---
title: "Cinemática do ponto"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 11
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto
---

# Capítulo 11 — Cinemática do ponto

O carro de uma montanha-russa entra no loop a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, perde [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) ao subir, fica suspenso por um instante no alto e sai rugindo; os seus passageiros se sentem esmagados contra os assentos embaixo e quase sem peso no alto. Descrever esse passeio — onde está o carro, com que rapidez ele se move, como a sua [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) gira e muda — é cinemática, e exige mais que os $x$, $y$, $z$ de uma estrada reta: [coordenadas polares](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) para tudo o que gira, e um [referencial](#def-b1-point-kinematics-frame) que viaje com o próprio carro. Este capítulo monta essas ferramentas, demonstra as fórmulas da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) e da [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) em cada uma delas e as aplica aos movimentos a que todos os capítulos seguintes vão recorrer: circular, helicoidal, harmônico e o movimento ao longo de uma curva qualquer.

## 11.1 Posição, velocidade, aceleração

**Definição 11.1 (Referencial; posição; trajetória).**

Um *referencial* é um corpo rígido tomado como fixo (o laboratório, a Terra, um trem), acompanhado de um relógio. Um *ponto material* $M$ — um corpo cujo tamanho é irrelevante para o movimento estudado — é localizado a cada instante pelo seu *vetor posição* $\vect{OM}(t)$, a partir de uma origem $O$ presa ao referencial; a curva descrita por $M$ é a sua *trajetória*. O movimento é sempre movimento *relativo a um referencial*: o mesmo passageiro está em repouso no trem e em movimento na estação.

**Definição 11.2 (Velocidade e aceleração).**

A *velocidade* e a *aceleração* de $M$ no [referencial](#def-b1-point-kinematics-frame) são

$$
\vect v = \frac{\dd\vect{OM}}{\dd t}, \qquad
\vect a = \frac{\dd\vect v}{\dd t} = \frac{\dd^2\vect{OM}}{\dd t^2},
$$

derivadas de funções vetoriais: a derivada de um vetor se obtém derivando as suas componentes numa base *fixa no [referencial](#def-b1-point-kinematics-frame)*. A velocidade é tangente à [trajetória](#def-b1-point-kinematics-frame) e aponta no sentido do movimento; a sua norma $v$ é a *velocidade escalar*. Unidades: $\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Proposição 11.3 (Coordenadas cartesianas).**

Com uma base ortonormal fixa $(\vect e_x, \vect e_y, \vect e_z)$ e $\vect{OM} = x\,\vect e_x + y\,\vect e_y + z\,\vect e_z$,

$$
\vect v = \dot x\,\vect e_x + \dot y\,\vect e_y + \dot z\,\vect e_z, \qquad
\vect a = \ddot x\,\vect e_x + \ddot y\,\vect e_y + \ddot z\,\vect e_z,
$$

em que o ponto designa $\dd/\dd t$.

**Demonstração.** Os vetores da base são constantes; só as componentes variam. ∎

**Exemplo 11.4 (Projétil).**

Lançada de $O$ com [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v_0$ e ângulo $\alpha$ acima da horizontal, uma bola tem coordenadas (dinâmica, no próximo capítulo) $x = v_0\cos\alpha\,t$, $z = v_0\sin\alpha\,t - \tfrac12 gt^2$. Então $\vect v = v_0\cos\alpha\,\vect e_x + (v_0\sin\alpha - gt)\vect e_z$, $\vect a = -g\vect e_z$: a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) é constante enquanto a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) gira; no ápice ($\dot z = 0$, $t = v_0\sin\alpha/g$) a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) é horizontal e a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) perpendicular a ela. Eliminando $t$: $z = x\tan\alpha - gx^2/(2v_0^2\cos^2\alpha)$, uma parábola.

![A parábola de um projétil: a velocidade é tangente à trajetória e gira, e a aceleração g é constante. No ápice, velocidade e aceleração são perpendiculares: a velocidade escalar é momentaneamente estacionária enquanto a direção ainda muda.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-243698fae792.svg)

*A parábola de um projétil: a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) é tangente à [trajetória](#def-b1-point-kinematics-frame) e gira, e a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect g$ é constante. No ápice, [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) e [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) são perpendiculares: a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar é momentaneamente estacionária enquanto a direção ainda muda.*

## 11.2 Coordenadas cilíndricas

**Definição 11.5 (Coordenadas cilíndricas e base local).**

O ponto $M$ é localizado por $r \geq 0$ (distância ao eixo $z$), pelo ângulo $\theta$ que a sua projeção no plano $xy$ faz com $\vect e_x$ e por $z$: $\vect{OM} = r\,\vect e_r + z\,\vect e_z$, em que

$$
\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y, \qquad
\vect e_\theta = -\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y,
$$

e $\vect e_z$ formam a *base local* $(\vect e_r, \vect e_\theta,
\vect e_z)$, ortonormal e direta, que *acompanha $M$*. No plano ($z$ fixo) essas são as *coordenadas polares* $(r, \theta)$.

**Lema 11.6 (Derivadas da base local).**

$$
\frac{\dd\vect e_r}{\dd t} = \dot\theta\,\vect e_\theta, \qquad
\frac{\dd\vect e_\theta}{\dd t} = -\dot\theta\,\vect e_r, \qquad
\frac{\dd\vect e_z}{\dd t} = \vect 0 .
$$

**Demonstração.** Derive as componentes: $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta(-\sin\theta\,
\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y) = \dot\theta\vect e_\theta$, e analogamente para $\vect e_\theta$. A derivada de um vetor unitário que gira é perpendicular a ele e tem por norma a taxa angular. ∎

**Teorema 11.7 (Velocidade e aceleração em coordenadas cilíndricas).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + \dot z\,\vect e_z,
\qquad
\vect a = \big(\ddot r - r\dot\theta^2\big)\vect e_r
+ \big(r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta\big)\vect e_\theta + \ddot z\,\vect e_z .
$$

**Demonstração.** Derive $\vect{OM} = r\vect e_r + z\vect e_z$ com o lema: $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta + \dot z\vect e_z$. Derive de novo: $\ddot r\vect e_r + \dot r\dot\theta\vect e_\theta +
\dot r\dot\theta\vect e_\theta + r\ddot\theta\vect e_\theta - r\dot\theta^2
\vect e_r + \ddot z\vect e_z$; agrupe. ∎

![Coordenadas polares: a base local ( e_r, e_ ) gira com M; a velocidade tem uma parte radial r e uma parte ortorradial r. Aqui a trajetória (em vermelho) descreve uma espiral para fora, de modo que r > 0 e v se inclina para fora em relação à tangente ao círculo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-98a6b555635a.svg)

*[Coordenadas polares](#def-b1-point-kinematics-cylindrical): a [base local](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) $(\vect e_r, \vect e_\theta)$ gira com $M$; a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) tem uma parte radial $\dot r$ e uma parte ortorradial $r\dot\theta$. Aqui a [trajetória](#def-b1-point-kinematics-frame) (em vermelho) descreve uma espiral para fora, de modo que $\dot r > 0$ e $\vect v$ se inclina para fora em relação à tangente ao círculo.*

**Corolário 11.8 (Movimento circular).**

Num círculo de raio $R$ ($r = R$, $z = 0$), com *[velocidade angular](#cor-b1-point-kinematics-circular)* $\omega = \dot\theta$:

$$
\vect v = R\omega\,\vect e_\theta, \qquad
\vect a = -R\omega^2\,\vect e_r + R\dot\omega\,\vect e_\theta
= -\frac{v^2}{R}\,\vect e_r + \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect e_\theta .
$$

Para o [movimento circular](#cor-b1-point-kinematics-circular) *uniforme* ($\omega$ constante) a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) é puramente *centrípeta*, de norma $v^2/R = R\omega^2$, embora a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar seja constante.

**Demonstração.** Faça $\dot r = \ddot r = 0$ no teorema; $v = R\omega$. ∎

**Exemplo 11.9 (Dois círculos).**

Um carro faz uma rotatória de raio $20\,\mathrm{m}$ a $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): $a = v^2/R = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, meio $g$, dirigida para o centro — o que os pneus precisam fornecer. A Lua ($R = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $T = 27.3\,\mathrm{d}$): $\omega = 2\pi/T =
2.66 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $a = R\omega^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, um $3600$ avos de $g$ na superfície da Terra, a sessenta raios terrestres — a comparação que Newton fez ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#ch-b1-central-forces)).

## 11.3 Coordenadas esféricas

**Definição 11.10 (Coordenadas esféricas).**

O ponto $M$ é localizado pela sua distância $r = OM$, pela *colatitude* $\theta \in [0, \pi]$ entre $\vect{OM}$ e $\vect e_z$, e pelo *azimute* $\varphi$ da sua projeção no plano $xy$: $\vect{OM} = r\,\vect e_r$ com

$$
\vect e_r = \sin\theta\cos\varphi\,\vect e_x + \sin\theta\sin\varphi\,\vect e_y + \cos\theta\,\vect e_z ;
$$

$\vect e_\theta$ (tangente ao meridiano, no sentido de $\theta$ crescente) e $\vect e_\varphi$ (tangente ao paralelo) completam a base ortonormal local. Na Terra, $\theta$ é $90^\circ$ menos a latitude e $\varphi$ é a longitude.

**Proposição 11.11 (Velocidade em coordenadas esféricas).**

$$
\vect v = \dot r\,\vect e_r + r\dot\theta\,\vect e_\theta + r\sin\theta\,\dot\varphi\,\vect e_\varphi .
$$

**Demonstração.** $\dd\vect e_r/\dd t = \dot\theta\,\vect e_\theta + \sin\theta\,\dot\varphi\,
\vect e_\varphi$: o primeiro termo é a rotação no plano meridiano (como no caso polar), e o segundo a rotação em torno de $\vect e_z$, com taxa $\dot\varphi$, de um vetor cuja distância ao eixo vale $\sin\theta$. Então $\vect v = \dd(r\vect e_r)/\dd t$. A [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) não é necessária este ano. ∎

![Coordenadas esféricas (r, , ) e a sua base local: e_r radial, e_ ao longo do meridiano (rumo ao sul num globo), e_ ao longo do paralelo (rumo ao leste).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-64181e6f86ea.svg)

*[Coordenadas esféricas](#def-b1-point-kinematics-spherical) $(r, \theta, \varphi)$ e a sua [base local](#def-b1-point-kinematics-cylindrical): $\vect e_r$ radial, $\vect e_\theta$ ao longo do meridiano (rumo ao sul num globo), $\vect e_\varphi$ ao longo do paralelo (rumo ao leste).*

## 11.4 A base de Frenet

**Definição 11.12 (Abscissa curvilínea; base de Frenet).**

Ao longo de uma [trajetória](#def-b1-point-kinematics-frame), a *abscissa curvilínea* $s(t)$ é o comprimento de arco a partir de um ponto de referência, contado algebricamente; $v = \dot s$. Em $M$, a tangente unitária $\vect T = \dd\vect{OM}/\dd s$ aponta no sentido de $s$ crescente; o *raio de curvatura* $\rho > 0$ e a normal unitária $\vect N$, que aponta para o lado côncavo (o centro de curvatura), são definidos por

$$
\frac{\dd\vect T}{\dd s} = \frac{1}{\rho}\,\vect N .
$$

$(\vect T, \vect N)$ é a *base de Frenet*; $\rho = \infty$ numa reta e $\rho = R$ num círculo de raio $R$.

**Teorema 11.13 (Aceleração na base de Frenet).**

$$
\vect v = v\,\vect T, \qquad
\vect a = \frac{\dd v}{\dd t}\,\vect T + \frac{v^2}{\rho}\,\vect N .
$$

A componente *tangencial* $\dd v/\dd t$ mede a rapidez com que a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar muda; a componente *normal* $v^2/\rho$, sempre dirigida ao centro de curvatura, a rapidez com que a direção gira. O movimento é uniforme se e só se $\vect a \perp \vect v$; é retilíneo se e só se $\vect a \parallel \vect v$.

**Demonstração.** $\vect v = (\dd\vect{OM}/\dd s)(\dd s/\dd t) = v\vect T$. Então $\vect a =
\dot v\vect T + v\,\dd\vect T/\dd t = \dot v\vect T + v(\dd\vect T/\dd s)\dot s
= \dot v\vect T + (v^2/\rho)\vect N$. Que $\dd\vect T/\dd s \perp \vect T$ decorre de derivar $\vect T\cdot\vect T = 1$. ∎

![A base de Frenet num ponto de uma curva: T ao longo do movimento, N rumo ao centro de curvatura C. A aceleração se reparte numa parte tangencial v T (acelerar ou frear) e numa parte normal (v2/ ) N (girar).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/fig-d2a0e00237fa.svg)

*A [base de Frenet](#def-b1-point-kinematics-frenet) num ponto de uma curva: $\vect T$ ao longo do movimento, $\vect N$ rumo ao centro de curvatura $C$. A [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) se reparte numa parte tangencial $\dot v\vect T$ (acelerar ou frear) e numa parte normal $(v^2/\rho)\vect N$ (girar).*

**Exemplo 11.14 (Frear numa curva).**

Um carro a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) numa curva de raio $100\,\mathrm{m}$ freia a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $a_T = -2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_N = 625/100 =
6.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a = \sqrt{4 + 39} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. A parte normal domina: uma curva é antes de tudo um giro, e a aderência dos pneus (próximo capítulo) limita $\sqrt{a_T^2 + a_N^2}$, razão pela qual se freia *antes* da curva.

## 11.5 Movimentos de referência

**Proposição 11.15 (Movimento retilíneo uniformemente acelerado).**

Sobre um eixo, com $\ddot x = a$ constante, a partir de $x_0$ e $v_0$: $v = v_0 + at$, $x = x_0 + v_0t + \tfrac12 at^2$, e $v^2 - v_0^2 = 2a(x - x_0)$.

**Demonstração.** Integre duas vezes; elimine $t$ entre as duas primeiras relações. ∎

**Proposição 11.16 (Movimento helicoidal).**

$r = R$, $\theta = \omega t$, $z = v_zt$ (constantes $R$, $\omega$, $v_z$): a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar $v = \sqrt{R^2\omega^2 + v_z^2}$ é constante, a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) $\vect a = -R\omega^2\vect e_r$ é centrípeta e de norma constante, e o [raio de curvatura](#def-b1-point-kinematics-frenet) vale $\rho = v^2/a = R(1 + v_z^2/R^2\omega^2) > R$.

**Demonstração.** [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) com $\dot r = 0$, $\ddot\theta = 0$, $\ddot z = 0$; o movimento é uniforme, logo $\vect a$ é puramente normal e $v^2/\rho = R\omega^2$. ∎

**Proposição 11.17 (Movimento harmônico).**

$x = A\cos(\omega t + \varphi)$: $\dot x = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, $\ddot x = -\omega^2 x$. A [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) adianta a posição em um quarto de período e a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) é oposta à posição; $v_{\max} =
A\omega$, $a_{\max} = A\omega^2$. Esta é a projeção sobre um diâmetro de um [movimento circular](#cor-b1-point-kinematics-circular) uniforme de raio $A$ e [velocidade angular](#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega$.

**Demonstração.** Derive; para a projeção, tome $x = A\cos\theta$ com $\theta =
\omega t + \varphi$. ∎

**Método 11.18 (Escolhendo as coordenadas).**

- Movimento retilíneo ou parabólico, com [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante: cartesianas.
- Movimento em torno de um eixo ou de um ponto (círculos, espirais, órbitas, plataformas giratórias): cilíndricas/polares; a base se move, então use [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) , e nunca a derivação ingênua das componentes.
- Uma curva dada (pista, curva, loop) quando a lei da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) é conhecida: Frenet, que separa “com que rapidez” de “para que lado”.

Qualquer que seja a escolha, $\vect v$ e $\vect a$ são vetores dependentes do [referencial](#def-b1-point-kinematics-frame), e um resultado só é completo com o [referencial](#def-b1-point-kinematics-frame) nomeado.

## 11.6 Exercícios

**Exercício 11.1 ★.**

Um carro parte do repouso com $x(t) = 2.0\,t^2$ (unidades SI). [Velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) e [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) em $t = 3.0\,\mathrm{s}$; distância percorrida nos primeiros $5\,\mathrm{s}$; tempo para atingir $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Solução de Exercício 11.1.**

$v = 4.0t$: $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $3.0\,\mathrm{s}$; $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $x(5) = 50\,\mathrm{m}$; $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em $t = 27.8/4.0
= 6.9\,\mathrm{s}$.

**Exercício 11.2 ★.**

Um ponto se move num plano com $r = 2.0\,\mathrm{m}$ e $\theta = 3.0\,t$ (rad, SI). Dê $\vect v$ e $\vect a$ na base polar, as suas normas e a natureza do movimento.

**Solução de Exercício 11.2.**

$\dot r = 0$, $\dot\theta = 3.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $\vect v = r\dot\theta\,\vect e_\theta
= 6.0\,\vect e_\theta$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$); $\vect a = -r\dot\theta^2\vect e_r =
-18\,\vect e_r$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). [Movimento circular](#cor-b1-point-kinematics-circular) uniforme: [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar constante, [aceleração centrípeta](#cor-b1-point-kinematics-circular).

**Exercício 11.3 ★.**

Um ponto no equador ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, dia sideral $86\,164\,\mathrm{s}$): [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) e [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) no [referencial](#def-b1-point-kinematics-frame) geocêntrico. Compare a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) com $g$.

**Solução de Exercício 11.3.**

$v = 2\pi R/T = 2\pi \times 6.37\times10^6/86164 = 465\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = v^2/R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, ou seja, $g/290$.

**Exercício 11.4 ★.**

Uma bola é lançada com $v_0 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $\alpha = 40^\circ$; as suas coordenadas são as do [Exemplo 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile). Encontre o tempo até o ápice, a altura máxima, o alcance e a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) na chegada ao solo.

**Solução de Exercício 11.4.**

$v_0\sin\alpha = 7.71\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_0\cos\alpha = 9.19\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ápice em $t = 7.71/9.81 = 0.79\,\mathrm{s}$, altura $7.71^2/(2 \times 9.81) =
3.0\,\mathrm{m}$. Alcance $2 \times 9.19 \times 0.786 = 14.5\,\mathrm{m}$. Na chegada: $(9.19, -7.71)$, $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a $40^\circ$ abaixo da horizontal.

**Exercício 11.5 ★★.**

Um ciclista a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ entra numa curva de raio $25\,\mathrm{m}$ e acelera a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Dê $\vect a$ na [base de Frenet](#def-b1-point-kinematics-frenet) e a sua norma; e após $5\,\mathrm{s}$ da mesma [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) na mesma curva?

**Solução de Exercício 11.5.**

$a_T = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_N = 10^2/25 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a =
4.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Após $5\,\mathrm{s}$: $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $a_N = 225/25 =
9.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a = 9.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Exercício 11.6 ★★.**

Um ponto segue a espiral $r = b\theta$, $\theta = \omega t$ ($b$ e $\omega$ constantes). Calcule $\vect v$, a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar e $\vect a$ na base polar. De onde vem o termo $2\dot r\dot\theta$?

**Solução de Exercício 11.6.**

$r = b\omega t$, $\dot r = b\omega$, $\ddot r = 0$, $\dot\theta = \omega$: $\vect v = b\omega\,\vect e_r + b\omega^2 t\,\vect e_\theta$, $v = b\omega
\sqrt{1 + \omega^2t^2}$; $\vect a = -b\omega^3 t\,\vect e_r + 2b\omega^2\,
\vect e_\theta$. O termo $2\dot r\dot\theta$ tem duas metades iguais: a direção da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) radial gira com taxa $\dot\theta$ (dando $\dot r\dot\theta\,\vect e_\theta$), e afastar-se do centro aumenta a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) ortorradial $r\dot\theta$ (mais um $\dot r\dot\theta$).

**Exercício 11.7 ★★.**

Hélice: $R = 2.0\,\mathrm{m}$, $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $v_z = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar, [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity), passo da hélice, [raio de curvatura](#def-b1-point-kinematics-frenet).

**Solução de Exercício 11.7.**

$v = \sqrt{(2.0 \times 1.0)^2 + 0.5^2} = 2.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = R\omega^2 =
2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ rumo ao eixo; passo $v_z \times 2\pi/\omega =
3.1\,\mathrm{m}$; $\rho = v^2/a = 4.25/2.0 = 2.1\,\mathrm{m} > R$.

**Exercício 11.8 ★★.**

Um pistão se move como $x = 0.10\cos(10t)$ (SI). Dê $v_{\max}$, $a_{\max}$, as relações de fase entre $x$, $v$, $a$, e as posições em que $\abs v$ e $\abs a$ são maiores.

**Solução de Exercício 11.8.**

$v_{\max} = A\omega = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_{\max} = A\omega^2 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v$ adianta $x$ em um quarto de período, e $a = -\omega^2x$ é oposta a $x$. $\abs v$ é máximo em $x = 0$, e $\abs a$ nos extremos $x = \pm A$.

**Exercício 11.9 ★★.**

Partindo de $\vect e_r = \cos\theta\,\vect e_x + \sin\theta\,\vect e_y$, deduza $\dd\vect e_r/\dd t$ e $\dd\vect e_\theta/\dd t$, e em seguida a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) e a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) polares do [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**Solução de Exercício 11.9.**

$\dot{\vect e}_r = \dot\theta(-\sin\theta\,\vect e_x + \cos\theta\,\vect e_y)
= \dot\theta\,\vect e_\theta$; $\dot{\vect e}_\theta = \dot\theta(-\cos\theta\,
\vect e_x - \sin\theta\,\vect e_y) = -\dot\theta\,\vect e_r$. Então $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$, e derivar mais uma vez com a regra do produto dá a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) do [Teorema 11.7](#thm-b1-point-kinematics-cylindrical).

**Exercício 11.10 ★★★.**

Para o projétil do [Exemplo 11.4](#ex-b1-point-kinematics-projectile), encontre o [raio de curvatura](#def-b1-point-kinematics-frenet) da [trajetória](#def-b1-point-kinematics-frame) no ápice e no ponto de lançamento (use a componente normal de $\vect g$). Qual é menor, e por quê?

**Solução de Exercício 11.10.**

Ápice: $v = v_0\cos\alpha$, $a_N = g$: $\rho = v_0^2\cos^2\alpha/g$. Lançamento: $v = v_0$, $a_N = g\cos\alpha$: $\rho = v_0^2/(g\cos\alpha)$. O raio no ápice é menor por um fator $\cos^3\alpha$: a parábola se curva mais onde é mais lenta e onde todo o $\vect g$ é normal.

**Exercício 11.11 ★★★.**

Uma roda de raio $R$ rola sem escorregar com [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) $v$; um ponto do seu aro tem coordenadas $x = vt - R\sin(vt/R)$, $y = R - R\cos(vt/R)$ (uma cicloide). Calcule a sua [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) e a sua [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity); mostre que, quando ele toca o solo, a sua [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) se anula e a sua [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) vale $v^2/R$ para cima; encontre a sua [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar no topo.

**Solução de Exercício 11.11.**

$\dot x = v - v\cos(vt/R)$, $\dot y = v\sin(vt/R)$; $\ddot x = (v^2/R)
\sin(vt/R)$, $\ddot y = (v^2/R)\cos(vt/R)$. No solo ($vt/R = 2\pi n$): $\dot x = \dot y = 0$ e $\vect a = (0, v^2/R)$, para cima. No topo ($vt/R = \pi$): $\dot x = 2v$, $\dot y = 0$: [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar $2v$.

**Exercício 11.12 ★★★.**

Uma pessoa caminha para fora ao longo de um raio de uma plataforma que gira com $\omega$ constante, com [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante $u$ em relação à plataforma: $r = ut$, $\theta = \omega t$. Calcule $\vect a$ na base polar, identifique os dois termos e avalie-os para $u = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega = 1.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ em $t = 2.0\,\mathrm{s}$. Que termo não tem contrapartida para uma pessoa que caminha no solo?

**Solução de Exercício 11.12.**

$\ddot r = 0$, $\dot r = u$, $\dot\theta = \omega$: $\vect a = -ut\omega^2\,
\vect e_r + 2u\omega\,\vect e_\theta$. Em $t = 2.0\,\mathrm{s}$: $-2.0\,\vect e_r
+ 2.0\,\vect e_\theta$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). O primeiro é o termo centrípeto da rotação; o segundo, $2\dot r\dot\theta$, existe apenas porque a própria direção radial gira — no solo, caminhar em linha reta com [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) constante não dá [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) alguma.

![Um loop vertical (Yomiuriland, Tóquio): uma gota, e não um círculo, para que a curvatura seja máxima no alto, onde a velocidade é mínima — a geometria do problema de fim de semana. Fotografia: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-point-kinematics/img-427803100044.jpg)

*Um loop vertical (Yomiuriland, Tóquio): uma gota, e não um círculo, para que a curvatura seja máxima no alto, onde a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) é mínima — a geometria do problema de fim de semana. Fotografia: Jeremy Thompson, CC BY 2.0.*

## 11.7 Problema: o loop da montanha-russa

**Problema 11.1.**

Problema de fim de semana — um carro entra num loop vertical a noventa quilômetros por hora: onde ele perde velocidade, para onde aponta a sua aceleração, quantos $g$ os passageiros sentem e por que os loops modernos não são círculos

Um carro, tratado como um ponto $M$, percorre um loop circular vertical de raio $R = 10\,\mathrm{m}$ e centro $C$. A sua posição é dada pelo ângulo $\theta$ entre $\vect{CM}$ e a vertical descendente ($\theta =
0$ embaixo, $\pi$ no alto). O atrito é desprezado, e a lei da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) (deduzida no [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#ch-b1-work-and-energy)) é

$$
v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta),
$$

com $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) embaixo; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — Cinemática no círculo.**

1. Em [coordenadas polares](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) centradas em $C$ (com $\vect e_r$ de $C$ para $M$ ), escreva $\vect v$ e $\vect a$ para o movimento no círculo.
2. Identifique os vetores de Frenet $\vect T$ e $\vect N$ em termos de $\vect e_r$ e $\vect e_\theta$ , e o [raio de curvatura](#def-b1-point-kinematics-frenet) .
3. Calcule a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) escalar no alto e nos pontos laterais $\theta = \pi/2$ e $3\pi/2$ .
4. Derive a lei da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) em relação ao tempo para mostrar que a [aceleração tangencial](#thm-b1-point-kinematics-frenet) vale $a_T = -g\sin\theta$ . Interprete o seu sinal na subida e na descida.
5. Exprima a [aceleração normal](#thm-b1-point-kinematics-frenet) $a_N(\theta)$ e calcule-a embaixo, nos lados e no alto.
6. Dê a norma de $\vect a$ nos quatro pontos e o ângulo que ela faz com a vertical no alto.
7. Em que pontos $\vect a$ é perpendicular a $\vect v$ ? E paralelo?

**Parte II — Taxas angulares e tempos.**

8. Exprima $\dot\theta$ em função de $\theta$ e calcule-o embaixo e no alto.
9. Mostre que $\ddot\theta = -(g/R)\sin\theta$ (a equação de um pêndulo) e comente.
10. Para comparar, calcule o período das pequenas oscilações de um pêndulo simples de comprimento $R$ (o [Exemplo 1.8](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#ex-b1-units-dimensions-pendulum) deu a sua forma; $k = 2\pi$ ).
11. Estime o tempo para dar uma volta no loop, usando a média das [velocidades](#def-b1-point-kinematics-velocity) nos quatro pontos de referência.
12. A [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) mínima no alto para que o carro permaneça na pista (próximo capítulo) é $\sqrt{gR}$ . Ela é satisfeita? Que $v_0$ mínimo seria necessário?

**Parte III — O que os passageiros sentem.** O peso aparente por unidade de massa sentido por um passageiro vale $\vect a - \vect g$ (admitido aqui, deduzido no [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ch-b1-newton-dynamics)); a sua norma em unidades de $g$ é a “carga em $g$”.

13. Calcule a carga em $g$ embaixo.
14. Calcule-a no alto e diga contra o que o passageiro é pressionado (assento ou trava de segurança).
15. Calcule-a nos pontos laterais.
16. Os passageiros toleram cerca de $4g$ por pouco tempo. Este loop passa? Onde está o problema?
17. Mostre que, para um loop circular percorrido com a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) mínima que permite passar pelo alto (peso aparente nulo ali), a carga em $g$ embaixo vale necessariamente $6g$ , qualquer que seja $R$ .

**Parte IV — O loop em clotoide.** Os loops modernos têm forma de “gota”: o [raio de curvatura](#def-b1-point-kinematics-frenet) é grande embaixo e pequeno no alto.

18. Usando a forma de Frenet de $\vect a$ , explique por que variar $\rho$ ao longo da pista muda $a_N$ sem mudar a lei da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) (que depende apenas da altura).
19. Escolha $\rho_{\text{baixo}}$ de modo que a carga em $g$ embaixo seja $3g$ com $v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
20. No alto, a altura continua sendo $2R = 20\,\mathrm{m}$ acima do ponto mais baixo. Escolha $\rho_{\text{alto}}$ de modo que a carga em $g$ ali seja $1.5g$ .
21. Uma clotoide tem curvatura proporcional ao comprimento de arco, $1/\rho = s/A^2$ . Ao longo de uma entrada assim, com a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) quase constante, como cresce $a_N$ com o tempo, e por que isso é mais suave para o pescoço que um círculo (em que $a_N$ salta na entrada)?
22. Esboce qualitativamente a forma do loop resultante e resuma em duas frases por que ele substituiu o círculo.

**Parte V — Visto do solo.** Uma [câmera](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-camera) no nível do solo, a $50\,\mathrm{m}$ do centro do loop e no seu plano, acompanha o carro.

23. Quando o carro está no alto, movendo-se horizontalmente a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , com que taxa angular (rad/s) a [câmera](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-camera) deve girar? ( [Coordenadas polares](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) a partir da [câmera](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-camera) .)
24. Por que uma [câmera](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-camera) que gira com taxa constante acompanha mal um [movimento circular](#cor-b1-point-kinematics-circular) uniforme?
25. Resuma a lição do capítulo tirada do loop: que sistema de coordenadas respondeu a qual pergunta.

**Solução de Problema 11.1.**

**1.** $\vect v = R\dot\theta\,\vect e_\theta$; $\vect a = -R\dot\theta^2
\,\vect e_r + R\ddot\theta\,\vect e_\theta$.

**2.** $\vect T = \vect e_\theta$ (movimento com $\theta$ crescente), $\vect N = -\vect e_r$ (rumo a $C$), $\rho = R$.

**3.** Alto: $v^2 = 625 - 392 = 233$, $v = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Lados: $625 - 196 = 429$, $v = 20.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**4.** $2v\dot v = -2gR\sin\theta\,\dot\theta$ e $v = R\dot\theta$: $\dot v = -g\sin\theta$. Negativa para $0 < \theta < \pi$ (perde [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) na subida) e positiva na descida.

**5.** $a_N = v^2/R = v_0^2/R - 2g(1 - \cos\theta)$: embaixo $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; lados $62.5 - 19.6 = 42.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; alto $62.5 -
39.2 = 23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**6.** Embaixo: $62.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (sem parte tangencial); lados: $\sqrt{42.9^2 + 9.81^2} = 44.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; alto: $23.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, apontando verticalmente para baixo, rumo a $C$: ângulo $0$ com a vertical.

**7.** Perpendicular embaixo e no alto ($a_T = 0$); nunca paralelo ($a_N > 0$ em toda parte).

**8.** $\dot\theta = v/R = \sqrt{v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)}/R$: embaixo $2.50\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, no alto $1.53\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**9.** $\ddot\theta = \dot v/R = -(g/R)\sin\theta$: a equação de um pêndulo simples de comprimento $R$ — o carro na sua pista é um pêndulo que passa por cima do ponto de suspensão.

**10.** $2\pi\sqrt{R/g} = 2\pi\sqrt{10/9.81} = 6.3\,\mathrm{s}$.

**11.** Média de $25$, $20.7$, $15.3$, $20.7$: cerca de $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; comprimento $2\pi R = 63\,\mathrm{m}$: aproximadamente $3\,\mathrm{s}$.

**12.** $\sqrt{gR} = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 15.3$: sim. Mínimo: $v_0^2 \geq
gR + 4gR = 5gR = 490$, $v_0 \geq 22.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**13.** Embaixo: $\vect a = 62.5$ para cima, $\vect g$ para baixo: $\abs{\vect a - \vect g} = 62.5 + 9.8 = 72.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 7.4g$.

**14.** No alto: ambos para baixo, $23.3 - 9.8 = 13.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 1.4g$, pressionando o passageiro contra o assento (rumo ao centro, isto é, para cima para o passageiro de cabeça para baixo).

**15.** Lados: $\vect a = 42.9$ horizontal rumo a $C$ mais $9.8$ para baixo (tangencial); $\vect a - \vect g$ vale $42.9$ na horizontal: $4.4g$ lateralmente, rumo ao centro.

**16.** Reprovado: $7.4g$ embaixo (o alto e os lados estão bem).

**17.** Peso aparente nulo no alto: $v_{\text{alto}}^2 = gR$; então $v_0^2 = gR + 4gR = 5gR$, $a_N = 5g$ embaixo e a carga vale $5g + g = 6g$, independentemente de $R$.

**18.** $a_N = v^2/\rho$: $v$ é fixado pela altura (energia), e $\rho$ pela geometria da pista; um $\rho$ diferente na mesma altura muda $a_N$ sozinho.

**19.** $a_N + g = 3g$: $a_N = 2g$, $\rho = v_0^2/2g = 625/19.6 =
32\,\mathrm{m}$.

**20.** $v_{\text{alto}} = 15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_N - g = 1.5g$: $a_N =
24.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $\rho = 233/24.5 = 9.5\,\mathrm{m}$.

**21.** $a_N = v^2/\rho = v^2s/A^2 = v^3t/A^2$: ela cresce linearmente a partir de zero — uma taxa constante de variação da [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) — em vez de saltar de $0$ a $v^2/R$ na entrada de um círculo, o que o pescoço sente como um golpe.

**22.** Uma gota: larga e de curvatura suave embaixo, onde o carro é rápido, e apertada no alto, onde ele é lento. Ela mantém a carga perto de $3g$ ao longo de todo o percurso e a impõe de modo gradual.

**23.** Linha de visada: distância horizontal $50\,\mathrm{m}$, altura $20\,\mathrm{m}$: $r = 53.9\,\mathrm{m}$, elevação $\beta = 21.8^\circ$. A componente transversal da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) horizontal vale $v\sin\beta = 15 \times
0.371 = 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\dot\theta = 5.6/53.9 = 0.10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**24.** Visto de um ponto fora do centro, a taxa angular da linha de visada não é constante (rápida quando o carro está perto, lenta quando está longe): uma [câmera](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-camera) de taxa constante se desvia do carro.

**25.** [Coordenadas polares](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) em $C$ para a [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity) e a [aceleração](#def-b1-point-kinematics-velocity) no círculo; a decomposição de Frenet para “acelerar” contra “girar” e para a clotoide; [coordenadas polares](#def-b1-point-kinematics-cylindrical) na [câmera](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-camera) para a taxa de acompanhamento; a energia (próximos capítulos) para a lei da [velocidade](#def-b1-point-kinematics-velocity).