---
title: "Rezim Peralihan: Orde Pertama dan Orde Kedua"
book: "Fisika Universitas — Tahun 1"
subject: physics
language: id
chapter: 7
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/7-rezim-peralihan-orde-pertama-dan-orde-kedua
---

# Bab 7 — Rezim Peralihan: Orde Pertama dan Orde Kedua

Tekanlah sudut sebuah mobil yang terparkir lalu lepaskan. Mobil yang sehat naik satu kali lalu berhenti; mobil dengan peredam kejut yang aus mengayun dua atau tiga kali sebelum tenang. Di laboratorium elektronika, dua perilaku yang sama muncul pada osiloskop ketika sebuah kapasitor mengosong lewat sebuah kumparan: kembali dengan mulus, atau berdering lalu padam. Keduanya adalah *peralihan* antara satu [keadaan tunak](#def-b1-transient-regimes-firstorder) dan [keadaan tunak](#def-b1-transient-regimes-firstorder) lainnya, dan keduanya menuruti keluarga kecil persamaan diferensial linear yang sama — orde pertama untuk satu penyimpan energi, orde kedua untuk dua penyimpan yang saling bertukar. Bab ini menyelesaikannya sekali untuk selamanya, menamai parameternya ([tetapan waktu](#def-b1-transient-regimes-firstorder), frekuensi alami, [faktor kualitas](#def-b1-transient-regimes-secondorder)), lalu memperlihatkan bagaimana angka yang sama menggambarkan sebuah rangkaian dan sebuah suspensi.

![Sebuah kumparan, sebuah kapasitor dan sebuah resistor di atas papan rangkai, dan pada osiloskopnya osilasi meluruh yang menyusul sebuah tangga: rezim pseudoperiodik bab ini.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/img-5618bb456d89.jpg)

*Sebuah kumparan, sebuah kapasitor dan sebuah [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) di atas papan rangkai, dan pada osiloskopnya osilasi meluruh yang menyusul sebuah tangga: [rezim pseudoperiodik](#thm-b1-transient-regimes-regimes) bab ini.*

## 7.1 Sistem orde pertama

**Definisi 7.1 (Sistem linear orde pertama).**

Besaran $x(t)$ menuruti *persamaan linear orde pertama berkoefisien tetap* bila

$$
\tau\,\frac{\dd x}{\dd t} + x = x_\infty ,
$$

dengan $\tau > 0$ sebagai *tetapan waktu* dan $x_\infty$ sebuah tetapan (nilai yang dipaksakan sumbernya). *Keadaan tunak*nya adalah $x = x_\infty$; *rezim peralihan*nya adalah pendekatan menuju keadaan itu dari nilai awal $x(0) = x_0$.

**Teorema 7.2 (Penyelesaian).**

Penyelesaian tunggal dengan $x(0) = x_0$ adalah

$$
x(t) = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\,\eu^{-t/\tau} .
$$

Selisih terhadap [keadaan tunaknya](#def-b1-transient-regimes-firstorder) menyusut dengan faktor $\eu^{-1} \approx
0.37$ tiap $\tau$: $63\%$ perjalanannya pada $\tau$, $95\%$ pada $3\tau$, $99\%$ pada $4.6\tau$. Garis singgung di titik asalnya mencapai $x_\infty$ pada $t = \tau$.

**Bukti.** $y = x - x_\infty$ menuruti $\tau y' + y = 0$, yang penyelesaiannya $y = K\eu^{-t/\tau}$ (kuliah matematika tentang persamaan diferensial linear membuktikan tak ada yang lain); $K = x_0 - x_\infty$. Kemiringannya di $0$ adalah $-(x_0 - x_\infty)/\tau$, yang akan menutup selisihnya dalam waktu $\tau$. ∎

![Tanggapan tangga orde pertama dari x_0 = 0: garis singgung awalnya menemui asimtotnya pada t =; 63\% perjalanannya pada , 95\% pada 3. Setiap peralihan orde pertama adalah kurva ini, teregang oleh dan tergeser oleh x_0 dan x_∈fty.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-e1ad58760d1d.svg)

*Tanggapan tangga orde pertama dari $x_0 = 0$: garis singgung awalnya menemui asimtotnya pada $t = \tau$; $63\%$ perjalanannya pada $\tau$, $95\%$ pada $3\tau$. Setiap peralihan orde pertama adalah kurva ini, teregang oleh $\tau$ dan tergeser oleh $x_0$ dan $x_\infty$.*

**Proposisi 7.3 (Rangkaian RC dan RL).**

Kapasitor $C$ yang diisi lewat [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ dari sumber ideal $E$ menuruti $RC\,\dd u_C/\dd t + u_C = E$: $\tau = RC$, $u_{C,\infty} = E$. Kumparan $L$ yang terangkai seri dengan $R$ melintasi $E$ menuruti $(L/R)\,\dd i/\dd t + i =
E/R$: $\tau = L/R$, $i_\infty = E/R$. Dengan sumbernya dilepas ($E \to 0$), persamaan yang sama menggambarkan pengosongan menuju nol.

**Bukti.** [Hukum loop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $E = Ri + u_C$ dengan $i = C\,\dd u_C/\dd t$; [hukum loop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $E = Ri + L\,\dd i/\dd t$. ∎

**Proposisi 7.4 (Syarat kekontinuan).**

[Tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) pada kapasitor dan arus lewat induktor merupakan fungsi waktu yang kontinu: pada saat penyaklaran $t_0$, $u_C(t_0^+) = u_C(t_0^-)$ dan $i_L(t_0^+) = i_L(t_0^-)$. Arus pada [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) dan [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) pada kumparan boleh melompat.

**Bukti.** Lompatan $u_C$ akan menuntut $i = C\,\dd u_C/\dd t$ tak hingga, lompatan $i_L$ akan menuntut $u = L\,\dd i/\dd t$ tak hingga; keduanya mustahil dalam rangkaian yang [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) dan arusnya berhingga (setara dengan itu, energi tersimpan $\tfrac12 Cu_C^2$ dan $\tfrac12 Li^2$ tak dapat berubah seketika tanpa daya tak hingga). ∎

**Metode 7.5 (Menyelesaikan peralihan orde pertama).**

1. Tuliskan [hukum loop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) dan [hukum simpulnya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) setelah saklarnya, beserta hukum komponennya; sederhanakan menjadi satu persamaan dalam $u_C$ atau $i_L$ lalu bawalah ke bentuk $\tau x' + x = x_\infty$ ; bacalah $\tau$ dan $x_\infty$ (yang terakhir juga merupakan [keadaan tunak](#def-b1-transient-regimes-firstorder) yang ditemukan dengan mengganti $C$ dengan rangkaian terbuka dan $L$ dengan kawat).
2. Carilah $x_0$ dari kekontinuan $u_C$ atau $i_L$ pada saat penyaklarannya, dengan memakai rangkaian *sebelum* saat itu.
3. Tuliskan $x = x_\infty + (x_0 - x_\infty)\eu^{-t/\tau}$ ; simpulkan besaran lainnya lewat penurunan dan [hukum loop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) .

Ketika kapasitornya menghadapi jaringan [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) dan sumber, gantilah jaringan itu lebih dulu dengan setara Thévenin-nya $(E_{\mathrm{Th}}, R_{\mathrm{Th}})$ ([Bab 6](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#ch-b1-dc-circuits)): $\tau = R_{\mathrm{Th}}C$, $u_\infty = E_{\mathrm{Th}}$.

**Proposisi 7.6 (Neraca energi pengisian RC).**

Ketika kapasitor diisi dari $0$ sampai $E$ lewat [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ apa pun, sumbernya memasok $CE^2$, kapasitornya menyimpan $\tfrac12 CE^2$, dan [resistornya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) melesapkan $\tfrac12 CE^2$ sisanya — berapa pun $R$-nya.

**Bukti.** $i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$; sumbernya memasok $\int_0^\infty Ei\,\dd t
= E \cdot (E/R)\tau = CE^2$; [resistornya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) mengambil $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t
= (E^2/R)\int_0^\infty \eu^{-2t/\tau}\dd t = (E^2/R)(\tau/2) = \tfrac12 CE^2$; selisihnya adalah $\tfrac12 CE^2$ yang tersimpan. $R$ yang lebih kecil melesapkan energi yang sama lebih cepat. ∎

**Contoh 7.7 (Kumparan sebuah relai).**

$L = 20\,\mathrm{mH}$, $R = 5.0\,\Omega$, $E = 10\,\mathrm{V}$: $\tau =
4.0\,\mathrm{ms}$, $i_\infty = 2.0\,\mathrm{A}$; kontaknya menarik ketika $i$ mencapai $1.5\,\mathrm{A}$, yaitu pada $t = -\tau\ln(1 - 0.75) =
5.5\,\mathrm{ms}$. Ketika rangkaiannya dibuka, $i$ harus jatuh dari $2\,\mathrm{A}$; dioda “roda bebas” yang dipasang melintasi kumparannya memberinya jalan lewat $R$ saja, $\tau = 4\,\mathrm{ms}$, alih-alih sebuah percikan.

## 7.2 Sistem orde kedua

**Definisi 7.8 (Bentuk baku orde kedua).**

Besaran $x(t)$ merupakan *sistem linear orde kedua* bila

$$
\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\,\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x
= \omega_0^2\,x_\infty ,
$$

dengan $\omega_0 > 0$ sebagai *[frekuensi sudut](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) alami*, $Q > 0$ sebagai *faktor kualitas* ([tak berdimensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#def-b1-units-dimensions-dimension)), dan $x_\infty$ sebagai [keadaan tunaknya](#def-b1-transient-regimes-firstorder). Orang juga menulis $\omega_0/Q = 2\xi\omega_0$ dengan $\xi = 1/2Q$ sebagai *nisbah peredaman*.

**Proposisi 7.9 (Rangkaian RLC seri).**

Kapasitor $C$, kumparan $L$ dan [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ yang terangkai seri melintasi sumber $E$: [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) kapasitornya menuruti bentuk bakunya dengan

$$
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad Q = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}},
\qquad u_{C,\infty} = E .
$$

**Bukti.** [Hukum loop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$ dengan $i = C\,\dd u_C/\dd t$: $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$; bagi dengan $LC$ lalu kenali $\omega_0^2 = 1/LC$, $\omega_0/Q = R/L$. ∎

![Dua wajah sistem orde kedua: rangkaian RLC seri (_0 = 1/√LC, Q = √L/C/R) dan sistem massa–pegas–peredam (_0 = √k/m, Q = √km/). Persamaan yang sama, ketiga rezim yang sama.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-835ccde5ccf2.svg)

*Dua wajah [sistem orde kedua](#def-b1-transient-regimes-secondorder): [rangkaian RLC](#prop-b1-transient-regimes-rlc) seri ($\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = \sqrt{L/C}/R$) dan sistem massa–pegas–peredam ($\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$). Persamaan yang sama, ketiga rezim yang sama.*

**Proposisi 7.10 (Osilator mekanik).**

Massa $m$ pada pegas berkekakuan $k$ dengan peredam kental berkoefisien $\alpha$ (gaya $-\alpha\dot x$), yang tersimpang sejauh $x$ dari kesetimbangannya, menuruti $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$: bentuk bakunya dengan

$$
\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}, \qquad Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} .
$$

Padanan $x \leftrightarrow q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow 1/C$ memetakan setiap hasil sistem yang satu ke sistem yang lain.

**Bukti.** Hukum kedua Newton ([Bab 12](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/12-hukum-dinamika-newton#ch-b1-newton-dynamics)) dengan gaya pegas $-kx$ dan gaya peredamnya; bagi dengan $m$. ∎

**Teorema 7.11 (Ketiga rezimnya).**

Penyelesaian persamaan homogen $x'' + (\omega_0/Q)x' +
\omega_0^2 x = 0$ diatur oleh akar $r^2 + (\omega_0/Q)r +
\omega_0^2 = 0$, yang berdiskriminan $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2 - 4)$:

- $Q < \tfrac12$ , *aperiodik* : dua akar real negatif $r_\pm = -\frac{\omega_0}{2Q}\big(1 \mp \sqrt{1 - 4Q^2}\big)$ , $x = A\eu^{r_+t} + B\eu^{r_-t}$ , kembali tanpa berosilasi;
- $Q = \tfrac12$ , *kritis* : akar kembar $r = -\omega_0$ , $x = (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$ , kembali paling cepat tanpa lonjakan lebih;
- $Q > \tfrac12$, *pseudoperiodik*: akar kompleks $r = -1/\tau \pm \iu\omega$ dengan $$\tau = \frac{2Q}{\omega_0}, \qquad  \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}},  \qquad  x = \eu^{-t/\tau}\big(A\cos\omega t + B\sin\omega t\big),$$ yaitu osilasi teredam ber*pseudoperiode* $T = 2\pi/\omega$ di dalam selubung $\pm\sqrt{A^2 + B^2}\,\eu^{-t/\tau}$.

Penyelesaian lengkap dengan ruas kanan tetap adalah $x_\infty$ ditambah penyelesaian homogennya; $A$ dan $B$ menyusul dari $x(0)$ dan $x'(0)$.

**Bukti.** Persamaan karakteristik sebuah persamaan linear berkoefisien tetap (kuliah matematika, persamaan linear orde kedua): akarnya adalah $r = -\omega_0/2Q \pm \tfrac12\sqrt\Delta$. Untuk $Q > \tfrac12$, $\sqrt\Delta = \iu\omega_0\sqrt{4 - 1/Q^2}$, yang memberi bagian real $-\omega_0/2Q = -1/\tau$ dan bagian imajiner $\pm\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$; penyelesaian realnya adalah kombinasi $\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$ dan $\eu^{-t/\tau}\sin\omega t$. ∎

![Tanggapan tangga sebuah sistem orde kedua dari keadaan diam, untuk tiga faktor kualitas. Q kecil: merayap lambat; Q = 1/2: kembali paling cepat tanpa lonjakan lebih; Q besar: dering yang bertahan sekitar Q osilasi.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-7a7fb830c821.svg)

*Tanggapan tangga sebuah [sistem orde kedua](#def-b1-transient-regimes-secondorder) dari keadaan diam, untuk tiga [faktor kualitas](#def-b1-transient-regimes-secondorder). $Q$ kecil: merayap lambat; $Q = \tfrac12$: kembali paling cepat tanpa lonjakan lebih; $Q$ besar: dering yang bertahan sekitar $Q$ osilasi.*

**Proposisi 7.12 (Membaca QQQ pada jejak pseudoperiodik).**

Dalam [rezim pseudoperiodik](#thm-b1-transient-regimes-regimes), dua maksimum berurutan bernisbah $x_{n+1}/x_n = \eu^{-T/\tau}$; *[dekremen logaritmik](#prop-b1-transient-regimes-decrement)*

$$
\delta = \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \frac{T}{\tau} = \frac{\pi}{Q\sqrt{1 - 1/4Q^2}}
\approx \frac{\pi}{Q} \quad (Q \gg 1)
$$

memberi $Q$; banyaknya osilasi yang terlihat sebelum [amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) jatuh di bawah $5\%$ kira-kira $Q$. Untuk $Q \gg 1$, $\omega \approx \omega_0$ dan $T \approx 2\pi/\omega_0$.

**Bukti.** Selubung $\eu^{-t/\tau}$ menyusut dengan faktor $\eu^{-T/\tau}$ tiap periodenya; $T/\tau = (2\pi/\omega)(\omega_0/2Q)$. Selubungnya mencapai $\eu^{-3}
\approx 5\%$ pada $3\tau = 6Q/\omega_0 \approx Q\,T$, yaitu setelah kira-kira $Q$ periode. ∎

![Peluruhan pseudoperiodik bebas, x = x_0 -t/ t: maksimum berurutannya menyusut dengan faktor tetap -T/, dan (x_n/x_n+1) = T/ π/Q mengukur faktor kualitasnya dari jejak itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-transient-regimes/fig-9bdad485c4bb.svg)

*Peluruhan pseudoperiodik bebas, $x = x_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega t$: maksimum berurutannya menyusut dengan faktor tetap $\eu^{-T/\tau}$, dan $\ln(x_n/x_{n+1}) = T/\tau \approx \pi/Q$ mengukur faktor kualitasnya dari jejak itu.*

**Contoh 7.13 (Dering sebuah RLC).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$: $\omega_0 = 1/\sqrt{10^{-9}} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f_0 =
5.03\,\mathrm{kHz}$), $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.16$: pseudoperiodik, $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$, $\omega = 0.987\,\omega_0$, $T = 0.20\,\mathrm{ms}$, tiga osilasi yang terlihat. Hambatan kritisnya adalah $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$; di atasnya pengosongannya aperiodik.

**Metode 7.14 (Menyelesaikan peralihan orde kedua).**

1. Tuliskan persamaannya; bawalah ke bentuk baku; bacalah $\omega_0$ , $Q$ dan $x_\infty$ .
2. Putuskan rezimnya dari $Q$ lalu tuliskan penyelesaian umumnya sebagai $x_\infty$ ditambah penyelesaian homogennya.
3. Carilah $x(0)$ dan $x'(0)$ dari kekontinuan $u_C$ dan $i_L$ (untuk RLC: $u_C(0^+) = u_C(0^-)$ dan $u_C'(0^+) = i(0^-)/C$ ); selesaikan untuk kedua tetapannya.

**Contoh 7.15 (Syarat awal).**

Kapasitor pada contoh sebelumnya diisi sampai $U_0$ lalu, pada $t = 0$, ditutup pada $L$ dan $R$ (tanpa sumber): $x_\infty = 0$, $u_C(0) = U_0$, $u_C'(0) = i(0)/C = 0$ karena arus kumparannya nol. Jadi $A = U_0$ dan $-A/\tau + B\omega = 0$, $B = U_0/(\omega\tau) =
U_0/\sqrt{4Q^2 - 1}$: $u_C = U_0\eu^{-t/\tau}[\cos\omega t + \sin(\omega
t)/\sqrt{4Q^2 - 1}]$ — untuk $Q \gg 1$ cukup $U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$, dan arusnya $i = -C\,\dd u_C/\dd t$ memuncak di dekat $U_0\sqrt{C/L} =
U_0/(\omega_0 L)$.

**Catatan 7.16 (Energi).**

Energi tersimpan $\tfrac12 Cu_C^2 + \tfrac12 Li^2$ (atau $\tfrac12 kx^2
+ \tfrac12 m\dot x^2$) berkurang dengan laju $Ri^2$ ($\alpha\dot x^2$): turunkan lalu pakai persamaannya. Tiap pseudoperiode energinya menyusut dengan faktor $\eu^{-2T/\tau}$; dengan $Q = 3$ sekitar $88\%$ di antaranya hilang tiap osilasi. $Q$ yang tinggi berarti kebocoran yang lambat relatif terhadap osilasinya — jam yang baik, resonansi yang tajam ([Bab 8](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/8-keadaan-tunak-sinusoidal-dan-impedansi#ch-b1-sinusoidal-impedance)) — dan $Q$ yang rendah berarti kembali dengan cepat: pilihan yang tepat bagi sebuah suspensi atau jarum sebuah alat ukur.

## 7.3 Latihan

**Latihan 7.1 ★.**

Sebuah [rangkaian RC](#prop-b1-transient-regimes-rcrl): $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 47\,\mathrm{nF}$, diisi dari $E$. Hitunglah $\tau$, $u_C(\tau)/E$, dan waktu untuk mencapai $99\%$ dari $E$.

**Solusi Latihan 7.1.**

$\tau = RC = 10^4 \times 47\times10^{-9} = 0.47\,\mathrm{ms}$; $u_C(\tau)/E
= 1 - \eu^{-1} = 0.63$; $99\%$: $\eu^{-t/\tau} = 0.01$, $t = \tau\ln 100
= 4.6\tau = 2.2\,\mathrm{ms}$.

**Latihan 7.2 ★.**

Sebuah [rangkaian RL](#prop-b1-transient-regimes-rcrl): $L = 20\,\mathrm{mH}$, $R = 5.0\,\Omega$, $E = 10\,\mathrm{V}$. Hitunglah $\tau$, arus akhirnya, arus pada $t = \tau$, dan [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) pada kumparannya tepat setelah saklarnya ditutup.

**Solusi Latihan 7.2.**

$\tau = L/R = 4.0\,\mathrm{ms}$; $i_\infty = E/R = 2.0\,\mathrm{A}$; $i(\tau) =
0.63 \times 2.0 = 1.26\,\mathrm{A}$; pada $0^+$, $i = 0$ (kekontinuan), jadi $u_L = E - Ri = 10\,\mathrm{V}$.

**Latihan 7.3 ★.**

Sebuah RLC seri: $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $R = 100\,\Omega$. Hitunglah $\omega_0$, $f_0$, $Q$; sebutkan rezimnya; berikan $\tau$ dan pseudoperiodenya.

**Solusi Latihan 7.3.**

$\omega_0 = 1/\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$; $Q = \sqrt{L/C}/R = 316/100 = 3.2 > \tfrac12$: pseudoperiodik; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.20\,\mathrm{ms}$; $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}
= 0.987\omega_0$, $T = 0.20\,\mathrm{ms}$.

**Latihan 7.4 ★.**

Untuk $L$ dan $C$ yang sama, hambatan berapa yang memberi [rezim kritis](#thm-b1-transient-regimes-regimes)? Berapa $Q$-nya ketika itu? Apa yang terjadi untuk $R = 2\,\mathrm{k}\Omega$?

**Solusi Latihan 7.4.**

$R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$, $Q = \tfrac12$. Pada $2\,\mathrm{k}\Omega$, $Q = 0.16$: aperiodik, rayapan lambat yang diatur akar kecilnya $\abs{r_+} \approx \omega_0 Q = 5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}^{-1}$ (skala waktunya $0.2\,\mathrm{ms}$ tetapi tanpa osilasi).

**Latihan 7.5 ★★.**

Sebuah kapasitor bermuatan $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ mengosong lewat $R$ yang belum diketahui; [tegangannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) berkurang separuh tiap $3.5\,\mathrm{ms}$. Tunjukkan bahwa waktu paruhnya adalah $\tau\ln 2$ lalu carilah $R$.

**Solusi Latihan 7.5.**

$u = U_0\eu^{-t/\tau}$ berkurang separuh ketika $\eu^{-t/\tau} = \tfrac12$: $t_{1/2}
= \tau\ln 2$. $\tau = 3.5/0.693 = 5.05\,\mathrm{ms}$, $R = \tau/C =
5.1\,\mathrm{k}\Omega$.

**Latihan 7.6 ★★.**

Tunjukkan lewat pengintegralan langsung bahwa mengisi kapasitor dari $0$ sampai $E$ lewat $R$ melesapkan tepat $\tfrac12 CE^2$ di $R$, bebas dari $R$. Menjadi berapa efisiensi pemindahannya, dan bagaimana orang dapat melakukannya lebih baik?

**Solusi Latihan 7.6.**

$i = (E/R)\eu^{-t/\tau}$: $\int_0^\infty Ri^2\,\dd t = (E^2/R)(\tau/2) =
\tfrac12 CE^2$, tanpa jejak $R$. Sumbernya memasok $CE^2$: efisiensinya $50\%$ untuk [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) apa pun. Lebih baik: isilah lewat sebuah induktor (arusnya lalu tak sebanding dengan selisih [tegangannya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage)) atau dalam beberapa tangga [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) — tiap tangga $E/n$ hanya kehilangan $\tfrac12 C(E/n)^2$.

**Latihan 7.7 ★★.**

Pada sebuah osiloskop, peluruhan bebas sebuah RLC memperlihatkan maksimum berurutan $2.0\,\mathrm{V}$, $1.5\,\mathrm{V}$, $1.12\,\mathrm{V}$ dengan selang $0.40\,\mathrm{ms}$. Simpulkan $Q$, $\omega_0$, dan, dengan $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$, nilai $L$ dan $R$.

**Solusi Latihan 7.7.**

$\delta = \ln(2.0/1.5) = 0.29$ (dan $\ln(1.5/1.12) = 0.29$: taat asas); $Q \approx \pi/\delta = 11$. $T = 0.40\,\mathrm{ms}$, sehingga $\omega_0 \approx
2\pi/T = 1.57 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (koreksi $1/8Q^2$ sebesar $0.1\%$). $L = 1/(\omega_0^2 C) = 4.1\,\mathrm{mH}$; $R = \omega_0 L/Q = 5.8\,\Omega$.

**Latihan 7.8 ★★.**

Sebuah kapasitor yang diisi sampai $U_0 = 100\,\mathrm{V}$ ($C = 10\,\text{µ}\mathrm{F}$) disaklarkan ke kumparan $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ yang hambatannya kecil ($Q \gg 1$). Tuliskan $u_C(t)$ dan $i(t)$, lalu taksirlah arus puncaknya. Di mana energinya berada pada puncak itu?

**Solusi Latihan 7.8.**

$u_C \approx U_0\eu^{-t/\tau}\cos\omega_0 t$; $i = -C\,\dd u_C/\dd t
\approx CU_0\omega_0\sin\omega_0 t$ (untuk $t \ll \tau$), puncaknya $U_0\sqrt{C/L}
= 100 \times 0.1 = 10\,\mathrm{A}$, dicapai seperempat periode setelah penutupannya, ketika $u_C = 0$: seluruh energinya ($\tfrac12 CU_0^2 = 50\,\mathrm{mJ}$) lalu bersifat magnetik, $\tfrac12 Li^2 = 50\,\mathrm{mJ}$.

**Latihan 7.9 ★★.**

Seperempat sebuah mobil: $m = 400\,\mathrm{kg}$ pada pegas $k = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Hitunglah $\omega_0$, $f_0$ dan koefisien peredaman kritisnya. Dengan peredam $\alpha = 2000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, berikan $Q$, rezimnya, pseudoperiodenya dan waktu peluruhannya $\tau$.

**Solusi Latihan 7.9.**

$\omega_0 = \sqrt{k/m} = 7.1\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 1.1\,\mathrm{Hz}$; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 2\sqrt{8\times10^6} = 5.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. $\alpha = 2000$: $Q = \sqrt{km}/\alpha = 2828/2000 = 1.4$, pseudoperiodik; $T = 2\pi/(\omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}) = 0.89/0.935 = 0.95\,\mathrm{s}$; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.40\,\mathrm{s}$.

**Latihan 7.10 ★★★.**

Sebuah kumparan $L = 0.50\,\mathrm{H}$ membawa $I_0 = 2.0\,\mathrm{A}$; sumbernya dilepas dan kumparannya dibiarkan pada [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) pembuang $R = 100\,\Omega$. Berikan $i(t)$, $\tau$, [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) puncak pada kumparannya dan energi yang dilesapkan. Apa yang akan terjadi tanpa [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) itu?

**Solusi Latihan 7.10.**

$i = I_0\eu^{-t/\tau}$, $\tau = L/R = 5.0\,\mathrm{ms}$; [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) puncaknya $RI_0 = 200\,\mathrm{V}$ pada $t = 0^+$; energi $\tfrac12 LI_0^2 = 1.0\,\mathrm{J}$ dilesapkan di $R$. Tanpa [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-resistor) itu arusnya tak punya jalan: $\dd i/\dd t$ menjadi raksasa, [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) kumparannya mencapai kilovolt, dan sebuah busur melompati saklarnya.

**Latihan 7.11 ★★★.**

Sebuah kapasitor $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ diisi dari $E = 12\,\mathrm{V}$ lewat $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ sementara $R_2 = 20\,\mathrm{k}\Omega$ terpasang melintasinya. Dengan memakai setara Thévenin, carilah [tetapan waktu](#def-b1-transient-regimes-firstorder) dan [tegangan](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#def-b1-dc-circuits-voltage) akhirnya; tuliskan $u_C(t)$ dari $u_C(0) = 0$.

**Solusi Latihan 7.11.**

Dilihat dari $C$: $E_{\mathrm{Th}} = ER_2/(R_1 + R_2) = 8.0\,\mathrm{V}$, $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 = 6.67\,\mathrm{k}\Omega$; $\tau =
R_{\mathrm{Th}}C = 6.7\,\mathrm{ms}$; $u_C = 8.0(1 - \eu^{-t/\tau})$ V.

**Latihan 7.12 ★★★.**

[Rezim kritis](#thm-b1-transient-regimes-regimes), tangga dari keadaan diam ($x(0) = x'(0) = 0$): tunjukkan bahwa $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$, lalu carilah secara numerik waktu untuk mencapai $95\%$ dari $x_\infty$ (dalam satuan $1/\omega_0$). Bandingkan dengan waktu mapan selubungnya untuk $Q = 5$ dan untuk akar lambatnya ketika $Q = 0.1$; simpulkan mengapa “kritis” menjadi sasaran para insinyur.

**Solusi Latihan 7.12.**

Akar kembar $-\omega_0$: $x = x_\infty + (A + Bt)\eu^{-\omega_0 t}$; $x(0) = 0$ memberi $A = -x_\infty$, $x'(0) = 0$ memberi $B = \omega_0 A$: $x = x_\infty[1 - (1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0 t}]$. $95\%$: $(1 + s)\eu^{-s} = 0.05$, $s \approx 4.7$: $t_{95} = 4.7/\omega_0$. Untuk $Q = 5$ selubung $\eu^{-t/\tau}$ dengan $\tau = 10/\omega_0$ memerlukan $3\tau = 30/\omega_0$; untuk $Q = 0.1$ akar lambatnya adalah $\abs{r_+} \approx
\omega_0 Q$ dan $3/\abs{r_+} = 30/\omega_0$. Keduanya enam kali lebih lambat: peredaman kritis adalah kembali tercepat tanpa lonjakan lebih, yang justru diinginkan sebuah alat ukur, penutup pintu atau suspensi.

## 7.4 Soal: Merancang sebuah suspensi

**Soal 7.1.**

Soal akhir pekan — persamaan diferensial yang sama di atas meja kerja dan di bawah sebuah mobil: berapa ayunan yang diizinkan peredam kejut yang aus, apa yang dipilih perancangnya sebagai gantinya, dan bagaimana satu angka membedakan keduanya

Bagian I mempelajari [rangkaian RLC](#prop-b1-transient-regimes-rlc) seri, $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{nF}$; Bagian II–IV mempelajari model seperempat mobil: massa $m = 350\,\mathrm{kg}$ yang bertumpu pada pegas $k = 22\,\mathrm{kN}/\mathrm{m}$ dan peredam kejut yang mengerahkan $-\alpha\dot x$. Lonjakan lebih tanggapan tangga dalam [rezim pseudoperiodik](#thm-b1-transient-regimes-regimes) (diberikan): $x_{\max}/x_\infty - 1 = \exp(-\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2})$, $\xi = 1/2Q$.

**Bagian I — Rangkaiannya.**

1. Tuliskan [hukum loop](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/6-rangkaian-arus-searah-hukum-dan-teorema-kirchhoff#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) untuk RLC seri melintasi sumber $E$ , dan persamaan diferensial untuk $u_C$ .
2. Bawalah ke bentuk baku; nyatakan $\omega_0$ dan $Q$ .
3. Hitunglah $\omega_0$ , $f_0$ dan hambatan kritisnya $R_c$ .
4. Tuliskan persamaan karakteristiknya dan diskriminannya; nyatakan ketiga rezimnya dalam $Q$ .
5. Dalam kasus pseudoperiodik, berikan $\tau$ dan $\omega$ serta bentuk $u_C(t)$ .
6. Untuk $R = 100\,\Omega$ hitunglah $Q$ , $\tau$ , pseudoperiodenya, dan banyaknya osilasi yang terlihat.
7. Kapasitornya, yang diisi sampai $U_0$ , disaklarkan ke $L$ dan $R$ pada $t = 0$ . Berikan $u_C(0^+)$ dan $\dd u_C/\dd t(0^+)$ , beserta alasan fisisnya masing-masing.

**Bagian II — Seperempat mobilnya.**

8. Dengan mengukur $x$ dari kedudukan kesetimbangannya, tuliskan hukum kedua Newton untuk bodinya lalu tunjukkan bahwa beratnya lenyap.
9. Bawalah persamaannya ke bentuk baku; berikan $\omega_0$ dan $Q$ dalam $m$ , $k$ , $\alpha$ , lalu daftarkan padanan elektromekaniknya.
10. Hitunglah $\omega_0$ , $f_0$ dan koefisien kritisnya $\alpha_c$ .
11. Perancangnya memasang $\alpha = 4000\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ : hitunglah $Q$ , $\xi$ , lalu sebutkan rezimnya.
12. Hitunglah $\tau$ dan pseudoperiodenya.
13. Hitunglah lonjakan lebihnya setelah sebuah tangga (tepi trotoar): apakah mobilnya nyaman?
14. Hambatan $R$ berapa yang akan memberi rangkaian Bagian I nilai $Q$ yang sama dengan suspensi ini?

**Bagian III — Peredam yang aus.** Olinya bocor: $\alpha = 1200\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

15. Hitunglah $Q$ , pseudoperiodenya dan $\tau$ .
16. Dengan faktor berapa maksimum berurutannya menyusut? Berapa ayunan yang terlihat sebelum [amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal) di bawah $5\%$ ?
17. Uji ayun: orang menekan sudutnya ke bawah sejauh $x_0 =  5.0\,\mathrm{cm}$ lalu melepaskannya. Berikan syarat awalnya, energi yang tersimpan di pegasnya, lalu katakan ke mana energi itu pergi.
18. Taksirlah kecepatan puncak bodinya selama kembalinya yang pertama ( $\approx x_0\omega_0$ untuk $Q \gg 1$ ) dan gaya puncak peredamnya.
19. Mengapa peredaman yang tepat kritis ( $Q = \tfrac12$ ) bukan pilihan perancangnya, walaupun ia tak memberi lonjakan lebih? (Pikirkan beberapa milimeter terakhir kembalinya.)
20. Hitunglah lonjakan lebih untuk peredam yang aus lalu bandingkan dengan Bagian II.

**Bagian IV — Mendiagnosis $Q$ dari sebuah jejak.** Sebuah akselerometer pada bodinya merekam peluruhan bebasnya.

21. Untuk mobil yang aus, maksimum berurutannya terbaca $1.00$ , $0.25$ , $0.062$ (satuan sebarang). Hitunglah [dekremen logaritmiknya](#prop-b1-transient-regimes-decrement) , simpulkan $\xi$ secara eksak dari $\delta = 2\pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$ , lalu $Q$ ; bandingkan dengan Bagian III.
22. Untuk mobil yang sehat tak ada maksimum kedua yang terlihat; hanya lonjakan lebihnya, $3.8\%$ , yang dapat dibaca. Balikkan rumus lonjakan lebihnya untuk mencari $\xi$ dan $Q$ .
23. Berapa bagian energi mekanik yang dilesapkan peredam yang aus itu tiap pseudoperiode?
24. Seorang teknisi yang tak punya mobil membangun RLC Bagian I dengan $R$ yang dipilih agar $Q = 2.3$ : berapa $R$ -nya, dan mengapa jejak osiloskopnya, yang digambarkan terhadap $\omega_0 t$ , sama bentuknya dengan jejak mobilnya?
25. Ringkaslah: bilangan [tak berdimensi](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/1-satuan-dimensi-dan-pengukuran#def-b1-units-dimensions-dimension) mana yang memutuskan bentuk sebarang peralihan orde kedua, nilai berapa yang dituju perancang suspensi, dan apa yang harus disimpulkan seorang pengemudi dari “lebih dari satu ayunan”.

**Solusi Soal 7.1.**

**1.** $E = L\,\dd i/\dd t + Ri + u_C$, $i = C\,\dd u_C/\dd t$: $LC\,u_C'' + RC\,u_C' + u_C = E$.

**2.** $u_C'' + (\omega_0/Q)u_C' + \omega_0^2u_C = \omega_0^2E$ dengan $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$, $Q = \sqrt{L/C}/R$.

**3.** $\omega_0 = 3.16 \times 10^{4}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 5.03\,\mathrm{kHz}$, $R_c = 2\sqrt{L/C} = 632\,\Omega$.

**4.** $r^2 + (\omega_0/Q)r + \omega_0^2 = 0$, $\Delta = \omega_0^2(1/Q^2
- 4)$: $Q < \tfrac12$ aperiodik, $Q = \tfrac12$ kritis, $Q > \tfrac12$ pseudoperiodik.

**5.** $\tau = 2Q/\omega_0$, $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$, $u_C = E + \eu^{-t/\tau}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$.

**6.** $Q = 3.16$, $\tau = 0.20\,\mathrm{ms}$, $T = 2\pi/\omega =
0.20\,\mathrm{ms}$, kira-kira tiga osilasi.

**7.** $u_C(0^+) = U_0$ ($u_C$ kontinu: arusnya berhingga); $u_C'(0^+) = i(0^+)/C = 0$ ($i_L$ kontinu dan nol sebelumnya).

**8.** $m\ddot x = -k(x + x_{\text{eq}}) - \alpha\dot x + mg$ dengan $kx_{\text{eq}} = mg$: $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$.

**9.** $\omega_0 = \sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$; $x \leftrightarrow
q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow
R$, $k \leftrightarrow 1/C$.

**10.** $\omega_0 = \sqrt{22000/350} = 7.93\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 =
1.26\,\mathrm{Hz}$; $\alpha_c = 2\sqrt{km} = 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

**11.** $Q = 2775/4000 = 0.69$, $\xi = 0.72$: pseudoperiodik, tepat di bawah kritis.

**12.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.18\,\mathrm{s}$; $\omega = \omega_0\sqrt{1
- \xi^2} = 5.5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 1.1\,\mathrm{s}$.

**13.** Lonjakan lebihnya $\exp(-\pi \times 0.72/0.69) = \exp(-3.3) = 3.8\%$: satu kenaikan kecil melewati kesetimbangannya, lalu selesai — nyaman.

**14.** $R = \sqrt{L/C}/Q = 316/0.69 = 455\,\Omega$.

**15.** $Q = 2775/1200 = 2.3$, $\xi = 0.22$; $\omega = 0.976\omega_0$, $T = 0.81\,\mathrm{s}$; $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.58\,\mathrm{s}$.

**16.** $\eu^{-T/\tau} = \eu^{-1.39} = 0.25$: tiap ayunan seperempat ayunan sebelumnya; $0.25^3 = 1.6\%$: tiga ayunan yang terlihat.

**17.** $x(0) = -x_0$, $\dot x(0) = 0$; energinya $\tfrac12 kx_0^2 =
0.5 \times 22000 \times 0.0025 = 28\,\mathrm{J}$, yang dilesapkan sebagai kalor di dalam oli peredamnya.

**18.** $v \approx x_0\omega_0 = 0.05 \times 7.93 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; gaya peredamnya $\alpha v \approx 1200 \times 0.40 = 480\,\mathrm{N}$.

**19.** Pada $Q = \tfrac12$ kembalinya berupa $(1 + \omega_0 t)\eu^{-\omega_0
t}$, yang merayap secara asimtotik: milimeter terakhirnya makan waktu lama. Sistem yang sedikit kurang teredam ($\xi \approx 0.7$) melonjak beberapa persen tetapi lebih cepat masuk dan tetap di dalam pita toleransinya.

**20.** $\exp(-\pi \times 0.22/0.976) = \exp(-0.70) = 50\%$, terhadap $3.8\%$: mobil yang aus mengayun separuh jalan melewati kesetimbangannya.

**21.** $\delta = \ln 4 = 1.39$ (dua kali, taat asas); $\xi =
\delta/\sqrt{4\pi^2 + \delta^2} = 1.39/6.43 = 0.215$, $Q = 1/2\xi = 2.3$: nilai yang aus itu.

**22.** $-\ln 0.038 = 3.27 = \pi\xi/\sqrt{1 - \xi^2}$, sehingga $\xi =
3.27/\sqrt{\pi^2 + 3.27^2} = 0.72$, $Q = 0.69$.

**23.** Energinya $\propto$ [amplitudo](https://one-course.com/books/physics/3/id/chapter/5-perambatan-sinyal-gelombang-berjalan-dan-gelombang-berdiri#def-b1-wave-propagation-signal)$^2$: bagian yang tersisa tiap periodenya $0.25^2 = 6\%$, sehingga $94\%$ dilesapkan tiap pseudoperiode.

**24.** $R = 316/2.3 = 137\,\Omega$. Dalam variabel $\omega_0 t$ persamaan bakunya hanya memuat $Q$: dua sistem dengan $Q$ yang sama menjejakkan kurva yang sama.

**25.** [Faktor kualitas](#def-b1-transient-regimes-secondorder) $Q$ (atau $\xi$) sendirian menetapkan bentuknya; perancang menuju $Q \approx 0.7$ ($\xi \approx 0.7$); lebih dari satu ayunan yang terlihat berarti $Q$ jauh di atas $1$: peredamnya aus.