---
title: "Elektrische potentiaal; geleiders en condensatoren"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 27
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/27-elektrische-potentiaal-geleiders-en-condensatoren
---

# Hoofdstuk 27 — Elektrische potentiaal; geleiders en condensatoren

Een veld is drie getallen in elk punt; een potentiaal is er één. Omdat de elektrostatische kracht conservatief is, laat het hele veld van een ladingsverdeling zich samenvouwen tot één enkele scalaire functie, de potentiaal, waaruit men het door differentiëren terugkrijgt — dezelfde zuinigheid die in de mechanica krachten in [potentiële energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#def-b1-work-and-energy-conservative) veranderde. De potentiaal is wat een voltmeter afleest, wat een batterij in stand houdt, wat elektronen in een buis versnelt; zijn niveauvlakken brengen een veld in één oogopslag in kaart. Dit hoofdstuk bouwt hem op, gebruikt hem op de dipool (het eerste elektrische model van een molecuul), en gaat dan over op de twee voorwerpen waaruit elke schakeling bestaat: geleiders, waarop de lading zich zo schikt dat zij het veld binnenin doodt, en [condensatoren](#def-b1-potential-capacitors-capacitance), die lading en energie in een veld opslaan.

![Door een vandegraaffgenerator tot enkele honderden kilovolt geladen is een mens een equipotentiële geleider waarvan de haren, alle op dezelfde potentiaal en alle gelijk geladen, elkaar afstoten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/img-b002bebad4b0.jpg)

*Door een vandegraaffgenerator tot enkele honderden kilovolt geladen is een mens een equipotentiële geleider waarvan de haren, alle op dezelfde potentiaal en alle gelijk geladen, elkaar afstoten.*

## 27.1 De elektrostatische potentiaal

**Stelling 27.1 (Het elektrostatische veld is conservatief).**

Er bestaat een scalaire functie $V(M)$, de *[elektrostatische potentiaal](#thm-b1-potential-capacitors-potential)* (volt, $\mathrm{V}$), zodanig dat

$$
\vect E = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,V , \qquad
V_A - V_B = \int_A^B \vect E\cdot\dd\vect l
$$

langs elke weg van $A$ naar $B$ (de *circulatie* van $\vect E$ van $A$ naar $B$ hangt niet van de weg af, en is nul langs een gesloten lus). Voor een puntlading $q$ in $O$ is $V(M) = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\,OM}$ met de afspraak $V(\infty) = 0$; voor meerdere ladingen tellen de potentialen op. De [potentiële energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#def-b1-work-and-energy-conservative) van een lading $q'$ in $M$ is $E_p = q'V(M)$, en de arbeid van de elektrische kracht van $A$ naar $B$ is $q'(V_A - V_B)$.

**Bewijs.** De coulombkracht van een vaste lading $q$ op $q'$ heeft de vorm van de gravitatiewet van Newton met $-Gm_1m_2$ vervangen door $qq'/4\pi\varepsilon_0$; dezelfde berekening die $E_p = -Gm_1m_2/r$ gaf ([Propositie 13.7](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#prop-b1-work-and-energy-eps)) geeft $E_p = qq'/4\pi\varepsilon_0r$: delen door $q'$ geeft $V$, en $\vect E = \vect F/q' =
-\overrightarrow{\operatorname{grad}}(E_p)/q'$. Superpositie draagt het resultaat over op elke verdeling; de formule voor de circulatie is de definitie van de gradiënt, langs de weg geïntegreerd. ∎

**Propositie 27.2 (Een potentiaal lezen).**

1. De *equipotentiaalvlakken* $V = \text{const}$ staan overal loodrecht op de [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) , en het veld wijst naar *afnemende* potentiaal.
2. $|\vect E|$ is de veranderingssnelheid van $V$ langs de steilste richting: waar equipotentialen dicht opeen liggen is het veld sterk.
3. $V$ ligt op een additieve constante na vast; alleen verschillen ( [spanningen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) ) zijn meetbaar. De aarde of het oneindige wordt bij afspraak op nul gezet.
4. In [bolcoördinaten](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-spherical) met symmetrie om $O$ is $E_r = -\dd V/  \dd r$ ; in [poolcoördinaten](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-cylindrical) $(r, \theta)$ in een vlak geldt $E_r = -\partial V/\partial r$ en $E_\theta = -\dfrac1r\,\partial V/\partial\theta$ .

**Bewijs.** Op een equipotentiaal is $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l = 0$ voor elke verplaatsing in het vlak, dus staat $\vect E$ er loodrecht op; gaat men langs $\vect E$, dan is $\dd V = -E\,\dd l < 0$. De poolcomponenten volgen uit $\dd V = (\partial V/\partial r)\dd r + (\partial V/\partial\theta)\dd\theta$ en $\dd\vect l = \dd r\,\vect e_r + r\,\dd\theta\,\vect e_\theta$. ∎

![Equipotentialen (oranje) en veldlijnen (blauw) van een puntlading en van een vlakke condensator. De lijnen kruisen de equipotentialen loodrecht en lopen van hoge naar lage potentiaal; waar de equipotentialen samendringen is het veld sterk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-e495e6034481.svg)

*Equipotentialen (oranje) en [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) (blauw) van een puntlading en van een [vlakke condensator](#prop-b1-potential-capacitors-three). De lijnen kruisen de equipotentialen loodrecht en lopen van hoge naar lage potentiaal; waar de equipotentialen samendringen is het veld sterk.*

**Methode 27.3 (Een potentiaal berekenen).**

Sommeer ofwel $\dd q/4\pi\varepsilon_0r$ over de verdeling (wanneer de som hanteerbaar is en de verdeling eindig, zodat $V(\infty) = 0$ zinvol is), ofwel integreer $\dd V = -\vect E\cdot\dd\vect l$ langs een handige weg vanaf een punt waar $V$ bekend is, met het veld dat de [wet van Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) oplevert. Voor oneindige verdelingen (draad, vlak) werkt alleen de tweede weg, en moet het nulpunt van $V$ in een eindig punt worden gekozen.

**Propositie 27.4 (Potentialen van de klassieke verdelingen).**

1. Bol met straal $R$ en $Q$ in zijn volume: $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r}$ erbuiten; $V(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$ erbinnen, dus $V(0) = \tfrac32\,Q/4\pi\varepsilon_0R$ . Zit $Q$ op het oppervlak, dan is $V$ binnenin uniform en gelijk aan $Q/4\pi\varepsilon_0R$ .
2. Oneindige draad $\lambda$ : $V(r) = -\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r}{r_0}$ .
3. [Vlakke condensator](#prop-b1-potential-capacitors-three) , veld $E$ van plaat 1 naar plaat 2 op afstand $d$ : $V$ daalt lineair over de spleet en $V_1 - V_2 = Ed$ .

**Bewijs.** Integreer $E_r = -\dd V/\dd r$ met de velden uit [Propositie 26.12](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-three): vanuit het oneindige naar binnen voor de bol (continuïteit in $R$ legt de binnenconstante vast), vanaf $r_0$ voor de draad, over de spleet voor de [condensator](#def-b1-potential-capacitors-capacitance). ∎

![Potentiaal (doorgetrokken) en veld (gestippeld) van een gelijkmatig geladen bol. De potentiaal is continu met een continue helling; hij is parabolisch binnenin, waar het veld lineair is, en gaat als 1/r erbuiten. Zijn maximum ligt in het middelpunt, waar het veld verdwijnt — een maximum van V is een punt met veld nul, niet omgekeerd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-e7140c45665e.svg)

*Potentiaal (doorgetrokken) en veld (gestippeld) van een gelijkmatig geladen bol. De potentiaal is continu met een continue helling; hij is parabolisch binnenin, waar het veld lineair is, en gaat als $1/r$ erbuiten. Zijn maximum ligt in het middelpunt, waar het veld verdwijnt — een maximum van $V$ is een punt met veld nul, niet omgekeerd.*

**Voorbeeld 27.5 (De elektronvolt, opnieuw).**

Een elektron dat een spleet van $100\,\mathrm{V}$ doorloopt wint $eU = 100\,\mathrm{eV} =
1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, wat de vorm van het veld tussen de elektroden ook is: de potentiaal maakt de weg irrelevant ([Definitie 17.3](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/17-geladen-deeltjes-in-e-en-b-velden#def-b1-charged-particles-eV)). Een lading van $1\,\text{µ}\mathrm{C}$ op $1\,\mathrm{m}$ van een andere heeft $V = 9\,\mathrm{kV}$ en het paar slaat $9\,\mathrm{mJ}$ op; de potentiaal in het middelpunt van een goudkern is $24\,\mathrm{MV}$ ([Oefening 27.6](#exo-b1-potential-capacitors-6)).

## 27.2 De elektrische dipool

**Definitie 27.6 (Elektrische dipool).**

Twee tegengestelde ladingen $-q$ in $N$ en $+q$ in $P$, op afstand $a = NP$ van elkaar, vormen een *elektrische dipool* met *dipoolmoment* $\vect p = q\,\vect{NP}$ ($\mathrm{C}\,\mathrm{m}$), gericht van $-$ naar $+$. De dipoolbenadering is de studie van zijn veld op afstanden $r \gg a$. Een molecuul waarvan de [zwaartepunten](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/19-systemen-van-punten-inleiding-tot-vaste-lichamen#def-b1-systems-of-points-cm) van positieve en negatieve lading niet samenvallen (water, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$) is een dipool; een neutraal atoom in een veld wordt er een (geïnduceerde dipool).

**Propositie 27.7 (Veld van een dipool).**

In $M$ met $OM = r \gg a$ ($O$ het midden van $NP$) en $\theta$ de hoek tussen $\vect p$ en $\vect{OM}$ geldt

$$
V(M) = \frac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, \qquad
E_r = \frac{2p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3}, \qquad
E_\theta = \frac{p\sin\theta}{4\pi\varepsilon_0r^3} .
$$

Het veld van een dipool neemt af als $1/r^3$, sneller dan de $1/r^2$ van een lading: van ver heffen de twee ladingen elkaar bijna op, en wat overblijft is hun scheiding.

**Bewijs.** $V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{PM} - \dfrac1{NM}\Bigr)$ met $PM \approx r - \tfrac a2\cos\theta$ en $NM \approx r + \tfrac a2\cos\theta$ (projectie van $\pm\tfrac a2$ op $\vect{OM}$); tot op eerste orde in $a/r$ is $1/PM - 1/NM \approx a\cos\theta/r^2$. Dan is $E_r = -\partial V/\partial r$ en $E_\theta = -(1/r)\,\partial V/\partial\theta$. ∎

![Links: de meetkunde van de dipoolbenadering — M gezien vanuit het midden O op afstand r en onder hoek met p, met de radiale en orthoradiale veldcomponenten. Rechts: veldlijnen (blauw, r 2) en equipotentialen (oranje, r √| |) van een dipool die naar rechts wijst; het vlak door O loodrecht op p is de equipotentiaal V = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-f70f9c36fab9.svg)

*Links: de meetkunde van de dipoolbenadering — $M$ gezien vanuit het midden $O$ op afstand $r$ en onder hoek $\theta$ met $\vect p$, met de radiale en orthoradiale veldcomponenten. Rechts: [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) (blauw, $r \propto \sin^2\theta$) en equipotentialen (oranje, $r \propto
\sqrt{|\cos\theta|}$) van een dipool die naar rechts wijst; het vlak door $O$ loodrecht op $\vect p$ is de equipotentiaal $V = 0$.*

**Propositie 27.8 (Dipool in een uitwendig veld).**

Een dipool $\vect p$ in een homogeen veld $\vect E$ ondervindt geen netto kracht, wel een [koppel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/15-impulsmoment#def-b1-angular-momentum-moment) $\vect\Gamma = \vect p\wedge\vect E$ dat hem met het veld probeert uit te lijnen, en heeft de [potentiële energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p = -\vect p\cdot\vect E$, minimaal bij uitlijning. In een inhomogeen veld wordt hij bovendien naar de gebieden met een sterk veld getrokken (in één dimensie $F_x = p\,\dd E/\dd x$ voor een uitgelijnde dipool).

**Bewijs.** De krachten $\pm q\vect E$ heffen elkaar op; hun moment om $O$ is $\vect{OP}\wedge
q\vect E + \vect{ON}\wedge(-q\vect E) = q\vect{NP}\wedge\vect E$. Energie: $qV(P) - qV(N) = -q\,\vect{NP}\cdot\vect E$ voor een homogeen veld (want $V(P)
- V(N) = -\vect E\cdot\vect{NP}$). Inhomogeen, uitgelijnd langs $x$: $F_x =
qE(x + a) - qE(x) \approx qa\,\dd E/\dd x$. ∎

**Voorbeeld 27.9 (Waarom de kam het papier aantrekt).**

Een geladen kam wekt een veld op dat met de afstand afneemt; een snipper papier, neutraal, wordt erdoor gepolariseerd (geïnduceerde dipool langs $\vect E$), en de kracht $p\,\dd E/\dd x$ op een uitgelijnde dipool trekt hem naar het gebied met sterk veld: de kam. Het teken van de lading van de kam doet er niet toe; hetzelfde mechanisme houdt de ballon tegen de muur en laat de waterstraal afbuigen. Voor watermoleculen is $pE$ in een veld van $1\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ gelijk aan $6 \times 10^{-24}\,\mathrm{J}$, $600$ keer minder dan $k_BT$ bij kamertemperatuur: alleen een lichte netto uitlijning overleeft het thermische buitelen ([Oefening 27.7](#exo-b1-potential-capacitors-7)).

## 27.3 Geleiders in elektrostatisch evenwicht

**Stelling 27.10 (Eigenschappen van een geleider in evenwicht).**

In een geleider waarin de vrije ladingen in rust zijn:

1. $\vect E = \vect 0$ binnenin, en de geleider is een equipotentieel volume: $V$ is uniform erin en op zijn oppervlak.
2. Elke netto lading zit op het oppervlak, met een oppervlaktedichtheid $\sigma$ ; het binnenste is neutraal.
3. Vlak erbuiten staat het veld loodrecht op het oppervlak en is het $\vect E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}\,\vect n$ (de *stelling van Coulomb* ).
4. Een holte in een geleider zonder lading heeft $\vect E =  \vect 0$ en een uniforme $V$ , wat er buiten ook gebeurt (de *[kooi van Faraday](#thm-b1-potential-capacitors-conductor)* ).

**Bewijs.** (1) Een veld zou de vrije ladingen in beweging brengen: evenwicht vereist $\vect E =
\vect 0$, en dus $\dd V = 0$ tussen elke twee inwendige punten; het oppervlak is de limiet. (2) De [wet van Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) op elk gesloten oppervlak dat binnen de geleider is getekend: geen flux, geen omsloten lading. (3) Het oppervlak is een equipotentiaal, dus staat $\vect E$ er vlak erbuiten loodrecht op; een doosje dat het oppervlak omvat heeft alleen door zijn buitenvlak de flux $E\,\dd S$ (binnen is $\vect E = \vect 0$) en de lading $\sigma\,\dd S$. (4) De wand van de holte is een equipotentiaal; een [veldlijn](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) binnen de holte zou van de wand naar de wand moeten lopen over een potentiaalverval — onmogelijk op een equipotentiaal; dus geen lijn en geen veld (in deze vorm aangenomen). ∎

**Voorbeeld 27.11 (Punteffect en bliksemafleider).**

Twee bollen met stralen $R_1 > R_2$, ver uit elkaar en door een draad verbonden, delen dezelfde $V = Q_i/4\pi\varepsilon_0R_i$, dus $\sigma_i = Q_i/4\pi R_i^2 = \varepsilon_0V/R_i$: hoe *kleiner* de [kromtestraal](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/11-kinematica-van-een-punt#def-b1-point-kinematics-frenet), hoe *groter* de oppervlaktelading en het veld $\sigma/\varepsilon_0 = V/R$. Op een scherpe punt overtreft het veld de doorslagwaarde van lucht ($3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$) lang voordat het dat elders doet: de lucht ioniseert en de lading lekt stilletjes weg. Een bliksemafleider werkt door dit *[punteffect](#ex-b1-potential-capacitors-point)* — hij trekt de ontlading niet zozeer aan als wel dat hij haar een weg biedt, en de lading onder een wolk laat weglekken voordat zij zich opbouwt.

![Links: een holle geleider in een uitwendig veld — de geïnduceerde ladingen op zijn oppervlak heffen het veld binnenin en in de holte op (de kooi van Faraday). Rechts: het punteffect — op één equipotentiële geleider zijn de oppervlaktelading en het veld erbuiten het grootst waar de kromming het scherpst is.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-a6186373790e.svg)

*Links: een holle geleider in een uitwendig veld — de geïnduceerde ladingen op zijn oppervlak heffen het veld binnenin en in de holte op (de [kooi van Faraday](#thm-b1-potential-capacitors-conductor)). Rechts: het [punteffect](#ex-b1-potential-capacitors-point) — op één equipotentiële geleider zijn de oppervlaktelading en het veld erbuiten het grootst waar de kromming het scherpst is.*

## 27.4 Condensatoren

**Definitie 27.12 (Capaciteit).**

Een geïsoleerde geleider op potentiaal $V$ draagt een lading $Q$ die evenredig is met $V$: $Q = CV$, met $C$ zijn *capaciteit* (farad, $\mathrm{F}$); voor een bol is $C = 4\pi\varepsilon_0R$. Een *condensator* is een paar geleiders (*platen*) die tegengestelde ladingen $\pm Q$ dragen en tegenover elkaar staan zodat het veld ertussen opgesloten zit; zijn capaciteit is $C = Q/U$ met $U = V_1 - V_2$ de [spanning](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) tussen de platen. Het symbool en de kringwet $i = C\,\dd u/\dd t$ zijn gebruikt in [Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/7-overgangsverschijnselen-eerste-en-tweede-orde#ch-b1-transient-regimes).

**Propositie 27.13 (Drie condensatoren).**

1. Vlak: platen met oppervlakte $S$ op afstand $d \ll \sqrt S$ : $C = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ .
2. Bolvormig: concentrische bollen met stralen $R_1 < R_2$ : $C = \dfrac{4\pi\varepsilon_0R_1R_2}{R_2 - R_1}$ .
3. Cilindrisch (coaxiaal), stralen $a < b$ , lengte $L \gg b$ : $C = \dfrac{2\pi\varepsilon_0L}{\ln(b/a)}$ .

De spleet vullen met een isolator met relatieve permittiviteit $\varepsilon_r$ vermenigvuldigt $C$ met $\varepsilon_r$ (de moleculen van het diëlektricum polariseren en verzwakken het veld; $\varepsilon_r = 2$ tot $10$ voor gangbare kunststoffen en glas, $80$ voor water).

**Bewijs.** In elk geval is het veld tussen de platen dat van [Propositie 26.12](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-three): $E = \sigma/\varepsilon_0 = Q/\varepsilon_0S$, $U = Ed$; $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$, $U = \int_{R_1}^{R_2}E\,\dd r = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}
\Bigl(\dfrac1{R_1} - \dfrac1{R_2}\Bigr)$; $E = Q/2\pi\varepsilon_0Lr$, $U =
\dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0L}\ln\dfrac ba$. Deel $Q$ door $U$. De factor van het diëlektricum wordt aangenomen. ∎

**Stelling 27.14 (Energie van een condensator).**

Een [condensator](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) die tot $Q$ onder $U$ is geladen slaat

$$
W = \tfrac12 CU^2 = \tfrac12 QU = \frac{Q^2}{2C} ,
$$

op, de arbeid die nodig is om de lading tegen de groeiende [spanning](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) in van de ene plaat naar de andere te brengen. In een [vlakke condensator](#prop-b1-potential-capacitors-three) is $W = \tfrac12\varepsilon_0E^2
\times Sd$: de energie zit in het veld, met een dichtheid $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ per volume-eenheid — een uitspraak die voor elk elektrostatisch veld geldt.

**Bewijs.** Een lading $\dd q$ van de negatieve naar de positieve plaat brengen wanneer de lading $q$ is kost $\dd W = (q/C)\,\dd q$; integreer van $0$ tot $Q$. Vul daarna $C = \varepsilon_0S/d$ en $U = Ed$ in; de algemene dichtheid wordt aangenomen. ∎

**Voorbeeld 27.15 (Drie condensatoren en hun energie).**

Een vierkante meter foliepaar op $1\,\mathrm{mm}$ afstand: $C = 8.85 \times 10^{-12}/
10^{-3} = 8.9\,\mathrm{nF}$ — de [farad](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) is een reusachtige eenheid. De $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ van een defibrillator bij $2\,\mathrm{kV}$: $300\,\mathrm{J}$, in milliseconden afgegeven. Een supercondensator van $3000\,\mathrm{F}$ bij $2.7\,\mathrm{V}$: $11\,\mathrm{kJ}$ in een blik zo groot als een frisdrankfles — zijn [capaciteit](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) komt van een moleculaire spleet $d$ en een enorm poreus oppervlak $S$. De energiedichtheid van een veld bij de doorslag van lucht, $\tfrac12\varepsilon_0(3 \times 10^6)^2 = 40\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, verklaart waarom [condensatoren](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) zo weinig opslaan vergeleken met accu’s.

![Vlakke, bolvormige en met diëlektricum gevulde condensatoren. Het veld (oranje) zit opgesloten tussen de platen, op de randeffecten aan de randen na, die worden verwaarloosd als d klein is; de energie 1/2 _0E2 per volume-eenheid huist in dat veld.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/fig-023ac4f2760c.svg)

*Vlakke, bolvormige en met diëlektricum gevulde [condensatoren](#def-b1-potential-capacitors-capacitance). Het veld (oranje) zit opgesloten tussen de platen, op de randeffecten aan de randen na, die worden verwaarloosd als $d$ klein is; de energie $\tfrac12\varepsilon_0E^2$ per volume-eenheid huist in dat veld.*

**Opmerking 27.16 (Condensatoren samengeschakeld).**

Parallel (dezelfde $U$) tellen de ladingen op: $C = C_1 + C_2$; in serie (dezelfde $Q$) tellen de [spanningen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) op: $1/C = 1/C_1 + 1/C_2$ — het omgekeerde van weerstanden, omdat $C$ een gemak meet (lading per volt) waar $R$ een moeite meet. Deze regels volgen uit $Q = CU$ en de kringwetten van [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#ch-b1-dc-circuits).

## 27.5 Oefeningen

**Oefening 27.1 ★.**

Potentiaal op $1.0\,\mathrm{m}$ van een lading van $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; energie die nodig is om een tweede $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ vanuit het oneindige naar dat punt te brengen; snelheid waarmee zij zou wegvliegen als men haar loslaat, bij een massa van $1\,\mathrm{g}$.

**Oplossing van Oefening 27.1.**

$V = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}$; $W = qV = 9.0\,\mathrm{mJ}$; losgelaten geeft $\tfrac12mv^2 = 9\,\mathrm{mJ}$: $v = \sqrt{18} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Oefening 27.2 ★.**

Platen op $1.0\,\mathrm{mm}$ afstand onder $100\,\mathrm{V}$: veld; [kinetische energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#thm-b1-work-and-energy-ke) en snelheid die een elektron wint dat de spleet vanuit rust doorloopt; vluchttijd.

**Oplossing van Oefening 27.2.**

$E = 100/10^{-3} = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $E_k = eU = 100\,\mathrm{eV} = 1.6 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$, dus $v = \sqrt{2E_k/m_e} = 5.9 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; eenparig versneld is $t = 2d/v = 3.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**Oefening 27.3 ★.**

Op een kaart met equipotentialen om de $10\,\mathrm{V}$ liggen de lijnen $2\,\mathrm{mm}$ uit elkaar bij $A$ en $8\,\mathrm{mm}$ bij $B$. Veld in $A$ en in $B$; welke kant wijst het veld op ten opzichte van de stijgende potentialen; welke kant versnelt een elektron?

**Oplossing van Oefening 27.3.**

$E_A = 10/0.002 = 5\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$, $E_B = 10/0.008 = 1.25\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. Het veld wijst naar afnemende potentiaal; een elektron ($q < 0$) versnelt de andere kant op, naar stijgende $V$.

**Oefening 27.4 ★.**

Een vandegraaffbol met straal $15\,\mathrm{cm}$ wordt tot $200\,\mathrm{kV}$ geladen. [Capaciteit](#def-b1-potential-capacitors-capacitance), lading, veld aan zijn oppervlak. Maximale potentiaal voordat de lucht eromheen doorslaat ($3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$).

**Oplossing van Oefening 27.4.**

$C = 4\pi\varepsilon_0R = 1.11 \times 10^{-10} \times 0.15 = 17\,\mathrm{pF}$; $Q = CV =
3.3\,\text{µ}\mathrm{C}$; $E = V/R = 2 \times 10^5/0.15 = 1.3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$. Doorslag bij $V = E_{\max}R = 3 \times 10^6 \times 0.15 = 450\,\mathrm{kV}$ — grote machines gebruiken grote bollen.

**Oefening 27.5 ★★.**

Potentiaal op de as van een ring met straal $R$ en lading $Q$; vind het axiale veld terug door te differentiëren. Idem voor de gelijkmatig geladen schijf (gebruik [Oefening 26.5](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#exo-b1-electrostatics-gauss-5)): $V(z) = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$.

**Oplossing van Oefening 27.5.**

Elk element van de ring ligt op afstand $\sqrt{R^2 + z^2}$: $V =
Q/4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^2 + z^2}$; $E_z = -\dd V/\dd z = Qz/4\pi\varepsilon_0(R^2 +
z^2)^{3/2}$. Schijf: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$ op $\sqrt{a^2 + z^2}$: $V =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R\dfrac{a\,\dd a}{\sqrt{a^2 + z^2}} =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\bigl(\sqrt{z^2 + R^2} - z\bigr)$, en $-\dd V/\dd z =
\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$.

**Oefening 27.6 ★★.**

Leid de potentiaal binnen een gelijkmatig geladen bol af uit haar veld. Potentiaal in het middelpunt van een goudkern ($Z = 79$, $R = 7.0\,\mathrm{fm}$); energie die een proton nodig zou hebben om vanuit de verte het middelpunt te bereiken, in $\mathrm{MeV}$; becommentarieer de alfadeeltjes van $5\,\mathrm{MeV}$ van Rutherford.

**Oplossing van Oefening 27.6.**

$V(r) = V(R) + \displaystyle\int_r^R\dfrac{Qr'\,\dd r'}{4\pi\varepsilon_0R^3} =
\dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R} + \dfrac{Q(R^2 - r^2)}{8\pi\varepsilon_0R^3} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}
\dfrac{3R^2 - r^2}{2R^3}$. Goud: $V(0) = 1.5 \times 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times
10^{-17}/7 \times 10^{-15} = 24\,\mathrm{MV}$: een proton heeft $24\,\mathrm{MeV}$ nodig, een alfadeeltje ($2e$) $48\,\mathrm{MeV}$ om het middelpunt te bereiken en $32\,\mathrm{MeV}$ om het oppervlak te raken. De alfadeeltjes van $5\,\mathrm{MeV}$ van Rutherford keren om bij die $r$ waar $2eV =
5\,\mathrm{MeV}$: $V = 2.5\,\mathrm{MV}$, $r = 45\,\mathrm{fm}$ — ver buiten de kern, en daarom werkte zijn analyse met puntladingen.

**Oefening 27.7 ★★.**

Watermolecuul, $p = 6.2 \times 10^{-30}\,\mathrm{C}\,\mathrm{m}$. Veld dat het op $1.0\,\mathrm{nm}$ langs zijn as en er loodrecht op opwekt; [koppel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/15-impulsmoment#def-b1-angular-momentum-moment) en energieverschil tussen de uitgelijnde en de tegengesteld gerichte stand in $E = 1.0\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$; vergelijk met $k_BT$ bij $300\,\mathrm{K}$. Veld van een natriumion op $0.3\,\mathrm{nm}$ en de energie van de waterdipool die erin is uitgelijnd (hydratatie).

**Oplossing van Oefening 27.7.**

As: $2p/4\pi\varepsilon_0r^3 = 2 \times 8.99 \times 10^9 \times 6.2 \times 10^{-30}/10^{-27} =
1.1 \times 10^{8}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; loodrecht de helft: $5.6 \times 10^{7}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. [Koppel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/15-impulsmoment#def-b1-angular-momentum-moment) $pE =
6.2 \times 10^{-24}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; energieverschil $2pE = 1.2 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}$ tegen $k_BT =
4.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$: $330$ keer kleiner — slechts $0.1\%$ netto uitlijning. Natriumion op $0.3\,\mathrm{nm}$: $E = e/4\pi\varepsilon_0r^2 = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, $-pE
= -1.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} = -0.6\,\mathrm{eV}$, $24\,k_BT$: de watermoleculen klemmen zich aan het ion vast — hydratatie.

**Oefening 27.8 ★★.**

Een geleidende bol met straal $1.0\,\mathrm{cm}$ in lucht: maximale lading en potentiaal vóór doorslag. Twee geleidende bollen, $R_1 = 10\,\mathrm{cm}$ en $R_2 = 1.0\,\mathrm{mm}$, verbonden door een dunne draad en op $20\,\mathrm{kV}$ gebracht: oppervlakteveld van elk; welke ontlaadt in de lucht?

**Oplossing van Oefening 27.8.**

$Q = 4\pi\varepsilon_0R^2E = 10^{-4} \times 3 \times 10^6/8.99 \times 10^9 = 33\,\mathrm{nC}$, $V = ER = 30\,\mathrm{kV}$. Verbonden bollen: $E_1 = V/R_1 = 0.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$, $E_2 = V/R_2 = 20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m} > 3\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: de kleine bol ioniseert de lucht en laat de lading weglekken — het [punteffect](#ex-b1-potential-capacitors-point).

**Oefening 27.9 ★★.**

[Capaciteiten](#def-b1-potential-capacitors-capacitance): twee folies van $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ op $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ afstand met een polymeerfilm $\varepsilon_r = 2.2$ (een foliecondensator); dezelfde folies opgerold — verandert oprollen $C$? Energie bij $400\,\mathrm{V}$. Een [condensator](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) van $150\,\text{µ}\mathrm{F}$ bij $2.0\,\mathrm{kV}$ (defibrillator): lading, energie, [gemiddeld vermogen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/8-het-sinusoidale-regime-en-de-impedantie#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) als zij in $5\,\mathrm{ms}$ wordt afgegeven.

**Oplossing van Oefening 27.9.**

$C = \varepsilon_r\varepsilon_0S/d = 2.2 \times 8.85 \times 10^{-12}/10^{-5} = 2.0\,\text{µ}\mathrm{F}$; oprollen verandert de vorm, niet het oppervlak dat tegenover elkaar staat: dezelfde $C$ (met een tweede film, zodat elke folie aan beide zijden tegenover de andere komt, verdubbelt zij). $W = \tfrac12 \times 2 \times 10^{-6} \times 400^2 = 0.16\,\mathrm{J}$. Defibrillator: $Q = 150 \times 10^{-6} \times 2000 = 0.30\,\mathrm{C}$, $W = \tfrac12CU^2 = 300\,\mathrm{J}$, $P = 300/0.005 = 60\,\mathrm{kW}$.

**Oefening 27.10 ★★★.**

*Bolvormige en [cilindrische condensatoren](#prop-b1-potential-capacitors-three).* (a) Leid $C$ af voor concentrische bollen en ga na dat het voor $R_2 - R_1 = d \ll R_1$ overgaat in de vlakke formule, en voor $R_2 \to \infty$ in de geïsoleerde bol. (b) Coaxkabel, $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $b = 2.5\,\mathrm{mm}$, polyetheen $\varepsilon_r = 2.3$: [capaciteit](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) per meter (vergelijk met de $100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ van gangbare kabels). (c) Veld aan de binnengeleider onder $1\,\mathrm{kV}$; veilig?

**Oplossing van Oefening 27.10.**

(a) $E = Q/4\pi\varepsilon_0r^2$, $U = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\dfrac1{R_1} -
\dfrac1{R_2}\Bigr)$, $C = 4\pi\varepsilon_0R_1R_2/(R_2 - R_1)$; met $R_2 - R_1 = d \ll
R_1$ is $R_1R_2 \approx R^2$ en $C \approx 4\pi R^2\varepsilon_0/d = \varepsilon_0S/d$; met $R_2 \to
\infty$ gaat $C \to 4\pi\varepsilon_0R_1$. (b) $C/L = 2\pi\varepsilon_r\varepsilon_0/\ln(b/a) = 2\pi \times 2.3
\times 8.85 \times 10^{-12}/\ln5 = 79\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$, de juiste orde. (c) $E(a) =
U/[a\ln(b/a)] = 1000/(5 \times 10^{-4} \times 1.61) = 1.2\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$: onder de $20\,\mathrm{MV}/\mathrm{m}$ van polyetheen, veilig; in lucht zou het krap zijn.

**Oefening 27.11 ★★★.**

*Energie in het veld.* (a) Energie van een geladen geleidende bol ($Q$, $R$) uit $Q^2/2C$. (b) Stel die gelijk aan de rustenergie van het elektron $m_ec^2 = 0.511\,\mathrm{MeV}$ en los op naar $R$: de “klassieke elektronenstraal” (op een factor na). (c) Bij een geïsoleerde [vlakke condensator](#prop-b1-potential-capacitors-three) met lading $Q$ worden de platen van $d$ naar $2d$ getrokken: verandering van de opgeslagen energie, en de kracht tussen de platen die daaruit volgt; controleer met [Oefening 26.8](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#exo-b1-electrostatics-gauss-8). (d) Idem als de [condensator](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) door een batterij op vaste $U$ wordt gehouden: energieverandering, en waar het verschil blijft.

**Oplossing van Oefening 27.11.**

(a) $W = Q^2/2C = Q^2/8\pi\varepsilon_0R$. (b) $R = e^2/8\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.31 \times
10^{-28}/(2 \times 8.19 \times 10^{-14}) = 1.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$ (de gebruikelijke “klassieke straal” $e^2/4\pi\varepsilon_0m_ec^2 = 2.8\,\mathrm{fm}$ laat de $\tfrac12$ weg). (c) $W =
Q^2/2C = Q^2d/2\varepsilon_0S$ verdubbelt: $\Delta W = Q^2d/2\varepsilon_0S = F\,d$ met $F =
Q^2/2\varepsilon_0S = \sigma^2S/2\varepsilon_0$, zoals rechtstreeks gevonden. (d) Bij vaste $U$ halveert $W =
\varepsilon_0SU^2/2d$: $\Delta W = -W/2$; wie trekt verricht nog steeds $W/2$ (integreer $F = \varepsilon_0SU^2/2x^2$ van $d$ tot $2d$); beide helften, samen $W$, vloeien terug naar de batterij terwijl de lading $CU/2$ er bij [spanning](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) $U$ naar terugkeert.

**Oefening 27.12 ★★★.**

*Coulombenergie van een kern.* (a) Bouw een gelijkmatig geladen bol ($Q$, $R$) schil voor schil op en toon aan dat haar elektrostatische energie $W = \dfrac{3Q^2}{20\pi\varepsilon_0R}$ is. (b) Uranium-238: $Z = 92$, $R =
7.4\,\mathrm{fm}$: $W$ in $\mathrm{MeV}$. (c) Splits haar in twee gelijke brokstukken ($Z/2$, $A/2$, straal $R/2^{1/3}$) ver uit elkaar: vrijgekomen coulombenergie. (d) De gemeten energie van kernsplijting is ongeveer $200\,\mathrm{MeV}$: wat werkt de coulombwinst tegen?

**Oplossing van Oefening 27.12.**

(a) De bol met straal $r$ draagt $q = Qr^3/R^3$ bij oppervlaktepotentiaal $q/4\pi\varepsilon_0r$; de schil $\dd q = 3Qr^2\,\dd r/R^3$ toevoegen kost $\dd W =
q\,\dd q/4\pi\varepsilon_0r = 3Q^2r^4\,\dd r/4\pi\varepsilon_0R^6$; integreren: $W =
3Q^2/20\pi\varepsilon_0R$. (b) $Q = 92e = 1.47 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$: $W = 3 \times 2.17 \times
10^{-34}/(20\pi \times 8.85 \times 10^{-12} \times 7.4 \times 10^{-15}) = 1.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{J}
= 990\,\mathrm{MeV}$. (c) Elk brokstuk: lading $Q/2$, straal $R/2^{1/3}$, energie $\tfrac14 2^{1/3}W$; samen: $2^{1/3}W/2 = 0.63W$: vrijgekomen $0.37 \times 990 = 370\,\mathrm{MeV}$. (d) De “oppervlaktespanning” van de kern: twee brokstukken hebben meer oppervlak dan één kern, wat ongeveer $170\,\mathrm{MeV}$ kost; het saldo, rond $200\,\mathrm{MeV}$, verschijnt vooral als de [kinetische energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#thm-b1-work-and-energy-ke) van de twee brokstukken die onder hun onderlinge afstoting uit elkaar vliegen.

![De oliedruppelopstelling van Millikan, omstreeks 1916 (Museum of Science and Industry, Chicago): de messing kamer bevat de twee horizontale platen waartussen de druppels werden bekeken.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-potential-capacitors/img-e7375e9d57d0.jpg)

*De oliedruppelopstelling van Millikan, omstreeks 1916 (Museum of Science and Industry, Chicago): de messing kamer bevat de twee horizontale platen waartussen de druppels werden bekeken.*

## 27.6 Probleem: De oliedruppel van Millikan

**Probleem 27.1.**

Weekendopgave — de lading van het elektron wegen met een druppel olie: Stokes, de vlakke condensator, en een tabel met getallen die weigeren iets anders te zijn dan veelvouden van één

Er worden oliedruppels verstoven tussen twee horizontale platen op $d = 16\,\mathrm{mm}$ afstand met een diameter van $20\,\mathrm{cm}$, en door een [microscoop](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/4-optische-instrumenten-en-het-oog#def-b1-optical-instruments-microscope) bekeken. Gegevens: dichtheid van de olie $\rho = 900\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, dichtheid van de lucht $1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, viscositeit van de lucht $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$, $g =
9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$. Een bolletje met straal $r$ dat met $v$ door lucht beweegt ondervindt de stokesweerstand $6\pi\eta rv$.

**Deel I — De vallende druppel.**

1. Krachten op een druppel die valt zonder aangelegde [spanning](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) ; toon aan dat hij een [eindsnelheid](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_1 = 2\rho gr^2/9\eta$ bereikt (verwaarloos de [opwaartse kracht](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/21-hydrostatica#thm-b1-fluid-statics-archimedes) van de lucht — verantwoord dat).
2. Een druppel valt $1.0\,\mathrm{mm}$ in $10\,\mathrm{s}$ : zijn straal en massa.
3. [Tijdconstante](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/7-overgangsverschijnselen-eerste-en-tweede-orde#def-b1-transient-regimes-firstorder) waarmee $v_1$ wordt benaderd; afstand die intussen wordt afgelegd. Ziet men de druppel ooit versnellen?
4. Getal van Reynolds $\rho_{\text{lucht}}v_1r/\eta$ van de beweging: is de [wet van Stokes](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#prop-b1-newton-dynamics-drag) hier geldig?
5. Waarom moeten de druppels zo klein zijn? (Vergelijk het gewicht met de elektrische kracht op één [elementaire lading](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) in een veld van $3 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .)
6. Men ziet de druppel licht schommelen rond zijn gemiddelde val: wat is dat, en waarom begrenst het de nauwkeurigheid?

**Deel II — Het veld.** Er wordt een [spanning](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) $U$ aangelegd, met de bovenste plaat positief.

7. Veld tussen de platen voor $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ ; waarom is het homogeen, en wat zijn de equipotentialen?
8. [Capaciteit](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) van de platen, hun lading bij $5.0\,\mathrm{kV}$ , en de opgeslagen energie.
9. De druppel uit vraag 2 blijft stilhangen bij $U_0 = 1080\,\mathrm{V}$ : teken en waarde van zijn lading, in coulomb en in eenheden van $e$ .
10. Bij $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ stijgt dezelfde druppel met $v_2$ : toon aan dat $q = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)d/U$ en bereken $v_2$ .
11. Waarom is een stijging en een val klokken beter dan zoeken naar de evenwichtsspanning?
12. [Potentiële energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#def-b1-work-and-energy-conservative) van de lading van de druppel tussen de platen bij $5\,\mathrm{kV}$ , en de energie die de weerstand tijdens een stijging van $1\,\mathrm{cm}$ dissipeert.

**Deel III — De tabel met ladingen.** Tussen de metingen door aan een zwakke röntgenbron blootgesteld verandert dezelfde druppel van lading; opeenvolgende metingen geven (in $10^{-19}$ C): $4.80$, $8.01$, $6.42$, $3.19$, $9.63$.

13. Toon aan dat alle vijf dicht bij gehele veelvouden van één grootheid liggen, en geef die gehele getallen.
14. Beste schatting van de [elementaire lading](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) uit de vijf waarden; [standaardonzekerheid](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/1-eenheden-dimensies-en-meten#def-b1-units-dimensions-uncertainty) van het gemiddelde ( [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/1-eenheden-dimensies-en-meten#ch-b1-units-dimensions) ).
15. Waarom verandert de lading tussen de metingen met hele aantallen $e$ ?
16. Toon aan dat in deze methode $q \propto \eta^{3/2}$ : hoeveel verschuift een fout van $1\%$ op de viscositeit $e$ ? (De oorspronkelijke waarde van Millikan lag $0.6\%$ te laag, juist hierom.)
17. Quarks dragen $\pm e/3$ en $\pm 2e/3$ : waarom heeft geen enkele oliedruppel ooit een derde van $e$ laten zien?
18. De constante van Faraday, de lading van één [mol](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/20-kinetische-theorie-en-het-ideale-gas#def-b1-kinetic-theory-scales) elektronen, is $F = 96\,485\,\mathrm{C}/\mathrm{mol}$ : leid daaruit het getal van Avogadro af.
19. Thomson had $e/m_e = 1.76 \times 10^{11}\,\mathrm{C}/\mathrm{kg}$ voor het elektron gemeten: leid daaruit zijn massa af en vergelijk met een waterstofatoom ( $1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ).

**Deel IV — De opstelling, langs de potentiaal.**

20. Schets de equipotentialen en [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) tussen de platen, met de randeffecten bij de randen; verantwoord dat men die verwaarloost.
21. Een positief geladen druppel op hoogte $z$ boven de onderste plaat (op $0\,\mathrm{V}$ ): [potentiële energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#def-b1-work-and-energy-conservative) als functie van $z$ ; totale [potentiële energie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/13-arbeid-energie-en-potentiele-energie#def-b1-work-and-energy-conservative) met de zwaartekracht erbij; voorwaarde op $U$ voor het stilhangen.
22. Vergelijk de energie van de lading van de druppel (vraag 12) met de energie die in de [condensator](#def-b1-potential-capacitors-capacitance) is opgeslagen: verstoort de druppel het veld?
23. De [spanning](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen#def-b1-dc-circuits-voltage) wordt omgekeerd (onderste plaat positief) met $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ : wat doet de druppel uit vraag 9, en met welke snelheid?
24. Een stofdeeltje van $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ met $10^4e$ in hetzelfde veld: verhouding van elektrische kracht tot gewicht; waarom zulke korrels niet kunnen worden zweven gehouden en waarom Millikan olienevel koos.
25. Vat samen: wat werd er gemeten (drie keer), wat werd er afgeleid, met welke onzekerheid, en welke twee constanten volgden eruit.

**Oplossing van Probleem 27.1.**

**1.** Gewicht $\tfrac43\pi r^3\rho g$ omlaag, weerstand $6\pi\eta rv$ omhoog, [opwaartse kracht](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/21-hydrostatica#thm-b1-fluid-statics-archimedes) $\tfrac43\pi r^3\rho_{\text{lucht}}g$ omhoog — $1.2/900 = 0.13\%$ van het gewicht, verwaarloosbaar. [Eindsnelheid](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/12-de-bewegingswetten-van-newton#prop-b1-newton-dynamics-terminal): $\tfrac43\pi r^3\rho g = 6\pi\eta rv_1$, $v_1 =
2\rho gr^2/9\eta$.

**2.** $v_1 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $r = \sqrt{9\eta v_1/2\rho g} = \sqrt{9 \times
1.8 \times 10^{-5} \times 10^{-4}/(2 \times 900 \times 9.8)} = 9.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$, een micrometer; $m = \tfrac43\pi r^3\rho = 3.3 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$.

**3.** $\tau = m/6\pi\eta r = 3.3 \times 10^{-15}/3.3 \times 10^{-10} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$; afstand $\sim v_1\tau = 1\,\mathrm{nm}$. Nooit.

**4.** $\mathrm{Re} = 1.2 \times 10^{-4} \times 9.6 \times 10^{-7}/1.8 \times 10^{-5} =
6 \times 10^{-6} \ll 1$: Stokes geldt.

**5.** $eE = 1.6 \times 10^{-19} \times 3 \times 10^5 = 4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$ tegen $mg = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$: alleen voor druppels van een micrometer vergelijkbaar. Een druppel van $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ weegt duizend keer meer; één [elementaire lading](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-charge) zou zijn snelheid met $0.1\%$ veranderen, onzichtbaar.

**6.** Brownse beweging: het bombardement door luchtmoleculen schudt de druppel willekeurig heen en weer; de tijden spreiden, wat de nauwkeurigheid begrenst en een ondergrens aan de bruikbare druppelgrootte stelt.

**7.** $E = U/d = 5000/0.016 = 3.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; de platen zijn veel breder dan $d$, zodat de superpositie van twee vlakken een homogeen veld geeft; de equipotentialen zijn horizontale vlakken, $V = Uz/d$.

**8.** $C = \varepsilon_0\pi(0.1)^2/0.016 = 17\,\mathrm{pF}$; $Q = CU = 87\,\mathrm{nC}$; $W = \tfrac12CU^2 = 0.22\,\mathrm{mJ}$.

**9.** Bovenste plaat positief: $\vect E$ wijst omlaag; de kracht moet omhoog wijzen, dus $q < 0$. $|q| = mgd/U_0 = 3.3 \times 10^{-15} \times 9.8 \times 0.016/
1080 = 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3e$: $q = -3e$.

**10.** Stijgend met constante snelheid: $|q|E = mg + 6\pi\eta rv_2$ en $mg =
6\pi\eta rv_1$, dus $|q|E = 6\pi\eta r(v_1 + v_2)$ en $|q| = 6\pi\eta r(v_1 +
v_2)d/U$. $v_2 = (|q|E - mg)/6\pi\eta r = (1.5 \times 10^{-13} - 3.2 \times 10^{-14})/
3.3 \times 10^{-10} = 3.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $1\,\mathrm{mm}$ in $2.8\,\mathrm{s}$.

**11.** Uitbalanceren is een nuloordeel over een driftende, trillende stip waarvan de lading intussen kan veranderen; tijden over een vaste afstand kan men naar believen herhalen, $r$ ligt eens en voor altijd vast door $v_1$, en één druppel levert dan een hele reeks ladingen.

**12.** $|q|U = 3 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 5000 = 2.4 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$ ($15\,\mathrm{keV}$) over de spleet; weerstand over $1\,\mathrm{cm}$: $(|q|E - mg) \times 0.01 =
1.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{J}$, in de lucht omgezet in warmte.

**13.** Deel door $1.60$: $3.00$, $5.01$, $4.01$, $1.99$, $6.02$ — de gehele getallen $3, 5, 4, 2, 6$.

**14.** $q/n$: $1.600, 1.602, 1.605, 1.595, 1.605$; gemiddelde $1.601$, standaardafwijking $0.004$, onzekerheid van het gemiddelde $0.004/\sqrt5 =
0.002$: $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C.

**15.** De röntgenstraling ioniseert de lucht; de druppel pikt de ionen één voor één op, elk met een geheel aantal $e$.

**16.** $r \propto \eta^{1/2}$ uit $v_1$, $m \propto r^3 \propto \eta^{3/2}$, en $|q| = mgd/U_0 \propto \eta^{3/2}$: $1\%$ op $\eta$ geeft $1.5\%$ op $e$. De $\eta$ van Millikan lag $0.4\%$ te laag, en zijn $e$ dus $0.6\%$.

**17.** Quarks komen nooit alleen: zij zitten opgesloten in hadronen, en elk vrij voorwerp draagt een gehele lading.

**18.** $N_A = F/e = 96485/1.602 \times 10^{-19} = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$.

**19.** $m_e = 1.602 \times 10^{-19}/1.76 \times 10^{11} = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$: $1840$ keer lichter dan het waterstofatoom.

**20.** Horizontale vlakken tussen de platen, die bij de randen uitbollen; verticale [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/26-elektrostatica-het-veld-en-de-wet-van-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) die aan de randen uitwaaieren over een breedte van de orde $d = 1.6\,\mathrm{cm}$ — klein tegen de diameter van $20\,\mathrm{cm}$, en de druppel wordt in het midden bekeken.

**21.** $E_p = qUz/d + mgz$, lineair in $z$: geen minimum; een stilhangende druppel vraagt dat de helling verdwijnt, $q = -mgd/U$, en het evenwicht is dan indifferent — elke resterende drift houdt aan, en juist daarom is het uitbalanceren zo moeilijk te beoordelen.

**22.** $2.4 \times 10^{-15}$ tegen $2.2 \times 10^{-4}$ J: $10^{-11}$. De druppel verstoort het veld niet.

**23.** Veld omhoog, kracht op de negatieve druppel omlaag: hij valt met $(mg
+ |q|E)/6\pi\eta r = (3.2 \times 10^{-14} + 1.5 \times 10^{-13})/3.3 \times 10^{-10} =
5.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**24.** $F = 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 3.1 \times 10^5 = 5 \times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ tegen $9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$: $5\%$ van het gewicht — niet op te tillen, en met $10^4$ ladingen is een verandering van één $e$ onzichtbaar. Olienevel geeft druppels die klein zijn, niet verdampen en bolvormig blijven.

**25.** Gemeten: $v_1$, $v_2$ en $U$ (met $d$, $\eta$, $\rho$ bekend); afgeleid $r$, $m$, en daarna $q$, dat altijd een geheel veelvoud van $e = (1.601 \pm 0.002) \times 10^{-19}$ C blijkt te zijn ($0.1\%$); daaruit $N_A = F/e$ en $m_e = e/(e/m_e)$.