---
title: "Gelijkstroomkringen: de wetten van Kirchhoff en enkele stellingen"
book: "Universitaire natuurkunde — jaar 1"
subject: physics
language: nl
chapter: 6
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/6-gelijkstroomkringen-de-wetten-van-kirchhoff-en-enkele-stellingen
---

# Hoofdstuk 6 — Gelijkstroomkringen: de wetten van Kirchhoff en enkele stellingen

Draai de sleutel om op een koude ochtend: de startmotor kreunt, het dashboardlicht dooft een seconde lang en de auto hoest zich tot leven. De accu die zojuist nog een stabiele $12.6\,\mathrm{V}$ leverde, staat op elf terwijl de startmotor zijn honderdvijftig [ampère](#def-b1-dc-circuits-current) trekt — en de koplampen, parallel aangesloten, betalen ervoor. Alles in die seconde wordt beheerst door twee behoudswetten en een handvol stellingen over [lineaire netwerken](#def-b1-dc-circuits-linear), die dit hoofdstuk formuleert, bewijst en toepast: de [wetten van Kirchhoff](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), de modellen van bronnen en [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor), delers, Thévenin en Norton, en de grafische kunst van het vinden van een [werkpunt](#met-b1-dc-circuits-loadline).

## 6.1 Stroom, spanning en het quasistationaire regime

**Definitie 6.1 (Elektrische stroom).**

De *elektrische stroom* door een oppervlak (de doorsnede van een draad) is de lading die er per tijdseenheid doorheen gaat, positief geteld in een gekozen oriëntatie:

$$
i = \frac{\dd q}{\dd t} \qquad (\text{ampère: } 1\,\mathrm{A} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{s}).
$$

De oriëntatie omkeren wisselt het teken van $i$. In een metaal zijn de ladingsdragers elektronen, die *tegen* de conventionele stroomrichting in driften, met een fractie van een millimeter per seconde.

**Definitie 6.2 (Potentiaal en spanning).**

Elk punt van een kring heeft een *elektrische potentiaal* $V$ (volt), op een constante na vastgelegd door een *massa* te kiezen ($V = 0$). De *spanning* tussen $A$ en $B$ is het potentiaalverschil $u_{AB} = V_A - V_B$, getekend als een pijl van $B$ naar $A$. De energie die een lading $q$ verliest op de weg van $A$ naar $B$ is $q\,u_{AB}$ (dit sluit aan bij de elektrostatische potentiaal van [Hoofdstuk 27](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/27-elektrische-potentiaal-geleiders-en-condensatoren#ch-b1-potential-capacitors)).

**Definitie 6.3 (Quasistationair regime (ARQS)).**

Een kring met afmeting $\ell$ die met frequentie $f$ wordt aangedreven is in het *quasistationaire regime* wanneer de looptijd $\ell/c$ van elektrische signalen erdoorheen verwaarloosbaar is tegenover de periode $1/f$: $\ell \ll c/f$. De stroom is dan op elk moment overal in een onvertakte draad dezelfde, en de onderstaande wetten gelden op elk moment voor tijdafhankelijke stromen en [spanningen](#def-b1-dc-circuits-voltage) (kleine letters $i$, $u$) net zo goed als voor stationaire ($I$, $U$).

**Voorbeeld 6.4 (Hoe quasi is quasi).**

Bij $50\,\mathrm{Hz}$ is $c/f = 6000\,\mathrm{km}$: een huis zit in het [quasistationaire regime](#def-b1-dc-circuits-arqs). Bij $1\,\mathrm{MHz}$, $300\,\mathrm{m}$: een radio nog steeds. Bij $2\,\mathrm{GHz}$, $15\,\mathrm{cm}$: de printplaat van een telefoon niet meer, en haar banen moeten als transmissielijnen worden behandeld — een onderwerp van het volume van jaar 2.

**Stelling 6.5 (De wetten van Kirchhoff).**

In het [quasistationaire regime](#def-b1-dc-circuits-arqs) geldt:

1. *Knooppuntregel* : in een knooppunt waar meerdere draden samenkomen is de som van de aankomende stromen gelijk aan de som van de vertrekkende, $\sum_{\text{in}} i_k = \sum_{\text{uit}} i_k$ .
2. *Maasregel* : langs een gesloten maas tellen de [spanningen](#def-b1-dc-circuits-voltage) op tot nul, geteld met het teken dat een gekozen omlooprichting oplegt: $\sum_{\text{lus}} \pm u_k = 0$ .

**Bewijs.** Lading blijft behouden en hoopt zich in het [quasistationaire regime](#def-b1-dc-circuits-arqs) niet op in een knooppunt: wat er per seconde aankomt vertrekt per seconde. De maasregel is de uitspraak dat de potentiaal een functie van de plaats is: gaat men de maas rond en terug naar het beginpunt, dan is de som van de potentiaalverschillen $V_A - V_A = 0$. ∎

**Notatie 6.6 (Conventies en vermogen).**

Voor een component met twee aansluitingen (een *tweepool*) tekent de *verbruikersconventie* de spanningspijl en de stroompijl in tegengestelde richtingen; de *generatorconventie* tekent ze in dezelfde richting. In de verbruikersconventie is het vermogen dat de tweepool *ontvangt*

$$
p = u\,i \qquad (\text{watt}),
$$

positief voor een [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) die opwarmt, negatief voor een accu die levert. In de generatorconventie is $p = ui$ het vermogen dat zij *levert*.

![De twee tekenconventies voor een tweepool: pijlen tegengesteld (verbruiker) of gelijkgericht (generator). De natuurkunde is dezelfde; alleen het teken van ui wordt anders gelezen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-e56aed8f12e7.svg)

*De twee tekenconventies voor een tweepool: pijlen tegengesteld (verbruiker) of gelijkgericht (generator). De natuurkunde is dezelfde; alleen het teken van $ui$ wordt anders gelezen.*

## 6.2 Tweepolen en hun modellen

**Definitie 6.7 (Karakteristiek; weerstand; de wet van Ohm).**

De *karakteristiek* van een tweepool is de kromme $i(u)$ (of $u(i)$) die zij oplegt. Een *weerstand* heeft een lineaire karakteristiek door de oorsprong, de *wet van Ohm*

$$
u = R\,i \qquad (\text{verbruikersconventie}),
$$

waarin $R$ haar *weerstandswaarde* is (ohm, $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$) en $G = 1/R$ haar *conductantie* (siemens). Zij ontvangt $p = Ri^2 =
u^2/R \geq 0$, dat als warmte wordt afgevoerd (*joule-effect*). Een draad met lengte $\ell$, doorsnede $S$ en soortelijke weerstand $\rho$ heeft $R = \rho\ell/S$.

**Definitie 6.8 (Ideale en werkelijke bronnen).**

Een *ideale spanningsbron* legt $u = E$ op, wat de stroom ook is; $E$ is haar *elektromotorische kracht* (emk). Een *ideale stroombron* legt $i = I_N$ op, wat de [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) ook is. Een *werkelijke bron* (accu, generator, voeding) wordt in de generatorconventie gemodelleerd door

$$
u = E - r\,i \quad (\text{model van Thévenin: ideale emk } E \text{ in serie met } r)
$$

of, gelijkwaardig, door $i = I_N - u/r$ (model van Norton: ideale stroombron $I_N = E/r$ parallel aan $r$); $r$ is de *inwendige [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor)*. $E$ is de nullastspanning en $I_N = E/r$ de kortsluitstroom.

**Propositie 6.9 (Vermogensbalans van een werkelijke bron).**

Een werkelijke bron $(E, r)$ die een [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ voedt levert $i = E/(R + r)$ en het vermogen

$$
P_R = \frac{E^2 R}{(R + r)^2},
$$

dat maximaal is en gelijk aan $E^2/4r$ wanneer $R = r$ (*aanpassing*), met rendement $P_R/(Ei) = R/(R + r)$, bij dat maximum slechts $50\%$.

**Bewijs.** Maasregel: $E = ri + Ri$. $P_R = Ri^2$; differentieer $R/(R + r)^2$: $\big[(R + r)^2 - 2R(R + r)\big]/(R + r)^4 = (r - R)/(R + r)^3$, nul bij $R = r$, positief ervóór en negatief erna. De bron levert $Ei = (R + r)i^2$, waarvan $ri^2$ de bron zelf opwarmt. ∎

![Links: de karakteristieken van een werkelijke bron (u = E - ri) en van een weerstandsbelasting (u = Ri) snijden elkaar in het werkpunt. Rechts: het vermogen dat de belasting ontvangt piekt bij R = r, waar de helft van het vermogen van de bron in haar eigen weerstand verloren gaat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-f5df35b6282b.svg)

![Links: de karakteristieken van een werkelijke bron (u = E - ri) en van een weerstandsbelasting (u = Ri) snijden elkaar in het werkpunt. Rechts: het vermogen dat de belasting ontvangt piekt bij R = r, waar de helft van het vermogen van de bron in haar eigen weerstand verloren gaat.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-ef081915e244.svg)

*Links: de karakteristieken van een werkelijke bron ($u = E - ri$) en van een weerstandsbelasting ($u = Ri$) snijden elkaar in het [werkpunt](#met-b1-dc-circuits-loadline). Rechts: het vermogen dat de belasting ontvangt piekt bij $R = r$, waar de helft van het vermogen van de bron in haar eigen [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) verloren gaat.*

**Voorbeeld 6.10 (Een auto-accu onder belasting).**

Nullast $12.6\,\mathrm{V}$; $11.4\,\mathrm{V}$ terwijl de startmotor $120\,\mathrm{A}$ trekt: $r = 1.2/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$, $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ (vandaar het lasgevaar van een gevallen steeksleutel). Een aangepaste belasting $R = 10\,\mathrm{m}\Omega$ zou $E^2/4r = 4\,\mathrm{kW}$ opnemen gedurende enkele seconden — ongeveer wat een startmotor nodig heeft.

**Opmerking 6.11 (Andere tweepolen).**

Een *diode* geleidt maar in één richting: een geïdealiseerd model is een open keten voor $u < U_0$ en een vaste [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u = U_0$ (ongeveer $0.7\,\mathrm{V}$ voor silicium, $2\,$ tot $3\,\mathrm{V}$ voor een led) zodra zij geleidt. Een gloeilamp is een [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) waarvan $R$ met de temperatuur groeit, en dus met $i$ — een gekromde karakteristiek. In de stationaire toestand is een condensator een open keten ($i = C\,\dd u/\dd t = 0$) en een spoel een kortsluiting ($u = L\,\dd i/\dd t = 0$); hun rol bij overgangsverschijnselen is [Hoofdstuk 7](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/7-overgangsverschijnselen-eerste-en-tweede-orde#ch-b1-transient-regimes).

## 6.3 Schakelingen en delers

**Propositie 6.12 (Weerstanden in serie en parallel).**

[Weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) in serie (dezelfde stroom) tellen op: $R = R_1 + R_2 + \cdots$. [Weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) parallel (dezelfde [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage)) tellen hun conductanties op: $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + \cdots$; voor twee is $R = R_1R_2/(R_1 + R_2)$, genoteerd $R_1 \parallel R_2$.

**Bewijs.** Serie: $u = u_1 + u_2 = (R_1 + R_2)i$ (maasregel). Parallel: $i = i_1 +
i_2 = u/R_1 + u/R_2$ (knooppuntregel). ∎

**Propositie 6.13 (Spanningsdeler en stroomdeler).**

Twee [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) in serie over een [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u$ verdelen haar evenredig met hun weerstandswaarden:

$$
u_2 = \frac{R_2}{R_1 + R_2}\,u .
$$

Twee [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) parallel, gevoed door een stroom $i$, verdelen die omgekeerd evenredig:

$$
i_2 = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,i = \frac{G_2}{G_1 + G_2}\,i .
$$

**Bewijs.** Serie: $i = u/(R_1 + R_2)$ en $u_2 = R_2 i$. Parallel: $u = (R_1
\parallel R_2)\,i$ en $i_2 = u/R_2$. ∎

![Spanningsdeler (links): u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2). Stroomdeler (rechts): i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2) — de stroom verkiest de kleinste weerstand.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-246b3afb158f.svg)

*[Spanningsdeler](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (links): $u_2 = R_2 u/(R_1 + R_2)$. [Stroomdeler](#prop-b1-dc-circuits-dividers) (rechts): $i_2 = R_1 i/(R_1 + R_2)$ — de stroom verkiest de kleinste [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor).*

**Opmerking 6.14 (Een deler belasten).**

De formule voor de deler geldt alleen als er geen stroom uit het middelpunt wordt getrokken. Een belasting $R_L$ over $R_2$ vervangt $R_2$ door $R_2
\parallel R_L$ en verlaagt $u_2$ — het “belastingseffect”, en de reden dat een voltmeter een hoge [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) moet hebben en een potentiometer een lage vergeleken met wat zij voedt ([Oefening 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4)).

**Methode 6.15 (Een netwerk vereenvoudigen).**

Om één stroom of [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) te vinden in een netwerk van [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) met één bron:

1. vervang, ver van de bron beginnend, groepen in serie en parallel door hun equivalenten tot er nog één [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) tegenover de bron staat;
2. bereken de bronstroom;
3. loop terug en splits de stromen met [stroomdelers](#prop-b1-dc-circuits-dividers) en de [spanningen](#def-b1-dc-circuits-voltage) met [spanningsdelers](#prop-b1-dc-circuits-dividers) , tot aan de gezochte tak.

Bij meerdere bronnen, of voor een tak waarvan de buren veranderen, gebruik je de stellingen van de volgende paragraaf.

## 6.4 Stellingen voor lineaire netwerken

**Definitie 6.16 (Lineaire tweepool, lineair netwerk).**

Een tweepool heet *lineair* als haar karakteristiek een rechte is ([weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor), ideale en werkelijke bronnen); een kring die alleen uit lineaire tweepolen bestaat is een *lineair netwerk*. Zijn onbekenden voldoen aan een stelsel lineaire vergelijkingen (de [wetten van Kirchhoff](#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) plus de karakteristieken), waarvan de oplossing uniek is.

**Stelling 6.17 (Thévenin en Norton).**

Gezien vanuit twee van zijn klemmen $A$ en $B$ is elk [lineair netwerk](#def-b1-dc-circuits-linear) gelijkwaardig met een werkelijke bron: een emk $E_{\mathrm{Th}}$ in serie met een [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_{\mathrm{Th}}$ (Thévenin), of een [stroombron](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N =
E_{\mathrm{Th}}/R_{\mathrm{Th}}$ parallel aan $R_{\mathrm{Th}}$ (Norton), waarbij

- $E_{\mathrm{Th}}$ de nullastspanning $u_{AB}$ is;
- $I_N$ de kortsluitstroom van $A$ naar $B$ is;
- $R_{\mathrm{Th}}$ de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) is die men tussen $A$ en $B$ ziet wanneer elke onafhankelijke bron is uitgeschakeld (ideale spanningsbronnen vervangen door draden, ideale stroombronnen door open ketens).

**Gedeeltelijk bewijs.** Door de lineariteit is het verband tussen de [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) $u_{AB}$ en de stroom $i$ die aan de klemmen wordt getrokken affien: $u_{AB} = a - b\,i$. Met $i = 0$ volgt $a = E_{\mathrm{Th}}$; met $u_{AB} = 0$ volgt $b = E_{\mathrm{Th}}/I_N$. Dat $b$ gelijk is aan de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) die men met uitgeschakelde bronnen ziet, volgt uit de superpositie (hieronder): het deel van $u_{AB}$ dat alleen van de uitwendige stroom komt is wat een passief netwerk met [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_{\mathrm{Th}}$ zou opleveren. Dat elk lineair stelsel een affien verband tussen in- en uitgang heeft, is de algebra van lineaire vergelijkingen. ∎

**Stelling 6.18 (Superpositie).**

In een [lineair netwerk](#def-b1-dc-circuits-linear) met meerdere onafhankelijke bronnen is elke stroom of [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) de som van de waarden die zij aanneemt wanneer elke bron alleen werkt en de overige zijn uitgeschakeld.

**Bewijs.** De vergelijkingen zijn lineair in de onbekenden, met de bronnen als rechterlid; de oplossing is een lineaire functie van dat rechterlid en dus de som van de oplossingen voor elke bron afzonderlijk. ∎

**Propositie 6.19 (Stelling van Millman).**

Een knooppunt $N$ dat met punten van potentiaal $V_1, \dots, V_n$ is verbonden via [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_1, \dots, R_n$ (en met niets anders) heeft de potentiaal

$$
V_N = \frac{\sum_k V_k/R_k}{\sum_k 1/R_k} = \frac{\sum_k G_k V_k}{\sum_k G_k},
$$

het met de conductanties gewogen gemiddelde van de potentialen van zijn buren.

**Bewijs.** Knooppuntregel in $N$: $\sum_k (V_k - V_N)/R_k = 0$; los op naar $V_N$. ∎

![Twee bronnen die een gemeenschappelijke belasting R_3 voeden. Gezien vanaf de klemmen van R_3 is de rest van de kring een Thévenin-bron (E_ Th, R_ Th); de stelling van Millman geeft de potentiaal van knooppunt N in één regel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-30434c8dc9c6.svg)

*Twee bronnen die een gemeenschappelijke belasting $R_3$ voeden. Gezien vanaf de klemmen van $R_3$ is de rest van de kring een Thévenin-bron ($E_{\mathrm{Th}}$, $R_{\mathrm{Th}}$); de stelling van Millman geeft de potentiaal van knooppunt $N$ in één regel.*

**Voorbeeld 6.20 (Drie wegen naar hetzelfde antwoord).**

In de figuur is $E_1 = 10\,\mathrm{V}$, $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $E_2 =
5.0\,\mathrm{V}$, $R_2 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_3 = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$. *Millman*: $V_N = (10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 12.5/2 =
6.25\,\mathrm{V}$. *Superpositie*: $E_1$ alleen ziet $R_2 \parallel
R_3 = 1\,\mathrm{k}\Omega$, dus $u = 10 \times 1/2 = 5\,\mathrm{V}$; $E_2$ alleen ziet $R_1 \parallel R_3 = 0.667\,\mathrm{k}\Omega$, $u = 5 \times 0.667/2.667
= 1.25\,\mathrm{V}$; samen $6.25\,\mathrm{V}$. *Thévenin* gezien vanaf $R_3$: $E_{\mathrm{Th}}$ is de nullastspanning van de deler $(E_1, R_1, R_2, E_2)$: $E_2 + (E_1 - E_2)R_2/(R_1 + R_2) = 5 + 5 \times
2/3 = 8.33\,\mathrm{V}$; $R_{\mathrm{Th}} = R_1 \parallel R_2 =
0.667\,\mathrm{k}\Omega$; dan is $u = 8.33 \times 2/2.667 = 6.25\,\mathrm{V}$.

## 6.5 Het werkpunt; de brug van Wheatstone

**Methode 6.21 (Grafisch werkpunt).**

Een niet-lineaire tweepool (karakteristiek $i = g(u)$) gevoed door een Thévenin-bron $(E, R)$ komt tot rust waar beide betrekkingen gelden: teken de karakteristiek van de tweepool en de *[belastingslijn](#met-b1-dc-circuits-loadline)* $u = E - Ri$ van de bron in dezelfde assen; hun snijpunt is het *[werkpunt](#met-b1-dc-circuits-loadline)*. Het ontwerp van de serieweerstand van een led, van een zenerstabilisator of van de instelling van een transistor is precies deze constructie.

![Een led (drempel rond 2\, V) gevoed door E = 5\, V via R = 200\,: de belastingslijn u = E - Ri snijdt de karakteristiek van de diode bij 2.0\, V, 15\, mA. R verhogen kantelt de lijn omlaag en dimt de led.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-191ab29c75cf.svg)

*Een led (drempel rond $2\,\mathrm{V}$) gevoed door $E = 5\,\mathrm{V}$ via $R = 200\,\Omega$: de [belastingslijn](#met-b1-dc-circuits-loadline) $u = E - Ri$ snijdt de karakteristiek van de diode bij $2.0\,\mathrm{V}$, $15\,\mathrm{mA}$. $R$ verhogen kantelt de lijn omlaag en dimt de led.*

**Propositie 6.22 (Brug van Wheatstone).**

Vier [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_1, R_2$ (de ene tak) en $R_3, R_4$ (de andere) over een bron $E$; de uitgang van de brug is de [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) tussen de twee middelpunten:

$$
u = E\left(\frac{R_2}{R_1 + R_2} - \frac{R_4}{R_3 + R_4}\right),
$$

nul (de brug is *in evenwicht*) precies als $R_1R_4 = R_2R_3$. Voor een brug in evenwicht met $R_4$ verstoord tot $R_4(1 + \epsilon)$, $\epsilon
\ll 1$, en $R_3 = R_4$ geldt $u \approx -E\epsilon/4$.

**Bewijs.** Twee [spanningsdelers](#prop-b1-dc-circuits-dividers); trek af. Evenwicht: $R_2(R_3 + R_4) = R_4(R_1 +
R_2)$, dus $R_2R_3 = R_1R_4$. Met $R_3 = R_4 = R$ en $R_1 = R_2$: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)] = E[(2 + \epsilon - 2 -
2\epsilon)/(2(2 + \epsilon))] \approx -E\epsilon/4$. ∎

![De brug van Wheatstone: twee delers naast elkaar. In evenwicht wanneer R_1R_4 = R_2R_3 zet zij een piepkleine verandering van één weerstand (rekstrookje, thermistor) om in een spanning rond nul, die veel eenvoudiger te versterken is dan een kleine verandering van een grote spanning.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/fig-bef8e1df3350.svg)

*De [brug van Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone): twee delers naast elkaar. In evenwicht wanneer $R_1R_4 = R_2R_3$ zet zij een piepkleine verandering van één [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) (rekstrookje, thermistor) om in een [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) rond nul, die veel eenvoudiger te versterken is dan een kleine verandering van een grote [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage).*

## 6.6 Oefeningen

**Oefening 6.1 ★.**

Een telefoon laadt een uur lang met $1.5\,\mathrm{A}$: welke lading stroomt er, hoeveel elektronen? Schat of het [quasistationaire regime](#def-b1-dc-circuits-arqs) geldt voor de huisbedrading bij $50\,\mathrm{Hz}$, voor een schakeling van $10\,\mathrm{cm}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ en voor diezelfde schakeling bij $1\,\mathrm{GHz}$.

**Oplossing van Oefening 6.1.**

$q = 1.5 \times 3600 = 5400\,\mathrm{C}$, $N = 5400/1.6\times10^{-19} =
3.4 \times 10^{22}$ elektronen. $c/f$: $6000\,\mathrm{km}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ (huis: ja); $300\,\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ (schakeling van $10\,\mathrm{cm}$: ja); $30\,\mathrm{cm}$ bij $1\,\mathrm{GHz}$, vergelijkbaar met $10\,\mathrm{cm}$: nee.

**Oefening 6.2 ★.**

Een kachel van $2000\,\mathrm{W}$ op $230\,\mathrm{V}$: stroom, [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor), verbruikte energie in $3.0\,\mathrm{h}$ (in kWh en in joule). Zijn koperen snoer van $5.0\,\mathrm{m}$ heeft een doorsnede van $1.5\,\mathrm{mm}^{2}$ ($\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$): vermogensverlies in het snoer.

**Oplossing van Oefening 6.2.**

$I = 2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$; $R = U^2/P = 26.5\,\Omega$; $E =
6.0\,\mathrm{kWh} = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$. Snoer: één geleider $R = 1.7\times10^{-8}
\times 5.0/1.5\times10^{-6} = 57\,\mathrm{m}\Omega$, twee geleiders $0.11\,\Omega$: $P = 0.11 \times 8.7^2 = 8.6\,\mathrm{W}$.

**Oefening 6.3 ★.**

Bereken met $10\,\Omega$, $20\,\Omega$ en $30\,\Omega$ de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van de drie in serie, van de drie parallel, en van $(10 \parallel 20) + 30$.

**Oplossing van Oefening 6.3.**

Serie $60\,\Omega$; parallel $1/(0.1 + 0.05 + 0.033) = 5.5\,\Omega$; $10 \parallel 20 = 6.7\,\Omega$, plus $30$: $36.7\,\Omega$.

**Oefening 6.4 ★.**

Een bron van $12\,\mathrm{V}$ voedt $4.7\,\mathrm{k}\Omega$ en $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ in serie. Bereken de [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) over de $2.2\,\mathrm{k}\Omega$. Er wordt vervolgens een apparaat met [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) $2.2\,\mathrm{k}\Omega$ overheen gezet: nieuwe [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage)? Trek een conclusie over het belastingseffect.

**Oplossing van Oefening 6.4.**

$u_2 = 12 \times 2.2/6.9 = 3.83\,\mathrm{V}$. Belast: $2.2 \parallel 2.2 =
1.1\,\mathrm{k}\Omega$, $u_2 = 12 \times 1.1/5.8 = 2.28\,\mathrm{V}$: de belasting trekt de deler $40\%$ omlaag — een deler “deelt” alleen als hij iets voedt met een veel hogere [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor).

**Oefening 6.5 ★★.**

Een accu wijst $12.6\,\mathrm{V}$ in nullast en $11.4\,\mathrm{V}$ bij $120\,\mathrm{A}$. Bepaal haar [inwendige weerstand](#def-b1-dc-circuits-sources) en kortsluitstroom, het vermogen dat de startmotor ontvangt en het vermogen dat inwendig verloren gaat, en het rendement.

**Oplossing van Oefening 6.5.**

$r = (12.6 - 11.4)/120 = 10\,\mathrm{m}\Omega$; $I_N = 12.6/0.010 =
1260\,\mathrm{A}$. Naar de startmotor $11.4 \times 120 = 1.37\,\mathrm{kW}$; verloren $0.010 \times 120^2 = 144\,\mathrm{W}$; rendement $1368/1512 = 90\%$.

**Oefening 6.6 ★★.**

Bepaal het Thévenin-equivalent, gezien vanaf de klemmen van de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van $2.2\,\mathrm{k}\Omega$, van de deler uit [Oefening 6.4](#exo-b1-dc-circuits-4) ($E = 12\,\mathrm{V}$, $R_1 = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 2.2\,\mathrm{k}\Omega$). Vind daarmee de belaste [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) van die oefening terug.

**Oplossing van Oefening 6.6.**

$E_{\mathrm{Th}} = 3.83\,\mathrm{V}$ (deler in nullast); $R_{\mathrm{Th}}
= 4.7 \parallel 2.2 = 1.50\,\mathrm{k}\Omega$ (bron kortgesloten). Belast: $u = 3.83 \times 2.2/(1.50 + 2.2) = 2.28\,\mathrm{V}$.

**Oefening 6.7 ★★.**

Twee accu’s, $E_1 = 10\,\mathrm{V}$ ($r_1 = 1.0\,\Omega$) en $E_2 = 5.0\,\mathrm{V}$ ($r_2 = 2.0\,\Omega$), staan parallel (zelfde polariteit) over een belasting van $2.0\,\Omega$. Bepaal de belastingsspanning met superpositie en daarna met Millman, en de stroom in elke accu. Wordt de zwakkere accu geladen of ontladen?

**Oplossing van Oefening 6.7.**

Superpositie: $E_1$ alleen ziet $r_2 \parallel R = 1.0\,\Omega$, $u = 10 \times 1/(1 + 1) = 5.0\,\mathrm{V}$; $E_2$ alleen ziet $r_1 \parallel R
= 0.667\,\Omega$, $u = 5 \times 0.667/2.667 = 1.25\,\mathrm{V}$; samen $6.25\,\mathrm{V}$. Millman: $(10/1 + 5/2 + 0/2)/(1 + 0.5 + 0.5) = 6.25\,\mathrm{V}$. Accu 1: $(10 - 6.25)/1 = 3.75\,\mathrm{A}$ eruit; accu 2: $(5 - 6.25)/2
= -0.63\,\mathrm{A}$, dus $0.63\,\mathrm{A}$ *erin* — zij wordt geladen door de sterkere; belasting $6.25/2 = 3.1\,\mathrm{A}$.

**Oefening 6.8 ★★.**

Een bron met $E = 9.0\,\mathrm{V}$, $r = 3.0\,\Omega$. Bereken het vermogen dat aan belastingen van $1.0\,\Omega$, $3.0\,\Omega$, $12\,\Omega$ wordt geleverd, en het rendement in elk geval. Welke belasting zou een ingenieur voor een apparaat op batterijen kiezen, en waarom niet de aangepaste?

**Oplossing van Oefening 6.8.**

$i = 9/(R + 3)$, $P = Ri^2$, $\eta = R/(R + 3)$: $1\,\Omega$: $5.1\,\mathrm{W}$, $25\%$; $3\,\Omega$: $6.75\,\mathrm{W}$, $50\%$; $12\,\Omega$: $4.3\,\mathrm{W}$, $80\%$. Een apparaat op batterijen wil rendement (levensduur), dus $R \gg r$; de aangepaste belasting verspilt de helft van de energie als warmte in de batterij.

**Oefening 6.9 ★★.**

Een led geleidt bij $2.0\,\mathrm{V}$ en moet $15\,\mathrm{mA}$ voeren uit een voeding van $5.0\,\mathrm{V}$. Kies de serieweerstand, geef de vermogens in de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) en in de led, en schets de constructie met de [belastingslijn](#met-b1-dc-circuits-loadline). Wat gebeurt er bij een voeding van $3.3\,\mathrm{V}$?

**Oplossing van Oefening 6.9.**

$R = (5.0 - 2.0)/0.015 = 200\,\Omega$; $P_R = 3.0 \times 0.015 =
45\,\mathrm{mW}$, $P_{\mathrm{LED}} = 2.0 \times 0.015 = 30\,\mathrm{mW}$. De [belastingslijn](#met-b1-dc-circuits-loadline) van $(0, 25\,\mathrm{mA})$ naar $(5\,\mathrm{V}, 0)$ snijdt de verticale karakteristiek bij $2.0\,\mathrm{V}$. Bij $3.3\,\mathrm{V}$ geeft dezelfde [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) maar $6.5\,\mathrm{mA}$; voor $15\,\mathrm{mA}$ is $R = 1.3/0.015 =
87\,\Omega$ nodig.

**Oefening 6.10 ★★★.**

Een rekstrookje $R_4 = R(1 + \epsilon)$, $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, zit in een [brug van Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) met drie vaste [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) van $1.0\,\mathrm{k}\Omega$ over $5.0\,\mathrm{V}$. Leid de uitgangsspanning af tot op eerste orde in $\epsilon$ en bereken haar voor $\epsilon = 1.0 \times 10^{-3}$. Waarom verdient de brug de voorkeur boven het meten van de [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) over het strookje in een gewone deler?

**Oplossing van Oefening 6.10.**

$u = E\left[\dfrac12 - \dfrac{1 + \epsilon}{2 + \epsilon}\right] =
-E\dfrac{\epsilon}{2(2 + \epsilon)} \approx -\dfrac{E\epsilon}{4} =
-1.25\,\mathrm{mV}$. In een gewone deler ligt diezelfde verandering boven op een offset van $2.5\,\mathrm{V}$ ($2.501\,25\,\mathrm{V}$); de brug levert de $1.25\,\mathrm{mV}$ rond nul, en die kan duizendvoudig worden versterkt zonder dat er iets in verzadiging raakt.

**Oefening 6.11 ★★★.**

Twaalf gelijke [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ vormen de ribben van een kubus. Toon met symmetrie aan (welke knooppunten staan op dezelfde potentiaal wanneer een stroom $I$ in de ene hoek binnenkomt en in de tegenoverliggende vertrekt) dat de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) tussen twee tegenoverliggende hoeken $5R/6$ is.

**Oplossing van Oefening 6.11.**

Door de symmetrie delen de drie buren van de intredehoek één potentiaal en de drie buren van de uittredehoek een andere. De stroom $I$ splitst zich in $I/3$ in de drie intredende ribben, elk daarna in twee keer $I/6$ langs de zes middelste ribben, die weer samenkomen tot $I/3$ in de drie uittredende ribben. [Spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage): $RI/3 + RI/6 + RI/3 = 5RI/6$, dus $R_{\mathrm{eq}} = 5R/6$.

**Oefening 6.12 ★★★.**

Een [stroombron](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 2.0\,\mathrm{A}$ parallel aan $4.0\,\Omega$ is via een [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van $2.0\,\Omega$ verbonden met een accu van $6.0\,\mathrm{V}$ (verwaarloosbare [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor)) waarvan de emk tegenwerkt. Zet de Norton-bron om naar Thévenin en bepaal de stroom door de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van $2.0\,\Omega$ en het vermogen dat elke bron uitwisselt.

**Oplossing van Oefening 6.12.**

Thévenin: $E = I_N r = 8.0\,\mathrm{V}$ met $4.0\,\Omega$ in serie. Maas: $8.0 - 6.0 = (4.0 + 2.0)i$, $i = 0.33\,\mathrm{A}$ naar de accu toe. De accu ontvangt $6.0 \times 0.33 = 2.0\,\mathrm{W}$ (laden); de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van $2\,\Omega$ dissipeert $0.22\,\mathrm{W}$; de klemspanning van het Norton-paar is $8.0 - 4.0 \times 0.33 = 6.67\,\mathrm{V}$, zodat zijn $4\,\Omega$ $1.67\,\mathrm{A}$ voert en $11.1\,\mathrm{W}$ dissipeert, en de [stroombron](#def-b1-dc-circuits-sources) $2.0 \times 6.67 = 13.3\,\mathrm{W}$ levert — wat klopt.

![Onder de motorkap: de accu van 12\, V, haar dikke kabels en de dynamo — het gelijkstroomnet van de weekendopgave, met honderden ampères bij het starten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-dc-circuits/img-bd8366c9fe62.jpg)

*Onder de motorkap: de accu van $12\,\mathrm{V}$, haar dikke kabels en de dynamo — het gelijkstroomnet van de weekendopgave, met honderden [ampères](#def-b1-dc-circuits-current) bij het starten.*

## 6.7 Probleem: Het elektrische systeem van een auto

**Probleem 6.1.**

Weekendopgave — één accu, een startmotor, twee koplampen, een dynamo en een paar meter koper: wie de stroom krijgt, wie betaalt, en waarom de lampen doven wanneer de motor aanslaat

De accu is een werkelijke bron met emk $E = 12.6\,\mathrm{V}$ en [inwendige weerstand](#def-b1-dc-circuits-sources) $r = 10\,\mathrm{m}\Omega$. Koper: $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$.

**Deel I — De accu alleen.**

1. Teken het Thévenin-model en schrijf $u(i)$ op in de generatorconventie.
2. Geef de nullastspanning en de kortsluitstroom. Waarom mag een gevallen sleutel de klemmen nooit overbruggen?
3. Schrijf het Norton-model van dezelfde accu op.
4. De accu voedt een [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R$ : druk de stroom, de klemspanning, het geleverde vermogen $P_R$ en het vermogen dat in $r$ verloren gaat uit.
5. Toon aan dat $P_R$ maximaal is voor $R = r$ en bereken dat maximum. Wat is dan het rendement?
6. Een monteur meet $u = 12.48\,\mathrm{V}$ bij $12\,\mathrm{A}$ en $u = 11.40\,\mathrm{V}$ bij $120\,\mathrm{A}$ . Ga na dat beide punten op het model liggen en leg uit hoe een reeks van zulke punten $E$ en $r$ oplevert via een rechte lijn.
7. De accu slaat $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ op. Hoe lang zou zij de twee koplampen van $55\,\mathrm{W}$ alleen kunnen voeden (neem $12\,\mathrm{V}$ )? Hoeveel energie is dat in joule?

**Deel II — Starten met de lampen aan.** De startmotor is een [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) $R_s = 80\,\mathrm{m}\Omega$; elke koplamp is opgegeven als $55\,\mathrm{W}$ bij $12.0\,\mathrm{V}$ en wordt als [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) behandeld.

8. Bereken de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van één koplamp en van de twee parallel.
9. Alleen de startmotor: stroom, klemspanning, vermogen in de startmotor, vermogensverlies in de accu.
10. Startmotor en beide koplampen samen: gelijkwaardige belastingsweerstand, totale stroom, klemspanning.
11. Gebruik de [stroomdeler](#prop-b1-dc-circuits-dividers) om de startmotorstroom en de koplampstroom te vinden.
12. Bereken het vermogen dat elke koplamp nu ontvangt en vergelijk met haar nominale waarde: met welke fractie doven de lampen?
13. Leg in twee zinnen met de maasregel uit waarom de lampen juist doven doordat de startmotor een grote stroom trekt.
14. Zouden dikkere accukabels de lampen helpen? Beargumenteer nu kwalitatief (deel IV maakt het kwantitatief).

**Deel III — Motor draait: de dynamo.** De dynamo is een tweede werkelijke bron, $E_a = 14.2\,\mathrm{V}$, $r_a = 50\,\mathrm{m}\Omega$, parallel aan de accu; de startmotor staat uit en beide koplampen branden.

15. Teken de kring: twee werkelijke bronnen en de koplampbelasting parallel tussen dezelfde twee knooppunten.
16. Pas de stelling van Millman toe om de gemeenschappelijke klemspanning te vinden.
17. Leid de dynamostroom, de accustroom (let op het teken!) en de koplampstroom af; controleer de knooppuntregel.
18. Wordt de accu geladen of ontladen? Welk vermogen ontvangt zij, en welk vermogen levert de dynamo?
19. Vind de klemspanning terug met superpositie (elke bron afzonderlijk, de andere vervangen door haar [inwendige weerstand](#def-b1-dc-circuits-sources) ) en controleer.

**Deel IV — Sensoren en draden.**

20. De koelvloeistofsensor is een thermistor waarvan de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) daalt van $2.0\,\mathrm{k}\Omega$ bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ tot $300\,\Omega$ bij $90{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; hij is de onderste [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van een deler gevoed door $5.0\,\mathrm{V}$ , met $R_0$ als bovenste [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) . Druk de uitgangsspanning uit en bereken haar bij beide temperaturen voor $R_0 = 775\,\Omega$ .
21. Toon aan dat het spanningsverschil tussen de twee temperaturen het grootst is wanneer $R_0$ het meetkundig gemiddelde van de twee sensorwaarden is, en controleer de waarde hierboven.
22. Dezelfde sensor wordt in een [brug van Wheatstone](#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) met drie [weerstanden](#def-b1-dc-circuits-resistor) van $775\,\Omega$ gezet: schrijf de bruguitgang op en zeg bij welke temperatuur zij in evenwicht is.
23. De startmotorkabel is $1.5\,\mathrm{m}$ lang per richting. Bereken de [weerstand](#def-b1-dc-circuits-resistor) van één geleider met doorsnede $16\,\mathrm{mm}^{2}$ , het totale spanningsverlies bij $140\,\mathrm{A}$ en het vermogen dat in de kabels wordt gedissipeerd.
24. Idem met kabel van $4\,\mathrm{mm}^{2}$ : waarom is startmotorkabel zo dik?
25. Vat samen: geef de klemspanning tijdens het starten, de fractie van het vermogen die de startmotor bereikt, en de ene wet die het doven van de lampen verklaart.

**Oplossing van Probleem 6.1.**

**1.** Ideale emk $E$ in serie met $r$: $u = E - ri$.

**2.** $u(0) = 12.6\,\mathrm{V}$; $I_N = E/r = 1260\,\mathrm{A}$. Een sleutel over de klemmen zou die voeren: $16\,\mathrm{kW}$ in een paar gram staal — hij smelt en spat uiteen.

**3.** [Stroombron](#def-b1-dc-circuits-sources) $I_N = 1260\,\mathrm{A}$ parallel aan $10\,\mathrm{m}\Omega$.

**4.** $i = E/(R + r)$; $u = ER/(R + r)$; $P_R = E^2R/(R + r)^2$; $P_r = E^2r/(R + r)^2$.

**5.** $\dd P_R/\dd R \propto (r - R)$: maximum bij $R = r$, $P_{\max} = E^2/4r = 12.6^2/0.040 = 4.0\,\mathrm{kW}$; rendement $R/(R + r) = 50\%$.

**6.** $12.6 - 0.010 \times 12 = 12.48\,\mathrm{V}$; $12.6 - 0.010 \times
120 = 11.40\,\mathrm{V}$. $u$ tegen $i$ uitzetten geeft een rechte met snijpunt $E$ en richtingscoëfficiënt $-r$ ([kleinste kwadraten](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/1-eenheden-dimensies-en-meten#prop-b1-units-dimensions-regression), [Hoofdstuk 1](https://one-course.com/books/physics/3/nl/chapter/1-eenheden-dimensies-en-meten#ch-b1-units-dimensions)).

**7.** Twee lampen: $110\,\mathrm{W}$ bij $12\,\mathrm{V}$, $9.2\,\mathrm{A}$; $60/9.2 = 6.5\,\mathrm{h}$. Energie $60 \times 3600 \times 12 = 2.6\,\mathrm{MJ}$.

**8.** $R_h = 12^2/55 = 2.62\,\Omega$; parallel $1.31\,\Omega$.

**9.** $i = 12.6/0.090 = 140\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.4 = 11.2\,\mathrm{V}$; $P_s = 0.080 \times 140^2 = 1.57\,\mathrm{kW}$; verloren $0.010 \times 140^2 =
196\,\mathrm{W}$.

**10.** $R = 0.080 \parallel 1.31 = 75.4\,\mathrm{m}\Omega$; $i = 12.6/0.0854
= 148\,\mathrm{A}$; $u = 12.6 - 1.48 = 11.1\,\mathrm{V}$.

**11.** $i_s = i \times 1.31/(1.31 + 0.080) = 139\,\mathrm{A}$; $i_h =
8.5\,\mathrm{A}$ voor de twee lampen.

**12.** Elke lamp: $u^2/R_h = 11.1^2/2.62 = 47\,\mathrm{W}$ tegen $55\,\mathrm{W}$: $14\%$ minder.

**13.** Maasregel: de klemspanning is $u = E - ri$; de $140\,\mathrm{A}$ van de startmotor levert een verlies van $1.4\,\mathrm{V}$ binnen in de accu, en de lampen, parallel op dezelfde klemmen, ontvangen die verlaagde [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage).

**14.** Maar gedeeltelijk: dikkere kabels verkleinen het verlies in de kabels, niet in $r$; lampen die vanaf de accuklemmen worden gevoed zien nog altijd $E - ri$.

**15.** Drie takken tussen dezelfde twee knooppunten: $(E, r)$, $(E_a, r_a)$ en $R_h = 1.31\,\Omega$.

**16.** $V = \dfrac{12.6/0.010 + 14.2/0.050 + 0/1.31}{100 + 20 + 0.763}
= \dfrac{1544}{120.8} = 12.79\,\mathrm{V}$.

**17.** Dynamo $(14.2 - 12.79)/0.050 = 28.3\,\mathrm{A}$; accu $(12.6 - 12.79)/0.010 = -18.6\,\mathrm{A}$ (die dus *erin* loopt); lampen $12.79/1.31 = 9.8\,\mathrm{A}$; $28.3 = 18.6 + 9.8$.

**18.** Laden. Zij ontvangt $12.79 \times 18.6 = 238\,\mathrm{W}$ ($234\,\mathrm{W}$ opgeslagen, $3.5\,\mathrm{W}$ warmte); de dynamo levert $12.79 \times 28.3 = 362\,\mathrm{W}$ aan haar klemmen.

**19.** Alleen de accu (dynamo $\to$ $50\,\mathrm{m}\Omega$): belasting $0.050 \parallel 1.31 = 48.2\,\mathrm{m}\Omega$, $u_1 = 12.6 \times 48.2/58.2 =
10.44\,\mathrm{V}$. Alleen de dynamo (accu $\to$ $10\,\mathrm{m}\Omega$): belasting $0.010 \parallel 1.31 = 9.92\,\mathrm{m}\Omega$, $u_2 = 14.2 \times 9.92/59.9 =
2.35\,\mathrm{V}$. Samen $12.79\,\mathrm{V}$.

**20.** $u = 5.0\,R_s/(R_0 + R_s)$: $3.60\,\mathrm{V}$ bij $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1.40\,\mathrm{V}$ bij $90{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**21.** $\Delta u = 5[R_a/(R_0 + R_a) - R_b/(R_0 + R_b)]$; $\dd\Delta u/\dd R_0 = 0 \Leftrightarrow R_a/(R_0 + R_a)^2 = R_b/(R_0 +
R_b)^2 \Leftrightarrow R_0^2 = R_aR_b$: $R_0 = \sqrt{2000 \times 300} =
775\,\Omega$.

**22.** $u = 5[\tfrac12 - R_s/(775 + R_s)]$, nul wanneer $R_s =
775\,\Omega$, dus bij de temperatuur midden in het bereik waar de thermistor die waarde bereikt.

**23.** $R = 1.7\times10^{-8} \times 1.5/16\times10^{-6} =
1.6\,\mathrm{m}\Omega$ per geleider, $3.2\,\mathrm{m}\Omega$ in totaal; verlies $0.0032
\times 140 = 0.45\,\mathrm{V}$; vermogen $63\,\mathrm{W}$.

**24.** $4\,\mathrm{mm}^{2}$: $6.4\,\mathrm{m}\Omega$ elk, $12.8\,\mathrm{m}\Omega$ totaal: verlies $1.8\,\mathrm{V}$, $250\,\mathrm{W}$ verspild — de startmotor zou een zesde van zijn [spanning](#def-b1-dc-circuits-voltage) kwijtraken. Dikke kabel houdt $R_{\text{kabel}} \ll R_s$.

**25.** Ongeveer $11.1\,\mathrm{V}$ aan de klemmen tijdens het starten; de startmotor ontvangt $1568/(1568 + 196) \approx 89\%$ van het vermogen van de accu; het doven is de maasregel, $u = E - ri$.