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title: "O amplificador operacional"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 10
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/10-o-amplificador-operacional
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# Capítulo 10 — O amplificador operacional

Um extensômetro colado à viga de uma ponte muda a sua resistência em um milésimo quando um caminhão passa; a [ponte de Wheatstone](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) ao seu redor ([Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#ch-b1-dc-circuits)) transforma isso em dois milivolts. Dois milivolts não acionam nada. Entre o extensômetro e o alarme que fechará a ponte ao tráfego há um chip do tamanho de uma unha, vendido por alguns centavos, que multiplica o sinal por mil, o filtra, o compara com um limiar e acende uma lâmpada — quatro tarefas, um componente, quatro ligações diferentes. Este capítulo apresenta o [amplificador operacional](#def-b1-operational-amplifier-opamp) pelo seu modelo ideal, deduz o punhado de circuitos com que todo instrumento é construído e mostra o que acontece quando a realimentação é retirada.

## 10.1 O componente e o seu modelo ideal

**Definição 10.1 (Amplificador operacional).**

Um *amplificador operacional* é um circuito integrado com duas entradas — a entrada *não inversora*, ao potencial $V_+$, e a entrada *inversora*, ao potencial $V_-$ — e uma saída ao potencial $V_s$, alimentado por duas fontes $\pm V_{\mathrm{cc}}$ (tipicamente $\pm15\,\mathrm{V}$), em geral omitidas dos esquemas. Ele amplifica a diferença $\epsilon = V_+ - V_-$:

$$
V_s = \mu\,\epsilon \quad\text{enquanto } \abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}},
$$

com um *ganho em malha aberta* $\mu$ da ordem de $10^5$ e uma *[tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de saturação* $V_{\mathrm{sat}}$ ligeiramente abaixo de $V_{\mathrm{cc}}$. Quando $\mu\abs\epsilon$ ultrapassaria $V_{\mathrm{sat}}$, a saída trava em $+V_{\mathrm{sat}}$ ou $-V_{\mathrm{sat}}$: é o regime *saturado*.

**Definição 10.2 (Amplificador operacional ideal).**

O modelo *ideal* supõe: (i) nenhuma corrente entra pelas entradas, $i_+ = i_- = 0$ ([impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada infinita); (ii) a saída impõe a sua [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) qualquer que seja a corrente drenada ([impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de saída nula); (iii) ganho infinito, $\mu \to \infty$. No *regime linear* ($\abs{V_s}
< V_{\mathrm{sat}}$) a terceira hipótese força

$$
\epsilon = V_+ - V_- = 0 :
$$

as duas entradas ficam ao mesmo potencial (um “curto-circuito virtual”), embora nenhuma corrente circule entre elas.

![O amplificador operacional: o símbolo com as suas duas entradas e a sua característica de transferência V_s( ) — um segmento linear íngreme de inclinação 105 (desenhado bem menos inclinado do que é), depois a saturação em ± V_ sat. No modelo ideal o segmento linear é vertical: = 0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-084528c21577.svg)

*O [amplificador operacional](#def-b1-operational-amplifier-opamp): o símbolo com as suas duas entradas e a sua característica de transferência $V_s(\epsilon)$ — um segmento linear íngreme de inclinação $\mu \sim 10^5$ (desenhado bem menos inclinado do que é), depois a saturação em $\pm V_{\mathrm{sat}}$. No modelo ideal o segmento linear é vertical: $\epsilon = 0$.*

**Proposição 10.3 (Realimentação negativa e regime linear).**

Se a saída é ligada de volta à entrada *inversora* através de uma rede ([realimentação negativa](#prop-b1-operational-amplifier-feedback)), o circuito tem um [ponto de operação](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#met-b1-dc-circuits-loadline) linear estável em $\epsilon = 0$ e valem as regras do amplificador ideal. Se a saída é realimentada à entrada não inversora ([realimentação positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback)), ou não é realimentada de modo algum, o amplificador satura: $V_s = \pm V_{\mathrm{sat}}$ conforme o sinal de $\epsilon$.

**Demonstração parcial.** Com [realimentação negativa](#prop-b1-operational-amplifier-feedback), suponha que $V_s$ suba um pouco acima do seu valor de equilíbrio; através da rede de realimentação $V_-$ sobe, $\epsilon$ cai, e o amplificador puxa $V_s$ de volta para baixo: a perturbação é corrigida. Com [realimentação positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback) a mesma perturbação eleva $V_+$, aumenta $\epsilon$ e afasta $V_s$ ainda mais, até saturar. O argumento completo (um modelo de primeira ordem do amplificador, $\mu(j\omega)
= \mu_0/(1 + j\omega/\omega_0)$, e a estabilidade da equação diferencial resultante) é assunto do volume do segundo ano; a regra acima é o que se usa. ∎

**Observação 10.4 (Amplificadores reais).**

Três afastamentos do ideal importam na prática. O [ganho em malha aberta](#def-b1-operational-amplifier-opamp) cai com a frequência como $\mu_0/(1 + jf/f_0)$, com $f_0 \sim 10\,\mathrm{Hz}$: o produto $\mu_0 f_0 = f_T \sim 1\,\mathrm{MHz}$ (o *[produto ganho–largura de banda](#rem-b1-operational-amplifier-real)*) é a [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) disponível para um seguidor, e um circuito de ganho em malha fechada $G$ tem [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $f_T/G$. A saída não pode variar mais depressa que a *[slew rate](#rem-b1-operational-amplifier-real)*, $\sim1\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$. E uma pequena *[tensão de offset de entrada](#rem-b1-operational-amplifier-real)* ($\sim1\,\mathrm{mV}$) é amplificada como um sinal — fatal para entradas de milivolts, a menos que seja ajustada.

## 10.2 Os circuitos lineares de base

**Método 10.5 (Analisando um circuito com amp. op. ideal em regime linear).**

1. Verifique que a realimentação vai para a entrada inversora.
2. Escreva $i_+ = i_- = 0$ : os nós de entrada obedecem à [lei dos nós](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) de Kirchhoff sem corrente entrando no amplificador (valem os divisores e o teorema de Millman).
3. Escreva $V_+ = V_-$ e resolva para $V_s$ .
4. Verifique depois que $\abs{V_s} < V_{\mathrm{sat}}$ ; se não, o amplificador está saturado e o resultado é $\pm V_{\mathrm{sat}}$ .

**Proposição 10.6 (Seguidor, amplificadores não inversor e inversor).**

- *Seguidor* : saída ligada a $V_-$ , entrada em $V_+$ : $V_s = V_e$ ; [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada infinita, [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de saída nula.
- *[Amplificador não inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic)*: saída para $V_-$ através de um divisor $R_2$ (realimentação) e $R_1$ (para a terra), entrada em $V_+$: $$V_s = \left(1 + \frac{R_2}{R_1}\right)V_e .$$
- *[Amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic)*: $V_+$ aterrado, entrada através de $R_1$ para $V_-$, realimentação $R_2$ da saída para $V_-$: $$V_s = -\frac{R_2}{R_1}\,V_e ,$$ com $V_-$ mantido ao potencial de terra (uma *[terra virtual](#prop-b1-operational-amplifier-basic)*) e uma [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada $R_1$.

**Demonstração.** Seguidor: $V_- = V_s$ e $V_+ = V_e$; $\epsilon = 0$ dá $V_s = V_e$. Não inversor: nenhuma corrente entra em $V_-$, de modo que o divisor dá $V_- =
V_sR_1/(R_1 + R_2)$; iguale a $V_+ = V_e$. Inversor: $V_- = V_+ = 0$; [lei dos nós](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) em $V_-$ com $i_- = 0$: $(V_e - 0)/R_1 + (V_s - 0)/R_2 = 0$. A fonte entrega $V_e/R_1$: [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada $R_1$. ∎

![Os três amplificadores de base. Em cada um a saída alimenta a entrada inversora, o amplificador trabalha no seu regime linear, e o ganho é fixado apenas por razões de resistências — não pelo enorme e mal definido do próprio amplificador.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-491db1769d3d.svg)

*Os três amplificadores de base. Em cada um a saída alimenta a entrada inversora, o amplificador trabalha no seu [regime linear](#def-b1-operational-amplifier-ideal), e o ganho é fixado apenas por razões de resistências — não pelo $\mu$ enorme e mal definido do próprio amplificador.*

**Exemplo 10.7 (Por que um seguidor).**

Um sensor de resistência de Thévenin $10\,\mathrm{k}\Omega$ que alimenta uma carga de $1\,\mathrm{k}\Omega$ entrega apenas $1/11$ da sua [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) em circuito aberto ([Observação 6.14](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#rem-b1-dc-circuits-loading)). Um seguidor entre os dois não drena corrente do sensor e alimenta a carga a partir de uma saída de [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) nula: a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) chega inteira. O seguidor é um *adaptador de [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance)* — e torna exata a regra de cascata da [Proposição 9.14](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#prop-b1-filters-transfer-functions-cascade).

**Proposição 10.8 (Amplificadores somador e diferencial).**

Entradas $V_1, V_2$ através de $R_1, R_2$ para o nó inversor, realimentação $R_f$, $V_+$ aterrado:

$$
V_s = -R_f\left(\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2}\right)
\quad (\text{amplificador somador}).
$$

Com $V_1$ através de $R_1$ para $V_-$ (realimentação $R_2$) e $V_2$ através de $R_1$ para $V_+$ (com $R_2$ de $V_+$ à terra):

$$
V_s = \frac{R_2}{R_1}\,(V_2 - V_1)
\quad (\text{amplificador diferencial}).
$$

**Demonstração.** Somador: [lei dos nós](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) na [terra virtual](#prop-b1-operational-amplifier-basic), $V_1/R_1 + V_2/R_2 + V_s/R_f =
0$. Diferencial: $V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$ (divisor); [lei dos nós](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) em $V_-$: $(V_1 - V_-)/R_1 + (V_s - V_-)/R_2 = 0$, logo $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) -
V_1R_2/R_1$; ponha $V_- = V_+$ e simplifique. ∎

## 10.3 Integrador e derivador

**Proposição 10.9 (Integrador).**

Entrada através de $R$ para $V_-$, um capacitor $C$ como realimentação, $V_+$ aterrado:

$$
V_s(t) = -\frac{1}{RC}\int_0^t V_e(t')\,\dd t' + V_s(0),
\qquad
\underline H = -\frac{1}{jRC\omega} .
$$

O ganho cai $20\,\mathrm{dB}$ por década em toda frequência e a fase vale $+90^\circ$: um integrador exato — até que o menor offset ou desvio, integrado indefinidamente, leve a saída à saturação.

**Demonstração.** [Terra virtual](#prop-b1-operational-amplifier-basic): a corrente $V_e/R$ entra no capacitor, cuja [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) (de $V_-$ até a saída) vale $-V_s$; logo $C\,\dd(-V_s)/\dd t
= V_e/R$, e em notação complexa $\underline H = -1/(jRC\omega)$. ∎

**Observação 10.10 (Domando o integrador).**

Um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) $R'$ em paralelo com $C$ dá

$$
\underline H = -\frac{R'/R}{1 + jR'C\omega},
$$

um passa-baixa de primeira ordem, de ganho contínuo $-R'/R$ e corte em $1/R'C$, que integra para $\omega \gg 1/R'C$ mas não pode derivar até a saturação. Do mesmo modo, o derivador (capacitor na entrada, [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) como realimentação: $V_s = -RC\,\dd V_e/\dd t$, $\underline H =
-jRC\omega$) amplifica sem limite o ruído de alta frequência, a menos que um pequeno [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) em série limite o seu ganho.

![O integrador e o seu diagrama de Bode (azul, -20\, dB por década em toda parte, ganho infinito em contínuo); com um resistor em paralelo com C o ganho fica limitado em baixa frequência (vermelho): um passa-baixa que integra acima da sua frequência de corte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-a1a1e5d73f71.svg)

*O integrador e o seu [diagrama de Bode](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) (azul, $-20\,\mathrm{dB}$ por década em toda parte, ganho infinito em contínuo); com um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) em paralelo com $C$ o ganho fica limitado em baixa frequência (vermelho): um passa-baixa que integra acima da sua [frequência de corte](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode).*

**Exemplo 10.11 (Triângulo a partir de quadrada).**

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, $1/RC = 1000\,\mathrm{s}^{-1}$. Uma onda quadrada de $1\,\mathrm{kHz}$ e $\pm1\,\mathrm{V}$ dá um triângulo de inclinação $\mp1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$ e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4RC = 0.25\,\mathrm{V}$ — sem a atenuação em $1/\omega$ de um RC passivo, e com uma saída de [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) nula para alimentar o estágio seguinte.

## 10.4 Filtros ativos

**Proposição 10.12 (Passa-baixa ativo de primeira ordem).**

O [amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) com um capacitor $C$ em paralelo com o [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) de realimentação $R_2$ tem

$$
\underline H = -\frac{R_2/R_1}{1 + jR_2C\omega}:
$$

um passa-baixa de ganho contínuo $-R_2/R_1$ (que pode exceder $1$) e corte em $\omega_c = 1/R_2C$, com [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de saída nula — os estágios se põem em cascata por simples multiplicação.

**Demonstração.** [Amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) com a [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de realimentação $R_2 \parallel 1/jC\omega
= R_2/(1 + jR_2C\omega)$ no lugar de $R_2$. ∎

## 10.5 Sem realimentação negativa: comparadores

**Proposição 10.13 (Comparador).**

Sem realimentação, o amplificador ideal está saturado: $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$ se $V_+ > V_-$, e $-V_{\mathrm{sat}}$ se $V_+ < V_-$. Com uma referência $V_{\mathrm{ref}}$ numa entrada e um sinal na outra, a saída diz se o sinal ultrapassa a referência — um conversor de um bit.

**Demonstração.** $\mu\epsilon$ ultrapassa $V_{\mathrm{sat}}$ para qualquer $\abs\epsilon >
V_{\mathrm{sat}}/\mu \sim 0.1\,\mathrm{mV}$. ∎

**Proposição 10.14 (Gatilho de Schmitt).**

Realimente uma fração $\beta = R_1/(R_1 + R_2)$ da saída para $V_+$ (divisor $R_1$ à terra, $R_2$ desde a saída) e aplique o sinal $V_e$ a $V_-$. A saída passa de $+V_{\mathrm{sat}}$ a $-V_{\mathrm{sat}}$ quando $V_e$ sobe acima de $+\beta V_{\mathrm{sat}}$, e volta quando $V_e$ cai abaixo de $-\beta V_{\mathrm{sat}}$: dois limiares, uma *histerese* de largura $2\beta V_{\mathrm{sat}}$, imune a ruídos menores que essa largura.

**Demonstração.** [Realimentação positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback): saturado. Se $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$, então $V_+ =
\beta V_{\mathrm{sat}}$, e $\epsilon = \beta V_{\mathrm{sat}} - V_e$ permanece positivo até que $V_e$ ultrapasse $\beta V_{\mathrm{sat}}$; então a saída vira, $V_+$ cai para $-\beta V_{\mathrm{sat}}$, e o novo estado se mantém até que $V_e$ caia abaixo desse valor. ∎

![O gatilho de Schmitt: a realimentação positiva através de R_1, R_2 dá dois limiares ± V_ sat. A saída vira de alto para baixo quando V_e sobe acima do limiar superior, e de baixo para alto quando cai abaixo do inferior (setas): um ciclo de histerese.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-operational-amplifier/fig-3b55744c7cd2.svg)

*O [gatilho de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt): a [realimentação positiva](#prop-b1-operational-amplifier-feedback) através de $R_1$, $R_2$ dá dois limiares $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$. A saída vira de alto para baixo quando $V_e$ sobe acima do limiar superior, e de baixo para alto quando cai abaixo do inferior (setas): um ciclo de histerese.*

**Exemplo 10.15 (O oscilador de relaxação).**

Ligue a saída do [gatilho de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) de volta à sua própria entrada inversora através de $R$, com $C$ de $V_-$ à terra. O capacitor se carrega rumo a $\pm V_{\mathrm{sat}}$ e faz o gatilho virar cada vez que atinge $\pm\beta V_{\mathrm{sat}}$: a saída é uma onda quadrada, a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) do capacitor é uma sucessão de arcos exponenciais, e o período vale

$$
T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}
$$

([Exercício 10.12](#exo-b1-operational-amplifier-12)): $2.2\,RC$ para $\beta = \tfrac12$. Sem entrada, com um capacitor, um relógio — um sistema que oscila porque não consegue se acomodar, tema que retorna com os osciladores realimentados do volume do segundo ano.

## 10.6 Exercícios

**Exercício 10.1 ★.**

Um [amplificador não inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) tem $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 =
9.0\,\mathrm{k}\Omega$, $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$. Ganho? Saída para $V_e = 0.50\,\mathrm{V}$? Maior entrada antes da saturação?

**Solução de Exercício 10.1.**

$G = 1 + 9 = 10$; $V_s = 5.0\,\mathrm{V}$; saturação em $V_e = 15/10 =
1.5\,\mathrm{V}$.

**Exercício 10.2 ★.**

Um [amplificador inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) tem $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$. Ganho, [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada, corrente drenada de uma fonte de $1.0\,\mathrm{V}$, saída.

**Solução de Exercício 10.2.**

$G = -10$; [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$; $i = 1.0/10^4 =
0.10\,\mathrm{mA}$; $V_s = -10\,\mathrm{V}$.

**Exercício 10.3 ★.**

Um sensor de [resistência interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources) $10\,\mathrm{k}\Omega$ e [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) em circuito aberto $1.0\,\mathrm{V}$ deve alimentar uma carga de $1.0\,\mathrm{k}\Omega$. [Tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) na carga sem e com um seguidor entre os dois?

**Solução de Exercício 10.3.**

Sem ele: divisor $1/(1 + 10) = 0.091$, $91\,\mathrm{mV}$. Com o seguidor: $1.0\,\mathrm{V}$ — o seguidor nada drena do sensor e fornece o $1\,\mathrm{mA}$ de que a carga precisa.

**Exercício 10.4 ★.**

Um [amplificador somador](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) tem $R_f = 10\,\mathrm{k}\Omega$ e entradas através de $10\,\mathrm{k}\Omega$ e $20\,\mathrm{k}\Omega$. Escreva $V_s$; calcule-o para $V_1 = 1.0\,\mathrm{V}$, $V_2 = 2.0\,\mathrm{V}$.

**Solução de Exercício 10.4.**

$V_s = -R_f(V_1/R_1 + V_2/R_2) = -(V_1 + V_2/2) = -(1.0 + 1.0) = -2.0\,\mathrm{V}$.

**Exercício 10.5 ★★.**

Deduza o $V_s = (R_2/R_1)(V_2 - V_1)$ do [amplificador diferencial](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff). Com $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 100\,\mathrm{k}\Omega$, $V_1 = 1.00\,\mathrm{V}$, $V_2 = 1.05\,\mathrm{V}$: qual a saída? O que aconteceu com o $1\,\mathrm{V}$ comum às duas entradas?

**Solução de Exercício 10.5.**

$V_+ = V_2R_2/(R_1 + R_2)$; em $V_-$: $(V_1 - V_-)/R_1 = (V_- - V_s)/R_2$, logo $V_s = V_-(1 + R_2/R_1) - V_1R_2/R_1$; com $V_- = V_+$: $V_s = V_2R_2/R_1 - V_1R_2/R_1$. Números: $10 \times 0.05 = 0.50\,\mathrm{V}$; o $1\,\mathrm{V}$ comum não contribui em nada — é a rejeição de modo comum.

**Exercício 10.6 ★★.**

Integrador com $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\mathrm{nF}$, saída inicialmente nula. Aplica-se um degrau de $1.0\,\mathrm{V}$: inclinação da saída e tempo até a saturação ($15\,\mathrm{V}$). Uma onda quadrada de $1.0\,\mathrm{kHz}$ e $\pm1.0\,\mathrm{V}$: forma e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da saída.

**Solução de Exercício 10.6.**

$V_s = -(1/RC)\int V_e$: inclinação $-1000 \times 1.0 = -1000\,\mathrm{V}/\mathrm{s}$; saturação após $15/1000 = 15\,\mathrm{ms}$. Onda quadrada: triângulo de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $ET/4RC = 1.0 \times 10^{-3}/(4 \times 10^{-3}) = 0.25\,\mathrm{V}$ (mais a constante que a carga inicial tenha deixado).

**Exercício 10.7 ★★.**

Um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) de $1.0\,\mathrm{M}\Omega$ é acrescentado em paralelo com o capacitor do integrador anterior. Dê a [função de transferência](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-H), o ganho em contínuo, a [frequência de corte](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) e o ganho a $1.0\,\mathrm{kHz}$; em que faixa o circuito ainda integra?

**Solução de Exercício 10.7.**

$\underline H = -(R'/R)/(1 + jR'C\omega)$: ganho contínuo $-100$; corte em $1/(2\pi R'C) = 1.6\,\mathrm{Hz}$; a $1\,\mathrm{kHz}$, $R'C\omega = 628$, $G =
100/628 = 0.16$ — o valor $1/RC\omega$ do integrador. Ele integra para $f \gg 1.6\,\mathrm{Hz}$.

**Exercício 10.8 ★★.**

Projete um passa-baixa ativo inversor com ganho de $20\,\mathrm{dB}$ na [banda passante](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/9-filtros-e-funcoes-de-transferencia#def-b1-filters-transfer-functions-bode) e corte em $500\,\mathrm{Hz}$, usando $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$.

**Solução de Exercício 10.8.**

$R_2/R_1 = 10$: $R_2 = 10\,\mathrm{k}\Omega$; $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi
\times 10^4 \times 500) = 32\,\mathrm{nF}$.

**Exercício 10.9 ★★.**

Um amplificador real tem $\mu_0 = 10^5$ e $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$. Para um [amplificador não inversor](#prop-b1-operational-amplifier-basic) projetado para ganho $100$: ganho real em contínuo (mantenha $\mu_0$ finito na análise) e [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance). E a [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) de um seguidor?

**Solução de Exercício 10.9.**

Com $\mu$ finito: $V_s = \mu(V_e - \beta V_s)$, $\beta = 1/100$, logo $G = \mu/(1 + \mu\beta) = 10^5/(1 + 10^3) = 99.9$. [Largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $f_T/G =
10\,\mathrm{kHz}$; seguidor: $1\,\mathrm{MHz}$.

**Exercício 10.10 ★★★.**

Um comparador com $V_{\mathrm{ref}} = 2.0\,\mathrm{V}$ em $V_-$ observa um sinal que sobe devagar e carrega $50\,\mathrm{mV}$ de ruído. Descreva a saída enquanto o sinal cruza $2.0\,\mathrm{V}$. Qual o remédio?

**Solução de Exercício 10.10.**

Cada excursão de ruído através de $2.0\,\mathrm{V}$ faz a saída virar: uma rajada de chaveamentos rápidos (“trepidação”) em torno do cruzamento. Remédio: uma histerese mais larga que o ruído, isto é, um [gatilho de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt).

**Exercício 10.11 ★★★.**

[Gatilho de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) com $R_1 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 9.0\,\mathrm{k}\Omega$, $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$: deduza e calcule os dois limiares. Esboce $V_s$ para um $V_e$ triangular de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $3\,\mathrm{V}$.

**Solução de Exercício 10.11.**

$V_+ = V_sR_1/(R_1 + R_2) = V_s/10$: limiares $\pm1.5\,\mathrm{V}$. A saída vale $+15\,\mathrm{V}$ enquanto $V_e$ sobe até $1.5\,\mathrm{V}$, vira para $-15\,\mathrm{V}$, ali permanece até que $V_e$ caia abaixo de $-1.5\,\mathrm{V}$ e vira de volta: uma onda quadrada na frequência do triângulo, com as bordas nos cruzamentos dos limiares.

**Exercício 10.12 ★★★.**

[Oscilador de relaxação](#ex-b1-operational-amplifier-astable) com $R_1 = R_2$ ($\beta = \tfrac12$). Deduza o período $T = 2RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$ a partir da carga de $C$ através de $R$ entre os dois limiares; escolha $R$ para $1.0\,\mathrm{kHz}$ com $C = 100\,\mathrm{nF}$; esboce $V_s(t)$ e $V_C(t)$.

**Solução de Exercício 10.12.**

Com $V_s = +V_{\mathrm{sat}}$, $V_C$ se carrega de $-\beta V_{\mathrm{sat}}$ rumo a $+V_{\mathrm{sat}}$: $V_C = V_{\mathrm{sat}} - (1 + \beta)V_{\mathrm{sat}}
\eu^{-t/RC}$, atingindo $+\beta V_{\mathrm{sat}}$ quando $\eu^{-t/RC} =
(1 - \beta)/(1 + \beta)$: meio período $RC\ln\frac{1 + \beta}{1 - \beta}$, donde $T$. Para $\beta = \tfrac12$: $T = 2RC\ln 3 = 2.2RC$; $RC = 1/(2.2 \times
10^3) = 0.455\,\mathrm{ms}$, $R = 4.6\,\mathrm{k}\Omega$. $V_s$: onda quadrada $\pm15\,\mathrm{V}$; $V_C$: arcos exponenciais entre $\pm7.5\,\mathrm{V}$.

## 10.7 Problema: uma cadeia de instrumentação para um extensômetro

**Problema 10.1.**

Problema de fim de semana — de dois milivolts na viga de uma ponte até uma lâmpada vermelha: seguidores, um amplificador diferencial, um filtro ativo e um gatilho de Schmitt, e as duas imperfeições que decidem se a cadeia funciona

Um extensômetro de resistência $R(1 + \epsilon)$, $R = 1.00\,\mathrm{k}\Omega$, $0 \leq \epsilon \leq 2.0 \times 10^{-3}$, forma uma [ponte de Wheatstone](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#prop-b1-dc-circuits-wheatstone) com três [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) fixos de $1.00\,\mathrm{k}\Omega$, alimentada por $E = 5.00\,\mathrm{V}$. A saída da ponte $u = V_B - V_A$ (entre os dois pontos médios) vale $u \approx E\epsilon/4$ (o sinal é escolhido pela ligação). Amplificadores: ideais, salvo indicação em contrário; $V_{\mathrm{sat}} = 15\,\mathrm{V}$; quando necessário, $f_T = 1.0\,\mathrm{MHz}$, [slew rate](#rem-b1-operational-amplifier-real) $0.5\,\mathrm{V}/\text{µ}\mathrm{s}$, offset de entrada $1\,\mathrm{mV}$.

**Parte I — A ponte e o seu carregamento.**

1. Lembre por que $u \approx E\epsilon/4$ para $\epsilon$ pequeno.
2. Calcule $u$ em fundo de escala ( $\epsilon = 2.0 \times 10^{-3}$ ).
3. Dê o potencial de cada ponto médio (em relação ao terminal negativo da ponte) com deformação nula e em fundo de escala. Como se chama o valor comum aos dois?
4. Cada ponto médio é a saída de um divisor de dois [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) de $1\,\mathrm{k}\Omega$ : qual é a resistência de Thévenin vista entre os dois pontos médios?
5. Um amplificador de resistência de entrada $10\,\mathrm{k}\Omega$ é ligado à saída da ponte: que fração de $u$ ele recebe?
6. Por que um seguidor em cada ponto médio cura isso? Enuncie as duas propriedades usadas.
7. Quais são as tensões de saída dos seguidores (em termos de $V_A$ , $V_B$ ), e que corrente eles drenam da ponte?

**Parte II — Amplificando a diferença.**

8. Os seguidores alimentam um [amplificador diferencial](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) ( $R_1$ nas duas entradas, $R_2$ como realimentação e para a terra). Deduza $V_s =  (R_2/R_1)(V_B - V_A)$ .
9. Escolha $R_1 = 10\,\mathrm{k}\Omega$ e $R_2$ para um ganho de $100$ .
10. Um segundo estágio, não inversor, multiplica por $10$ : dê os seus [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) , o ganho total e a saída em fundo de escala.
11. Os dois pontos médios ficam perto de $E/2 = 2.5\,\mathrm{V}$ (a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de modo comum). O que faz com ela um [amplificador diferencial](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) exatamente casado? Se uma razão de [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) estiver errada em $1\%$ , estime a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) espúria referida à entrada e compare com o sinal.
12. O primeiro amplificador tem um offset de entrada de $1\,\mathrm{mV}$ . Que erro de saída ele produz após o ganho total? Conclua.
13. Com $f_T = 1\,\mathrm{MHz}$ , qual é a [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) de cada estágio? Ela basta para um sinal abaixo de $5\,\mathrm{Hz}$ ?
14. A saída deve excursionar $2.5\,\mathrm{V}$ quando um caminhão chega em cerca de $10\,\mathrm{ms}$ : a [slew rate](#rem-b1-operational-amplifier-real) limita?

**Parte III — Filtragem.** O sinal amplificado carrega um zumbido de $50\,\mathrm{Hz}$ captado da rede elétrica.

15. Projete um passa-baixa ativo inversor de ganho $-1$ e corte em $10\,\mathrm{Hz}$ , usando $R_1 = R_2 = 16\,\mathrm{k}\Omega$ : encontre $C$ .
16. Calcule a sua atenuação a $50\,\mathrm{Hz}$ em decibéis.
17. Calcule a defasagem a $5\,\mathrm{Hz}$ e o atraso correspondente. Aceitável para um alarme?
18. Por que um [filtro ativo](#prop-b1-operational-amplifier-activelp) é preferível aqui a um RC passivo (duas razões)?
19. Um segundo estágio idêntico é posto em cascata: atenuação a $50\,\mathrm{Hz}$ ? Por que a regra do produto é exata aqui?

**Parte IV — Limiar e alarme.** O alarme deve disparar quando a deformação ultrapassar $1.6 \times 10^{-3}$.

20. A que [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de saída da cadeia isso corresponde? Um comparador com essa referência: estados da saída.
21. O sinal filtrado ainda carrega $50\,\mathrm{mV}$ de ruído perto do limiar. O que faz o comparador simples?
22. Um [gatilho de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) com a referência numa entrada e realimentação $\beta$ : mostre que os limiares valem $V_{\mathrm{ref}} \pm  \beta V_{\mathrm{sat}}$ ; escolha $\beta$ para $\pm0.10\,\mathrm{V}$ e dê $R_1$ , $R_2$ .
23. Enuncie os dois limiares em volts e em deformação.
24. A saída aciona um LED ( $2.0\,\mathrm{V}$ , $13\,\mathrm{mA}$ ) através de um [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) : calcule-o. O que protege o LED quando a saída está em $-V_{\mathrm{sat}}$ ?
25. Resuma a cadeia, estágio por estágio, e nomeie as duas não idealidades que fixam os seus limites reais.

**Solução de Problema 10.1.**

**1.** Dois divisores: $u = E[\tfrac12 - (1 + \epsilon)/(2 + \epsilon)]
\approx -E\epsilon/4$ ([Proposição 6.22](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#prop-b1-dc-circuits-wheatstone)); a ligação fixa o sinal.

**2.** $u = 5.00 \times 2.0\times10^{-3}/4 = 2.5\,\mathrm{mV}$.

**3.** $V_A = E/2 = 2.500\,\mathrm{V}$ sempre; $V_B = E(1 + \epsilon)/(2 +
\epsilon) \approx 2.500 + 0.0025 = 2.5025\,\mathrm{V}$ em fundo de escala. Os $2.5\,\mathrm{V}$ comuns aos dois são a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de modo comum.

**4.** Cada ponto médio: $1 \parallel 1 = 500\,\Omega$; entre os dois pontos médios, $1.0\,\mathrm{k}\Omega$.

**5.** $10/(10 + 1) = 0.91$: uma perda de $9\%$.

**6.** [Impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de entrada infinita (nenhuma corrente sai da ponte, de modo que os pontos médios conservam os seus potenciais em circuito aberto) e [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de saída nula (o estágio seguinte pode drenar o que precisar).

**7.** Exatamente $V_A$ e $V_B$; corrente nula.

**8.** Como em [Proposição 10.8](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff): $V_+ =
V_BR_2/(R_1 + R_2)$, [lei dos nós](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) em $V_-$, $V_- = V_+$.

**9.** $R_2 = 1.0\,\mathrm{M}\Omega$.

**10.** $1 + R_2/R_1 = 10$: por exemplo, $1\,\mathrm{k}\Omega$ e $9\,\mathrm{k}\Omega$. Ganho total $1000$; fundo de escala $2.5 \times 10^{-3} \times 1000 = 2.5\,\mathrm{V}$.

**11.** Casado: os $2.5\,\mathrm{V}$ comuns se cancelam exatamente (só $V_B - V_A$ sobrevive). Um descasamento de $1\%$ deixa passar cerca de $1\%$ deles: um erro referido à entrada da ordem de $25\,\mathrm{mV}$, dez vezes o sinal de fundo de escala — os quatro [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) precisam ser casados a melhor que $0.01\%$ (ou a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de modo comum removida antes).

**12.** $1\ \mathrm{mV} \times 1000 = 1\,\mathrm{V}$, quarenta por cento do fundo de escala: inutilizável sem ajuste de offset, sem um amplificador de baixo offset (chopper) ou sem uma calibração de zero com a viga descarregada.

**13.** Estágio 1: $f_T/100 = 10\,\mathrm{kHz}$; estágio 2: $100\,\mathrm{kHz}$; muito acima de $5\,\mathrm{Hz}$.

**14.** Exige-se $2.5/10^{-2} = 250\,\mathrm{V}/\mathrm{s} = 0.25\,\mathrm{mV}/\text{µ}\mathrm{s}$, duas mil vezes abaixo da [slew rate](#rem-b1-operational-amplifier-real): não.

**15.** $C = 1/(2\pi R_2f_c) = 1/(2\pi \times 1.6\times10^4 \times 10)
= 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**16.** $x = 5$: $G = 1/\sqrt{26}$, $-14\,\mathrm{dB}$.

**17.** $\varphi = -\arctan 0.5 = -27^\circ$; atraso $\varphi/\omega =
15\,\mathrm{ms}$ — nada diante da passagem de um caminhão.

**18.** Não carrega o estágio seguinte ([impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de saída nula) e há ganho disponível; além disso, não atenua o sinal desejado abaixo do corte.

**19.** $-28\,\mathrm{dB}$ (os ganhos se multiplicam, os decibéis se somam), exata porque a [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) de saída do primeiro estágio é nula: o segundo estágio não o carrega.

**20.** $\epsilon = 1.6\times10^{-3} \to u = 2.0\,\mathrm{mV} \to
2.0\,\mathrm{V}$; saída $+V_{\mathrm{sat}}$ quando o sinal ultrapassa $2.0\,\mathrm{V}$, e $-V_{\mathrm{sat}}$ abaixo (ou o inverso, conforme a ligação).

**21.** Ela trepida: a lâmpada pisca à medida que o ruído cruza a referência.

**22.** Com $V_{\mathrm{ref}}$ através de $R_2$ e a saída através de $R_1$: na forma padrão, a entrada não inversora fica em $V_{\mathrm{ref}}(1 - \beta) + \beta V_s$; tomando a referência deslocada de acordo, os níveis de comutação valem $V_{\mathrm{ref}} \pm \beta V_{\mathrm{sat}}$. De $\beta V_{\mathrm{sat}} = 0.10\,\mathrm{V}$: $\beta = 1/150$, por exemplo $R_1 =
1.0\,\mathrm{k}\Omega$, $R_2 = 149\,\mathrm{k}\Omega$.

**23.** $2.1\,\mathrm{V}$ (disparo) e $1.9\,\mathrm{V}$ (rearme): deformações $1.68 \times 10^{-3}$ e $1.52 \times 10^{-3}$.

**24.** $R = (15 - 2.0)/0.013 = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$. Em $-V_{\mathrm{sat}}$ o LED fica polarizado reversamente com $15\,\mathrm{V}$, além da sua especificação: um diodo comum em antiparalelo (ou em série) o protege.

**25.** Ponte ($2.5\,\mathrm{mV}$ de fundo de escala) $\to$ dois seguidores (sem carregamento) $\to$ [amplificador diferencial](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff) $\times100$ $\to$ não inversor $\times10$ $\to$ passa-baixa ativo de $10\,\mathrm{Hz}$ $\to$ [gatilho de Schmitt](#prop-b1-operational-amplifier-schmitt) em $2.0\,\mathrm{V} \pm 0.1\,\mathrm{V}$ $\to$ LED. Os limites reais: a [tensão de offset de entrada](#rem-b1-operational-amplifier-real) e o casamento dos [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) do [amplificador diferencial](#prop-b1-operational-amplifier-sumdiff), ambos comparáveis ao sinal de milivolts.