---
title: "Eenheden, dimensies en meten"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/1-eenheden-dimensies-en-meten
---

# Hoofdstuk 1 — Eenheden, dimensies en meten

In een kelderlaboratorium zwaait een slinger, klikt een stopwatch en schrijft een student $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ op. Is dat de “juiste” waarde? Het handboek zegt $9.81$. Of die twee getallen overeenstemmen, of de proef goed was opgezet, welke stap haar begrensde — niets daarvan valt uit de cijfers alleen op te maken. Natuurkunde meet, en een meting zonder haar onzekerheid is een gerucht. Dit hoofdstuk legt de gemeenschappelijke taal van alle volgende hoofdstukken vast: eenheden, [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension), ordes van grootte en het eerlijke rekenwerk met onzekerheden.

![De Kibble-balans NIST-4, een van de instrumenten die de kilogram nu uit de constante van Planck realiseren: een massa wordt afgewogen tegen een elektromagnetische kracht die in elektrische eenheden wordt gemeten. Foto: J. L. Lee, NIST (publiek domein).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-4f0aff410783.jpg)

*De Kibble-balans NIST-4, een van de instrumenten die de kilogram nu uit de constante van Planck realiseren: een massa wordt afgewogen tegen een elektromagnetische kracht die in elektrische eenheden wordt gemeten. Foto: J. L. Lee, NIST (publiek domein).*

## 1.1 Het Internationale Stelsel van Eenheden

**Definitie 1.1 (Grootheid en eenheid).**

Een *natuurkundige grootheid* is een eigenschap die gemeten kan worden: een lengte, een tijdsduur, een massa, een stroom. Haar meten betekent haar vergelijken met een referentie van dezelfde soort, de *eenheid*: het resultaat is een getal maal een eenheid, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$. Het getal alleen betekent niets; de eenheid alleen meet niets.

**Definitie 1.2 (Basiseenheden van het SI).**

Het *Internationale Stelsel van Eenheden* (SI) berust op zeven *basiseenheden*: de seconde ($\mathrm{s}$), de meter ($\mathrm{m}$), de kilogram ($\mathrm{kg}$), de ampère ($\mathrm{A}$), de kelvin ($\mathrm{K}$), de mol ($\mathrm{mol}$) en de candela ($\mathrm{cd}$). Sinds 2019 wordt elk daarvan vastgelegd door de getalwaarde van een natuurconstante vast te leggen: de hyperfijnovergang van cesium $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ legt de seconde vast; de lichtsnelheid $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ legt vervolgens de meter vast; de constante van Planck $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ de kilogram; de elementaire lading $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ de ampère; de constante van Boltzmann $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ de kelvin; de constante van Avogadro $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ de mol; en een vaste lichtstroom per watt $K_{\mathrm{cd}}$ de candela. Elke andere [eenheid](#def-b1-units-dimensions-unit) is een *afgeleide eenheid*, een product van machten van basiseenheden: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$, $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$, $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$.

![De zeven basiseenheden (buitenste ring) en de zeven definiërende constanten (binnenste ring). Een vastgelegde constante bepaalt haar eenheid alleen samen met al vastgelegde eenheden (streepjes): c maakt van seconden meters, h heeft de meter en de seconde nodig om de kilogram vast te leggen, e heeft de seconde nodig voor de ampère.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-816ead3c3bb9.svg)

*De zeven basiseenheden (buitenste ring) en de zeven definiërende constanten (binnenste ring). Een vastgelegde constante bepaalt haar [eenheid](#def-b1-units-dimensions-unit) alleen samen met al vastgelegde eenheden (streepjes): $c$ maakt van seconden meters, $h$ heeft de meter en de seconde nodig om de kilogram vast te leggen, $e$ heeft de seconde nodig voor de ampère.*

**Opmerking 1.3 (Namen en symbolen).**

Eenheden die naar personen zijn genoemd worden voluit met een kleine letter geschreven (newton, joule, pascal) en met een hoofdletter als symbool ($\mathrm{N}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{Pa}$); voluit met een hoofdletter is het woord de persoon. Voorvoegsels schalen met machten van tien, van p ($10^{-12}$) via n, $\mu$, m, k, M, G tot T ($10^{12}$); de kilogram is de enige [basiseenheid](#def-b1-units-dimensions-si) met een voorvoegsel in haar naam.

**Voorbeeld 1.4 (Een afgeleide eenheid uitpakken).**

De volt: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$. De ohm: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$. De farad: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$. Zulk uitpakken is de veiligste controle of een formule goed is onthouden — de volgende paragraaf maakt er een systeem van.

## 1.2 Dimensieanalyse

**Definitie 1.5 (Dimensie).**

De *dimensie* van een grootheid $X$, genoteerd $[X]$, legt vast hoe $X$ uit de zeven basisgrootheden is opgebouwd, onafhankelijk van de gekozen eenheden: lengte $L$, massa $M$, tijd $T$, elektrische stroom $I$, temperatuur $\Theta$, hoeveelheid stof $N$, lichtsterkte $J$. Een snelheid heeft dimensie $[v] = L\,T^{-1}$, een kracht $[F] = M\,L\,T^{-2}$, een energie $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$. Een grootheid van dimensie $1$ (een hoek, een verhouding, een brekingsindex) heet *dimensieloos*.

**Stelling 1.6 (Beginsel van dimensionele homogeniteit).**

In een natuurwet hebben beide leden van een gelijkheid dezelfde [dimensie](#def-b1-units-dimensions-dimension), en elke term van een som heeft de [dimensie](#def-b1-units-dimensions-dimension) van het geheel. Het argument van een exponentiële functie, een logaritme, een sinus of een cosinus is [dimensieloos](#def-b1-units-dimensions-dimension).

**Bewijs.** De natuurwetten hangen niet af van de eenheden die mensen kiezen. De [lengte-eenheid](#def-b1-units-dimensions-unit) met een factor $\lambda$ veranderen vermenigvuldigt elke grootheid van [dimensie](#def-b1-units-dimensions-dimension) $L^a \cdots$ met $\lambda^{-a}$: een gelijkheid tussen termen van verschillende [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension) zou in het ene stelsel van eenheden gelden en in het andere falen. Voor een functie als $\exp$ telt de reeks $1 + x + x^2/2 + \dots$ machten van $x$ van verschillende [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension) op, tenzij $x$ [dimensieloos](#def-b1-units-dimensions-dimension) is. ∎

**Methode 1.7 (Een formule controleren).**

1. Schrijf de [dimensie](#def-b1-units-dimensions-dimension) van elk symbool op.
2. Herleid elk lid (elke term) tot een product $L^a M^b T^c \cdots$ .
3. Gelijke exponenten aan beide kanten: de formule *kan* kloppen. Ongelijke: zij is zeker fout — een ontbrekende factor $g$ , een gekwadrateerde grootheid die kaal hoort te zijn, een exponent met [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension) .

Een homogene formule kan nog altijd fout zijn op een dimensieloze factor na ($2$, $\pi$, $\tfrac12$): [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension) zien die nooit.

**Voorbeeld 1.8 (De periode van een slinger).**

Een slinger van lengte $\ell$ en massa $m$ zwaait in een zwaartekrachtveld $g$. Stel dat haar periode $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ is met $k$ [dimensieloos](#def-b1-units-dimensions-dimension). Dan is $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma =
L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, dus $\beta = 0$, $\gamma = -\tfrac12$, $\alpha = \tfrac12$:

$$
\tau = k\sqrt{\ell/g} .
$$

Zonder één bewegingsvergelijking op te lossen: de massa valt weg, en de lengte verdubbelen vermenigvuldigt de periode met $\sqrt2$. De dynamica ([Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/14-mechanische-oscillatoren-demping-en-resonantie#ch-b1-oscillators-resonance)) zal $k = 2\pi$ leveren voor kleine uitwijkingen.

**Propositie 1.9 (Dimensieloze groepen).**

Hangt een grootheid $Y$ af van $n$ grootheden $X_1, \dots, X_n$ waarin $r$ onafhankelijke basisdimensies voorkomen, dan kan het verband worden herschreven tussen $n + 1 - r$ dimensieloze combinaties van de $X_i$ en $Y$. Is $n + 1 - r = 1$, dan moet die ene combinatie constant zijn, en levert dimensieanalyse de wet op een getalfactor na.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 1.10 (De propositie gebruiken).**

De algemene vorm (de stelling van Vaschy en Buckingham) is een stuk lineaire algebra op de exponentvectoren. Wat hier telt is het recept: som de relevante grootheden op, tel de [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension), vorm de [dimensieloze groepen](#prop-b1-units-dimensions-pi). In [Voorbeeld 1.8](#ex-b1-units-dimensions-pendulum) is $n = 3$ ($\ell, m, g$) en $r = 3$ ($L, M, T$), zodat één groep $\tau\sqrt{g/\ell}$ bestaat, die dus constant moet zijn. De weerstandskracht op een bol met straal $R$ die met snelheid $v$ door een vloeistof van dichtheid $\rho$ en viscositeit $\eta$ beweegt, telt $n = 4$ grootheden en $r = 3$ [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension): twee groepen, $F/(\rho v^2 R^2)$ en $\rho v R/\eta$ (het getal van Reynolds), en [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension) alleen kunnen niet zeggen hoe de eerste van de tweede afhangt — daarvoor is de proef nodig.

## 1.3 Ordes van grootte

**Definitie 1.11 (Orde van grootte).**

De *orde van grootte* van een grootheid is de macht van tien die er het dichtst bij ligt: $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (de straal van de aarde) heeft orde van grootte $10^7$; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ heeft orde $10^3$; $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ ligt op een logaritmische schaal dichter bij $10^3$ dan bij $10^4$ (de grens ligt op $\sqrt{10} \approx 3.16$). Twee grootheden zijn “van dezelfde orde” wanneer hun verhouding onder ongeveer $3$ blijft.

**Methode 1.12 (Schatten).**

Om een grootheid te schatten die niemand voor je gemeten heeft:

1. splits haar in factoren die je elk op een factor $2$ of $3$ na kunt schatten;
2. schat elke factor, met één significant cijfer;
3. vermenigvuldig, en houd de macht van tien en één cijfer over.

Fouten in verschillende factoren heffen elkaar deels op; het resultaat klopt meestal op een factor $3$ tot $10$ na, en dat is vaak alles wat men nodig heeft om een hypothese te aanvaarden of te verwerpen.

**Voorbeeld 1.13 (De massa van de dampkring).**

De luchtdruk $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ is het gewicht van de luchtkolom boven één vierkante meter, $P_0 = m_{\text{kol}}\,g$, dus $m_{\text{kol}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ per vierkante meter. Het aardoppervlak is $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2
\approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; de dampkring weegt ongeveer $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$. De aanvaarde waarde is $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — de schatting had alleen $P_0$ en $R$ nodig.

**Definitie 1.14 (Significante cijfers).**

De *significante cijfers* van een geschreven getal zijn zijn cijfers vanaf het eerste dat niet nul is: $0.0820$ heeft er drie, $8.20 \times 10^{-2}$ dezelfde drie, $820$ is dubbelzinnig (twee of drie) tenzij het als $8.2 \times 10^{2}$ of $8.20 \times 10^{2}$ wordt geschreven. Een resultaat wordt geschreven met zoveel significante cijfers als zijn onzekerheid toestaat ([Methode 1.20](#met-b1-units-dimensions-writing) hieronder): niet “$g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$” als het vierde cijfer onbekend is.

## 1.4 Meetonzekerheid

**Definitie 1.15 (Meetgrootheid, fout, onzekerheid).**

De *meetgrootheid* is de grootheid die men wil meten. Een meting herhalen levert uiteenlopende waarden: de meting is *variabel*. De *fout* van één resultaat is zijn onbekende verschil met de ware waarde; de *standaardonzekerheid* $u(x)$ van een resultaat $x$ is de standaardafwijking van de waarden die men redelijkerwijs aan de meetgrootheid kan toeschrijven — een grootheid die men *wel* kan bepalen. Haar bronnen: de waarnemer (reactietijd, parallax), de omgeving (temperatuur, trillingen), het instrument (resolutie, ijking) en de methode (een model dat maar bij benadering waar is).

**Propositie 1.16 (Bepaling van type A).**

Uit $n$ onafhankelijke herhaalde waarden $x_1, \dots, x_n$ met gemiddelde $\bar x = \frac1n \sum x_i$ en experimentele standaardafwijking

$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},
$$

is de beste schatting van de [meetgrootheid](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) $\bar x$ en is haar [standaardonzekerheid](#def-b1-units-dimensions-uncertainty)

$$
u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .
$$

**Gedeeltelijk bewijs.** Dat $s$ de spreiding van één enkele meting schat, is de definitie van de experimentele standaardafwijking ($n - 1$ in plaats van $n$ omdat het gemiddelde zelf uit de gegevens is geschat). Dat het gemiddelde van $n$ onafhankelijke waarden $\sqrt n$ keer minder spreidt dan één waarde, is het optellen van varianties: de variantie van een som van $n$ onafhankelijke variabelen is $n$ maal die van één, zodat de variantie van het gemiddelde $s^2 n / n^2 = s^2/n$ bedraagt. De kansrekening van dit jaar bewijst beide uitspraken. ∎

![Vijftig metingen van dezelfde slingerperiode, in klassen van 0.01\, s. Hun spreiding is s 0.016\, s (één meting); het gemiddelde van de vijftig is bekend tot op s/√50 0.002\, s. De klokkromme is de gausskromme met hetzelfde gemiddelde en dezelfde spreiding.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-1a89f686a0b5.svg)

*Vijftig metingen van dezelfde slingerperiode, in klassen van $0.01\,\mathrm{s}$. Hun spreiding is $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (één meting); het gemiddelde van de vijftig is bekend tot op $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$. De klokkromme is de gausskromme met hetzelfde gemiddelde en dezelfde spreiding.*

**Propositie 1.17 (Bepaling van type B).**

Wordt een waarde één keer afgelezen, dan wordt haar onzekerheid bepaald uit wat men van het instrument weet. Kan de ware waarde overal tussen $x - a$ en $x + a$ liggen zonder voorkeur (een *uniforme* verdeling met halve breedte $a$), dan is

$$
u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .
$$

Voor een schaal met streepjes om de $\delta$ (halve breedte $a = \delta/2$) is $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$; hetzelfde geldt voor het laatste cijfer van een digitale aflezing. Een door de fabrikant opgegeven tolerantie “$\pm a$” wordt op dezelfde manier behandeld, tenzij het gegevensblad iets anders zegt.

**Bewijs.** De variantie van een uniforme verdeling op $[x - a, x + a]$ is $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3}
= \frac{a^2}{3}$; haar standaardafwijking is $a/\sqrt3$. ∎

![Een aflezing waarvan men alleen weet dat zij binnen ± a ligt: uniforme dichtheid 1/(2a), standaardafwijking a/√3 0.58\,a — kleiner dan a, omdat de uitersten niet waarschijnlijker zijn dan het midden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-234b77d50b7b.svg)

*Een aflezing waarvan men alleen weet dat zij binnen $\pm a$ ligt: uniforme dichtheid $1/(2a)$, standaardafwijking $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — kleiner dan $a$, omdat de uitersten niet waarschijnlijker zijn dan het midden.*

**Stelling 1.18 (Gecombineerde onzekerheid).**

Zij $y = f(x_1, \dots, x_n)$ berekend uit onafhankelijk gemeten waarden met standaardonzekerheden $u(x_i)$. Dan is

$$
u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .
$$

In het bijzonder:

- som of verschil $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
- product of quotiënt $y = x_1 x_2$ of $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2  + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
- macht $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

**Bewijs.** Voor kleine afwijkingen $\delta x_i$ geeft de taylorontwikkeling van eerste orde $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$. De afwijkingen zijn onafhankelijk en hebben gemiddelde nul, dus is de variantie van de som de som van de varianties, elk geschaald met het kwadraat van haar coëfficiënt — de getoonde formule. De bijzondere gevallen volgen: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ geeft $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$; deel door $y^2 = x_1^2 x_2^2$. Voor $y = kx^\alpha$ is $\partial y/\partial x = \alpha y/x$. ∎

**Voorbeeld 1.19 (De dichtheid van een cilinder).**

Een cilinder: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ($u = 0.01\,\mathrm{g}$), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.02\,\mathrm{mm}$), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.1\,\mathrm{mm}$). Met $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$ telt het kwadraat van de relatieve onzekerheid $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$, $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ en $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$ op: de diameter overheerst, want hij staat in het kwadraat en is tot op $0.17\%$ gemeten. $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}}
= 0.39\%$; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, dus $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — messing.

**Methode 1.20 (Een resultaat opschrijven).**

1. Rond de onzekerheid af op één significant cijfer (twee als het eerste $1$ of $2$ is).
2. Rond de waarde af op dezelfde decimaal.
3. Schrijf waarde en onzekerheid met de [eenheid](#def-b1-units-dimensions-unit) : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , of $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Houd *tijdens* de berekening extra cijfers aan; rond pas op het eind af.

**Definitie 1.21 (Genormaliseerde afwijking).**

Twee resultaten $x_1 \pm u_1$ en $x_2 \pm u_2$ van dezelfde [meetgrootheid](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) worden vergeleken via hun *genormaliseerde afwijking*

$$
z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .
$$

Zij zijn *verenigbaar* wanneer $z \leq 2$; een grotere $z$ wijst op een effect waarmee geen rekening is gehouden — of op een onderschatte onzekerheid. Is $x_2$ een referentiewaarde zonder opgegeven onzekerheid, neem dan $u_2 = 0$.

**Opmerking 1.22 (Waarom 2).**

Spreiden de twee resultaten gaussisch, dan heeft hun verschil standaardafwijking $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$, en een gaussische grootheid overschrijdt twee keer haar standaardafwijking in ongeveer $5\%$ van de gevallen. “$z \leq 2$” is een afspraak, geen stelling: zij verwerpt ruwweg één goede meting op twintig als vals verschil.

## 1.5 Een model aan meetgegevens aanpassen

**Propositie 1.23 (Kleinstekwadratenlijn).**

Zijn $n$ punten $(x_i, y_i)$ gegeven waarvan men $y = a x + b$ verwacht, dan heeft de rechte die de som van de gekwadrateerde verticale afstanden $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ minimaliseert

$$
a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2},
\qquad
b = \bar y - a\,\bar x .
$$

**Bewijs.** De som is een kwadratische functie van $(a, b)$; beide partiële afgeleiden nul stellen geeft twee lineaire vergelijkingen: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$, oftewel $\bar y = a \bar x + b$, en $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$. Vul $b$ in de tweede in en centreer de variabelen: dat levert $a$. De minimalisering zelf wordt in de wiskunde bij de functies van twee variabelen uitgevoerd. ∎

**Methode 1.24 (Een model grafisch toetsen).**

1. Kies variabelen die van de verwachte wet een rechte maken: $\tau^2$ tegen $\ell$ voor de slinger, $\ln y$ tegen $\ln x$ voor een machtswet $y = Cx^\alpha$ (richtingscoëfficiënt $\alpha$ ).
2. Zet de punten uit *met hun onzekerheidsstaven* .
3. Pas de rechte aan; het model is aanvaardbaar wanneer de staven de lijn omvatten zonder systematische trend in de residuen, en wanneer het snijpunt is wat het model voorspelt (hier nul).
4. Lees de natuurkunde af uit de richtingscoëfficiënt, met haar onzekerheid.

![2 tegen voor vijf slingerlengtes, met onzekerheidsstaven; de kleinstekwadratenlijn gaat binnen de onzekerheid door de oorsprong en haar richtingscoëfficiënt 4π2/g geeft g.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-56a516d0cd8b.svg)

*$\tau^2$ tegen $\ell$ voor vijf slingerlengtes, met onzekerheidsstaven; de kleinstekwadratenlijn gaat binnen de onzekerheid door de oorsprong en haar richtingscoëfficiënt $4\pi^2/g$ geeft $g$.*

**Voorbeeld 1.25 (ggg uit een richtingscoëfficiënt).**

De vijf punten van de figuur hebben $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$, $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$, en de sommen $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$, $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$: richtingscoëfficiënt $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, snijpunt $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$, verwaarloosbaar. Met $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ is $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

## 1.6 Oefeningen

**Oefening 1.1 ★.**

Druk de joule, de watt, de pascal en de coulomb in basiseenheden uit. Leid daaruit af dat $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ een [eenheid](#def-b1-units-dimensions-unit) van energie is.

**Oplossing van Oefening 1.1.**

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$. $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (de arbeid van drukkrachten, $P\,\dd V$).

**Oefening 1.2 ★.**

Geef de [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension) van een druk, een vermogen, een elektrische lading, een spanning, en van de constanten $G$ (in $F = Gm_1m_2/r^2$), $h$ (in $E = h\nu$) en $k_B$ (in $E = k_B T$).

**Oplossing van Oefening 1.2.**

Druk $M L^{-1} T^{-2}$; vermogen $M L^2 T^{-3}$; lading $I\,T$; spanning $=$ vermogen/stroom $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$. $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$.

**Oefening 1.3 ★.**

Zijn deze formules homogeen? $v = \sqrt{2gh}$; $E = \tfrac12 m v$; $P = \rho g h$ voor een druk; $x = v_0 t +
\tfrac12 g t^2$; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$.

**Oplossing van Oefening 1.3.**

$\sqrt{2gh}$: $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$, homogeen. $\tfrac12 mv$: $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$, geen energie. $\rho g h$: $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$, een druk. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$: beide termen $L$, homogeen. $2\pi\sqrt{g/\ell}$: $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — een frequentie, geen periode. $I_0\eu^{-t/RC}$: $RC$ in $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$, argument [dimensieloos](#def-b1-units-dimensions-dimension), homogeen.

**Oefening 1.4 ★.**

Een liniaal is in millimeters verdeeld; een digitale balans toont stappen van $0.01\,\mathrm{g}$; het gegevensblad van een voltmeter belooft “$\pm 0.5\%$ van de aflezing”. Geef de [standaardonzekerheid](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) van type B van een lengte van $12.7\,\mathrm{cm}$, een massa van $5.43\,\mathrm{g}$ en een aflezing van $4.80\,\mathrm{V}$.

**Oplossing van Oefening 1.4.**

Liniaal: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$, $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$. Balans: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$. Voltmeter: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$, $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$.

**Oefening 1.5 ★★.**

De snelheid $v$ van golven op een gespannen snaar hangt af van haar spankracht $F$ en van haar massa per [lengte-eenheid](#def-b1-units-dimensions-unit) $\mu$. Vind $v$ op een dimensieloze factor na. Dezelfde vraag voor de geluidssnelheid in een gas met druk $P$ en dichtheid $\rho$.

**Oplossing van Oefening 1.5.**

$v = k F^\alpha \mu^\beta$: $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$, dus $\alpha + \beta = 0$, $\alpha - \beta = 1$, $-2\alpha = -1$: $\alpha = \tfrac12$, $\beta = -\tfrac12$, $v = k\sqrt{F/\mu}$ (in feite $k = 1$). Geluid: $P/\rho$ heeft [dimensie](#def-b1-units-dimensions-dimension) $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$, dus $v = k\sqrt{P/\rho}$ ($k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ voor lucht).

**Oefening 1.6 ★★.**

Acht tijdmetingen van dezelfde val, in milliseconden: $452$, $447$, $461$, $455$, $449$, $458$, $444$, $454$. Bereken het gemiddelde, de experimentele standaardafwijking en de [standaardonzekerheid](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) van het gemiddelde; schrijf het resultaat op.

**Oplossing van Oefening 1.6.**

Som $= 3620\,\mathrm{ms}$, $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$. Afwijkingen $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$; de kwadraten sommeren tot $226$; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$. Resultaat: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$.

**Oefening 1.7 ★★.**

Een weerstand wordt gemeten als $R = U/I$ met $U = 4.80\,\mathrm{V}$, $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ en $I = 12.4\,\mathrm{mA}$, $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$. Bereken $R$ en $u(R)$; welke meting moet als eerste beter?

**Oplossing van Oefening 1.7.**

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$. Relatieve onzekerheden $0.03/4.80 =
0.63\%$ en $0.2/12.4 = 1.6\%$; gecombineerd $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$, $u(R) = 7\,\Omega$: $R = (387 \pm 7)\,\Omega$. De stroom overheerst — verbeter eerst de ampèremeter (of haar bereik).

**Oefening 1.8 ★★.**

Twee groepen meten de geluidssnelheid: $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Zijn ze verenigbaar? Een derde groep vindt $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: verenigbaar met de eerste? met de tweede?

**Oplossing van Oefening 1.8.**

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$: verenigbaar. Derde tegen eerste: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$: op de grens, net verenigbaar. Derde tegen tweede: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$: onverenigbaar — minstens een van beide heeft een systematische fout of een onderschatte onzekerheid.

**Oefening 1.9 ★★.**

Het volume van een bol wordt berekend uit zijn diameter $d = 25.40\,\mathrm{mm}$, gemeten met een schuifmaat, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$. Bereken $V$, zijn relatieve en absolute onzekerheid, en schrijf het resultaat op.

**Oplossing van Oefening 1.9.**

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$. $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$, $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$: $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$.

**Oefening 1.10 ★★★.**

Een bolletje met straal $R$ valt langzaam in een stroperige vloeistof; de weerstandskracht hangt af van $R$, van de snelheid $v$ en van de viscositeit $\eta$, van [dimensie](#def-b1-units-dimensions-dimension) $M L^{-1} T^{-1}$. Toon aan dat $F = k\,\eta R v$. Bij hoge snelheid hangt de weerstandskracht in plaats daarvan af van $R$, $v$ en de dichtheid $\rho$ van de vloeistof: vind de nieuwe wet. Schat voor een regendruppel ($R = 1\,\mathrm{mm}$, $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, lucht: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$) welk regime geldt door de twee schattingen te vergelijken.

**Oplossing van Oefening 1.10.**

$F = k\eta^a R^b v^c$: $M$: $a = 1$; $T$: $-a - c = -2$, $c = 1$; $L$: $-a + b + c = 1$, $b = 1$: $F = k\eta R v$ (Stokes, $k = 6\pi$). Met $\rho$ in plaats daarvan: $M$: $a = 1$; $T$: $-c = -2$, $c = 2$; $L$: $-3 + b + 2 = 1$, $b = 2$: $F = k\rho R^2 v^2$. Regendruppel: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx
1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 =
3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, driehonderd keer groter: het traagheidsregime (hoge snelheid) geldt — de verhouding $\rho v R/\eta \approx 330$ is het getal van Reynolds.

**Oefening 1.11 ★★★.**

Vier metingen van de spanning over een weerstand bij toenemende stromen: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$, $(4.0\,\mathrm{mA},
0.78\,\mathrm{V})$, $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$, $(8.0\,\mathrm{mA},
1.59\,\mathrm{V})$. Bereken de kleinstekwadratenrichtingscoëfficiënt en het snijpunt; leid $R$ af; is het snijpunt verenigbaar met nul als elke $U$ $u = 0.02\,\mathrm{V}$ draagt?

**Oplossing van Oefening 1.11.**

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$, $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$; afwijkingen in $I$: $-3, -1, 1, 3$; in $U$: $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$. $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$, $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$: $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$, $b = 1.000 - 0.199 \times 5 =
0.005\,\mathrm{V}$. Met $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ per punt ligt een snijpunt van $0.005\,\mathrm{V}$ ruim binnen de onzekerheid: verenigbaar met nul, de weerstand is ohms, $R \approx 199\,\Omega$.

**Oefening 1.12 ★★★.**

Bouw uit $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ en $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ met dimensieanalyse een lengte, een tijd en een massa (de planckeenheden). Bereken ze en vergelijk met de afmeting van een proton ($1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$) en met de massa van een mens.

**Oplossing van Oefening 1.12.**

$\ell = G^a h^b c^c$: $M$: $-a + b = 0$; $T$: $-2a - b - c = 0$; $L$: $3a + 2b + c = 1$. Dus $b = a$, $c = -3a$, $2a = 1$: $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}}
= 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}}
= 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$. De plancklengte ligt twintig ordes van grootte onder een proton; de planckmassa, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$, is een stofje — reusachtig voor een deeltje, nietig voor een mens ($10^9$ keer lichter).

![De grondstof van dit hoofdstuk: een schuifmaat, een stopwatch, een bal, een liniaal en een kolom herhaalde aflezingen die het nooit helemaal eens zijn.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-013d91118919.jpg)

*De grondstof van dit hoofdstuk: een schuifmaat, een stopwatch, een bal, een liniaal en een kolom herhaalde aflezingen die het nooit helemaal eens zijn.*

## 1.7 Probleem: $g$ meten met een slinger

**Probleem 1.1.**

Weekendopgave — een draad, een bol, een stopwatch en een meetlint: hoe goed kan een keukentafel het zwaartekrachtveld van de aarde meten, en welk van haar vier getallen is de zwakke schakel

Een slinger is een stalen bol die met een lichte draad aan een vast punt hangt; kleine uitwijkingen hebben periode $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, waarin $\ell$ de afstand is van het ophangpunt tot het middelpunt van de bol. Het doel is een waarde van $g$ met een verdedigbare onzekerheid.

**Deel I — Het model.**

1. Controleer de homogeniteit van $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
2. De bol heeft massa $m$ . Beargumenteer met [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension) alleen dat de periode niet van $m$ kan afhangen als zij alleen van $\ell$ , $g$ en $m$ afhangt.
3. De periode hangt ook, een beetje, af van de uitwijking $\theta_0$ van de zwaai. Waarom laat dimensieanalyse dit toe, en wat moet men proefondervindelijk doen om de formule bruikbaar te maken?
4. Druk $g$ uit als functie van $\ell$ en $\tau$ .

**Deel II — De lengte meten.** Het meetlint is in millimeters verdeeld; de draad is $99.0\,\mathrm{cm}$ lang van het ophangpunt tot de bovenkant van de bol, de diameter van de bol is $2.00\,\mathrm{cm}$, beide één keer afgelezen.

5. Bereken $\ell$ .
6. Bepaal de onzekerheid van type B van één aflezing op het meetlint.
7. Het ophangpunt en het middelpunt van de bol lokaliseren voegt naar schatting $\pm5\,\mathrm{mm}$ mogelijke fout toe (uniform). Combineer die met het vorige punt tot $u(\ell)$ , en geef de relatieve onzekerheid $u(\ell)/\ell$ .

**Deel III — De periode meten.** Om de invloed van de reactietijd te beperken klokt men tien perioden. Acht zulke metingen, in seconden: $20.12$, $20.05$, $20.18$, $20.09$, $20.15$, $20.02$, $20.11$, $20.08$.

8. Waarom tien perioden klokken in plaats van één? Waarom de meting acht keer herhalen?
9. Bereken het gemiddelde $\overline{t_{10}}$ en de experimentele standaardafwijking $s$ van de acht metingen.
10. Leid de [standaardonzekerheid](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) van het gemiddelde af, dan de periode $\tau$ en haar onzekerheid $u(\tau)$ .
11. Vergelijk $u(\tau)/\tau$ met $u(\ell)/\ell$ .

**Deel IV — Het resultaat en zijn zwakke plek.**

12. Bereken $g$ .
13. Schrijf $u(g)/g$ in termen van $u(\ell)/\ell$ en $u(\tau)/\tau$ , en bereken het.
14. Schrijf het resultaat in de standaardvorm op.
15. Vergelijk met de referentiewaarde $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ via de [genormaliseerde afwijking](#def-b1-units-dimensions-zscore) . Oordeel?
16. Welke van de twee gemeten grootheden begrenst de precisie van $g$ ? Stel twee concrete verbeteringen voor en zeg met hoeveel elk de relatieve onzekerheid zou verkleinen.
17. Stel dat door een slordige uitlijning elke lengte met $5\,\mathrm{mm}$ is overschat. Zit dat in de onzekerheidsbegroting? Welke naam draagt dit soort fout, en hoe zou men haar opsporen?

**Deel V — Vijf lengtes en een rechte.** De proef wordt herhaald voor $\ell = 0.400$, $0.600$, $0.800$, $1.000$ en $1.200\,\mathrm{m}$, wat $\tau^2 = 1.62$, $2.41$, $3.25$, $4.04$ en $4.84\,\mathrm{s}^{2}$ oplevert, elk met $u(\tau^2) \approx 1\%$.

18. Waarom $\tau^2$ tegen $\ell$ uitzetten in plaats van $\tau$ tegen $\ell$ ?
19. Bereken $\bar\ell$ en $\overline{\tau^2}$ .
20. Bereken de kleinstekwadratenrichtingscoëfficiënt $a$ en het snijpunt $b$ .
21. Leid $g$ af uit de richtingscoëfficiënt.
22. Duid het snijpunt: wat zou een duidelijk van nul verschillende $b$ verraden?
23. De aanpassing op de computer geeft $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . Leid $u(g)$ af en schrijf het resultaat op.
24. Vergelijk het resultaat uit Deel IV, met één lengte, met dit resultaat via de [genormaliseerde afwijking](#def-b1-units-dimensions-zscore) .
25. Een student stelt voor in plaats daarvan één zwaai van een slinger van $10\,\mathrm{m}$ in een trappenhuis te klokken, met hetzelfde meetlint en dezelfde stopwatch. Schat de relatieve onzekerheid op $g$ die dat zou opleveren, en trek een conclusie over de beste aanpak.

**Oplossing van Probleem 1.1.**

**1.** $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$.

**2.** $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ geeft $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, dus $\beta = 0$: geen combinatie van $\ell$ en $g$ kan een massa wegdelen.

**3.** $\theta_0$ is [dimensieloos](#def-b1-units-dimensions-dimension), zodat elke factor $f(\theta_0)$ onzichtbaar is voor [dimensies](#def-b1-units-dimensions-dimension). Houd de uitwijking klein (onder ongeveer $10^\circ$), waar $f \approx 1$ tot op beter dan $0.2\%$.

**4.** $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$.

**5.** $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$.

**6.** $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$.

**7.** Uitlijning: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$; gecombineerd $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — de aflezing op het lint is verwaarloosbaar. $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**8.** De fout door de reactietijd (ongeveer $0.1\,\mathrm{s}$) is dezelfde of men één dan wel tien perioden klokt, zodat haar effect op één periode tien keer kleiner is. Herhalen legt de spreiding bloot (vandaar $s$) en deelt de onzekerheid van het gemiddelde door $\sqrt8$.

**9.** Som $= 160.80\,\mathrm{s}$, $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$. Afwijkingen $0.02, -0.05, 0.08, -0.01, 0.05, -0.08, 0.01, -0.02$; de kwadraten sommeren tot $188 \times 10^{-4}$; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$.

**10.** $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$, $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$.

**11.** $u(\tau)/\tau = 0.09\%$, drie keer kleiner dan $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**12.** $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 =
9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**13.** $g \propto \ell\,\tau^{-2}$: $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2
+ \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\%
= 0.34\%$.

**14.** $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**15.** $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$: verenigbaar.

**16.** De lengte ($0.29\%$ tegen $0.18\%$ voor de periodeterm). Beide uiteinden tot op $\pm1\,\mathrm{mm}$ lokaliseren brengt $u(\ell)/\ell$ op $0.06\%$ en $u(g)/g$ op $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$; de lengte verdubbelen halveert $u(\ell)/\ell$ en verlengt $\tau$, wat beide termen helpt. Twintig perioden klokken in plaats van tien halveert alleen de periodeterm: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — een kleine winst zolang de lengte de flessenhals is.

**17.** Nee: een verschuiving die alle aflezingen gemeen hebben is een *systematische fout* (een bias); de begroting dekt toevallige spreiding en opgegeven toleranties, geen constante verschuiving. Zij wordt opgespoord door van methode of instrument te veranderen, of — Deel V — door een van nul verschillend snijpunt van de lijn $\tau^2$–$\ell$.

**18.** $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ is een rechte door de oorsprong: lineariteit en het nulsnijpunt zijn allebei te toetsen met het oog en met [kleinste kwadraten](#prop-b1-units-dimensions-regression); $\tau \propto \sqrt\ell$ niet.

**19.** $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 =
3.232\,\mathrm{s}^{2}$.

**20.** Afwijkingen in $\ell$: $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$; in $\tau^2$: $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$. Kruissom $= 1.614$, $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$: $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$.

**21.** $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**22.** $b \approx 0$, zoals het model voorspelt. Een duidelijk van nul verschillende $b$ zou een systematische verschuiving $\delta$ in elke lengte verraden ($\tau^2 = a(\ell_{\text{gem}} - \delta)$ geeft $b = -a\delta$), bv. een verkeerd geplaatst middelpunt van de bol — of een uitwijkingseffect.

**23.** $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$, $u(g) =
0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**24.** $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$: volledig verenigbaar. De ene zorgvuldige meting is nauwkeuriger; de lijn bevestigt het model en beschermt tegen een lengteverschuiving.

**25.** $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$; één zwaai geklokt met een reactietijd van ongeveer $0.2\,\mathrm{s}$ geeft $u(\tau)/\tau \approx
3\%$, dus $u(g)/g \approx 6\%$, terwijl $u(\ell)/\ell$ tot $0.03\%$ daalt: twintig keer slechter dan Deel IV. De winst op de lengte gaat verloren door één periode te klokken. Beste aanpak: lange slinger *en* veel perioden, herhaald — tien zwaaien van de slinger van $10\,\mathrm{m}$, acht keer, geeft $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ en $u(g)/g \approx 0.07\%$.