0.90$? (d) Yang ideal: sebuah mesin reversibel di antara $800\,\mathrm{K}$ dan $293\,\mathrm{K}$ yang menggerakkan [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) reversibel di antara $273\,\mathrm{K}$ dan $293\,\mathrm{K}$ — berapa kalor tiap joule bahan bakarnya, dan mengapa jawabannya lebih besar daripada satu tanpa bertentangan dengan apa pun?

**Solusi Latihan 24.12.**

(a) $0.40\,\mathrm{J}$. (b) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$. (c) $0.90\,\mathrm{J}$. (d) Mesinnya $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$, pompanya $e_p = 293/20 = 14.65$: $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (dan $0.37\,\mathrm{J}$ milik mesinnya sendiri yang dibuang pada $293\,\mathrm{K}$ dapat pula menghangatkan rumahnya: $9.7\,\mathrm{J}$). Lebih daripada satu joule karena sisanya diangkat dari udara luarnya: energinya kekal, dan hukum kedua hanya menuntut agar entropi tidak dimusnahkan, dan itu dipatuhi rantai reversibelnya dengan tepat.

![Sebuah pompa kalor bersumber udara pada musim dingin: ia mengambil kalor dari udara luar yang dingin dan menyampaikan tiga sampai empat kali energi listrik yang dihabiskannya ke dalam rumahnya — soal akhir pekan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/img-4f9781d64fbb.jpg)

*Sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) bersumber udara pada musim dingin: ia mengambil kalor dari udara luar yang dingin dan menyampaikan tiga sampai empat kali energi listrik yang dihabiskannya ke dalam rumahnya — soal akhir pekan.*

## 24.8 Soal: Pompa kalor rumah

**Soal 24.1.**

Soal akhir pekan — memanaskan sebuah rumah sepanjang musim dingin: tagihannya dengan resistor, dengan gas, dengan pompa kalor ideal dan dengan pompa yang nyata, serta ke mana listrik pompa nyatanya pergi

Sebuah rumah kehilangan kalor dengan laju $K(T_{\mathrm{dalam}} - T_{\mathrm{luar}})$ dengan $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; ia dijaga pada $T_{\mathrm{dalam}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$. Suhu luar rancangannya $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$; musim pemanasannya: $200$ hari dengan suhu luar rata-rata $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Harga: listrik 0.25 € tiap $\mathrm{kW}\mathrm{h}$, gas 0.10 € tiap $\mathrm{kW}\mathrm{h}$; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$.

**Bagian I — Rumahnya dan cara-cara lama.**

1. Daya pemanasan yang diperlukan pada suhu rancangannya.
2. Energi yang diperlukan sepanjang musimnya, dalam joule dan dalam $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
3. Biaya semusim dengan [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) listrik.
4. Biayanya dengan ketel gas berefisiensi $0.90$ .
5. Listriknya datang dari pembangkit termal berefisiensi $0.40$ . Berapa energi bahan bakar yang dihabiskan tiap musim oleh [resistornya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) dan oleh ketelnya; berilah komentar tentang “pemanasan listrik itu boros secara termodinamika”.

**Bagian II — [Pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) yang ideal.**

6. Definisikan $e_p$ lalu buktikan, dari kedua hukumnya sepanjang satu siklus, bahwa $e_p \leq T_{\mathrm{dalam}}/(T_{\mathrm{dalam}} - T_{\mathrm{luar}})$ .
7. Berapa $e_p$ idealnya pada suhu rancangannya, dan [daya listrik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) yang diperlukan ketika itu.
8. Berapa $e_p$ idealnya pada suhu rata-rata musimnya, dan (dengan mengambil nilai itu bagi seluruh musimnya) berapa listrik semusimnya.
9. Jelaskan secara fisis mengapa $e_p$ turun ketika suhu luarnya turun, dan mengapa itu perilaku terburuk yang mungkin bagi sebuah alat pemanas.
10. Pada titik rancangannya pompa idealnya menyedot $0.53\,\mathrm{kW}$ dan menyampaikan $6.25\,\mathrm{kW}$ : dari mana datangnya $5.7\,\mathrm{kW}$ yang lain, dan mengapa mendinginkan udara luar yang dingin untuk memanaskan rumah yang hangat tak melanggar hukum kedua?

**Bagian III — Mesin yang nyata.** Pompanya menjalankan [siklus kompresi uap](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). [Refrigerannya](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) menguap pada $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{luar}} - 8\,\mathrm{K}$ dan mengembun pada $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (air rangkaian pemanas lantainya mengalir pada $35{}^{\circ}\mathrm{C}$); mesinnya mencapai $0.55$ dari nilai Carnot yang dihitung di antara $T_{\mathrm{ev}}$ dan $T_{\mathrm{cd}}$. Kalor laten [refrigerannya](#def-b1-heat-engines-vapourcycle): $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

11. Sebutkan keempat komponen siklusnya, katakan pada komponen mana fluidanya menerima $Q_c$ , memberikan $|Q_h|$ dan menerima $W$ , serta mengapa evaporatornya harus lebih dingin daripada udara luarnya dan kondensornya lebih panas daripada rumahnya.
12. Pada suhu rancangannya: berapa $T_{\mathrm{ev}}$ , dan berapa $e_p$ Carnot di antara $T_{\mathrm{ev}}$ dan $T_{\mathrm{cd}}$ .
13. Berapa $e_p$ nyatanya, [daya listrik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) yang disedotnya, dan kalor yang diambil dari udara luarnya, pada suhu rancangannya.
14. Laju aliran massa [refrigeran](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) melalui evaporatornya.
15. Pertanyaan yang sama (berapa $e_p$ nyatanya, berapa [daya listriknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ) pada suhu rata-rata $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , tempat rumahnya kehilangan $3.25\,\mathrm{kW}$ .
16. Berikan $e_p$ sebagai fungsi $T_{\mathrm{luar}}$ ; berapa listrik semusim dan biayanya, dengan mengambil $e_p$ pada suhu rata-ratanya bagi seluruh musim. Bandingkan dengan Bagian I.
17. Berapa energi bahan bakar yang dihabiskan di pembangkitnya bagi musim [pompa kalornya](#def-b1-heat-engines-machine) ; bandingkan dengan [resistornya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) dan ketelnya.
18. Sebuah gelombang dingin pada $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : berapa tuntutan kalornya, berapa $e_p$ nyatanya, dan berapa [daya listriknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) seandainya pompanya dapat menyampaikannya. Kemampuan kompresornya sesungguhnya turun bersama $T_{\mathrm{ev}}$ dan pompanya hanya dapat menyampaikan $3.8\,\mathrm{kW}$ di sana: berapa daya [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) cadangan yang diperlukan, dan apa makna “menakar ukuran sebuah [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) ”.
19. Seandainya rumahnya mempunyai radiator lama yang menuntut air pada $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): berapa $e_p$ nyatanya dan [daya listriknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) pada suhu rancangannya; simpulkan tentang pilihan pemancar kalornya.

**Bagian IV — Ke mana listriknya pergi.**

20. Tunjukkan bahwa bagi [pompa kalor](#def-b1-heat-engines-machine) yang menyampaikan $|Q_h|$ ke rumahnya pada $T_{\mathrm{dalam}}$ dari udara luar pada $T_{\mathrm{luar}}$ , $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{luar}}/T_{\mathrm{dalam}}) + T_{\mathrm{luar}}S_{\mathrm{cipta}}$ .
21. Pada titik rancangannya, berapa entropi yang tercipta tiap sekon oleh perpindahan kalor menyeberangi kondensornya (dari $313\,\mathrm{K}$ ke rumahnya) dan menyeberangi evaporatornya (dari udara luarnya ke $260\,\mathrm{K}$ ).
22. Berapa [daya listrik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) yang dihabiskan kedua selisih suhu itu; berapa pecahannya dari $1.92\,\mathrm{kW}$ yang disedot.
23. Berapa entropi total yang tercipta tiap sekon oleh mesin nyatanya (bandingkan $1.92\,\mathrm{kW}$ -nya dengan $0.53\,\mathrm{kW}$ yang ideal); berapa bagian penukar kalornya; sebutkan sumber yang lain.
24. Separuhkan kedua selisihnya ( $4\,\mathrm{K}$ dan $10\,\mathrm{K}$ ): berapa entropi yang tercipta pada penukar kalornya dan berapa [daya listrik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) yang dihemat; apa yang harus dibayar perancangnya untuk menyeparuhkan sebuah selisih?
25. Ringkaslah dalam tiga angka: berapa kilowatt-jam kalor tiap kilowatt-jam listrik sepanjang musimnya; biaya semusimnya dibandingkan dengan gas; dan, dengan listrik sebesar $60\,\mathrm{g}$ CO $_2$ tiap $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ dan gas sebesar $200\,\mathrm{g}$ , berapa karbon yang dipancarkan tiap jalurnya.

**Solusi Soal 24.1.**

**1.** $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$.

**2.** Kerugian rata-ratanya $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ selama $200 \times 86400 =
1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$.

**3.** $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

**4.** Gas $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $1730$ €.

**5.** [Resistornya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor): $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ bahan bakar; ketelnya $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $2.25$ kali lebih sedikit. Listrik adalah usaha, yaitu bentuk yang dapat melakukan apa saja; mengubahnya menjadi kalor $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ di dalam sebuah [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) membuang $60\%$ bahan bakar yang sudah hilang di pembangkitnya dan membuang pula kemungkinan memompa kalor.

**6.** Sepanjang satu siklus $W + Q_h + Q_c = 0$ dan $Q_h/T_{\mathrm{dalam}} +
Q_c/T_{\mathrm{luar}} \leq 0$ dengan $Q_h < 0$, $Q_c > 0$: $Q_c \leq
|Q_h|T_{\mathrm{luar}}/T_{\mathrm{dalam}}$, sehingga $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 -
T_{\mathrm{luar}}/T_{\mathrm{dalam}})$ dan $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{dalam}}/(T_{\mathrm{dalam}} -
T_{\mathrm{luar}})$.

**7.** $293/25 = 11.7$; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$.

**8.** $293/13 = 22.5$; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (kira-kira $170$ €).

**9.** Usaha tiap joule yang diangkat adalah $(T_{\mathrm{dalam}} - T_{\mathrm{luar}})/
T_{\mathrm{dalam}}$, yaitu “ketinggian” angkatannya; makin dingin di luar, makin tinggi tiap joule harus dipompa — dan makin banyak joule yang diperlukan, karena kerugiannya juga sebanding dengan $T_{\mathrm{dalam}} - T_{\mathrm{luar}}$: maka [daya listriknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) tumbuh sebagai kuadrat selisih suhunya, yang terburuk tepat ketika pemanasannya paling dibutuhkan.

**10.** Dari udara luarnya, yang menjadi dingin: $Q_c = 6.25 - 0.53 =
5.7\,\mathrm{kW}$. Hukum kedua melarang kalor mengalir *secara spontan* dari yang dingin ke yang panas; di sini usahalah yang membayar angkatannya. Periksa: entropi yang diambil dari udaranya $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, entropi yang diberikan ke rumahnya $6.25/293 =
21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — tak ada yang dimusnahkan, tak ada yang tercipta: pompa yang ideal.

**11.** Kompresornya (menerima $W$), kondensornya (memberikan $|Q_h|$), katup ekspansinya (tak keduanya), evaporatornya (menerima $Q_c$). Kalor hanya mengalir menuruni lereng suhu: [refrigerannya](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) harus lebih dingin daripada udaranya untuk mengambil kalor darinya dan lebih panas daripada air rumahnya untuk memberi kalor kepadanya.

**12.** $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$; $e_{p,C} = 313/(313 - 260)
= 5.9$.

**13.** $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$; $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ dari udaranya.

**14.** $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$, $1.3\,\mathrm{kg}$ tiap menit.

**15.** $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$, $313/41 = 7.6$, $e_p = 4.2$; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$.

**16.** $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{luar}}) = 172/(321 -
T_{\mathrm{luar}})$ ($T_{\mathrm{luar}}$ dalam [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-temperature)). Semusim: $15600/4.2 =
3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$, $930$ € — berbanding $3900$ dengan [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) dan $1730$ dengan gas.

**17.** $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ bahan bakar: $46\%$ lebih sedikit daripada ketelnya dan empat kali lebih sedikit daripada [resistornya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor), bahkan melalui pembangkit berefisiensi $40\%$.

**18.** Tuntutannya $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$, $313/63 = 5.0$, $e_p = 2.7$, $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ seandainya ia mampu. Kemampuannya $3.8\,\mathrm{kW}$: cadangannya $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor). Pompa yang ditakar bagi jam terdingin akan berlebihan ukurannya — dan berhidup-mati secara tak efisien — sepanjang musim dingin; kita menakar bagi suhu rancangannya lalu membiarkan [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) yang murah menutup keadaan ekstrem yang jarang itu.

**19.** $338/(338 - 260) = 4.33$, $e_p = 2.4$, $W = 6.25/2.4 =
2.6\,\mathrm{kW}$: $36\%$ lebih banyak listrik daripada dengan lantai pada $35{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pemancar kalor bersuhu rendah adalah separuh dari pemasangannya.

**20.** Entropi sepanjang satu siklus: $Q_h/T_{\mathrm{dalam}} + Q_c/T_{\mathrm{luar}} +
S_{\mathrm{cipta}} = 0$ memberikan $Q_c = T_{\mathrm{luar}}|Q_h|/T_{\mathrm{dalam}} -
T_{\mathrm{luar}}S_{\mathrm{cipta}}$; sisipkan ke dalam $W = |Q_h| - Q_c$.

**21.** Kondensornya: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; evaporatornya: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**22.** $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$: seperempat dari $1.92\,\mathrm{kW}$.

**23.** $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; penukar kalornya menyumbang $36\%$; sisanya datang dari kompresornya (gesekan, pemampatan yang tak isentropik, kerugian motornya), pencekikan di katupnya (yaitu sebuah ekspansi bebas), penurunan tekanannya, dan kipasnya.

**24.** $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$: kondensornya $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, evaporatornya $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ dan bukan $1.86$, yakni $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ yang dihemat ($13\%$; seluruh mesinnya, yang bernilai $0.55$ dari nilai Carnot yang lebih baik, akan memperoleh lebih). Menyeparuhkan sebuah selisih berarti melipatduakan luas penukarnya: penukar kalor yang lebih besar, lebih mahal, dan daya kipas yang lebih besar.

**25.** $15600/3700 = 4.2$ kilowatt-jam kalor tiap kilowatt-jam listrik; $930$ € berbanding $1730$ untuk gas; karbonnya: $3700
\times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ berbanding $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — lima belas kali lebih sedikit.