---
title: "Spiegels en dunne lenzen"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen
---

# Hoofdstuk 3 — Spiegels en dunne lenzen

Een make-upspiegel toont een gezicht op dubbele grootte; de achterkant van een lepel toont het klein en rechtop, de holte klein en op zijn kop; een vergrootglas op armlengte zet de kamer ondersteboven, dichtbij gehouden vergroot het een postzegel; een telefoonlens ter grootte van een linze schildert de hele straat op een sensor. Eén algebraïsche betrekking tussen drie afstanden beheerst al deze [beelden](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), en dit hoofdstuk leidt haar af — eerst voor gekromde spiegels, daarna voor de [dunne lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) waaruit vrijwel elk optisch instrument is opgebouwd.

![Een convergerende lens vormt op een scherm het reële, omgekeerde beeld van een kaarsvlam: voorwerps- en beeldafstand voldoen aan de conjugatiebetrekking van dit hoofdstuk.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/img-4e16a71a9752.jpg)

*Een [convergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) vormt op een scherm het reële, omgekeerde [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van een kaarsvlam: voorwerps- en beeldafstand voldoen aan de conjugatiebetrekking van dit hoofdstuk.*

## 3.1 Beelden en de voorwaarden van Gauss

**Definitie 3.1 (Voorwerp, beeld, stigmatisme).**

Een optisch systeem ontvangt stralen vanuit een punt $A$ (het *voorwerpspunt*). Gaan alle uittredende stralen door één punt $A'$, of lijken zij alle uit één punt $A'$ te komen, dan is het systeem *stigmatisch* voor $A$ en is $A'$ het *beeld* van $A$. Het beeld is *reëel* als de uittredende stralen elkaar werkelijk in $A'$ snijden (het is op een scherm op te vangen), *virtueel* als alleen hun achterwaartse verlengden dat doen (het wordt door het systeem heen gezien, niet geprojecteerd). Evenzo is het voorwerp reëel als de invallende stralen vanuit $A$ divergeren, virtueel als zij naar $A$ achter de ingang van het systeem convergeren. Het paar $(A, A')$ heet *geconjugeerd*.

**Definitie 3.2 (Gecentreerd systeem; voorwaarden van Gauss).**

Een *gecentreerd systeem* heeft een as van draaisymmetrie, de *optische as*. Stralen die dicht bij de as blijven en er kleine hoeken mee maken heten *paraxiaal*; van een systeem dat uitsluitend met paraxiale stralen wordt gebruikt zegt men dat het onder de *voorwaarden van Gauss* werkt. Onder die voorwaarden is een gecentreerd systeem bij benadering stigmatisch voor elk punt, en heeft een voorwerpsvlak loodrecht op de as een beeldvlak loodrecht op de as (*aplanatisme*).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 3.3 (Waarom kleine hoeken).**

De [vlakke spiegel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/2-geometrische-optica-stralen-reflectie-breking#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) is het enige eenvoudige systeem dat streng stigmatisch is voor elk punt. Een [sferische spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) of [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) is alleen stigmatisch in de mate waarin $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$ geldt: die benadering maakt van de [wet van Snellius](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/2-geometrische-optica-stralen-reflectie-breking#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) lineaire betrekkingen tussen afstanden. Daarbuiten is het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van een punt een vlek (*aberraties*), en de taak van de ontwerper — diafragma’s, combinaties van lenzen, asferische vlakken — is die vlek kleiner te maken dan wat het oog of de sensor kan oplossen.

**Notatie 3.4 (Algebraïsche maten en vergroting).**

De [optische as](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) wordt georiënteerd in de richting van het invallende licht; de dwarsrichting wijst naar boven. Voor punten $P$, $Q$ op de as noteert $\overline{PQ}$ de [algebraïsche maat](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why) ($\overline{PQ} > 0$ als $Q$ stroomafwaarts van $P$ ligt); voor een voorwerp $AB$ loodrecht op de as en zijn [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'B'$ is de *[transversale vergroting](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why)*

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,
$$

negatief voor een omgekeerd [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), in absolute waarde groter dan $1$ voor een vergroot [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image).

## 3.2 Sferische spiegels

**Definitie 3.5 (Sferische spiegel).**

Een *sferische spiegel* is een spiegelende bolkap met middelpunt $C$ en top $S$ (haar snijpunt met de as). Zij is *hol* als het licht op de holle kant valt ($C$ aan de kant van het invallende licht), en *bol* in het andere geval. Haar *brandpunt* $F$ is het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van een punt op oneindig op de as; haar [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) is $f = \overline{SF}$.

**Propositie 3.6 (Brandpunt van een sferische spiegel).**

Onder de [voorwaarden van Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) is het [brandpunt](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) het midden van $SC$: $\overline{SF} = \overline{SC}/2$. Een [holle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) heeft $f < 0$ (reëel [brandpunt](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror), ervóór); een bolle heeft $f > 0$ (virtueel [brandpunt](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror), erachter).

**Bewijs.** Een straal evenwijdig aan de as op hoogte $h$ treft de spiegel in $I$; de normaal in $I$ is de straal $CI$, die een hoek $\alpha$ met de as maakt, $\sin\alpha = h/R$. Onder dezelfde hoek $\alpha$ met de normaal gereflecteerd snijdt de straal de as in $F$; driehoek $CIF$ heeft gelijke hoeken $\alpha$ in $C$ en in $I$, dus $CF = IF$ en, na projectie, $CF = R/(2\cos\alpha)$. Voor paraxiale stralen gaat $\cos\alpha \to 1$ en $CF = R/2$: al die stralen snijden de as in hetzelfde punt, het midden van $SC$. Teken: voor een [holle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) liggen $C$ en $F$ ervóór (stroomopwaarts), $\overline{SC} < 0$. ∎

**Stelling 3.7 (Conjugatie voor een sferische spiegel).**

Onder de [voorwaarden van Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) voldoet het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ van een punt $A$ op de as aan

$$
\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}
= \frac{1}{\overline{SF}},
\qquad
\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .
$$

**Bewijs.** Neem een [holle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) en een reëel voorwerp $A$ voorbij $C$; de algebraïsche vorm dekt dan elk geval. Een straal vanuit $A$ treft de spiegel in $I$ (hoogte $h$) en keert terug naar $A'$ op de as. Noem $u$, $u'$, $\omega$ de hoeken van $AI$, $A'I$ en $CI$ met de as; paraxiaal is $u = h/AS$, $u' = h/A'S$, $\omega = h/CS$ (afstanden). De wet van de reflectie zegt dat de normaal $CI$ de hoek tussen $AI$ en $A'I$ middendoor deelt: $\omega - u = u' - \omega$, dus $u + u' = 2\omega$, dus $1/AS + 1/A'S = 2/CS$; met $\overline{SA}$, $\overline{SA'}$, $\overline{SC}$ alle negatief is dat de getoonde betrekking. Voor de vergroting maakt de straal $B \to S \to B'$, gereflecteerd in de top, gelijke hoeken met de as: $A'B'/SA' = AB/SA$ in lengtes, en het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) is omgekeerd, $\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}$. ∎

**Methode 3.8 (Een beeld in een spiegel construeren).**

Teken voor een voorwerpspunt $B$ buiten de as twee van de vier bijzondere stralen; hun snijpunt (of dat van hun verlengden) is $B'$:

1. evenwijdig aan de as $\to$ gereflecteerd door $F$ ;
2. door $F$ $\to$ gereflecteerd evenwijdig aan de as;
3. door $C$ $\to$ langs zichzelf teruggekaatst;
4. naar de top $S$ $\to$ symmetrisch ten opzichte van de as gereflecteerd.

Dan is $A'$ de voet van de loodlijn uit $B'$ op de as.

![Een holle spiegel (C, brandpunt F op de halve straal). Voor een voorwerp AB voorbij C keert de straal evenwijdig aan de as terug door F en keert de straal door F evenwijdig terug: zij snijden elkaar in B' — een reëel, omgekeerd, verkleind beeld tussen F en C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-1566047a0650.svg)

*Een [holle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) ($C$, [brandpunt](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) $F$ op de halve straal). Voor een voorwerp $AB$ voorbij $C$ keert de straal evenwijdig aan de as terug door $F$ en keert de straal door $F$ evenwijdig terug: zij snijden elkaar in $B'$ — een reëel, omgekeerd, verkleind [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) tussen $F$ en $C$.*

**Voorbeeld 3.9 (Scheerspiegel, buitenspiegel).**

Een [holle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) met straal $60\,\mathrm{cm}$ ($f = -30\,\mathrm{cm}$) met een gezicht op $20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60$, $\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm}$ — achter de spiegel, virtueel — en $\gamma = -60/(-20) = +3$: rechtop, drie keer groter, de scheerspiegel. Een [bolle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) met straal $2.0\,\mathrm{m}$ ($f = +1.0\,\mathrm{m}$) met een auto $20\,\mathrm{m}$ erachter: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ (virtueel, erachter), $\gamma = +0.048$: rechtop, twintig keer kleiner, en daarom een breed gezichtsveld — de buitenspiegel, met haar waarschuwing dat voorwerpen dichterbij zijn dan zij lijken.

## 3.3 Dunne lenzen

**Definitie 3.10 (Dunne lens).**

Een *lens* is een [doorzichtig medium](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/2-geometrische-optica-stralen-reflectie-breking#def-b1-rays-reflection-refraction-index) begrensd door twee bolvormige (of vlakke) oppervlakken; zij heet *dun* wanneer haar dikte verwaarloosbaar is tegenover de stralen en de afstanden in het spel, zodat de twee toppen samenvallen in één punt, het *optisch middelpunt* $O$. Een straal door $O$ wordt niet afgebogen. Het *beeldbrandpunt* $F'$ is het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van een punt op oneindig op de as; het *voorwerpsbrandpunt* $F$ is het punt waarvan het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) op oneindig ligt; beide liggen op dezelfde afstand van $O$: $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$, de *brandpuntsafstand*. De lens is *convergerend* als $f' > 0$ ($F'$ reëel, stroomafwaarts; randen dunner dan het midden), *divergerend* als $f' < 0$. Haar *vergentie* $V = 1/f'$ wordt gemeten in *dioptrieën* ($1\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}$).

**Stelling 3.11 (Conjugatie voor een dunne lens).**

Onder de [voorwaarden van Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) voldoet het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ van een punt $A$ op de as aan de [betrekking van Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'},
\qquad
\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},
$$

en, gelijkwaardig, aan de [betrekking van Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2,
\qquad
\gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .
$$

**Gedeeltelijk bewijs.** Het kernfeit is dat een [dunne lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) een straal die haar op hoogte $h$ kruist over de hoek $h/f'$ naar de as toe afbuigt, wat de richting van de straal ook is — elke zone van de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) werkt als een dun prisma ([Opmerking 2.21](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/2-geometrische-optica-stralen-reflectie-breking#rem-b1-rays-reflection-refraction-thin)) waarvan de tophoek voor bolvormige vlakken lineair met $h$ groeit; die lineariteit, exact voor paraxiale stralen, wordt hier aangenomen en in het volume van jaar 2 afgeleid uit de [wet van Snellius](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/2-geometrische-optica-stralen-reflectie-breking#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) aan twee bolvormige vlakken. Aangenomen dat: een straal vanuit $A$ (op afstand $p = -\overline{OA} > 0$ voor een reëel voorwerp) die de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) op hoogte $h$ bereikt, komt aan met helling $h/p$, wordt over $h/f'$ afgebogen en vertrekt met helling $h/p - h/f'$; zij snijdt de as in $A'$ met $h/\overline{OA'} = h/f' - h/p$, dus $1/\overline{OA'}
- 1/\overline{OA} = 1/f'$, onafhankelijk van $h$: alle stralen vanuit $A$ komen samen in $A'$. De straal $B \to O \to B'$ door het middelpunt is recht, dus $\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}$. De vorm van Newton volgt door $\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA}
= -f' + \overline{FA}$ en $\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}$ in te vullen. ∎

**Methode 3.12 (Een beeld door een dunne lens construeren).**

Drie bijzondere stralen vanuit $B$:

1. door $O$ : onafgebogen;
2. evenwijdig aan de as: treedt uit door $F'$ ;
3. door $F$ : treedt evenwijdig aan de as uit.

Twee volstaan; gebruik bij een [divergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de verlengden (de straal die op $F$ achter de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) is gericht treedt evenwijdig uit; de evenwijdige straal treedt uit alsof zij uit $F'$ ervóór komt).

![Een convergerende lens: voorwerp AB voorbij F. De straal door O gaat recht door, de evenwijdige straal buigt door F', de straal door F treedt evenwijdig uit; alle drie snijden elkaar in B': reëel, omgekeerd beeld. Hier is OA = -1.5f', dus OA' = 3f' en = -2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-9d98a81aa150.svg)

*Een [convergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): voorwerp $AB$ voorbij $F$. De straal door $O$ gaat recht door, de evenwijdige straal buigt door $F'$, de straal door $F$ treedt evenwijdig uit; alle drie snijden elkaar in $B'$: reëel, omgekeerd [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image). Hier is $\overline{OA} = -1.5f'$, dus $\overline{OA'} = 3f'$ en $\gamma = -2$.*

![Een divergerende lens (F' stroomopwaarts, F stroomafwaarts): de evenwijdige straal treedt uit alsof zij uit F' komt, de middelste straal gaat recht door; hun achterwaartse verlengden snijden elkaar in B' — een virtueel, rechtopstaand, verkleind beeld, waar het voorwerp ook staat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-0212246928e4.svg)

*Een [divergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ($F'$ stroomopwaarts, $F$ stroomafwaarts): de evenwijdige straal treedt uit alsof zij uit $F'$ komt, de middelste straal gaat recht door; hun achterwaartse verlengden snijden elkaar in $B'$ — een virtueel, rechtopstaand, verkleind [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), waar het voorwerp ook staat.*

**Voorbeeld 3.13 (Dezelfde lens, drie manieren).**

Een [convergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Postzegel op $3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtueel, $\gamma = +2.5$: het vergrootglas. Lamp op $20\,\mathrm{cm}$: $\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}$, reëel, $\gamma = -1/3$: een verkleind omgekeerd [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) op een kaart. Raam op $4\,\mathrm{m}$: $\overline{OA'}
\approx f'$, piepklein omgekeerd [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) in het brandvlak — de camera. Drie toepassingen, één betrekking.

**Propositie 3.14 (Longitudinale vergroting).**

Verschuift het voorwerp langs de as over $\dd\overline{OA}$, dan verschuift het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) over $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$, in dezelfde richting.

**Bewijs.** Differentieer de [betrekking van Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) bij vaste $f'$: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, dus $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}$. ∎

**Opmerking 3.15 (Scherpstellingsdiepte).**

Een projector met $\gamma = -50$ heeft $\gamma^2 = 2500$: een dia die door de warmte van de lamp $0.1\,\mathrm{mm}$ bol trekt, werpt zijn [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $25\,\mathrm{cm}$ uit het schermvlak. Omgekeerd verdraagt een camera ($\abs\gamma
\ll 1$) grote verplaatsingen van het voorwerp voor een minieme beeldverschuiving — de scherptediepte.

## 3.4 Een brandpuntsafstand meten

**Methode 3.16 (Autocollimatie).**

Zet een [vlakke spiegel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/2-geometrische-optica-stralen-reflectie-breking#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) vlak achter de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) en verschuif een verlicht voorwerp (een kruis op matglas) langs de as tot zijn [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), door de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) terug gereflecteerd, scherp op het voorwerp zelf valt, omgekeerd en even groot. Het voorwerp ligt dan in het brandvlak: de stralen verlaten de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) evenwijdig, komen evenwijdig van de spiegel terug en worden weer in het brandvlak samengebracht. De afstand voorwerp–lens is $f'$.

**Propositie 3.17 (Methode van Bessel).**

Een voorwerp en een scherm staan op een vaste afstand $D$ van elkaar. Een [convergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) vormt precies voor twee standen een scherp [reëel beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) op het scherm als $D > 4f'$, voor één als $D = 4f'$, voor geen enkele als $D < 4f'$. De twee standen liggen een afstand $d$ uit elkaar, met

$$
f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .
$$

Bij $D = 4f'$ (Silbermann) geeft de enige stand $\gamma = -1$.

**Bewijs.** Zij $p = -\overline{OA} > 0$ de afstand voorwerp–lens; dan is $\overline{OA'} = D - p$ en geeft Descartes $1/(D - p) + 1/p = 1/f'$, dus $p^2 - Dp + Df' = 0$: discriminant $D^2 - 4Df'$, positief precies als $D > 4f'$. De twee wortels $p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2$ tellen op tot $D$ (de standen zijn symmetrisch: voorwerps- en beeldafstand worden verwisseld) en verschillen $d = \sqrt{D^2 - 4Df'}$; los op naar $f'$. Bij $D = 4f'$ is $p = 2f' = \overline{OA'}$ en $\gamma = -1$. ∎

![De methode van Bessel: voorwerp en scherm vast op D > 4f'; de lens geeft een scherp beeld in twee symmetrische standen op afstand d van elkaar (vergroot, verkleind), en f' = (D2 - d2)/4D.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-d27b5bf2e086.svg)

*De [methode van Bessel](#prop-b1-mirrors-thin-lenses-bessel): voorwerp en scherm vast op $D > 4f'$; de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) geeft een scherp [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) in twee symmetrische standen op afstand $d$ van elkaar (vergroot, verkleind), en $f' = (D^2 - d^2)/4D$.*

## 3.5 Twee dunne lenzen

**Propositie 3.18 (Lenzen in contact; afocaal doublet).**

Twee dunne lenzen in contact gedragen zich als één [dunne lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met [vergentie](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $V = V_1 + V_2$. Twee lenzen zo geplaatst dat $F_1' = F_2$ vormen een *afocaal* systeem: een evenwijdige bundel treedt evenwijdig uit, en een bundel onder een hoek $\alpha$ treedt uit onder $\alpha' = G\alpha$ met de *hoekvergroting* $G = -f_1'/f_2'$.

**Bewijs.** Het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A_1$ van $L_1$ is het voorwerp voor $L_2$. In contact is $O_1 = O_2 = O$: $1/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1$ en $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2$; tel op. Afocaal: een evenwijdige bundel onder hoek $\alpha$ komt samen in het gemeenschappelijke brandvlak op hoogte $h = f_1'\alpha$ vanaf de as (straal door $O_1$); vanuit $L_2$ gezien ligt dat punt in haar voorwerpsbrandvlak, zodat de bundel evenwijdig uittreedt, onder de hoek van de straal vanuit dat punt door $O_2$: $\alpha' = -h/f_2'$. ∎

**Voorbeeld 3.19 (Een telescoop in één regel).**

$f_1' = 1000\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = -40$; de maan, een halve graad breed, wordt een schijf van $20^\circ$ — de astronomische kijker van het volgende hoofdstuk. Met een divergerend oculair, $f_2' = -25\,\mathrm{mm}$, is $G = +40$: rechtop, de kijker van Galilei.

## 3.6 Oefeningen

**Oefening 3.1 ★.**

Een [holle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) heeft $R = 40\,\mathrm{cm}$. Bepaal het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van een voorwerp op $60\,\mathrm{cm}$, $30\,\mathrm{cm}$ en $10\,\mathrm{cm}$ van de top: plaats, reëel of virtueel, vergroting.

**Oplossing van Oefening 3.1.**

$\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} -
1/\overline{SA}$. Op $60\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}$, reëel, $\gamma = -0.5$. Op $30\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}$, reëel, $\gamma = -2$. Op $10\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10
= 1/20$, $\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm}$ achter de spiegel, virtueel, $\gamma = +2$ (rechtop, vergroot).

**Oefening 3.2 ★.**

Een [convergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) heeft $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Bepaal het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van een voorwerp op $20\,\mathrm{cm}$ en daarna op $3.0\,\mathrm{cm}$; schets de constructies.

**Oplossing van Oefening 3.2.**

$\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20$, $\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}$, reëel en omgekeerd, $\gamma = -1/3$. $\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtueel en rechtop, $\gamma = +2.5$.

**Oefening 3.3 ★.**

Geef de [vergentie](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van een [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $25\,\mathrm{cm}$; de [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van een [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van $-2.0\,\delta$; de [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van een [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van $+3.0\,\delta$ en een van $-1.0\,\delta$ in contact.

**Oplossing van Oefening 3.3.**

$V = 1/0.25 = +4.0\,\delta$; $f' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}$; $V = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta$, $f' = 50\,\mathrm{cm}$.

**Oefening 3.4 ★.**

Bepaal met $f' = 10\,\mathrm{cm}$ en een voorwerp $15\,\mathrm{cm}$ vóór $F$ met de [betrekking van Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) de plaats van het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) en $\gamma$; controleer met de [betrekking van Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj).

**Oplossing van Oefening 3.4.**

$\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}$: $\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA}
= +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm}$ voorbij $F'$, dus $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$; $\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67$. Descartes: $\overline{OA} =
-25\,\mathrm{cm}$, $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50$, $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 16.7/(-25) = -0.67$.

**Oefening 3.5 ★★.**

Een bolle buitenspiegel heeft $R = 2.0\,\mathrm{m}$. Een auto van $1.5\,\mathrm{m}$ hoog staat $20\,\mathrm{m}$ erachter: bepaal de plaats van het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), zijn hoogte, en verklaar de waarschuwing “voorwerpen zijn dichterbij dan zij lijken”.

**Oplossing van Oefening 3.5.**

$\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}$, $\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}$: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ achter de spiegel (virtueel, rechtop); $\gamma = -0.95/(-20) = +0.048$, beeldhoogte $7.1\,\mathrm{cm}$. Het brein leidt afstand af uit schijnbare grootte: een auto die twintig keer kleiner op $0.95\,\mathrm{m}$ wordt getoond, wordt gelezen als een auto ver weg — verder dan $20\,\mathrm{m}$.

**Oefening 3.6 ★★.**

Een cameralens, $f' = 50\,\mathrm{mm}$, wordt scherpgesteld op een onderwerp op $2.0\,\mathrm{m}$. Hoeveel moet de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) verschuiven vanaf haar stand voor oneindig? Hoe groot is de vergroting? Hoe ver moet de fotograaf staan om een persoon van $1.8\,\mathrm{m}$ op de $24\,\mathrm{mm}$ hoogte van de sensor te laten passen?

**Oplossing van Oefening 3.6.**

$1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}$, $\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}$: de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) beweegt $1.3\,\mathrm{mm}$ van de sensor af. $\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026$. Voor $\abs\gamma = 24/1800
= 1/75$: $\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) =
-3.8\,\mathrm{m}$.

**Oefening 3.7 ★★.**

Een projector moet een dia van $36\,\mathrm{mm}$ breed tonen als een [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van $1.8\,\mathrm{m}$ breed op een scherm $5.0\,\mathrm{m}$ van de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Bepaal de vereiste [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) en de afstand dia–lens. Waarom wordt de dia ondersteboven ingestoken?

**Oplossing van Oefening 3.7.**

$\gamma = -1.8/0.036 = -50$; $\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}$, $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}$; $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}$, $f' = 98\,\mathrm{mm}$. Het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) is omgekeerd ($\gamma < 0$), boven–onder en links–rechts: de dia gaat er over $180^\circ$ gedraaid in.

**Oefening 3.8 ★★.**

Leg met een stralengang uit waarom autocollimatie het brandvlak precies bepaalt, en waarom het teruggekaatste [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) omgekeerd en even groot is als het voorwerp. Wat gebeurt er met het teruggekaatste [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) als de spiegel iets wordt gekanteld?

**Oplossing van Oefening 3.8.**

Voorwerp in het brandvlak $\Rightarrow$ de stralen uit elk punt verlaten de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) evenwijdig; de [vlakke spiegel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/2-geometrische-optica-stralen-reflectie-breking#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) stuurt ze evenwijdig terug (symmetrische richting); de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) brengt een evenwijdige bundel samen in haar brandvlak, in het punt dat symmetrisch met het bronpunt ten opzichte van de as ligt: [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) in het voorwerpsvlak, omgekeerd, $\gamma = -1$. De spiegel over $\alpha$ kantelen draait de terugkerende bundel over $2\alpha$ en verschuift het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) zijdelings over $2\alpha f'$, nog altijd scherp in hetzelfde vlak.

**Oefening 3.9 ★★.**

Voorwerp en scherm staan $1.00\,\mathrm{m}$ uit elkaar; er ontstaan scherpe [beelden](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) voor twee lensstanden $40\,\mathrm{cm}$ uit elkaar. Bepaal $f'$. Wat is de kleinste afstand voorwerp–scherm waarop deze [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) nog een scherp [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) kan projecteren, en met welke vergroting?

**Oplossing van Oefening 3.9.**

$f' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}$. Kleinste afstand $4f' = 84\,\mathrm{cm}$, met $\gamma = -1$.

**Oefening 3.10 ★★★.**

Een [convergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ ($f_1' = 20\,\mathrm{cm}$) wordt $15\,\mathrm{cm}$ verderop gevolgd door een [divergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$ ($f_2' = -10\,\mathrm{cm}$). Bepaal het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van een voorwerp op oneindig. Toon aan dat een ver voorwerp met hoekgrootte $\alpha$ een [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van hoogte $40\,\mathrm{cm}\times\alpha$ geeft, en vergelijk met de lengte van de opstelling: het beginsel van de telelens.

**Oplossing van Oefening 3.10.**

$L_1$ beeldt oneindig af in $F_1'$, $20\,\mathrm{cm}$ voorbij $L_1$, dus $5\,\mathrm{cm}$ voorbij $L_2$: een virtueel voorwerp, $\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}$. $1/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10$: eindbeeld $10\,\mathrm{cm}$ voorbij $L_2$. Hoogte van het tussenbeeld $h_1 = f_1'\alpha = 20\alpha$ (cm); $\gamma_2 = 10/5 = 2$, dus $h = 40\alpha$: gelijkwaardige [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $40\,\mathrm{cm}$, in een huls van $15 + 10 = 25\,\mathrm{cm}$ lang — een telelens.

**Oefening 3.11 ★★★.**

Een [holle spiegel](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) vormt op een scherm $80\,\mathrm{cm}$ van een lampgloeidraad een [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van die gloeidraad, drie keer zo groot. Bepaal de plaatsen van de spiegel en haar kromtestraal.

**Oplossing van Oefening 3.11.**

$\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ geeft $\overline{SA'} =
3\overline{SA}$; beide reëel, ervóór: $\overline{SA} = -x$, $\overline{SA'} = -3x$, en de afstand scherm–lamp $2x = 80\,\mathrm{cm}$: $x = 40\,\mathrm{cm}$. Spiegel $40\,\mathrm{cm}$ van de lamp, $120\,\mathrm{cm}$ van het scherm; $1/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30$: $R = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}$.

**Oefening 3.12 ★★★.**

De zon beslaat $0.53^\circ$. Een [convergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met diameter $10\,\mathrm{cm}$ en [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $50\,\mathrm{cm}$ vormt haar [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) op een vel papier. Bereken de beelddiameter, het opgevangen vermogen (zonne-instraling $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) en de bestralingssterkte in het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image); vergelijk met de directe instraling van de zon en trek een conclusie.

**Oplossing van Oefening 3.12.**

$\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; beelddiameter $f'\theta =
4.6\,\mathrm{mm}$. Opgevangen vermogen $10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}$; beeldoppervlak $\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$; bestralingssterkte $4.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $470$ keer het directe zonlicht: papier verkoolt en vat vlam — het brandglas. In het algemeen is de winst $(D/f'\theta)^2$.

## 3.7 Probleem: De diaprojector

**Probleem 3.1.**

Weekendopgave — één lens, op een optische bank gemeten en daarna gevraagd een kleinbeelddia door een zaal te werpen: hoe een projector wordt ontworpen, scherpgesteld en van een voorzetlens voorzien

Een projectielens $L_1$ is een convergerende [dunne lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met onbekende [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$. De dia is $24\,\mathrm{mm}$ hoog en $36\,\mathrm{mm}$ breed.

**Deel I — De [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) op de bank.**

1. Formuleer de [betrekking van Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) en de vergroting voor een [dunne lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , met de tekenafspraken.
2. Voorwerp en scherm staan op een vaste afstand $D$ van elkaar. Toon aan dat een [reëel beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) op het scherm $D \geq 4f_1'$ vereist.
3. Toon aan dat, wanneer $D > 4f_1'$ , de twee lensstanden die een scherp [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) geven symmetrisch liggen ten opzichte van het midden van voorwerp en scherm, en dat $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ met $d$ hun onderlinge afstand.
4. Met $D = 80.0\,\mathrm{cm}$ en $d = 40.0\,\mathrm{cm}$ : bereken $f_1'$ .
5. De [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) zit in een dikke huls waarvan het [optisch middelpunt](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) niet nauwkeurig te bepalen is. Waarom hindert dat de methode niet?
6. De afstanden dragen $u(D) = 0.2\,\mathrm{cm}$ en $u(d) = 0.5\,\mathrm{cm}$ . Bereken $u(f_1')$ en schrijf het resultaat op.
7. Geef de vergroting in elk van beide standen. Welke hoort bij een projector?
8. Wat is de kleinste $D$ waarvoor een scherp [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) bestaat, en de vergroting dan (Silbermann)?

**Deel II — Het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) werpen.** Het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) op het scherm moet $1.80\,\mathrm{m}$ breed zijn. Neem $f_1' = 15.0\,\mathrm{cm}$.

9. Welke vergroting is vereist (met haar teken)?
10. Bereken de afstand lens–scherm en de afstand dia–lens.
11. Waarom wordt de dia ondersteboven en spiegelbeeldig ingestoken?
12. Het scherm wordt naar $10.0\,\mathrm{m}$ verplaatst. Over hoeveel, en in welke richting, moet de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ten opzichte van de dia verschuiven om weer scherp te stellen? Hoe breed is het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nu?

**Deel III — Scherpstellingstolerantie en licht.**

13. Toon aan dat een kleine verplaatsing $\dd\overline{OA}$ van de dia het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) over $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ verschuift.
14. De film trekt $0.10\,\mathrm{mm}$ bol door de warmte van de lamp. Over hoeveel verschuift het beeldvlak (scherm op $7.65\,\mathrm{m}$ )? Becommentarieer.
15. De lensopening heeft een diameter van $30\,\mathrm{mm}$ . Als het scherm $20\,\mathrm{cm}$ uit het beeldvlak staat, hoe groot is dan de diameter van de onscherptevlek van een punt van de dia? Merkt het oog dat vanaf $5\,\mathrm{m}$ (hoekoplossend vermogen ongeveer $3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ )?
16. De dia ontvangt $2.0\,\mathrm{W}$ licht, dat volledig het scherm bereikt. Bereken de bestralingssterkte (vermogen per oppervlakte) op de dia en op het scherm, en toon aan dat hun verhouding $\gamma^2$ is.

**Deel IV — De voorzetlens voor grote afstand.** In een grotere zaal staat het scherm $12.0\,\mathrm{m}$ ver. Een [divergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$, $f_2' = -30.0\,\mathrm{cm}$, wordt $8.0\,\mathrm{cm}$ achter $L_1$ geklemd; het scherm staat $12.0\,\mathrm{m}$ van $L_2$.

17. Waar (vanaf $L_2$ ) moet het tussenbeeld van $L_1$ liggen opdat het eindbeeld reëel op het scherm valt? Is het een reëel of een virtueel voorwerp voor $L_2$ ?
18. Leid daaruit de stand $\overline{O_1A}$ van de dia af.
19. Bereken $\gamma_1$ , $\gamma_2$ en de totale vergroting.
20. Geef de beeldbreedte en vergelijk met wat $L_1$ alleen op hetzelfde scherm zou geven ( $12.08\,\mathrm{m}$ van $L_1$ ).
21. Toon aan dat het systeem voor een voorwerp op oneindig gelijkwaardig is met één [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_{\mathrm{eq}}$ waarvoor $$\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},$$ met $e = \overline{O_1O_2}$, in de zin dat een bundel onder hoek $\alpha$ samenkomt op hoogte $f_{\mathrm{eq}}\,\alpha$ vanaf de as. Bereken $f_{\mathrm{eq}}$.
22. Ga na dat de verhouding van de beeldbreedtes (met/zonder voorzetlens) dicht bij $f_1'/f_{\mathrm{eq}}$ ligt. Waarom slechts bij benadering?
23. Waarom moet het tussenbeeld minder dan $\abs{f_2'}$ voorbij $L_2$ liggen opdat het eindbeeld reëel is?
24. Met welke factor verandert bij dezelfde lamp de bestralingssterkte op het scherm wanneer de voorzetlens wordt gemonteerd (zelfde schermafstand)?
25. Vat samen: met welke factor vermenigvuldigt de voorzetlens de [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , en wat doet zij bij een gegeven werpafstand met beeldgrootte en helderheid?

**Oplossing van Probleem 3.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$, $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}$; as georiënteerd met het licht mee, afstanden algebraïsch vanaf $O$.

**2.** $p = -\overline{OA}$, $\overline{OA'} = D - p$: $1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'$, dus $p^2 - Dp + Df_1' = 0$; reële wortels precies als $D^2 - 4Df_1' \geq 0$, dus $D \geq 4f_1'$.

**3.** De wortels tellen op tot $D$: $p_1 + p_2 = D$, dus $p_2 = D - p_1$ — voorwerps- en beeldafstand wisselen om, de standen liggen symmetrisch om het midden. $d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}$, dus $f_1' = (D^2 -
d^2)/4D$.

**4.** $f_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}$.

**5.** Alleen de verplaatsing $d$ van de huls tussen de twee scherpe standen en de afstand voorwerp–scherm $D$ komen erin voor: geen van beide vereist te weten waar $O$ binnen de huls zit.

**6.** $\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125$, $\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25$; dus $u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 =
0.0195\,\mathrm{cm}^{2}$ en $u(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}$: $f_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}$.

**7.** $p = (80 \mp 40)/2 = 20$ of $60\,\mathrm{cm}$: $\gamma =
-60/20 = -3$ (dia dicht bij de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), vergroot: de projector) en $\gamma = -1/3$.

**8.** $D_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -1$.

**9.** $\gamma = -1.80/0.036 = -50$.

**10.** $\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 =
765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}$; $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma =
-15.3\,\mathrm{cm}$.

**11.** $\gamma < 0$: het reële [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) is over $180^\circ$ om de as gedraaid, dus wordt de dia over $180^\circ$ gedraaid ingestoken (ondersteboven en spiegelbeeldig).

**12.** $\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = 1/1000
- 1/15$, $\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}$: de [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) beweegt $0.7\,\mathrm{mm}$ naar de dia toe. $\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7$: [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $2.36\,\mathrm{m}$ breed.

**13.** Descartes afleiden: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2
+ \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, dus $\dd\overline{OA'} =
(\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$.

**14.** $2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}$: het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) loopt uit focus zodra de film opwarmt — vandaar dia’s tussen glas of een scherpstelling die de film volgt.

**15.** Gelijkvormige driehoeken van de opening naar het beeldpunt: vlek $= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}$; vanaf $5\,\mathrm{m}$ beslaat die $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$: niet gemerkt.

**16.** Oppervlak van de dia $8.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{dia}}
= 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; het scherm is $\gamma^2$ keer groter, $2.16\,\mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{scherm}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; hetzelfde vermogen, oppervlakken in verhouding $\gamma^2 = 2500$.

**17.** $\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{O_2A} =
1/1200 + 1/30 = 0.03417$, $\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}$: het tussenbeeld ligt $29.3\,\mathrm{cm}$ *voorbij* $L_2$ — een virtueel voorwerp voor $L_2$ (de stralen uit $L_1$ convergeren ernaartoe).

**18.** $\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398$, $\overline{O_1A} =
-25.1\,\mathrm{cm}$.

**19.** $\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49$; $\gamma_2 = 1200/29.3 =
41.0$; $\gamma = -60.9$.

**20.** Breedte $60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}$. $L_1$ alleen: $\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5$, breedte $2.86\,\mathrm{m}$.

**21.** Bundel onder $\alpha$: $L_1$ brengt haar samen op hoogte $h_1 = f_1'\alpha$ in haar brandvlak, dat $\overline{O_2A_1} = f_1' - e$ van $L_2$ ligt; $L_2$ beeldt dit punt af in $\overline{O_2A'}$ met $1/\overline{O_2A'}
= 1/f_2' + 1/(f_1' - e)$ en vergroot met $\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1'
- e)$, dus $h = \gamma_2 f_1'\alpha$ en $f_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1'
= \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}$, waarvan het omgekeerde de gegeven formule is. $1/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}$, $f_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}$.

**22.** $2.19/2.86 = 0.77$ en $15/19.6 = 0.77$. Slechts bij benadering, omdat de dia op eindige afstand staat en de twee werpafstanden vanaf verschillende lenzen worden gemeten; voor een voorwerp op oneindig zou de verhouding exact zijn.

**23.** Virtueel voorwerp op $p > 0$ voorbij een [divergerende lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): $1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}$, positief ([reëel beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)) precies als $p < \abs{f_2'}$.

**24.** Hetzelfde vermogen op een [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) met een oppervlak $(2.19/2.86)^2 = 0.59$ keer kleiner: bestralingssterkte $\times 1.7$.

**25.** De voorzetlens vermenigvuldigt de [brandpuntsafstand](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met $f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3$; bij een gegeven werpafstand is het [beeld](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $1.3$ keer kleiner in elke richting en $1.7$ keer helderder — een [lens](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) voor grote werpafstand.