---
title: "Rangkaian Arus Searah: Hukum dan Teorema Kirchhoff"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff
---

# Bab 6 — Rangkaian Arus Searah: Hukum dan Teorema Kirchhoff

Putarlah kunci kontak pada pagi yang dingin: motor starternya menggeram, lampu dasbornya meredup sesaat, lalu mobilnya terbatuk hidup. Aki yang sesaat tadi memberi $12.6\,\mathrm{V}$ yang mantap kini turun ke sebelas volt selagi starternya menarik seratus lima puluh [ampere](#def-b1-dc-circuits-current) — dan lampu depannya, yang terpasang paralel, ikut membayarnya. Segala hal dalam sekon itu diatur oleh dua hukum kekekalan dan sejumlah kecil teorema tentang [rangkaian linear](#def-b1-dc-circuits-linear), yang dinyatakan, dibuktikan dan diterapkan bab ini: [hukum Kirchhoff](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), model sumber dan [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor), pembagi, Thévenin dan Norton, serta seni grafis mencari [titik kerja](#met-b1-dc-circuits-loadline).

## 6.1 Arus, tegangan, dan rezim kuasi-tunak

**Definisi 6.1 (Arus listrik).**

*Arus listrik* yang melalui sebuah permukaan (penampang lintang sebuah kawat) adalah muatan yang menyeberanginya tiap satuan waktu, dihitung positif menurut arah yang dipilih:

$$
i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{ampere: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).
$$

Membalik arahnya mengubah tanda $i$. Di dalam logam pembawa muatannya adalah elektron, yang menghanyut *berlawanan* dengan arah arus konvensionalnya, dengan laju sepersekian milimeter tiap sekon.

**Definisi 6.2 (Potensial dan tegangan).**

Setiap titik sebuah rangkaian mempunyai *potensial listrik* $V$ (volt), yang terdefinisi sampai pada suatu tetapan yang ditetapkan dengan memilih sebuah *titik tanah* ($V = 0$). *Tegangan* antara $A$ dan $B$ adalah beda potensial $u_{AB} = V_A - V_B$, yang digambar sebagai anak panah dari $B$ ke $A$. Energi yang dilepaskan muatan $q$ ketika berjalan dari $A$ ke $B$ adalah $q\,u_{AB}$ (ini bersambung ke potensial elektrostatik [Bab 27](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/27-potensial-listrik-penghantar-dan-kapasitor#ch-b1-potential-capacitors)).

**Definisi 6.3 (Rezim kuasi-tunak (ARQS)).**

Rangkaian berukuran $\ell$ yang digerakkan pada frekuensi $f$ berada dalam *rezim kuasi-tunak* bila waktu rambat $\ell/c$ [sinyal](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) listrik di sepanjangnya dapat diabaikan terhadap periodenya $1/f$: $\ell \ll c/f$. Arusnya lalu sama di setiap titik kawat tak bercabang pada tiap saat, dan hukum di bawah ini berlaku pada tiap saat bagi arus dan [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) yang berubah terhadap waktu (huruf kecil $i$, $u$) persis seperti bagi yang tunak ($I$, $U$).

**Contoh 6.4 (Sekuasi apa kuasi itu).**

Pada $50\,\mathrm{Hz}$, $c/f = 6000\,\mathrm{km}$: sebuah rumah berada dalam [rezim kuasi-tunak](#def-b1-dc-circuits-arqs). Pada $1\,\mathrm{MHz}$, $300\,\mathrm{m}$: sebuah radio pun masih. Pada $2\,\mathrm{GHz}$, $15\,\mathrm{cm}$: papan rangkaian sebuah telepon tidak, dan jalurnya harus diperlakukan sebagai saluran transmisi — sebuah pokok bahasan volume Tahun ke-2.

**Teorema 6.5 (Hukum Kirchhoff).**

Dalam [rezim kuasi-tunak](#def-b1-dc-circuits-arqs):

1. *[Hukum simpul](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* : pada simpul tempat beberapa kawat bertemu, jumlah arus yang tiba sama dengan jumlah arus yang pergi, $\sum_{\text{masuk}} i_k = \sum_{\text{keluar}} i_k$ .
2. *[Hukum loop](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* : mengelilingi sebarang loop tertutup, [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) berjumlah nol bila dihitung dengan tanda yang diberikan arah penelusuran yang dipilih: $\sum_{\text{loop}} \pm u_k = 0$ .

**Bukti.** Muatan bersifat kekal dan, dalam [rezim kuasi-tunak](#def-b1-dc-circuits-arqs), tidak menumpuk di sebuah simpul: apa yang tiba tiap sekon pergi tiap sekon pula. [Hukum loopnya](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) adalah pernyataan bahwa potensialnya merupakan fungsi kedudukan: setelah mengelilingi sebuah loop dan kembali ke titik awalnya, jumlah penurunan potensialnya adalah $V_A - V_A = 0$. ∎

**Notasi 6.6 (Kesepakatan dan daya).**

Untuk komponen berdua ujung (sebuah *dipol*), *[kesepakatan penerima](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* menggambar anak panah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) dan anak panah arus dengan arah berlawanan; *[kesepakatan pembangkit](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)* menggambar keduanya searah. Dalam [kesepakatan penerima](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), daya yang *diterima* dipolnya adalah

$$
p = u\,i \qquad (\text{watt}),
$$

positif bagi [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) yang memanas, negatif bagi baterai yang memberi. Dalam [kesepakatan pembangkit](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), $p = ui$ adalah daya yang *diberikan*.

![Dua kesepakatan tanda untuk sebuah dipol: anak panah berlawanan (penerima) atau searah (pembangkit). Fisikanya sama; hanya tanda ui yang dibacanya berbeda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-dc7282df28db.svg)

*Dua kesepakatan tanda untuk sebuah dipol: anak panah berlawanan (penerima) atau searah (pembangkit). Fisikanya sama; hanya tanda $ui$ yang dibacanya berbeda.*

## 6.2 Dipol dan modelnya

**Definisi 6.7 (Karakteristik; resistor; hukum Ohm).**

*Karakteristik* sebuah dipol adalah kurva $i(u)$ (atau $u(i)$) yang dipaksakannya. Sebuah *resistor* berkarakteristik linear yang melalui titik asal, yaitu *hukum Ohm*

$$
u = R\,i \qquad (\text{kesepakatan penerima}),
$$

dengan $R$ sebagai *hambatan*nya (ohm, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$) dan $G = 1/R$ sebagai *konduktansi*nya (siemens). Ia menerima $p = Ri^2 =
u^2/R \geq 0$, yang dilesapkan sebagai kalor (*efek Joule*). Kawat sepanjang $\ell$, berpenampang $S$ dan berhambatan jenis $\rho$ mempunyai $R = \rho\ell/S$.

**Definisi 6.8 (Sumber ideal dan sumber nyata).**

*Sumber [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) ideal* memaksakan $u = E$ berapa pun arusnya; $E$ adalah *gaya gerak listrik*nya (ggl). *Sumber arus ideal* memaksakan $i = I_N$ berapa pun [tegangannya](#def-b1-dc-circuits-voltage). *Sumber nyata* (aki, generator, catu daya) dimodelkan, dalam [kesepakatan pembangkit](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), sebagai

$$
u = E - r\,i \quad (\text{model Thévenin: ggl ideal } E \text{ seri dengan } r)
$$

atau, secara setara, sebagai $i = I_N - u/r$ (model Norton: sumber arus ideal $I_N = E/r$ paralel dengan $r$); $r$ adalah *hambatan dalam*nya. $E$ adalah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) rangkaian terbukanya, dan $I_N = E/r$ arus hubung singkatnya.

**Proposisi 6.9 (Neraca daya sebuah sumber nyata).**

Sumber nyata $(E, r)$ yang memberi daya kepada [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ mengalirkan $i = E/(R + r)$ dan daya

$$
P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},
$$

yang maksimum dan sama dengan $E^2/4r$ ketika $R = r$ (*penyesuaian impedansi*), dengan efisiensi $P_R/(Ei) = R/(R + r)$, hanya $50\%$ pada maksimumnya.

**Bukti.** [Hukum loop](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): $E = ri + Ri$. $P_R = Ri^2$; turunkan $R/(R + r)^2$: $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$, yang nol pada $R = r$, positif sebelumnya dan negatif sesudahnya. Sumbernya memasok $Ei = (R + r)i^2$, yang $ri^2$ di antaranya memanaskan sumbernya sendiri. ∎

![Kiri: karakteristik sebuah sumber nyata (u = E - ri) dan sebuah beban resistif (u = Ri) bertemu di titik kerjanya. Kanan: daya yang diberikan kepada bebannya memuncak pada R = r, tempat separuh daya sumbernya terbuang di hambatannya sendiri.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-d6e8a70e1e0c.svg)

![Kiri: karakteristik sebuah sumber nyata (u = E - ri) dan sebuah beban resistif (u = Ri) bertemu di titik kerjanya. Kanan: daya yang diberikan kepada bebannya memuncak pada R = r, tempat separuh daya sumbernya terbuang di hambatannya sendiri.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-ef081915e244.svg)

*Kiri: karakteristik sebuah sumber nyata ($u = E - ri$) dan sebuah beban resistif ($u = Ri$) bertemu di [titik kerjanya](#met-b1-dc-circuits-loadline). Kanan: daya yang diberikan kepada bebannya memuncak pada $R = r$, tempat separuh daya sumbernya terbuang di hambatannya sendiri.*

**Contoh 6.10 (Aki mobil yang dibebani).**

Rangkaian terbuka $12.6\,\mathrm{V}$; $11.4\,\mathrm{V}$ selagi starternya menarik $120\,\mathrm{A}$: $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$, $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (karena itulah kunci pas yang terjatuh berbahaya setara mesin las). Beban tersesuaikan $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ akan mengambil $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ selama beberapa sekon — kira-kira sebesar kebutuhan sebuah motor starter.

**Catatan 6.11 (Dipol lain).**

Sebuah *dioda* menghantar hanya pada satu arah: model idealnya adalah rangkaian terbuka untuk $u < U_0$ dan [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) tetap $u = U_0$ (sekitar $0.7\,\mathrm{V}$ untuk silikon, $2\,$ sampai $3\,\mathrm{V}$ untuk LED) ketika ia menghantar. Lampu pijar adalah [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) yang $R$-nya tumbuh bersama suhunya, jadi bersama $i$ — karakteristik yang melengkung. Dalam keadaan tunak, kapasitor adalah rangkaian terbuka ($i = C\,\dd u/\dd t = 0$) dan induktor adalah hubung singkat ($u = L\,\dd i/\dd t = 0$); peranan keduanya dalam peralihan adalah [Bab 7](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/7-rezim-peralihan-orde-pertama-dan-orde-kedua#ch-b1-transient-regimes).

## 6.3 Perangkaian dan pembagi

**Proposisi 6.12 (Resistor seri dan paralel).**

[Resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) yang terangkai seri (arus sama) saling menjumlah: $R = R_1 + R_2 + \cdots$. [Resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) yang terangkai paralel ([tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) sama) menjumlahkan konduktansinya: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$; untuk dua buah, $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$, ditulis $R_1 \parallel R_2$.

**Bukti.** Seri: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ ([hukum loop](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)). Paralel: $i = i_1 +
i_2 = u/R_1 + u/R_2$ ([hukum simpul](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff)). ∎

**Proposisi 6.13 (Pembagi tegangan dan pembagi arus).**

Dua [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) yang terangkai seri pada [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u$ membaginya sebanding dengan hambatannya:

$$
u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .
$$

Dua [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) yang terangkai paralel dan dialiri arus $i$ membaginya berbanding terbalik:

$$
i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .
$$

**Bukti.** Seri: $i = u/(R_1 + R_2)$ dan $u_2 = R_2 i$. Paralel: $u = (R_1
\parallel R_2)\,i$ dan $i_2 = u/R_2$. ∎

![Pembagi tegangan (kiri): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). Pembagi arus (kanan): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — arusnya lebih menyukai hambatan yang lebih kecil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-246b3afb158f.svg)

*[Pembagi tegangan](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (kiri): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$. [Pembagi arus](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (kanan): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — arusnya lebih menyukai hambatan yang lebih kecil.*

**Catatan 6.14 (Membebani sebuah pembagi).**

Rumus pembaginya hanya berlaku bila tak ada yang menarik arus dari titik tengahnya. Beban $R_L$ yang dipasang melintasi $R_2$ menggantikan $R_2$ dengan $R_2
\parallel R_L$ dan menurunkan $u_2$ — itulah “efek pembebanan”, dan alasan sebuah voltmeter harus berhambatan tinggi sedangkan sebuah potensiometer harus berhambatan rendah dibandingkan dengan apa yang diberinya ([Latihan 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4)).

**Metode 6.15 (Menyederhanakan sebuah jaringan).**

Untuk mencari satu arus atau satu [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) dalam jaringan [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) dengan satu sumber:

1. mulailah jauh dari sumbernya, ganti kelompok seri dan paralelnya dengan setaranya sampai satu [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) tunggal berhadapan dengan sumbernya;
2. hitunglah arus sumbernya;
3. berjalanlah kembali, membelah arusnya dengan [pembagi arus](#prop-b1-dc-circuits-dividers) dan [tegangannya](#def-b1-dc-circuits-voltage) dengan [pembagi tegangan](#prop-b1-dc-circuits-dividers) , sampai ke cabang yang dicari.

Dengan beberapa sumber, atau untuk cabang yang tetangganya berubah, pakailah teorema subbab berikutnya.

## 6.4 Teorema untuk rangkaian linear

**Definisi 6.16 (Dipol linear, rangkaian linear).**

Sebuah dipol disebut *linear* bila karakteristiknya berupa garis lurus ([resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor), sumber ideal dan sumber nyata); rangkaian yang hanya tersusun dari dipol linear disebut *rangkaian linear*. Besaran yang belum diketahui di dalamnya menuruti sistem persamaan linear ([hukum Kirchhoff](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ditambah karakteristiknya), yang penyelesaiannya tunggal.

**Teorema 6.17 (Thévenin dan Norton).**

Dilihat dari dua ujungnya $A$ dan $B$, setiap [rangkaian linear](#def-b1-dc-circuits-linear) setara dengan sebuah sumber nyata: ggl $E_{\mathrm{Th}}$ yang terangkai seri dengan hambatan $R_{\mathrm{Th}}$ (Thévenin), atau [sumber arus](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N =
E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ yang terangkai paralel dengan $R_{\mathrm{Th}}$ (Norton), dengan

- $E_{\mathrm{Th}}$ adalah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) rangkaian terbuka $u_{AB}$ ;
- $I_N$ adalah arus hubung singkat dari $A$ ke $B$ ;
- $R_{\mathrm{Th}}$ adalah hambatan yang terlihat antara $A$ dan $B$ ketika setiap sumber bebasnya dimatikan ( [sumber tegangan](#def-b1-dc-circuits-sources) ideal diganti kawat, [sumber arus](#def-b1-dc-circuits-sources) ideal diganti rangkaian terbuka).

**Bukti sebagian.** Oleh kelinearannya, hubungan antara [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u_{AB}$ dan arus $i$ yang ditarik pada ujungnya bersifat afin: $u_{AB} = a - b\,i$. Menetapkan $i = 0$ mengenali $a = E_{\mathrm{Th}}$; menetapkan $u_{AB} = 0$ memberi $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$. Bahwa $b$ sama dengan hambatan yang terlihat ketika sumbernya dimatikan menyusul dari superposisi (di bawah): bagian $u_{AB}$ yang berasal dari arus luarnya saja adalah apa yang akan dihasilkan jaringan pasif berhambatan $R_{\mathrm{Th}}$. Bahwa setiap sistem linear mempunyai hubungan masukan–keluaran yang afin adalah aljabar persamaan linear. ∎

**Teorema 6.18 (Superposisi).**

Dalam [rangkaian linear](#def-b1-dc-circuits-linear) dengan beberapa sumber bebas, setiap arus atau [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) adalah jumlah nilai yang diambilnya ketika tiap sumbernya bekerja sendirian, sedangkan yang lain dimatikan.

**Bukti.** Persamaannya linear terhadap besaran yang dicari, dengan sumbernya sebagai ruas kanan; penyelesaiannya merupakan fungsi linear dari ruas kanan itu, sehingga merupakan jumlah penyelesaian tiap sumbernya secara terpisah. ∎

**Proposisi 6.19 (Teorema Millman).**

Sebuah simpul $N$ yang tersambung ke titik-titik berpotensial $V_1, \dots, V_n$ lewat hambatan $R_1, \dots, R_n$ (dan tidak ke apa pun yang lain) mempunyai potensial

$$
V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},
$$

yaitu rata-rata potensial tetangganya yang terbobot konduktansi.

**Bukti.** [Hukum simpul](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) di $N$: $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$; selesaikan untuk $V_N$. ∎

![Dua sumber yang memberi daya kepada beban bersama R_3. Dilihat dari ujung R_3, sisa rangkaiannya adalah sumber Thévenin (E_ Th, R_ Th); teorema Millman memberi potensial simpul N dalam satu baris.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-30434c8dc9c6.svg)

*Dua sumber yang memberi daya kepada beban bersama $R_3$. Dilihat dari ujung $R_3$, sisa rangkaiannya adalah sumber Thévenin ($E_{\mathrm{Th}}$, $R_{\mathrm{Th}}$); teorema Millman memberi potensial simpul $N$ dalam satu baris.*

**Contoh 6.20 (Tiga jalan menuju jawaban yang sama).**

Pada gambar, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $E_2 =
5.0\,\mathrm{V}$, $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$. *Millman*: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 =
6.25\,\mathrm{V}$. *Superposisi*: $E_1$ sendirian melihat $R_2 \parallel
R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$, sehingga $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$; $E_2$ sendirian melihat $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$, $u = 5 \times 0.667/2.667
= 1.25\,\mathrm{V}$; totalnya $6.25\,\mathrm{V}$. *Thévenin* dilihat dari $R_3$: $E_{\mathrm{Th}}$ adalah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) rangkaian terbuka pembaginya $(E_1, R_1, R_2, E_2)$: $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times
2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 =
0.667\,\mathrm{k}\Omega$; lalu $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$.

## 6.5 Titik kerja; jembatan Wheatstone

**Metode 6.21 (Titik kerja secara grafis).**

Dipol tak linear (berkarakteristik $i = g(u)$) yang diberi daya oleh sumber Thévenin $(E, R)$ mapan di tempat kedua hubungannya berlaku: lukislah karakteristik dipolnya dan *[garis beban](#met-b1-dc-circuits-loadline)* sumbernya $u = E - Ri$ pada sumbu yang sama; perpotongannya adalah *[titik kerja](#met-b1-dc-circuits-loadline)*nya. Merancang [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) seri sebuah LED, sebuah penstabil Zener atau prategangan sebuah transistor persis merupakan lukisan ini.

![Sebuah LED (ambangnya di dekat 2\, V) yang diberi daya oleh E = 5\, V lewat R = 200\,: garis bebannya u = E - Ri memotong karakteristik dioda pada 2.0\, V, 15\, mA. Menaikkan R memiringkan garisnya ke bawah dan meredupkan LED-nya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-7e90755c8415.svg)

*Sebuah LED (ambangnya di dekat $2\,\mathrm{V}$) yang diberi daya oleh $E = 5\,\mathrm{V}$ lewat $R = 200\,\Omega$: [garis bebannya](#met-b1-dc-circuits-loadline) $u = E - Ri$ memotong karakteristik dioda pada $2.0\,\mathrm{V}$, $15\,\mathrm{mA}$. Menaikkan $R$ memiringkan garisnya ke bawah dan meredupkan LED-nya.*

**Proposisi 6.22 (Jembatan Wheatstone).**

Empat [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_1, R_2$ (satu cabang) dan $R_3, R_4$ (cabang lainnya) melintasi sumber $E$; keluaran jembatannya adalah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) antara kedua titik tengahnya:

$$
u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),
$$

yang nol (jembatannya *setimbang*) jika dan hanya jika $R_1R_4 = R_2R_3$. Untuk jembatan setimbang yang $R_4$-nya diusik menjadi $R_4(1 + \epsilon)$, $\epsilon
\ll 1$, dan $R_3 = R_4$: $u \approx -E\epsilon/4$.

**Bukti.** Dua [pembagi tegangan](#prop-b1-dc-circuits-dividers); kurangkan. Kesetimbangannya: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 +
R_2)$, yaitu $R_2R_3 = R_1R_4$. Dengan $R_3 = R_4 = R$ dan $R_1 = R_2$: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 -
2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$. ∎

![Jembatan Wheatstone: dua pembagi berdampingan. Ketika setimbang, R_1R_4 = R_2R_3, ia mengubah perubahan mungil satu hambatan (pengukur regangan, termistor) menjadi tegangan di sekitar nol, yang jauh lebih mudah diperkuat daripada perubahan kecil sebuah tegangan besar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-bef8e1df3350.svg)

*[Jembatan Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone): dua pembagi berdampingan. Ketika setimbang, $R_1R_4 = R_2R_3$, ia mengubah perubahan mungil satu hambatan (pengukur regangan, termistor) menjadi [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) di sekitar nol, yang jauh lebih mudah diperkuat daripada perubahan kecil sebuah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) besar.*

## 6.6 Latihan

**Latihan 6.1 ★.**

Sebuah telepon mengisi daya pada $1.5\,\mathrm{A}$ selama satu jam: berapa muatan yang mengalir, dan berapa elektron? Taksirlah apakah [rezim kuasi-tunak](#def-b1-dc-circuits-arqs) berlaku bagi kabel rumah pada $50\,\mathrm{Hz}$, bagi rangkaian $10\,\mathrm{cm}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$, dan bagi rangkaian yang sama pada $1\,\mathrm{GHz}$.

**Solusi Latihan 6.1.**

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$, $N = 5400/1.6\times10^{-19} =
3.4 \times 10^{22}$ elektron. $c/f$: $6000\,\mathrm{km}$ pada $50\,\mathrm{Hz}$ (rumah: ya); $300\,\mathrm{m}$ pada $1\,\mathrm{MHz}$ (rangkaian $10\,\mathrm{cm}$: ya); $30\,\mathrm{cm}$ pada $1\,\mathrm{GHz}$, sebanding dengan $10\,\mathrm{cm}$: tidak.

**Latihan 6.2 ★.**

Sebuah pemanas $2000\,\mathrm{W}$ pada $230\,\mathrm{V}$: arusnya, hambatannya, dan energi yang dipakainya selama $3.0\,\mathrm{h}$ (dalam kWh dan dalam joule). Kabel tembaganya sepanjang $5.0\,\mathrm{m}$ berpenampang $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ($\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$): berapa daya yang hilang di dalam kabelnya?

**Solusi Latihan 6.2.**

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$; $E =
6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$. Kabelnya: satu penghantar $R = 1.7\times10^{-8}
\times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$, dua penghantar $0.11\,\Omega$: $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$.

**Latihan 6.3 ★.**

Dengan $10\,\Omega$, $20\,\Omega$ dan $30\,\Omega$: hitunglah hambatan ketiganya ketika terangkai seri, ketika terangkai paralel, dan hambatan $(10 \parallel 20) + 30$.

**Solusi Latihan 6.3.**

Seri $60\,\Omega$; paralel $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$, ditambah $30$: $36.7\,\Omega$.

**Latihan 6.4 ★.**

Sumber $12\,\mathrm{V}$ memberi daya kepada $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ dan $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ yang terangkai seri. Hitunglah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada $2.2\,\mathrm{k}\Omega$. Sebuah perangkat berhambatan $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ lalu dipasang melintasinya: berapa [tegangannya](#def-b1-dc-circuits-voltage) sekarang? Simpulkan tentang efek pembebanannya.

**Solusi Latihan 6.4.**

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$. Berbeban: $2.2 \parallel 2.2 =
1.1\,\mathrm{k}\Omega$, $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$: bebannya menarik pembaginya turun sebesar $40\%$ — sebuah pembagi hanya “membagi” bila ia memberi sesuatu yang jauh lebih tinggi hambatannya.

**Latihan 6.5 ★★.**

Sebuah aki terbaca $12.6\,\mathrm{V}$ ketika terbuka dan $11.4\,\mathrm{V}$ selagi memberi $120\,\mathrm{A}$. Carilah [hambatan dalam](#def-b1-dc-circuits-sources) dan arus hubung singkatnya, daya yang diberikan kepada starternya dan daya yang hilang di dalamnya, serta efisiensinya.

**Solusi Latihan 6.5.**

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$; $I_N = 12.6/0.010 =
1260\,\mathrm{A}$. Ke starternya $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$; hilang $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$; efisiensinya $1368/1512 = 90\%$.

**Latihan 6.6 ★★.**

Carilah setara Thévenin, dilihat dari ujung [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $2.2\,\mathrm{k}\Omega$, bagi pembagi pada [Latihan 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4) ($E = 12\,\mathrm{V}$, $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$). Pakailah untuk memperoleh kembali [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) berbeban pada latihan itu.

**Solusi Latihan 6.6.**

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (pembagi rangkaian terbuka); $R_{\mathrm{Th}}
= 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (sumbernya dihubungsingkatkan). Berbeban: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$.

**Latihan 6.7 ★★.**

Dua aki, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ($r_1 = 1.0\,\Omega$) dan $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ($r_2 = 2.0\,\Omega$), dipasang paralel (kutub sejenis) melintasi beban $2.0\,\Omega$. Carilah [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) bebannya dengan superposisi, lalu dengan Millman, dan arus pada tiap akinya. Apakah aki yang lebih lemah sedang diisi atau sedang mengosong?

**Solusi Latihan 6.7.**

Superposisi: $E_1$ sendirian melihat $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$, $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$; $E_2$ sendirian melihat $r_1 \parallel R
= 0.667\,\Omega$, $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$; totalnya $6.25\,\mathrm{V}$. Millman: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$. Aki 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ keluar; aki 2: $(5 - 6.25)/2
= -0.63\,\mathrm{A}$, yaitu $0.63\,\mathrm{A}$ *masuk* ke dalamnya — ia sedang diisi oleh aki yang lebih kuat; bebannya $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$.

**Latihan 6.8 ★★.**

Sebuah sumber $E = 9.0\,\mathrm{V}$, $r = 3.0\,\Omega$. Hitunglah daya yang diberikan kepada beban $1.0\,\Omega$, $3.0\,\Omega$, $12\,\Omega$, dan efisiensinya pada tiap kasus. Beban mana yang akan dipilih seorang insinyur untuk perangkat bertenaga baterai, dan mengapa bukan beban yang tersesuaikan?

**Solusi Latihan 6.8.**

$i = 9/(R + 3)$, $P = Ri^2$, $\eta = R/(R + 3)$: $1\,\Omega$: $5.1\,\mathrm{W}$, $25\%$; $3\,\Omega$: $6.75\,\mathrm{W}$, $50\%$; $12\,\Omega$: $4.3\,\mathrm{W}$, $80\%$. Perangkat bertenaga baterai menginginkan efisiensi (umur baterai), jadi $R \gg r$; beban yang tersesuaikan membuang separuh energinya sebagai kalor di dalam baterai.

**Latihan 6.9 ★★.**

Sebuah LED menghantar pada $2.0\,\mathrm{V}$ dan harus membawa $15\,\mathrm{mA}$ dari catu daya $5.0\,\mathrm{V}$. Pilihlah [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) serinya, hitunglah daya pada [resistornya](#def-b1-dc-circuits-resistor) dan pada LED-nya, lalu sketsalah lukisan [garis bebannya](#met-b1-dc-circuits-loadline). Apa yang terjadi jika catu dayanya $3.3\,\mathrm{V}$?

**Solusi Latihan 6.9.**

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$; $P_R = 3.0 \times 0.015 =
45\,\mathrm{mW}$, $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$. [Garis bebannya](#met-b1-dc-circuits-loadline) dari $(0, 25\,\mathrm{mA})$ ke $(5\,\mathrm{V}, 0)$ menemui karakteristik tegaknya pada $2.0\,\mathrm{V}$. Pada $3.3\,\mathrm{V}$ [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) yang sama hanya memberi $6.5\,\mathrm{mA}$; untuk $15\,\mathrm{mA}$ diperlukan $R = 1.3/0.015 =
87\,\Omega$.

**Latihan 6.10 ★★★.**

Sebuah pengukur regangan $R_4 = R(1 + \epsilon)$, $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, duduk dalam [jembatan Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) bersama tiga [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) tetap $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ melintasi $5.0\,\mathrm{V}$. Turunkan [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) keluarannya sampai orde pertama dalam $\epsilon$ lalu hitunglah untuk $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$. Mengapa jembatannya lebih disukai daripada mengukur [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pengukurnya dalam pembagi biasa?

**Solusi Latihan 6.10.**

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] =
-E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} =
-1.25\,\mathrm{mV}$. Dalam pembagi biasa perubahan yang sama duduk di atas simpangan $2.5\,\mathrm{V}$ ($2.501\,25\,\mathrm{V}$); jembatannya menyerahkan $1.25\,\mathrm{mV}$ di sekitar nol, yang dapat diperkuat seribu kali lipat tanpa menjenuhkan apa pun.

**Latihan 6.11 ★★★.**

Dua belas [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ yang serupa membentuk rusuk sebuah kubus. Dengan memakai kesetangkupan (simpul mana yang berpotensial sama ketika arus $I$ masuk lewat satu sudut dan keluar lewat sudut seberangnya), tunjukkan bahwa hambatan antara sudut yang berseberangan adalah $5R/6$.

**Solusi Latihan 6.11.**

Oleh kesetangkupannya, ketiga tetangga sudut masuknya berbagi satu potensial, dan ketiga tetangga sudut keluarnya berbagi potensial yang lain. Arus $I$ terbelah menjadi $I/3$ pada ketiga rusuk masuknya, masing-masing lalu menjadi dua $I/6$ menyusuri keenam rusuk tengahnya, yang bergabung kembali menjadi $I/3$ pada ketiga rusuk keluarnya. [Tegangannya](#def-b1-dc-circuits-voltage): $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$, sehingga $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$.

**Latihan 6.12 ★★★.**

[Sumber arus](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ yang terangkai paralel dengan $4.0\,\Omega$ disambungkan, lewat [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $2.0\,\Omega$, ke aki $6.0\,\mathrm{V}$ (hambatannya dapat diabaikan) yang gglnya berlawanan dengannya. Ubahlah sumber Nortonnya menjadi Thévenin lalu carilah arus pada [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $2.0\,\Omega$ dan daya yang dipertukarkan tiap sumbernya.

**Solusi Latihan 6.12.**

Thévenin: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ dengan $4.0\,\Omega$ terangkai seri. Loop: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$, $i = 0.33\,\mathrm{A}$ menuju akinya. Akinya menerima $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (sedang diisi); [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $2\,\Omega$ melesapkan $0.22\,\mathrm{W}$; [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada ujung pasangan Nortonnya adalah $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$, sehingga $4\,\Omega$ miliknya membawa $1.67\,\mathrm{A}$ dan melesapkan $11.1\,\mathrm{W}$, dan sumber arusnya memberi $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ — yang semuanya cocok.

![Di bawah kap mesin: aki 12\, V, kabel tebalnya dan alternatornya — jaringan arus searah pada soal akhir pekan, dengan ratusan ampere pada saat menghidupkan mesin.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/img-bd8366c9fe62.jpg)

*Di bawah kap mesin: aki $12\,\mathrm{V}$, kabel tebalnya dan alternatornya — jaringan arus searah pada soal akhir pekan, dengan ratusan [ampere](#def-b1-dc-circuits-current) pada saat menghidupkan mesin.*

## 6.7 Soal: Sistem kelistrikan sebuah mobil

**Soal 6.1.**

Soal akhir pekan — satu aki, sebuah starter, dua lampu depan, sebuah alternator dan beberapa meter tembaga: siapa yang mendapat arusnya, siapa yang membayarnya, dan mengapa lampunya meredup ketika mesinnya diengkol

Akinya adalah sumber nyata, ggl $E = 12.6\,\mathrm{V}$, [hambatan dalam](#def-b1-dc-circuits-sources) $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$. Tembaga: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$.

**Bagian I — Akinya sendirian.**

1. Lukislah [model Thévenin](#def-b1-dc-circuits-sources) lalu tuliskan $u(i)$ dalam [kesepakatan pembangkit](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .
2. Berikan [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) rangkaian terbukanya dan arus hubung singkatnya. Mengapa kunci pas yang terjatuh tak boleh menjembatani kutubnya?
3. Tuliskan [model Norton](#def-b1-dc-circuits-sources) aki yang sama.
4. Akinya memberi daya kepada [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ : nyatakan arusnya, [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada ujungnya, daya $P_R$ yang diberikan dan daya yang hilang di $r$ .
5. Tunjukkan bahwa $P_R$ maksimum untuk $R = r$ lalu hitunglah maksimum itu. Berapa efisiensinya ketika itu?
6. Seorang teknisi mengukur $u = 12.48\,\mathrm{V}$ pada $12\,\mathrm{A}$ dan $u = 11.40\,\mathrm{V}$ pada $120\,\mathrm{A}$ . Periksalah bahwa kedua titiknya terletak pada modelnya lalu jelaskan bagaimana deretan titik semacam itu memberi $E$ dan $r$ lewat pencocokan garis lurus.
7. Akinya menyimpan $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ . Berapa lama ia dapat menyalakan kedua lampu depan $55\,\mathrm{W}$ itu sendirian (ambil $12\,\mathrm{V}$ )? Berapa besar energinya dalam joule?

**Bagian II — Mengengkol dengan lampu menyala.** Starternya adalah [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$; tiap lampu depan berdaya $55\,\mathrm{W}$ pada $12.0\,\mathrm{V}$ dan diperlakukan sebagai [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor).

8. Hitunglah hambatan satu lampu depan dan hambatan keduanya ketika terangkai paralel.
9. Starter sendirian: arusnya, [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada ujungnya, daya pada starternya, dan daya yang hilang di akinya.
10. Starter dan kedua lampu depan bersama-sama: hambatan beban setaranya, arus totalnya, [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada ujungnya.
11. Pakailah [pembagi arus](#prop-b1-dc-circuits-dividers) untuk mencari arus starternya dan arus lampu depannya.
12. Hitunglah daya yang kini diterima tiap lampu depan lalu bandingkan dengan dayanya yang tertera: seberapa besar bagian lampunya meredup?
13. Jelaskan dalam dua kalimat, dengan memakai [hukum loop](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) , mengapa lampunya meredup justru karena starternya menarik arus yang besar.
14. Apakah kabel aki yang lebih tebal akan menolong lampunya? Berikan alasan kualitatif sekarang (Bagian IV menghitungnya).

**Bagian III — Mesin hidup: alternatornya.** Alternatornya adalah sumber nyata kedua, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$, $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$, yang terangkai paralel dengan akinya; starternya mati dan kedua lampu depannya menyala.

15. Lukislah rangkaiannya: dua sumber nyata dan beban lampu depannya terangkai paralel di antara dua simpul yang sama.
16. Terapkan teorema Millman untuk mencari [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) bersama pada ujungnya.
17. Simpulkan arus alternatornya, arus akinya (perhatikan tandanya) dan arus lampu depannya; periksalah [hukum simpulnya](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .
18. Apakah akinya sedang diisi atau sedang mengosong? Berapa daya yang diterimanya, dan berapa daya yang dipasok alternatornya?
19. Perolehlah kembali [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada ujungnya lewat superposisi (tiap sumber sendirian, yang lain diganti [hambatan dalamnya](#def-b1-dc-circuits-sources) ) lalu periksalah.

**Bagian IV — Sensor dan kawat.**

20. Sensor pendinginnya adalah termistor yang hambatannya turun dari $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ke $300\,\Omega$ pada $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; ia menjadi [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) bawah sebuah pembagi yang diberi $5.0\,\mathrm{V}$ , dengan [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) atasnya $R_0$ . Nyatakan [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) keluarannya, lalu hitunglah pada kedua suhu itu untuk $R_0 = 775\,\Omega$ .
21. Tunjukkan bahwa ayunan keluaran antara kedua suhu itu paling besar ketika $R_0$ merupakan rata-rata geometri kedua nilai sensornya, lalu periksalah nilai di atas.
22. Sensor yang sama dipasang dalam [jembatan Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) bersama tiga [resistor](#def-b1-dc-circuits-resistor) $775\,\Omega$ : tuliskan keluaran jembatannya lalu katakan pada suhu berapa ia setimbang.
23. Kabel starternya sepanjang $1.5\,\mathrm{m}$ untuk tiap arah. Hitunglah hambatan satu penghantar berpenampang $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , jatuh [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) totalnya pada $140\,\mathrm{A}$ , dan daya yang dilesapkan di kabelnya.
24. Sama untuk kabel $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : mengapa kabel starter setebal itu?
25. Ringkaslah: berikan [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada ujungnya selama pengengkolan, bagian daya yang mencapai starternya, dan satu hukum yang menjelaskan meredupnya lampu.

**Solusi Soal 6.1.**

**1.** Ggl ideal $E$ terangkai seri dengan $r$: $u = E - ri$.

**2.** $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$. Kunci pas yang melintasi kutubnya akan membawanya: $16\,\mathrm{kW}$ dalam beberapa gram baja — ia melebur dan menyembur.

**3.** [Sumber arus](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ terangkai paralel dengan $10\,\mathrm{m}\Omega$.

**4.** $i = E/(R + r)$; $u = ER/(R + r)$; $P_R = E^2R/(R + r)^2$; $P_r = E^2r/(R + r)^2$.

**5.** $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$: maksimum pada $R = r$, $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$; efisiensinya $R/(R + r) = 50\%$.

**6.** $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$; $12.6 - 0.010 \times
120 = 11.40\,\mathrm{V}$. Menggambarkan $u$ terhadap $i$ memberi garis lurus dengan perpotongan $E$ dan kemiringan $-r$ ([kuadrat terkecil](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#prop-b1-units-dimensions-regression), [Bab 1](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#ch-b1-units-dimensions)).

**7.** Dua lampu: $110\,\mathrm{W}$ pada $12\,\mathrm{V}$, $9.2\,\mathrm{A}$; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$. Energinya $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$.

**8.** $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$; terangkai paralel $1.31\,\Omega$.

**9.** $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$; hilang $0.010 \times 140^2 =
196\,\mathrm{W}$.

**10.** $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$; $i = 12.6/0.0854
= 148\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$.

**11.** $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$; $i_h =
8.5\,\mathrm{A}$ untuk kedua lampunya.

**12.** Tiap lampu: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ terhadap $55\,\mathrm{W}$: turun $14\%$.

**13.** [Hukum loop](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) pada ujungnya adalah $u = E - ri$; $140\,\mathrm{A}$ milik starternya menghasilkan jatuh [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) $1.4\,\mathrm{V}$ di dalam akinya, dan lampunya, yang terangkai paralel pada ujung yang sama, menerima [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) yang sudah berkurang itu.

**14.** Hanya sebagian: kabel yang lebih tebal memotong jatuh [tegangan](#def-b1-dc-circuits-voltage) di kabelnya, bukan di $r$; lampu yang diberi daya dari ujung akinya tetap melihat $E - ri$.

**15.** Tiga cabang di antara dua simpul yang sama: $(E, r)$, $(E_a, r_a)$ dan $R_h = 1.31\,\Omega$.

**16.** $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763}
= \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$.

**17.** Alternator $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$; aki $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (mengalir *masuk* ke dalamnya); lampu $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$; $28.3 = 18.6 + 9.8$.

**18.** Sedang diisi. Ia menerima $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ ($234\,\mathrm{W}$ tersimpan, $3.5\,\mathrm{W}$ menjadi kalor); alternatornya memasok $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ pada ujungnya.

**19.** Aki sendirian (alternator $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$): bebannya $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$, $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 =
10.44\,\mathrm{V}$. Alternator sendirian (aki $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$): bebannya $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$, $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 =
2.35\,\mathrm{V}$. Jumlahnya $12.79\,\mathrm{V}$.

**20.** $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$: $3.60\,\mathrm{V}$ pada $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1.40\,\mathrm{V}$ pada $90{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 +
R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$: $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} =
775\,\Omega$.

**22.** $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$, nol ketika $R_s =
775\,\Omega$, yaitu pada suhu pertengahan tempat termistornya mencapai nilai itu.

**23.** $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} =
1.6\,\mathrm{m}\Omega$ tiap penghantar, $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ seluruhnya; jatuh [tegangannya](#def-b1-dc-circuits-voltage) $0.0032
\times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$; dayanya $63\,\mathrm{W}$.

**24.** $4\,\mathrm{mm}^{2}$: $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ tiap penghantar, $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ seluruhnya: jatuh [tegangannya](#def-b1-dc-circuits-voltage) $1.8\,\mathrm{V}$, $250\,\mathrm{W}$ terbuang — starternya akan kehilangan seperenam [tegangannya](#def-b1-dc-circuits-voltage). Kabel tebal menjaga $R_{\text{kabel}} \ll R_s$.

**25.** Sekitar $11.1\,\mathrm{V}$ pada ujungnya selama pengengkolan; starternya menerima $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ daya akinya; meredupnya lampu adalah [hukum loop](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), $u = E - ri$.