---
title: "Cermin dan Lensa Tipis"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis
---

# Bab 3 — Cermin dan Lensa Tipis

Cermin rias memperlihatkan wajah dua kali lebih besar; punggung sendok memperlihatkannya mungil dan tegak, cekungannya memperlihatkannya mungil dan terbalik; kaca pembesar yang dipegang sepanjang lengan menjungkirkan seisi ruangan, dan bila dipegang dekat ia memperbesar sekeping perangko; [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) telepon sebesar kacang polong melukis seluruh jalan ke atas sebuah sensor. Satu hubungan aljabar antara tiga jarak mengatur setiap [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) itu, dan bab ini menegakkannya — lebih dulu untuk cermin lengkung, lalu untuk [lensa tipis](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang menjadi bahan hampir semua alat optik.

![Lensa konvergen yang membentuk bayangan nyata dan terbalik sebuah nyala lilin pada layar: jarak benda dan jarak bayangannya menuruti hubungan konjugasi bab ini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/img-4e16a71a9752.jpg)

*[Lensa konvergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang membentuk [bayangan nyata](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) dan terbalik sebuah nyala lilin pada layar: jarak benda dan jarak [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) menuruti hubungan konjugasi bab ini.*

## 3.1 Bayangan dan syarat Gauss

**Definisi 3.1 (Benda, bayangan, stigmatisme).**

Sebuah sistem optik menerima sinar dari titik $A$ (*titik benda*). Jika semua sinar yang keluar melalui satu titik $A'$, atau semuanya seolah datang dari satu titik $A'$, sistemnya bersifat *stigmatik* bagi $A$ dan $A'$ adalah *bayangan* $A$. Bayangannya *nyata* jika sinar yang keluar benar-benar berpotongan di $A'$ (ia dapat ditangkap layar), *maya* jika hanya perpanjangan mundurnya yang berpotongan (ia dilihat lewat sistemnya, bukan diproyeksikan). Begitu pula bendanya nyata jika sinar yang masuk menyebar dari $A$, dan maya jika sinar itu memusat menuju $A$ di belakang pintu masuk sistemnya. Pasangan $(A, A')$ disebut *konjugat*.

**Definisi 3.2 (Sistem terpusat; syarat Gauss).**

*Sistem terpusat* mempunyai sumbu kesetangkupan putar, yaitu *sumbu optik*. Sinar yang tetap dekat dengan sumbunya dan membentuk sudut kecil terhadapnya disebut *paraksial*; sistem yang hanya dipakai dengan sinar paraksial dikatakan bekerja dalam *syarat Gauss*. Dalam syarat itu sistem terpusat bersifat hampir stigmatik bagi setiap titik, dan bidang benda yang tegak lurus sumbunya mempunyai bidang [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) yang tegak lurus sumbunya pula (*aplanatisme*).

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 3.3 (Mengapa sudut kecil).**

[Cermin datar](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/2-optika-geometri-sinar-pemantulan-pembiasan#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) adalah satu-satunya sistem sederhana yang stigmatik secara ketat bagi setiap titik. Cermin atau [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) sferis stigmatik hanya sejauh $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$: hampiran itulah yang mengubah [hukum Snell](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/2-optika-geometri-sinar-pemantulan-pembiasan#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) menjadi hubungan linear antara jarak. Di luar itu [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sebuah titik menjadi noda kabur (*aberasi*), dan tugas perancangnya — diafragma, gabungan [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), permukaan asferis — adalah menekan kekaburan itu di bawah apa yang dapat diuraikan mata atau sensor.

**Notasi 3.4 (Ukuran aljabar dan perbesaran).**

[Sumbu optiknya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) diarahkan searah cahaya yang datang; arah melintangnya diarahkan ke atas. Untuk titik $P$, $Q$ pada sumbunya, $\overline{PQ}$ menyatakan [ukuran aljabar](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why) ($\overline{PQ} > 0$ jika $Q$ berada di hilir $P$); untuk benda $AB$ yang tegak lurus sumbunya dan [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'B'$, *[perbesaran melintang](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why)*nya adalah

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,
$$

negatif untuk [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) terbalik, dan bernilai mutlak lebih besar daripada $1$ untuk [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) yang diperbesar.

## 3.2 Cermin sferis

**Definisi 3.5 (Cermin sferis).**

*Cermin sferis* adalah tembereng bola yang memantulkan, berpusat $C$ dan berpuncak $S$ (perpotongannya dengan sumbu). Ia *cekung* jika cahayanya menemui sisi cekungnya ($C$ berada di sisi cahaya yang datang), dan *cembung* jika sebaliknya. *Titik fokus*nya $F$ adalah [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sebuah titik di tak hingga pada sumbunya; jarak fokusnya $f = \overline{SF}$.

**Proposisi 3.6 (Titik fokus cermin sferis).**

Dalam [syarat Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), titik fokusnya adalah titik tengah $SC$: $\overline{SF} = \overline{SC}/2$. [Cermin cekung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) mempunyai $f < 0$ (fokus nyata, di depan); [cermin cembung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) mempunyai $f > 0$ (fokus maya, di belakang).

**Bukti.** Sinar yang sejajar sumbu pada ketinggian $h$ menemui cerminnya di $I$; garis normal di $I$ adalah jari-jari $CI$, yang membentuk sudut $\alpha$ dengan sumbunya, $\sin\alpha = h/R$. Dipantulkan dengan sudut $\alpha$ yang sama terhadap garis normalnya, sinar itu memotong sumbunya di $F$; segitiga $CIF$ mempunyai sudut $\alpha$ yang sama besar di $C$ dan di $I$, sehingga $CF = IF$ dan, dengan memproyeksikan, $CF = R/(2\cos\alpha)$. Untuk [sinar paraksial](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) $\cos\alpha \to 1$ dan $CF = R/2$: semua sinar semacam itu memotong sumbunya di titik yang sama, yaitu titik tengah $SC$. Tandanya: untuk [cermin cekung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) $C$ dan $F$ terletak di depan (di hulu), $\overline{SC} < 0$. ∎

**Teorema 3.7 (Konjugasi untuk cermin sferis).**

Dalam [syarat Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ sebuah titik $A$ pada sumbunya memenuhi

$$
\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}
= \frac{1}{\overline{SF}},
\qquad
\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .
$$

**Bukti.** Ambil [cermin cekung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) dan benda nyata $A$ di luar $C$; bentuk aljabarnya kemudian mencakup setiap kasus. Sinar dari $A$ mengenai cerminnya di $I$ (ketinggian $h$) lalu kembali ke $A'$ pada sumbunya. Sebut $u$, $u'$, $\omega$ sudut $AI$, $A'I$ dan $CI$ terhadap sumbunya; secara paraksial $u = h/AS$, $u' = h/A'S$, $\omega = h/CS$ (jarak). Hukum pemantulan mengatakan bahwa garis normal $CI$ membagi dua sudut antara $AI$ dan $A'I$: $\omega - u = u' - \omega$, yaitu $u + u' = 2\omega$, yaitu $1/AS + 1/A'S = 2/CS$; dengan $\overline{SA}$, $\overline{SA'}$, $\overline{SC}$ semuanya negatif, inilah hubungan yang dipajang. Untuk perbesarannya, sinar $B \to S \to B'$ yang dipantulkan di puncaknya membentuk sudut yang sama besar dengan sumbunya: $A'B'/SA' = AB/SA$ dalam panjang, dan [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) terbalik, $\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}$. ∎

**Metode 3.8 (Melukis bayangan pada cermin).**

Untuk titik benda $B$ di luar sumbunya, lukislah dua dari empat sinar istimewa; perpotongannya (atau perpotongan perpanjangannya) adalah $B'$:

1. sejajar sumbu $\to$ dipantulkan melalui $F$ ;
2. melalui $F$ $\to$ dipantulkan sejajar sumbu;
3. melalui $C$ $\to$ dipantulkan kembali menyusuri dirinya sendiri;
4. menuju puncak $S$ $\to$ dipantulkan setangkup terhadap sumbunya.

Lalu $A'$ adalah kaki garis tegak lurus dari $B'$ ke sumbunya.

![Cermin cekung (C, titik fokus F di tengah jari-jarinya). Untuk benda AB di luar C, sinar yang sejajar sumbu kembali melalui F dan sinar yang melalui F kembali sejajar: keduanya berpotongan di B' — bayangan nyata, terbalik dan diperkecil, antara F dan C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-1566047a0650.svg)

*[Cermin cekung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) ($C$, [titik fokus](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) $F$ di tengah jari-jarinya). Untuk benda $AB$ di luar $C$, sinar yang sejajar sumbu kembali melalui $F$ dan sinar yang melalui $F$ kembali sejajar: keduanya berpotongan di $B'$ — [bayangan nyata](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), terbalik dan diperkecil, antara $F$ dan $C$.*

**Contoh 3.9 (Cermin cukur, cermin spion).**

[Cermin cekung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) berjari-jari $60\,\mathrm{cm}$ ($f = -30\,\mathrm{cm}$) dengan wajah pada $20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60$, $\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm}$ — di belakang cerminnya, maya — dan $\gamma = -60/(-20) = +3$: tegak, tiga kali lebih besar, itulah cermin cukur. [Cermin cembung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) berjari-jari $2.0\,\mathrm{m}$ ($f = +1.0\,\mathrm{m}$) dengan sebuah mobil $20\,\mathrm{m}$ di belakangnya: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ (maya, di belakang), $\gamma = +0.048$: tegak, dua puluh kali lebih kecil, dan karena itu bermedan pandang luas — cermin spion, lengkap dengan peringatannya bahwa benda lebih dekat daripada yang tampak.

## 3.3 Lensa tipis

**Definisi 3.10 (Lensa tipis).**

Yang disebut *lensa* adalah [medium bening](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/2-optika-geometri-sinar-pemantulan-pembiasan#def-b1-rays-reflection-refraction-index) yang dibatasi dua permukaan bola (atau datar); ia *tipis* bila tebalnya dapat diabaikan terhadap jari-jarinya dan terhadap jarak yang terlibat, sehingga kedua puncaknya melebur menjadi satu titik, yaitu *pusat optik* $O$. Sinar yang melalui $O$ tidak dibelokkan. *Fokus [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)* $F'$ adalah [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sebuah titik di tak hingga pada sumbunya; *fokus benda* $F$ adalah titik yang [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) di tak hingga; keduanya berjarak sama dari $O$: $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$, yaitu *jarak fokus*. Lensanya *konvergen* bila $f' > 0$ ($F'$ nyata, di hilir; tepinya lebih tipis daripada tengahnya), dan *divergen* bila $f' < 0$. *Vergensi*nya $V = 1/f'$ diukur dalam *dioptri* ($1\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}$).

**Teorema 3.11 (Konjugasi untuk lensa tipis).**

Dalam [syarat Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ sebuah titik $A$ pada sumbunya memenuhi [hubungan Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'},
\qquad
\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},
$$

dan, secara setara, [hubungan Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2,
\qquad
\gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .
$$

**Bukti sebagian.** Fakta kuncinya: [lensa tipis](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) mendeviasikan sinar yang melintasinya pada ketinggian $h$ sebesar sudut $h/f'$ ke arah sumbunya, apa pun arah sinarnya — tiap daerah [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berlaku sebagai prisma tipis ([Catatan 2.21](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/2-optika-geometri-sinar-pemantulan-pembiasan#rem-b1-rays-reflection-refraction-thin)) yang sudut puncaknya tumbuh linear terhadap $h$ untuk permukaan bola; kelinearan ini, yang eksak untuk [sinar paraksial](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), diterima saja di sini dan diturunkan dari [hukum Snell](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/2-optika-geometri-sinar-pemantulan-pembiasan#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) pada dua permukaan bola dalam volume Tahun ke-2. Dengan menerimanya: sinar dari $A$ (pada jarak $p = -\overline{OA} > 0$ untuk benda nyata) yang mencapai [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) pada ketinggian $h$ tiba dengan kemiringan $h/p$, dibelokkan sebesar $h/f'$ dan keluar dengan kemiringan $h/p - h/f'$; ia memotong sumbunya di $A'$ dengan $h/\overline{OA'} = h/f' - h/p$, yaitu $1/\overline{OA'}
- 1/\overline{OA} = 1/f'$, bebas dari $h$: semua sinar dari $A$ bertemu di $A'$. Sinar $B \to O \to B'$ yang melalui pusatnya berupa garis lurus, sehingga $\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}$. Bentuk Newton menyusul dengan menyubstitusikan $\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA}
= -f' + \overline{FA}$ dan $\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}$. ∎

**Metode 3.12 (Melukis bayangan lewat lensa tipis).**

Tiga sinar istimewa dari $B$:

1. melalui $O$ : tak dibelokkan;
2. sejajar sumbu: keluar melalui $F'$ ;
3. melalui $F$ : keluar sejajar sumbu.

Dua di antaranya sudah cukup; untuk [lensa divergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), pakailah perpanjangannya (sinar yang dibidikkan ke $F$ di belakang [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) keluar sejajar; sinar sejajar keluar seolah dari $F'$ di depan).

![Lensa konvergen: benda AB di luar F. Sinar yang melalui O berjalan lurus, sinar sejajar membelok melalui F', dan sinar yang melalui F keluar sejajar; ketiganya bertemu di B': bayangan nyata dan terbalik. Di sini OA = -1.5f', sehingga OA' = 3f' dan = -2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-9d98a81aa150.svg)

*[Lensa konvergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): benda $AB$ di luar $F$. Sinar yang melalui $O$ berjalan lurus, sinar sejajar membelok melalui $F'$, dan sinar yang melalui $F$ keluar sejajar; ketiganya bertemu di $B'$: [bayangan nyata](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) dan terbalik. Di sini $\overline{OA} = -1.5f'$, sehingga $\overline{OA'} = 3f'$ dan $\gamma = -2$.*

![Lensa divergen (F' di hulu, F di hilir): sinar sejajar keluar seolah dari F', sinar pusatnya berjalan lurus; perpanjangan mundurnya bertemu di B' — bayangan maya, tegak dan diperkecil, di mana pun bendanya diletakkan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-0212246928e4.svg)

*[Lensa divergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ($F'$ di hulu, $F$ di hilir): sinar sejajar keluar seolah dari $F'$, sinar pusatnya berjalan lurus; perpanjangan mundurnya bertemu di $B'$ — [bayangan maya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), tegak dan diperkecil, di mana pun bendanya diletakkan.*

**Contoh 3.13 (Lensa yang sama, tiga cara).**

Sebuah [lensa konvergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Perangko pada $3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, maya, $\gamma = +2.5$: itulah kaca pembesar. Lampu pada $20\,\mathrm{cm}$: $\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}$, nyata, $\gamma = -1/3$: [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) terbalik yang diperkecil pada sehelai kartu. Jendela sejauh $4\,\mathrm{m}$: $\overline{OA'}
\approx f'$, [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) terbalik yang mungil di bidang fokusnya — itulah kamera. Tiga kegunaan, satu hubungan.

**Proposisi 3.14 (Perbesaran membujur).**

Jika bendanya bergerak menyusuri sumbunya sejauh $\dd\overline{OA}$, [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) bergerak sejauh $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$, dengan arah yang sama.

**Bukti.** Turunkan [hubungan Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) pada $f'$ tetap: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, sehingga $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}$. ∎

**Catatan 3.15 (Kedalaman fokus).**

Proyektor dengan $\gamma = -50$ mempunyai $\gamma^2 = 2500$: slide yang melengkung sebesar $0.1\,\mathrm{mm}$ oleh panas lampunya melemparkan [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $25\,\mathrm{cm}$ keluar dari bidang layarnya. Sebaliknya kamera ($\abs\gamma
\ll 1$) menoleransi perpindahan benda yang besar demi geseran [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) yang mungil — itulah kedalaman medan.

## 3.4 Mengukur sebuah jarak fokus

**Metode 3.16 (Autokolimasi).**

Tempatkan [cermin datar](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/2-optika-geometri-sinar-pemantulan-pembiasan#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) tepat di belakang [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) lalu geser benda yang disinari (sebuah tanda silang pada kaca buram) menyusuri sumbunya sampai [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), yang dipantulkan kembali lewat [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), terbentuk tajam pada benda itu sendiri, terbalik dan sama besar. Bendanya lalu berada di bidang fokus: sinarnya meninggalkan [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) sejajar, kembali sejajar dari cerminnya, dan difokuskan kembali di bidang fokusnya. Jarak benda–lensanya adalah $f'$.

**Proposisi 3.17 (Metode Bessel).**

Sebuah benda dan sebuah layar dipasang tetap berjarak $D$. [Lensa konvergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) membentuk [bayangan nyata](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) yang tajam pada layarnya tepat pada dua kedudukan jika $D > 4f'$, pada satu kedudukan jika $D = 4f'$, dan pada tak satu pun jika $D < 4f'$. Kedua kedudukan itu berjarak $d$ dengan

$$
f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .
$$

Pada $D = 4f'$ (Silbermann) kedudukan tunggalnya memberi $\gamma = -1$.

**Bukti.** Misalkan $p = -\overline{OA} > 0$ jarak benda–lensa; maka $\overline{OA'} = D - p$ dan Descartes memberi $1/(D - p) + 1/p = 1/f'$, yaitu $p^2 - Dp + Df' = 0$: diskriminannya $D^2 - 4Df'$, positif jika dan hanya jika $D > 4f'$. Kedua akarnya $p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2$ berjumlah $D$ (kedudukannya setangkup: jarak benda dan jarak [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) saling bertukar) dan berselisih $d = \sqrt{D^2 - 4Df'}$; selesaikan untuk $f'$. Pada $D = 4f'$, $p = 2f' = \overline{OA'}$ dan $\gamma = -1$. ∎

![Metode Bessel: benda dan layar dipasang tetap pada D > 4f'; lensanya memberi bayangan tajam pada dua kedudukan setangkup yang berjarak d (diperbesar, diperkecil), dan f' = (D2 - d2)/4D.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-b3f20330a421.svg)

*[Metode Bessel](#prop-b1-mirrors-thin-lenses-bessel): benda dan layar dipasang tetap pada $D > 4f'$; [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) memberi [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) tajam pada dua kedudukan setangkup yang berjarak $d$ (diperbesar, diperkecil), dan $f' = (D^2 - d^2)/4D$.*

## 3.5 Dua lensa tipis

**Proposisi 3.18 (Lensa bersinggungan; doublet afokal).**

Dua [lensa tipis](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang bersinggungan berlaku sebagai satu [lensa tipis](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) bervergensi $V = V_1 + V_2$. Dua [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang ditempatkan sehingga $F_1' = F_2$ membentuk sistem *afokal*: berkas sejajar keluar sejajar, dan berkas yang miring sebesar $\alpha$ keluar miring sebesar $\alpha' = G\alpha$ dengan *perbesaran sudut* $G = -f_1'/f_2'$.

**Bukti.** [Bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A_1$ yang diberikan $L_1$ menjadi benda bagi $L_2$. Ketika bersinggungan, $O_1 = O_2 = O$: $1/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1$ dan $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2$; jumlahkan. Afokal: berkas sejajar bersudut $\alpha$ memfokus di bidang fokus bersamanya pada ketinggian $h = f_1'\alpha$ dari sumbunya (sinar melalui $O_1$); dilihat dari $L_2$ titik ini berada di bidang fokus bendanya, sehingga berkasnya keluar sejajar, dengan sudut sinar dari titik itu melalui $O_2$: $\alpha' = -h/f_2'$. ∎

**Contoh 3.19 (Sebuah teleskop dalam satu baris).**

$f_1' = 1000\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = -40$; Bulan, yang lebarnya setengah derajat, menjadi cakram $20^\circ$ — itulah teleskop astronomi bab berikutnya. Dengan okuler divergen, $f_2' = -25\,\mathrm{mm}$, $G = +40$: tegak, teropong Galileo.

## 3.6 Latihan

**Latihan 3.1 ★.**

[Cermin cekung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) mempunyai $R = 40\,\mathrm{cm}$. Carilah [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) benda yang diletakkan $60\,\mathrm{cm}$, $30\,\mathrm{cm}$ dan $10\,\mathrm{cm}$ dari puncaknya: kedudukannya, nyata atau maya, dan perbesarannya.

**Solusi Latihan 3.1.**

$\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} -
1/\overline{SA}$. Pada $60\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}$, nyata, $\gamma = -0.5$. Pada $30\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}$, nyata, $\gamma = -2$. Pada $10\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10
= 1/20$, $\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm}$ di belakang cerminnya, maya, $\gamma = +2$ (tegak, diperbesar).

**Latihan 3.2 ★.**

[Lensa konvergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) mempunyai $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Carilah [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) benda pada $20\,\mathrm{cm}$, lalu pada $3.0\,\mathrm{cm}$; sketsalah lukisannya.

**Solusi Latihan 3.2.**

$\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20$, $\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}$, nyata terbalik, $\gamma = -1/3$. $\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, maya tegak, $\gamma = +2.5$.

**Latihan 3.3 ★.**

Berikan [vergensi](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berjarak fokus $25\,\mathrm{cm}$; [jarak fokus](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $-2.0\,\delta$; dan [jarak fokus](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $+3.0\,\delta$ dan $-1.0\,\delta$ yang bersinggungan.

**Solusi Latihan 3.3.**

$V = 1/0.25 = +4.0\,\delta$; $f' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}$; $V = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta$, $f' = 50\,\mathrm{cm}$.

**Latihan 3.4 ★.**

Dengan $f' = 10\,\mathrm{cm}$ dan benda $15\,\mathrm{cm}$ di depan $F$, pakailah [hubungan Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) untuk menentukan letak [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) dan mencari $\gamma$; periksalah dengan [hubungan Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj).

**Solusi Latihan 3.4.**

$\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}$: $\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA}
= +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm}$ melewati $F'$, yaitu $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$; $\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67$. Descartes: $\overline{OA} =
-25\,\mathrm{cm}$, $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50$, $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 16.7/(-25) = -0.67$.

**Latihan 3.5 ★★.**

Cermin spion cembung mempunyai $R = 2.0\,\mathrm{m}$. Sebuah mobil setinggi $1.5\,\mathrm{m}$ berada $20\,\mathrm{m}$ di belakangnya: carilah kedudukan [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), tingginya, lalu jelaskan peringatan “benda pada cermin lebih dekat daripada yang tampak”.

**Solusi Latihan 3.5.**

$\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}$, $\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}$: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ di belakang cerminnya (maya, tegak); $\gamma = -0.95/(-20) = +0.048$, tinggi [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $7.1\,\mathrm{cm}$. Otak menilai jarak dari ukuran semunya: mobil yang tampak dua puluh kali lebih kecil pada $0.95\,\mathrm{m}$ dibaca sebagai mobil yang jauh — lebih jauh daripada $20\,\mathrm{m}$.

**Latihan 3.6 ★★.**

[Lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) kamera, $f' = 50\,\mathrm{mm}$, difokuskan pada objek sejauh $2.0\,\mathrm{m}$. Sejauh apa [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) harus bergeser dari setelan tak hingganya? Berapa perbesarannya? Sejauh apa pemotretnya harus mundur agar orang setinggi $1.8\,\mathrm{m}$ muat pada tinggi sensor $24\,\mathrm{mm}$?

**Solusi Latihan 3.6.**

$1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}$, $\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}$: [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) bergerak $1.3\,\mathrm{mm}$ menjauhi sensornya. $\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026$. Untuk $\abs\gamma = 24/1800
= 1/75$: $\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) =
-3.8\,\mathrm{m}$.

**Latihan 3.7 ★★.**

Sebuah proyektor harus menampilkan slide selebar $36\,\mathrm{mm}$ sebagai gambar selebar $1.8\,\mathrm{m}$ pada layar sejauh $5.0\,\mathrm{m}$ dari [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Carilah [jarak fokus](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang diperlukan dan jarak slide–lensa. Mengapa slidenya dimasukkan terbalik?

**Solusi Latihan 3.7.**

$\gamma = -1.8/0.036 = -50$; $\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}$, $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}$; $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}$, $f' = 98\,\mathrm{mm}$. [Bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) terbalik ($\gamma < 0$), atas–bawah dan kiri–kanan: slidenya dimasukkan setelah diputar $180^\circ$.

**Latihan 3.8 ★★.**

Jelaskan, dengan diagram sinar, mengapa autokolimasi menentukan letak bidang fokus secara eksak, dan mengapa [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) yang kembali itu terbalik serta sama besar dengan bendanya. Apa yang terjadi pada [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) yang kembali itu jika cerminnya dimiringkan sedikit?

**Solusi Latihan 3.8.**

Benda di bidang fokus $\Rightarrow$ sinar dari tiap titiknya keluar dari [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) sejajar; [cermin datarnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/2-optika-geometri-sinar-pemantulan-pembiasan#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) mengirimkannya kembali sejajar (arah setangkup); [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) memfokuskan berkas sejajar di bidang fokusnya, pada titik yang setangkup terhadap sumbu dari titik sumbernya: [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) di bidang bendanya, terbalik, $\gamma = -1$. Memiringkan cerminnya sebesar $\alpha$ memutar berkas yang kembali sebesar $2\alpha$ dan menggeser [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) ke samping sebesar $2\alpha f'$, tetap tajam di bidang yang sama.

**Latihan 3.9 ★★.**

Benda dan layar berjarak $1.00\,\mathrm{m}$; [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) tajam diperoleh pada dua kedudukan [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang berjarak $40\,\mathrm{cm}$. Carilah $f'$. Berapa jarak benda–layar terpendek yang masih memungkinkan [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ini memproyeksikan [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) tajam, dan dengan perbesaran berapa?

**Solusi Latihan 3.9.**

$f' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}$. Jarak terpendeknya $4f' = 84\,\mathrm{cm}$, dengan $\gamma = -1$.

**Latihan 3.10 ★★★.**

[Lensa konvergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ ($f_1' = 20\,\mathrm{cm}$) diikuti, $15\,\mathrm{cm}$ lebih jauh, oleh [lensa divergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$ ($f_2' = -10\,\mathrm{cm}$). Tentukan letak [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sebuah benda di tak hingga. Tunjukkan bahwa benda jauh berukuran sudut $\alpha$ memberi [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) setinggi $40\,\mathrm{cm}\times\alpha$, lalu bandingkan dengan panjang susunannya: itulah asas [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) telefoto.

**Solusi Latihan 3.10.**

$L_1$ membayangkan tak hingga di $F_1'$, $20\,\mathrm{cm}$ melewati $L_1$, yaitu $5\,\mathrm{cm}$ melewati $L_2$: sebuah benda maya, $\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}$. $1/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10$: [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) akhirnya $10\,\mathrm{cm}$ melewati $L_2$. Tinggi [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) antaranya $h_1 = f_1'\alpha = 20\alpha$ (cm); $\gamma_2 = 10/5 = 2$, sehingga $h = 40\alpha$: [jarak fokus](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) setaranya $40\,\mathrm{cm}$, dalam tabung sepanjang $15 + 10 = 25\,\mathrm{cm}$ — sebuah telefoto.

**Latihan 3.11 ★★★.**

[Cermin cekung](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) membentuk, pada layar sejauh $80\,\mathrm{cm}$ dari filamen sebuah lampu, [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) filamen itu tiga kali ukurannya. Carilah kedudukan cerminnya dan jari-jari kelengkungannya.

**Solusi Latihan 3.11.**

$\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ memberi $\overline{SA'} =
3\overline{SA}$; keduanya nyata, di depan: $\overline{SA} = -x$, $\overline{SA'} = -3x$, dan jarak layar–lampu $2x = 80\,\mathrm{cm}$: $x = 40\,\mathrm{cm}$. Cerminnya $40\,\mathrm{cm}$ dari lampunya, $120\,\mathrm{cm}$ dari layarnya; $1/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30$: $R = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}$.

**Latihan 3.12 ★★★.**

Matahari membentang $0.53^\circ$. [Lensa konvergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) bergaris tengah $10\,\mathrm{cm}$ dan berjarak fokus $50\,\mathrm{cm}$ membentuk [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) pada sehelai kertas. Hitunglah garis tengah [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), daya yang dikumpulkannya (iradiansi matahari $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) dan iradiansi di [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image); bandingkan dengan iradiansi matahari langsung lalu simpulkan.

**Solusi Latihan 3.12.**

$\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; garis tengah [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $f'\theta =
4.6\,\mathrm{mm}$. Daya yang terkumpul $10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}$; luas [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$; iradiansinya $4.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $470$ kali sinar matahari langsung: kertasnya menghangus lalu terbakar — kaca pembakar. Secara umum penguatannya $(D/f'\theta)^2$.

## 3.7 Soal: Proyektor slide

**Soal 3.1.**

Soal akhir pekan — satu lensa, diukur di atas meja kerja, lalu diminta melemparkan sebuah slide 35 mm menyeberangi aula: bagaimana sebuah proyektor dirancang, difokuskan, dan dipasangi pengubah lempar jauh

[Lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) proyeksi $L_1$ adalah [lensa tipis](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) konvergen dengan [jarak fokus](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ yang belum diketahui. Slidenya setinggi $24\,\mathrm{mm}$ dan selebar $36\,\mathrm{mm}$.

**Bagian I — [Lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) di atas meja kerja.**

1. Nyatakan [hubungan Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) dan perbesaran untuk [lensa tipis](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , beserta kesepakatan tandanya.
2. Benda dan layar dipasang tetap berjarak $D$ . Tunjukkan bahwa [bayangan nyata](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) pada layarnya menuntut $D \geq 4f_1'$ .
3. Tunjukkan bahwa, ketika $D > 4f_1'$ , kedua kedudukan [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang memberi [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) tajam setangkup terhadap titik tengah benda dan layarnya, dan bahwa $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ dengan $d$ jarak antarkeduanya.
4. Dengan $D = 80.0\,\mathrm{cm}$ dan $d = 40.0\,\mathrm{cm}$ , hitunglah $f_1'$ .
5. [Lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) duduk dalam tabung tebal yang [pusat optiknya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) tak dapat ditentukan dengan tepat. Mengapa hal ini tidak memengaruhi metodenya?
6. Jaraknya membawa $u(D) = 0.2\,\mathrm{cm}$ dan $u(d) = 0.5\,\mathrm{cm}$ . Hitunglah $u(f_1')$ lalu tuliskan hasilnya.
7. Berikan perbesaran pada masing-masing kedudukannya. Yang mana yang bersesuaian dengan sebuah proyektor?
8. Berapa $D$ terkecil yang masih memberi [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) tajam, dan berapa perbesarannya ketika itu (Silbermann)?

**Bagian II — Melemparkan gambarnya.** Gambar pada layarnya harus selebar $1.80\,\mathrm{m}$. Ambil $f_1' = 15.0\,\mathrm{cm}$.

9. Berapa perbesaran yang diperlukan (beserta tandanya)?
10. Hitunglah jarak lensa–layar dan jarak slide–lensa.
11. Mengapa slidenya dimasukkan terbalik atas–bawah sekaligus terbalik kiri–kanan?
12. Layarnya dipindahkan ke $10.0\,\mathrm{m}$ . Sejauh apa, dan ke arah mana, [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) harus digeser relatif terhadap slidenya untuk memfokuskan kembali? Berapa lebar gambarnya sekarang?

**Bagian III — Toleransi fokus dan cahaya.**

13. Tunjukkan bahwa perpindahan kecil $\dd\overline{OA}$ slidenya menggeser [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sebesar $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ .
14. Filmnya melengkung sebesar $0.10\,\mathrm{mm}$ oleh panas lampunya. Sejauh apa bidang [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) bergerak (layar pada $7.65\,\mathrm{m}$ )? Berikan komentar.
15. Bukaan [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) bergaris tengah $30\,\mathrm{mm}$ . Jika layarnya berada $20\,\mathrm{cm}$ di luar bidang [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) , berapa garis tengah noda kabur sebuah titik slidenya? Dilihat dari $5\,\mathrm{m}$ , apakah mata (daya urai sudut sekitar $3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) menyadarinya?
16. Slidenya menerima cahaya $2.0\,\mathrm{W}$ , yang seluruhnya mencapai layarnya. Hitunglah iradiansi (daya tiap satuan luas) pada slidenya dan pada layarnya, lalu tunjukkan bahwa nisbahnya adalah $\gamma^2$ .

**Bagian IV — Pengubah lempar jauh.** Di aula yang lebih besar layarnya berada $12.0\,\mathrm{m}$ jauhnya. [Lensa divergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$, $f_2' = -30.0\,\mathrm{cm}$, dijepitkan $8.0\,\mathrm{cm}$ di belakang $L_1$; layarnya $12.0\,\mathrm{m}$ dari $L_2$.

17. Agar [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) akhirnya nyata dan berada pada layarnya, di mana (dari $L_2$ ) [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) antara yang diberikan $L_1$ harus terletak? Apakah ia benda nyata atau benda maya bagi $L_2$ ?
18. Simpulkan kedudukan slidenya $\overline{O_1A}$ .
19. Hitunglah $\gamma_1$ , $\gamma_2$ dan perbesaran totalnya.
20. Berikan lebar gambarnya, lalu bandingkan dengan lebar yang akan diberikan $L_1$ sendirian pada layar yang sama ( $12.08\,\mathrm{m}$ dari $L_1$ ).
21. Untuk benda di tak hingga, tunjukkan bahwa sistemnya setara dengan satu [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berjarak fokus $f_{\mathrm{eq}}$ dengan $$\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},$$ $e = \overline{O_1O_2}$, dalam arti bahwa berkas yang miring sebesar $\alpha$ memfokus pada ketinggian $f_{\mathrm{eq}}\,\alpha$ dari sumbunya. Hitunglah $f_{\mathrm{eq}}$.
22. Periksalah bahwa nisbah lebar gambarnya (dengan/tanpa pengubah) dekat dengan $f_1'/f_{\mathrm{eq}}$ . Mengapa hanya hampir?
23. Mengapa [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) antaranya harus terletak kurang dari $\abs{f_2'}$ di luar $L_2$ agar [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) akhirnya nyata?
24. Dengan lampu yang sama, dengan faktor berapa iradiansi layarnya berubah ketika pengubahnya dipasang (jarak layar yang sama)?
25. Ringkaslah: pengubah itu mengalikan jarak fokusnya dengan faktor berapa, dan apa pengaruhnya terhadap ukuran serta kecerahan gambar pada lemparan tertentu?

**Solusi Soal 3.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$, $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}$; sumbunya diarahkan searah cahayanya, jaraknya aljabar dari $O$.

**2.** $p = -\overline{OA}$, $\overline{OA'} = D - p$: $1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'$, yaitu $p^2 - Dp + Df_1' = 0$; akarnya nyata jika dan hanya jika $D^2 - 4Df_1' \geq 0$, yaitu $D \geq 4f_1'$.

**3.** Kedua akarnya berjumlah $D$: $p_1 + p_2 = D$, sehingga $p_2 = D - p_1$ — jarak benda dan jarak [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) bertukar, dan kedudukannya setangkup terhadap titik tengahnya. $d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}$, jadi $f_1' = (D^2 -
d^2)/4D$.

**4.** $f_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}$.

**5.** Hanya perpindahan $d$ tabungnya antara kedua setelan tajam itu dan jarak benda–layar $D$ yang masuk hitungan: keduanya tak menuntut kita mengetahui di mana $O$ duduk di dalam tabungnya.

**6.** $\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125$, $\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25$; sehingga $u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 =
0.0195\,\mathrm{cm}^{2}$ dan $u(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}$: $f_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}$.

**7.** $p = (80 \mp 40)/2 = 20$ atau $60\,\mathrm{cm}$: $\gamma =
-60/20 = -3$ (slide dekat [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), diperbesar: itulah proyektornya) dan $\gamma = -1/3$.

**8.** $D_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -1$.

**9.** $\gamma = -1.80/0.036 = -50$.

**10.** $\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 =
765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}$; $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma =
-15.3\,\mathrm{cm}$.

**11.** $\gamma < 0$: [bayangan nyatanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) diputar $180^\circ$ terhadap sumbunya, sehingga slidenya dimasukkan setelah diputar $180^\circ$ (terbalik atas–bawah dan kiri–kanan).

**12.** $\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = 1/1000
- 1/15$, $\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}$: [lensanya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) bergerak $0.7\,\mathrm{mm}$ mendekati slidenya. $\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7$: gambarnya selebar $2.36\,\mathrm{m}$.

**13.** Dengan menurunkan Descartes: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2
+ \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, sehingga $\dd\overline{OA'} =
(\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$.

**14.** $2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}$: [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) hanyut keluar fokus seiring memanasnya film — karena itu slide berbingkai kaca, atau autofokus yang mengikuti filmnya.

**15.** Segitiga sebangun dari bukaannya ke titik [bayangannya](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image): kekaburannya $= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}$; dari $5\,\mathrm{m}$ ini membentang $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$: tak disadari.

**16.** Luas slidenya $8.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{slide}}
= 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; luas layarnya $\gamma^2$ kali lebih besar, $2.16\,\mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{layar}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; dayanya sama, luasnya bernisbah $\gamma^2 = 2500$.

**17.** $\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{O_2A} =
1/1200 + 1/30 = 0.03417$, $\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}$: [bayangan](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) antaranya terletak $29.3\,\mathrm{cm}$ *di luar* $L_2$ — sebuah benda maya bagi $L_2$ (sinar dari $L_1$ memusat ke arahnya).

**18.** $\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398$, $\overline{O_1A} =
-25.1\,\mathrm{cm}$.

**19.** $\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49$; $\gamma_2 = 1200/29.3 =
41.0$; $\gamma = -60.9$.

**20.** Lebarnya $60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}$. $L_1$ sendirian: $\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5$, lebarnya $2.86\,\mathrm{m}$.

**21.** Berkas bersudut $\alpha$: $L_1$ memfokuskannya pada ketinggian $h_1 = f_1'\alpha$ di bidang fokusnya, yang berjarak $\overline{O_2A_1} = f_1' - e$ dari $L_2$; $L_2$ membayangkan titik ini di $\overline{O_2A'}$ dengan $1/\overline{O_2A'}
= 1/f_2' + 1/(f_1' - e)$ dan memperbesarnya sebesar $\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1'
- e)$, sehingga $h = \gamma_2 f_1'\alpha$ dan $f_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1'
= \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}$, yang kebalikannya adalah rumus yang dinyatakan. $1/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}$, $f_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}$.

**22.** $2.19/2.86 = 0.77$ dan $15/19.6 = 0.77$. Hanya hampir, karena slidenya berada pada jarak berhingga dan kedua lemparannya diukur dari [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang berbeda; untuk benda di tak hingga nisbahnya akan eksak.

**23.** Benda maya pada $p > 0$ di luar [lensa divergen](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): $1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}$, positif ([bayangan nyata](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)) jika dan hanya jika $p < \abs{f_2'}$.

**24.** Daya yang sama pada gambar yang luasnya $(2.19/2.86)^2 = 0.59$ kali lebih kecil: iradiansinya $\times 1.7$.

**25.** Pengubah itu mengalikan jarak fokusnya dengan $f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3$; pada lemparan tertentu gambarnya $1.3$ kali lebih kecil pada tiap arah dan $1.7$ kali lebih cerah — sebuah [lensa](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) lempar jauh.