---
title: "Optische instrumenten en het oog"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/4-optische-instrumenten-en-het-oog
---

# Hoofdstuk 4 — Optische instrumenten en het oog

Vanaf de achterste rij van een concertzaal trekt een verrekijker het gezicht van de zangeres tot op armlengte; een [microscoop](#def-b1-optical-instruments-microscope) maakt van een druppel slootwater een dierentuin; een telefoon zo dik als een vinger fotografeert de Melkweg. Elk van deze instrumenten is een handvol dunne lenzen, geschikt met één doel: het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye), of een sensor, een beeld voorleggen dat groter, helderder of scherper is dan het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) alleen kan vormen. Het hoofdstuk begint dus bij het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) zelf — wat het wel en niet kan — en bouwt daarna de [loep](#def-b1-optical-instruments-G), de [microscoop](#def-b1-optical-instruments-microscope), de kijker en de [camera](#def-b1-optical-instruments-camera) op uit de conjugatiebetrekking van het vorige hoofdstuk.

![De 40-inch refractor van de Yerkes-sterrenwacht (1897), nog altijd de grootste lenzenkijker ooit gebouwd: een objectief van één meter en een buis van negentien. Boven dit formaat zakt een lens door onder haar eigen gewicht, en stapte de sterrenkunde over op spiegels.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-4e4f7ec86ae8.jpg)

*De 40-inch refractor van de Yerkes-sterrenwacht (1897), nog altijd de grootste lenzenkijker ooit gebouwd: een [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) van één meter en een buis van negentien. Boven dit formaat zakt een [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) door onder haar eigen gewicht, en stapte de sterrenkunde over op spiegels.*

![Een kleine refractor in de schemering: een objectief met lange brandpuntsafstand en een oculair met korte — de afocale kijker van dit hoofdstuk, gericht op de maan van de weekendopgave.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ccb52c3300bb.jpg)

*Een kleine refractor in de schemering: een [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) met lange [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) en een [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) met korte — de afocale kijker van dit hoofdstuk, gericht op de maan van de weekendopgave.*

## 4.1 Het oog

**Definitie 4.1 (Gereduceerd oog).**

Het *gereduceerde oog* modelleert het hoornvlies en de ooglens als één dunne [convergerende lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met *veranderlijke* [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), en het *netvlies* als een scherm op een vaste afstand $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ erachter. Spieren veranderen de kromming van de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) om het beeld van het bekeken voorwerp op het netvlies te houden: dat is *accommodatie*. De iris vóór de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) is een regelbare opening met diameter $2\,$ tot $8\,\mathrm{mm}$, de *pupil*.

**Definitie 4.2 (Verpunt, nabijheidspunt).**

Het *verpunt* (punctum remotum) is het voorwerpspunt dat zonder accommoderen scherp wordt gezien; het *nabijheidspunt* (punctum proximum) het dichtstbijzijnde punt dat bij maximale [accommodatie](#def-b1-optical-instruments-eye) scherp wordt gezien. Voor een normaal (emmetroop) [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) ligt het verpunt op oneindig en het nabijheidspunt op $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$, de conventionele *afstand van duidelijk zien*. Het verschil in [vergentie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) tussen beide is de *accommodatiebreedte*: ongeveer $4\,\delta$ voor een jonge volwassene, afnemend met de leeftijd.

**Voorbeeld 4.3 (De vergentie van het oog).**

Ver voorwerp: beeld op $d = 17\,\mathrm{mm}$ betekent $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 59\,\delta$. Voorwerp op $25\,\mathrm{cm}$: $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$. Vier dioptrieën [accommodatie](#def-b1-optical-instruments-eye) op zestig: de ooglens voegt maar enkele procenten toe aan het werk van het hoornvlies, maar die paar procent zijn alles om te lezen.

**Propositie 4.4 (Afwijkingen en correcties).**

Een *bijziend* [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) is te sterk convergerend: zijn [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) ligt op een eindige afstand $D_r$; een [divergerende lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' = -D_r$ (vlak voor het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) gedragen) beeldt oneindig af in het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) en herstelt het zicht in de verte. Een *verziend* [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) is niet convergerend genoeg: zijn [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) is virtueel (achter het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye)) en zijn [nabijheidspunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) ligt te ver; een [convergerende lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) corrigeert het. *Ouderdomsverziendheid* is het verlies van [accommodatie](#def-b1-optical-instruments-eye) met de jaren: het [nabijheidspunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) wijkt terug en lezen vraagt convergerende lenzen, waar het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) ook ligt.

**Bewijs.** Een [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) vlak voor het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) vormt met het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) een systeem waarvan het voorwerp moet zijn wat het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) kan zien: de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) moet van een voorwerp op oneindig een [virtueel beeld](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) in het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) maken, $\overline{OA'} = -D_r$ voor $\overline{OA} = -\infty$, dus $f' = \overline{OA'} = -D_r$. De overige gevallen zijn hetzelfde argument met de bijbehorende punten. ∎

![Het gereduceerde oog: een dunne lens met veranderlijke brandpuntsafstand en een netvlies 17\, mm erachter. Ontspannen stelt het scherp op verre voorwerpen; accommoderend verkort het f' om het beeld van een nabij voorwerp op het netvlies te brengen. Het beeld staat op zijn kop — het brein draait het terug.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-a778eb3a4d22.svg)

*Het [gereduceerde oog](#def-b1-optical-instruments-eye): een [dunne lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met veranderlijke [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) en een [netvlies](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ erachter. Ontspannen stelt het scherp op verre voorwerpen; accommoderend verkort het $f'$ om het beeld van een nabij voorwerp op het [netvlies](#def-b1-optical-instruments-eye) te brengen. Het beeld staat op zijn kop — het brein draait het terug.*

**Definitie 4.5 (Hoekgrootte en oplossend vermogen).**

De *hoekgrootte* van een voorwerp met hoogte $h$ op afstand $D$ is $\theta \approx h/D$ (kleine hoeken). Het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) onderscheidt twee punten alleen als hun hoekafstand groter is dan zijn *hoekoplossend vermogen*, ongeveer $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (één boogminuut): zowel de onderlinge afstand van de kegeltjes als de buiging aan de pupil stelt die grens.

**Opmerking 4.6 (Waar een instrument voor dient).**

Op het [nabijheidspunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) beslaat een detail van $1\,\mathrm{mm}$ $1/250 =
4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$: dertien keer de grens van het [oplossend vermogen](#rem-b1-optical-instruments-abbe); een detail van $0.05\,\mathrm{mm}$ beslaat $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ en is onzichtbaar. Instrumenten die naar nabije voorwerpen kijken ([loep](#def-b1-optical-instruments-G), [microscoop](#def-b1-optical-instruments-microscope)) vergroten de [hoekgrootte](#def-b1-optical-instruments-angular) verder dan het voorwerp dichterbij brengen kan; instrumenten voor verre voorwerpen (de kijker) vergroten de [hoekgrootte](#def-b1-optical-instruments-angular) van dingen die men niet kan naderen; de [camera](#def-b1-optical-instruments-camera) vervangt het [netvlies](#def-b1-optical-instruments-eye) door een sensor die seconden lang licht kan verzamelen en die achteraf kan worden uitvergroot.

## 4.2 De loep

**Definitie 4.7 (Hoekvergroting).**

Voor een instrument dat door het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) wordt gebruikt is de *hoekvergroting* $G = \theta'/\theta$, waarin $\theta'$ de [hoekgrootte](#def-b1-optical-instruments-angular) is van het beeld door het instrument gezien en $\theta$ de [hoekgrootte](#def-b1-optical-instruments-angular) van het voorwerp met het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) — op het [nabijheidspunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ voor een nabij voorwerp, ter plaatse voor een ver voorwerp.

**Propositie 4.8 (De loep).**

Een [convergerende lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' < d_m$ met het voorwerp in haar voorwerpsbrandvlak geeft een beeld op oneindig, zonder [accommodatie](#def-b1-optical-instruments-eye) gezien, met

$$
G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .
$$

**Bewijs.** Voorwerp $AB$ met hoogte $h$ in het brandvlak: de stralen vanuit $B$ vertrekken evenwijdig, onder de hoek van de straal door $O$, $\theta' = h/f'$. Met het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) op zijn best: $\theta = h/d_m$. Verhouding $d_m/f'$. ∎

**Voorbeeld 4.9 (De loep van de horlogemaker).**

$f' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = 250/25 = 10$, verkocht als “$10\times$”. Een detail van $0.05\,\mathrm{mm}$ beslaat dan $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, ruim opgelost. $G$ hoger opdrijven betekent $f'$ van enkele millimeters, een piepklein lensje tegen het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) gehouden — de grens van de enkele [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), en de reden dat de [microscoop](#def-b1-optical-instruments-microscope) bestaat.

## 4.3 De microscoop

**Definitie 4.10 (Samengestelde microscoop).**

Een *microscoop* bestaat uit een *objectief* $L_1$ met kleine [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$, dat een reëel, vergroot tussenbeeld van een nabij voorwerp vormt in het voorwerpsbrandvlak van een *oculair* $L_2$ ([brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_2'$), dat als [loep](#def-b1-optical-instruments-G) werkt. De afstand $\Delta =
\overline{F_1'F_2}$ tussen het beeldbrandpunt van het objectief en het voorwerpsbrandpunt van het oculair is het *optisch interval*, op klassieke instrumenten gestandaardiseerd op $160\,\mathrm{mm}$.

**Propositie 4.11 (Vergroting van een microscoop).**

Met het eindbeeld op oneindig geldt

$$
\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'},
\qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .
$$

**Bewijs.** Het tussenbeeld $A_1B_1$ ligt in het voorwerpsbrandvlak van het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope), dus op $\overline{F_1'A_1} = \Delta$; de [betrekking van Newton](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) geeft $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$. Het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) toont $A_1B_1$ (hoogte $\abs{\gamma_1} h$) vervolgens op oneindig onder de hoek $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$, tegenover $\theta = h/d_m$ voor het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye). ∎

![De microscoop: het objectief vormt een reëel, vergroot, omgekeerd tussenbeeld A_1B_1 in het voorwerpsbrandvlak van het oculair; het oculair stuurt het naar oneindig, waar het ontspannen oog het onder een grote hoek bekijkt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-99d33082219a.svg)

*De [microscoop](#def-b1-optical-instruments-microscope): het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) vormt een reëel, vergroot, omgekeerd tussenbeeld $A_1B_1$ in het voorwerpsbrandvlak van het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope); het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) stuurt het naar oneindig, waar het ontspannen [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) het onder een grote hoek bekijkt.*

**Voorbeeld 4.12 (Een schoolmicroscoop).**

[Objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$: $\gamma_1 = -40$, $G_2 = 10$, $G = 400$. Het voorwerp ligt op $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 =
-0.10\,\mathrm{mm}$ van $F_1$: $4.1\,\mathrm{mm}$ van het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope). Scherpstellen betekent de hele buis over fracties van een millimeter verschuiven.

**Opmerking 4.13 (De grens van het oplossend vermogen).**

Onbeperkt vergroten zou nutteloos zijn: licht is een golf, en een [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) dat stralen binnen een halve hoek $u$ opvangt (in een medium met index $n$) kan twee punten die dichter bij elkaar liggen dan ongeveer $\lambda/(2n\sin u)$ niet scheiden — de golfbehandeling in het volume van jaar 2 leidt dat af. Met $n\sin u \approx 1.4$ (olie-immersie) en $\lambda =
0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ ligt de grens rond $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$. Om dat detail zichtbaar te maken voor het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ op $25\,\mathrm{cm}$, dus $75\,\text{µ}\mathrm{m}$) volstaat een vergroting van ongeveer $400$; boven $1000$ is het beeld alleen groter, niet rijker: *lege vergroting*.

## 4.4 De astronomische kijker

**Propositie 4.14 (Lenzenkijker).**

Een [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_1$ en een [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ met $F_1' = F_2$ vormen een [afocaal systeem](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet): een ster (op oneindig) wordt op oneindig gezien, het ontspannen [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) bekijkt haar, en

$$
G = -\frac{f_1'}{f_2'} .
$$

Het beeld van de rand van het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) door het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) is de *[uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope)*: een heldere schijf met diameter $D/\abs G$ op $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ achter het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope), waar de pupil van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) moet staan om al het licht op te vangen.

**Bewijs.** $G$ werd afgeleid in [Propositie 3.18](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet). Het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) is, gezien vanuit $L_2$, een voorwerp op $\overline{O_2O_1} = -(f_1'
+ f_2')$; Descartes geeft $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2')
= f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$, en de vergroting $\overline{O_2P'}/
\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ schaalt de diameter $D$ tot $D/\abs G$. Elke straal die het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) binnenkomt vertrekt door de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope), want elk punt van het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) wordt daar afgebeeld. ∎

![De astronomische kijker: een evenwijdige bundel van een ster wordt door het objectief samengebracht in het gemeenschappelijke brandvlak en door het oculair naar oneindig teruggestuurd, onder een G keer grotere hoek. Al het licht dat het objectief met diameter D opvangt gaat door de uittredepupil, met diameter D/ G.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-632b3617fa70.svg)

*De astronomische kijker: een evenwijdige bundel van een ster wordt door het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) samengebracht in het gemeenschappelijke brandvlak en door het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) naar oneindig teruggestuurd, onder een $\abs G$ keer grotere hoek. Al het licht dat het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) met diameter $D$ opvangt gaat door de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope), met diameter $D/\abs G$.*

**Propositie 4.15 (Wat een kijker oplevert).**

Vergeleken met het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) (pupil $d_p$):

- *[hoekgrootte](#def-b1-optical-instruments-angular)* : vermenigvuldigd met $\abs G$ ;
- *opgevangen licht* van een puntbron: vermenigvuldigd met $(D/d_p)^2$ , mits de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) niet groter is dan de pupil van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) , dus $\abs G \geq D/d_p$ ;
- *[hoekoplossend vermogen](#def-b1-optical-instruments-angular)* : buiging aan het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) begrenst het tot $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (criterium van Rayleigh), ver onder de $\epsilon$ van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) ; de vergroting die deze grens zichtbaar maakt is $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , en grotere vergrotingen maken alleen de vlek groter.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 4.16 (Een refractor van 150 millimeter voor de liefhebber).**

$D = 150\,\mathrm{mm}$, $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$, [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) $25\,\mathrm{mm}$: $G = -48$; [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $3.1\,\mathrm{mm}$; lichtwinst $(150/7)^2 \approx
460$ tegenover een aan het donker aangepaste pupil van $7\,\mathrm{mm}$; [oplossend vermogen](#rem-b1-optical-instruments-abbe) $1.22 \times
550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$, dus kraters van $1.7\,\mathrm{km}$ breed op de maan; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times
10^{-6} \approx 67$ — het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) toont geen detail meer, alleen een fletsere, grotere schijf. De weekendopgave ontwerpt dit instrument.

**Opmerking 4.17 (Spiegeltelescopen, verrekijkers, Hollandse kijkers).**

In de *spiegeltelescoop* vervangt een [holle spiegel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) met [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ de objectieflens (geen kleurdispersie, en een spiegel kan meters breed worden gemaakt en van achteren worden gesteund): al het bovenstaande blijft gelden met $f_1'$ de [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van de spiegel. Het beeld staat omgekeerd — onschadelijk voor sterren; voor gebruik op aarde zetten verrekijkers er een paar totaalreflecterende prisma’s in om het recht te zetten, en de kijker van Galilei gebruikt een divergerend [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) ($f_2' < 0$, $G > 0$), korter maar met een smal veld.

## 4.5 De camera

**Definitie 4.18 (Camera; diafragmagetal).**

Een *camera* is een [convergerende lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f'$ die een [reëel beeld](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) op een sensor vormt, op $\overline{OA'} \approx f'$ voor verre onderwerpen; scherpstellen verplaatst de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Een diafragma met diameter $D$ begrenst de bundel; het *diafragmagetal* is $N = f'/D$ (geschreven $f/N$). De *beeldhoek* is $2\arctan(\ell/2f')$ voor een sensor met breedte $\ell$.

**Propositie 4.19 (Belichting en scherptediepte).**

De bestralingssterkte op de sensor schaalt als $1/N^2$, zodat de belichtingstijd voor een gegeven beeldhelderheid als $N^2$ schaalt. Een punt op een andere afstand dan de scherpgestelde vormt een onscherpteschijf; eist men dat die onder een toegelaten diameter $c$ blijft, dan geeft een [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) die op de *[hyperfocale afstand](#prop-b1-optical-instruments-dof)*

$$
H = \frac{f'^2}{N c}
$$

is scherpgesteld alles van $H/2$ tot oneindig aanvaardbaar scherp weer.

**Bewijs.** Bestralingssterkte $=$ vermogen/oppervlak $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (het beeld van een gegeven onderwerp heeft een grootte die door $f'$ is vastgelegd, en het opgevangen vermogen groeit als $D^2$). Stel scherp op afstand $p$, met het beeld op $q \approx f'$; een punt op oneindig komt samen op $f'$, dus $q - f'$ vóór de sensor; zijn stralenkegel, met grondvlak $D$ aan de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), heeft diameter $D(q - f')/q$ op de sensor (gelijkvormige driehoeken). Met $1/q = 1/f' - 1/p$ paraxiaal is $q - f' \approx f'^2/p$ voor $p \gg f'$, zodat de onscherpte $Df'/p = f'^2/(Np)$ bedraagt; zij is gelijk aan $c$ voor $p = H$. Dezelfde meetkunde aan de nabije kant geeft de grens $H/2$. ∎

![Scherptediepte: de lens is scherpgesteld op een punt op afstand p (beeld op de sensor); een punt op oneindig komt samen in F', vóór de sensor, en laat een onscherpteschijf met diameter c = Df'/p achter — kleiner bij een kleine opening (grote N), vandaar de afweging tussen scherpte en belichtingstijd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-ccdd2dbc9ad3.svg)

*[Scherptediepte](#def-b1-optical-instruments-camera): de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) is scherpgesteld op een punt op afstand $p$ (beeld op de sensor); een punt op oneindig komt samen in $F'$, vóór de sensor, en laat een onscherpteschijf met diameter $c = Df'/p$ achter — kleiner bij een kleine opening (grote $N$), vandaar de afweging tussen scherpte en belichtingstijd.*

**Voorbeeld 4.20 (Kleinbeeld en telefoon).**

Een [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van $50\,\mathrm{mm}$ op een sensor van $36\,\mathrm{mm}$ breed: beeldhoek $2\arctan(18/50) = 40^\circ$; bij $f/8$ met $c = 0.03\,\mathrm{mm}$ is $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$: scherpgesteld op $10\,\mathrm{m}$ is alles voorbij $5\,\mathrm{m}$ scherp. Een telefoonlens, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ bij $f/1.8$ op een sensor van $6\,\mathrm{mm}$ met $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: dezelfde beeldhoek ($70{}^{\circ}$ breed), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) =
2.1\,\mathrm{m}$ — vrijwel alles is tegelijk scherp, de reden dat telefoons de achtergrondonscherpte in software nabootsen.

![De proefglazen en het proefmontuur van een opticien: een convergerende of divergerende lens met de juiste vergentie voor het oog schuift het verpunt terug naar oneindig.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ee6212e4f9ea.jpg)

*De proefglazen en het proefmontuur van een opticien: een convergerende of [divergerende lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) met de juiste [vergentie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) voor het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) schuift het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) terug naar oneindig.*

## 4.6 Oefeningen

**Oefening 4.1 ★.**

Bereken met het [netvlies](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ achter de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [vergentie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van een normaal [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) dat naar oneindig kijkt, en daarna naar $25\,\mathrm{cm}$; leid de [accommodatiebreedte](#def-b1-optical-instruments-punctum) af. Welke [brandpuntsafstanden](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) zijn dit?

**Oplossing van Oefening 4.1.**

Oneindig: $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$. $25\,\mathrm{cm}$: $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$, $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$. Breedte $4.0\,\delta$.

**Oefening 4.2 ★.**

Een bijziend [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) heeft zijn [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) op $40\,\mathrm{cm}$. Welke [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) corrigeert dat ([brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), [vergentie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens))? Een verziend [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) kan op niets dichterbij dan $1.0\,\mathrm{m}$ accommoderen: welke [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) laat het op $25\,\mathrm{cm}$ lezen?

**Oplossing van Oefening 4.2.**

Bijziende: oneindig moet in het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) worden afgebeeld, $f' = -40\,\mathrm{cm}$, $V = -2.5\,\delta$. Verziende: een voorwerp op $25\,\mathrm{cm}$ moet (virtueel) op $1.0\,\mathrm{m}$ worden afgebeeld: $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA}
= -1 + 4 = +3.0\,\delta$.

**Oefening 4.3 ★.**

Een [loep](#def-b1-optical-instruments-G) heeft $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$. Geef haar [hoekvergroting](#def-b1-optical-instruments-G), waar de postzegel moet worden gehouden, en de [hoekgrootte](#def-b1-optical-instruments-angular) van een detail van $2\,\mathrm{mm}$ erdoorheen, vergeleken met het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) op $25\,\mathrm{cm}$.

**Oplossing van Oefening 4.3.**

$G = 25/4.0 = 6.3$; postzegel in het brandvlak, $4.0\,\mathrm{cm}$ van de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Detail van $2\,\mathrm{mm}$: $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$, tegenover $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ op $25\,\mathrm{cm}$.

**Oefening 4.4 ★.**

Een refractor heeft $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$. Bereken $G$ met een [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $25\,\mathrm{mm}$ en met een van $9\,\mathrm{mm}$, de buislengte in beide gevallen, en de schijnbare grootte van de maan ($0.52^\circ$).

**Oplossing van Oefening 4.4.**

$G = 900/25 = 36$ en $900/9 = 100$; buislengtes $f_1' + f_2' =
925\,\mathrm{mm}$ en $909\,\mathrm{mm}$; maan: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ en $52^\circ$.

**Oefening 4.5 ★★.**

[Microscoop](#def-b1-optical-instruments-microscope): $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$. Bereken $\gamma_1$, $G_2$, $G$ en de afstand voorwerp–objectief. Hoeveel moet de buis verschuiven om het voorwerp $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ dieper scherp te stellen?

**Oplossing van Oefening 4.5.**

$\gamma_1 = -160/4 = -40$; $G_2 = 250/20 = 12.5$; $G = 500$. $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$: voorwerp $4.1\,\mathrm{mm}$ van het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope). Het voorwerp moet op die afstand van het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) blijven, dus verschuift de hele buis over $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — de fijnstelknop.

**Oefening 4.6 ★★.**

Twee koplampen staan $1.5\,\mathrm{m}$ uit elkaar. Vanaf welke afstand kan het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$) ze onderscheiden? Een kijker met $D = 100\,\mathrm{mm}$: bereken haar buigingsgrens ($\lambda =
550\,\mathrm{nm}$), de afstand waarop zij de koplampen scheidt, en de vergroting $G_r$ waarboven zij niets nieuws meer toont.

**Oplossing van Oefening 4.6.**

Blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye): $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$. Kijker: $\theta_{\min}
= 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$; koplampen gescheiden tot $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (in beginsel — lucht en aardkromming komen eerder tussenbeide). $G_r = 3\times10^{-4}/
6.7\times10^{-6} = 45$.

**Oefening 4.7 ★★.**

Een [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van $50\,\mathrm{mm}$ bij $f/2$: hoe groot is de opening? Een tafereel is juist belicht bij $f/2$ in $1/500$ $\mathrm{s}$; welke belichtingstijd bij $f/8$? Wat levert de kleinere opening op?

**Oplossing van Oefening 4.7.**

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$. Belichting $\propto N^2$: $(8/2)^2 = 16$ keer langer, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$. Het levert [scherptediepte](#def-b1-optical-instruments-camera) op (en minder aberraties) ten koste van bewegingsonscherpte of een statief.

**Oefening 4.8 ★★.**

Bereken de [hyperfocale afstand](#prop-b1-optical-instruments-dof) van een [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van $35\,\mathrm{mm}$ bij $f/11$ met $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, en het bereik van scherpe afstanden wanneer zij op $H$ is scherpgesteld. Straatfotografen stellen dit vooraf in: waarom?

**Oplossing van Oefening 4.8.**

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$; scherp van $H/2 =
1.9\,\mathrm{m}$ tot oneindig. Vooraf op $H$ ingesteld hoeft de [camera](#def-b1-optical-instruments-camera) niet scherp te stellen: de foto kan worden genomen op het moment zelf.

**Oefening 4.9 ★★.**

Een verrekijker “$8\times30$” heeft $G = 8$ en $D = 30\,\mathrm{mm}$. Bereken de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope); wordt al het licht gebruikt door een nachtpupil van $7\,\mathrm{mm}$? En voor “$7\times50$”? Welke kijker is beter in de schemering, en waarom is “$20\times30$” een slechte keuze?

**Oplossing van Oefening 4.9.**

$8\times30$: [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$, al het licht komt het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) binnen. $7\times50$: $7.1\,\mathrm{mm}$, passend bij de nachtpupil, en $(50/30)^2 = 2.8$ keer meer licht opgevangen: de schemerkijker. $20\times30$: [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $1.5\,\mathrm{mm}$, flets beeld, smal veld en handtrilling twintig keer vergroot.

**Oefening 4.10 ★★★.**

Het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) van een bijziende ligt $25\,\mathrm{cm}$ van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye). Bereken de [vergentie](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) van de corrigerende contactlens, en daarna van brillenglazen die $15\,\mathrm{mm}$ voor het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) worden gedragen. Welke correctie is sterker, en waarom verschillen de twee?

**Oplossing van Oefening 4.10.**

Contactlens: $f' = -25\,\mathrm{cm}$, $V = -4.0\,\delta$. Bril: het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) ligt $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ van de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), dus $f' =
-23.5\,\mathrm{cm}$, $V = -4.3\,\delta$ — sterker. De [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) moet het beeld in het [verpunt](#def-b1-optical-instruments-punctum) van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) vormen, en de afstand daarvan tot de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) hangt af van waar de [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) zit.

**Oefening 4.11 ★★★.**

De kijker van Galilei: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$, $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$. Bepaal de afstand tussen de lenzen voor een [afocaal systeem](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet), $G$, en de stand van het beeld. Bepaal de plaats van de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) en leg uit waarom het gezichtsveld smal is.

**Oplossing van Oefening 4.11.**

Afocaal: $F_1' = F_2$, afstand $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (korter dan de $40\,\mathrm{cm}$ van een keplerkijker met dezelfde $G$). $G = -30/(-10) =
+3$: rechtop. [Uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' =
-10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$: virtueel, binnen in de buis, waar het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) niet kan zijn; het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) achter het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) vangt alleen de bundels op die het toevallig bereiken — een smal veld, de klassieke klacht over de theaterkijker.

**Oefening 4.12 ★★★.**

Een kijker van $200\,\mathrm{mm}$ en een pupil van $7\,\mathrm{mm}$. Met welke factor neemt het licht van een ster toe? Sterrenkundigen schalen helderheid in magnituden, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$; het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) reikt tot magnitude $6$: welke grensmagnitude geeft de kijker? Hoeveel keer verder kan een gegeven lamp worden gezien?

**Oplossing van Oefening 4.12.**

$(200/7)^2 = 820$; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$: grensmagnitude $13.3$. De flux gaat als $\propto 1/r^2$, dus is de lamp $\sqrt{820} = 29$ keer verder te zien.

![De naar de aarde gekeerde zijde van de maan (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): het doelwit van de kijker uit de weekendopgave, 3476\, km in doorsnede op 384\,000\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ce53ac82ea4e.jpg)

*De naar de aarde gekeerde zijde van de maan (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): het doelwit van de kijker uit de weekendopgave, $3476\,\mathrm{km}$ in doorsnede op $384\,000\,\mathrm{km}$.*

## 4.7 Probleem: Een kijker voor de maan ontwerpen

**Probleem 4.1.**

Weekendopgave — een refractor van 150 millimeter op een gazon: kies de oculairs, plaats het oog, tel het licht, en zoek uit hoe klein een krater is die hij nog kan tonen

Het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) is een [convergerende lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ met [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ en diameter $D = 150\,\mathrm{mm}$; er zijn [oculairs](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ met [brandpuntsafstanden](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $25\,\mathrm{mm}$ en $6\,\mathrm{mm}$ beschikbaar. De maan staat $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ ver en beslaat $0.52^\circ$; de nachtpupil van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) is $7\,\mathrm{mm}$, haar [oplossend vermogen](#rem-b1-optical-instruments-abbe) $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$.

**Deel I — De afocale opstelling.**

1. Waar moet het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) staan opdat een ster zonder [accommodatie](#def-b1-optical-instruments-eye) wordt gezien? Geef de afstand objectief–oculair voor elk [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
2. Ga met de [betrekking van Descartes](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) , op elke [lens](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) om beurten toegepast, na dat een punt op oneindig op de as op oneindig wordt afgebeeld.
3. Toon aan dat een bundel van een ster onder hoek $\alpha$ met de as uittreedt als evenwijdige bundel onder hoek $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
4. Bereken $G$ voor elk [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) en de schijnbare diameter van de maan door elk.
5. Het beeld staat omgekeerd. Waarom is dat hier aanvaardbaar, en wat zou een aardse spotting scope toevoegen?
6. Waar ligt het reële tussenbeeld van de maan, en wat is zijn diameter? (Daar kan het worden gefotografeerd.)

**Deel II — Waar het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) komt.**

7. Toon aan dat het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) een [reëel beeld](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) van de rand van het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) vormt op $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ erachter, met diameter $D/\abs G$ (de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ).
8. Bereken plaats en diameter van de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) voor elk [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
9. Waarom moet de pupil van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) op de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) staan? Wat gebeurt er met het veld als zij verder naar achteren staat?
10. Om het licht van een ster volledig te benutten mag de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) de pupil van het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) niet overtreffen: leid de kleinste bruikbare vergroting van deze kijker bij nacht af.

**Deel III — [Oplossend vermogen](#rem-b1-optical-instruments-abbe).**

11. Bereken de buigingsgrens $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ in radialen en in boogseconden.
12. Met welke kleinste krater op de maan komt deze hoek overeen? En voor het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) ?
13. Definieer en bereken de oplossende vergroting $G_r =  \epsilon/\theta_{\min}$ . Welk [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) ligt daar het dichtst bij?
14. Met het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $6\,\mathrm{mm}$ oogt het beeld waziger en fletser dan met dat van $25\,\mathrm{mm}$ . Verklaar beide effecten.
15. Luchtonrust smeert sterbeelden uit tot ongeveer $1''$ . Vanaf welke objectiefdiameters houdt de grens van Rayleigh vanaf de grond op te tellen, en wat levert een grotere $D$ dan nog op?

**Deel IV — Licht.**

16. Met welke factor vangt het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) meer licht op dan de nachtpupil?
17. Zet dit om in magnituden ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ van de verhouding); als het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) tot magnitude $6$ reikt, tot welke magnitude reikt de kijker dan?
18. De volle maan levert op de grond een bestralingssterkte van ongeveer $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Welk vermogen komt het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) binnen, en hoe wordt het over het [netvlies](#def-b1-optical-instruments-eye) verdeeld vergeleken met kijken met het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) (zelfde redenering met vermogen per ruimtehoek: vergelijk de oppervlaktehelderheid door beide [oculairs](#def-b1-optical-instruments-microscope) )?
19. Waarom maakt een kijker het maanoppervlak niet helderder per oppervlakte-eenheid dan het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) , terwijl hij sterren wel helderder maakt?

**Deel V — Gezichtsveld.** Het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) draagt in zijn brandvlak een ronde veldstop met diameter $20\,\mathrm{mm}$ ([oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $25\,\mathrm{mm}$) of $5\,\mathrm{mm}$ ([oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $6\,\mathrm{mm}$).

20. Toon aan dat het werkelijke gezichtsveld $2\arctan(\phi/2f_1')  \approx \phi/f_1'$ bedraagt voor een stop met diameter $\phi$ .
21. Bereken het voor beide [oculairs](#def-b1-optical-instruments-microscope) en zeg of de hele maan in het veld past.
22. Bereken het schijnbare veld (de hoek waaronder het [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) de stop door het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) ziet) voor beide.
23. De aarde draait $15''$ per tijdseconde: hoe lang doet de maan erover om het veld van elk [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) te doorkruisen zonder volgen?
24. Vat het ontwerp samen: welk [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) voor de hele maan, welk voor kraters, en de kleinste kratergrootte die het instrument kan onthullen — zijn ene getal.
25. Hetzelfde [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) wordt vervangen door een [holle spiegel](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) van $150\,\mathrm{mm}$ met dezelfde [brandpuntsafstand](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) . Welke van de bovenstaande uitkomsten veranderen?

**Oplossing van Probleem 4.1.**

**1.** $F_2 = F_1'$: afstand $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ ([oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $25\,\mathrm{mm}$) of $1206\,\mathrm{mm}$ ($6\,\mathrm{mm}$).

**2.** $L_1$: $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (beeld in $F_1'$). $L_2$: $\overline{O_2A_1} = -f_2'$, dus $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2')
= 0$: beeld op oneindig.

**3.** De bundel komt samen in het gemeenschappelijke brandvlak op hoogte $h =
f_1'\alpha$ (straal door $O_1$); van daaruit bepaalt de straal door $O_2$ de uittredende richting, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$.

**4.** $G = -48$ en $-200$; maan: $25^\circ$ en $104^\circ$.

**5.** Boven en onder betekenen niets aan de hemel; een spotting scope voegt een oprichtend prismapaar (of lenzenrelais) toe.

**6.** In het brandvlak van $L_1$, diameter $f_1'\theta = 1200 \times
9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$.

**7.** Voorwerp $O_1$ op $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$: $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$; vergroting $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$, diameter $D/\abs G$.

**8.** $25\,\mathrm{mm}$: $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 =
25.5\,\mathrm{mm}$, diameter $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$. $6\,\mathrm{mm}$: $6.0\,\mathrm{mm}$ erachter, diameter $0.75\,\mathrm{mm}$.

**9.** Elke straal die het [objectief](#def-b1-optical-instruments-microscope) is binnengekomen gaat door de [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope): een [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) dat daar staat ontvangt het hele veld. Verder naar achteren vangt het alleen de middelste bundels op: het veld krimpt tot een sleutelgat.

**10.** $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$: $\abs G \geq 150/7 \approx 21$.

**11.** $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 =
4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$.

**12.** $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$; blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$.

**13.** $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$; het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $25\,\mathrm{mm}$ ($48$) ligt er het dichtst bij, iets eronder; dat van $6\,\mathrm{mm}$ ($200$) zit er drie keer boven.

**14.** Bij $G = 200$ beslaat de buigingsvlek $200 \times 4.5
\times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$: zichtbaar wazig. Het licht van de maan wordt over een $(200/48)^2 = 17$ keer groter netvliesoppervlak verdeeld: fletser.

**15.** $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$: $D = 1.22\lambda/\theta =
140\,\mathrm{mm}$. Daarboven begrenst de luchtonrust het [oplossend vermogen](#rem-b1-optical-instruments-abbe) vanaf de grond (adaptieve optiek daargelaten); een grotere $D$ vangt nog altijd meer licht op en bereikt zwakkere objecten.

**16.** $(150/7)^2 = 460$.

**17.** $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$: magnitude $12.7$.

**18.** $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$, $460$ keer dat van het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye). Het netvliesbeeld is $\abs G^2$ keer groter in oppervlak: verhouding van oppervlaktehelderheid $460/G^2 = 0.20$ ($G = 48$), $0.012$ ($G = 200$) — gelijk aan $(D/\abs G)^2/d_p^2$, het kwadraat van de verhouding [uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) tot oogpupil.

**19.** Voor een uitgebreid voorwerp groeit het opgevangen licht als $D^2$ maar het beeldoppervlak als $G^2 \geq (D/d_p)^2$: de oppervlaktehelderheid kan hoogstens gelijk zijn aan de waarde met het blote [oog](#def-b1-optical-instruments-eye) ([uittredepupil](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $=$ oogpupil). Een ster wordt niet opgelost: al haar licht valt in één buigingsvlek, zodat haar helderheid als $(D/d_p)^2$ groeit.

**20.** Een punt onder hoek $\beta$ wordt afgebeeld op hoogte $f_1'\beta$ in het brandvlak; de stop laat door wat voldoet aan $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$: volledig veld $\phi/f_1'$ (kleine hoeken).

**21.** $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$: de hele maan past erin. $5/1200 = 0.24^\circ$: niet.

**22.** Schijnbaar veld $\phi/f_2'$: $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$; $5/6 = 48^\circ$.

**23.** $0.95^\circ = 3420''$: $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$, bijna vier minuten; $0.24^\circ = 864''$: $58\,\mathrm{s}$.

**24.** [Oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) van $25\,\mathrm{mm}$ ($G = 48$, dicht bij $G_r$, helder, hele maan) voor de schijf; $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) om kraters van dichterbij te bekijken, fletser en waziger. Het getal van het instrument: kraters tot $1.7\,\mathrm{km}$.

**25.** Zelfde $f_1'$ en $D$: zelfde $G$, velden, uittredepupillen, [oplossend vermogen](#rem-b1-optical-instruments-abbe) en licht (op een eventuele centrale afscherming na). Winst: geen kleurafwijking. Praktisch verschil: het [brandpunt](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/3-spiegels-en-dunne-lenzen#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) ligt vóór de spiegel, zodat een kleine hulpspiegel de bundel naar buiten naar het [oculair](#def-b1-optical-instruments-microscope) moet vouwen.