---
title: "Alat Optik dan Mata"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/4-alat-optik-dan-mata
---

# Bab 4 — Alat Optik dan Mata

Dari deretan bangku paling belakang sebuah gedung konser, sepasang teropong binokuler menarik wajah sang penyanyi sampai sejangkauan lengan; [mikroskop](#def-b1-optical-instruments-microscope) mengubah setetes air kolam menjadi kebun binatang; telepon setebal jari memotret Bima Sakti. Setiap alat itu berupa beberapa [lensa tipis](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang disusun untuk satu tujuan: menyajikan kepada [mata](#def-b1-optical-instruments-eye), atau kepada sensor, bayangan yang lebih besar, lebih terang atau lebih tajam daripada yang dapat dibentuk [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) sendirian. Maka bab ini dimulai dari [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) sendiri — apa yang dapat dan tak dapat dilakukannya — lalu membangun [kaca pembesar](#def-b1-optical-instruments-G), [mikroskop](#def-b1-optical-instruments-microscope), teleskop dan [kamera](#def-b1-optical-instruments-camera) dari hubungan konjugasi bab sebelumnya.

![Teleskop bias 40 inci Observatorium Yerkes (1897), sampai kini teleskop lensa terbesar yang pernah dibuat: lensa objektif sepanjang satu meter dan tabung sepanjang sembilan belas meter. Di atas ukuran ini sebuah lensa melendut oleh beratnya sendiri, dan astronomi pun beralih ke cermin.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-4e4f7ec86ae8.jpg)

*Teleskop bias 40 inci Observatorium Yerkes (1897), sampai kini teleskop [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) terbesar yang pernah dibuat: [lensa objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) sepanjang satu meter dan tabung sepanjang sembilan belas meter. Di atas ukuran ini sebuah [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) melendut oleh beratnya sendiri, dan astronomi pun beralih ke cermin.*

![Sebuah teleskop bias kecil pada senja hari: lensa objektif berjarak fokus panjang dan lensa okuler berjarak fokus pendek — teleskop afokal bab ini, dibidikkan ke Bulan yang menjadi soal akhir pekannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ccb52c3300bb.jpg)

*Sebuah teleskop bias kecil pada senja hari: [lensa objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) berjarak fokus panjang dan [lensa okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) berjarak fokus pendek — teleskop afokal bab ini, dibidikkan ke Bulan yang menjadi soal akhir pekannya.*

## 4.1 Mata

**Definisi 4.1 (Mata tereduksi).**

*Mata tereduksi* memodelkan kornea dan [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) matanya sebagai satu [lensa tipis](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) konvergen berjarak fokus *berubah-ubah*, dan *retina*nya sebagai layar pada jarak tetap $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ di belakangnya. Otot mengubah kelengkungan [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) agar bayangan benda yang dipandang tetap jatuh di retina: itulah *akomodasi*. Iris di depan [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) adalah bukaan berubah-ubah bergaris tengah $2\,$ sampai $8\,\mathrm{mm}$, yaitu *pupil*.

**Definisi 4.2 (Titik jauh, titik dekat).**

*Titik jauh* (punctum remotum) adalah titik benda yang terlihat tajam tanpa berakomodasi; *titik dekat* (punctum proximum) adalah titik terdekat yang terlihat tajam dengan [akomodasi](#def-b1-optical-instruments-eye) maksimum. Bagi [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) normal (emetrop), titik jauhnya di tak hingga dan titik dekatnya pada $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$, yaitu *jarak penglihatan jelas* yang disepakati. Selisih [vergensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang diperlukan untuk keduanya adalah *amplitudo [akomodasi](#def-b1-optical-instruments-eye)*: sekitar $4\,\delta$ bagi orang dewasa muda, dan menyusut seiring usia.

**Contoh 4.3 (Vergensi mata).**

Benda jauh: bayangan pada $d = 17\,\mathrm{mm}$ berarti $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 59\,\delta$. Benda pada $25\,\mathrm{cm}$: $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$. Empat dioptri [akomodasi](#def-b1-optical-instruments-eye) dari enam puluh: [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) hanya menambahkan beberapa persen pada kerja korneanya, tetapi beberapa persen itulah segalanya bagi membaca.

**Proposisi 4.4 (Cacat mata dan koreksinya).**

[Mata](#def-b1-optical-instruments-eye) *miopi* terlalu konvergen: [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum) berada pada jarak berhingga $D_r$; [lensa divergen](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berjarak fokus $f' = -D_r$ (dipakai dekat [mata](#def-b1-optical-instruments-eye)) membayangkan tak hingga pada [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum) dan memulihkan penglihatan jauh. [Mata](#def-b1-optical-instruments-eye) *hipermetropi* kurang konvergen: [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum) maya (di belakang [mata](#def-b1-optical-instruments-eye)) dan [titik dekatnya](#def-b1-optical-instruments-punctum) terlalu jauh; [lensa konvergen](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) mengoreksinya. *Presbiopi* adalah hilangnya [akomodasi](#def-b1-optical-instruments-eye) seiring usia: [titik dekatnya](#def-b1-optical-instruments-punctum) mundur dan membaca menuntut [lensa konvergen](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), apa pun [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum).

**Bukti.** [Lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang dekat dengan [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) dan [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) itu sendiri membentuk sistem yang bendanya harus berupa apa yang dapat dilihat [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye): [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) harus mengubah benda di tak hingga menjadi [bayangan maya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) di [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum), $\overline{OA'} = -D_r$ untuk $\overline{OA} = -\infty$, sehingga $f' = \overline{OA'} = -D_r$. Kasus lainnya adalah alasan yang sama dengan titik-titik yang bersangkutan. ∎

![Mata tereduksi: lensa tipis berjarak fokus berubah-ubah dan retina 17\, mm di belakangnya. Ketika rileks, ia memfokuskan benda jauh; ketika berakomodasi, ia memendekkan f' untuk membawa bayangan benda dekat ke retinanya. Bayangannya terbalik — otaklah yang membalikkannya kembali.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-035e72593b6f.svg)

*[Mata tereduksi](#def-b1-optical-instruments-eye): [lensa tipis](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berjarak fokus berubah-ubah dan [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ di belakangnya. Ketika rileks, ia memfokuskan benda jauh; ketika berakomodasi, ia memendekkan $f'$ untuk membawa bayangan benda dekat ke [retinanya](#def-b1-optical-instruments-eye). Bayangannya terbalik — otaklah yang membalikkannya kembali.*

**Definisi 4.5 (Ukuran sudut dan daya urai).**

*Ukuran sudut* sebuah benda setinggi $h$ pada jarak $D$ adalah $\theta \approx h/D$ (sudut kecil). [Mata](#def-b1-optical-instruments-eye) membedakan dua titik hanya jika pisah sudutnya melampaui *[daya urai](#rem-b1-optical-instruments-abbe) sudut*nya, yaitu sekitar $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (satu menit busur): jarak antarsel kerucutnya dan difraksi pada pupilnya sama-sama menetapkan batas ini.

**Catatan 4.6 (Untuk apa sebuah alat optik).**

Dibawa ke [titik dekat](#def-b1-optical-instruments-punctum), rincian sebesar $1\,\mathrm{mm}$ membentang $1/250 =
4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$: tiga belas kali batas [daya urainya](#rem-b1-optical-instruments-abbe); rincian $0.05\,\mathrm{mm}$ membentang $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ dan tak terlihat. Alat yang memandang benda dekat ([kaca pembesar](#def-b1-optical-instruments-G), [mikroskop](#def-b1-optical-instruments-microscope)) memperbesar [ukuran sudutnya](#def-b1-optical-instruments-angular) melampaui apa yang dapat dicapai dengan mendekatkan bendanya; alat untuk benda jauh (teleskop) memperbesar [ukuran sudut](#def-b1-optical-instruments-angular) benda yang tak dapat didekati; sedangkan [kamera](#def-b1-optical-instruments-camera) menggantikan [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) dengan sensor yang dapat mengumpulkan cahaya selama beberapa sekon lalu diperbesar sesudahnya.

## 4.2 Kaca pembesar

**Definisi 4.7 (Perbesaran sudut).**

Untuk alat yang dipakai [mata](#def-b1-optical-instruments-eye), *perbesaran sudut*nya adalah $G = \theta'/\theta$, dengan $\theta'$ [ukuran sudut](#def-b1-optical-instruments-angular) bayangan yang dilihat lewat alatnya dan $\theta$ [ukuran sudut](#def-b1-optical-instruments-angular) bendanya yang dilihat [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang — pada [titik dekat](#def-b1-optical-instruments-punctum) $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ untuk benda dekat, dan di tempatnya untuk benda jauh.

**Proposisi 4.8 (Kaca pembesar).**

[Lensa konvergen](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berjarak fokus $f' < d_m$ dengan bendanya di bidang fokus bendanya memberi bayangan di tak hingga, yang terlihat tanpa [akomodasi](#def-b1-optical-instruments-eye), dengan

$$
G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .
$$

**Bukti.** Benda $AB$ setinggi $h$ di bidang fokusnya: sinar dari $B$ keluar sejajar, dengan sudut sinar yang melalui $O$, $\theta' = h/f'$. [Mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang sebaik-baiknya: $\theta = h/d_m$. Nisbahnya $d_m/f'$. ∎

**Contoh 4.9 (Kaca pembesar tukang jam).**

$f' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = 250/25 = 10$, dijual sebagai “$10\times$”. Rincian $0.05\,\mathrm{mm}$ lalu membentang $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, terurai dengan nyaman. Mendorong $G$ lebih tinggi berarti $f'$ beberapa milimeter, yaitu [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) mungil yang ditempelkan ke [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) — batas [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) tunggal, dan alasan keberadaan [mikroskop](#def-b1-optical-instruments-microscope).

## 4.3 Mikroskop

**Definisi 4.10 (Mikroskop majemuk).**

*Mikroskop* adalah *[lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) objektif* $L_1$ berjarak fokus pendek $f_1'$ yang membentuk bayangan antara yang nyata dan diperbesar dari benda yang dekat, tepat di bidang fokus benda sebuah *[lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) okuler* $L_2$ (berjarak fokus $f_2'$), yang berlaku sebagai [kaca pembesar](#def-b1-optical-instruments-G). Jarak $\Delta =
\overline{F_1'F_2}$ antara fokus bayangan objektifnya dan fokus benda okulernya disebut *selang optik*, yang dibakukan $160\,\mathrm{mm}$ pada alat klasik.

**Proposisi 4.11 (Perbesaran sebuah mikroskop).**

Dengan bayangan akhirnya di tak hingga,

$$
\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'},
\qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .
$$

**Bukti.** Bayangan antaranya $A_1B_1$ terletak di bidang fokus benda [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope), yaitu pada $\overline{F_1'A_1} = \Delta$; [hubungan Newton](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) memberi $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$. [Okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) lalu memperlihatkan $A_1B_1$ (setinggi $\abs{\gamma_1} h$) di tak hingga dengan sudut $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$, terhadap $\theta = h/d_m$ bagi [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang. ∎

![Mikroskop: objektifnya membentuk bayangan antara yang nyata, diperbesar dan terbalik A_1B_1 di bidang fokus benda okulernya; okulernya mengirimkannya ke tak hingga, tempat mata yang rileks memandangnya dengan sudut yang besar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-ef2c8471d574.svg)

*[Mikroskop](#def-b1-optical-instruments-microscope): [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) membentuk bayangan antara yang nyata, diperbesar dan terbalik $A_1B_1$ di bidang fokus benda [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope); [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) mengirimkannya ke tak hingga, tempat [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) yang rileks memandangnya dengan sudut yang besar.*

**Contoh 4.12 (Mikroskop mahasiswa).**

[Objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$: $\gamma_1 = -40$, $G_2 = 10$, $G = 400$. Bendanya duduk pada $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 =
-0.10\,\mathrm{mm}$ dari $F_1$: $4.1\,\mathrm{mm}$ dari [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope). Memfokuskan berarti menggeser seluruh tabungnya sepersekian milimeter.

**Catatan 4.13 (Batas daya urai).**

Perbesaran tanpa batas tak akan berguna: cahaya adalah gelombang, dan [objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) yang menerima sinar dalam setengah sudut $u$ (di dalam medium berindeks $n$) tak dapat memisahkan dua titik yang lebih dekat daripada kira-kira $\lambda/(2n\sin u)$ — pembahasan gelombang volume Tahun ke-2 menurunkannya. Dengan $n\sin u \approx 1.4$ (imersi minyak) dan $\lambda =
0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, batasnya di dekat $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$. Agar rincian itu terlihat [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ pada $25\,\mathrm{cm}$, yaitu $75\,\text{µ}\mathrm{m}$), perbesaran sekitar $400$ sudah cukup; di atas $1000$ bayangannya hanya lebih besar, bukan lebih kaya: *perbesaran hampa*.

## 4.4 Teleskop astronomi

**Proposisi 4.14 (Teleskop bias).**

[Lensa objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_1$ dan [lensa okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ dengan $F_1' = F_2$ membentuk [sistem afokal](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet): sebuah bintang (di tak hingga) terlihat di tak hingga, [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) yang rileks memandangnya, dan

$$
G = -\frac{f_1'}{f_2'} .
$$

Bayangan tepi [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) lewat [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) disebut *[pupil keluar](#prop-b1-optical-instruments-telescope)*: cakram terang bergaris tengah $D/\abs G$ yang terletak $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ di belakang [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope), tempat pupil [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) harus diletakkan agar menerima seluruh cahayanya.

**Bukti.** $G$ telah diturunkan dalam [Proposisi 3.18](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet). [Objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope), dilihat dari $L_2$, adalah benda pada $\overline{O_2O_1} = -(f_1'
+ f_2')$; Descartes memberi $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2')
= f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$, dan perbesarannya $\overline{O_2P'}/
\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ menskalakan garis tengah $D$ menjadi $D/\abs G$. Setiap sinar yang masuk ke [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) keluar lewat [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope), karena setiap titik [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) dibayangkan di sana. ∎

![Teleskop astronomi: berkas sejajar dari sebuah bintang difokuskan objektifnya di bidang fokus bersamanya lalu dikirim kembali ke tak hingga oleh okulernya, dengan sudut G kali lebih besar. Seluruh cahaya yang dikumpulkan objektif bergaris tengah D melewati pupil keluarnya, yang bergaris tengah D/ G.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-679556e38375.svg)

*Teleskop astronomi: berkas sejajar dari sebuah bintang difokuskan [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) di bidang fokus bersamanya lalu dikirim kembali ke tak hingga oleh [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope), dengan sudut $\abs G$ kali lebih besar. Seluruh cahaya yang dikumpulkan [objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) bergaris tengah $D$ melewati [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope), yang bergaris tengah $D/\abs G$.*

**Proposisi 4.15 (Apa yang diperoleh sebuah teleskop).**

Dibandingkan dengan [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang (pupil $d_p$):

- *[ukuran sudut](#def-b1-optical-instruments-angular)* : dikalikan $\abs G$ ;
- *cahaya yang terkumpul* dari sumber titik: dikalikan $(D/d_p)^2$ , asalkan [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) tidak lebih besar daripada pupil [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) , yaitu $\abs G \geq D/d_p$ ;
- *[daya urai sudut](#def-b1-optical-instruments-angular)* : difraksi pada [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) membatasinya pada $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (kriteria Rayleigh), jauh di bawah $\epsilon$ milik [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) ; perbesaran yang membuat batas ini terlihat adalah $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , dan perbesaran yang lebih besar hanya memperbesar kekaburannya.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 4.16 (Teleskop bias 150 milimeter seorang amatir).**

$D = 150\,\mathrm{mm}$, $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$, [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$: $G = -48$; [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $3.1\,\mathrm{mm}$; penguatan cahayanya $(150/7)^2 \approx
460$ terhadap pupil yang teradaptasi gelap sebesar $7\,\mathrm{mm}$; [daya urainya](#rem-b1-optical-instruments-abbe) $1.22 \times
550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$, sehingga kawah selebar $1.7\,\mathrm{km}$ di Bulan; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times
10^{-6} \approx 67$ — [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) tak memperlihatkan rincian lebih banyak, hanya cakram yang lebih besar dan lebih pudar. Soal akhir pekan merancang alat ini.

**Catatan 4.17 (Teleskop pantul, teropong binokuler, teropong Galileo).**

[Cermin cekung](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) berjarak fokus $f_1'$ menggantikan [lensa objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) dalam teleskop *pantul* (tanpa dispersi warna, dan cermin dapat dibuat selebar beberapa meter serta ditopang dari belakang): segala hal di atas tetap berlaku dengan $f_1'$ sebagai [jarak fokus](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) cerminnya. Bayangannya terbalik — tak berbahaya bagi bintang; untuk pemakaian di bumi, teropong binokuler menyisipkan sepasang prisma pemantul sempurna untuk menegakkannya, dan teropong Galileo memakai [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) divergen ($f_2' < 0$, $G > 0$), lebih pendek tetapi bermedan pandang sempit.

## 4.5 Kamera

**Definisi 4.18 (Kamera; bilangan-f).**

*Kamera* adalah [lensa konvergen](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berjarak fokus $f'$ yang membentuk [bayangan nyata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) pada sensor, pada $\overline{OA'} \approx f'$ untuk objek jauh; memfokuskannya berarti menggeser [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Diafragma bergaris tengah $D$ membatasi berkasnya; *bilangan-f*nya adalah $N = f'/D$ (ditulis $f/N$). *Sudut pandang*nya adalah $2\arctan(\ell/2f')$ untuk sensor selebar $\ell$.

**Proposisi 4.19 (Pajanan dan kedalaman medan).**

Iradiansi pada sensornya menskala sebagai $1/N^2$, sehingga waktu pajanan untuk kecerahan bayangan tertentu menskala sebagai $N^2$. Titik yang berjarak lain daripada jarak yang difokuskan membentuk cakram kabur; dengan menuntut cakram itu tetap di bawah garis tengah yang ditoleransi $c$, [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang difokuskan pada *[jarak hiperfokal](#prop-b1-optical-instruments-dof)*

$$
H = \frac{f'^2}{N c}
$$

membuat segala sesuatu dari $H/2$ sampai tak hingga tampak cukup tajam.

**Bukti.** Iradiansi $=$ daya/luas $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (bayangan objek tertentu berukuran tetap yang ditetapkan $f'$, sedangkan daya yang terkumpul tumbuh sebagai $D^2$). Fokuskan pada jarak $p$ dengan bayangannya di $q \approx f'$; titik di tak hingga memfokus di $f'$, yaitu $q - f'$ sebelum sensornya; kerucut sinarnya, yang beralas $D$ di [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), bergaris tengah $D(q - f')/q$ pada sensornya (segitiga sebangun). Dengan $1/q = 1/f' - 1/p$ secara paraksial, $q - f' \approx f'^2/p$ untuk $p \gg f'$, sehingga kekaburannya $Df'/p = f'^2/(Np)$; ia sama dengan $c$ ketika $p = H$. Geometri yang sama pada sisi dekatnya memberi batas $H/2$. ∎

![Kedalaman medan: lensanya difokuskan pada titik berjarak p (bayangannya di sensor); titik di tak hingga memfokus di F', sebelum sensornya, dan meninggalkan cakram kabur bergaris tengah c = Df'/p — lebih kecil untuk bukaan kecil (N besar), karena itu ada tukar-tambah antara ketajaman dan waktu pajanan.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-521b5d98c7bb.svg)

*[Kedalaman medan](#def-b1-optical-instruments-camera): [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) difokuskan pada titik berjarak $p$ (bayangannya di sensor); titik di tak hingga memfokus di $F'$, sebelum sensornya, dan meninggalkan cakram kabur bergaris tengah $c = Df'/p$ — lebih kecil untuk bukaan kecil ($N$ besar), karena itu ada tukar-tambah antara ketajaman dan waktu pajanan.*

**Contoh 4.20 (Bingkai penuh dan telepon).**

[Lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $50\,\mathrm{mm}$ pada sensor selebar $36\,\mathrm{mm}$: sudut pandangnya $2\arctan(18/50) = 40^\circ$; pada $f/8$ dengan $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$: difokuskan pada $10\,\mathrm{m}$, segala sesuatu di luar $5\,\mathrm{m}$ menjadi tajam. [Lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) telepon, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ pada $f/1.8$ dengan sensor $6\,\mathrm{mm}$ dan $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: sudut pandang yang sama (selebar $70{}^{\circ}$), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) =
2.1\,\mathrm{m}$ — hampir segala sesuatu terfokus sekaligus, itulah sebabnya telepon memalsukan kaburnya latar belakang dengan perangkat lunak.

![Lensa uji dan bingkai uji milik optometris: lensa konvergen atau divergen dengan vergensi yang tepat di depan mata memindahkan titik jauhnya kembali ke tak hingga.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ee6212e4f9ea.jpg)

*[Lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) uji dan bingkai uji milik optometris: [lensa konvergen](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) atau divergen dengan [vergensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) yang tepat di depan [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) memindahkan [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum) kembali ke tak hingga.*

## 4.6 Latihan

**Latihan 4.1 ★.**

Dengan [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ di belakang [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), hitunglah [vergensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) normal yang memandang tak hingga, lalu yang memandang $25\,\mathrm{cm}$; simpulkan [amplitudo akomodasinya](#def-b1-optical-instruments-punctum). Berapa [jarak fokus](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) keduanya?

**Solusi Latihan 4.1.**

Tak hingga: $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$. $25\,\mathrm{cm}$: $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$, $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$. Amplitudonya $4.0\,\delta$.

**Latihan 4.2 ★.**

[Mata](#def-b1-optical-instruments-eye) miopi mempunyai [titik jauh](#def-b1-optical-instruments-punctum) pada $40\,\mathrm{cm}$. [Lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) apa yang mengoreksinya ([jarak fokus](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), [vergensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens))? [Mata](#def-b1-optical-instruments-eye) hipermetropi tak dapat berakomodasi pada apa pun yang lebih dekat daripada $1.0\,\mathrm{m}$: [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) apa yang memungkinkannya membaca pada $25\,\mathrm{cm}$?

**Solusi Latihan 4.2.**

Miopi: tak hingga harus dibayangkan di [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum), $f' = -40\,\mathrm{cm}$, $V = -2.5\,\delta$. Hipermetropi: benda pada $25\,\mathrm{cm}$ harus dibayangkan (secara maya) pada $1.0\,\mathrm{m}$: $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA}
= -1 + 4 = +3.0\,\delta$.

**Latihan 4.3 ★.**

[Kaca pembesar](#def-b1-optical-instruments-G) mempunyai $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$. Berikan [perbesaran sudutnya](#def-b1-optical-instruments-G), di mana perangkonya harus dipegang, dan [ukuran sudut](#def-b1-optical-instruments-angular) rincian $2\,\mathrm{mm}$ lewat kaca itu, dibandingkan dengan [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang pada $25\,\mathrm{cm}$.

**Solusi Latihan 4.3.**

$G = 25/4.0 = 6.3$; perangkonya di bidang fokus, $4.0\,\mathrm{cm}$ dari [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Rincian $2\,\mathrm{mm}$: $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$, terhadap $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ pada $25\,\mathrm{cm}$.

**Latihan 4.4 ★.**

Teleskop bias mempunyai $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$. Hitunglah $G$ dengan [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$ dan dengan [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $9\,\mathrm{mm}$, panjang tabungnya pada tiap kasus, dan ukuran semu Bulan ($0.52^\circ$).

**Solusi Latihan 4.4.**

$G = 900/25 = 36$ dan $900/9 = 100$; panjang tabungnya $f_1' + f_2' =
925\,\mathrm{mm}$ dan $909\,\mathrm{mm}$; Bulan: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ dan $52^\circ$.

**Latihan 4.5 ★★.**

[Mikroskop](#def-b1-optical-instruments-microscope): $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$. Hitunglah $\gamma_1$, $G_2$, $G$, dan jarak benda–objektifnya. Sejauh apa tabungnya harus bergeser untuk membawa bendanya $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ lebih dalam ke dalam fokus?

**Solusi Latihan 4.5.**

$\gamma_1 = -160/4 = -40$; $G_2 = 250/20 = 12.5$; $G = 500$. $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$: bendanya $4.1\,\mathrm{mm}$ dari [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope). Bendanya harus tetap berada pada jarak itu dari [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope), sehingga seluruh tabungnya bergeser $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — itulah tombol fokus halusnya.

**Latihan 4.6 ★★.**

Dua lampu depan berjarak $1.5\,\mathrm{m}$. Dari jarak berapa [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$) dapat membedakan keduanya? Sebuah teleskop dengan $D = 100\,\mathrm{mm}$: hitunglah batas difraksinya ($\lambda =
550\,\mathrm{nm}$), jarak yang masih memisahkan kedua lampu itu, dan perbesaran $G_r$ yang di atasnya ia tak memperlihatkan apa pun yang baru.

**Solusi Latihan 4.6.**

[Mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$. Teleskop: $\theta_{\min}
= 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$; kedua lampu terpisah sampai $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (secara asas — udara dan kelengkungan bumi ikut campur lebih dahulu). $G_r = 3\times10^{-4}/
6.7\times10^{-6} = 45$.

**Latihan 4.7 ★★.**

[Lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $50\,\mathrm{mm}$ pada $f/2$: berapa garis tengah bukaannya? Sebuah pemandangan terpajan dengan benar pada $f/2$ selama $1/500$ $\mathrm{s}$; berapa waktu pajanan pada $f/8$? Apa yang dibeli bukaan yang lebih kecil?

**Solusi Latihan 4.7.**

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$. Pajanan $\propto N^2$: $(8/2)^2 = 16$ kali lebih lama, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$. Ia membeli [kedalaman medan](#def-b1-optical-instruments-camera) (dan lebih sedikit aberasi) dengan harga kabur gerak atau sebuah tripod.

**Latihan 4.8 ★★.**

Hitunglah [jarak hiperfokal](#prop-b1-optical-instruments-dof) [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $35\,\mathrm{mm}$ pada $f/11$ dengan $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, dan rentang jarak yang tajam ketika ia difokuskan pada $H$. Pemotret jalanan menyetelnya lebih dulu: mengapa?

**Solusi Latihan 4.8.**

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$; tajam dari $H/2 =
1.9\,\mathrm{m}$ sampai tak hingga. Disetel lebih dulu pada $H$, [kameranya](#def-b1-optical-instruments-camera) tak perlu difokuskan: gambarnya dapat diambil pada saat kejadiannya berlangsung.

**Latihan 4.9 ★★.**

Teropong binokuler “$8\times30$” mempunyai $G = 8$ dan $D = 30\,\mathrm{mm}$. Hitunglah [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope); apakah seluruh cahayanya terpakai oleh pupil malam $7\,\mathrm{mm}$? Bagaimana untuk “$7\times50$”? Pasangan mana yang lebih baik pada senja hari, dan mengapa “$20\times30$” merupakan pilihan yang buruk?

**Solusi Latihan 4.9.**

$8\times30$: [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$, seluruh cahayanya masuk ke [mata](#def-b1-optical-instruments-eye). $7\times50$: $7.1\,\mathrm{mm}$, cocok dengan pupil malamnya, dan $(50/30)^2 = 2.8$ kali lebih banyak cahaya yang terkumpul: itulah pasangan untuk senja hari. $20\times30$: [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $1.5\,\mathrm{mm}$, bayangannya pudar, medannya sempit dan getar tangan diperbesar dua puluh kali.

**Latihan 4.10 ★★★.**

[Titik jauh](#def-b1-optical-instruments-punctum) seorang miopi berada $25\,\mathrm{cm}$ dari [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye). Hitunglah [vergensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) kontak yang mengoreksinya, lalu [vergensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) kacamata yang dipakai $15\,\mathrm{mm}$ di depan [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye). Koreksi mana yang lebih kuat, dan mengapa keduanya berbeda?

**Solusi Latihan 4.10.**

[Lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) kontak: $f' = -25\,\mathrm{cm}$, $V = -4.0\,\delta$. Kacamata: [titik jauhnya](#def-b1-optical-instruments-punctum) $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ dari [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), sehingga $f' =
-23.5\,\mathrm{cm}$, $V = -4.3\,\delta$ — lebih kuat. [Lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) harus membentuk bayangan di [titik jauh](#def-b1-optical-instruments-punctum) [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye), yang jaraknya dari [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) bergantung pada di mana [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) duduk.

**Latihan 4.11 ★★★.**

Teropong Galileo: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$, $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$. Carilah pisah [lensanya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) agar sistemnya afokal, $G$, dan arah bayangannya. Tentukan letak [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) lalu jelaskan mengapa medan pandangnya sempit.

**Solusi Latihan 4.11.**

Afokal: $F_1' = F_2$, pisahnya $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (lebih pendek daripada $40\,\mathrm{cm}$ milik teropong Kepler dengan $G$ yang sama). $G = -30/(-10) =
+3$: tegak. [Pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' =
-10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$: maya, di dalam tabungnya, tempat [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) tak bisa berada; [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) di belakang [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) hanya menangkap berkas yang kebetulan sampai kepadanya — medan yang sempit, keluhan klasik tentang teropong opera.

**Latihan 4.12 ★★★.**

Sebuah teleskop $200\,\mathrm{mm}$ dan pupil $7\,\mathrm{mm}$. Dengan faktor berapa cahaya dari sebuah bintang bertambah? Astronom menilai kecerahan dengan magnitudo, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$; [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) mencapai magnitudo $6$: magnitudo pembatas berapa yang diberikan teleskop itu? Berapa kali lebih jauh sebuah lampu tertentu dapat terlihat?

**Solusi Latihan 4.12.**

$(200/7)^2 = 820$; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$: magnitudo pembatasnya $13.3$. Fluksnya $\propto 1/r^2$, sehingga lampunya terlihat $\sqrt{820} = 29$ kali lebih jauh.

![Sisi dekat Bulan (LRO, NASA): sasaran teleskop pada soal akhir pekan, selebar 3476\, km pada jarak 384\,000\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ce53ac82ea4e.jpg)

*Sisi dekat Bulan (LRO, NASA): sasaran teleskop pada soal akhir pekan, selebar $3476\,\mathrm{km}$ pada jarak $384\,000\,\mathrm{km}$.*

## 4.7 Soal: Merancang teleskop untuk Bulan

**Soal 4.1.**

Soal akhir pekan — teleskop bias 150 milimeter di halaman rumput: pilih okulernya, tempatkan matanya, hitung cahayanya, lalu cari tahu sekecil apa kawah yang dapat diperlihatkannya

[Lensa objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) adalah [lensa konvergen](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ berjarak fokus $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ dan bergaris tengah $D = 150\,\mathrm{mm}$; tersedia [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ berjarak fokus $25\,\mathrm{mm}$ dan $6\,\mathrm{mm}$. Bulan berjarak $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ dan membentang $0.52^\circ$; pupil malam [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) $7\,\mathrm{mm}$, [daya urainya](#rem-b1-optical-instruments-abbe) $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$.

**Bagian I — Susunan afokal.**

1. Di mana [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) harus ditempatkan agar sebuah bintang terlihat tanpa [akomodasi](#def-b1-optical-instruments-eye) ? Berikan jarak objektif–okuler untuk tiap [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
2. Periksalah dengan [hubungan Descartes](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) , yang diterapkan pada tiap [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) berturut-turut, bahwa titik di tak hingga pada sumbunya dibayangkan di tak hingga.
3. Tunjukkan bahwa berkas dari bintang bersudut $\alpha$ terhadap sumbunya keluar sebagai berkas sejajar bersudut $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
4. Hitunglah $G$ untuk tiap [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) dan garis tengah semu Bulan lewat masing-masingnya.
5. Bayangannya terbalik. Mengapa hal itu dapat diterima di sini, dan apa yang akan ditambahkan sebuah teropong pengamat di bumi?
6. Di mana bayangan antara Bulan yang nyata itu berada, dan berapa garis tengahnya? (Ia dapat difoto di sana.)

**Bagian II — Ke mana [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) diletakkan.**

7. Tunjukkan bahwa [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) membentuk [bayangan nyata](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) tepi [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) pada $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ di belakangnya, bergaris tengah $D/\abs G$ ( [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ).
8. Hitunglah kedudukan dan garis tengah [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) untuk tiap [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
9. Mengapa pupil [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) harus diletakkan pada [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ? Apa yang terjadi pada medan pandangnya jika ia diletakkan lebih ke belakang?
10. Agar cahaya sebuah bintang terpakai sepenuhnya, [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope) tak boleh melampaui pupil [matanya](#def-b1-optical-instruments-eye) : simpulkan perbesaran berguna minimum teleskop ini pada malam hari.

**Bagian III — [Daya urai](#rem-b1-optical-instruments-abbe).**

11. Hitunglah batas difraksinya $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ dalam radian dan dalam detik busur.
12. Kawah sekecil apa yang bersesuaian dengan sudut ini di Bulan? Dan bagi [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang?
13. Definisikan lalu hitunglah perbesaran pengurai $G_r =  \epsilon/\theta_{\min}$ . [Okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) mana yang paling dekat dengannya?
14. Dengan [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$ bayangannya tampak lebih kabur dan lebih pudar daripada dengan [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$ . Jelaskan kedua pengaruh itu.
15. Pergolakan atmosfer mengaburkan bayangan bintang sampai sekitar $1''$ . Untuk garis tengah [objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) berapa batas Rayleigh berhenti berarti dari permukaan bumi, dan apa yang masih dibeli $D$ yang lebih besar?

**Bagian IV — Cahaya.**

16. Dengan faktor berapa [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) mengumpulkan lebih banyak cahaya daripada pupil malam?
17. Ubahlah ini menjadi magnitudo ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ dari nisbahnya); jika [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) mencapai magnitudo $6$ , magnitudo berapa yang dicapai teleskopnya?
18. Bulan purnama menyampaikan iradiansi sekitar $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ di permukaan bumi. Berapa daya yang masuk ke [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) , dan bagaimana daya itu tersebar di [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) dibandingkan dengan pengamatan [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang (pakai alasan daya tiap satuan sudut ruang yang sama: bandingkan kecerahan permukaan lewat kedua [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) )?
19. Mengapa teleskop tidak membuat permukaan Bulan lebih cerah tiap satuan luas daripada bagi [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang, padahal ia membuat bintang lebih cerah?

**Bagian V — Medan pandang.** [Okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) membawa, di bidang fokusnya, diafragma medan berbentuk lingkaran bergaris tengah $20\,\mathrm{mm}$ ([okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$) atau $5\,\mathrm{mm}$ ([okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$).

20. Tunjukkan bahwa medan pandang sejatinya adalah $2\arctan(\phi/2f_1')  \approx \phi/f_1'$ untuk diafragma bergaris tengah $\phi$ .
21. Hitunglah untuk kedua [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) lalu katakan apakah seluruh Bulan muat dalam pandangannya.
22. Hitunglah medan semunya (sudut yang membuat [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) melihat diafragmanya lewat [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) ) untuk keduanya.
23. Bumi berputar $15''$ tiap sekon waktu: berapa lama Bulan menyeberangi medan tiap [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope) tanpa penjejakan?
24. Ringkaslah rancangannya: [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) mana untuk seluruh Bulan, mana untuk kawah, dan berapa ukuran kawah terkecil yang dapat disingkapkan alat itu — satu angkanya.
25. [Objektif](#def-b1-optical-instruments-microscope) yang sama diganti [cermin cekung](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) $150\,\mathrm{mm}$ berjarak fokus yang sama. Hasil mana di atas yang berubah?

**Solusi Soal 4.1.**

**1.** $F_2 = F_1'$: pisahnya $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ ([okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$) atau $1206\,\mathrm{mm}$ ([okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$).

**2.** $L_1$: $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (bayangan di $F_1'$). $L_2$: $\overline{O_2A_1} = -f_2'$, sehingga $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2')
= 0$: bayangannya di tak hingga.

**3.** Berkasnya memfokus di bidang fokus bersamanya pada ketinggian $h =
f_1'\alpha$ (sinar melalui $O_1$); dari sana sinar yang melalui $O_2$ menetapkan arah keluarnya, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$.

**4.** $G = -48$ dan $-200$; Bulan: $25^\circ$ dan $104^\circ$.

**5.** Atas dan bawah tak bermakna di langit; teropong pengamat menambahkan sepasang prisma penegak (atau relai [lensa](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/3-cermin-dan-lensa-tipis#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens)).

**6.** Di bidang fokus $L_1$, bergaris tengah $f_1'\theta = 1200 \times
9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$.

**7.** Benda $O_1$ pada $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$: $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$; perbesarannya $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$, garis tengahnya $D/\abs G$.

**8.** $25\,\mathrm{mm}$: $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 =
25.5\,\mathrm{mm}$, garis tengahnya $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$. $6\,\mathrm{mm}$: $6.0\,\mathrm{mm}$ di belakang, garis tengahnya $0.75\,\mathrm{mm}$.

**9.** Setiap sinar yang masuk ke [objektifnya](#def-b1-optical-instruments-microscope) melewati [pupil keluarnya](#prop-b1-optical-instruments-telescope): [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) yang diletakkan di sana menerima seluruh medannya. Lebih ke belakang ia hanya mencegat berkas pusatnya: medannya menyusut menjadi lubang kunci.

**10.** $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$: $\abs G \geq 150/7 \approx 21$.

**11.** $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 =
4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$.

**12.** $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$; [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$.

**13.** $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$; [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$ ($48$) yang paling dekat, sedikit di bawahnya; [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$ ($200$) tiga kali di atasnya.

**14.** Pada $G = 200$ kekaburan difraksinya membentang $200 \times 4.5
\times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$: tampak berbulu. Cahaya Bulan tersebar pada luas $(200/48)^2 = 17$ kali lebih besar di [retinanya](#def-b1-optical-instruments-eye): lebih pudar.

**15.** $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$: $D = 1.22\lambda/\theta =
140\,\mathrm{mm}$. Di atas itu, keburaman atmosfer yang membatasi [daya urai](#rem-b1-optical-instruments-abbe) dari permukaan bumi (kecuali dengan optika adaptif); $D$ yang lebih besar tetap mengumpulkan lebih banyak cahaya, sehingga mencapai objek yang lebih redup.

**16.** $(150/7)^2 = 460$.

**17.** $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$: magnitudo $12.7$.

**18.** $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$, $460$ kali milik [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang. Bayangan [retinanya](#def-b1-optical-instruments-eye) $\abs G^2$ kali lebih luas: nisbah kecerahan permukaannya $460/G^2 = 0.20$ ($G = 48$), $0.012$ ($G = 200$) — sama dengan $(D/\abs G)^2/d_p^2$, yaitu kuadrat nisbah [pupil keluar](#prop-b1-optical-instruments-telescope) terhadap pupil [mata](#def-b1-optical-instruments-eye).

**19.** Untuk benda yang terurai, cahaya yang terkumpul tumbuh sebagai $D^2$ tetapi luas bayangannya sebagai $G^2 \geq (D/d_p)^2$: kecerahan permukaannya paling banter menyamai nilai [mata](#def-b1-optical-instruments-eye) telanjang ([pupil keluar](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $=$ pupil [mata](#def-b1-optical-instruments-eye)). Bintang tak terurai: seluruh cahayanya mendarat di satu bintik difraksi, sehingga kecerahannya tumbuh sebagai $(D/d_p)^2$.

**20.** Titik bersudut $\beta$ dibayangkan pada ketinggian $f_1'\beta$ di bidang fokusnya; diafragmanya meloloskan $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$: medan penuhnya $\phi/f_1'$ (sudut kecil).

**21.** $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$: seluruh Bulan muat. $5/1200 = 0.24^\circ$: tidak muat.

**22.** Medan semunya $\phi/f_2'$: $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$; $5/6 = 48^\circ$.

**23.** $0.95^\circ = 3420''$: $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$, hampir empat menit; $0.24^\circ = 864''$: $58\,\mathrm{s}$.

**24.** [Okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$ ($G = 48$, dekat $G_r$, terang, seluruh Bulan) untuk cakramnya; [okuler](#def-b1-optical-instruments-microscope) $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) untuk menengok kawah lebih dekat, lebih pudar dan lebih kabur. Angka alat itu: kawah sampai sekecil $1.7\,\mathrm{km}$.

**25.** $f_1'$ dan $D$ yang sama: $G$, medan, [pupil keluar](#prop-b1-optical-instruments-telescope), [daya urai](#rem-b1-optical-instruments-abbe) dan cahaya yang sama pula (dikurangi penghalang pusat, bila ada). Yang diperoleh: tak ada aberasi warna. Perubahan praktisnya: fokusnya terletak di depan cerminnya, sehingga cermin sekunder yang kecil harus melipat berkasnya ke luar menuju [okulernya](#def-b1-optical-instruments-microscope).