---
title: "Potensial Listrik; Penghantar dan Kapasitor"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 27
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/27-potensial-listrik-penghantar-dan-kapasitor
---

# Bab 27 — Potensial Listrik; Penghantar dan Kapasitor

Sebuah medan adalah tiga bilangan di setiap titik; sebuah potensial hanya satu. Karena gaya elektrostatiknya [konservatif](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative), seluruh medan sebuah distribusi muatan dapat dilipat menjadi satu fungsi skalar, yaitu potensialnya, yang darinya medan itu diperoleh kembali dengan penurunan — penghematan yang sama yang mengubah gaya menjadi [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) dalam mekanika. Potensial adalah apa yang dibaca voltmeter, apa yang dijaga sebuah baterai, apa yang mempercepat elektron di dalam sebuah tabung; permukaan-permukaan tingkatnya memetakan sebuah medan dalam sekali pandang. Bab ini membangunnya, memakainya pada dipol (model listrik pertama sebuah molekul), lalu beralih ke dua benda yang menyusun setiap rangkaian: penghantar, tempat muatan menata dirinya sendiri sehingga medan di dalamnya lenyap, dan [kapasitor](#def-b1-potential-capacitors-capacitance), yang menyimpan muatan dan [energi dalam](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-U) sebuah medan.

![Dimuati sampai beberapa ratus kilovolt oleh sebuah generator Van de Graaff, seseorang menjadi penghantar ekuipotensial yang rambutnya, semuanya berpotensial sama dan bermuatan sejenis, saling tolak-menolak.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/img-b002bebad4b0.jpg)

*Dimuati sampai beberapa ratus kilovolt oleh sebuah generator Van de Graaff, seseorang menjadi penghantar ekuipotensial yang rambutnya, semuanya berpotensial sama dan bermuatan sejenis, saling tolak-menolak.*

## 27.1 Potensial elektrostatik

**Teorema 27.1 (Medan elektrostatik bersifat konservatif).**

Terdapat sebuah fungsi skalar $V(M)$, yang disebut *[potensial elektrostatik](#thm-b1-potential-capacitors-potential)* (volt, $\mathrm{V}$), sedemikian sehingga

$$
\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V , \qquad
V_A - V_B = \int_A^B \vect E\cdot\dd\vect l
$$

menyusuri [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) apa pun dari $A$ ke $B$ (*sirkulasi* $\vect E$ dari $A$ ke $B$ tak bergantung pada [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame), dan nol mengelilingi sebuah gelung tertutup). Bagi sebuah muatan titik $q$ di $O$, $V(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,OM}$ dengan kesepakatan $V(\infty) = 0$; bagi beberapa muatan potensialnya berjumlah. [Energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) sebuah muatan $q'$ di $M$ adalah $E_p = q'V(M)$, dan usaha gaya listriknya dari $A$ ke $B$ adalah $q'(V_A - V_B)$.

**Bukti.** Gaya Coulomb sebuah muatan tetap $q$ pada $q'$ berbentuk gravitasi Newton dengan $-Gm_1m_2$ diganti oleh $qq'/4\pi\varepsilon_0$; perhitungan yang sama yang memberi $E_p = -Gm_1m_2/r$ ([Proposisi 13.7](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#prop-b1-work-and-energy-eps)) memberi $E_p = qq'/4\pi\varepsilon_0r$: dibagi $q'$ hasilnya $V$, dan $\vect E = \vect F/q' =
-\overrightarrow{\operatorname{grad}}(E_p)/q'$. Superposisi membawa hasil itu ke sembarang distribusi; rumus sirkulasinya adalah definisi gradien yang diintegralkan menyusuri [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame). ∎

**Proposisi 27.2 (Membaca sebuah potensial).**

1. *[Permukaan ekuipotensial](#prop-b1-potential-capacitors-reading)* $V = \text{const}$ di mana-mana tegak lurus pada [garis medannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) , dan medannya menunjuk ke arah potensial yang *menurun* .
2. $|\vect E|$ adalah laju perubahan $V$ menyusuri arah yang paling curam: di tempat ekuipotensialnya merapat, medannya kuat.
3. $V$ terdefinisi sampai sebuah tetapan penjumlah; hanya selisihnya ( [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) ) yang terukur. Tanah atau tak hingga ditetapkan nol sebagai kesepakatan.
4. Dalam [koordinat bola](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-spherical) yang simetrik terhadap $O$ , $E_r = -\dd V/  \dd r$ ; dalam koordinat kutub $(r, \theta)$ pada sebuah bidang, $E_r = -\partial V/\partial r$ dan $E_\theta = -\dfrac1r\,\partial V/\partial\theta$ .

**Bukti.** Pada sebuah ekuipotensial $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l = 0$ bagi setiap perpindahan di dalam permukaannya, sehingga $\vect E$ normal terhadapnya; bergerak menyusuri $\vect E$, $\dd V = -E\,\dd l < 0$. Komponen kutubnya menyusul dari $\dd V = (\partial V/\partial r)\dd r + (\partial V/\partial\theta)\dd\theta$ dan $\dd\vect l = \dd r\,\vect e_r + r\,\dd\theta\,\vect e_\theta$. ∎

![Ekuipotensial (jingga) dan garis medan (biru) sebuah muatan titik dan sebuah kapasitor bidang. Garisnya memotong ekuipotensialnya tegak lurus dan berjalan dari potensial tinggi ke rendah; di tempat ekuipotensialnya berjejal, medannya kuat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-a8a7976e7dca.svg)

*Ekuipotensial (jingga) dan [garis medan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) (biru) sebuah muatan titik dan sebuah [kapasitor bidang](#prop-b1-potential-capacitors-three). Garisnya memotong ekuipotensialnya tegak lurus dan berjalan dari potensial tinggi ke rendah; di tempat ekuipotensialnya berjejal, medannya kuat.*

**Metode 27.3 (Menghitung sebuah potensial).**

Jumlahkanlah $\dd q/4\pi\varepsilon_0r$ atas distribusinya (bila jumlahnya terkelola dan distribusinya berhingga, sehingga $V(\infty) = 0$ masuk akal), atau integralkanlah $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l$ menyusuri sebuah [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) yang menyenangkan dari titik yang $V$-nya diketahui, dengan medan yang diperoleh dari [hukum Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Bagi distribusi tak hingga (kawat, bidang) hanya cara kedua yang berhasil, dan nol $V$-nya harus dipilih di titik berhingga.

**Proposisi 27.4 (Potensial distribusi klasiknya).**

1. Bola berjari-jari $R$ dengan $Q$ dalam volumenya: $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$ di luar; $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ di dalam, sehingga $V(0) = \tfrac32\,Q/4\pi\varepsilon_0R$ . Dengan $Q$ pada permukaannya, $V$ seragam di dalam, sama dengan $Q/4\pi\varepsilon_0R$ .
2. Kawat tak hingga $\lambda$ : $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$ .
3. [Kapasitor bidang](#prop-b1-potential-capacitors-three) , medan $E$ dari keping 1 ke keping 2 yang terpisah sejauh $d$ : $V$ menurun linear melintasi celahnya dan $V_1 - V_2 = Ed$ .

**Bukti.** Integralkanlah $E_r = -\dd V/\dd r$ dengan medan [Proposisi 26.12](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-three), dari tak hingga ke dalam bagi bolanya (kekontinuan di $R$ menetapkan tetapan dalamnya), dari $r_0$ bagi kawatnya, melintasi celahnya bagi [kapasitornya](#def-b1-potential-capacitors-capacitance). ∎

![Potensial (utuh) dan medan (putus-putus) sebuah bola bermuatan seragam. Potensialnya kontinu dengan kemiringan yang kontinu; ia parabolik di dalam, tempat medannya linear, dan sebanding 1/r di luar. Maksimumnya duduk di pusatnya, tempat medannya lenyap — sebuah maksimum V adalah titik bermedan nol, bukan sebaliknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-a483a698b54f.svg)

*Potensial (utuh) dan medan (putus-putus) sebuah bola bermuatan seragam. Potensialnya kontinu dengan kemiringan yang kontinu; ia parabolik di dalam, tempat medannya linear, dan sebanding $1/r$ di luar. Maksimumnya duduk di pusatnya, tempat medannya lenyap — sebuah maksimum $V$ adalah titik bermedan nol, bukan sebaliknya.*

**Contoh 27.5 (Elektronvolt, sekali lagi).**

Sebuah elektron yang menyeberangi celah $100\,\mathrm{V}$ memperoleh $eU = 100\,\mathrm{eV} =
1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, apa pun bentuk medan di antara kedua elektrodanya: potensialnya membuat [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) tak relevan ([Definisi 17.3](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/17-partikel-bermuatan-dalam-medan-e-dan-b#def-b1-charged-particles-eV)). Muatan $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ pada jarak $1\,\mathrm{m}$ dari muatan lain berpotensial $V = 9\,\mathrm{kV}$ dan pasangannya menyimpan $9\,\mathrm{mJ}$; potensial di pusat sebuah inti emas adalah $24\,\mathrm{MV}$ ([Latihan 27.6](#exo-b1-potential-capacitors-6)).

## 27.2 Dipol listrik

**Definisi 27.6 (Dipol listrik).**

Dua muatan berlawanan $-q$ di $N$ dan $+q$ di $P$, yang terpisah sejauh $a = NP$, membentuk sebuah *dipol listrik* bermomen dipol $\vect p = q\,\vect{NP}$ ($\mathrm{C}\,\mathrm{m}$), yang menunjuk dari $-$ ke $+$; besaran itu disebut *momen dipol*. Hampiran dipolnya adalah kajian medannya pada jarak $r \gg a$. Sebuah molekul yang pusat muatan positif dan negatifnya tak berimpit (air, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) merupakan sebuah dipol; sebuah atom netral di dalam medan menjadi dipol pula (dipol imbasan).

**Proposisi 27.7 (Medan sebuah dipol).**

Di $M$ dengan $OM = r \gg a$ ($O$ titik tengah $NP$) dan $\theta$ sudut antara $\vect p$ dan $\vect{OM}$,

$$
V(M) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad
E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}, \qquad
E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} .
$$

Medan sebuah dipol meluruh sebanding $1/r^3$, lebih cepat daripada $1/r^2$ sebuah muatan: dari jauh kedua muatannya hampir saling meniadakan, dan yang tersisa adalah pemisahannya.

**Bukti.** $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{PM} - \dfrac1{NM}\Bigr)$ dengan $PM \approx r - \tfrac a2\cos\theta$ dan $NM \approx r + \tfrac a2\cos\theta$ (proyeksi $\pm\tfrac a2$ pada $\vect{OM}$); sampai orde pertama dalam $a/r$, $1/PM - 1/NM \approx a\cos\theta/r^2$. Lalu $E_r = -\partial V/\partial r$ dan $E_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta$. ∎

![Kiri: geometri hampiran dipolnya — M dilihat dari pusat O pada jarak r dan sudut dari p, dengan komponen medan radial dan ortoradialnya. Kanan: garis medan (biru, r 2) dan ekuipotensial (jingga, r √| |) sebuah dipol yang menunjuk ke kanan; bidang melalui O yang tegak lurus pada p adalah ekuipotensial V = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-f70f9c36fab9.svg)

*Kiri: geometri hampiran dipolnya — $M$ dilihat dari pusat $O$ pada jarak $r$ dan sudut $\theta$ dari $\vect p$, dengan komponen medan radial dan ortoradialnya. Kanan: [garis medan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) (biru, $r \propto \sin^2\theta$) dan ekuipotensial (jingga, $r \propto
\sqrt{|\cos\theta|}$) sebuah dipol yang menunjuk ke kanan; bidang melalui $O$ yang tegak lurus pada $\vect p$ adalah ekuipotensial $V = 0$.*

**Proposisi 27.8 (Dipol dalam medan luar).**

Sebuah dipol $\vect p$ dalam medan seragam $\vect E$ tak merasakan gaya total, merasakan [momen gaya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#def-b1-angular-momentum-moment) $\vect\Gamma = \vect p\wedge\vect E$ yang cenderung menyearahkannya dengan medannya, dan memiliki [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p = -\vect p\cdot\vect E$, yang minimum ketika searah. Dalam medan tak seragam ia lebih jauh lagi ditarik ke daerah bermedan kuat (dalam satu dimensi, $F_x = p\,\dd E/\dd x$ bagi dipol yang searah).

**Bukti.** Gaya $\pm q\vect E$ saling meniadakan; momennya terhadap $O$ adalah $\vect{OP}\wedge
q\vect E + \vect{ON}\wedge(-q\vect E) = q\vect{NP}\wedge\vect E$. Energinya: $qV(P) - qV(N) = -q\,\vect{NP}\cdot\vect E$ bagi medan seragam (karena $V(P)
- V(N) = -\vect E\cdot\vect{NP}$). Tak seragam, searah menyusuri $x$: $F_x =
qE(x + a) - qE(x) \approx qa\,\dd E/\dd x$. ∎

**Contoh 27.9 (Mengapa sisirnya menarik kertasnya).**

Sebuah sisir bermuatan menciptakan medan yang meluruh dengan jarak; sepotong kertas yang netral terpolarisasi olehnya (dipol imbasan menyusuri $\vect E$), dan gaya $p\,\dd E/\dd x$ pada dipol yang searah menariknya ke daerah bermedan kuat, yaitu sisirnya. Tanda muatan sisirnya tak berperan; mekanisme yang sama menahan balonnya di dinding dan membuat seurai air membelok. Bagi molekul air, $pE$ dalam medan $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ bernilai $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$, $600$ kali lebih kecil daripada $k_BT$ pada suhu ruang: hanya sedikit penyearahan total yang bertahan terhadap jungkir-balik termalnya ([Latihan 27.7](#exo-b1-potential-capacitors-7)).

## 27.3 Penghantar dalam kesetimbangan elektrostatik

**Teorema 27.10 (Sifat sebuah penghantar dalam kesetimbangan).**

Dalam sebuah penghantar yang muatan bebasnya diam:

1. $\vect E = \vect 0$ di dalamnya, dan penghantarnya merupakan volume ekuipotensial: $V$ seragam di dalamnya dan pada permukaannya.
2. Setiap muatan total duduk pada permukaannya, dengan rapat permukaan $\sigma$ ; bagian dalamnya netral.
3. Tepat di luarnya, medannya normal terhadap permukaannya dan bernilai $\vect E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vect n$ ( *teorema Coulomb* ).
4. Sebuah rongga di dalam penghantar, yang kosong dari muatan, memiliki $\vect E =  \vect 0$ dan $V$ seragam apa pun yang terjadi di luarnya ( *[sangkar Faraday](#thm-b1-potential-capacitors-conductor)* ).

**Bukti.** (1) Sebuah medan akan menggerakkan muatan bebasnya: kesetimbangan menuntut $\vect E =
\vect 0$, sehingga $\dd V = 0$ di antara dua titik dalam mana pun; permukaannya adalah limitnya. (2) [Hukum Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) pada sembarang permukaan tertutup yang digambar di dalam penghantarnya: fluksnya nol, muatan terlingkupinya nol. (3) Permukaannya sebuah ekuipotensial, sehingga $\vect E$ tepat di luarnya normal terhadapnya; sebuah kotak pil yang mengangkangi permukaannya berfluks $E\,\dd S$ hanya lewat muka luarnya (di dalam $\vect E = \vect 0$) dan bermuatan $\sigma\,\dd S$. (4) Dinding rongganya sebuah ekuipotensial; sebuah [garis medan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) di dalam rongganya harus pergi dari dinding ke dinding melintasi sebuah jatuh potensial — mustahil pada sebuah ekuipotensial; jadi tak ada garis, tak ada medan (diterima tanpa bukti dalam bentuk ini). ∎

**Contoh 27.11 (Efek ujung runcing dan penangkal petir).**

Dua bola berjari-jari $R_1 > R_2$, yang berjauhan dan dihubungkan oleh sebuah kawat, berbagi $V = Q_i/4\pi\varepsilon_0R_i$ yang sama, sehingga $\sigma_i = Q_i/4\pi R_i^2 = \varepsilon_0V/R_i$: makin *kecil* [jari-jari kelengkungannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frenet), makin *besar* muatan permukaan dan medannya $\sigma/\varepsilon_0 = V/R$. Pada sebuah ujung yang tajam medannya melampaui nilai dadal udara ($3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$) jauh sebelum hal itu terjadi di tempat lain: udaranya terionisasi dan muatannya merembes pergi diam-diam. Sebuah penangkal petir bekerja dengan *[efek ujung runcing](#ex-b1-potential-capacitors-point)* ini — ia tak begitu menarik sambarannya melainkan menawarinya sebuah [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame), dan mengalirkan muatan di bawah sebuah awan sebelum ia menumpuk.

![Kiri: sebuah penghantar berongga dalam medan luar — muatan imbasan pada permukaannya meniadakan medan di dalamnya dan di dalam rongganya (sangkar Faraday). Kanan: efek ujung runcing — pada satu penghantar ekuipotensial muatan permukaan dan medan luarnya terbesar di tempat kelengkungannya paling tajam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-9d9c797faf25.svg)

*Kiri: sebuah penghantar berongga dalam medan luar — muatan imbasan pada permukaannya meniadakan medan di dalamnya dan di dalam rongganya ([sangkar Faraday](#thm-b1-potential-capacitors-conductor)). Kanan: [efek ujung runcing](#ex-b1-potential-capacitors-point) — pada satu penghantar ekuipotensial muatan permukaan dan medan luarnya terbesar di tempat kelengkungannya paling tajam.*

## 27.4 Kapasitor

**Definisi 27.12 (Kapasitansi).**

Sebuah penghantar terkucil pada potensial $V$ mengemban muatan $Q$ yang sebanding dengan $V$: $Q = CV$, dengan $C$ yang disebut *kapasitansi*-nya (farad, $\mathrm{F}$); bagi sebuah bola $C = 4\pi\varepsilon_0R$. Yang disebut *kapasitor* adalah sepasang penghantar (*keping*) yang mengemban muatan berlawanan $\pm Q$ dan saling berhadapan sehingga medannya terkurung di antara keduanya; kapasitansinya $C = Q/U$ dengan $U = V_1 - V_2$ [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) di antara kedua kepingnya. Lambang dan hukum rangkaian $i = C\,\dd u/\dd t$ telah dipakai dalam [Bab 7](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/7-rezim-peralihan-orde-pertama-dan-orde-kedua#ch-b1-transient-regimes).

**Proposisi 27.13 (Tiga kapasitor).**

1. Bidang: keping berluas $S$ yang terpisah sejauh $d \ll \sqrt S$ : $C = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ .
2. Bola: bola sepusat berjari-jari $R_1 < R_2$ : $C = \dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2 - R_1}$ .
3. Silinder (sesumbu), berjari-jari $a < b$ , panjang $L \gg b$ : $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}$ .

Mengisi celahnya dengan sebuah isolator berpermitivitas nisbi $\varepsilon_r$ melipatkan $C$ dengan $\varepsilon_r$ (molekul dielektriknya terpolarisasi dan melemahkan medannya, $\varepsilon_r = 2$ sampai $10$ bagi plastik dan kaca biasa, $80$ bagi air).

**Bukti.** Dalam tiap kasusnya medan di antara kedua kepingnya adalah medan [Proposisi 26.12](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-three): $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/\varepsilon_0S$, $U = Ed$; $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$, $U = \int_{R_1}^{R_2}E\,\dd r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}
\Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$; $E = Q/2\pi\varepsilon_0Lr$, $U =
\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\dfrac ba$. Bagilah $Q$ dengan $U$. Faktor dielektriknya diterima tanpa bukti. ∎

**Teorema 27.14 (Energi sebuah kapasitor).**

Sebuah [kapasitor](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) yang bermuatan $Q$ di bawah $U$ menyimpan

$$
W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \frac{Q^2}{2C} ,
$$

yaitu usaha yang diperlukan untuk membawa muatannya dari satu keping ke keping yang lain melawan [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) yang membesar. Dalam [kapasitor bidang](#prop-b1-potential-capacitors-three) $W = \tfrac12\varepsilon_0E^2
\times Sd$: energinya ada di dalam medannya, pada rapat $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ tiap satuan volume — sebuah pernyataan yang berlaku bagi setiap medan elektrostatik.

**Bukti.** Memindahkan $\dd q$ dari keping negatif ke keping positif ketika muatannya $q$ menelan $\dd W = (q/C)\,\dd q$; integralkan dari $0$ sampai $Q$. Lalu substitusikan $C = \varepsilon_0S/d$ dan $U = Ed$; rapat umumnya diterima tanpa bukti. ∎

**Contoh 27.15 (Tiga kapasitor dan energinya).**

Sepasang kertas timah seluas satu meter persegi yang terpisah $1\,\mathrm{mm}$: $C = 8.85 \times 10^{-12}/
10^{-3} = 8.9\,\mathrm{nF}$ — [farad](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) memang satuan yang raksasa. Sebuah defibrilator $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ pada $2\,\mathrm{kV}$: $300\,\mathrm{J}$, disalurkan dalam beberapa milisekon. Sebuah superkapasitor $3000\,\mathrm{F}$ pada $2.7\,\mathrm{V}$: $11\,\mathrm{kJ}$ dalam sebuah kaleng sebesar botol limun — [kapasitansinya](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) datang dari celah $d$ berukuran molekul dan $S$ berliang yang luar biasa besar. Rapat energi sebuah medan pada dadal udara, $\tfrac12\varepsilon_0(3 \times 10^6)^2 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, adalah sebabnya [kapasitor](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) menyimpan begitu sedikit dibandingkan dengan baterai.

![Kapasitor bidang, bola dan berisi dielektrik. Medannya (jingga) terkurung di antara kedua kepingnya kecuali kebocoran di tepinya, yang diabaikan bila d kecil; energi 1/2 _0E2 tiap satuan volume tinggal di dalam medan itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-a097e4cfc5d4.svg)

*[Kapasitor bidang](#prop-b1-potential-capacitors-three), bola dan berisi dielektrik. Medannya (jingga) terkurung di antara kedua kepingnya kecuali kebocoran di tepinya, yang diabaikan bila $d$ kecil; energi $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ tiap satuan volume tinggal di dalam medan itu.*

**Catatan 27.16 (Kapasitor yang dirangkai).**

Dalam rangkaian paralel ($U$ sama) muatannya berjumlah: $C = C_1 + C_2$; dalam rangkaian seri ($Q$ sama) [tegangannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) berjumlah: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ — kebalikan dari [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor), karena $C$ mengukur sebuah kemudahan (muatan tiap volt) sedangkan $R$ mengukur sebuah kesukaran. Aturan ini menyusul dari $Q = CU$ dan hukum rangkaian [Bab 6](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#ch-b1-dc-circuits).

## 27.5 Latihan

**Latihan 27.1 ★.**

Potensial pada jarak $1.0\,\mathrm{m}$ dari muatan $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; energi yang diperlukan untuk membawa muatan $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ kedua dari tak hingga ke titik itu; kelajuan saat ia terlontar bila dilepaskan, jika massanya $1\,\mathrm{g}$.

**Solusi Latihan 27.1.**

$V = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}$; $W = qV = 9.0\,\mathrm{mJ}$; setelah dilepaskan, $\tfrac12mv^2 = 9\,\mathrm{mJ}$: $v = \sqrt{18} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Latihan 27.2 ★.**

Keping yang terpisah $1.0\,\mathrm{mm}$ di bawah $100\,\mathrm{V}$: medannya; [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) dan kelajuan yang diperoleh sebuah elektron yang menyeberangi celahnya dari keadaan diam; waktu terbangnya.

**Solusi Latihan 27.2.**

$E = 100/10^{-3} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $E_k = eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, sehingga $v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; dalam gerak berubah beraturan, $t = 2d/v = 3.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**Latihan 27.3 ★.**

Pada sebuah peta ekuipotensial yang digambar tiap $10\,\mathrm{V}$, garisnya terpisah $2\,\mathrm{mm}$ dekat $A$ dan $8\,\mathrm{mm}$ dekat $B$. Medan di $A$ dan di $B$; ke mana medannya menunjuk relatif terhadap potensial yang membesar; ke mana sebuah elektron dipercepat?

**Solusi Latihan 27.3.**

$E_A = 10/0.002 = 5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $E_B = 10/0.008 = 1.25\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. Medannya menunjuk ke arah potensial yang mengecil; sebuah elektron ($q < 0$) dipercepat ke arah sebaliknya, menuju $V$ yang membesar.

**Latihan 27.4 ★.**

Sebuah bola Van de Graaff berjari-jari $15\,\mathrm{cm}$ dimuati sampai $200\,\mathrm{kV}$. [Kapasitansi](#def-b1-potential-capacitors-capacitance), muatan, medan pada permukaannya. Potensial maksimum sebelum udara di sekitarnya dadal ($3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$).

**Solusi Latihan 27.4.**

$C = 4\pi\varepsilon_0R = 1.11 \times 10^{-10} \times 0.15 = 17\,\mathrm{pF}$; $Q = CV =
3.3\,\text{µ}\mathrm{C}$; $E = V/R = 2 \times 10^5/0.15 = 1.3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$. Dadalnya pada $V = E_{\max}R = 3 \times 10^6 \times 0.15 = 450\,\mathrm{kV}$ — mesin besar memakai bola besar.

**Latihan 27.5 ★★.**

Potensial pada sumbu sebuah cincin berjari-jari $R$ dan bermuatan $Q$; peroleh kembali medan aksialnya dengan penurunan. Serupa bagi cakram bermuatan seragam (pakailah [Latihan 26.5](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#exo-b1-electrostatics-gauss-5)): $V(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$.

**Solusi Latihan 27.5.**

Setiap unsur cincinnya berjarak $\sqrt{R^2 + z^2}$: $V =
Q/4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}$; $E_z = -\dd V/\dd z = Qz/4\pi\varepsilon_0(R^2 +
z^2)^{3/2}$. Cakramnya: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ pada $\sqrt{a^2 + z^2}$: $V =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R\dfrac{a\,\dd a}{\sqrt{a^2 + z^2}} =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$, dan $-\dd V/\dd z =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$.

**Latihan 27.6 ★★.**

Turunkanlah potensial di dalam sebuah bola bermuatan seragam dari medannya. Potensial di pusat sebuah inti emas ($Z = 79$, $R = 7.0\,\mathrm{fm}$); energi yang diperlukan sebuah proton untuk mencapai pusatnya dari jauh, dalam $\mathrm{MeV}$; ulaslah partikel alfa $5\,\mathrm{MeV}$ milik Rutherford.

**Solusi Latihan 27.6.**

$V(r) = V(R) + \displaystyle\int_r^R\dfrac{Qr'\,\dd r'}{4\pi\varepsilon_0R^3} =
\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} + \dfrac{Q(R^2 - r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}
\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$. Emas: $V(0) = 1.5 \times 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times
10^{-17}/7 \times 10^{-15} = 24\,\mathrm{MV}$: sebuah proton perlu $24\,\mathrm{MeV}$, sebuah alfa ($2e$) $48\,\mathrm{MeV}$ untuk mencapai pusatnya dan $32\,\mathrm{MeV}$ untuk menyentuh permukaannya. Alfa $5\,\mathrm{MeV}$ milik Rutherford berbalik pada $r$ dengan $2eV =
5\,\mathrm{MeV}$: $V = 2.5\,\mathrm{MV}$, $r = 45\,\mathrm{fm}$ — jauh di luar intinya, dan itulah sebabnya analisis muatan titiknya berhasil.

**Latihan 27.7 ★★.**

Molekul air, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$. Medan yang diciptakannya pada $1.0\,\mathrm{nm}$ menyusuri sumbunya dan tegak lurus terhadapnya; [momen gaya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#def-b1-angular-momentum-moment) dan selisih energi antara kedudukan searah dan berlawanan arah dalam $E = 1.0\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$; bandingkan dengan $k_BT$ pada $300\,\mathrm{K}$. Medan sebuah ion natrium pada $0.3\,\mathrm{nm}$ dan energi dipol airnya yang searah di dalamnya (hidrasi).

**Solusi Latihan 27.7.**

Pada sumbunya: $2p/4\pi\varepsilon_0r^3 = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 6.2 \times 10^{-30}/10^{-27} =
1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; tegak lurus, separuhnya: $5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. [Momen gaya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#def-b1-angular-momentum-moment) $pE =
6.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; selang energinya $2pE = 1.2 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ terhadap $k_BT =
4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$: $330$ kali lebih kecil — hanya penyearahan total $0.1\%$. Ion natrium pada $0.3\,\mathrm{nm}$: $E = e/4\pi\varepsilon_0r^2 = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $-pE
= -1.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = -0.6\,\mathrm{eV}$, yaitu $24\,k_BT$: molekul airnya terkunci pada ionnya — itulah hidrasi.

**Latihan 27.8 ★★.**

Sebuah bola penghantar berjari-jari $1.0\,\mathrm{cm}$ di udara: muatan dan potensial maksimum sebelum dadal. Dua bola penghantar, $R_1 = 10\,\mathrm{cm}$ dan $R_2 = 1.0\,\mathrm{mm}$, dihubungkan oleh kawat tipis dan dinaikkan sampai $20\,\mathrm{kV}$: medan permukaan masing-masing; yang mana melucut ke udara?

**Solusi Latihan 27.8.**

$Q = 4\pi\varepsilon_0R^2E = 10^{-4} \times 3 \times 10^6/8.99 \times 10^9 = 33\,\mathrm{nC}$, $V = ER = 30\,\mathrm{kV}$. Bola yang terhubung: $E_1 = V/R_1 = 0.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$, $E_2 = V/R_2 = 20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m} > 3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: bola kecilnya mengionkan udaranya dan membocorkan muatannya — [efek ujung runcing](#ex-b1-potential-capacitors-point).

**Latihan 27.9 ★★.**

[Kapasitansi](#def-b1-potential-capacitors-capacitance): dua kertas timah $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ yang terpisah $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ dengan lapisan polimer $\varepsilon_r = 2.2$ (sebuah [kapasitor](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) lapisan); kertas timah yang sama digulung — apakah penggulungan mengubah $C$? Energinya pada $400\,\mathrm{V}$. Sebuah [kapasitor](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ pada $2.0\,\mathrm{kV}$ (defibrilator): muatan, energi, [daya rata-rata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/8-keadaan-tunak-sinusoidal-dan-impedansi#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) bila disalurkan dalam $5\,\mathrm{ms}$.

**Solusi Latihan 27.9.**

$C = \varepsilon_r\varepsilon_0S/d = 2.2 \times 8.85 \times 10^{-12}/10^{-5} = 2.0\,\text{µ}\mathrm{F}$; penggulungan mengubah bentuknya, bukan luas yang saling berhadapan: $C$ sama (dengan lapisan kedua sehingga tiap kertas timah menghadapi yang lain pada kedua sisinya, ia berlipat dua). $W = \tfrac12 \times 2 \times 10^{-6} \times 400^2 = 0.16\,\mathrm{J}$. Defibrilator: $Q = 150 \times 10^{-6} \times 2000 = 0.30\,\mathrm{C}$, $W = \tfrac12CU^2 = 300\,\mathrm{J}$, $P = 300/0.005 = 60\,\mathrm{kW}$.

**Latihan 27.10 ★★★.**

*[Kapasitor bola](#prop-b1-potential-capacitors-three) dan silinder.* (a) Turunkanlah $C$ bagi bola sepusat dan periksalah bahwa untuk $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ ia menyusut menjadi rumus bidangnya, dan untuk $R_2 \to \infty$ menjadi bola terkucilnya. (b) Kabel sesumbu, $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $b = 2.5\,\mathrm{mm}$, polietilena $\varepsilon_r = 2.3$: [kapasitansi](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) tiap meter (bandingkan dengan $100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ kabel biasa). (c) Medan pada penghantar dalamnya di bawah $1\,\mathrm{kV}$; amankah?

**Solusi Latihan 27.10.**

(a) $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$, $U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{R_1} -
\dfrac1{R_2}\Bigr)$, $C = 4\pi\varepsilon_0R_1R_2/(R_2 - R_1)$; dengan $R_2 - R_1 = d \ll
R_1$, $R_1R_2 \approx R^2$ dan $C \approx 4\pi R^2\varepsilon_0/d = \varepsilon_0S/d$; dengan $R_2 \to
\infty$, $C \to 4\pi\varepsilon_0R_1$. (b) $C/L = 2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0/\ln(b/a) = 2\pi \times 2.3
\times 8.85 \times 10^{-12}/\ln5 = 79\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, ordenya tepat. (c) $E(a) =
U/[a\ln(b/a)] = 1000/(5 \times 10^{-4} \times 1.61) = 1.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: di bawah $20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ milik polietilena, aman; di udara nilainya akan mepet.

**Latihan 27.11 ★★★.**

*Energi di dalam medannya.* (a) Energi sebuah bola penghantar bermuatan ($Q$, $R$) dari $Q^2/2C$. (b) Samakan dengan energi diam elektron $m_ec^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ lalu selesaikan untuk $R$: “jari-jari elektron klasik” (sampai sebuah faktor). (c) Sebuah [kapasitor bidang](#prop-b1-potential-capacitors-three) terkucil bermuatan $Q$ kepingnya ditarik dari $d$ menjadi $2d$: perubahan energi tersimpannya, dan gaya antara kedua kepingnya yang disimpulkan darinya; periksalah terhadap [Latihan 26.8](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#exo-b1-electrostatics-gauss-8). (d) Serupa dengan [kapasitornya](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) dijaga pada $U$ tetap oleh sebuah baterai: perubahan energinya, dan ke mana selisihnya pergi.

**Solusi Latihan 27.11.**

(a) $W = Q^2/2C = Q^2/8\pi\varepsilon_0R$. (b) $R = e^2/8\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.31 \times
10^{-28}/(2 \times 8.19 \times 10^{-14}) = 1.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ (“jari-jari klasik” yang lazim, $e^2/4\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.8\,\mathrm{fm}$, membuang $\tfrac12$-nya). (c) $W =
Q^2/2C = Q^2d/2\varepsilon_0S$ berlipat dua: $\Delta W = Q^2d/2\varepsilon_0S = F\,d$ dengan $F =
Q^2/2\varepsilon_0S = \sigma^2S/2\varepsilon_0$, seperti yang diperoleh langsung. (d) Pada $U$ tetap, $W =
\varepsilon_0SU^2/2d$ berkurang separuh: $\Delta W = -W/2$; penariknya tetap melakukan usaha $W/2$ (integralkan $F = \varepsilon_0SU^2/2x^2$ dari $d$ sampai $2d$); kedua separuhnya, seluruhnya $W$, mengalir balik ke baterainya seiring muatan $CU/2$ kembali padanya pada [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) $U$.

**Latihan 27.12 ★★★.**

*Energi Coulomb sebuah inti.* (a) Bangunlah sebuah bola bermuatan seragam ($Q$, $R$) kulit demi kulit lalu tunjukkan bahwa energi elektrostatiknya adalah $W = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$. (b) Uranium-238: $Z = 92$, $R =
7.4\,\mathrm{fm}$: $W$ dalam $\mathrm{MeV}$. (c) Belahlah menjadi dua serpihan sama besar ($Z/2$, $A/2$, jari-jari $R/2^{1/3}$) yang berjauhan: energi Coulomb yang dilepaskan. (d) Energi fisi yang terukur kira-kira $200\,\mathrm{MeV}$: apa yang melawan keuntungan Coulombnya?

**Solusi Latihan 27.12.**

(a) Bola berjari-jari $r$ mengemban $q = Qr^3/R^3$ pada potensial permukaan $q/4\pi\varepsilon_0r$; menambahkan kulit $\dd q = 3Qr^2\,\dd r/R^3$ menelan $\dd W =
q\,\dd q/4\pi\varepsilon_0r = 3Q^2r^4\,\dd r/4\pi\varepsilon_0R^6$; integralkan: $W =
3Q^2/20\pi\varepsilon_0R$. (b) $Q = 92e = 1.47 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$: $W = 3 \times 2.17 \times
10^{-34}/(20\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.4 \times 10^{-15}) = 1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}
= 990\,\mathrm{MeV}$. (c) Tiap serpihannya: muatan $Q/2$, jari-jari $R/2^{1/3}$, energi $\tfrac14 2^{1/3}W$; keduanya: $2^{1/3}W/2 = 0.63W$: yang dilepaskan $0.37 \times 990 = 370\,\mathrm{MeV}$. (d) “Tegangan permukaan” intinya: dua serpihan berpermukaan lebih luas daripada satu inti, dan itu menelan kira-kira $170\,\mathrm{MeV}$; sisanya, dekat $200\,\mathrm{MeV}$, muncul sebagian besar sebagai [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) kedua serpihan yang terbang berpisah di bawah tolakan timbal baliknya.

![Peranti tetes minyak Millikan, kira-kira 1916 (Museum Sains dan Industri, Chicago): bilik kuningannya memuat kedua keping mendatar yang di antaranya tetesnya diamati.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/img-e7375e9d57d0.jpg)

*Peranti tetes minyak Millikan, kira-kira 1916 (Museum Sains dan Industri, Chicago): bilik kuningannya memuat kedua keping mendatar yang di antaranya tetesnya diamati.*

## 27.6 Soal: Tetes minyak Millikan

**Soal 27.1.**

Soal akhir pekan — menimbang muatan elektron dengan setetes minyak: Stokes, kapasitor bidang, dan sebuah tabel angka yang menolak menjadi apa pun kecuali kelipatan satu bilangan

Tetes minyak disemprotkan di antara dua keping mendatar yang terpisah $d = 16\,\mathrm{mm}$, berdiameter $20\,\mathrm{cm}$, lalu diamati lewat sebuah [mikroskop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-microscope). Data: massa jenis minyak $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, massa jenis udara $1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, kekentalan udara $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $g =
9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$. Sebuah bola kecil berjari-jari $r$ yang bergerak dengan $v$ di udara merasakan seretan Stokes $6\pi\eta rv$.

**Bagian I — Tetes yang jatuh.**

1. Gaya pada sebuah tetes yang jatuh tanpa [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) terpasang; tunjukkan bahwa ia mencapai kelajuan terminal $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ (abaikan [gaya apung](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/21-statika-fluida#thm-b1-fluid-statics-archimedes) udaranya — benarkan).
2. Sebuah tetes jatuh $1.0\,\mathrm{mm}$ dalam $10\,\mathrm{s}$ : jari-jari dan massanya.
3. [Tetapan waktu](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/7-rezim-peralihan-orde-pertama-dan-orde-kedua#def-b1-transient-regimes-firstorder) pendekatan ke $v_1$ ; jarak yang ditempuh sementara itu. Pernahkah tetesnya terlihat dipercepat?
4. Bilangan Reynolds $\rho_{\text{udara}}v_1r/\eta$ geraknya: sahkah [hukum Stokes](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#prop-b1-newton-dynamics-drag) ?
5. Mengapa tetesnya harus sekecil itu? (Bandingkan beratnya dengan gaya listrik pada satu [muatan elementer](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) dalam medan $3 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .)
6. Tetesnya terlihat sedikit bergetar di sekitar jatuh rata-ratanya: apa ini, dan mengapa ia membatasi ketelitiannya?

**Bagian II — Medannya.** Sebuah [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) $U$ dipasang, keping atasnya positif.

7. Medan di antara kedua kepingnya untuk $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ ; mengapa ia seragam, dan apa ekuipotensialnya?
8. [Kapasitansi](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) kedua kepingnya, muatan padanya pada $5.0\,\mathrm{kV}$ , dan energi tersimpannya.
9. Tetes pertanyaan 2 tertahan diam untuk $U_0 = 1080\,\mathrm{V}$ : tanda dan nilai muatannya, dalam coulomb dan dalam satuan $e$ .
10. Dengan $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ tetes yang sama naik dengan $v_2$ : tunjukkan bahwa $q = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ lalu hitunglah $v_2$ .
11. Mengapa mengukur waktu naik dan turun lebih baik daripada memburu [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) penyeimbangnya?
12. [Energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) muatan tetesnya di antara kedua kepingnya pada $5\,\mathrm{kV}$ , dan energi yang dilesapkan seretan selama sebuah kenaikan $1\,\mathrm{cm}$ .

**Bagian III — Tabel muatannya.** Dipaparkan pada sumber sinar-X yang lemah di antara pengukuran, tetes yang sama berubah muatannya; pengukuran berturut-turut memberi (dalam $10^{-19}$ C): $4.80$, $8.01$, $6.42$, $3.19$, $9.63$.

13. Tunjukkan bahwa kelimanya dekat pada kelipatan bulat satu besaran, lalu berikan bilangan bulatnya.
14. Taksiran terbaik [muatan elementer](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) dari kelima nilainya; ketakpastian baku reratanya ( [Bab 1](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#ch-b1-units-dimensions) ).
15. Mengapa muatannya berubah sebanyak bilangan bulat $e$ di antara pengukuran?
16. Tunjukkan bahwa, dalam metode ini, $q \propto \eta^{3/2}$ : sebesar apa galat $1\%$ pada kekentalannya menggeser $e$ ? (Nilai asli Millikan $0.6\%$ terlalu rendah, justru karena sebab ini.)
17. Kuark mengemban $\pm e/3$ dan $\pm 2e/3$ : mengapa tak pernah ada tetes minyak yang memperlihatkan sepertiga $e$ ?
18. Tetapan Faraday, yaitu muatan satu [mol](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/20-teori-kinetik-dan-gas-ideal#def-b1-kinetic-theory-scales) elektron, adalah $F = 96\,485\,\mathrm{C}/\mathrm{mol}$ : simpulkanlah bilangan Avogadro.
19. Thomson telah mengukur $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}\,\mathrm{C}/\mathrm{kg}$ bagi elektron: simpulkanlah massanya, lalu bandingkan dengan sebuah atom hidrogen ( $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

**Bagian IV — Perantinya, lewat potensialnya.**

20. Sketsalah ekuipotensial dan [garis medan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) di antara kedua kepingnya, termasuk kebocoran dekat tepinya; benarkan pengabaiannya.
21. Sebuah tetes bermuatan positif pada ketinggian $z$ di atas keping bawah (pada $0\,\mathrm{V}$ ): [energi potensialnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) sebagai fungsi $z$ ; [energi potensial](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#def-b1-work-and-energy-conservative) totalnya termasuk gravitasi; syarat pada $U$ bagi titik diamnya.
22. Bandingkan energi muatan tetesnya (pertanyaan 12) dengan energi yang tersimpan dalam [kapasitornya](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) : apakah tetesnya mengganggu medannya?
23. [Tegangannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) dibalik (keping bawah positif) dengan $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ : apa yang dilakukan tetes pertanyaan 9, dan pada kelajuan berapa?
24. Sebutir debu $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ yang mengemban $10^4e$ dalam medan yang sama: nisbah gaya listrik terhadap beratnya; mengapa butiran seperti itu tak dapat dilayangkan dan mengapa Millikan memilih kabut minyak.
25. Ringkaslah: apa yang diukur (tiga kali), apa yang disimpulkan, dengan ketakpastian berapa, dan dua tetapan mana yang menyusul darinya.

**Solusi Soal 27.1.**

**1.** Berat $\tfrac43\pi r^3\rho g$ ke bawah, seretan $6\pi\eta rv$ ke atas, [gaya apung](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/21-statika-fluida#thm-b1-fluid-statics-archimedes) $\tfrac43\pi r^3\rho_{\text{udara}}g$ ke atas — $1.2/900 = 0.13\%$ dari beratnya, terabaikan. Terminalnya: $\tfrac43\pi r^3\rho g = 6\pi\eta rv_1$, $v_1 =
2\rho gr^2/9\eta$.

**2.** $v_1 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $r = \sqrt{9\eta v_1/2\rho g} = \sqrt{9 \times
1.8 \times 10^{-5} \times 10^{-4}/(2 \times 900 \times 9.8)} = 9.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$, yaitu satu mikrometer; $m = \tfrac43\pi r^3\rho = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$.

**3.** $\tau = m/6\pi\eta r = 3.3 \times 10^{-15}/3.3 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$; jaraknya $\sim v_1\tau = 1\,\mathrm{nm}$. Tak pernah.

**4.** $\mathrm{Re} = 1.2 \times 10^{-4} \times 9.6 \times 10^{-7}/1.8 \times 10^{-5} =
6 \times 10^{-6} \ll 1$: [hukum Stokes](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#prop-b1-newton-dynamics-drag) berlaku.

**5.** $eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^5 = 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ terhadap $mg = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$: sebanding hanya bagi tetes semikron. Sebuah tetes $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ berbobot seribu kali lebih besar; satu [muatan elementer](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) akan mengubah kelajuannya sebesar $0.1\%$, tak terlihat.

**6.** Gerak Brown: gempuran molekul udara menyentak-nyentak tetesnya secara acak; waktu ukurnya berserak, membatasi ketelitiannya dan menetapkan batas bawah bagi ukuran tetes yang berguna.

**7.** $E = U/d = 5000/0.016 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; kepingnya jauh lebih lebar daripada $d$, sehingga superposisi kedua bidangnya memberi medan yang seragam; ekuipotensialnya bidang mendatar, $V = Uz/d$.

**8.** $C = \varepsilon_0\pi(0.1)^2/0.016 = 17\,\mathrm{pF}$; $Q = CU = 87\,\mathrm{nC}$; $W = \tfrac12CU^2 = 0.22\,\mathrm{mJ}$.

**9.** Keping atasnya positif: $\vect E$ menunjuk ke bawah; gayanya harus menunjuk ke atas, sehingga $q < 0$. $|q| = mgd/U_0 = 3.3 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.016/
1080 = 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3e$: $q = -3e$.

**10.** Naik dengan kelajuan tetap: $|q|E = mg + 6\pi\eta rv_2$ dan $mg =
6\pi\eta rv_1$, sehingga $|q|E = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)$ dan $|q| = 6\pi\eta r(v_1 +
v_2)d/U$. $v_2 = (|q|E - mg)/6\pi\eta r = (1.5 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14})/
3.3 \times 10^{-10} = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $1\,\mathrm{mm}$ dalam $2.8\,\mathrm{s}$.

**11.** Penyeimbangan adalah penilaian nol atas sebutir noktah yang menghanyut dan bergetar, yang muatannya mungkin berubah sementara itu; pengukuran waktu atas jarak tetap dapat diulang sesuka hati, $r$ ditetapkan sekali untuk selamanya oleh $v_1$, dan satu tetes lalu memberi seluruh deret muatan.

**12.** $|q|U = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5000 = 2.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ ($15\,\mathrm{keV}$) melintasi celahnya; seretan sepanjang $1\,\mathrm{cm}$: $(|q|E - mg) \times 0.01 =
1.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$, berubah menjadi kalor di udaranya.

**13.** Bagilah dengan $1.60$: $3.00$, $5.01$, $4.01$, $1.99$, $6.02$ — bilangan bulatnya $3, 5, 4, 2, 6$.

**14.** $q/n$: $1.600, 1.602, 1.605, 1.595, 1.605$; reratanya $1.601$, simpangan bakunya $0.004$, ketakpastian reratanya $0.004/\sqrt5 =
0.002$: $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C.

**15.** Sinar-X-nya mengionkan udaranya; tetesnya memungut ion satu per satu, masing-masing mengemban bilangan bulat $e$.

**16.** $r \propto \eta^{1/2}$ dari $v_1$, $m \propto r^3 \propto \eta^{3/2}$, dan $|q| = mgd/U_0 \propto \eta^{3/2}$: $1\%$ pada $\eta$ memberi $1.5\%$ pada $e$. Nilai $\eta$ milik Millikan $0.4\%$ terlalu rendah, karena itu $e$-nya $0.6\%$ terlalu rendah.

**17.** Kuark tak pernah datang sendirian: ia terkurung di dalam hadron, dan setiap benda bebas mengemban muatan bulat.

**18.** $N_A = F/e = 96485/1.602 \times 10^{-19} = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

**19.** $m_e = 1.602 \times 10^{-19}/1.76 \times 10^{11} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$: $1840$ kali lebih ringan daripada atom hidrogen.

**20.** Bidang mendatar di antara kedua kepingnya, menggelembung di sekeliling tepinya; [garis medan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/26-elektrostatika-medan-dan-hukum-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) tegak yang mengembang keluar di tepinya sepanjang lebar berorde $d = 1.6\,\mathrm{cm}$ — kecil terhadap diameter $20\,\mathrm{cm}$, dan tetesnya diamati di tengah.

**21.** $E_p = qUz/d + mgz$, linear dalam $z$: tak ada minimum; sebuah tetes yang diam menuntut kemiringannya lenyap, $q = -mgd/U$, dan kesetimbangannya lalu bersifat netral — setiap hanyutan sisa bertahan, dan itulah sebabnya penyeimbangannya sukar dinilai.

**22.** $2.4 \times 10^{-15}$ terhadap $2.2 \times 10^{-4}$ J: $10^{-11}$. Tetesnya tak mengganggu medannya.

**23.** Medannya ke atas, gaya pada tetes negatifnya ke bawah: ia jatuh dengan $(mg
+ |q|E)/6\pi\eta r = (3.2 \times 10^{-14} + 1.5 \times 10^{-13})/3.3 \times 10^{-10} =
5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**24.** $F = 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.1 \times 10^5 = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ terhadap $9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$: $5\%$ dari beratnya — tak terangkat, dan dengan $10^4$ muatan sebuah perubahan satu $e$ tak terlihat. Kabut minyak memberi tetes yang kecil, tak menguap dan berbentuk bola.

**25.** Yang diukur: $v_1$, $v_2$ dan $U$ (dengan $d$, $\eta$, $\rho$ diketahui); yang disimpulkan $r$, $m$, lalu $q$, yang ternyata selalu kelipatan bulat $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C ($0.1\%$); darinya $N_A = F/e$ dan $m_e = e/(e/m_e)$.