---
title: "Elektrostatica: het veld en de wet van Gauss"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss
---

# Hoofdstuk 26 — Elektrostatica: het veld en de wet van Gauss

Wrijf een ballon over een trui en hij blijft aan de muur plakken; kam droog haar en de kam buigt een dun straaltje water af. Achter beide zit de kracht tussen [elektrische ladingen](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) in rust, de [wet van Coulomb](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb) — een wet van het omgekeerde kwadraat zoals de zwaartekracht, maar $10^{36}$ keer sterker tussen twee protonen en van beide tekens, zodat materie tot in fantastische precisie neutraal is en de resterende effecten zijn wat wij scheikunde, materialen en bliksem noemen. Dit hoofdstuk bouwt het begrip dat de wet hanteerbaar maakt, het elektrische veld, laat zien hoe men een veld uit zijn symmetrieën afleest, en leidt de ene stelling af die de velden van symmetrische verdelingen in drie regels berekent: de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Haar tweelingzus voor de zwaartekracht komt er aan het eind gratis bij.

![Bliksem van wolk naar grond: tientallen coulomb worden in een paar ontladingen van honderd kiloampère omlaag gebracht — de elektrische aarde van de weekendopgave.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/img-4e36ee9b571d.jpg)

*Bliksem van wolk naar grond: tientallen coulomb worden in een paar ontladingen van honderd kiloampère omlaag gebracht — de elektrische aarde van de weekendopgave.*

## 26.1 Ladingen en de wet van Coulomb

**Definitie 26.1 (Elektrische lading).**

*Elektrische lading* $q$ (coulomb, $\mathrm{C}$) is een eigenschap van materie met beide tekens; zij blijft behouden (de totale lading van een geïsoleerd systeem verandert nooit) en is gekwantiseerd in eenheden van de *elementaire lading* $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (proton $+e$, elektron $-e$). Een macroscopische verdeling wordt beschreven door een *ladingsdichtheid*: lijndichtheid $\lambda$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}$), oppervlaktedichtheid $\sigma$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$) of ruimtedichtheid $\rho$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$), zodat een klein element de lading $\dd q = \lambda\,\dd l$, $\sigma\,\dd S$ of $\rho\,\dd\tau$ draagt.

**Stelling 26.2 (De wet van Coulomb).**

Twee puntladingen $q_1$ in $M_1$ en $q_2$ in $M_2$ die in vacuüm in rust zijn oefenen op elkaar de krachten

$$
\vect F_{1 \to 2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vect e_{12} = -\vect F_{2 \to 1},
\qquad r = M_1M_2,\quad \vect e_{12} = \frac{\vect{M_1M_2}}{r},
$$

uit, afstotend bij gelijke tekens en aantrekkend bij tegengestelde, met de *[permittiviteit van het vacuüm](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb)* $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, dus $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$. Krachten van meerdere ladingen tellen op (superpositie).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 26.3 (Hoe sterk).**

Twee protonen op $1\,\mathrm{fm}$ afstand stoten elkaar af met $8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times
10^{-19})^2/10^{-30} = 230\,\mathrm{N}$ — het gewicht van een kind, tussen twee deeltjes van $10^{-27}$ kg; hun gravitationele aantrekking is $10^{36}$ keer kleiner. Twee gram elektronen aan de ene kant van een kamer en de bijbehorende protonen aan de andere zouden elkaar met $10^{25}$ N aantrekken. Materie is neutraal omdat zij geen keus heeft: elke onbalans wordt gecorrigeerd door krachten waartegen geen enkele structuur bestand is.

## 26.2 Het elektrische veld

**Definitie 26.4 (Elektrostatisch veld).**

Een verdeling van ladingen in rust wekt in elk punt $M$ van de ruimte een *elektrisch veld* $\vect E(M)$ op, gedefinieerd door de kracht die het uitoefent op een proeflading $q$ in $M$: $\vect F = q\vect E(M)$ ($\mathrm{V}/\mathrm{m}$ $=$ $\mathrm{N}/\mathrm{C}$). Een puntlading $q_1$ in $O$ wekt

$$
\vect E(M) = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vect e_r , \qquad r = OM ,
$$

op, radiaal en naar buiten gericht voor $q_1 > 0$; een verdeling wekt de vectorsom van de velden van haar elementen op. Een *veldlijn* is een kromme die in elk punt raakt aan $\vect E$ en er langs georiënteerd is.

**Propositie 26.5 (Een veldkaart lezen).**

[Veldlijnen](#def-b1-electrostatics-gauss-field) vertrekken bij positieve ladingen en eindigen op negatieve (of in het oneindige); zij kruisen elkaar nooit (het veld is eenduidig), en zij dringen samen waar het veld sterk is. Zijn er twee ladingen aanwezig, dan is het aantal lijnen dat men bij elk tekent evenredig met haar lading.

![Veldlijnen van twee tegengestelde ladingen (links) en van twee gelijke positieve ladingen (rechts). Lijnen beginnen op + en eindigen op - of in het oneindige; rechts stoten zij elkaar af en verdwijnt het veld in het middelpunt, waar geen lijn passeert.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-944406dd220a.svg)

*[Veldlijnen](#def-b1-electrostatics-gauss-field) van twee tegengestelde ladingen (links) en van twee gelijke positieve ladingen (rechts). Lijnen beginnen op $+$ en eindigen op $-$ of in het oneindige; rechts stoten zij elkaar af en verdwijnt het veld in het middelpunt, waar geen lijn passeert.*

**Voorbeeld 26.6 (Ring en segment door rechtstreeks sommeren).**

Op de as van een ring met straal $R$ die $Q$ gelijkmatig draagt, op afstand $z$ van het middelpunt, levert elk element $\dd q$ een bijdrage $\dd q/4\pi\varepsilon_0(R^2 +
z^2)$ langs de lijn die het met $M$ verbindt; de componenten loodrecht op de as vallen paarsgewijs weg en de axiale tellen op met de factor $z/\sqrt{R^2 + z^2}$:

$$
E_z = \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}} ,
$$

nul in het middelpunt, maximaal bij $z = R/\sqrt2$, en $Q/4\pi\varepsilon_0z^2$ ver weg. Een gelijkmatig geladen schijf is een stapel ringen ([Probleem 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). Rechtstreeks sommeren werkt telkens wanneer de meetkunde de integraal toelaat; de rest van dit hoofdstuk gaat erover hem te vermijden.

## 26.3 Symmetrieën en invarianties

**Propositie 26.7 (Symmetriebeginsel).**

Het veld heeft de symmetrieën van zijn bronnen. Is een vlak $\Pi$ een *[symmetrievlak](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* van de ladingsverdeling (het spiegelbeeld van de verdeling is zijzelf), dan ligt het veld in elk punt van $\Pi$ *in* $\Pi$; is $\Pi$ een *[antisymmetrievlak](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* (het spiegelbeeld is de verdeling met alle ladingen omgekeerd), dan staat het veld in de punten van $\Pi$ *loodrecht* op $\Pi$. Is de verdeling invariant onder een translatie of een rotatie, dan is het veld dat ook: zijn componenten hangen niet van de bijbehorende coördinaat af.

**Bewijs.** $\vect E$ is een som van termen $\dd q\,\vect e/4\pi\varepsilon_0r^2$; het spiegelbeeld van de som is de som van de spiegelbeelden, en het beeld van het veld van een verdeling is het veld van de gespiegelde verdeling (een vector die uit posities en ladingen is opgebouwd transformeert zoals de posities). Op een [symmetrievlak](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) is het veld gelijk aan zijn eigen spiegelbeeld en ligt het dus in het vlak; op een [antisymmetrievlak](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) is het gelijk aan het tegengestelde van zijn beeld en staat het er dus loodrecht op. Voor invariantie geldt hetzelfde argument met een translatie of rotatie. ∎

**Methode 26.8 (De vorm van een veld bepalen vóór men het berekent).**

Voor het punt $M$ waar men het veld wil hebben: (1) som de symmetrievlakken van de bronnen op die $M$ bevatten — het veld ligt op hun snijlijn; twee zulke vlakken leggen de richting vast. (2) Som de invarianties op — die zeggen van welke coördinaten $\vect E$ afhangt. Zo geeft een gelijkmatig geladen oneindige draad $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ in [cilindercoördinaten](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-cylindrical), een bol $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ in [bolcoördinaten](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-spherical), en een oneindig vlak $\vect E = E(z)\,\vect e_z$ met $E(-z) = -E(z)$. Pas daarna rekent men.

![De drie symmetrische verdelingen van dit hoofdstuk en de gaussoppervlakken (gestippeld) die erbij passen: een concentrische bol, een coaxiale cilinder, een doosje dat het vlak omvat. Op elk staat het veld óf loodrecht met overal dezelfde grootte, óf raakt het.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-c8541a0dedfa.svg)

*De drie symmetrische verdelingen van dit hoofdstuk en de gaussoppervlakken (gestippeld) die erbij passen: een concentrische bol, een coaxiale cilinder, een doosje dat het vlak omvat. Op elk staat het veld óf loodrecht met overal dezelfde grootte, óf raakt het.*

## 26.4 Flux en de wet van Gauss

**Definitie 26.9 (Flux van het veld).**

Verdeel een oppervlak $S$ in kleine elementen met oppervlakte $\dd S$, elk met een eenheidsnormaal $\vect n$ (bij een gesloten oppervlak de buitennormaal). De *flux* van $\vect E$ door $S$ is de som

$$
\Phi = \sum \vect E\cdot\vect n\,\dd S = \sum E_n\,\dd S \qquad (\mathrm{V}\,\mathrm{m}):
$$

de normale component van het veld gewogen met de oppervlakte — het “aantal [veldlijnen](#def-b1-electrostatics-gauss-field)” dat $S$ kruist, positief geteld wanneer zij langs $\vect n$ kruisen.

**Stelling 26.10 (De wet van Gauss).**

De [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) van het elektrostatische veld door een willekeurig gesloten oppervlak $S$ is gelijk aan de totale lading die $S$ omsluit, gedeeld door $\varepsilon_0$:

$$
\Phi_{\text{uit}} = \frac{Q_{\text{binnen}}}{\varepsilon_0} .
$$

Ladingen buiten $S$ dragen niets aan de [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) bij (hun lijnen gaan erin en komen er weer uit).

**Bewijs.** Voor een puntlading $q$ in het middelpunt van een bol met straal $r$ is $\vect E$ radiaal en overal op de bol even groot, $q/4\pi\varepsilon_0r^2$, zodat $\Phi = E \times 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$ — onafhankelijk van $r$, omdat het veld precies zo als $1/r^2$ afneemt als de oppervlakte groeit. Dat hetzelfde geldt voor elk gesloten oppervlak om $q$ (de [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) door een oppervlakte-element hangt alleen af van de ruimtehoek waaronder het vanuit $q$ wordt gezien), dat een lading erbuiten nul geeft (zij spant elke ruimtehoek twee keer op, met tegengesteld teken), en dat de [fluxen](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) van meerdere ladingen optellen, wordt hier aangenomen; het volledige bewijs staat in het volume van jaar 2. ∎

**Methode 26.11 (De wet van Gauss gebruiken).**

(1) Schrijf uit de symmetrieën de vorm van $\vect E$ op (richting en de variabele waarvan het afhangt). (2) Kies een gesloten *gaussoppervlak* door het punt $M$ waarop $\vect E$ overal óf loodrecht staat met dezelfde grootte $E(M)$, óf raakt: de [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) is dan $E(M)$ maal de oppervlakte van het loodrechte deel. (3) Tel de lading erbinnen. (4) Los op naar $E(M)$. Het werkt voor bollen, oneindige cilinders en oneindige vlakken — en zonder verder gereedschap voor niets anders.

**Propositie 26.12 (De drie klassieke velden).**

1. Bol met straal $R$ en lading $Q$ gelijkmatig over zijn volume verdeeld: $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ erbuiten ( $r > R$ ) — alsof alle lading in het middelpunt zat — en $E(r) =  \dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$ erbinnen, lineair groeiend vanaf nul; continu in $r = R$ . Zit de lading alleen op het oppervlak, dan is het veld binnenin nul.
2. Oneindige draad met lijnlading $\lambda$ : $E(r) =  \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ , radiaal.
3. Oneindig vlak met oppervlaktelading $\sigma$ : $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ aan weerszijden, loodrecht op het vlak, ervan af gericht bij $\sigma > 0$ , *onafhankelijk van de afstand* . Over het vlak heen springt de normale component met $\sigma/\varepsilon_0$ .

**Bewijs.** (1) Bol met straal $r$: [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $4\pi r^2E(r)$; lading erbinnen $Q$ als $r > R$, $Q(r/R)^3$ als $r < R$. (2) Cilinder met straal $r$ en lengte $h$: [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) door het zijoppervlak $2\pi rh\,E(r)$, geen door de eindvlakken (veld rakend); lading $\lambda h$. (3) Doosje met doorsnede $S$ dat het vlak omvat: [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $2SE$ door de twee eindvlakken (het veld is oneven in $z$, zodat beide positief tellen), geen door de zijkant; lading $\sigma S$. ∎

![Het veld van een geladen bol tegen de afstand tot zijn middelpunt: lineair binnenin en als 1/r2 erbuiten wanneer de lading het volume vult (doorgetrokken); nul binnenin en hetzelfde erbuiten wanneer zij op het oppervlak zit (gestippeld). Buiten onderscheidt niets de bol van een puntlading in haar middelpunt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-fb13f7a66542.svg)

*Het [veld van een geladen bol](#prop-b1-electrostatics-gauss-three) tegen de afstand tot zijn middelpunt: lineair binnenin en als $1/r^2$ erbuiten wanneer de lading het volume vult (doorgetrokken); nul binnenin en hetzelfde erbuiten wanneer zij op het oppervlak zit (gestippeld). Buiten onderscheidt niets de bol van een puntlading in haar middelpunt.*

**Voorbeeld 26.13 (Twee vlakken: de vlakke condensator).**

Twee evenwijdige vlakken die $+\sigma$ en $-\sigma$ dragen: elk wekt $\sigma/2\varepsilon_0$ op, van zich af gericht (naar zich toe bij het negatieve). Tussen de vlakken tellen de twee velden op tot $\sigma/\varepsilon_0$, gericht van $+$ naar $-$; erbuiten heffen zij elkaar op. Met $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$ is $E =
10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ertussen en nul erbuiten: het veld van een geladen condensator zit opgesloten in zijn spleet ([Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/27-elektrische-potentiaal-geleiders-en-condensatoren#ch-b1-potential-capacitors)).

![Superpositie voor twee tegengestelde vlakken. Links: de homogene velden van elk vlak afzonderlijk (rood vanaf het positieve, blauw naar het negatieve toe). Rechts: hun som, / _0 in de spleet en nul elders.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-ef80669323b1.svg)

*Superpositie voor twee tegengestelde vlakken. Links: de homogene velden van elk vlak afzonderlijk (rood vanaf het positieve, blauw naar het negatieve toe). Rechts: hun som, $\sigma/\varepsilon_0$ in de spleet en nul elders.*

## 26.5 De analogie met de zwaartekracht

**Propositie 26.14 (De wet van Gauss voor de zwaartekracht).**

De wet van Newton $\vect F = -Gm_1m_2\,\vect e_{12}/r^2$ heeft de vorm van die van Coulomb met $q \to m$ en $1/4\pi\varepsilon_0 \to -G$. Het [zwaartekrachtveld](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#prop-b1-newton-dynamics-weight) $\vect g$ (kracht per massa-eenheid) gehoorzaamt dus aan dezelfde symmetrieregels en aan

$$
\Phi_{\text{uit}}(\vect g) = -4\pi G\,M_{\text{binnen}} .
$$

In het bijzonder trekt een bolsymmetrisch lichaam punten erbuiten aan alsof zijn massa in zijn middelpunt zat, en is het veld binnen een homogene bol met straal $R$ en massa $M$ gelijk aan $g(r) = GMr/R^3$, lineair in $r$.

**Bewijs.** Vervang $Q/\varepsilon_0$ door $-4\pi GM$ in het bewijs van [Propositie 26.12](#prop-b1-electrostatics-gauss-three); het minteken zegt dat de [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) naar binnen gaat (de zwaartekracht trekt aan). ∎

**Voorbeeld 26.15 (Binnen in de aarde).**

Voor een homogene aarde zou $g$ lineair dalen van $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ aan het oppervlak tot nul in het middelpunt; een steen die in een tunnel dwars door de planeet valt zou harmonisch trillen met periode $2\pi\sqrt{R/g} =
84\,\mathrm{min}$ — de periode van een scherend cirkelende satelliet. De echte aarde heeft een dichte kern, en $g$ *stijgt* in werkelijkheid tot $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ op de grens kern–mantel voordat het daalt ([Probleem 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). Newton had de schaalstelling nodig om zijn wet op planeten toe te passen; de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) geeft haar in één regel.

## 26.6 Oefeningen

**Oefening 26.1 ★.**

Elektrische en gravitationele kracht tussen twee protonen op $2.0\,\mathrm{fm}$ afstand; hun verhouding. Waarom houden kernen dan toch samen?

**Oplossing van Oefening 26.1.**

$F_e = 8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2/(2 \times 10^{-15})^2 = 58\,\mathrm{N}$; $F_g = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/(4 \times 10^{-30}) =
4.6 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}$; verhouding $1.2 \times 10^{36}$. Kernen houden samen omdat de sterke wisselwerking, op femtometerschaal, zelfs deze afstoting overtreft.

**Oefening 26.2 ★.**

Veld op $1.0\,\mathrm{m}$ van een puntlading van $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. Het aardoppervlak draagt een veld van $100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ dat naar beneden wijst: teken en waarde van de lading van de aarde, opgevat als een bol met straal $6370\,\mathrm{km}$.

**Oplossing van Oefening 26.2.**

$E = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. Een neerwaarts veld is dat van een negatieve lading: $Q = -4\pi\varepsilon_0R^2E = -1.11 \times 10^{-10} \times
(6.37 \times 10^6)^2 \times 100 = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**Oefening 26.3 ★.**

Twee ladingen $+q$ in $x = \pm a$ op de $x$-as. Veld op de $x$-as voor $|x| > a$ en op de $y$-as; toon aan dat op de $y$-as $E_y$ maximaal is in $y = a/\sqrt2$. Schets de lijnen bij de oorsprong.

**Oplossing van Oefening 26.3.**

Op de as, $|x| > a$: $E_x = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\dfrac{1}{(x - a)^2} +
\dfrac{1}{(x + a)^2}\Bigr]$, naar buiten. Op de $y$-as vallen de $x$-componenten weg: $E_y = \dfrac{2qy}{4\pi\varepsilon_0(y^2 + a^2)^{3/2}}$; $\dd E_y/\dd y \propto
(y^2 + a^2) - 3y^2 = 0$ in $y = a/\sqrt2$. In de oorsprong verdwijnt het veld; lijnen die elke lading naar de andere toe verlaten buigen weg langs $\pm y$ — een zadelpunt.

**Oefening 26.4 ★.**

Ladingen $+2q$ in $x = 0$ en $-q$ in $x = a$. Waar op de $x$-as verdwijnt het veld? Hoeveel [veldlijnen](#def-b1-electrostatics-gauss-field) vertrekken bij $+2q$ voor elke lijn die bij $-q$ aankomt, en waar gaan de overige heen?

**Oplossing van Oefening 26.4.**

Tussen de ladingen wijzen beide velden naar $-q$: geen nulpunt. Links van $+2q$ geldt altijd $2q/x^2 > q/(x + a)^2$. Voorbij $-q$, op afstand $d$ ervan: $2q/(a + d)^2 = q/d^2$, $a + d = \sqrt2\,d$, $d = a/(\sqrt2 - 1) = 2.4a$. Er vertrekken twee lijnen bij $+2q$ voor elke lijn die op $-q$ eindigt; de andere helft gaat naar het oneindige, waar het paar op een lading $+q$ lijkt.

**Oefening 26.5 ★★.**

Een schijf met straal $R$ draagt $\sigma$ gelijkmatig. Toon met het resultaat voor de ring aan dat op haar as $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 +
R^2}}\Bigr)$ voor $z > 0$; controleer de twee limieten $z \ll R$ en $z \gg R$.

**Oplossing van Oefening 26.5.**

Ring met straal $a$, dikte $\dd a$: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$, $\dd E_z =
\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}$; integreer: $\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\Bigl[-\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + z^2}}\Bigr]_0^R = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$. $z \ll R$: $\sigma/2\varepsilon_0$, het oneindige vlak. $z \gg R$: $z/\sqrt{z^2 + R^2} \approx 1 - R^2/2z^2$, dus $E_z
\approx \sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, de puntlading.

**Oefening 26.6 ★★.**

Een goudkern ($Z = 79$, $R = 7.0\,\mathrm{fm}$) als een gelijkmatig geladen bol: veld aan het oppervlak, in $R/2$, op $1\,\mathrm{pm}$. Vergelijk met het doorslagveld van lucht, $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Oplossing van Oefening 26.6.**

$Q = 79e = 1.26 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$; $E(R) = 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/
(7 \times 10^{-15})^2 = 2.3 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; in $R/2$ de helft: $1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; op $1\,\mathrm{pm}$: $1.14 \times 10^{-7}/10^{-24} = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — $10^{15}$ keer het doorslagveld van lucht, op een afstand waar de elektronen leven.

**Oefening 26.7 ★★.**

Veld van een oneindige draad met de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Een hoogspanningsgeleider met straal $1.0\,\mathrm{cm}$: lijnlading waarbij het veld aan zijn oppervlak de doorslagwaarde $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ bereikt (het inzetten van corona). Veld op $5\,\mathrm{m}$ dan.

**Oplossing van Oefening 26.7.**

Cilinder met straal $r$ en lengte $h$: $2\pi rh\,E = \lambda h/\varepsilon_0$, $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0r$. Corona bij $\lambda = 2\pi\varepsilon_0 rE = 2\pi \times 8.85 \times
10^{-12} \times 0.01 \times 3 \times 10^6 = 1.7\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$; op $5\,\mathrm{m}$ is $E = 3 \times 10^6 \times 0.01/5 = 6\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

**Oefening 26.8 ★★.**

Twee evenwijdige platen met oppervlakte $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ dragen $\pm1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. Veld ertussen; kracht op één plaat (het veld dat erop werkt is alleen dat van de andere plaat — waarom?); druk op de platen.

**Oplossing van Oefening 26.8.**

$E = \sigma/\varepsilon_0 = 10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Een plaat oefent netto geen kracht op zichzelf uit (de bijdragen van haar eigen veld vallen paarsgewijs weg); het veld van de andere plaat is op haar plaats $\sigma/2\varepsilon_0$, dus $F = Q\sigma/2\varepsilon_0 = 10^{-6} \times 10^{-6}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) =
5.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, aantrekkend; druk $\sigma^2/2\varepsilon_0 = 0.056\,\mathrm{Pa}$.

**Oefening 26.9 ★★.**

Coaxkabel: binnengeleider met straal $a$ en $+\lambda$, buitenmantel met straal $b$ en $-\lambda$. Veld in de drie gebieden met de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $b = 2.5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 10\,\mathrm{nC}/\mathrm{m}$: veld aan het oppervlak van de binnengeleider.

**Oplossing van Oefening 26.9.**

$r < a$: de lading van de binnengeleider zit op zijn oppervlak, geen lading erbinnen, $E = 0$. $a < r < b$: $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$. $r > b$: omsloten lading $\lambda - \lambda = 0$, $E = 0$ — de kabel straalt geen statisch veld uit. In $r = a$: $2 \times 8.99 \times 10^9 \times 10^{-8}/(5 \times 10^{-4}) =
3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Oefening 26.10 ★★★.**

Een dikke bolschil $R_1 < r < R_2$ draagt $Q$ gelijkmatig in haar volume. Veld in de drie gebieden; controleer de continuïteit in $R_1$ en $R_2$; waar is het maximaal? Schets $E(r)$. Een positieve lading die in de holte wordt gelegd: welke kracht voelt zij?

**Oplossing van Oefening 26.10.**

$\rho = 3Q/4\pi(R_2^3 - R_1^3)$. $r < R_1$: $E = 0$. $R_1 < r < R_2$: $4\pi r^2E =
\rho\,\tfrac43\pi(r^3 - R_1^3)/\varepsilon_0$, dus $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,
\dfrac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3}$. $r > R_2$: $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$. In $R_1$ geven beide kanten $0$; in $R_2$ geven beide $Q/4\pi\varepsilon_0R_2^2$. In de schil neemt $E
\propto r - R_1^3/r^2$ toe, dus ligt het maximum in $R_2$, waarna het als $1/r^2$ daalt. In de holte is het veld nul: een lading daar voelt geen kracht — waar zij ook zit.

**Oefening 26.11 ★★★.**

*Zwaartekracht binnen in de aarde.* Kern: straal $3480\,\mathrm{km}$, dichtheid $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; mantel tot $6370\,\mathrm{km}$, dichtheid $4500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Massa van kern, van mantel en totaal (vergelijk met $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$). (b) $g$ aan het oppervlak en op de grens kern–mantel. (c) Toon aan dat $g$ met de diepte in de mantel stijgt als de dichtheid van de mantel onder $\tfrac23$ van de gemiddelde dichtheid van wat eronder ligt blijft, en controleer dat.

**Oplossing van Oefening 26.11.**

(a) Kern $\tfrac43\pi(3.48 \times 10^6)^3 \times 11000 = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; mantel $\tfrac43\pi[(6.37 \times 10^6)^3 - (3.48 \times 10^6)^3] \times 4500 = 4.08 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; totaal $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, tot op $1\%$. (b) Oppervlak $GM/R^2 = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; grens $6.67 \times 10^{-11} \times 1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^6)^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $g = GM(r)/r^2$ met $\dd M = 4\pi r^2\rho_m\,\dd r$: $\dd g/\dd r = 4\pi G\rho_m - 2GM(r)/r^3 = 4\pi G[\rho_m - \tfrac23\bar\rho(r)]$, waarin $\bar\rho(r) = M(r)/\tfrac43\pi r^3$ de gemiddelde dichtheid onder $r$ is. $g$ stijgt met de diepte ($\dd g/\dd r < 0$) dan en slechts dan als $\rho_m < \tfrac23\bar\rho$. Net onder het oppervlak is $\bar\rho = 5500$, $\tfrac23\bar\rho = 3700 < 4500$: $g$ zakt eerst een beetje; op de kerngrens is $\bar\rho = 11000$, $7300 >
4500$: daar stijgt het, tot $10.7$.

**Oefening 26.12 ★★★.**

*Het atoom van Thomson.* Modelleer het waterstofatoom als een homogene positieve bol met lading $+e$ en straal $R = 0.10\,\mathrm{nm}$ waarin het elektron vrij kan bewegen. (a) Kracht op het elektron op afstand $r$ van het middelpunt. (b) Toon aan dat het harmonisch trilt en bereken de frequentie en de golflengte van het licht dat het zou uitzenden. (c) Vergelijk met de ultraviolette lijnen van waterstof ($122\,\mathrm{nm}$ en korter) en zeg wat het model goed en wat het fout heeft ([Hoofdstuk 30](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/30-inleiding-tot-de-kwantumfysica#ch-b1-quantum-introduction)).

**Oplossing van Oefening 26.12.**

(a) Binnenin is $E = er/4\pi\varepsilon_0R^3$ naar buiten gericht; op het elektron werkt $\vect F =
-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,\vect r$: een veer. (b) $\omega = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0mR^3}
= \sqrt{2.31 \times 10^{-28}/(9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-30})} = 1.6 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $\lambda = c/f = 120\,\mathrm{nm}$. (c) Verbluffend dicht bij de lijn van $122\,\mathrm{nm}$: de grootte en de sterkte van het atoom kloppen. Maar het model geeft één frequentie en geen reeks, de kern is geen bal van $0.1\,\mathrm{nm}$ maar een punt van $10^{-15}$ m — en een klassiek cirkelend elektron zou zijn energie in nanoseconden wegstralen. De oplossing is [Hoofdstuk 30](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/30-inleiding-tot-de-kwantumfysica#ch-b1-quantum-introduction).

## 26.7 Probleem: De elektrische aarde

**Probleem 26.1.**

Weekendopgave — het mooiweerveld, de onweerswolk, de bliksemontlading, en de wet van Gauss losgelaten op de zwaartekracht

Gegevens: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, straal van de aarde $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, oppervlak $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$, $M_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Deel I — Het mooiweerveld.** Bij helder weer is het veld aan de grond $E_0 = 100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ en wijst het naar *beneden*.

1. Richting van de kracht op een vrij elektron aan de grond; teken van de lading van de aarde.
2. Vat de aarde op als een gelijkmatig geladen bol: bepaal met de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) haar totale lading.
3. Oppervlakteladingsdichtheid van de grond; aantal overtollige elektronen per vierkante centimeter.
4. Kracht op een stofdeeltje met massa $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ dat $100$ [elementaire ladingen](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) draagt; vergelijk met zijn gewicht.
5. Metingen laten zien dat het veld op $10\,\mathrm{km}$ tot ongeveer $5\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ daalt. Pas de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) toe op een verticale kolom met doorsnede $1\,\mathrm{m}^{2}$ tussen de grond en $10\,\mathrm{km}$ : teken en grootte van de lading die de lucht per vierkante meter draagt.
6. Gemiddelde ruimtelading van die lucht, en het bijbehorende aantal [elementaire ladingen](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) per kubieke meter. (De lucht bevat ongeveer $10^9$ ionen van elk teken per kubieke meter: welke fractie onbalans is dit?)
7. De lucht heeft een kleine geleidbaarheid $\gamma = 2 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , zodat er een stroomdichtheid $\gamma E_0$ naar beneden loopt. Totale mooiweerstroom over de aardbol; tijd die het zou kosten om de lading van de aarde te neutraliseren. Trek een conclusie.

**Deel II — De onweerswolk.** Modelleer een onweerswolk als twee horizontale schijven met straal $R = 3\,\mathrm{km}$: $-Q$ op hoogte $3\,\mathrm{km}$, $+Q$ op $9\,\mathrm{km}$, met $Q = 40\,\mathrm{C}$.

8. Veld op de as van een ring met straal $a$ die $q$ draagt, op afstand $z$ van haar middelpunt (symmetrie, daarna sommeren).
9. Leid daaruit, door over ringen te sommeren, het veld af op de as van een schijf met straal $R$ en oppervlaktelading $\sigma$ : $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .
10. Limieten $z \ll R$ en $z \gg R$ ; duid ze allebei.
11. Oppervlaktelading van de onderste schijf; veld dat zij aan de grond recht eronder opwekt (richting en waarde).
12. Veld van de bovenste schijf in hetzelfde punt; netto veld aan de grond onder de bui. De grond is een geleider en de ladingen die erin worden geïnduceerd verdubbelen het resultaat ruwweg (aangenomen): vergelijk met de $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ die onder buien wordt gemeten en met de mooiweerwaarde.
13. [Flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) van het veld door een gesloten oppervlak dat de hele wolk omsluit; en door een dat alleen de onderste schijf omsluit.
14. Veld halverwege tussen de twee schijven ( $6\,\mathrm{km}$ ), en zijn richting; vergelijk met het doorslagveld van lucht op die hoogte, ongeveer $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .
15. Als de $40\,\mathrm{C}$ in een bol met straal $500\,\mathrm{m}$ was geconcentreerd: veld aan haar oppervlak. Waarom is het ontstaan van bliksem toch nog een open vraag?

**Deel III — De ontlading.** Een hoofdontlading brengt $5\,\mathrm{C}$ in $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ naar de grond door een kanaal van $3\,\mathrm{km}$ lang; neem het veld langs het kanaal gelijk aan $10^5$ V/m.

16. Gemiddelde stroom.
17. Arbeid van de elektrische kracht op de overgebrachte lading; vermogen tijdens de ontlading; vergelijk met het gemiddelde energieverbruik van de mensheid, ongeveer $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ .
18. Het kanaal heeft een straal van $2\,\mathrm{cm}$ : massa lucht erin ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ), en de temperatuur die zij zou bereiken als alle energie haar bij constant volume verwarmde ( $c_V =  720\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ). Werkelijke kanaaltemperaturen liggen rond $30\,000\,\mathrm{K}$ : waar blijft de rest?
19. Donder: vertraging per kilometer, en waarom het geluid van een kanaal van $3\,\mathrm{km}$ seconden lang rommelt.
20. Wereldwijd slaan er ongeveer $50$ ontladingen per seconde van wolk naar grond: welke stroom voeren zij naar beneden? Vergelijk met deel I en maak het beeld van de “mondiale kring” compleet.

**Deel IV — De [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) losgelaten op de zwaartekracht.**

21. Schrijf de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) voor het [zwaartekrachtveld](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#prop-b1-newton-dynamics-weight) $\vect g$ op en verantwoord de constante met het geval van een [puntmassa](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-frame) .
22. Homogene aarde: $g(r)$ binnenin; waarde in $r = R_E/2$ .
23. Echte aarde, kern met straal $3480\,\mathrm{km}$ en dichtheid $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $g$ op de grens kern–mantel; vergelijk met het oppervlak.
24. Een steen die in een wrijvingsloze tunnel dwars door een homogene aarde valt: bewegingsvergelijking, periode van de trilling, snelheid in het middelpunt.
25. Vat samen: wat verving de [wet van Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) in elk van de vier delen, en welke vier getallen zijn het onthouden waard?

**Oplossing van Probleem 26.1.**

**1.** $\vect F = -e\vect E$: naar boven. Een neerwaarts veld aan het oppervlak is het veld van een negatieve lading: de aarde is negatief.

**2.** Bol met straal $R_E$, $E_n = -100$: $Q = 4\pi\varepsilon_0R_E^2E_n =
1.11 \times 10^{-10} \times 4.06 \times 10^{13} \times (-100) = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**3.** $\sigma = \varepsilon_0E_n = -8.9 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; $8.9 \times 10^{-10}/1.6 \times
10^{-19} = 5.5 \times 10^9$ elektronen per vierkante meter, $5.5 \times 10^5$ per vierkante centimeter.

**4.** $F = 100e \times 100 = 1.6 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$; gewicht $10^{-9} \times 9.8 =
9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$: zes miljoen keer groter.

**5.** Buitennormalen: boven $E_n = -5$, onder $E_n = +100$, zijkanten nul: $\Phi = 95\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$, dus $Q = 95\varepsilon_0 = +8.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}$ per vierkante meter — positieve ruimtelading, die de $-8.9 \times 10^{-10}$ van de grond bijna opheft.

**6.** $\rho = 8.4 \times 10^{-10}/10^4 = 8.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$: $5 \times 10^5$ [elementaire ladingen](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) per kubieke meter; tegen $10^9$ ionen van elk teken een onbalans van $5 \times 10^{-4}$.

**7.** $J = \gamma E_0 = 2 \times 10^{-12}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $I = J \times 5.1 \times 10^{14} =
1.0\,\mathrm{kA}$; $Q/I = 4.5 \times 10^5/1000 = 450\,\mathrm{s}$. De aarde zou in acht minuten neutraal zijn: iets laadt haar voortdurend bij.

**8.** De as ligt in elk vlak dat haar bevat, allemaal symmetrievlakken: $\vect E$ is axiaal. Elke $\dd q$ geeft $\dd q/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)$ langs zijn eigen richting, waarvan het axiale deel de fractie $z/\sqrt{a^2 + z^2}$ is: $E_z = qz/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)^{3/2}$.

**9.** $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$: $E_z = \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R
\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2
+ R^2}}\Bigr)$.

**10.** $z \ll R$: $\sigma/2\varepsilon_0$, het oneindige vlak (de waarde van Gauss); $z \gg R$: $\sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, de puntlading.

**11.** $\sigma = -40/(\pi \times 9 \times 10^6) = -1.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; $\sigma/2\varepsilon_0 =
8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; op $z = 3\,\mathrm{km}$ is $1 - 3/\sqrt{18} = 0.29$: $E =
2.3 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, *omhoog* gericht naar de negatieve lading.

**12.** Bovenste schijf, $z = 9\,\mathrm{km}$: $8.0 \times 10^4 \times (1 - 9/\sqrt{90}) =
4.1 \times 10^{3}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ naar beneden. Netto $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ omhoog, ongeveer $4 \times 10^4$ met de geïnduceerde ladingen van de grond: de juiste orde van de $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ die wordt gemeten (de echte lading is meer verspreid en deels afgeschermd); omgekeerd en honderd keer het mooiweerveld.

**13.** Hele wolk: netto lading nul, [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) nul. Alleen de onderste schijf: $-Q/\varepsilon_0 = -40/8.85 \times 10^{-12} = -4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$.

**14.** Elke schijf ligt op $3\,\mathrm{km}$ en geeft $2.3 \times 10^4$; de bovenste ($+$) duwt omlaag, de onderste ($-$) trekt omlaag: $4.7 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ naar beneden — dertig keer onder de doorslagwaarde.

**15.** $Q/4\pi\varepsilon_0R^2 = 8.99 \times 10^9 \times 40/(2.5 \times 10^5) =
1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: alleen een lading die in een halve kilometer wordt gepropt haalt de doorslagwaarde, en de velden die men in wolken meet zijn tien keer te zwak. Plaatselijke versterking bij druppels en ijs, of op hol geslagen elektronen die door kosmische straling worden aangestoken, zijn de kandidaten — hoe een flits begint staat nog ter discussie.

**16.** $I = 5/(5 \times 10^{-5}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{A}$.

**17.** $W = QEd = 5 \times 10^5 \times 3000 = 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ($420\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$); $P = 1.5 \times 10^9/5 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ — anderhalf keer het vermogen van de hele mensheid, vijftig microseconden lang.

**18.** Volume $\pi(0.02)^2 \times 3000 = 3.8\,\mathrm{m}^{3}$, massa $4.5\,\mathrm{kg}$; $\Delta T = 1.5 \times 10^9/(4.5 \times 720) = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{K}$ als er niets ontsnapte. Het kanaal explodeert naar buiten (de schok is de donder), straalt licht en radiogolven uit, ioniseert en splitst de lucht: het uiteindelijke kanaal tot $3 \times 10^4$ K verwarmen is maar een klein deel van de rekening.

**19.** $2.9\,\mathrm{s}$ per kilometer. Het geluid vertrekt tegelijk uit elk punt van een kanaal van $3\,\mathrm{km}$, vanaf afstanden die kilometers verschillen: het komt over enkele seconden verspreid aan — het gerommel.

**20.** $50 \times 5 = 250\,\mathrm{A}$ naar de grond gevoerd; met de rustiger onweersstromen (puntontlading onder wolken, geladen regen) haalt het totaal de kiloampère van deel I: onweersbuien zijn de generatoren van een mondiale kring waarvan de mooiweerlucht de retourweg is.

**21.** $\Phi_{\text{uit}}(\vect g) = -4\pi GM_{\text{binnen}}$: voor een [puntmassa](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-frame) is $g = -GM/r^2$ op een bol met oppervlakte $4\pi r^2$, [flux](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $-4\pi GM$, onafhankelijk van $r$; de rest volgt als bij Coulomb.

**22.** $g(r) = g_0r/R_E$; in $R_E/2$: $4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**23.** $M_{\text{kern}} = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $g = GM_{\text{kern}}/R_c^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — groter dan aan het oppervlak: de mantel erboven is lichter dan het gemiddelde van wat eronder ligt.

**24.** $m\ddot x = -mg_0x/R_E$: $\omega = \sqrt{g_0/R_E} = 1.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 2\pi/\omega = 5060\,\mathrm{s} = 84\,\mathrm{min}$, $v_{\max} = \omega R_E =
7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — de baansnelheid van een scherend cirkelende satelliet, waarvan de periode dezelfde is.

**25.** Zij verving de som over elke lading van de aarde (I), over de ionen van de lucht (I), en over elke schil gesteente (IV) — en in II legde zij de grenzen van de som over schijven vast. Onthoud: $-5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ en $1\,\mathrm{kA}$ voor de mooiweeraarde; $40\,\mathrm{C}$ en $10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ onder een bui; $10^{5}\,\mathrm{A}$ en $10^{9}\,\mathrm{J}$ per ontlading; $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ op de kerngrens.