---
title: "Warmtemotoren en machines"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/24-warmtemotoren-en-machines
---

# Hoofdstuk 24 — Warmtemotoren en machines

Een automotor, een elektriciteitscentrale, een koelkast en een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) zijn hetzelfde voorwerp van vier kanten bekeken: een fluïdum dat een kringproces doorloopt, beurtelings in contact met een warme en een koude bron, warmte met beide en arbeid met een as uitwisselend. De eerste hoofdwet houdt de energie bij; de tweede hoofdwet stelt, via de entropiebalans over één kringproces, de grens die geen vernuft kan verslaan — de stelling van Carnot, de meest ingrijpende ongelijkheid van de techniek. Dit hoofdstuk leidt die grens af, berekent het ideale kringproces en de werkelijke die het benaderen (Otto, Diesel, Stirling), keert de machine om om koude te maken en huizen te verwarmen, en laat zien hoe de geproduceerde entropie van een echte machine joule voor joule in [verloren arbeid](#thm-b1-heat-engines-lostwork) wordt betaald.

## 24.1 Cyclische machines en de twee hoofdwetten

**Definitie 24.1 (Thermodynamische machine).**

Een *thermodynamische machine* is een [gesloten systeem](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#def-b1-newton-dynamics-conservation) (het werkfluïdum) dat een *kringproces* doorloopt, zodat het periodiek naar dezelfde toestand terugkeert, terwijl het arbeid $W$ met de buitenwereld en warmte $Q_i$ met bronnen op temperaturen $T_i$ uitwisselt — *warmtereservoirs*, waarvan de uitwisseling de temperatuur niet verandert. Een *dithermische* machine gebruikt twee reservoirs, de warme bron op $T_h$ en de koude bron op $T_c < T_h$. Zij is een *motor* als zij arbeid levert ($W < 0$), een *koelmachine* als zij wordt aangedreven ($W > 0$) om warmte aan de koude bron te onttrekken, en een *warmtepomp* als zij wordt aangedreven om warmte aan de warme bron te geven. Alle grootheden worden per kringproces geteld, algebraïsch, zoals ontvangen door het fluïdum.

**Stelling 24.2 (De twee hoofdwetten over een kringproces; ongelijkheid van Clausius).**

Over één kringproces van een dithermische machine geldt

$$
W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad
\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{created}} \leq 0 ,
$$

met gelijkheid in de tweede betrekking dan en slechts dan als het kringproces omkeerbaar is. Algemener geldt voor een willekeurig aantal reservoirs $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (de *ongelijkheid van Clausius*).

**Bewijs.** $U$ en $S$ zijn toestandsfuncties, dus $\Delta U = 0$ en $\Delta S = 0$ over een kringproces. De eerste hoofdwet geeft $0 = W + Q_h + Q_c$; de entropiebalans ([Stelling 23.1](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/23-de-tweede-hoofdwet-entropie#thm-b1-second-law-entropy-secondlaw)) geeft $0 = S_{\mathrm{exch}} +
S_{\mathrm{created}}$ met $S_{\mathrm{exch}} = \sum Q_i/T_i$, omdat elk reservoir op zijn eigen vaste temperatuur uitwisselt ([Propositie 23.5](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/23-de-tweede-hoofdwet-entropie#prop-b1-second-law-entropy-thermostat)). ∎

**Gevolg 24.3 (Kelvin opnieuw).**

Een *monothermische* machine ($Q_c = 0$) heeft $Q_h \leq 0$, en dus $W \geq 0$: geen enkel kringproces kan de warmte van één bron in arbeid omzetten. Een schip kan niet varen door de zee af te koelen — een motor heeft een koude bron nodig om warmte aan af te staan, en de tweede hoofdwet zegt hoeveel hij moet afstaan.

![De twee manieren om een dithermisch kringproces te doorlopen. Links: de motor neemt warmte uit de warme bron, staat een deel ervan af aan de koude en levert het verschil als arbeid. Rechts: dezelfde machine achterstevoren pompt warmte van koud naar warm; zij is een koelmachine als men Q_c wil, en een warmtepomp als men |Q_h| wil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-5d65cf3289ce.svg)

*De twee manieren om een dithermisch kringproces te doorlopen. Links: de motor neemt warmte uit de warme bron, staat een deel ervan af aan de koude en levert het verschil als arbeid. Rechts: dezelfde machine achterstevoren pompt warmte van koud naar warm; zij is een [koelmachine](#def-b1-heat-engines-machine) als men $Q_c$ wil, en een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) als men $|Q_h|$ wil.*

## 24.2 De stelling van Carnot

**Definitie 24.4 (Rendement en prestatiecoëfficiënten).**

Het *rendement* van een motor is de geleverde arbeid per eenheid warmte die aan de warme bron wordt onttrokken, $\eta = -W/Q_h$; de *prestatiecoëfficiënt* (COP) van een [koelmachine](#def-b1-heat-engines-machine) is de geproduceerde koude per eenheid arbeid, $e_f = Q_c/W$; die van een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) is de warmte die per eenheid arbeid wordt geleverd, $e_p = -Q_h/W$. Elk is de verhouding “wat men wil” tot “wat men betaalt”; een rendement is hoogstens 1, een COP kan groter dan 1 zijn.

**Stelling 24.5 (Carnot).**

Tussen reservoirs met $T_h > T_c$ geldt

$$
\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad
e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad
e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},
$$

met gelijkheid dan en slechts dan als het kringproces omkeerbaar is. De grenzen hangen alleen van de temperaturen af — niet van het fluïdum, niet van het mechanisme.

**Bewijs.** Voor een motor ($Q_h > 0$): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$, en de ongelijkheid van Clausius geeft $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$. Voor een [koelmachine](#def-b1-heat-engines-machine) ($Q_c > 0$, $W > 0$): $W = -Q_h - Q_c$ met $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$, dus $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ en $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$. Voor de [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) is $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$. Gelijkheid is het omkeerbare geval $S_{\mathrm{created}} = 0$ overal. ∎

**Voorbeeld 24.6 (Drie getallen).**

Een stoomturbine tussen $T_h = 800\,\mathrm{K}$ en een rivier op $T_c = 300\,\mathrm{K}$: $\eta_C = 0.625$; echte centrales halen ongeveer $0.40$. Een huishoudkoelkast tussen $275\,\mathrm{K}$ binnen en een keuken op $298\,\mathrm{K}$: $e_f \leq 275/23 = 12$; echte machines geven $2$ tot $4$. Een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) die een huis op $293\,\mathrm{K}$ verwarmt met lucht van $273\,\mathrm{K}$: $e_p \leq 293/20 = 14.7$; echte pompen geven $3$ tot $5$ — nog altijd drie tot vijf keer wat dezelfde elektriciteit in een weerstand zou geven ([Probleem 24.1](#pb-b1-heat-engines-1)).

**Opmerking 24.7 (Waarom het rendement geen 1 kan zijn).**

Een motor ontvangt entropie $Q_h/T_h$ met de warmte die hij opneemt; arbeid voert er geen af; de enige uitgang is warmte die aan de koude bron wordt afgestaan, en die voert $|Q_c|/T_c$ mee. Omdat entropie niet vernietigd kan worden, moet ten minste $Q_h T_c/T_h$ aan warmte worden weggegooid, en de arbeid is wat overblijft. Hoe lager de koude bron en hoe hoger de warme, hoe beter — vandaar de koeltorens en de jacht op steeds hetere turbinebladen.

## 24.3 Het kringproces van Carnot

**Definitie 24.8 (Kringproces van Carnot).**

Het *kringproces van Carnot* is het omkeerbare dithermische kringproces: twee omkeerbare isothermen, op $T_h$ (in contact met de warme bron) en op $T_c$ (met de koude), verbonden door twee omkeerbare adiabatische takken (isentroop, zonder bron in contact). Met de klok mee doorlopen in het $(V, P)$-vlak is het een motor; tegen de klok in een [koelmachine](#def-b1-heat-engines-machine) of [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine). In het [entropiediagram](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/23-de-tweede-hoofdwet-entropie#def-b1-second-law-entropy-TS) is het een rechthoek.

**Propositie 24.9 (Kringproces van Carnot van een ideaal gas).**

Voor $n$ [mol](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) [ideaal gas](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-model) dat $A \to B$ (isotherm $T_h$, expansie), $B \to C$ (adiabaat), $C \to D$ (isotherm $T_c$, compressie), $D \to A$ (adiabaat) doorloopt:

$$
Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,
$$

de waarde van Carnot — zoals het moet zijn voor elk omkeerbaar dithermisch kringproces.

**Bewijs.** Op een isotherm is $\Delta U = 0$, dus $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{eind}}/
V_{\text{begin}})$. Op de adiabaten is $TV^{\gamma-1}$ constant: $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ en $T_hV_A^{\gamma-1} =
T_cV_D^{\gamma-1}$, waaruit $V_C/V_D = V_B/V_A$ en $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) =
-nRT_c\ln(V_B/V_A)$. Dan is $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$. ∎

![Het kringproces van Carnot van een ideaal gas. Links: in het clapeyrondiagram twee isothermen en twee (steilere) adiabaten, met de klok mee doorlopen; de ingesloten oppervlakte is de geleverde arbeid. Rechts: hetzelfde kringproces in het entropiediagram is een rechthoek met hoogte T_h - T_c en breedte Q_h/T_h; haar oppervlakte is opnieuw -W, en de verhouding van die oppervlakte tot die onder de bovenzijde, Q_h, is 1 - T_c/T_h, zo af te lezen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-cf9d870832cd.svg)

![Het kringproces van Carnot van een ideaal gas. Links: in het clapeyrondiagram twee isothermen en twee (steilere) adiabaten, met de klok mee doorlopen; de ingesloten oppervlakte is de geleverde arbeid. Rechts: hetzelfde kringproces in het entropiediagram is een rechthoek met hoogte T_h - T_c en breedte Q_h/T_h; haar oppervlakte is opnieuw -W, en de verhouding van die oppervlakte tot die onder de bovenzijde, Q_h, is 1 - T_c/T_h, zo af te lezen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-a7ec08597e47.svg)

*Het [kringproces van Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) van een [ideaal gas](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-model). Links: in het clapeyrondiagram twee isothermen en twee (steilere) adiabaten, met de klok mee doorlopen; de ingesloten oppervlakte is de geleverde arbeid. Rechts: hetzelfde kringproces in het [entropiediagram](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/23-de-tweede-hoofdwet-entropie#def-b1-second-law-entropy-TS) is een rechthoek met hoogte $T_h - T_c$ en breedte $Q_h/T_h$; haar oppervlakte is opnieuw $-W$, en de verhouding van die oppervlakte tot die onder de bovenzijde, $Q_h$, is $1 - T_c/T_h$, zo af te lezen.*

**Opmerking 24.10 (Het kringproces van Carnot is een stelling, geen motor).**

Omkeerbare isothermen vergen oneindig trage warmteoverdracht over een verdwijnend temperatuurverschil: een carnotmotor levert zijn maximale arbeid bij vermogen nul. Echte machines ruilen [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) tegen vermogen door eindige temperatuurverschillen in hun warmtewisselaars te aanvaarden ([Oefening 24.10](#exo-b1-heat-engines-10)); de waarde van Carnot blijft het plafond waaraan elk ontwerp wordt afgemeten.

## 24.4 Werkelijke motorkringprocessen

**Propositie 24.11 (Ottokringproces).**

De geïdealiseerde benzinemotor voert lucht ($\gamma$) rond: $1 \to 2$ adiabatische compressie van $V_1$ naar $V_2$ (*[compressieverhouding](#prop-b1-heat-engines-otto)* $r = V_1/V_2$); $2 \to 3$ isochore verwarming (de verbranding); $3 \to 4$ adiabatische expansie terug naar $V_1$; $4 \to 1$ isochore afkoeling (de uitlaat). Zijn [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) is

$$
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .
$$

**Bewijs.** Er wordt alleen op de isochoren warmte uitgewisseld: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ en $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$. Op de adiabaten is $TV^{\gamma-1}$ constant: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ en $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$, dus $T_3 - T_2 =
(T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ en $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$. ∎

**Voorbeeld 24.12 (Getallen voor een benzinemotor).**

$r = 9$, $\gamma = 1.4$: $9^{0.4} = 2.41$ en $\eta = 0.58$. Een echte motor haalt ongeveer $0.30$: de verbranding is niet ogenblikkelijk, het gas is niet ideaal bij $2500\,\mathrm{K}$, er lekt warmte naar de wanden, en wrijving en pompen eisen hun deel. $r$ verhogen helpt — tot het lucht–brandstofmengsel aan het eind van de compressie vanzelf ontbrandt (pingelen); de dieselmotor maakt van dat gebrek zijn beginsel.

**Propositie 24.13 (Dieselkringproces).**

Vervang de isochore verwarming van het [ottokringproces](#prop-b1-heat-engines-otto) door een isobare, van $V_2$ naar $V_3 = \rho V_2$ (*injectieverhouding* $\rho > 1$): brandstof die in lucht wordt gespoten die al heet is door een [compressieverhouding](#prop-b1-heat-engines-otto) $r$ van $15$ tot $22$ verbrandt zodra zij binnenkomt. Dan is

$$
\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,
$$

kleiner dan de ottowaarde bij dezelfde $r$, maar bereikt met een veel grotere $r$ en in de praktijk dus groter ($0.40$ tot $0.45$ voor grote motoren).

**Bewijs.** $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$, $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$, dus $\eta = 1 -
(T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$. Met $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$, $T_3 =
\rho T_2$ en, op de adiabaat $3 \to 4$ ($V_4 = V_1 = rV_2$), $T_4 =
T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$: $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$. ∎

![Links: het ottokringproces in het clapeyrondiagram (getekend met r = 4): twee adiabaten en twee isochoren; de warmte komt binnen in het bovenste dode punt en verdwijnt met de uitlaat. Rechts: ideale rendementen tegen de compressieverhouding; de stippellijnen markeren een benzinemotor (r = 9) en een diesel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-369de8cd3919.svg)

![Links: het ottokringproces in het clapeyrondiagram (getekend met r = 4): twee adiabaten en twee isochoren; de warmte komt binnen in het bovenste dode punt en verdwijnt met de uitlaat. Rechts: ideale rendementen tegen de compressieverhouding; de stippellijnen markeren een benzinemotor (r = 9) en een diesel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-9f3b2784b6a5.svg)

*Links: het [ottokringproces](#prop-b1-heat-engines-otto) in het clapeyrondiagram (getekend met $r = 4$): twee adiabaten en twee isochoren; de warmte komt binnen in het bovenste dode punt en verdwijnt met de uitlaat. Rechts: ideale [rendementen](#def-b1-heat-engines-efficiency) tegen de [compressieverhouding](#prop-b1-heat-engines-otto); de stippellijnen markeren een benzinemotor ($r = 9$) en een diesel ($r = 18$, $\rho = 2$).*

**Propositie 24.14 (Stirlingkringproces en de regenerator).**

Twee isothermen ($T_c$, $T_h$) verbonden door twee isochoren. De warmte van de isochore takken, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$, is even groot en tegengesteld; wordt zij op de afkoelende tak opgeslagen in een *regenerator* (een poreuze massa waar het gas doorheen stroomt) en op de verwarmende tak teruggegeven, dan wisselen alleen de isothermen met de bronnen uit, en is $\eta = 1 - T_c/T_h$: de stirlingmotor is in alles behalve de vorm van zijn kringproces een carnotmotor. Zonder de regenerator moet de isochore warmte uit de warme bron komen en is $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$, aanzienlijk minder ([Oefening 24.8](#exo-b1-heat-engines-8)).

**Bewijs.** Op de isothermen is $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ en $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$, dus $-W = Q_h + Q_c + 0$ zodra de isochore warmten tegen elkaar wegvallen; deel door de warmte die in elk geval werkelijk aan de warme bron wordt onttrokken. ∎

**Opmerking 24.15 (Stoom- en gasturbines).**

Elektriciteitscentrales gebruiken geen gas in een cilinder, maar water dat wordt gekookt, door een turbine geëxpandeerd, gecondenseerd en teruggepompt (het rankinekringproces, met twee faseovergangen — [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/25-faseovergangen-van-een-zuivere-stof#ch-b1-phase-changes)), of lucht die wordt samengeperst, door verbranding verhit en in een gasturbine geëxpandeerd (het braytonkringproces, twee adiabaten en twee isobaren). Hun analyse vergt de energiebalans van een stromend fluïdum, die in het volume van jaar 2 staat; de grens van Carnot en de logica van dit hoofdstuk gelden onveranderd.

## 24.5 Koelmachines en warmtepompen

**Definitie 24.16 (Dampcompressiekringproces).**

Vrijwel elke koelkast, vriezer, airconditioner en [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) voert een *koudemiddel* langs vier onderdelen: een *compressor* (ontvangt de arbeid, verhoogt de druk van de damp), een *condensor* (de hete damp condenseert bij hoge druk en staat daarbij $|Q_h|$ aan de warme zijde af), een *expansieventiel* (de vloeistof valt terug naar lage druk zonder arbeid of warmte, en verdampt deels) en een *verdamper* (de rest kookt bij lage druk en neemt daarbij $Q_c$ van de koude zijde op). De warmte wordt als verdampingswarmte vervoerd, en de twee drukken leggen de twee kooktemperaturen vast ([Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/25-faseovergangen-van-een-zuivere-stof#ch-b1-phase-changes)).

![Het dampcompressiekringproces. Het koudemiddel kookt in de verdamper, kouder dan de koude zijde, en condenseert in de condensor, heter dan de warme zijde: warmte stroomt in elke wisselaar de natuurlijke kant op, en de compressor betaalt voor het tillen van T_ ev naar T_ cd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-bbaf348cc6b0.svg)

*Het [dampcompressiekringproces](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). Het [koudemiddel](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) kookt in de verdamper, kouder dan de koude zijde, en condenseert in de condensor, heter dan de warme zijde: warmte stroomt in elke wisselaar de natuurlijke kant op, en de compressor betaalt voor het tillen van $T_{\mathrm{ev}}$ naar $T_{\mathrm{cd}}$.*

**Propositie 24.17 (De prijs van de temperatuurverschillen).**

Een omkeerbare machine die tussen haar eigen inwendige temperaturen $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ en $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ werkt heeft $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$, kleiner dan de waarde van Carnot tussen de bronnen; een echte machine haalt daar nog maar een deel van (meestal $0.4$ tot $0.6$). De prestatie van een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) daalt dus naarmate de buitentemperatuur zakt en de temperatuur die het verwarmingscircuit vraagt stijgt.

**Bewijs.** Pas [Stelling 24.5](#thm-b1-heat-engines-carnot) toe op het fluïdum, waarvan de reservoirs in feite de temperaturen van de wisselaars zijn; $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} >
T_h - T_c$ verlaagt de verhouding. ∎

![Prestatiecoëfficiënt van een warmtepomp tegen de buitentemperatuur: de grens van Carnot tussen huis (20 C) en buitenlucht; de grens zodra de temperatuurverschillen in de wisselaars zijn meegeteld (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ out - 8\, K); en een realistische machine op 0.55 daarvan. Zelfs bij -10 C levert de echte pomp ongeveer drie joule warmte per joule elektriciteit, waar een weerstand er één geeft.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-4afd1a4d59d2.svg)

*[Prestatiecoëfficiënt](#def-b1-heat-engines-efficiency) van een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) tegen de buitentemperatuur: de grens van Carnot tussen huis ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$) en buitenlucht; de grens zodra de temperatuurverschillen in de wisselaars zijn meegeteld ($T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$); en een realistische machine op $0.55$ daarvan. Zelfs bij $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ levert de echte pomp ongeveer drie joule warmte per joule elektriciteit, waar een weerstand er één geeft.*

**Voorbeeld 24.18 (Warmtepomp of weerstand?).**

Een huis dat $6\,\mathrm{kW}$ verliest bij $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ buiten heeft $6\,\mathrm{kW}$ elektriciteit nodig met weerstanden; een ideale [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) van $268\,\mathrm{K}$ naar $293\,\mathrm{K}$ zou $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$ vragen; een echte met wisselaartemperaturen $260\,\mathrm{K}$ en $313\,\mathrm{K}$ en een [kwaliteitsfactor](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/7-overgangsverschijnselen-eerste-en-tweede-orde#def-b1-transient-regimes-secondorder) $0.55$, $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$, vraagt $1.9\,\mathrm{kW}$. De weekendopgave werkt het hele seizoen door, entropie inbegrepen.

## 24.6 Entropie en verloren arbeid

**Stelling 24.19 (Verloren arbeid).**

Een dithermische motor die per kringproces de entropie $S_{\mathrm{created}}$ produceert levert

$$
-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{created}} ,
$$

en een dithermische [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) die $|Q_h|$ levert verbruikt $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{created}}$: elke geproduceerde joule per [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature) kost $T_c$ joule arbeid, waarbij de temperatuur van de koude bron de wisselkoers tussen entropie en arbeid is.

**Bewijs.** Uit [Stelling 24.2](#thm-b1-heat-engines-clausius) volgt $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{created}})$; vul dat in in $-W = Q_h + Q_c$. Voor de pomp schrijft men dezelfde twee betrekkingen met $Q_h < 0$. ∎

**Methode 24.20 (Een machine doorlichten).**

Meet (of bereken) de warmten die met elke bron worden uitgewisseld en de arbeid; controleer de eerste hoofdwet; bereken $S_{\mathrm{created}} = -\sum Q_i/T_i$ per kringproces of per seconde; het verloren vermogen is $T_c\dot S_{\mathrm{created}}$; lokaliseer de productie (eindige temperatuurverschillen in wisselaars, wrijving, smoren, niet-quasistatische compressie) door de entropiebalans op elk onderdeel afzonderlijk toe te passen. Een onderdeel dat geen entropie produceert is het verbeteren niet waard.

**Voorbeeld 24.21 (De doorlichting van een centrale).**

Warme bron $800\,\mathrm{K}$, rivier $300\,\mathrm{K}$, $1.0\,\mathrm{GW}$ elektriciteit bij $\eta = 0.40$: $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$, $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$, dus $\dot S_{\mathrm{created}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ en het verloren vermogen is $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$: precies het gat tussen de carnotopbrengst $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ en de werkelijke $1.0\,\mathrm{GW}$. De rivier warmt op met de $1.5\,\mathrm{GW}$ die zij moet afvoeren; in de zomer, als zij warm is en laag staat, temperen de centrales.

## 24.7 Oefeningen

**Oefening 24.1 ★.**

Een elektriciteitscentrale neemt warmte op bij $800\,\mathrm{K}$ en staat haar af aan een rivier op $300\,\mathrm{K}$. [Rendement van Carnot](#thm-b1-heat-engines-carnot); als het werkelijke [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$ is en het [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $1.0\,\mathrm{GW}$, hoeveel warmte wordt er per seconde aan de brandstof onttrokken en aan de rivier afgestaan?

**Oplossing van Oefening 24.1.**

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$. Bij $0.40$: $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ uit de brandstof, $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ de rivier in — er wordt meer warmte weggegooid dan verkocht.

**Oefening 24.2 ★.**

Een koelkast houdt haar binnenkant op $275\,\mathrm{K}$ in een keuken op $298\,\mathrm{K}$. Maximale [prestatiecoëfficiënt](#def-b1-heat-engines-efficiency); met een werkelijke COP van $3$, het [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) dat nodig is om de $100\,\mathrm{W}$ af te voeren die door de wanden naar binnen lekt.

**Oplossing van Oefening 24.2.**

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$. Met $e_f = 3$: $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (en $133\,\mathrm{W}$ gaat de keuken in).

**Oefening 24.3 ★.**

Ideaal [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) van een [ottokringproces](#prop-b1-heat-engines-otto) met $r = 9$ en $\gamma = 1.4$; en met $r = 11$ (een moderne motor met directe inspuiting). Waarom niet $r = 20$?

**Oplossing van Oefening 24.3.**

$r = 9$: $9^{0.4} = 2.41$, $\eta = 0.585$; $r = 11$: $11^{0.4} = 2.61$, $\eta = 0.62$. Bij $r = 20$ zou het benzine–luchtmengsel, samengeperst tot ongeveer $900\,\mathrm{K}$, vóór de vonk ontbranden (pingelen) en de motor vernielen; alleen de diesel, die alleen lucht samenperst, kan zo ver gaan.

**Oefening 24.4 ★.**

Een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) verwarmt een huis op $300\,\mathrm{K}$ met buitenlucht van $280\,\mathrm{K}$. Maximale $e_p$; [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) voor een warmtevraag van $5\,\mathrm{kW}$ met die ideale pomp en met een echte met $e_p = 3.5$; vergelijk met een weerstand.

**Oplossing van Oefening 24.4.**

$e_p \leq 300/20 = 15$: ideaal vermogen $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$; werkelijk, $5/3.5 =
1.43\,\mathrm{kW}$; weerstand, $5\,\mathrm{kW}$.

**Oefening 24.5 ★★.**

Eén [mol](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) [ideaal gas](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-model) ($\gamma = 1.4$) doorloopt een [kringproces van Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) tussen $T_h = 500\,\mathrm{K}$ en $T_c = 300\,\mathrm{K}$; de warme isotherm brengt het van $1.0\,\mathrm{L}$ naar $3.0\,\mathrm{L}$. Bereken $V_C$, $V_D$, $Q_h$, $Q_c$, $W$ en controleer het [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Oplossing van Oefening 24.5.**

Adiabaten: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} =
10.8\,\mathrm{L}$, $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (dus $V_C/V_D = 3 =
V_B/V_A$). $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$, $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$, $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$.

**Oefening 24.6 ★★.**

Een uitvinder beweert een cyclische machine te hebben die per kringproces $1000\,\mathrm{J}$ onttrekt aan een bron op $400\,\mathrm{K}$, $800\,\mathrm{J}$ afstaat aan een bron op $300\,\mathrm{K}$ en $200\,\mathrm{J}$ arbeid levert. Mogelijk? Geproduceerde entropie per kringproces. Een tweede uitvinder beweert $300\,\mathrm{J}$ arbeid uit dezelfde $1000\,\mathrm{J}$ te halen, met $700\,\mathrm{J}$ afgestaan. Mogelijk? Hoeveel arbeid kan men hoogstens uit die $1000\,\mathrm{J}$ halen?

**Oplossing van Oefening 24.6.**

Eerste bewering: de energie klopt, $200 = 1000 - 800$; Clausius $1000/400 - 800/300
= 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, dus $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$: mogelijk ($\eta = 0.20$). Tweede: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$: er zou entropie moeten worden vernietigd — onmogelijk. Maximum: $\eta_C = 1 -
300/400 = 0.25$, dus $250\,\mathrm{J}$.

**Oefening 24.7 ★★.**

[Dieselkringproces](#prop-b1-heat-engines-diesel) met $r = 18$, $\rho = 2$, $\gamma = 1.4$: [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency); vergelijk met een [ottokringproces](#prop-b1-heat-engines-otto) met dezelfde $r$ en met het [ottokringproces](#prop-b1-heat-engines-otto) bij $r = 9$. Waarom kan de diesel zo’n grote $r$ gebruiken?

**Oplossing van Oefening 24.7.**

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$: $\eta = 1 -
1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$. Otto bij $r = 18$: $1 - 1/3.18 = 0.69$; bij $r = 9$: $0.585$. De diesel perst zuivere lucht samen: er is geen brandstof die voortijdig kan ontbranden, en de brandstof, in lucht van $900\,\mathrm{K}$ gespoten, verbrandt zodra zij binnenkomt — de pingelgrens bestaat niet.

**Oefening 24.8 ★★.**

[Stirlingkringproces](#prop-b1-heat-engines-stirling) van één [mol](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) [tweeatomig gas](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) ($C_{V,m} = \tfrac52R$) tussen $600\,\mathrm{K}$ en $300\,\mathrm{K}$ met een volumeverhouding $V_1/V_2 = 2$. Arbeid per kringproces; [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) met een volmaakte regenerator en zonder.

**Oplossing van Oefening 24.8.**

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -8.314
\times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$: $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ per kringproces. Met de regenerator is $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$. Zonder haar moet de warme bron ook $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 =
6.24\,\mathrm{kJ}$: $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$.

**Oefening 24.9 ★★.**

Twee gelijke blokken met warmtecapaciteit $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ op $T_1 =
400\,\mathrm{K}$ en $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ worden als bronnen van een motor gebruikt tot zij dezelfde temperatuur $T_f$ bereiken. Toon aan dat de grootste arbeid bij een omkeerbare motor wordt verkregen, dat dan $T_f = \sqrt{T_1T_2}$, en bereken $W_{\max}$. Wat zou $T_f$ zijn als de blokken gewoon in contact werden gebracht, en hoeveel entropie wordt er dan geproduceerd?

**Oplossing van Oefening 24.9.**

Entropie van de twee blokken: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) =
C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (de eigen entropie van de motor keert elk kringproces naar haar waarde terug), dus $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$, en $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (eerste hoofdwet) is het grootst bij de kleinste $T_f$: het omkeerbare geval, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$, $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$. Rechtstreeks contact: $T_f =
350\,\mathrm{K}$, geen arbeid, $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) =
82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$.

**Oefening 24.10 ★★★.**

*Motor bij maximaal vermogen.* Een omkeerbare motor werkt tussen inwendige temperaturen $x$ en $y$, en wisselt warmte met de bronnen uit door wisselaars met geleidbaarheid $K$: $\dot Q_h = K(T_h - x)$ en $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$. (a) Schrijf het vermogen $P$ en de entropievoorwaarde van de omkeerbare kern op. (b) Toon aan dat $y = xT_c/(2x - T_h)$ en dat $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ met $u = 2x - T_h$. (c) Maximaliseer over $u$ en toon aan dat het [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) bij maximaal vermogen $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$ is. (d) Getallen voor $T_h = 800\,\mathrm{K}$, $T_c = 300\,\mathrm{K}$; vergelijk met [Oefening 24.1](#exo-b1-heat-engines-1).

**Oplossing van Oefening 24.10.**

(a) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$; de omkeerbare kern wisselt netto geen entropie uit: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$. (b) Kruiselings vermenigvuldigen: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$, dus $y(T_h - 2x) = -xT_c$ en $y = xT_c/(2x - T_h)$. Dan is $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$; met $u = 2x - T_h$, $T_h - x = (T_h - u)/2$ en $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) =
\tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$. (c) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 +
T_hT_c/u^2) = 0$ in $u = \sqrt{T_hT_c}$, een maximum; dan is $x = (T_h +
\sqrt{T_hT_c})/2$, $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$, en $\eta^\ast = 1 - y/x
= 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 -
\sqrt{T_c/T_h}$; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$. (d) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$, tegen $\eta_C = 0.625$: de werkelijke $0.40$ uit [Oefening 24.1](#exo-b1-heat-engines-1) hoort bij een motor die voor vermogen is gebouwd, niet voor [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Oefening 24.11 ★★★.**

*Absorptiekoelmachine.* Een machine zonder bewegende delen neemt de warmte $Q_h$ op van een brander op $T_h$, de warmte $Q_c$ van een koude ruimte op $T_c$, en staat warmte af aan de kamer op $T_0$ ($T_c < T_0 <
T_h$), zonder arbeid. Toon aan dat $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$, duid de twee factoren, en bereken de grens voor $T_h = 400\,\mathrm{K}$, $T_0 =
300\,\mathrm{K}$, $T_c = 275\,\mathrm{K}$.

**Oplossing van Oefening 24.11.**

Kringproces: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ en $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$. Elimineer $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$: $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$, dus $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$, waaruit $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$. De eerste factor is het [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) van een carnotmotor tussen brander en kamer, de tweede de COP van een carnotkoelmachine tussen ruimte en kamer: de grens is wat men krijgt door beide ideaal te [koppelen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/15-impulsmoment#def-b1-angular-momentum-moment). Getallen: $0.25 \times 11 = 2.75$ (echte absorptiekoelkasten: ongeveer $0.6$).

**Oefening 24.12 ★★★.**

*Verwarmen met elektriciteit, op drie manieren.* Elektriciteit wordt gemaakt in een thermische centrale met [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$. Hoeveel warmte bereikt per joule brandstofwarmte een huis (a) via een weerstand, (b) via een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) met $e_p = 3.5$, (c) als de brandstof rechtstreeks in een ketel met [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.90$ wordt verbrand? (d) Het ideaal: een omkeerbare motor tussen $800\,\mathrm{K}$ en $293\,\mathrm{K}$ die een omkeerbare [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) tussen $273\,\mathrm{K}$ en $293\,\mathrm{K}$ aandrijft — hoeveel warmte per joule brandstof, en waarom is het antwoord groter dan één zonder dat het met iets in tegenspraak is?

**Oplossing van Oefening 24.12.**

(a) $0.40\,\mathrm{J}$. (b) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$. (c) $0.90\,\mathrm{J}$. (d) Motor $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$, pomp $e_p = 293/20 = 14.65$: $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (en de eigen $0.37\,\mathrm{J}$ die de motor bij $293\,\mathrm{K}$ afstaat zou het huis ook kunnen verwarmen: $9.7\,\mathrm{J}$). Meer dan één joule omdat de rest uit de buitenlucht wordt getild: de energie blijft behouden, en de tweede hoofdwet vraagt alleen dat er geen entropie wordt vernietigd, wat een omkeerbare keten precies eerbiedigt.

![Een lucht/water-warmtepomp in de winter: zij haalt warmte uit koude buitenlucht en levert het huis drie tot vier keer de elektrische energie die zij verbruikt — de weekendopgave.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/img-4f9781d64fbb.jpg)

*Een lucht/[water-warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) in de winter: zij haalt warmte uit koude buitenlucht en levert het huis drie tot vier keer de elektrische energie die zij verbruikt — de weekendopgave.*

## 24.8 Probleem: De warmtepomp van het huis

**Probleem 24.1.**

Weekendopgave — een huis een winter lang verwarmen: de rekening met weerstanden, met gas, met een ideale warmtepomp en met een echte, en waar de elektriciteit van die echte blijft

Een huis verliest warmte met het tempo $K(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ met $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; het wordt op $T_{\mathrm{in}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$ gehouden. Ontwerpbuitentemperatuur $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$; stookseizoen: $200$ dagen met een gemiddelde buitentemperatuur van $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Prijzen: elektriciteit 0.25 € per $\mathrm{kW}\mathrm{h}$, gas 0.10 € per $\mathrm{kW}\mathrm{h}$; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$.

**Deel I — Het huis en de oude manieren.**

1. Verwarmingsvermogen dat bij de ontwerptemperatuur nodig is.
2. Energie die over het seizoen nodig is, in joule en in $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
3. Kosten van het seizoen met elektrische weerstanden.
4. Kosten met een gasketel met [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.90$ .
5. De elektriciteit komt uit een thermische centrale met [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$ . Brandstofenergie die de weerstanden en de ketel per seizoen verbruiken; becommentarieer “elektrisch verwarmen is thermodynamisch verspilling”.

**Deel II — De ideale [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine).**

6. Definieer $e_p$ en bewijs, uit de twee hoofdwetten over één kringproces, dat $e_p \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .
7. Ideale $e_p$ bij de ontwerptemperatuur, en het [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) dat dan nodig is.
8. Ideale $e_p$ bij de gemiddelde temperatuur van het seizoen, en (met die waarde voor het hele seizoen) de elektriciteit over het seizoen.
9. Verklaar fysisch waarom $e_p$ daalt wanneer de buitentemperatuur daalt, en waarom dat het slechtst denkbare gedrag is voor een verwarmingstoestel.
10. In het ontwerppunt neemt de ideale pomp $0.53\,\mathrm{kW}$ op en levert zij $6.25\,\mathrm{kW}$ : waar komen de andere $5.7\,\mathrm{kW}$ vandaan, en waarom is het afkoelen van koude buitenlucht om een warm huis te verwarmen niet in strijd met de tweede hoofdwet?

**Deel III — De echte machine.** De pomp doorloopt een [dampcompressiekringproces](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). Het [koudemiddel](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) verdampt bij $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ en condenseert bij $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (het water van een vloerverwarmingscircuit loopt op $35{}^{\circ}\mathrm{C}$); de machine haalt $0.55$ van de carnotwaarde tussen $T_{\mathrm{ev}}$ en $T_{\mathrm{cd}}$. Verdampingswarmte van het [koudemiddel](#def-b1-heat-engines-vapourcycle): $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

11. Noem de vier onderdelen van het kringproces, zeg in welk ervan het fluïdum $Q_c$ ontvangt, $|Q_h|$ afstaat en $W$ ontvangt, en waarom de verdamper kouder moet zijn dan de buitenlucht en de condensor heter dan het huis.
12. Bij de ontwerptemperatuur: $T_{\mathrm{ev}}$ , en de carnotwaarde van $e_p$ tussen $T_{\mathrm{ev}}$ en $T_{\mathrm{cd}}$ .
13. Werkelijke $e_p$ , opgenomen [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) , en warmte die aan de buitenlucht wordt onttrokken, bij de ontwerptemperatuur.
14. Massastroom van het [koudemiddel](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) door de verdamper.
15. Dezelfde vragen (werkelijke $e_p$ , [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ) bij de gemiddelde temperatuur van $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , waar het huis $3.25\,\mathrm{kW}$ verliest.
16. Geef $e_p$ als functie van $T_{\mathrm{out}}$ ; elektriciteit en kosten over het seizoen, met de $e_p$ bij de gemiddelde temperatuur. Vergelijk met deel I.
17. Brandstofenergie die de centrale voor het warmtepompseizoen verbruikt; vergelijk met de weerstanden en de ketel.
18. Een koudegolf bij $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : warmtevraag, werkelijke $e_p$ , [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) als de pomp die zou kunnen leveren. De capaciteit van de compressor daalt in werkelijkheid met $T_{\mathrm{ev}}$ en de pomp kan er maar $3.8\,\mathrm{kW}$ leveren: benodigd vermogen aan bijverwarming, en de betekenis van “een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) dimensioneren”.
19. Had het huis oude radiatoren die water van $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ vragen ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): werkelijke $e_p$ en [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) bij de ontwerptemperatuur; concludeer over de keuze van de afgiftesystemen.

**Deel IV — Waar de elektriciteit blijft.**

20. Toon aan dat voor een [warmtepomp](#def-b1-heat-engines-machine) die $|Q_h|$ aan het huis op $T_{\mathrm{in}}$ levert vanuit buitenlucht op $T_{\mathrm{out}}$ geldt $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}) + T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ .
21. Entropie die in het ontwerppunt per seconde wordt geproduceerd door de warmteoverdracht over de condensor (van $313\,\mathrm{K}$ naar het huis) en over de verdamper (van de buitenlucht naar $260\,\mathrm{K}$ ).
22. [Elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) dat deze twee temperatuurverschillen kosten; welk deel van de opgenomen $1.92\,\mathrm{kW}$ .
23. Totale entropie die de echte machine per seconde produceert (vergelijk haar $1.92\,\mathrm{kW}$ met de ideale $0.53\,\mathrm{kW}$ ); aandeel van de wisselaars; noem de andere bronnen.
24. Halveer de twee verschillen ( $4\,\mathrm{K}$ en $10\,\mathrm{K}$ ): entropie die in de wisselaars wordt geproduceerd en bespaard [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ; wat kost het halveren van een verschil de ontwerper?
25. Vat samen in drie getallen: kilowattuur warmte per kilowattuur elektriciteit over het seizoen; kosten over het seizoen tegenover gas; en, met elektriciteit op $60\,\mathrm{g}$ CO $_2$ per $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ en gas op $200\,\mathrm{g}$ , de koolstof die elke route uitstoot.

**Oplossing van Probleem 24.1.**

**1.** $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$.

**2.** Gemiddeld verlies $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ gedurende $200 \times 86400 =
1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$.

**3.** $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

**4.** Gas $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $1730$ €.

**5.** Weerstanden: $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ brandstof; ketel $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $2.25$ keer minder. Elektriciteit is arbeid, de vorm die alles kan; haar in een weerstand omzetten in warmte van $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ gooit de $60\%$ van de brandstof weg die de centrale al verloor, plus de mogelijkheid om warmte te pompen.

**6.** Over een kringproces geldt $W + Q_h + Q_c = 0$ en $Q_h/T_{\mathrm{in}} +
Q_c/T_{\mathrm{out}} \leq 0$ met $Q_h < 0$, $Q_c > 0$: $Q_c \leq
|Q_h|T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}$, dus $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 -
T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}})$ en $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}})$.

**7.** $293/25 = 11.7$; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$.

**8.** $293/13 = 22.5$; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (ongeveer $170$ €).

**9.** De arbeid per getilde joule is $(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})/
T_{\mathrm{in}}$, de “hoogte” van de lift; hoe kouder het buiten is, hoe hoger elke joule moet worden gepompt — en hoe meer joules er nodig zijn, omdat het verlies ook evenredig is met $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$: het [elektrisch vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) groeit met het kwadraat van het temperatuurverschil, het ergst precies wanneer verwarmen het meest telt.

**10.** Uit de buitenlucht, die wordt afgekoeld: $Q_c = 6.25 - 0.53 =
5.7\,\mathrm{kW}$. De tweede hoofdwet verbiedt dat warmte *spontaan* van koud naar warm stroomt; hier betaalt arbeid de lift. Controle: entropie uit de lucht $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, entropie aan het huis gegeven $6.25/293 =
21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — niets vernietigd, niets geproduceerd: de ideale pomp.

**11.** Compressor (ontvangt $W$), condensor (staat $|Q_h|$ af), expansieventiel (geen van beide), verdamper (ontvangt $Q_c$). Warmte stroomt alleen een temperatuurhelling af: het [koudemiddel](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) moet kouder zijn dan de lucht om er warmte aan te onttrekken en heter dan het water van het huis om er warmte aan te geven.

**12.** $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$; $e_{p,C} = 313/(313 - 260)
= 5.9$.

**13.** $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$; $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ uit de lucht.

**14.** $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$, $1.3\,\mathrm{kg}$ per minuut.

**15.** $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$, $313/41 = 7.6$, $e_p = 4.2$; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$.

**16.** $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{out}}) = 172/(321 -
T_{\mathrm{out}})$ ($T_{\mathrm{out}}$ in [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-temperature)). Seizoen: $15600/4.2 =
3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$, $930$ € — tegen $3900$ met weerstanden en $1730$ met gas.

**17.** $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ brandstof: $46\%$ minder dan de ketel en vier keer minder dan de weerstanden, zelfs door een centrale met [rendement](#def-b1-heat-engines-efficiency) $40\%$.

**18.** Vraag $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$, $313/63 = 5.0$, $e_p = 2.7$, $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ als zij dat zou kunnen. Capaciteit $3.8\,\mathrm{kW}$: bijverwarming $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ aan weerstanden. Een pomp die op het koudste uur is gedimensioneerd zou de hele winter te groot zijn — en inefficiënt aan- en uitschakelen; men dimensioneert op de ontwerptemperatuur en laat een goedkope weerstand het zeldzame uiterste opvangen.

**19.** $338/(338 - 260) = 4.33$, $e_p = 2.4$, $W = 6.25/2.4 =
2.6\,\mathrm{kW}$: $36\%$ meer elektriciteit dan met de vloer op $35{}^{\circ}\mathrm{C}$. Afgiftesystemen op lage temperatuur zijn de halve installatie.

**20.** Entropie over een kringproces: $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} +
S_{\mathrm{created}} = 0$ geeft $Q_c = T_{\mathrm{out}}|Q_h|/T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$; vul dat in in $W = |Q_h| - Q_c$.

**21.** Condensor: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; verdamper: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**22.** $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$: een kwart van de $1.92\,\mathrm{kW}$.

**23.** $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; de wisselaars leveren $36\%$; de rest komt van de compressor (wrijving, niet-isentrope compressie, verliezen in de motor), het smoren in het ventiel (een vrije expansie), drukverliezen en de ventilatoren.

**24.** $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$: condensor $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, verdamper $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ in plaats van $1.86$, dus $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ bespaard ($13\%$; de hele machine, die $0.55$ van een betere carnotwaarde haalt, zou meer winnen). Een verschil halveren betekent het uitwisselend oppervlak verdubbelen: grotere, duurdere wisselaars en meer ventilatorvermogen.

**25.** $15600/3700 = 4.2$ kilowattuur warmte per kilowattuur elektriciteit; $930$ € tegen $1730$ voor gas; koolstof: $3700
\times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ tegen $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — vijftien keer minder.