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title: "Unidades, dimensões e medida"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 1
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida
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# Capítulo 1 — Unidades, dimensões e medida

Num laboratório de subsolo um pêndulo oscila, um cronômetro dispara e um estudante escreve $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Esse é o valor “certo”? O livro-texto diz $9.81$. Se os dois números concordam, se o experimento foi bem concebido, qual das suas etapas o limitou — nada disso se decide a partir dos algarismos. A física mede, e uma medida sem a sua incerteza é um boato. Este capítulo monta a linguagem comum de todos os capítulos que virão: [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit), dimensões, [ordens de grandeza](#def-b1-units-dimensions-oom) e a aritmética honesta das incertezas.

![A balança de Kibble NIST-4, um dos instrumentos que hoje realizam o quilograma a partir da constante de Planck: uma massa é pesada contra uma força eletromagnética medida em unidades elétricas. Fotografia: J. L. Lee, NIST (domínio público).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-4f0aff410783.jpg)

*A balança de Kibble NIST-4, um dos instrumentos que hoje realizam o quilograma a partir da constante de Planck: uma massa é pesada contra uma força eletromagnética medida em [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) elétricas. Fotografia: J. L. Lee, NIST (domínio público).*

## 1.1 O Sistema Internacional de Unidades

**Definição 1.1 (Grandeza física e unidade).**

Uma *grandeza física* é uma propriedade que pode ser medida: um comprimento, uma duração, uma massa, uma corrente. Medi-la é compará-la com uma grandeza de referência da mesma espécie, a *unidade*: o resultado é um número vezes uma unidade, $\ell = 1.257\,\mathrm{m}$. O número sozinho nada significa; a unidade sozinha nada mede.

**Definição 1.2 (Unidades de base do SI).**

O *Sistema Internacional de [Unidades](#def-b1-units-dimensions-unit)* (SI) repousa sobre sete *[unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) de base*: o segundo ($\mathrm{s}$), o metro ($\mathrm{m}$), o quilograma ($\mathrm{kg}$), o ampère ($\mathrm{A}$), o kelvin ($\mathrm{K}$), o mol ($\mathrm{mol}$) e a candela ($\mathrm{cd}$). Desde 2019 cada uma é definida fixando-se o valor numérico de uma constante da natureza: a frequência hiperfina do césio $\Delta\nu_{\mathrm{Cs}} = 9\,192\,631\,770\,\mathrm{Hz}$ define o segundo; a velocidade da luz $c = 299\,792\,458\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ define em seguida o metro; a constante de Planck $h = 6.626\,070\,15 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ define o quilograma; a carga elementar $e = 1.602\,176\,634 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ define o ampère; a constante de Boltzmann $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ o kelvin; a constante de Avogadro $N_A = 6.022\,140\,76 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ o mol; e uma eficácia luminosa fixa $K_{\mathrm{cd}}$ a candela. Toda outra [unidade](#def-b1-units-dimensions-unit) é uma *unidade derivada*, um produto de potências de [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) de base: $1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $1\,\mathrm{J} = 1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$, $1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{s}$, $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{W}/\mathrm{A}$, $1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$.

![As sete unidades de base (anel externo) e as sete constantes que as definem (anel interno). Uma constante fixa define a sua unidade apenas em conjunto com unidades já definidas (tracejado): c converte segundos em metros, h precisa do metro e do segundo para definir o quilograma, e precisa do segundo para definir o ampère.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-816ead3c3bb9.svg)

*As sete [unidades de base](#def-b1-units-dimensions-si) (anel externo) e as sete constantes que as definem (anel interno). Uma constante fixa define a sua [unidade](#def-b1-units-dimensions-unit) apenas em conjunto com [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) já definidas (tracejado): $c$ converte segundos em metros, $h$ precisa do metro e do segundo para definir o quilograma, $e$ precisa do segundo para definir o ampère.*

**Observação 1.3 (Nomes e símbolos).**

As [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) que levam nomes de pessoas escrevem-se por extenso em minúscula (newton, joule, pascal) e em maiúscula como símbolo ($\mathrm{N}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{Pa}$); por extenso em maiúscula, a palavra designa a pessoa. Os prefixos escalam por potências de dez, de p ($10^{-12}$) passando por n, $\mu$, m, k, M, G até T ($10^{12}$); o quilograma é a única [unidade de base](#def-b1-units-dimensions-si) que traz um prefixo no próprio nome.

**Exemplo 1.4 (Desdobrando uma unidade derivada).**

O volt: $\mathrm{V} = \mathrm{W}/\mathrm{A} = \mathrm{J}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}) = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}\,\mathrm{s}^{3})$. O ohm: $\Omega = \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/(\mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{3})$. O farad: $\mathrm{F} = \mathrm{C}/\mathrm{V} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}/\mathrm{V} = \mathrm{A}^{2}\,\mathrm{s}^{4}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2})$. Esse desdobramento é a maneira mais segura de verificar que uma fórmula foi lembrada corretamente — a próxima seção o torna sistemático.

## 1.2 Análise dimensional

**Definição 1.5 (Dimensão).**

A *dimensão* de uma grandeza $X$, escrita $[X]$, registra como $X$ se constrói a partir das sete grandezas de base, independentemente das [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) escolhidas: comprimento $L$, massa $M$, tempo $T$, corrente elétrica $I$, temperatura $\Theta$, quantidade de matéria $N$, intensidade luminosa $J$. Uma velocidade tem dimensão $[v] = L\,T^{-1}$, uma força $[F] = M\,L\,T^{-2}$, uma energia $[E] = M\,L^2\,T^{-2}$. Uma grandeza de dimensão $1$ (um ângulo, uma razão, um índice de refração) é *adimensional*.

**Teorema 1.6 (Princípio da homogeneidade dimensional).**

Numa lei física, os dois membros de uma igualdade têm a mesma [dimensão](#def-b1-units-dimensions-dimension), e cada parcela de uma soma tem a [dimensão](#def-b1-units-dimensions-dimension) do todo. O argumento de uma exponencial, de um logaritmo, de um seno ou de um cosseno é [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension).

**Demonstração.** As leis da física não dependem das [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) que os seres humanos escolhem. Mudar a [unidade](#def-b1-units-dimensions-unit) de comprimento por um fator $\lambda$ multiplica toda grandeza de [dimensão](#def-b1-units-dimensions-dimension) $L^a \cdots$ por $\lambda^{-a}$: uma igualdade entre parcelas de dimensões diferentes valeria num sistema de [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) e falharia em outro. Para uma função como $\exp$, a série $1 + x + x^2/2 + \dots$ soma potências de $x$ de dimensões diferentes, a menos que $x$ seja [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension). ∎

**Método 1.7 (Verificando uma fórmula).**

1. Escreva a [dimensão](#def-b1-units-dimensions-dimension) de cada símbolo.
2. Reduza cada membro (cada parcela) a um produto $L^a M^b T^c \cdots$ .
3. Expoentes iguais dos dois lados: a fórmula *pode* estar certa. Expoentes diferentes: ela está certamente errada — falta um fator $g$ , uma grandeza está ao quadrado onde deveria estar simples, um expoente tem dimensões.

Uma fórmula homogênea ainda pode estar errada por um fator [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension) ($2$, $\pi$, $\tfrac12$): as dimensões nunca enxergam esse fator.

**Exemplo 1.8 (O período de um pêndulo).**

Um pêndulo de comprimento $\ell$ e massa $m$ oscila num campo gravitacional $g$. Suponha o seu período da forma $\tau = k\,\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ com $k$ [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension). Então $T = L^\alpha M^\beta (L T^{-2})^\gamma =
L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, de modo que $\beta = 0$, $\gamma = -\tfrac12$, $\alpha = \tfrac12$:

$$
\tau = k\sqrt{\ell/g} .
$$

Sem resolver uma única equação de movimento: a massa desaparece e dobrar o comprimento multiplica o período por $\sqrt2$. A dinâmica ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortecimento-e-ressonancia#ch-b1-oscillators-resonance)) fornecerá $k = 2\pi$ para pequenas oscilações.

**Proposição 1.9 (Grupos adimensionais).**

Se uma grandeza $Y$ depende de $n$ grandezas $X_1, \dots, X_n$ que envolvem $r$ dimensões de base independentes, a relação pode ser reescrita entre $n + 1 - r$ combinações adimensionais dos $X_i$ e de $Y$. Quando $n + 1 - r = 1$, a única combinação deve ser constante, e a análise dimensional fornece a lei a menos de um fator numérico.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 1.10 (Usando a proposição).**

O enunciado geral (o teorema de Vaschy–Buckingham) é um exercício de álgebra linear sobre os vetores de expoentes. O que importa aqui é a receita: listar as grandezas relevantes, contar as dimensões, formar os grupos adimensionais. No [Exemplo 1.8](#ex-b1-units-dimensions-pendulum), $n = 3$ ($\ell, m, g$), $r = 3$ ($L, M, T$), de modo que existe um único grupo $\tau\sqrt{g/\ell}$, que só pode ser constante. O arrasto sobre uma esfera de raio $R$ que se move com velocidade $v$ num fluido de densidade $\rho$ e viscosidade $\eta$ envolve $n = 4$ grandezas e $r = 3$ dimensões: dois grupos, $F/(\rho v^2 R^2)$ e $\rho v R/\eta$ (o número de Reynolds), e as dimensões sozinhas não dizem como o primeiro depende do segundo — só o experimento diz.

## 1.3 Ordens de grandeza

**Definição 1.11 (Ordem de grandeza).**

A *ordem de grandeza* de uma grandeza é a potência de dez mais próxima dela: $6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (o raio da Terra) tem ordem de grandeza $10^7$; $3 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ tem ordem $10^3$; $3.2 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ está mais perto de $10^3$ do que de $10^4$ numa escala logarítmica (a fronteira é $\sqrt{10} \approx 3.16$). Duas grandezas são “da mesma ordem” quando a razão entre elas fica abaixo de cerca de $3$.

**Método 1.12 (Estimando).**

Para estimar uma grandeza que ninguém mediu por você:

1. decomponha-a em fatores que você saiba estimar a menos de um fator $2$ ou $3$ cada um;
2. estime cada fator, guardando um algarismo significativo;
3. multiplique, guardando a potência de dez e um algarismo.

Os erros dos diferentes fatores se cancelam em parte; o resultado costuma estar certo a menos de um fator $3$ a $10$, o que muitas vezes basta para aceitar ou descartar uma hipótese.

**Exemplo 1.13 (A massa da atmosfera).**

A pressão atmosférica $P_0 \approx 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ é o peso da coluna de ar acima de um metro quadrado, $P_0 = m_{\text{col}}\,g$, de modo que $m_{\text{col}} \approx 10^5/10 = 1 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ por metro quadrado. A superfície da Terra vale $4\pi R^2 \approx 4 \times 3 \times (6\times10^6)^2
\approx 5 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$; a atmosfera pesa cerca de $5 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$. O valor aceito é $5.1 \times 10^{18}\,\mathrm{kg}$ — a estimativa precisou apenas de $P_0$ e de $R$.

**Definição 1.14 (Algarismos significativos).**

Os *algarismos significativos* de um número escrito são os seus dígitos a partir do primeiro não nulo: $0.0820$ tem três, $8.20 \times 10^{-2}$ os mesmos três, $820$ é ambíguo (dois ou três) a menos que se escreva $8.2 \times 10^{2}$ ou $8.20 \times 10^{2}$. Um resultado é escrito com os algarismos significativos que a sua incerteza permite ([Método 1.20](#met-b1-units-dimensions-writing), adiante): nunca “$g = 9.7723\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$” quando o quarto dígito é desconhecido.

## 1.4 Incerteza de medida

**Definição 1.15 (Mensurando, erro, incerteza).**

O *mensurando* é a grandeza que se pretende medir. Repetir uma medida dá valores dispersos: a medida é *variável*. O *erro* de um resultado é a sua diferença desconhecida em relação ao valor verdadeiro; a *incerteza-padrão* $u(x)$ de um resultado $x$ é o desvio padrão dos valores que se poderiam razoavelmente atribuir ao mensurando — uma grandeza que se *pode* avaliar. Suas fontes: o operador (tempo de reação, paralaxe), o ambiente (temperatura, vibrações), o instrumento (resolução, calibração), o método (um modelo que só é aproximadamente verdadeiro).

**Proposição 1.16 (Avaliação do Tipo A).**

A partir de $n$ valores repetidos independentes $x_1, \dots, x_n$ de média $\bar x = \frac1n \sum x_i$ e de desvio padrão experimental

$$
s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2},
$$

a melhor estimativa do [mensurando](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) é $\bar x$, e a sua [incerteza-padrão](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) vale

$$
u(\bar x) = \frac{s}{\sqrt n} .
$$

**Demonstração parcial.** Que $s$ estime a dispersão de uma única medida é a própria definição do desvio padrão experimental ($n - 1$ em vez de $n$ porque a média foi ela mesma estimada a partir dos dados). Que a média de $n$ valores independentes se disperse $\sqrt n$ vezes menos do que um único valor é a adição das variâncias: a variância de uma soma de $n$ variáveis independentes vale $n$ vezes a variância de uma delas, de modo que a variância da média vale $s^2 n / n^2 = s^2/n$. O curso de probabilidades deste ano demonstra ambas as afirmações. ∎

![Cinquenta cronometragens do mesmo período de pêndulo, agrupadas em classes de 0.01\, s. A sua dispersão vale s 0.016\, s (uma cronometragem); a média das cinquenta é conhecida a s/√50 0.002\, s. A curva em sino é a gaussiana de mesma média e mesma dispersão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-364d3276d40b.svg)

*Cinquenta cronometragens do mesmo período de pêndulo, agrupadas em classes de $0.01\,\mathrm{s}$. A sua dispersão vale $s \approx 0.016\,\mathrm{s}$ (uma cronometragem); a média das cinquenta é conhecida a $s/\sqrt{50} \approx 0.002\,\mathrm{s}$. A curva em sino é a gaussiana de mesma média e mesma dispersão.*

**Proposição 1.17 (Avaliação do Tipo B).**

Quando um valor é lido uma única vez, a sua incerteza é avaliada a partir do que se sabe do instrumento. Se o valor verdadeiro pode estar em qualquer ponto entre $x - a$ e $x + a$, sem preferência (uma distribuição *uniforme* de semilargura $a$),

$$
u(x) = \frac{a}{\sqrt 3} .
$$

Para uma escala graduada em passos $\delta$ (semilargura $a = \delta/2$), $u = \delta/(2\sqrt3) = \delta/\sqrt{12}$; o mesmo vale para o último dígito de um mostrador digital. Uma tolerância de fabricante anunciada como “$\pm a$” é tratada da mesma maneira, salvo indicação contrária na folha de dados.

**Demonstração.** A variância de uma distribuição uniforme sobre $[x - a, x + a]$ vale $\frac{1}{2a}\int_{-a}^{a} t^2\,\dd t = \frac{1}{2a}\cdot\frac{2a^3}{3}
= \frac{a^2}{3}$; o seu desvio padrão vale $a/\sqrt3$. ∎

![Uma leitura que se sabe apenas estar dentro de ± a: densidade uniforme 1/(2a), desvio padrão a/√3 0.58\,a — menor que a, porque os extremos não são mais prováveis que o centro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-2236635de050.svg)

*Uma leitura que se sabe apenas estar dentro de $\pm a$: densidade uniforme $1/(2a)$, desvio padrão $a/\sqrt3 \approx 0.58\,a$ — menor que $a$, porque os extremos não são mais prováveis que o centro.*

**Teorema 1.18 (Incerteza combinada).**

Seja $y = f(x_1, \dots, x_n)$ calculada a partir de valores medidos independentes de incertezas-padrão $u(x_i)$. Então

$$
u(y)^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2 u(x_i)^2 .
$$

Em particular:

- soma ou diferença $y = x_1 \pm x_2$ : $u(y)^2 = u(x_1)^2 + u(x_2)^2$ ;
- produto ou quociente $y = x_1 x_2$ ou $x_1/x_2$ : $\left(\dfrac{u(y)}{y}\right)^2 = \left(\dfrac{u(x_1)}{x_1}\right)^2  + \left(\dfrac{u(x_2)}{x_2}\right)^2$ ;
- potência $y = k\,x^\alpha$ : $\dfrac{u(y)}{\abs y} = \abs\alpha\,\dfrac{u(x)}{\abs x}$ .

**Demonstração.** Para desvios pequenos $\delta x_i$, o desenvolvimento de Taylor de primeira ordem dá $\delta y = \sum_i (\partial f/\partial x_i)\,\delta x_i$. Os desvios são independentes e de média nula, de modo que a variância da soma é a soma das variâncias, cada uma multiplicada pelo quadrado do seu coeficiente — é a fórmula exibida. Os casos particulares seguem: $\partial(x_1 x_2)/\partial x_1 = x_2$ dá $u(y)^2 = x_2^2 u(x_1)^2 + x_1^2 u(x_2)^2$, basta dividir por $y^2 = x_1^2 x_2^2$; para $y = kx^\alpha$, $\partial y/\partial x = \alpha y/x$. ∎

**Exemplo 1.19 (A densidade de um cilindro).**

Um cilindro: $m = 47.32\,\mathrm{g}$ ($u = 0.01\,\mathrm{g}$), $d = 12.00\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.02\,\mathrm{mm}$), $h = 50.2\,\mathrm{mm}$ ($u = 0.1\,\mathrm{mm}$). Como $\rho = 4m/(\pi d^2 h)$, o quadrado da incerteza relativa soma $(0.01/47.32)^2 = 4.5 \times 10^{-8}$, $(2 \times 0.02/12.00)^2 = 1.1 \times 10^{-5}$ e $(0.1/50.2)^2 = 4.0 \times 10^{-6}$: o diâmetro domina, porque está elevado ao quadrado e foi medido a $0.17\%$. $u(\rho)/\rho = \sqrt{1.5 \times 10^{-5}}
= 0.39\%$; $\rho = 8334\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, logo $u(\rho) = 33\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $\rho = (8.33 \pm 0.03)\times10^3\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — latão.

**Método 1.20 (Escrevendo um resultado).**

1. Arredonde a incerteza a um algarismo significativo (dois se o primeiro for $1$ ou $2$ ).
2. Arredonde o valor à mesma casa decimal.
3. Escreva valor e incerteza com a [unidade](#def-b1-units-dimensions-unit) : $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , ou $g = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $u(g) = 0.03\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Guarde algarismos a mais *durante* o cálculo; arredonde só no fim.

**Definição 1.21 (Desvio normalizado).**

Dois resultados $x_1 \pm u_1$ e $x_2 \pm u_2$ do mesmo [mensurando](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) são comparados pelo seu *desvio normalizado*

$$
z = \frac{\abs{x_1 - x_2}}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2}} .
$$

Eles são *compatíveis* quando $z \leq 2$; um $z$ maior aponta um efeito não considerado — ou uma incerteza subestimada. Quando $x_2$ é um valor de referência sem incerteza anunciada, toma-se $u_2 = 0$.

**Observação 1.22 (Por que 2).**

Se os dois resultados se dispersam como gaussianas, a sua diferença tem desvio padrão $\sqrt{u_1^2 + u_2^2}$, e uma gaussiana ultrapassa o dobro do seu desvio padrão em cerca de $5\%$ dos casos. “$z \leq 2$” é uma convenção, não um teorema: ela aceita mais ou menos uma boa medida em vinte como falso desacordo.

## 1.5 Ajustando um modelo aos dados

**Proposição 1.23 (Reta dos mínimos quadrados).**

Dados $n$ pontos $(x_i, y_i)$ que se espera obedecerem a $y = a x + b$, a reta que minimiza a soma dos quadrados das distâncias verticais $\sum_i (y_i - a x_i - b)^2$ tem

$$
a = \frac{\sum_i (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)}{\sum_i (x_i - \bar x)^2},
\qquad
b = \bar y - a\,\bar x .
$$

**Demonstração.** A soma é uma função quadrática de $(a, b)$; anular as duas derivadas parciais dá duas equações lineares: $\sum_i (y_i - ax_i - b) = 0$, isto é, $\bar y = a \bar x + b$, e $\sum_i x_i (y_i - ax_i - b) = 0$. Substituir $b$ na segunda e centrar as variáveis fornece $a$. A minimização em si é conduzida no curso de matemática sobre funções de duas variáveis. ∎

**Método 1.24 (Validando graficamente um modelo).**

1. Escolha variáveis que tornem reta a lei esperada: $\tau^2$ contra $\ell$ para o pêndulo, $\ln y$ contra $\ln x$ para uma lei de potência $y = Cx^\alpha$ (inclinação $\alpha$ ).
2. Trace os pontos *com as suas barras de incerteza* .
3. Ajuste a reta; o modelo é aceitável se as barras cruzam a reta sem tendência sistemática dos resíduos e se o coeficiente linear é o que o modelo prevê (aqui, zero).
4. Leia a física na inclinação, com a sua incerteza.

![2 contra para cinco comprimentos de pêndulo, com as barras de incerteza; a reta dos mínimos quadrados passa pela origem dentro da incerteza e a sua inclinação 4π2/g fornece g.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/fig-56a516d0cd8b.svg)

*$\tau^2$ contra $\ell$ para cinco comprimentos de pêndulo, com as barras de incerteza; a reta dos [mínimos quadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression) passa pela origem dentro da incerteza e a sua inclinação $4\pi^2/g$ fornece $g$.*

**Exemplo 1.25 (Lendo ggg numa inclinação).**

Os cinco pontos da figura têm $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$, $\overline{\tau^2} = 3.232\,\mathrm{s}^{2}$, e as somas $\sum (\ell_i - \bar\ell)(\tau_i^2 - \overline{\tau^2}) = 1.614\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{2}$, $\sum (\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400\,\mathrm{m}^{2}$: inclinação $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, coeficiente linear $b = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$, desprezível. Com $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$, vem $g = 4\pi^2/a = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

## 1.6 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

Exprima o joule, o watt, o pascal e o coulomb em [unidades de base](#def-b1-units-dimensions-si). Deduza que $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3}$ é uma [unidade](#def-b1-units-dimensions-unit) de energia.

**Solução de Exercício 1.1.**

$\mathrm{J} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{W} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-3}$; $\mathrm{Pa} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}$; $\mathrm{C} = \mathrm{A}\,\mathrm{s}$. $\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-2}\,\mathrm{m}^{3} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2} = \mathrm{J}$ (o trabalho das forças de pressão, $P\,\dd V$).

**Exercício 1.2 ★.**

Dê as dimensões de uma pressão, de uma potência, de uma carga elétrica, de uma tensão e das constantes $G$ (em $F = Gm_1m_2/r^2$), $h$ (em $E = h\nu$) e $k_B$ (em $E = k_B T$).

**Solução de Exercício 1.2.**

Pressão $M L^{-1} T^{-2}$; potência $M L^2 T^{-3}$; carga $I\,T$; tensão $=$ potência/corrente $= M L^2 T^{-3} I^{-1}$. $[G] = [F r^2/m^2] = M L T^{-2} L^2 M^{-2} = L^3 M^{-1} T^{-2}$; $[h] = [E/\nu] = M L^2 T^{-2} \cdot T = M L^2 T^{-1}$; $[k_B] = [E/T] = M L^2 T^{-2} \Theta^{-1}$.

**Exercício 1.3 ★.**

Estas fórmulas são homogêneas? $v = \sqrt{2gh}$; $E = \tfrac12 m v$; $P = \rho g h$ para uma pressão; $x = v_0 t +
\tfrac12 g t^2$; $T = 2\pi\sqrt{g/\ell}$; $I = I_0 \eu^{-t/RC}$.

**Solução de Exercício 1.3.**

$\sqrt{2gh}$: $\sqrt{L T^{-2} \cdot L} = L T^{-1}$, homogênea. $\tfrac12 mv$: $M L T^{-1} \neq M L^2 T^{-2}$, não é uma energia. $\rho g h$: $M L^{-3} \cdot L T^{-2} \cdot L = M L^{-1} T^{-2}$, uma pressão. $v_0 t + \tfrac12 g t^2$: as duas parcelas em $L$, homogênea. $2\pi\sqrt{g/\ell}$: $\sqrt{T^{-2}} = T^{-1}$ — uma frequência, não um período. $I_0\eu^{-t/RC}$: $RC$ em $\Omega\,\mathrm{F} = \mathrm{s}$, argumento [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension), homogênea.

**Exercício 1.4 ★.**

Uma régua é graduada em milímetros; uma balança digital mostra passos de $0.01\,\mathrm{g}$; a folha de dados de um voltímetro promete “$\pm 0.5\%$ da leitura”. Dê a [incerteza-padrão](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) do Tipo B de um comprimento de $12.7\,\mathrm{cm}$, de uma massa de $5.43\,\mathrm{g}$ e de uma leitura de $4.80\,\mathrm{V}$.

**Solução de Exercício 1.4.**

Régua: $\delta = 1\,\mathrm{mm}$, $u = 1/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$. Balança: $u = 0.01/\sqrt{12} = 0.003\,\mathrm{g}$. Voltímetro: $a = 0.005 \times 4.80 = 0.024\,\mathrm{V}$, $u = 0.024/\sqrt3 = 0.014\,\mathrm{V}$.

**Exercício 1.5 ★★.**

A velocidade $v$ das ondas numa corda esticada depende da sua tensão $F$ (uma força) e da sua massa por [unidade](#def-b1-units-dimensions-unit) de comprimento $\mu$. Encontre $v$ a menos de um fator [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension). Mesma pergunta para a velocidade do som num gás de pressão $P$ e densidade $\rho$.

**Solução de Exercício 1.5.**

$v = k F^\alpha \mu^\beta$: $L T^{-1} = (M L T^{-2})^\alpha (M L^{-1})^\beta$, logo $\alpha + \beta = 0$, $\alpha - \beta = 1$, $-2\alpha = -1$: $\alpha = \tfrac12$, $\beta = -\tfrac12$, $v = k\sqrt{F/\mu}$ (de fato $k = 1$). Som: $P/\rho$ tem [dimensão](#def-b1-units-dimensions-dimension) $M L^{-1} T^{-2} / (M L^{-3}) = L^2 T^{-2}$, logo $v = k\sqrt{P/\rho}$ ($k = \sqrt\gamma \approx 1.2$ para o ar).

**Exercício 1.6 ★★.**

Oito cronometragens da mesma queda, em milissegundos: $452$, $447$, $461$, $455$, $449$, $458$, $444$, $454$. Calcule a média, o desvio padrão experimental e a [incerteza-padrão](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) da média; escreva o resultado.

**Solução de Exercício 1.6.**

Soma $= 3620\,\mathrm{ms}$, $\bar t = 452.5\,\mathrm{ms}$. Desvios $-0.5, -5.5, 8.5, 2.5, -3.5, 5.5, -8.5, 1.5$; os quadrados somam $226$; $s = \sqrt{226/7} = 5.7\,\mathrm{ms}$; $u(\bar t) = 5.7/\sqrt8 = 2.0\,\mathrm{ms}$. Resultado: $t = (452.5 \pm 2.0)\,\mathrm{ms}$.

**Exercício 1.7 ★★.**

Uma resistência é medida como $R = U/I$ com $U = 4.80\,\mathrm{V}$, $u(U) = 0.03\,\mathrm{V}$ e $I = 12.4\,\mathrm{mA}$, $u(I) = 0.2\,\mathrm{mA}$. Calcule $R$ e $u(R)$; qual das medidas convém melhorar primeiro?

**Solução de Exercício 1.7.**

$R = 4.80/0.0124 = 387\,\Omega$. Incertezas relativas $0.03/4.80 =
0.63\%$ e $0.2/12.4 = 1.6\%$; combinadas $\sqrt{0.63^2 + 1.6^2} = 1.7\%$, $u(R) = 7\,\Omega$: $R = (387 \pm 7)\,\Omega$. A corrente domina — melhorar primeiro o amperímetro (ou a sua escala).

**Exercício 1.8 ★★.**

Dois grupos medem a velocidade do som: $(343 \pm 4)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $(336 \pm 3)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. São compatíveis? Um terceiro grupo encontra $(352 \pm 2)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: compatível com o primeiro? com o segundo?

**Solução de Exercício 1.8.**

$z = 7/\sqrt{16 + 9} = 1.4 \leq 2$: compatíveis. Terceiro contra o primeiro: $z = 9/\sqrt{4 + 16} = 2.0$: no limite, ainda compatíveis. Terceiro contra o segundo: $z = 16/\sqrt{4 + 9} = 4.4$: incompatíveis — pelo menos um dos dois tem um erro sistemático ou uma incerteza subestimada.

**Exercício 1.9 ★★.**

O volume de uma esfera é calculado a partir do seu diâmetro $d = 25.40\,\mathrm{mm}$ medido com um paquímetro, $u(d) = 0.02\,\mathrm{mm}$. Calcule $V$, a sua incerteza relativa e absoluta, e escreva o resultado.

**Solução de Exercício 1.9.**

$V = \pi d^3/6 = \pi \times 25.40^3/6 = 8580\,\mathrm{mm}^{3}$. $u(V)/V = 3\,u(d)/d = 3 \times 0.02/25.40 = 0.24\%$, $u(V) = 20\,\mathrm{mm}^{3}$: $V = (8.58 \pm 0.02)\,\mathrm{cm}^{3}$.

**Exercício 1.10 ★★★.**

Uma esfera pequena de raio $R$ cai lentamente num líquido viscoso; o arrasto depende de $R$, da velocidade $v$ e da viscosidade $\eta$, de [dimensão](#def-b1-units-dimensions-dimension) $M L^{-1} T^{-1}$. Mostre que $F = k\,\eta R v$. Em alta velocidade o arrasto depende, em vez disso, de $R$, $v$ e da densidade $\rho$ do fluido: encontre a nova lei. Estime, para uma gota de chuva ($R = 1\,\mathrm{mm}$, $v = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, ar: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$), qual dos regimes se aplica, comparando as duas estimativas.

**Solução de Exercício 1.10.**

$F = k\eta^a R^b v^c$: em $M$: $a = 1$; em $T$: $-a - c = -2$, $c = 1$; em $L$: $-a + b + c = 1$, $b = 1$: $F = k\eta R v$ (Stokes, $k = 6\pi$). Com $\rho$ no lugar: em $M$: $a = 1$; em $T$: $-c = -2$, $c = 2$; em $L$: $-3 + b + 2 = 1$, $b = 2$: $F = k\rho R^2 v^2$. Gota de chuva: $\eta R v = 1.8\times10^{-5} \times 10^{-3} \times 5 \approx
1 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$; $\rho R^2 v^2 = 1.2 \times 10^{-6} \times 25 =
3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$, trezentas vezes maior: aplica-se o regime inercial (de alta velocidade) — a razão $\rho v R/\eta \approx 330$ é o número de Reynolds.

**Exercício 1.11 ★★★.**

Quatro medidas da tensão nos terminais de um resistor para correntes crescentes: $(I, U) = (2.0\,\mathrm{mA}, 0.41\,\mathrm{V})$, $(4.0\,\mathrm{mA},
0.78\,\mathrm{V})$, $(6.0\,\mathrm{mA}, 1.22\,\mathrm{V})$, $(8.0\,\mathrm{mA},
1.59\,\mathrm{V})$. Calcule a inclinação e o coeficiente linear dos [mínimos quadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression); deduza $R$; o coeficiente linear é compatível com zero se cada $U$ carrega $u = 0.02\,\mathrm{V}$?

**Solução de Exercício 1.11.**

$\bar I = 5.0\,\mathrm{mA}$, $\bar U = 1.000\,\mathrm{V}$; desvios em $I$: $-3, -1, 1, 3$; em $U$: $-0.59, -0.22, 0.22, 0.59$. $\sum (I_i - \bar I)(U_i - \bar U) = 3.98$, $\sum (I_i - \bar I)^2 = 20$: $a = 0.199\,\mathrm{V}/\mathrm{mA} = 199\,\Omega$, $b = 1.000 - 0.199 \times 5 =
0.005\,\mathrm{V}$. Com $u(U) = 0.02\,\mathrm{V}$ por ponto, um coeficiente linear de $0.005\,\mathrm{V}$ está bem dentro da incerteza: compatível com zero, o resistor é ôhmico, $R \approx 199\,\Omega$.

**Exercício 1.12 ★★★.**

A partir de $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}^{3}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^{2})$, $h = 6.63 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ e $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, construa por análise dimensional um comprimento, um tempo e uma massa (as [unidades](#def-b1-units-dimensions-unit) de Planck). Calcule-os e compare com o tamanho de um próton ($1 \times 10^{-15}\,\mathrm{m}$) e com a massa de um ser humano.

**Solução de Exercício 1.12.**

$\ell = G^a h^b c^c$: em $M$: $-a + b = 0$; em $T$: $-2a - b - c = 0$; em $L$: $3a + 2b + c = 1$. Logo $b = a$, $c = -3a$, $2a = 1$: $\ell_P = \sqrt{Gh/c^3} = \sqrt{4.42\times10^{-44}/2.7\times10^{25}}
= 4.1 \times 10^{-35}\,\mathrm{m}$; $t_P = \ell_P/c = 1.4 \times 10^{-43}\,\mathrm{s}$; $m_P = \sqrt{hc/G} = \sqrt{1.99\times10^{-25}/6.67\times10^{-11}}
= 5.5 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}$. O comprimento de Planck fica vinte [ordens de grandeza](#def-b1-units-dimensions-oom) abaixo de um próton; a massa de Planck, $55\,\text{µ}\mathrm{g}$, é um grão de poeira — enorme para uma partícula, ínfima para uma pessoa ($10^9$ vezes mais leve).

![A matéria-prima do capítulo: um paquímetro, um cronômetro, uma bola, uma régua e uma coluna de leituras repetidas que nunca coincidem exatamente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-units-dimensions/img-013d91118919.jpg)

*A matéria-prima do capítulo: um paquímetro, um cronômetro, uma bola, uma régua e uma coluna de leituras repetidas que nunca coincidem exatamente.*

## 1.7 Problema: medir $g$ com um pêndulo

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — um barbante, uma esfera, um cronômetro e uma trena: com que precisão uma mesa de cozinha mede o campo gravitacional da Terra, e qual dos seus quatro números é o elo fraco

Um pêndulo é uma esfera de aço pendurada num ponto fixo por um fio leve; as pequenas oscilações têm período $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, onde $\ell$ é a distância do ponto de suspensão ao centro da esfera. O objetivo é um valor de $g$ com uma incerteza defensável.

**Parte I — O modelo.**

1. Verifique a homogeneidade de $\tau = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ .
2. A esfera tem massa $m$ . Argumente apenas por dimensões que o período não pode depender de $m$ se depender somente de $\ell$ , $g$ e $m$ .
3. O período também depende, ligeiramente, da amplitude $\theta_0$ da oscilação. Por que a análise dimensional permite isso, e o que é preciso fazer experimentalmente para que a fórmula se aplique?
4. Exprima $g$ em função de $\ell$ e $\tau$ .

**Parte II — Medindo o comprimento.** A trena é graduada em milímetros; o fio mede $99.0\,\mathrm{cm}$ da suspensão ao topo da esfera, o diâmetro da esfera vale $2.00\,\mathrm{cm}$, ambos lidos uma única vez.

5. Calcule $\ell$ .
6. Avalie a incerteza do Tipo B de uma leitura única na trena.
7. Localizar o ponto de suspensão e o centro da esfera acrescenta um erro possível estimado em $\pm5\,\mathrm{mm}$ (uniforme). Combine com o item anterior para obter $u(\ell)$ e dê a incerteza relativa $u(\ell)/\ell$ .

**Parte III — Medindo o período.** Para reduzir o efeito do tempo de reação, cronometram-se dez períodos. Oito dessas cronometragens, em segundos: $20.12$, $20.05$, $20.18$, $20.09$, $20.15$, $20.02$, $20.11$, $20.08$.

8. Por que cronometrar dez períodos em vez de um? Por que repetir a cronometragem oito vezes?
9. Calcule a média $\overline{t_{10}}$ e o desvio padrão experimental $s$ das oito cronometragens.
10. Deduza a [incerteza-padrão](#def-b1-units-dimensions-uncertainty) da média, depois o período $\tau$ e a sua incerteza $u(\tau)$ .
11. Compare $u(\tau)/\tau$ com $u(\ell)/\ell$ .

**Parte IV — O resultado e o seu ponto fraco.**

12. Calcule $g$ .
13. Escreva $u(g)/g$ em função de $u(\ell)/\ell$ e $u(\tau)/\tau$ , e calcule-o.
14. Escreva o resultado na forma padrão.
15. Compare com o valor de referência $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ por meio do [desvio normalizado](#def-b1-units-dimensions-zscore) . Veredito?
16. Qual das duas grandezas medidas limita a precisão de $g$ ? Proponha duas melhorias concretas e diga em quanto cada uma reduziria a incerteza relativa.
17. Suponha que, por um alinhamento descuidado, todo comprimento tenha sido superestimado em $5\,\mathrm{mm}$ . Isso está contemplado no orçamento de incertezas? Que nome recebe esse tipo de erro, e como seria detectado?

**Parte V — Cinco comprimentos e uma reta.** O experimento é repetido para $\ell = 0.400$, $0.600$, $0.800$, $1.000$ e $1.200\,\mathrm{m}$, dando $\tau^2 = 1.62$, $2.41$, $3.25$, $4.04$ e $4.84\,\mathrm{s}^{2}$, cada um com $u(\tau^2) \approx 1\%$.

18. Por que traçar $\tau^2$ contra $\ell$ em vez de $\tau$ contra $\ell$ ?
19. Calcule $\bar\ell$ e $\overline{\tau^2}$ .
20. Calcule a inclinação $a$ e o coeficiente linear $b$ dos [mínimos quadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression) .
21. Deduza $g$ da inclinação.
22. Interprete o coeficiente linear: o que revelaria um $b$ claramente não nulo?
23. O ajuste feito pelo computador informa $u(a) = 0.05\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$ . Deduza $u(g)$ e escreva o resultado.
24. Compare o resultado de comprimento único da Parte IV com este, por meio do [desvio normalizado](#def-b1-units-dimensions-zscore) .
25. Um estudante propõe medir uma única oscilação de um pêndulo de $10\,\mathrm{m}$ numa caixa de escada, com a mesma trena e o mesmo cronômetro. Estime a incerteza relativa sobre $g$ que isso daria, e conclua sobre a melhor estratégia.

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** $\sqrt{L/(L T^{-2})} = \sqrt{T^2} = T$.

**2.** $\tau = k\ell^\alpha m^\beta g^\gamma$ dá $T = L^{\alpha+\gamma} M^\beta T^{-2\gamma}$, logo $\beta = 0$: nenhuma combinação de $\ell$ e $g$ pode cancelar uma massa.

**3.** $\theta_0$ é [adimensional](#def-b1-units-dimensions-dimension), de modo que qualquer fator $f(\theta_0)$ é invisível às dimensões. Mantenha a amplitude pequena (abaixo de cerca de $10^\circ$), onde $f \approx 1$ com erro menor que $0.2\%$.

**4.** $g = 4\pi^2\ell/\tau^2$.

**5.** $\ell = 99.0 + 1.00 = 100.0\,\mathrm{cm} = 1.000\,\mathrm{m}$.

**6.** $u = 1\,\mathrm{mm}/\sqrt{12} = 0.29\,\mathrm{mm}$.

**7.** Alinhamento: $5/\sqrt3 = 2.9\,\mathrm{mm}$; combinadas $\sqrt{0.29^2 + 2.9^2} = 2.9\,\mathrm{mm}$ — a leitura da trena é desprezível. $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**8.** O erro de tempo de reação (cerca de $0.1\,\mathrm{s}$) é o mesmo quer se cronometre um ou dez períodos, de modo que o seu efeito sobre um período fica dez vezes menor. Repetir revela a dispersão (daí $s$) e divide a incerteza da média por $\sqrt8$.

**9.** Soma $= 160.80\,\mathrm{s}$, $\overline{t_{10}} = 20.100\,\mathrm{s}$. Desvios $0.02, -0.05, 0.08, -0.01, 0.05, -0.08, 0.01, -0.02$; os quadrados somam $188 \times 10^{-4}$; $s = \sqrt{188\times10^{-4}/7} = 0.052\,\mathrm{s}$.

**10.** $u(\overline{t_{10}}) = 0.052/\sqrt8 = 0.018\,\mathrm{s}$; $\tau = 2.0100\,\mathrm{s}$, $u(\tau) = 0.0018\,\mathrm{s}$.

**11.** $u(\tau)/\tau = 0.09\%$, três vezes menor que $u(\ell)/\ell = 0.29\%$.

**12.** $g = 4\pi^2 \times 1.000/2.0100^2 = 39.48/4.040 =
9.772\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**13.** Como $g \propto \ell\,\tau^{-2}$: $\dfrac{u(g)}{g} = \sqrt{\left(\dfrac{u(\ell)}{\ell}\right)^2
+ \left(2\dfrac{u(\tau)}{\tau}\right)^2} = \sqrt{0.29^2 + 0.18^2}\,\%
= 0.34\%$.

**14.** $u(g) = 0.0034 \times 9.772 = 0.033\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.77 \pm 0.03)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**15.** $z = \abs{9.772 - 9.81}/0.033 = 1.2 \leq 2$: compatíveis.

**16.** O comprimento ($0.29\%$ contra $0.18\%$ para o termo do período). Localizar as duas extremidades a $\pm1\,\mathrm{mm}$ leva $u(\ell)/\ell$ a $0.06\%$ e $u(g)/g$ a $\sqrt{0.06^2 + 0.18^2} = 0.19\%$; dobrar o comprimento reduz $u(\ell)/\ell$ à metade e alonga $\tau$, ajudando os dois termos. Cronometrar vinte períodos em vez de dez reduz à metade só o termo do período: $u(g)/g = \sqrt{0.29^2 + 0.09^2} = 0.30\%$ — ganho pequeno enquanto o comprimento é o gargalo.

**17.** Não: um deslocamento comum a todas as leituras é um *erro sistemático* (um viés); o orçamento cobre a dispersão aleatória e as tolerâncias declaradas, não um desvio constante. Ele é detectado mudando de método ou de instrumento, ou — Parte V — por um coeficiente linear não nulo da reta $\tau^2$–$\ell$.

**18.** $\tau^2 = (4\pi^2/g)\,\ell$ é uma reta que passa pela origem: a linearidade e o coeficiente linear nulo são ambos testáveis a olho e por [mínimos quadrados](#prop-b1-units-dimensions-regression); $\tau \propto \sqrt\ell$ não é.

**19.** $\bar\ell = 0.800\,\mathrm{m}$; $\overline{\tau^2} = 16.16/5 =
3.232\,\mathrm{s}^{2}$.

**20.** Desvios em $\ell$: $-0.4, -0.2, 0, 0.2, 0.4$; em $\tau^2$: $-1.612, -0.822, 0.018, 0.808, 1.608$. Soma cruzada $= 1.614$, $\sum(\ell_i - \bar\ell)^2 = 0.400$: $a = 4.035\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}$, $b = 3.232 - 4.035 \times 0.800 = 0.004\,\mathrm{s}^{2}$.

**21.** $g = 4\pi^2/a = 39.48/4.035 = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**22.** $b \approx 0$, como o modelo prevê. Um $b$ claramente não nulo denunciaria um desvio sistemático $\delta$ em todos os comprimentos ($\tau^2 = a(\ell_{\text{med}} - \delta)$ dá $b = -a\delta$), por exemplo um centro de esfera mal localizado — ou um efeito de amplitude.

**23.** $u(g)/g = u(a)/a = 0.05/4.035 = 1.2\%$, $u(g) =
0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $g = (9.78 \pm 0.12)\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**24.** $z = \abs{9.772 - 9.784}/\sqrt{0.033^2 + 0.12^2} = 0.1$: plenamente compatíveis. A medida única e cuidadosa é mais precisa; a reta valida o modelo e protege contra um desvio de comprimento.

**25.** $\tau = 2\pi\sqrt{10/9.8} = 6.3\,\mathrm{s}$; uma única oscilação cronometrada com tempo de reação de cerca de $0.2\,\mathrm{s}$ dá $u(\tau)/\tau \approx
3\%$, logo $u(g)/g \approx 6\%$, enquanto $u(\ell)/\ell$ cai para $0.03\%$: vinte vezes pior que a Parte IV. O ganho de comprimento é desperdiçado ao cronometrar um único período. Melhor estratégia: pêndulo longo *e* muitos períodos, repetidos — dez oscilações do pêndulo de $10\,\mathrm{m}$, oito vezes, dão $u(\tau)/\tau \approx 0.03\%$ e $u(g)/g \approx 0.07\%$.