---
title: "Niet-inertiaalstelsels; dynamica op aarde"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/18-niet-inertiaalstelsels-dynamica-op-aarde
---

# Hoofdstuk 18 — Niet-inertiaalstelsels; dynamica op aarde

Staand in een bus die naar links draait helt u naar rechts over, geduwd door een kracht die niemand uitoefent. Een emmer water op een draaischijf holt zijn oppervlak uit tot een schaal. Onder de koepel van een museum zwaait een slinger urenlang, en de lijn van zijn zwaai kruipt langzaam rond, enkele graden per uur, alsof een onzichtbare hand haar draaide. Geen van deze is een nieuwe kracht: het is hoe de [wetten van Newton](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#thm-b1-newton-dynamics-laws) eruitzien wanneer het stelsel waarin men de beweging beschrijft zelf versnelt of draait. Dit hoofdstuk laat zien hoe snelheden en versnellingen tussen stelsels transformeren, hoe de wetten van de dynamica worden hersteld door *[schijnkrachten](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)* toe te voegen, en wat die krachten doen op het belangrijkste [roterende stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-frames) van alle — de aarde.

![De slinger van Foucault in het Panthéon in Parijs, waar hij in 1851 voor het eerst werd opgehangen: 67\, m draad, een gewicht van 28\, kg, en een zwaaivlak dat ten opzichte van de vloer draait. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-non-inertial-frames/img-1a8e4a77e632.jpg)

*De [slinger van Foucault](#prop-b1-non-inertial-frames-foucault) in het Panthéon in Parijs, waar hij in 1851 voor het eerst werd opgehangen: $67\,\mathrm{m}$ draad, een gewicht van $28\,\mathrm{kg}$, en een zwaaivlak dat ten opzichte van de vloer draait. Foto: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.*

## 18.1 Van stelsel wisselen: kinematica

**Definitie 18.1 (Relatieve beweging; translerend en roterend stelsel).**

Zij $\mathcal R$ een stelsel (oorsprong $O$) en $\mathcal R'$ een ander (oorsprong $O'$) dat er ten opzichte van beweegt. $\mathcal R'$ *transleert* als zijn assen vaste richtingen houden in $\mathcal R$ (elk punt van $\mathcal R'$ heeft de snelheid van $O'$); het *roteert om een vaste as* $\Delta$ als $\Delta$ in beide stelsels vastligt en $\mathcal R'$ er met de hoeksnelheid $\Omega(t)$ omheen draait. De snelheid en de versnelling van een punt $M$ *ten opzichte van* $\mathcal R'$, $\vect v'$ en $\vect a'$, zijn die welke een waarnemer die stilstaat in $\mathcal R'$ meet.

**Stelling 18.2 (Samenstelling van snelheden en versnellingen).**

- $\mathcal R'$ translerend met snelheid $\vect v_{O'}$ en versnelling $\vect a_{O'}$: $$\vect v = \vect v' + \vect v_{O'}, \qquad \vect a = \vect a' + \vect a_{O'} .$$
- $\mathcal R'$ roterend om de vaste as $\Delta$ met $\Omega$ (vector $\vect\Omega = \Omega\vect e_z$ langs de as); $H$ de projectie van $M$ op de as: $$\vect v = \vect v' + \vect\Omega\wedge\vect{HM}, \qquad  \vect a = \vect a' + \underbrace{\big(-\Omega^2\vect{HM} + \dot\Omega\,\vect e_z\wedge\vect{HM}\big)}_{\vect a_e}  + \underbrace{2\vect\Omega\wedge\vect v'}_{\vect a_C} .$$

$\vect a_e$ is de *[meesleepversnelling](#thm-b1-non-inertial-frames-composition)* (de versnelling van het punt van $\mathcal R'$ dat met $M$ samenvalt: bij eenparige rotatie centripetaal naar de as toe), $\vect a_C = 2\vect\Omega\wedge\vect v'$ de *[coriolisversnelling](#thm-b1-non-inertial-frames-composition)*, die alleen bestaat wanneer $M$ ten opzichte van het [roterende stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-frames) beweegt.

**Bewijs.** Translatie: $\vect{OM} = \vect{OO'} + \vect{O'M}$ met de componenten van $\vect{O'M}$ in de gemeenschappelijke basis; differentieer twee keer. Rotatie: gebruik [cilindercoördinaten](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-cylindrical) om $\Delta$ in $\mathcal R$, $(r, \theta, z)$, en in $\mathcal R'$, $(r, \theta', z)$ met $\theta = \theta' + \int\Omega\,\dd t$. Dan geeft [Stelling 11.7](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) in $\mathcal R$ met $\dot\theta = \dot\theta' + \Omega$: $\vect v = \dot r\vect e_r + r(\dot\theta' + \Omega)\vect e_\theta + \dot z\vect e_z
= \vect v' + r\Omega\vect e_\theta$, en $r\Omega\vect e_\theta = \vect\Omega\wedge\vect{HM}$. Voor de versnelling, $\ddot\theta = \ddot\theta' + \dot\Omega$: $\vect a = [\ddot r - r(\dot\theta' + \Omega)^2]\vect e_r + [r(\ddot\theta' + \dot\Omega)
+ 2\dot r(\dot\theta' + \Omega)]\vect e_\theta + \ddot z\vect e_z$; uitwerken en groeperen geeft $\vect a = \vect a' - r\Omega^2\vect e_r + r\dot\Omega\vect e_\theta
+ 2\Omega(-r\dot\theta'\vect e_r + \dot r\vect e_\theta)$, en de laatste haakjes zijn $2\vect\Omega\wedge\vect v'$ omdat $\vect e_z\wedge\vect e_r = \vect e_\theta$, $\vect e_z\wedge\vect e_\theta = -\vect e_r$. ∎

**Voorbeeld 18.3 (Lopen op een draaischijf).**

[Oefening 11.12](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#exo-b1-point-kinematics-12) berekende de versnelling van iemand die met $u$ radiaal loopt op een draaischijf die met $\Omega$ draait: $-ut\Omega^2\vect e_r
+ 2u\Omega\vect e_\theta$. In de nieuwe taal: relatieve versnelling nul, meesleep $-r\Omega^2\vect e_r$, Coriolis $2\vect\Omega\wedge u\vect e_r = 2u\Omega\vect e_\theta$.

## 18.2 Dynamica in een niet-inertiaalstelsel: schijnkrachten

**Stelling 18.4 (De wet van Newton in een niet-inertiaalstelsel).**

In een stelsel $\mathcal R'$ dat niet inertiaal is, voldoet de beweging van een [puntmassa](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-frame) aan

$$
m\vect a' = \sum\vect F + \vect F_e + \vect F_C, \qquad
\vect F_e = -m\vect a_e, \qquad \vect F_C = -m\vect a_C = -2m\vect\Omega\wedge\vect v' :
$$

De tweede wet van Newton geldt mits men bij de werkelijke krachten de *[meesleepkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)* optelt (voor een eenparig [roterend stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-frames) de *[centrifugaalkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)* $+m\Omega^2\vect{HM}$, van de as af gericht; voor een [translerend stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-frames) $-m\vect a_{O'}$) en de *[corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)*. Deze *[schijnkrachten](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)* zijn geen wisselwerkingen: geen enkel lichaam oefent ze uit, zij hebben geen reactie, en zij verdwijnen in een inertiaalstelsel.

**Bewijs.** $m\vect a = \sum\vect F$ in het inertiaalstelsel $\mathcal R$; vul $\vect a = \vect a' + \vect a_e + \vect a_C$ in en breng de twee termen naar rechts. ∎

**Voorbeeld 18.5 (De overhellende passagier, het schietlood).**

In een bus die remt met $a = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ondervindt een hangende lus, in het stelsel van de bus, de zwaartekracht plus een voorwaartse [schijnkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) $ma$: hij hangt langs de *schijnbare zwaartekracht* $\vect g' = \vect g - \vect a_{O'}$, naar voren gekanteld over $\arctan(a/g) = 17^\circ$. Een passagier die stil wil blijven staan moet in die schijnbare verticaal gaan hangen. In een lift die vrij valt is $\vect g' = \vect 0$: gewichtloosheid, van binnenuit gezien.

![Schijnkrachten. Links: in een remmende bus hangt het schietlood langs de schijnbare zwaartekracht g - a_O', naar voren gekanteld. Rechts: in een stelsel dat met draait ondervindt een puntmassa een centrifugaalkracht van de as af en, als zij beweegt, een corioliskracht loodrecht op haar relatieve snelheid.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-non-inertial-frames/fig-21e0aa66b1de.svg)

*[Schijnkrachten](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics). Links: in een remmende bus hangt het schietlood langs de schijnbare zwaartekracht $\vect g - \vect a_{O'}$, naar voren gekanteld. Rechts: in een stelsel dat met $\Omega$ draait ondervindt een [puntmassa](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-frame) een [centrifugaalkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) van de as af en, als zij beweegt, een [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) loodrecht op haar relatieve snelheid.*

**Voorbeeld 18.6 (De draaiende emmer).**

Water in een emmer die met $\Omega$ om zijn verticale as draait is in rust in het meedraaiende stelsel, onder de zwaartekracht en de [centrifugaalkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics): zijn vrije oppervlak staat loodrecht op de schijnbare zwaartekracht $\vect g' = -g\vect e_z +
\Omega^2r\vect e_r$ (het oppervlak van een vloeistof in rust staat loodrecht op het veld, [Hoofdstuk 21](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/21-hydrostatica#ch-b1-fluid-statics)). De helling is $\dd z/\dd r = \Omega^2r/g$, dus $z = \Omega^2r^2/2g$: een paraboloïde. Bij $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ staat de rand van een emmer van $10\,\mathrm{cm}$ $5\,\mathrm{cm}$ boven het midden — het beginsel van de telescoop met vloeibare spiegel, waarvan het draaiende kwik precies de parabolische vorm aanneemt die een spiegel nodig heeft.

**Methode 18.7 (Werken in een niet-inertiaalstelsel).**

Kies het stelsel waarin de vraag het eenvoudigst is (de bus, de draaischijf, de aarde); som de werkelijke krachten op; voeg $-m\vect a_e$ toe en, als het lichaam in dat stelsel beweegt, $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$; ga dan verder als in [Methode 12.10](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#met-b1-newton-dynamics-method). Controle: [schijnkrachten](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) verschijnen nooit in de energiebalans als “arbeid van iemand” — de [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics), loodrecht op $\vect v'$, verricht geen arbeid; de [centrifugaalkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) wordt afgeleid van de [potentiële energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#def-b1-work-and-energy-conservative) $-\tfrac12 m\Omega^2r^2$ in een eenparig [roterend stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-frames).

## 18.3 Het aardse stelsel

**Definitie 18.8 (Geocentrisch en aards stelsel).**

Het *geocentrische stelsel* heeft zijn oorsprong in het middelpunt van de aarde en assen die naar vaste sterren wijzen; het is in uitstekende benadering inertiaal voor bewegingen van een dag of korter (zijn eigen versnelling om de zon is slechts $6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en nagenoeg homogeen over de aarde). Het *aardse stelsel*, aan de grond vast, draait daar ten opzichte van om de poolas met

$$
\Omega = \frac{2\pi}{86\,164\,\mathrm{s}} = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} .
$$

**Propositie 18.9 (Het gewicht en de variatie van ggg).**

In het [aardse stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-earth) ondervindt een lichaam in rust de gravitationele aantrekking $m\vect{\mathcal G}$ en de [centrifugaalkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) $m\Omega^2\vect{HM}$; hun som is wat een weegschaal meet en een schietlood aanwijst: het *gewicht* $m\vect g = m\vect{\mathcal G} + m\Omega^2\vect{HM}$. De centrifugale term is het grootst op de evenaar, $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0.35\%$ van $g$; hij verkleint $g$ van de polen naar de evenaar en kantelt de verticaal weg van het middelpunt van de aarde, tot $0.1^\circ$ op middelbare breedten.

**Bewijs.** Pas [Stelling 18.4](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) toe met $\vect v' = \vect 0$ (geen [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)); $\Omega^2R = (7.29\times10^{-5})^2 \times 6.37\times10^6$. De afwijkingshoek volgt uit de driehoek van $m\vect{\mathcal G}$ en de [centrifugaalkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) ([Oefening 18.6](#exo-b1-non-inertial-frames-6)). ∎

**Propositie 18.10 (De corioliskracht op aarde).**

Op breedte $\lambda$ ondervindt een lichaam dat horizontaal met snelheid $v'$ beweegt een horizontale [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) met grootte

$$
F_C = 2m\Omega v'\sin\lambda ,
$$

gericht naar *rechts* van de beweging op het noordelijk halfrond en naar links op het zuidelijke, wat de reisrichting ook is; een lichaam dat verticaal valt wordt *oostwaarts* afgebogen over $2m\Omega v'\cos\lambda$.

**Bewijs.** Ontbind $\vect\Omega = \Omega(\cos\lambda\,\vect e_N + \sin\lambda\,\vect e_z)$ (noord en de lokale verticaal). Voor horizontale $\vect v'$ heeft $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ een horizontaal deel $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$ — over $90^\circ$ met de klok mee gedraaid vanaf $\vect v'$, van boven gezien, voor $\lambda > 0$ — en een verticaal deel (verwaarloosbaar tegen de zwaartekracht). Voor verticale $\vect v' =
-v'\vect e_z$: $-2m\Omega\cos\lambda\,\vect e_N\wedge(-v'\vect e_z) = 2m\Omega v'\cos\lambda\,
\vect e_E$, dus naar het oosten. ∎

![Links: op breedte heeft de rotatievector van de aarde een verticale component en een noordwaartse . Rechts: van boven gezien op het noordelijk halfrond wordt een lichaam dat horizontaal beweegt door de corioliskracht naar rechts geduwd en kromt zijn baan met de klok mee.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-non-inertial-frames/fig-d0e36d209af3.svg)

*Links: op breedte $\lambda$ heeft de rotatievector van de aarde een verticale component $\Omega\sin\lambda$ en een noordwaartse $\Omega\cos\lambda$. Rechts: van boven gezien op het noordelijk halfrond wordt een lichaam dat horizontaal beweegt door de [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) naar rechts geduwd en kromt zijn [baan](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-frame) met de klok mee.*

**Voorbeeld 18.11 (Kleine krachten, grote gevolgen).**

Een trein met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ op breedte $45^\circ$: $a_C = 2 \times 7.29\times
10^{-5} \times 27.8 \times 0.71 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, drie duizendste van $g$ — de rechterrail van een enkelrichtingsspoor slijt iets sneller. Lucht die met $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar een lagedrukgebied stroomt wordt de hele weg naar binnen naar rechts gedraaid en cirkelt er ten slotte tegen de klok in omheen: elke cycloon op het noordelijk halfrond draait zo, elke zuidelijke andersom. Een steen die in een schacht van $100\,\mathrm{m}$ op $45^\circ$ valt komt $1.6\,\mathrm{cm}$ ten oosten van het schietlood neer ([Oefening 18.7](#exo-b1-non-inertial-frames-7)).

**Propositie 18.12 (De slinger van Foucault).**

Een slinger die met kleine [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/5-voortplanting-van-signalen-lopende-en-staande-golven#def-b1-wave-propagation-signal) op breedte $\lambda$ zwaait houdt zijn trillingsvlak vast ten opzichte van alleen de lokale verticale rotatie van het [geocentrische stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-earth): in het [aardse stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-earth) gezien draait het vlak *met de klok mee* (van boven, noordelijk halfrond) met het tempo $\Omega\sin\lambda$, dat wil zeggen één volledige omwenteling in

$$
T_F = \frac{23.93\,\mathrm{h}}{\sin\lambda} .
$$

**Gedeeltelijk bewijs.** Op de pool ($\lambda = 90^\circ$) is het argument meetkundig: op het slingergewicht werkt geen horizontale kracht behalve de spankracht, waarvan de horizontale component langs de zwaai ligt, zodat het zwaaivlak in het [geocentrische stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-earth) vastligt terwijl de aarde er met $\Omega$ onderdoor draait; van de grond gezien draait het met $-\Omega$. Op breedte $\lambda$ is de horizontale [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$: precies wat een stelsel dat met $\Omega\sin\lambda$ om de lokale verticaal draait zou opleveren. In een stelsel dat met het vlak meedraait met $-\Omega\sin\lambda$ verdwijnt die kracht in eerste orde en is de slinger een gewone vlakke oscillator; het vlak preceseert dus met $\Omega\sin\lambda$ in het [aardse stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-earth). De volledige berekening, met de verwaarloosde termen van tweede orde, is de weekendopgave. ∎

**Opmerking 18.13 (Getijden, in twee regels).**

In het stelsel van het middelpunt van de aarde, dat vrij naar de maan valt, is de aantrekking van de maan niet homogeen: iets sterker aan de nabije kant, zwakker aan de verre kant. Het verschil, van de orde $2GM_{\text{maan}}R/d^3
\approx 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, rekt de oceanen tot twee bulten — twee getijden per dag — en de bijdrage van de zon, $46\%$ van die van de maan, maakt spring- en doodtij naarmate de twee samenvallen of elkaar kruisen ([Oefening 18.12](#exo-b1-non-inertial-frames-12)).

## 18.4 Oefeningen

**Oefening 18.1 ★.**

Een schietlood hangt in een auto die met $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ versnelt: hoek met de verticaal, en de spankracht in eenheden van $mg$. Dezelfde auto die met dezelfde waarde remt?

**Oplossing van Oefening 18.1.**

$\tan\alpha = a/g = 0.255$, $\alpha = 14^\circ$ (het lood hangt naar achteren); $T = m\sqrt{g^2 + a^2} = 1.03\,mg$. Remmen: dezelfde hoek en spankracht, het lood naar voren gekanteld.

**Oefening 18.2 ★.**

Een kind zit op $3.0\,\mathrm{m}$ van de as van een draaimolen die één keer per $4.0\,\mathrm{s}$ rondgaat. Centrifugale versnelling in het meedraaiende stelsel, als deel van $g$; welke werkelijke kracht levert haar?

**Oplossing van Oefening 18.2.**

$\Omega = 2\pi/4.0 = 1.57\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $\Omega^2r = 7.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 0.75g$, in het meedraaiende stelsel naar buiten gericht; het zitje (wrijving en beugel) levert de werkelijke kracht naar binnen.

**Oefening 18.3 ★.**

Bereken de hoeksnelheid $\Omega$ van de aarde, de centrifugale versnelling op de evenaar en het deel van $g$ dat zij is. Bij welke omwentelingstijd zouden voorwerpen op de evenaar wegzweven?

**Oplossing van Oefening 18.3.**

$\Omega = 2\pi/86164 = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0.35\%$ van $g$. Wegzweven vergt $\Omega^2R = g$: $T = 2\pi\sqrt{R/g} =
84\,\mathrm{min}$ — zeventien keer sneller dan nu.

**Oefening 18.4 ★.**

Een trein van $400\,\mathrm{t}$ rijdt met $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ op breedte $45^\circ$. [Coriolisversnelling](#thm-b1-non-inertial-frames-composition) en de zijwaartse kracht op de rails; welke rail wordt geduwd bij een rit naar het noorden? naar het oosten?

**Oplossing van Oefening 18.4.**

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2 \times 7.29\times10^{-5} \times 27.8 \times 0.707
= 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $F = 1.1\,\mathrm{kN}$. Naar het noorden: naar het oosten geduwd, op de rechter (oostelijke) rail; naar het oosten: naar het zuiden geduwd, opnieuw de rechterrail.

**Oefening 18.5 ★★.**

Een emmer met straal $10\,\mathrm{cm}$ draait met $2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, daarna met $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Stijging van het water aan de rand ten opzichte van het midden. Waarom is een draaiend kwikbad een goede telescoopspiegel?

**Oplossing van Oefening 18.5.**

$z = \Omega^2r^2/2g$: $2.0\,\mathrm{mm}$ bij $2\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $5.1\,\mathrm{cm}$ bij $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Een paraboloïde bundelt een evenwijdige bundel in één punt: draaiend kwik is een volmaakte, goedkope, zichzelf polijstende parabolische spiegel (die alleen niet gekanteld kan worden).

**Oefening 18.6 ★★.**

Toon aan dat het schietlood op breedte $\lambda$ ongeveer $\Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g$ radialen van het middelpunt van de aarde afwijkt, en bereken die op $45^\circ$ in boogminuten. Hoeveel kleiner is $g$ op de evenaar dan op de pool, alleen door de rotatie?

**Oplossing van Oefening 18.6.**

De centrifugale versnelling $\Omega^2R\cos\lambda$ wijst van de as af; haar component loodrecht op de lokale verticaal is $\Omega^2R\cos\lambda
\sin\lambda$, die $\vect g$ kantelt over $\delta \approx \Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g
= 0.034 \times 0.5/9.81 = 1.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 6'$. Evenaar: $g$ verminderd met $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ door de rotatie (de afplatting doet er nog meer bij).

**Oefening 18.7 ★★.**

Een steen valt uit rust in een schacht van $100\,\mathrm{m}$ op breedte $45^\circ$. Behandel de [coriolisversnelling](#thm-b1-non-inertial-frames-composition) $2\Omega v\cos\lambda$ (oostwaarts) als een kleine storing met $v = gt$; integreer twee keer en bepaal de oostwaartse afwijking onderaan. Waarom naar het oosten?

**Oplossing van Oefening 18.7.**

$\ddot x_E = 2\Omega gt\cos\lambda$: $x_E = \tfrac13\Omega g\cos\lambda\,t^3$; $t =
\sqrt{2h/g} = 4.5\,\mathrm{s}$: $x_E = \tfrac13 \times 7.29\times10^{-5} \times 9.81
\times 0.707 \times 92 = 1.6\,\mathrm{cm}$. Naar het oosten: de bovenkant van de schacht beweegt sneller naar het oosten (grotere straal) dan de onderkant; de steen houdt dat overschot — of, in het meedraaiende stelsel, de [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) op een neerwaartse snelheid wijst naar het oosten.

**Oefening 18.8 ★★.**

Precessieperiode van een [slinger van Foucault](#prop-b1-non-inertial-frames-foucault) in Parijs ($\lambda = 48.9^\circ$), op de pool en op de evenaar. Over welke hoek draait het vlak in Parijs in één uur?

**Oplossing van Oefening 18.8.**

$T_F = 23.93/\sin\lambda$: Parijs $31.8\,\mathrm{h}$; pool $23.9\,\mathrm{h}$; evenaar oneindig (geen precessie). Parijs: $360^\circ/31.8 = 11.3^\circ$ per uur.

**Oefening 18.9 ★★.**

Lucht stroomt met $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar een lagedrukcentrum op $45^\circ$ noorderbreedte. [Coriolisversnelling](#thm-b1-non-inertial-frames-composition); in welke zin cirkelt de lucht uiteindelijk om dat centrum? Waarom gehoorzamen kleine wervels (een afvoerputje, een tornado) deze regel niet?

**Oplossing van Oefening 18.9.**

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, naar rechts. Lucht die van alle kanten samenstroomt wordt naar rechts afgebogen en spiraalt dus tegen de klok in naar binnen (van boven gezien): de noordelijke cycloon. Een afvoerputje loopt in seconden leeg en een tornado ontstaat in minuten: de coriolisafbuiging over zulke tijden is verwaarloosbaar tegen elke beginwerveling.

**Oefening 18.10 ★★★.**

Een heliumballon aan een touwtje zweeft in een auto. Als de auto naar voren versnelt, welke kant helt de ballon dan op? Verklaar dat met de schijnbare zwaartekracht en de opwaartse kracht.

**Oplossing van Oefening 18.10.**

In het stelsel van de auto kantelt de schijnbare zwaartekracht $\vect g - \vect a$ naar achteren. De lucht, zwaarder, “valt” naar achteren; de ballon, lichter dan de lucht die hij verdringt, wordt langs de schijnbare verticaal omhoog gedreven — hij helt naar *voren*, tegengesteld aan een schietlood.

**Oefening 18.11 ★★★.**

Een ruimtestation is een ring met straal $100\,\mathrm{m}$ die zo draait dat er aan de rand $1g$ kunstmatige zwaartekracht heerst. Omwentelingstijd? Een astronaut loopt langs de rand met $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: [coriolisversnelling](#thm-b1-non-inertial-frames-composition), en haar effect op zijn schijnbare gewicht als hij met en tegen de draairichting in loopt. Hij laat een bal van $2.0\,\mathrm{m}$ hoogte vallen: hoe ver van zijn voeten komt die ruwweg neer?

**Oplossing van Oefening 18.11.**

$\Omega^2R = g$: $\Omega = 0.31\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 20\,\mathrm{s}$. $a_C = 2\Omega v
= 0.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, ongeveer $0.1g$: loopt hij met de draairichting mee, dan voelt hij zich $10\%$ zwaarder (de [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) wijst naar buiten), er tegenin lichter. Een losgelaten bal: in het inertiaalstelsel gaat hij rechtdoor terwijl de vloer omhoog kromt; over de valtijd $\sqrt{2h/g} = 0.64\,\mathrm{s}$ is de afwijking van de orde $\tfrac13\Omega\,g\,t^3 \cdot 2 \approx 2 \times 0.31 \times
9.81 \times 0.26/3 \approx 0.5\,\mathrm{m}$ — enkele decimeters, tegen de draairichting in.

**Oefening 18.12 ★★★.**

Toon aan dat het verschil tussen de gravitatieversnelling van de maan in het middelpunt van de aarde en in het punt van het oppervlak dat het dichtst bij de maan ligt ongeveer $2GM_Mr/d^3$ is ($r$ de straal van de aarde, $d$ de afstand aarde–maan); bereken het, en hetzelfde voor de zon; leid daaruit de verhouding van de zonne- tot de maangetijden af.

**Oplossing van Oefening 18.12.**

$GM/(d - r)^2 - GM/d^2 \approx 2GMr/d^3$ (eerste orde in $r/d$). Maan: $2 \times 6.67\times10^{-11} \times 7.35\times10^{22} \times 6.37\times10^6/
(3.84\times10^8)^3 = 1.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; zon: $2 \times 1.33\times10^{20}
\times 6.37\times10^6/(1.50\times10^{11})^3 = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; verhouding $0.46$: de getijden van de zon zijn bijna de helft van die van de maan, hoewel haar aantrekking $180$ keer groter is — getijden gaan als $M/d^3$.

## 18.5 Probleem: De slinger van Foucault

**Probleem 18.1.**

Weekendopgave — een gewicht van 28 kilogram aan een draad van 67 meter onder een koepel: waarom zijn zwaaivlak draait, hoe snel, wat dat bewijst, en hoe klein de kracht is die het doet

In 1851 zwaaide een slinger met lengte $\ell = 67\,\mathrm{m}$ en massa $m = 28\,\mathrm{kg}$ onder de koepel van het Panthéon in Parijs, op breedte $\lambda =
48.85^\circ$, met een [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/5-voortplanting-van-signalen-lopende-en-staande-golven#def-b1-wave-propagation-signal) van ongeveer $x_0 = 3.0\,\mathrm{m}$. $\Omega =
7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Deel I — De slinger op zichzelf.**

1. Periode van [kleine trillingen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#prop-b1-work-and-energy-stability) ; ga na dat de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/5-voortplanting-van-signalen-lopende-en-staande-golven#def-b1-wave-propagation-signal) klein is ( $x_0/\ell$ ).
2. Grootste snelheid van het gewicht, en zijn grootste hoogte boven het laagste punt.
3. Spankracht in het laagste punt, in eenheden van $mg$ .
4. Schat de luchtweerstand op het gewicht bij de grootste snelheid (kwadratische wet, $C_xS \approx 0.05\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) en vergelijk met de grootste terugdrijvende kracht $m\omega_0^2x_0$ .
5. Waarom een lange draad en een zwaar gewicht? (Twee redenen, één over de periode, één over de demping.)

**Deel II — Op de pool.** Stel u dezelfde slinger op de noordpool voor.

6. Som in het [geocentrische stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-earth) de krachten op het gewicht op en toon aan dat niets zijn zwaaivlak kan draaien.
7. Leid af wat een waarnemer die op het ijs staat het vlak ziet doen, en na hoe lang het naar zijn beginrichting terugkeert.
8. Beschrijf de [baan](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-frame) van het gewicht op de grond (een rozet): hoeveel bladen in één dag?

**Deel III — Op breedte $\lambda$: de coriolisterm.** Gebruik lokale assen: $x$ oost, $y$ noord, $z$ omhoog; [kleine trillingen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#prop-b1-work-and-energy-stability), zodat de beweging bijna horizontaal is, $\vect v' \approx (\dot x, \dot y, 0)$; de terugdrijvende kracht is $-m\omega_0^2(x, y, 0)$ met $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$.

9. Schrijf $\vect\Omega$ in deze assen.
10. Bereken $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ en houd zijn horizontale componenten over; toon aan dat daarin alleen $\Omega\sin\lambda$ voorkomt.
11. Schrijf de twee bewegingsvergelijkingen voor $x$ en $y$ op; stel $\omega_F = \Omega\sin\lambda$ en vergelijk $\omega_F$ met $\omega_0$ .
12. Voer $u = x + jy$ in en toon aan dat $\ddot u + 2j\omega_F\dot u +  \omega_0^2u = 0$ .
13. Probeer $u = \eu^{j\alpha t}$ : bepaal de twee waarden van $\alpha$ , en toon aan dat zij voor $\omega_F \ll \omega_0$ gelijk zijn aan $\alpha \approx \pm\omega_0  - \omega_F$ .
14. Leid af dat $u \approx \eu^{-j\omega_Ft}(A\eu^{j\omega_0t} + B\eu^{-j\omega_0t})$ : duid de factor $\eu^{-j\omega_Ft}$ — in welke zin en met welk tempo draait het zwaaivlak?
15. Bereken de precessieperiode in Parijs en de hoek die in één uur wordt doorlopen.
16. Waarom draait het vlak op de evenaar niet?

**Deel IV — Hoe klein de kracht is.**

17. Bereken de grootste [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) op het gewicht en vergelijk haar met het gewicht en met de grootste terugdrijvende kracht.
18. Hoeveel verschuift het eindpunt van de zwaai zijwaarts tijdens één halve periode? (Het vlak draait over $\omega_FT/2$ .)
19. In 1851 droeg het gewicht een stift die kleine pinnetjes omstootte die in een ring op de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/5-voortplanting-van-signalen-lopende-en-staande-golven#def-b1-wave-propagation-signal) stonden: na ongeveer hoeveel tijd viel het volgende pinnetje?
20. De slinger werd gestart door een draadje door te branden dat het gewicht opzij hield. Waarom niet met de hand aanduwen?
21. Luchtweerstand brengt een slinger na een paar uur tot stilstand. Moderne museumslingers gebruiken onderaan een kleine elektromagneet om energie terug te geven zonder het zwaaivlak aan te raken: waarom moet die duw strikt radiaal zijn?

**Deel V — Wat het bewijst, en wat het verder doet.**

22. De demonstratie van Foucault overtuigde het publiek van de rotatie van de aarde. Wat meet het precessietempo precies, en zou het experiment de breedte kunnen bepalen?
23. Op welke breedte zou het vlak precies in $48\,\mathrm{h}$ één keer rondgaan?
24. Een gyroscoop (een snel draaiend wiel in cardanringen) houdt zijn as vast in het [geocentrische stelsel](#def-b1-non-inertial-frames-earth) . Leg in één zin uit waarom ook hij de rotatie verraadt, en noem een toepassing.
25. Vat samen: de ene [schijnkracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) die verantwoordelijk is, haar afhankelijkheid van de breedte, en de periode die zij in Parijs geeft.

**Oplossing van Probleem 18.1.**

**1.** $T = 2\pi\sqrt{67/9.81} = 16.4\,\mathrm{s}$; $x_0/\ell = 0.045$ ($2.6^\circ$): klein.

**2.** $v_{\max} = x_0\omega_0 = 3.0 \times 0.383 = 1.15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; hoogte $x_0^2/2\ell = 6.7\,\mathrm{cm}$.

**3.** $T = mg + mv_{\max}^2/\ell = mg(1 + 0.002)$: $1.002\,mg$.

**4.** $\tfrac12\rho C_xSv_{\max}^2 = 0.5 \times 1.2 \times 0.05 \times 1.3 =
0.04\,\mathrm{N}$, tegen $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$: driehonderd keer kleiner, en toch genoeg om de slinger in een paar uur tot stilstand te brengen.

**5.** Een lange draad geeft een lange periode, dus een traag gewicht en een kleine relatieve weerstand, en maakt de precessie per zwaai zichtbaar; een zwaar gewicht slaat veel energie op die de weerstand mag opeten — uren zwaaien.

**6.** Het gewicht (verticaal) en de spankracht (in het vlak van de draad en de verticaal, dus in het zwaaivlak): geen enkele kracht heeft een component loodrecht op dat vlak.

**7.** Het vlak ligt vast tussen de sterren; het ijs draait er oostwaarts met $\Omega$ onderdoor, dus ziet de waarnemer het vlak met de klok mee draaien, terug bij het begin na één sterrendag, $23.93\,\mathrm{h}$.

**8.** Elke halve zwaai tekent een iets gedraaide koorde: een rozet; $86164/8.2 \approx 10500$ halve zwaaien, elk $0.034^\circ$ verder rond.

**9.** $\vect\Omega = \Omega(0, \cos\lambda, \sin\lambda)$.

**10.** Met $\vect v' = (\dot x, \dot y, 0)$: $\vect\Omega\wedge\vect v' = \Omega(-\sin\lambda\,\dot y,\ \sin\lambda\,\dot x,\ -\cos\lambda\,\dot x)$, dus heeft $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ de horizontale componenten $2m\Omega\sin\lambda\,(\dot y, -\dot x)$: alleen $\Omega\sin\lambda$ komt erin voor.

**11.** $\ddot x = -\omega_0^2x + 2\omega_F\dot y$, $\ddot y = -\omega_0^2y -
2\omega_F\dot x$; $\omega_F = 7.29\times10^{-5} \times 0.753 = 5.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}
\ll \omega_0 = 0.38\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**12.** $\ddot u = -\omega_0^2u + 2\omega_F(\dot y - j\dot x) = -\omega_0^2u -
2j\omega_F\dot u$.

**13.** $-\alpha^2 - 2\omega_F\alpha + \omega_0^2 = 0$: $\alpha = -\omega_F \pm
\sqrt{\omega_F^2 + \omega_0^2} \approx -\omega_F \pm \omega_0$.

**14.** De haakjes geven een vlakke trilling (een vaste lijn door de oorsprong voor reële $A = B$); de factor $\eu^{-j\omega_Ft}$ draait het hele patroon met de klok mee met $\omega_F$: het zwaaivlak preceseert met de klok mee met $\Omega\sin\lambda$.

**15.** $T_F = 2\pi/\omega_F = 1.14 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 31.8\,\mathrm{h}$; $11.3^\circ$ per uur.

**16.** $\sin\lambda = 0$: de lokale verticale component van $\vect\Omega$ verdwijnt; de horizontale [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) is nul voor een horizontale beweging.

**17.** $2m\omega_Fv_{\max} = 2 \times 28 \times 5.5\times10^{-5} \times 1.15 =
3.5\,\mathrm{mN}$; gewicht $275\,\mathrm{N}$ ($10^{-5}$ daarvan), terugdrijvende kracht $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$: drieduizend keer kleiner.

**18.** $\omega_FT/2 = 5.5\times10^{-5} \times 8.2 = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$: $x_0 \times 4.5\times10^{-4} = 1.4\,\mathrm{mm}$ per halve zwaai.

**19.** Pinnetjes die een centimeter uit elkaar op de ring staan vallen om de $\sim 7$ halve zwaaien, ongeveer elke minuut.

**20.** Een duw met de hand geeft een zijwaartse snelheid: het gewicht beschrijft dan een ellips, waarvan de eigen trage precessie (een gevolg van de eindige [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/5-voortplanting-van-signalen-lopende-en-staande-golven#def-b1-wave-propagation-signal)) die van Foucault maskeert.

**21.** Een radiale duw voegt energie toe langs de zwaai zonder transversale snelheid toe te voegen, zodat het vlak onaangeroerd blijft; een zijwaartse component zou de slinger in een ellips drijven en de precessie namaken of verbergen.

**22.** Het precessietempo meet $\Omega\sin\lambda$, de verticale component van de aardrotatie; kent men $\Omega$ uit de sterrenkunde, dan geeft het tempo de breedte (en omgekeerd).

**23.** $\sin\lambda = 23.93/48 = 0.499$: $\lambda = 30^\circ$.

**24.** Zijn [impulsmoment](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/15-impulsmoment#def-b1-angular-momentum-L) blijft behouden, dus blijft zijn as vast tussen de sterren terwijl de aarde eronder doordraait: het gyrokompas, dat het ware noorden vindt zonder magneet.

**25.** De [corioliskracht](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$; haar horizontale deel groeit als $\sin\lambda$; één omwenteling in $23.93\,\text{h}/\sin\lambda$, $31.8\,\mathrm{h}$ in Parijs.