---
title: "Pengantar Fisika Kuantum"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 30
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/30-pengantar-fisika-kuantum
---

# Bab 30 — Pengantar Fisika Kuantum

Sinarilah sebuah logam yang bersih dengan cahaya ultraungu dan elektron terlontar keluar seketika, dengan energi yang bergantung pada warna cahayanya dan sama sekali tak pada terangnya; sinarilah dengan cahaya merah dan tak ada yang keluar betapa pun terang lampunya. Kirimkanlah elektron satu demi satu lewat dua celah dan mereka mendarat sebagai titik, masing-masing di satu tempat — dan titik-titiknya menumpuk, setelah beribu-ribu, menjadi rumbai sebuah gelombang. Kedua kenyataan itu tak muat dalam fisika dua puluh sembilan bab pertama. Bab terakhir ini memperkenalkan gagasan yang memang memuatnya: cahaya datang dalam kuanta, yaitu foton; materi memiliki panjang gelombang; yang merambat adalah sebuah [amplitudo](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) yang kuadratnya sebuah peluang; kedudukan dan momentum tak dapat tajam dua-duanya; dan sebuah partikel terkurung hanya dapat memiliki energi tertentu — dan itulah sebabnya atom berukuran, spektrum bergaris, dan sebutir semikonduktor selebar beberapa nanometer berpendar dalam warna yang ditetapkan garis tengahnya.

## 30.1 Foton

**Teorema 30.1 (Hubungan Planck–Einstein).**

Cahaya berfrekuensi $\nu$ dan berpanjang gelombang $\lambda$ bertukar energi dengan materi hanya dalam kuanta, yaitu *foton*, yang berenergi dan bermomentum

$$
E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} , \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} ,
$$

dengan *[tetapan Planck](#thm-b1-quantum-introduction-photon)* $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ($\hbar = h/2\pi =
1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$). Berguna: $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ — sebuah foton $620\,\mathrm{nm}$ mengemban $2\,\mathrm{eV}$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Proposisi 30.2 (Efek fotolistrik).**

Cahaya yang jatuh pada sebuah logam dengan *[fungsi kerja](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric)* $W$ (energi yang mengikat elektronnya yang paling lemah terikat, beberapa eV) melontarkan elektron berenergi kinetik maksimal

$$
E_{k,\max} = h\nu - W ,
$$

jadi hanya di atas *ambang* $\nu_0 = W/h$, seketika, dengan energi yang tak bergantung pada intensitasnya; intensitasnya menetapkan *banyaknya* elektron tiap sekon. Yang disebut *[potensial henti](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric)* $V_s$, yang tepat meniadakan arusnya, mengukur $E_{k,\max} = eV_s$, dan grafik $V_s$ terhadap $\nu$ berupa garis lurus berkemiringan $h/e$ — begitulah Millikan mengukur $h$.

**Bukti.** Tiap fotonnya diserap oleh satu elektron, yang paling banter menyimpan $h\nu - W$; sebuah gelombang akan menyalurkan energi secara sinambung kepada setiap elektronnya, energinya akan tumbuh bersama intensitasnya, dan cahaya yang lemah akan perlu berjam-jam untuk menumpuk $W$ pada satu atom ([Soal 30.1](#pb-b1-quantum-introduction-1)) — tak satu pun teramati. Tafsiran Einstein (1905) diterima tanpa bukti sebagai hukumnya. ∎

![Kiri: sel fotolistriknya — cahaya membebaskan elektron dari katodenya; tegangan balik V_s yang tepat cukup untuk menghentikannya mengukur energi maksimalnya. Kanan: potensial henti terhadap frekuensi berupa garis lurus bagi setiap logam, berkemiringan h/e; pintasannya memberi fungsi kerjanya, ambangnya memberi frekuensi minimumnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-ec97e39b3b87.svg)

![Kiri: sel fotolistriknya — cahaya membebaskan elektron dari katodenya; tegangan balik V_s yang tepat cukup untuk menghentikannya mengukur energi maksimalnya. Kanan: potensial henti terhadap frekuensi berupa garis lurus bagi setiap logam, berkemiringan h/e; pintasannya memberi fungsi kerjanya, ambangnya memberi frekuensi minimumnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-aaee8dad264d.svg)

*Kiri: sel fotolistriknya — cahaya membebaskan elektron dari katodenya; [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) balik $V_s$ yang tepat cukup untuk menghentikannya mengukur energi maksimalnya. Kanan: [potensial henti](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) terhadap frekuensi berupa garis lurus bagi setiap logam, berkemiringan $h/e$; pintasannya memberi [fungsi kerjanya](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric), ambangnya memberi frekuensi minimumnya.*

**Contoh 30.3 (Orde besarnya).**

Sebuah foton tampak: $2\,\mathrm{eV}$; sebuah foton sinar-X $0.1\,\mathrm{nm}$: $12\,\mathrm{keV}$; sebuah foton radio pada $100\,\mathrm{MHz}$: $4 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$. Sebuah laser merah $1\,\mathrm{mW}$ memancarkan $10^{-3}/(3.1 \times 10^{-19}) = 3 \times 10^{15}$ foton tiap sekon; sebuah antena radio yang memungut $1\,\mathrm{pW}$ pada $100\,\mathrm{MHz}$ menerima $10^{13}$ tiap sekon — begitu banyak, begitu kecil, sehingga pemerian gelombangnya tepat untuk keperluan apa pun; sebaliknya [mata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-eye) dapat mencatat sebuah kilatan seratus foton. Sifat kuantum cahaya tampak ketika fotonnya sedikit atau bertenaga: sel fotolistrik, pendeteksi sinar-X, butiran sebuah foto yang samar.

**Catatan 30.4 (Hamburan Compton).**

Sebuah foton yang memantul dari elektron bebas memindahkan momentum seperti bola bilyar: panjang gelombangnya tumbuh sebesar $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 -
\cos\theta)$, dengan $h/m_ec = 2.43\,\mathrm{pm}$ (diterima tanpa bukti — sebuah tumbukan relativistik, Tahun ke-2). Tak terlihat bagi cahaya ($\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$), ia menjadi efek $20\%$ bagi sinar-X, dan menjadi percobaan yang meyakinkan kaum peragu (1923) bahwa foton mengemban momentum $h/\lambda$.

## 30.2 Gelombang materi

**Teorema 30.5 (de Broglie).**

Sebuah partikel bermomentum $p$ merambat sebagai gelombang berpanjang gelombang

$$
\lambda = \frac{h}{p} ,
$$

dan sejalan dengan itu memperlihatkan difraksi dan interferensi: elektron pada sebuah kristal (Davisson dan Germer, 1927), lewat dua celah (Jönsson, 1961), neutron, atom, dan molekul beratom karbon enam puluh. Bagi sebuah elektron yang dipercepat oleh $U$, $\lambda = h/\sqrt{2m_eeU} = 1.23\,\mathrm{nm}/\sqrt{U/\mathrm{V}}$.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 30.6 (Mengapa kita tak pernah melihatnya).**

Sebuah elektron $100\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$, yaitu jarak antara atom dalam sebuah kristal — karena itulah difraksinya, dan [mikroskop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-microscope) elektronnya. Sebuah neutron termal ($0.025\,\mathrm{eV}$): $0.18\,\mathrm{nm}$. Sebuah bola $1\,\mathrm{g}$ pada $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\lambda = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$, $10^{20}$ kali lebih kecil daripada sebuah inti: tak ada celah, tak ada kristal yang dapat mendifraksikannya. Sifat [gelombang materi](#thm-b1-quantum-introduction-debroglie) bersifat semesta; panjang gelombangnyalah yang membuatnya terlihat hanya bagi yang ringan dan yang lambat.

**Proposisi 30.7 (Partikel tunggal membangun rumbainya).**

Elektron yang dikirim satu per satu lewat dua celah (Tonomura, 1989) masing-masing membuat satu titik pada layarnya, di tempat yang tak dapat diramalkan; titiknya menumpuk menjadi pola interferensi dua celah sebuah gelombang berpanjang gelombang $h/p$. Menutup salah satu celahnya menghapus rumbainya — polanya bukan dibuat oleh elektron yang berinterferensi satu sama lain, melainkan oleh gelombang tiap elektron yang lewat kedua celahnya. Mendeteksi lewat celah mana sebuah partikel pergi juga menghapus rumbainya.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

![Elektron satu per satu lewat dua celah. Masing-masing tiba sebagai sebuah titik di suatu tempat (kiri, atas); titiknya menumpuk di tempat gelombang dua celahnya kuat (kiri, bawah), mengikuti kepadatan peluang | |2 amplitudo yang lewat kedua celahnya (kanan). Polanya sama bagi foton, neutron dan molekul.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-1f05076249e5.svg)

![Elektron satu per satu lewat dua celah. Masing-masing tiba sebagai sebuah titik di suatu tempat (kiri, atas); titiknya menumpuk di tempat gelombang dua celahnya kuat (kiri, bawah), mengikuti kepadatan peluang | |2 amplitudo yang lewat kedua celahnya (kanan). Polanya sama bagi foton, neutron dan molekul.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-82a81660d4b0.svg)

*Elektron satu per satu lewat dua celah. Masing-masing tiba sebagai sebuah titik di suatu tempat (kiri, atas); titiknya menumpuk di tempat gelombang dua celahnya kuat (kiri, bawah), mengikuti [kepadatan peluang](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction) $|\psi|^2$ [amplitudo](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) yang lewat kedua celahnya (kanan). Polanya sama bagi foton, neutron dan molekul.*

## 30.3 Amplitudo, peluang, dan asas ketakpastian

**Definisi 30.8 (Fungsi gelombang).**

Keadaan sebuah partikel dilukiskan oleh sebuah *fungsi gelombang* $\psi(x, t)$ (kompleks), sedemikian sehingga $|\psi(x, t)|^2\,\dd x$ adalah peluang menemukan partikelnya antara $x$ dan $x + \dd x$ ketika orang melihat: $|\psi|^2$ adalah sebuah *kepadatan peluang*, dan $\int|\psi|^2\dd x =
1$. [Amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) berjumlah (superposisi): bila dua [lintasan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/11-kinematika-titik#def-b1-point-kinematics-frame) menuju titik yang sama, $\psi = \psi_1 + \psi_2$ dan $|\psi|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 +
2\,\mathrm{Re}(\psi_1^\ast\psi_2)$ — suku terakhirnya adalah interferensinya. Sebuah pengukuran memberi salah satu hasil yang mungkin, secara acak dengan peluang yang ditetapkan [amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal), dan meninggalkan partikelnya dalam keadaan yang ditemukan.

**Catatan 30.9 (Apa yang berayun).**

$\psi$ bukan medan fisis seperti $\vect E$: ia tak terukur, hanya kuadratnya yang terukur, dan ia melukiskan pengetahuan terbaik yang mungkin tentang di mana partikelnya akan ditemukan. Sebuah elektron tunggal tidak terhampar di seluruh layarnya; ia terdeteksi utuh, di satu titik; yang terhampar adalah peluangnya. Inilah isi teorinya, dan ia tak pernah gagal dalam satu uji pun.

**Teorema 30.10 (Asas ketakpastian Heisenberg).**

Kedudukan dan momentum sebuah partikel menyusuri sumbu yang sama tak dapat tajam dua-duanya: simpangan bakunya dalam keadaan apa pun memenuhi

$$
\Delta x\,\Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} .
$$

Sebuah partikel yang terkurung dalam daerah berukuran $\ell$ karena itu memiliki sebaran momentum sekurang-kurangnya $\hbar/2\ell$, jadi [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) berorde $\hbar^2/2m\ell^2$ yang tak dapat dilenyapkan pendinginan apa pun: pengurungan menelan energi.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 30.11 (Ukuran atom hidrogen).**

Sebuah elektron yang berada dalam jarak $r$ dari protonnya memiliki $p \gtrsim \hbar/r$ dan energi $E(r) \approx \dfrac{\hbar^2}{2m_er^2} - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$: suku pertamanya meledak jika $r$ menyusut, dan suku keduanya jika jari-jarinya membesar. $\dd E/\dd r = 0$ pada

$$
a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 53\,\mathrm{pm} , \qquad
E(a_0) = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\,\mathrm{eV} :
$$

yaitu *[jari-jari Bohr](#ex-b1-quantum-introduction-hsize)* dan energi ionisasi hidrogen, sampai angka terakhirnya. Fisika klasik tak dapat menjelaskan mengapa elektronnya tak terpilin jatuh ke intinya (ia memancar) maupun mengapa semua atom sebuah unsur serupa; asas ketakpastian menjawab keduanya dalam satu baris: atomnya sekecil yang dapat dicapainya tanpa membuat [energi kinetiknya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) melampaui energi ikatnya.

## 30.4 Kuantisasi energi

**Proposisi 30.12 (Partikel dalam kotak).**

Sebuah partikel bermassa $m$ yang terkurung di antara dua dinding tak tertembus sejauh $L$ hanya memiliki, seperti dawai Melde ([Bab 5](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#ch-b1-wave-propagation)), [gelombang berdiri](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#thm-b1-wave-propagation-standing) $\lambda_n = 2L/n$, jadi hanya momentum $p_n = nh/2L$ dan energi

$$
E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots
$$

dengan [fungsi gelombang](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction) $\psi_n(x) \propto \sin(n\pi x/L)$. Energinya *terkuantisasi*; yang terendah, yaitu *[keadaan dasar](#prop-b1-quantum-introduction-box)* $E_1 > 0$, adalah energi pengurungan asas ketakpastian yang dibuat eksak; partikelnya melompat antartingkat dengan menyerap atau memancarkan sebuah foton berenergi $h\nu = E_p - E_n$.

**Bukti.** $\psi$ harus lenyap di dindingnya (partikelnya tak dapat berada di sana), sehingga gelombangnya memuat setengah panjang gelombang sebanyak bilangan bulat dalam $L$ — yaitu syarat dawainya; de Broglie memberi $p$, dan $E = p^2/2m$. Bahwa $\psi$ memenuhi sebuah persamaan gelombang dengan syarat batas ini diterima tanpa bukti (yaitu persamaan Schrödinger, Tahun ke-2). ∎

![Kiri: ketiga keadaan terendah sebuah partikel dalam kotak — fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri sebuah dawai, energinya tumbuh sebanding n2, dan keadaan dasarnya tak berada di nol. Kanan: tingkat energi atom hidrogen dan kedua deret garisnya yang pertama; tiap garisnya adalah sebuah foton berenergi sama dengan selang yang dijembataninya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-e9aae1391ebe.svg)

![Kiri: ketiga keadaan terendah sebuah partikel dalam kotak — fungsi gelombangnya adalah gelombang berdiri sebuah dawai, energinya tumbuh sebanding n2, dan keadaan dasarnya tak berada di nol. Kanan: tingkat energi atom hidrogen dan kedua deret garisnya yang pertama; tiap garisnya adalah sebuah foton berenergi sama dengan selang yang dijembataninya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-12b0873cfc70.svg)

*Kiri: ketiga keadaan terendah sebuah partikel dalam kotak — [fungsi gelombangnya](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction) adalah [gelombang berdiri](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#thm-b1-wave-propagation-standing) sebuah dawai, energinya tumbuh sebanding $n^2$, dan [keadaan dasarnya](#prop-b1-quantum-introduction-box) tak berada di nol. Kanan: [tingkat energi](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen) [atom hidrogen](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen) dan kedua deret garisnya yang pertama; tiap garisnya adalah sebuah foton berenergi sama dengan selang yang dijembataninya.*

**Proposisi 30.13 (Atom hidrogen).**

Elektron [atom hidrogen](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen) memiliki energi diskret

$$
E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots ,
$$

dengan $n = 1$ sebagai [keadaan dasarnya](#prop-b1-quantum-introduction-box) dan $E \geq 0$ sebagai atom yang terionisasi. Spektrumnya terdiri atas garis pada $h\nu = E_p - E_n$: deret Lyman yang turun ke $n = 1$ (ultraungu, $122\,\mathrm{nm}$ bagi $2 \to 1$), deret Balmer yang turun ke $n = 2$ (tampak: $656\,\mathrm{nm}$, $486\,\mathrm{nm}$, $434\,\mathrm{nm}$, …), dan seterusnya. Model Bohr (1913) memperoleh energi ini dengan mengkuantisasi [momentum sudut](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/15-momentum-sudut#def-b1-angular-momentum-L) sebuah [orbit lingkaran](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#prop-b1-central-forces-effective), $m_evr = n\hbar$ ([Latihan 30.9](#exo-b1-quantum-introduction-9)); teori lengkapnya mengganti orbitnya dengan [fungsi gelombang](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction) tetapi mempertahankan energinya.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 30.14 (Warna dari ukuran: titik kuantum).**

Sebuah nanokristal semikonduktor selebar beberapa nanometer mengurung elektronnya seperti sebuah kotak: makin kecil kristalnya, makin besar energi pengurungan yang ditambahkan pada senjang semikonduktornya, makin biru cahaya yang dipancarkannya. Titik kadmium selenida berjari-jari $2\,\mathrm{nm}$ berpendar biru, $3\,\mathrm{nm}$ kuning, $4\,\mathrm{nm}$ merah — satu bahan, warna yang dipilih dengan sebuah penggaris ([Soal 30.1](#pb-b1-quantum-introduction-1)). Layar televisi memakainya.

**Catatan 30.15 (Apa yang ditambahkan sisa teorinya).**

Persamaan Schrödinger membuat kotaknya, atomnya dan molekulnya eksak; ia meramalkan bahwa sebuah partikel dapat menyeberangi penghalang yang tak cukup energinya untuk dipanjat (yaitu *[efek terowongan](#rem-b1-quantum-introduction-rest)*, yang menjadi dasar keradioaktifan dan [mikroskop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-microscope) terowongan payar); bahwa partikel yang serupa entah suka berkumpul (boson — karena itulah *laser*, tempat foton menumpuk dalam satu ragam) atau eksklusif (fermion — karena itulah tabel berkala dan kekakuan materi); dan bahwa spin elektron adalah sebuah [momen magnetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/28-magnetostatika-medan-gaya-dan-dipol#def-b1-magnetostatics-moment) tanpa padanan klasik. Semuanya milik Tahun ke-2 dan seterusnya; semuanya bersandar pada beberapa gagasan bab ini.

## 30.5 Latihan

**Latihan 30.1 ★.**

Energi sebuah foton: radio pada $100\,\mathrm{MHz}$; cahaya pada $500\,\mathrm{nm}$; sinar-X pada $0.10\,\mathrm{nm}$; sinar gamma $1\,\mathrm{MeV}$ (berikanlah panjang gelombangnya). Banyaknya foton tiap sekon dari sebuah laser $1.0\,\mathrm{mW}$ pada $633\,\mathrm{nm}$.

**Solusi Latihan 30.1.**

$h\nu$: $100\,\mathrm{MHz}$: $6.6 \times 10^{-26}$ J $= 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$; $500\,\mathrm{nm}$: $1240/500 = 2.5\,\mathrm{eV}$; $0.10\,\mathrm{nm}$: $12.4\,\mathrm{keV}$; $1\,\mathrm{MeV}$: $\lambda =
1240/10^6 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm} = 1.2\,\mathrm{pm}$. Lasernya: $1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} =
3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$, sehingga $10^{-3}/3.1 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{15}$ foton tiap sekon.

**Latihan 30.2 ★.**

Natrium, $W = 2.3\,\mathrm{eV}$: panjang gelombang ambangnya; [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) maksimal dan [potensial hentinya](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) bagi cahaya $400\,\mathrm{nm}$; apa yang berubah bila intensitasnya dilipatduakan? dan dengan cahaya $600\,\mathrm{nm}$?

**Solusi Latihan 30.2.**

$\lambda_0 = 1240/2.3 = 540\,\mathrm{nm}$. Pada $400\,\mathrm{nm}$, $h\nu = 3.1\,\mathrm{eV}$: $E_{k,\max} = 0.8\,\mathrm{eV}$, $V_s = 0.8\,\mathrm{V}$. Melipatduakan intensitasnya melipatduakan arusnya dan membiarkan $V_s$ tetap. Pada $600\,\mathrm{nm}$ ($2.07\,\mathrm{eV}$ $< W$): tak ada apa pun, pada intensitas berapa pun.

**Latihan 30.3 ★.**

[Panjang gelombang de Broglie](#thm-b1-quantum-introduction-debroglie) sebuah elektron $100\,\mathrm{eV}$, $1.0\,\mathrm{keV}$; sebuah neutron $0.025\,\mathrm{eV}$; sebuah bola $1\,\mathrm{g}$ pada $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Mana di antaranya yang dapat didifraksikan sebuah kristal (berjarak $0.2\,\mathrm{nm}$)?

**Solusi Latihan 30.3.**

Elektronnya: $1.23/\sqrt{100} = 0.12\,\mathrm{nm}$; pada $1\,\mathrm{keV}$: $0.039\,\mathrm{nm}$. Neutronnya: $E = 4.0 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_nE} = 3.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p = 0.18\,\mathrm{nm}$. Bolanya: $6.6 \times 10^{-34}/10^{-3} = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$. Ketiga yang pertama memiliki $\lambda$ seorde jarak antaratomnya dan terdifraksikan (kristalografi elektron, neutron dan sinar-X); bolanya tak pernah.

**Latihan 30.4 ★.**

Sebuah elektron dalam kotak $1.0\,\mathrm{nm}$: $E_1$, $E_2$, panjang gelombang foton yang dipancarkan dari $2 \to 1$. Sebuah proton dalam kotak $5\,\mathrm{fm}$ (sebuah inti): $E_1$ dalam $\mathrm{MeV}$.

**Solusi Latihan 30.4.**

$E_1 = h^2/8m_eL^2 = 4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-18}) =
6.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.38\,\mathrm{eV}$, $E_2 = 4E_1 = 1.5\,\mathrm{eV}$; fotonnya $1.13\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 1240/1.13 = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (inframerah dekat). Proton dalam $5\,\mathrm{fm}$: $4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 25 \times 10^{-30}) =
1.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 8\,\mathrm{MeV}$ — yaitu skala energi inti, dari pengurungannya saja.

**Latihan 30.5 ★★.**

[Potensial henti](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) yang terukur bagi sebuah logam: $0.40\,\mathrm{V}$ pada $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.23\,\mathrm{V}$ pada $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $2.05\,\mathrm{V}$ pada $1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$. Simpulkanlah $h$ (dengan $e$ diketahui) dan [fungsi kerjanya](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric); panjang gelombang ambangnya; logam apa kiranya ia (sesium $2.1\,\mathrm{eV}$, kalium $2.3\,\mathrm{eV}$, seng $4.3\,\mathrm{eV}$)?

**Solusi Latihan 30.5.**

Kemiringannya $(2.05 - 0.40)/(4.0 \times 10^{14}) = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$, $h = e \times 4.1 \times
10^{-15} = 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$. $W = h\nu - eV_s = 2.48 - 0.40 = 2.1\,\mathrm{eV}$, ambangnya $\lambda_0 = 1240/2.1 = 600\,\mathrm{nm}$: yaitu sesium.

**Latihan 30.6 ★★.**

Compton: sebuah foton sinar-X $10\,\mathrm{pm}$ terhambur pada $90{}^{\circ}$ dari sebuah elektron. Panjang gelombang barunya; energi fotonnya sebelum dan sesudahnya; energi yang diberikan kepada elektronnya. Pergeseran nisbi bagi cahaya $500\,\mathrm{nm}$ — mengapa Compton memerlukan sinar-X.

**Solusi Latihan 30.6.**

$\Delta\lambda = 2.43\,\mathrm{pm}$: $\lambda' = 12.4\,\mathrm{pm}$. Sebelumnya: $1240/0.010 =
124\,\mathrm{keV}$; sesudahnya: $1240/0.0124 = 100\,\mathrm{keV}$; elektronnya mengambil $24\,\mathrm{keV}$. Bagi cahaya, $\Delta\lambda/\lambda = 2.4 \times 10^{-12}/5 \times 10^{-7} = 5 \times
10^{-6}$: tak terukur pada tahun 1923 — sinar-X membuat pergeserannya menjadi efek $25\%$.

**Latihan 30.7 ★★.**

*Percobaan Jönsson.* Elektron $50\,\mathrm{keV}$ (pakailah $p =
\sqrt{2m_eE}$), dua celah yang terpisah $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$, layar pada $35\,\mathrm{cm}$. Panjang gelombangnya; jarak rumbainya; mengapa diperlukan [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) elektron yang membesarkan. Dalam versi Tonomura satu elektron menyeberangi perantinya pada satu waktu: apa yang ditunjukkan layarnya setelah 10, setelah $10^5$ elektron, dan apa yang diajarkannya?

**Solusi Latihan 30.7.**

$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19}} =
1.2 \times 10^{-22}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = 5.5\,\mathrm{pm}$ (kerelatifan mengoreksinya menjadi $5.4\,\mathrm{pm}$); jarak rumbainya $\lambda D/d = 5.5 \times 10^{-12} \times 0.35/2 \times 10^{-6}
= 1\,\text{µ}\mathrm{m}$: tak terlihat [mata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-eye), karena itu diperlukan [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) pembesarnya. Sepuluh elektron: sepuluh titik, tampaknya acak; $10^5$: rumbainya. Tiap elektron mendarat di satu titik; *peluang* pendaratannya mengikuti gelombang dua celahnya — gelombang satu elektron lewat kedua celahnya.

**Latihan 30.8 ★★.**

[Energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) minimum, menurut asas ketakpastian, bagi: sebuah elektron yang terkurung dalam $0.1\,\mathrm{nm}$ (sebuah atom); sebuah elektron yang terkurung dalam $5\,\mathrm{fm}$ (sebuah inti — pakailah $E \approx pc$ bila hasilnya relativistik, lalu simpulkanlah apakah inti dapat memuat elektron); sebutir debu $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ yang terlokalkan dalam $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (berikanlah $\Delta v$).

**Solusi Latihan 30.8.**

Atomnya: $\Delta p \geq \hbar/2\Delta x = 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E \sim \Delta p^2/2m_e =
1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1\,\mathrm{eV}$: skalanya tepat. Intinya: $\Delta p \geq
1.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\Delta p^2/2m_e$ akan bernilai $400\,\mathrm{MeV}$, jauh di atas $m_ec^2$, sehingga pakailah $E \approx \Delta p\,c = 3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 20\,\mathrm{MeV}$: tak ada gaya di dalam intinya yang dapat menahan elektron setenaga itu — inti tak memuat elektron (elektron beta tercipta ketika dipancarkan). Butirannya: $\Delta v \geq
\hbar/2m\Delta x = 1.05 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-9} \times 10^{-6}) = 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: tak berarti.

**Latihan 30.9 ★★.**

*Model Bohr.* Elektron pada [orbit lingkaran](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#prop-b1-central-forces-effective) berjari-jari $r$ mengelilingi sebuah proton: (a) kelajuan dan energinya sebagai fungsi $r$ (dinamika Coulomb, [Bab 16](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#ch-b1-central-forces)); (b) paksakanlah $m_evr = n\hbar$ lalu simpulkanlah $r_n = n^2a_0$, $E_n = E_1/n^2$ dengan $a_0$ dan $E_1$ seperti dalam [Contoh 30.11](#ex-b1-quantum-introduction-hsize); (c) $v_1$ dan $v_1/c$; (d) panjang gelombang Lyman $\alpha$ ($2 \to 1$) dan H$\alpha$ ($3 \to 2$); (e) tunjukkan bahwa orbit $n$ tepat memuat $n$ [panjang gelombang de Broglie](#thm-b1-quantum-introduction-debroglie).

**Solusi Latihan 30.9.**

(a) $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$: $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$, $E =
\tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$. (b) $m_evr = n\hbar$ dan $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$: bagilah kuadrat yang pertama dengan yang kedua: $m_er = n^2\hbar^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0/e^2$, $r_n = n^2a_0$, dan $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0n^2a_0
= E_1/n^2$ dengan $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$, $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$. (c) $v_1 =
\hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_1/c = 1/137$. (d) $2 \to 1$: $\tfrac34 \times
13.6 = 10.2\,\mathrm{eV}$, $122\,\mathrm{nm}$; $3 \to 2$: $(\tfrac14 - \tfrac19) \times 13.6 =
1.89\,\mathrm{eV}$, $656\,\mathrm{nm}$. (e) $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (karena $m_ev_1a_0 = \hbar$), dan $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$.

**Latihan 30.10 ★★★.**

*Sistem serupa hidrogen.* (a) Bagi sebuah inti bermuatan $Ze$ tunjukkan $E_n = -Z^2 \times 13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ dan $r_n = n^2a_0/Z$: energi ionisasi He$^+$ dan elektron terakhir uranium ($Z = 92$; berilah komentar). (b) Hidrogen muonik: muonnya bermassa $207$ kali massa elektron: jari-jari dan energi dasarnya; panjang gelombang garis Lyman $\alpha$-nya; mengapa ia dipakai untuk mengukur ukuran proton (berjari-jari $0.84\,\mathrm{fm}$). (c) Positronium (elektron dan positron, bermassa sama): tunjukkan bahwa [massa tereduksinya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/19-sistem-titik-pengantar-benda-tegar#prop-b1-systems-of-points-twobody) membuat energinya separuh: Lyman $\alpha$-nya.

**Solusi Latihan 30.10.**

(a) Gantilah $e^2$ dengan $Ze^2$: $a_0 \to a_0/Z$, $E_1 \to Z^2E_1$. He$^+$: $54.4\,\mathrm{eV}$. U$^{91+}$: $92^2 \times 13.6 = 115\,\mathrm{keV}$ — tetapi $v_1 = Z\alpha c
= 0.67c$: model tak relativistiknya hanya bersifat petunjuk di sana. (b) $a_0/207
= 256\,\mathrm{fm}$, $E_1 = 207 \times 13.6 = 2.8\,\mathrm{keV}$; Lyman $\alpha$-nya: $2.1\,\mathrm{keV}$, $\lambda = 0.59\,\mathrm{nm}$ (sinar-X). Orbit muonnya hanya $300$ jari-jari proton: tingkatnya bergeser secara terukur menurut ukuran protonnya, dan begitulah jari-jari proton diukur ulang (2010). (c) Kedua partikelnya mengorbit pusat bersamanya: [massa tereduksinya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/19-sistem-titik-pengantar-benda-tegar#prop-b1-systems-of-points-twobody) $m_e/2$ membuat setiap energinya separuh: $E_1 = -6.8\,\mathrm{eV}$, Lyman $\alpha$-nya pada $5.1\,\mathrm{eV}$, $243\,\mathrm{nm}$.

**Latihan 30.11 ★★★.**

*[Titik kuantum](#ex-b1-quantum-introduction-dot).* Dalam sebuah nanokristal bola berjari-jari $R$ energi pengurungan sebuah partikel bermassa efektif $m^\ast$ adalah $h^2/8m^\ast R^2$ (diterima tanpa bukti). CdSe: senjang $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$, $m_e^\ast =
0.13\,m_e$, $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ (“lubang” yang ditinggalkan elektron yang tereksitasi juga terkurung). (a) Energi foton yang dipancarkan $E_g + E_e + E_h$ dan panjang gelombangnya bagi $R = 2.0\,\mathrm{nm}$, $3.0\,\mathrm{nm}$, $4.0\,\mathrm{nm}$; warnanya. (b) Jari-jari bagi pancaran pada $520\,\mathrm{nm}$ (hijau). (c) Mengapa CdSe ruahnya memancar hanya pada $713\,\mathrm{nm}$? (d) Sebaran jari-jari $10\,\%$ dalam sebuah kumpulan: sebaran panjang gelombangnya pada $3\,\mathrm{nm}$.

**Solusi Latihan 30.11.**

(a) $h^2/8m_e = 6.02 \times 10^{-38}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{2}$. $R = 2\,\mathrm{nm}$: $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/
(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$, $E_h = 0.21\,\mathrm{eV}$, totalnya $1.74 +
0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$, $464\,\mathrm{nm}$: biru. $3\,\mathrm{nm}$: pengurungannya $\times4/9$, $2.15\,\mathrm{eV}$, $577\,\mathrm{nm}$: kuning. $4\,\mathrm{nm}$: $\times1/4$, $1.97\,\mathrm{eV}$, $629\,\mathrm{nm}$: merah. (b) $520\,\mathrm{nm}$ setara $2.38\,\mathrm{eV}$: pengurungannya $0.65\,\mathrm{eV}$ $= 0.93 \times (2/R)^2$, $R = 2.4\,\mathrm{nm}$. (c) Tanpa pengurungan: $E_g$ saja, $713\,\mathrm{nm}$. (d) $\delta E = -2 \times 0.1 \times 0.41 = -0.08\,\mathrm{eV}$, yaitu $4\%$ dari $2.15\,\mathrm{eV}$: kira-kira $20\,\mathrm{nm}$ sebaran — warna yang murni memerlukan kumpulan yang monodispers.

**Latihan 30.12 ★★★.**

*Energi titik nol.* (a) Bagi sebuah [osilator harmonik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/14-osilator-mekanik-peredaman-dan-resonansi#def-b1-oscillators-resonance-harmonic) $E = p^2/2m +
\tfrac12m\omega^2x^2$, ambillah $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ lalu minimumkanlah $E \approx
\Delta p^2/2m + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ atas $\Delta x$: tunjukkan $E_{\min} = \hbar\omega/2$ (yaitu energi dasarnya yang eksak). (b) Molekul H$_2$ bergetar pada $\omega =
8.3 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: energi titik nolnya dalam eV, dan suhu terendah yang membuat getarannya “termal” ($k_BT \sim \hbar\omega$). (c) Helium cair tak pernah membeku pada tekanan atmosfer: taksirlah energi titik nol sebuah atom helium yang terlokalkan dalam $\Delta x = 0.05\,\mathrm{nm}$ (sebagian kecil jarak antaratomnya) dalam sebuah kristal, lalu bandingkan dengan energi ikatnya dalam zat padatnya, kira-kira $1\,\mathrm{meV}$. (d) Bandingkan rumus kotaknya $E_1 = h^2/8mL^2$ dengan batas ketakpastiannya bagi $\Delta x = L/2$: mana yang lebih besar, dan mengapa harus demikian?

**Solusi Latihan 30.12.**

(a) $E(\Delta x) = \hbar^2/8m\Delta x^2 + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$; turunannya nol pada $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$, yang di sana kedua sukunya sama dengan $\hbar\omega/4$: $E_{\min} =
\hbar\omega/2$. (b) $\tfrac12 \times 1.055 \times 10^{-34} \times 8.3 \times 10^{14} = 4.4 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}
= 0.27\,\mathrm{eV}$; $T \sim \hbar\omega/k_B = 6300\,\mathrm{K}$ — pada suhu ruang getarannya beku dalam [keadaan dasarnya](#prop-b1-quantum-introduction-box). (c) $\Delta p = \hbar/2\Delta x =
1.05 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E = \Delta p^2/2m_{\mathrm{He}} = 1.1 \times 10^{-48}/1.33 \times
10^{-26} = 8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{meV}$: separuh energi ikatnya — atomnya tak dapat duduk cukup diam untuk mengkristal; helium tetap cair sampai nol mutlak kecuali bila diperas ($25\,\mathrm{bar}$). (d) $E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ terhadap $\hbar^2/2mL^2$: sepuluh kali lebih besar, sebagaimana seharusnya — batasnya adalah batas bawah, dan keadaan kotaknya memiliki $\Delta x \approx 0.18L$, bukan $L/2$.

![Spektrum pancaran hidrogen yang tampak: garis Balmer pada 656\, nm, 486\, nm, 434\, nm dan 410\, nm, masing-masing sebuah lompatan turun ke n = 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/img-ba97c5e0ee08.jpg)

*Spektrum pancaran hidrogen yang tampak: garis Balmer pada $656\,\mathrm{nm}$, $486\,\mathrm{nm}$, $434\,\mathrm{nm}$ dan $410\,\mathrm{nm}$, masing-masing sebuah lompatan turun ke $n = 2$.*

![Titik kuantum dari satu bahan dalam botol: makin kecil nanokristalnya, makin besar energi pengurungannya dan makin biru cahayanya — warna yang dipilih menurut ukuran.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/img-7f970193e5ad.jpg)

*[Titik kuantum](#ex-b1-quantum-introduction-dot) dari satu bahan dalam botol: makin kecil nanokristalnya, makin besar energi pengurungannya dan makin biru cahayanya — warna yang dipilih menurut ukuran.*

## 30.6 Soal: Spektrum hidrogen dan sebuah titik kuantum

**Soal 30.1.**

Soal akhir pekan — mengukur $h$ dengan cahaya dan sebuah voltmeter, membangun atom hidrogen dari tiga tetapan, dan memilih warna sebuah kristal lewat ukurannya

Tetapan: $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$, $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$.

**Bagian I — Mengukur [tetapan Planck](#thm-b1-quantum-introduction-photon).** Sebuah fotokatode kalium disinari cahaya monokromatik; [potensial hentinya](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) diukur: $0.30\,\mathrm{V}$ pada $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $0.69\,\mathrm{V}$ pada $7.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.13\,\mathrm{V}$ pada $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.50\,\mathrm{V}$ pada $9.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $2.36\,\mathrm{V}$ pada $1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$.

1. Lukiskanlah selnya lalu jelaskan mengapa [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) balik dapat menghentikan arusnya, dan apa yang diukur $eV_s$ .
2. Tuliskanlah hubungan Einstein lalu sebutkan apa yang diberikan kemiringan dan pintasan $V_s(\nu)$ .
3. Dari datanya (dengan pencocokan linear, atau dengan kedua titik ujungnya), simpulkanlah $h$ ; bandingkan dengan nilai yang diterima.
4. [Fungsi kerja](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) kalium dalam eV; frekuensi dan panjang gelombang ambangnya; dapatkah sebuah penunjuk laser merah melontarkan elektron?
5. Intensitas lampunya dilipatduakan: apa yang terjadi pada $V_s$ , pada arusnya? Mengapa ini tak sejalan dengan gambaran gelombang murni?
6. Taksiran klasik: cahaya $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ jatuh pada logamnya; sebuah atom menawarkan luas kira-kira $1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ : berapa lama waktu yang diperlukan untuk menumpuk $2.2\,\mathrm{eV}$ pada satu atom? Apa yang teramati sebagai gantinya?

**Bagian II — [Atom hidrogen](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen) Bohr.**

7. Sebuah elektron pada [orbit lingkaran](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/16-gaya-sentral-planet-dan-satelit#prop-b1-central-forces-effective) berjari-jari $r$ mengelilingi sebuah proton yang tetap: kelajuan $v(r)$ dan energi mekanisnya $E(r)$ .
8. Syarat Bohr $m_evr = n\hbar$ : tunjukkan $r_n = n^2a_0$ lalu berikanlah $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2$ secara numerik.
9. $E_n = E_1/n^2$ dengan $E_1 = -m_ee^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2]$ ; nilai numeriknya dalam eV.
10. Kelajuan pada orbit pertamanya dan nisbah $v_1/c$ (yaitu tetapan struktur halus $\alpha \approx 1/137$ ).
11. Panjang gelombang garis $2 \to 1$ (Lyman $\alpha$ ), $3 \to 2$ dan $4 \to 2$ (Balmer H $\alpha$ , H $\beta$ ): mana yang tampak?
12. Tunjukkan bahwa $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/p^2)$ lalu hitunglah tetapan Rydberg $R_H$ ; panjang gelombang Balmer yang terpendek.
13. Energi ionisasi hidrogen dari [keadaan dasarnya](#prop-b1-quantum-introduction-box) ; panjang gelombang foton yang tepat mengionkannya.
14. De Broglie: tunjukkan bahwa keliling orbit $n$ adalah $n$ panjang gelombang — syarat Bohr adalah syarat [gelombang berdiri](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#thm-b1-wave-propagation-standing) .
15. Dua hal yang keliru pada modelnya, satu hal yang tepat benar, dan apa yang menggantikan orbitnya dalam teori lengkapnya.

**Bagian III — [Titik kuantumnya](#ex-b1-quantum-introduction-dot).** Sebuah nanokristal CdSe berjari-jari $R$ mengurung sebuah elektron tereksitasi (bermassa efektif $m_e^\ast = 0.13\,m_e$) dan lubang yang ditinggalkannya ($m_h^\ast = 0.45\,m_e$); energi pengurungan masing-masing dalam sebuah bola berjari-jari $R$ adalah $h^2/8m^\ast R^2$ (diterima tanpa bukti); senjang CdSe ruahnya $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$.

16. Turunkanlah energi $E_n = n^2h^2/8mL^2$ sebuah partikel dalam kotak satu dimensi dari syarat [gelombang berdirinya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#thm-b1-wave-propagation-standing) , lalu ulaslah keserupaannya dengan rumus bolanya.
17. Energi pengurungan elektron dan lubangnya bagi $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ .
18. Energi dan panjang gelombang foton yang dipancarkan bagi $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ dan $4.0\,\mathrm{nm}$ ; warnanya.
19. Jelaskanlah dalam satu kalimat mengapa titik yang lebih kecil lebih biru.
20. Periksalah [orde besarnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#def-b1-units-dimensions-oom) dengan asas ketakpastian: $\Delta p \sim \hbar/R$ bagi elektronnya pada $R = 2\,\mathrm{nm}$ , dan [energi kinetik](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/13-usaha-energi-dan-energi-potensial#thm-b1-work-and-energy-ke) yang tersirat darinya.
21. Sebuah titik memancarkan $1.0\,\mathrm{nW}$ pada $577\,\mathrm{nm}$ : foton tiap sekon.

**Bagian IV — Mencacah kuanta.**

22. Foton tiap sekon dari sebuah laser $1.0\,\mathrm{mW}$ pada $633\,\mathrm{nm}$ .
23. [Mata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata#def-b1-optical-instruments-eye) yang telah menyesuaikan diri dengan gelap mendeteksi kilatan kira-kira $100$ foton pada $500\,\mathrm{nm}$ yang tiba dalam $0.1\,\mathrm{s}$ : daya yang bersesuaian.
24. Sebuah antena FM menerima $1.0\,\mathrm{pW}$ pada $100\,\mathrm{MHz}$ : foton tiap sekon; adakah harapan mendeteksinya satu per satu?
25. Ringkaslah: dari $h$ , $e$ , $m_e$ saja, tiga besaran dunia atomik mana yang dihasilkan soal ini, dan dengan nilai berapa?

**Solusi Soal 30.1.**

**1.** Cahaya membebaskan elektron dari katodenya dengan berbagai energi; ditahan pada $-V_s$, anodenya menolaknya dan hanya yang berenergi $E_k > eV_s$ yang tiba. Arusnya lenyap ketika $eV_s = E_{k,\max}$.

**2.** $eV_s = h\nu - W$: kemiringannya $h/e$, pintasannya $-W/e$; $V_s = 0$ pada ambang $\nu_0 = W/h$.

**3.** Titik ujungnya: $(2.36 - 0.30)/(5.0 \times 10^{14}) = 4.12 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$, $h = 1.602 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.60 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (pencocokan pada kelimanya memberi $6.62$): berselisih $0.5\%$ dari $6.626 \times 10^{-34}$.

**4.** $W = h\nu - eV_s = 2.47 - 0.30 = 2.2\,\mathrm{eV}$; $\nu_0 = W/h =
5.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $\lambda_0 = 1240/2.2 = 560\,\mathrm{nm}$. Sebuah penunjuk merah ($650\,\mathrm{nm}$, $1.9\,\mathrm{eV}$) tak melontarkan apa pun.

**5.** $V_s$ tetap, arusnya berlipat dua: fotonnya dua kali lipat, masing-masing berenergi sama. Sebuah gelombang akan memberi tiap elektron energi lebih besar dengan intensitas lebih besar, dan sebuah ambang dalam intensitas alih-alih dalam frekuensi.

**6.** $10^{-6} \times 10^{-20} = 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ pada atomnya; $2.2\,\mathrm{eV}$ $=
3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ memerlukan $3.5 \times 10^7$ s — yaitu satu tahun. Pancarannya teramati dalam hitungan nanosekon: energinya tiba dalam kuanta yang utuh.

**7.** $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$: $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$; $E =
\tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$.

**8.** $(m_evr)^2 = n^2\hbar^2$ dan $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$: $r_n = n^2 \cdot
4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2 = n^2a_0$, $a_0 = (1.055 \times 10^{-34})^2/(8.99 \times 10^9
\times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.57 \times 10^{-38}) = 52.9\,\mathrm{pm}$.

**9.** $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0r_n = -m_ee^4/2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2$; $E_1 =
-2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 5.29 \times 10^{-11}) = -2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -13.6\,\mathrm{eV}$.

**10.** $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_1/c = 7.3 \times 10^{-3} =
1/137$.

**11.** $2 \to 1$: $10.2\,\mathrm{eV}$, $122\,\mathrm{nm}$ (ultraungu); $3 \to 2$: $1.89\,\mathrm{eV}$, $656\,\mathrm{nm}$ (merah); $4 \to 2$: $2.55\,\mathrm{eV}$, $486\,\mathrm{nm}$ (biru-hijau): garis Balmerlah yang tampak.

**12.** $hc/\lambda = |E_1|(1/n^2 - 1/p^2)$: $R_H = |E_1|/hc = 13.6/1240 =
1.097 \times 10^{-2}\,\mathrm{nm}^{-1} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$. Batas Balmernya ($p \to \infty$): $\lambda = 4/R_H = 365\,\mathrm{nm}$.

**13.** $13.6\,\mathrm{eV}$; $\lambda = 1240/13.6 = 91\,\mathrm{nm}$.

**14.** $v_n = v_1/n$, $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (karena $m_ev_1a_0
= \hbar$); $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$: orbitnya mengemban $n$ gelombang yang utuh — aturan Bohr adalah aturan [gelombang berdiri](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#thm-b1-wave-propagation-standing).

**15.** Yang keliru: elektronnya tak memiliki orbit (ia akan memancar; [keadaan dasarnya](#prop-b1-quantum-introduction-box) bermomentum sudut nol) dan modelnya gagal bagi atom mana pun yang berelektron dua. Yang tepat: tingkat hidrogennya, jadi setiap [garis spektrumnya](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen). Orbitnya digantikan sebuah [fungsi gelombang](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction), yaitu awan peluang berukuran $\sim n^2a_0$.

**16.** [Gelombang berdirinya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#thm-b1-wave-propagation-standing): $L = n\lambda/2$, $p_n = h/\lambda_n = nh/2L$, $E_n =
p_n^2/2m = n^2h^2/8mL^2$. Rumus bolanya sama dengan $L \to R$: [keadaan dasarnya](#prop-b1-quantum-introduction-box) memuat setengah panjang gelombang dalam jari-jarinya.

**17.** $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$; $E_h = 0.13/0.45 \times 0.72 = 0.21\,\mathrm{eV}$.

**18.** $R = 2\,\mathrm{nm}$: $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$, $464\,\mathrm{nm}$, biru; $3\,\mathrm{nm}$: $2.15\,\mathrm{eV}$, $577\,\mathrm{nm}$, kuning; $4\,\mathrm{nm}$: $1.97\,\mathrm{eV}$, $629\,\mathrm{nm}$, merah.

**19.** Energi pengurungannya tumbuh sebanding $1/R^2$: kotak yang lebih kecil menaikkan tingkatnya, fotonnya lebih bertenaga, cahayanya lebih biru.

**20.** $\Delta p \sim \hbar/R = 5.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E \sim \Delta p^2/2m_e^\ast =
1.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.07\,\mathrm{eV}$: ordenya tepat (koefisien eksaknya $\pi^2/2$ dan $\Delta p$ yang kasar itu menjelaskan faktor sepuluhnya).

**21.** $1240/577 = 2.15\,\mathrm{eV} = 3.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$: $10^{-9}/3.4 \times 10^{-19}
= 2.9 \times 10^9$ foton tiap sekon.

**22.** $10^{-3}/(1.96 \times 1.6 \times 10^{-19}) = 3.2 \times 10^{15}$ tiap sekon.

**23.** $100 \times 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ dalam $0.1\,\mathrm{s}$: $4 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}$.

**24.** $h\nu = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}$: $1.5 \times 10^{13}$ foton tiap sekon — dan masing-masing $10^5$ kali lebih kecil daripada energi termal $k_BT$ antenanya: tak ada harapan, dan tak ada keperluan; gambaran gelombangnya eksak di sana.

**25.** Ukuran atom, $a_0 = 53\,\mathrm{pm}$; skala energinya, $13.6\,\mathrm{eV}$ (jadi foton beberapa eV, kimia, spektrum tampak); dan kelajuan elektronnya, $\alpha c \approx 2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ketiganya dari $h$, $e$ dan $m_e$ (serta $\varepsilon_0$), tanpa satu pun disetel.