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title: "As leis de Newton da dinâmica"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 12
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica
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# Capítulo 12 — As leis de Newton da dinâmica

Um paraquedista sai do avião e, em uma dezena de segundos, para de acelerar: a duzentos quilômetros por hora o ar empurra de volta exatamente com a mesma [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) com que a Terra puxa. Um carro faz uma curva rápido demais e os pneus cedem; um caminhão numa estrada de serra sobe em marcha reduzida, segurado pelo mesmo atrito que lhe permite parar no plano. A cinemática descreveu movimentos; a dinâmica os explica, a partir de uma única lei que liga a aceleração de um corpo às [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) que agem sobre ele. Este capítulo enuncia as três [leis de Newton](#thm-b1-newton-dynamics-laws), cataloga as [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) que se encontram no nível deste volume — peso, molas, fios, contatos, [atrito seco](#prop-b1-newton-dynamics-friction) e fluido — e mostra como ir de um desenho das [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) até uma equação diferencial e a sua solução.

![A Estação Espacial Internacional vista do ônibus espacial que se afasta (NASA): tudo a bordo está em queda livre em conjunto, e é por isso que nada a bordo parece pesar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/img-58b3db574027.jpg)

*A Estação Espacial Internacional vista do ônibus espacial que se afasta (NASA): tudo a bordo está em queda livre em conjunto, e é por isso que nada a bordo parece pesar.*

## 12.1 Massa, quantidade de movimento e as três leis

**Definição 12.1 (Massa, quantidade de movimento, força).**

Um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) tem uma *massa inercial* $m > 0$ (quilogramas), uma medida da sua resistência às variações de velocidade, independente do [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame). A sua *quantidade de movimento* num [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) vale

$$
\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).
$$

Uma *força* $\vect F$ (newtons) é a ação de outro corpo sobre o [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame); as forças se somam como vetores, e a *resultante* é a sua soma $\sum\vect F$.

**Teorema 12.2 (Leis de Newton).**

1. *Princípio da inércia.* Existem referenciais, ditos *inerciais* (ou galileanos), nos quais um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) submetido a nenhuma [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) , ou a [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de resultante nula, se move em linha reta com velocidade constante. Todo [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) em translação retilínea uniforme em relação a um [referencial inercial](#thm-b1-newton-dynamics-laws) é inercial.
2. *Lei da [quantidade de movimento](#def-b1-newton-dynamics-momentum).* Num [referencial inercial](#thm-b1-newton-dynamics-laws), $$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{isto é,}\qquad  m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ para massa constante } m .$$
3. *[Ação e reação](#thm-b1-newton-dynamics-laws).* Se o corpo $A$ exerce $\vect F_{A\to B}$ sobre o corpo $B$ , então $B$ exerce $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ sobre $A$ , ao longo da reta que os une.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 12.3 (O que as leis dizem).**

A primeira lei não é um caso particular da segunda: ela *define* os referenciais em que a segunda vale. Na prática um laboratório na Terra é inercial com excelente precisão para experimentos que duram minutos (o [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/18-referenciais-nao-inerciais-dinamica-na-terra#ch-b1-non-inertial-frames) quantifica o erro); um [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) ligado ao Sol e às estrelas distantes é ainda melhor. A segunda lei é uma equação vetorial: três equações escalares, uma por eixo, e a escolha dos eixos ([Capítulo 11](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#ch-b1-point-kinematics)) é a primeira decisão de todo problema. A terceira lei vale a cada instante para as [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de contato e gravitacionais deste volume.

**Definição 12.4 (Sistema fechado; conservação da quantidade de movimento).**

Um *sistema fechado* não troca matéria com o exterior. Para um sistema de [pontos materiais](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame), as [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) internas se cancelam aos pares (terceira lei), e a [quantidade de movimento](#def-b1-newton-dynamics-momentum) total $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ obedece a $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$: ela se conserva quando as [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) externas se anulam (o [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#ch-b1-systems-of-points) desenvolve isso).

## 12.2 As forças usuais

**Proposição 12.5 (Peso e gravitação).**

Perto da superfície da Terra um corpo de [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ é puxado pelo seu *peso* $\vect P = m\vect g$, sendo $\vect g$ o [campo gravitacional](#prop-b1-newton-dynamics-weight) local, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dirigido para baixo (rumo ao centro, com ótima aproximação). Mais geralmente, uma [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $M$ à distância $r$ atrai $m$ com $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#ch-b1-central-forces)); na superfície de uma esfera de raio $R$, $g = GM/R^2$. Note a unidade: $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ e $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ são a mesma coisa, e é por isso que todos os corpos caem do mesmo jeito.

**Demonstração.** A lei da gravitação de Newton é admitida e explorada no [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#ch-b1-central-forces); $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times
5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. ∎

**Proposição 12.6 (Mola; fio).**

Uma mola ideal de constante elástica $k$ e comprimento natural $\ell_0$, esticada até o comprimento $\ell$ ao longo do vetor unitário $\vect u$ que aponta da sua extremidade fixa para o corpo, exerce sobre o corpo a *[força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) restauradora*

$$
\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{lei de Hooke}),
$$

rumo ao seu comprimento natural. Um fio ideal (sem [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum), inextensível) exerce uma *tensão* $\vect T$ ao longo de si mesmo, puxando, de mesmo módulo nas duas extremidades e em todo o seu comprimento (mesmo passando por uma polia sem [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) e sem atrito).

**Demonstração.** A [lei de Hooke](#prop-b1-newton-dynamics-springstring) é um modelo empírico válido para pequenas deformações. O fio: um elemento sem [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) obedece a $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ pela segunda lei de Newton, de modo que a tensão é transmitida sem alteração. ∎

**Proposição 12.7 (Forças de contato: reação normal e atrito seco).**

Uma superfície sólida exerce sobre um corpo que a toca uma *[reação normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction)* $\vect N$, perpendicular à superfície e repulsiva ($N \geq 0$: uma superfície não pode puxar), e uma *[força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de atrito* tangencial $\vect T$. Leis de Coulomb: se o corpo não desliza, $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (o atrito *estático* se ajusta ao que for necessário, até esse limite); se ele desliza com velocidade $\vect v_g$ em relação à superfície, $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (atrito *cinético*, que se opõe ao deslizamento), com $\mu_d \leq \mu_s$ coeficientes da ordem de $0.1$ a $1$ conforme os materiais, independentes da área de contato e da velocidade.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![À esquerda: as forças sobre um bloco num plano inclinado — peso, reação normal, atrito ao longo da superfície — e os eixos naturais. À direita: as leis de Coulomb: em repouso o atrito equilibra a força aplicada até _sN; assim que o deslizamento começa ele cai para _dN e ali permanece.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-73cfb08faca4.svg)

![À esquerda: as forças sobre um bloco num plano inclinado — peso, reação normal, atrito ao longo da superfície — e os eixos naturais. À direita: as leis de Coulomb: em repouso o atrito equilibra a força aplicada até _sN; assim que o deslizamento começa ele cai para _dN e ali permanece.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-affff72c115b.svg)

*À esquerda: as [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) sobre um bloco num plano inclinado — peso, [reação normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction), atrito ao longo da superfície — e os eixos naturais. À direita: as leis de Coulomb: em repouso o atrito equilibra a [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) aplicada até $\mu_sN$; assim que o deslizamento começa ele cai para $\mu_dN$ e ali permanece.*

**Proposição 12.8 (Atrito fluido).**

Um corpo que se move com velocidade $\vect v$ através de um fluido em repouso sente um *arrasto* oposto a $\vect v$: em baixa velocidade (corpo pequeno, fluido viscoso) ele é linear, $\vect F = -\alpha\vect v$ — para uma esfera de raio $r$ num fluido de viscosidade $\eta$, $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes); em alta velocidade (corpos grandes e rápidos no ar ou na água) ele é quadrático,

$$
\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,
$$

com $\rho$ a densidade do fluido, $S$ a seção do corpo voltada para o escoamento e $C_x$ um *coeficiente de arrasto* [adimensional](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-dimension) ($0.5$ para uma esfera, $0.3$ para um carro, $1$ para um disco plano). O número de Reynolds $\rho vL/\eta$ ([Observação 1.10](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#rem-b1-units-dimensions-pi)) decide: linear abaixo de $1$, quadrático acima de cerca de $1000$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 12.9 (Outras forças).**

O empuxo (Arquimedes) é uma resultante de [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de pressão, deduzida no [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos#ch-b1-fluid-statics); as [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) elétrica e magnética sobre uma carga são assunto do [Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/17-particulas-carregadas-em-campos-e-e-b#ch-b1-charged-particles). Todas as [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) deste capítulo são *modelos* de interações de contato ou de campo, válidos dentro de limites declarados — a mola de Hooke arrebenta, o atrito de Coulomb falha sob alta pressão, o arrasto de Stokes falha em alta velocidade. Parte de toda solução é verificar que o modelo usado se aplica.

## 12.3 Resolvendo um problema de dinâmica

**Método 12.10 (Da situação à equação).**

1. *Sistema* : nomeie o corpo tratado como um ponto.
2. *[Referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame)* : nomeie-o e verifique que é inercial (ou trate-o como tal com a precisão exigida).
3. *[Forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum)* : liste todo corpo que toca ou atrai o sistema e desenhe cada [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) num esquema (o diagrama de [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) ); nada mais entra.
4. *Coordenadas* : escolha eixos adaptados ao movimento ( [Método 11.18](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#met-b1-point-kinematics-choose) ) e exprima $\vect a$ .
5. *Projete* $m\vect a = \sum\vect F$ nos eixos; use os vínculos (um corpo sobre uma superfície permanece nela: $a_\perp = 0$ ; um fio de comprimento fixo: velocidades iguais nas duas extremidades).
6. *Resolva* e *verifique* : dimensões, casos-limite, sinais ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ se em repouso).

**Exemplo 12.11 (Bloco num plano inclinado).**

Bloco de [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ num plano inclinado de $\alpha$, com coeficientes $\mu_s$, $\mu_d$. Eixos: $x$ descendo a rampa, $y$ ao longo da normal. Peso $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$, reação $(0, N)$, atrito $(-T, 0)$ se ele desliza para baixo. Ao longo de $y$: $N = mg\cos\alpha$. Em repouso, ao longo de $x$: $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$, isto é, $\tan\alpha
\leq \mu_s$: o bloco se sustenta até o ângulo $\arctan\mu_s$ — uma medida de $\mu_s$ que dispensa balança. Deslizando: $ma = mg\sin\alpha -
\mu_dmg\cos\alpha$, logo $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$, independente de $m$: $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ para $\alpha = 30^\circ$, $\mu_d = 0.2$.

**Exemplo 12.12 (O pêndulo simples).**

[Massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ num fio de comprimento $\ell$, com ângulo $\theta$ em relação à vertical descendente. [Coordenadas polares](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-cylindrical) no ponto de suspensão: $\vect a =
-\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$; [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum): peso $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ e tensão $-T\vect e_r$. Ao longo de $\vect e_\theta$: $m\ell\ddot\theta =
-mg\sin\theta$,

$$
\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,
$$

que para pequenos ângulos ($\sin\theta \approx \theta$) é a equação harmônica com $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$: período $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$, o $k = 2\pi$ que o [Exemplo 1.8](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#ex-b1-units-dimensions-pendulum) não pôde fornecer. Ao longo de $\vect e_r$: $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — o fio puxa com mais [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) embaixo, onde a velocidade é maior.

![À esquerda: o pêndulo simples, as suas duas forças e a base polar usada para projetar a lei de Newton. À direita: um corpo que cai do repouso sob o seu peso e uma força de arrasto: a velocidade se aproxima da velocidade limite v_∈fty, exponencialmente no arrasto linear (= m/), como uma tangente hiperbólica no arrasto quadrático (= v_∈fty/g).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-42aff5404e26.svg)

![À esquerda: o pêndulo simples, as suas duas forças e a base polar usada para projetar a lei de Newton. À direita: um corpo que cai do repouso sob o seu peso e uma força de arrasto: a velocidade se aproxima da velocidade limite v_∈fty, exponencialmente no arrasto linear (= m/), como uma tangente hiperbólica no arrasto quadrático (= v_∈fty/g).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-b77434446f1e.svg)

*À esquerda: o [pêndulo simples](#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), as suas duas [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) e a base polar usada para projetar a lei de Newton. À direita: um corpo que cai do repouso sob o seu peso e uma [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de arrasto: a velocidade se aproxima da [velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_\infty$, exponencialmente no arrasto linear ($\tau = m/\alpha$), como uma tangente hiperbólica no arrasto quadrático ($\tau = v_\infty/g$).*

**Proposição 12.13 (Queda com arrasto; velocidade limite).**

Um corpo de [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ que cai do repouso sob o seu peso e uma [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de arrasto atinge uma *[velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal)* em que os dois se equilibram. Arrasto linear: $m\dot v = mg - \alpha v$, $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ com $v_\infty = mg/\alpha$, $\tau = m/\alpha$. Arrasto quadrático: $m\dot v = mg -
\tfrac12\rho C_xSv^2$, $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ com

$$
v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .
$$

**Demonstração.** Linear: uma equação de primeira ordem, $\tau\dot v + v = v_\infty$ ([Teorema 7.2](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#thm-b1-transient-regimes-firstorder)). Quadrático: com $u = v/v_\infty$, $\dot u = (1 - u^2)/\tau$; separando as variáveis, $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (a fração racional $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ se integra em $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$), logo $u = \tanh(t/\tau)$. ∎

**Exemplo 12.14 (Duas velocidades limites).**

Um paraquedista, $m = 80\,\mathrm{kg}$, de barriga para baixo, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ no ar ($\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2
\times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, alcançada (a $90\%$) em cerca de $1.5\tau =
6\,\mathrm{s}$. Uma gotícula de neblina, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$, em regime de Stokes ($\eta_{\text{ar}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$): $v_\infty = mg/6\pi\eta r =
1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — e é por isso que a neblina fica suspensa no ar.

## 12.4 Movimento num círculo: forças de vínculo

**Proposição 12.15 (Exigência centrípeta).**

Um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) que se move num círculo de raio $R$ com velocidade $v$ deve receber da resultante das [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) uma componente $mv^2/R$ dirigida ao centro. O que quer que a forneça — a tensão de um fio, o atrito, a reação de uma pista sobrelevada, a gravidade — fixa a velocidade máxima ou a velocidade mínima com que o movimento é possível.

**Demonstração.** Segunda lei de Newton com a aceleração de Frenet: a componente normal de $\sum\vect F$ vale $mv^2/\rho$. ∎

**Exemplo 12.16 (Três círculos).**

*Curva plana*: o atrito deve fornecer $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$, logo $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$: $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $R = 50\,\mathrm{m}$, $\mu_s = 0.8$. *Curva sobrelevada* de ângulo $\beta$, sem atrito: a reação $\vect N$ é normal à pista; na vertical $N\cos\beta = mg$, na horizontal $N\sin\beta = mv^2/R$, logo $v^2 = gR\tan\beta$ — a única velocidade com que a curva é feita sem atrito algum. *Loop*: no alto, com $\vect N$ apontando para baixo, rumo ao centro, $N + mg =
mv^2/R$, e $N \geq 0$ exige $v \geq \sqrt{gR}$: abaixo disso, o carro deixa a pista (o [Problema 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#pb-b1-point-kinematics-1) de novo, agora explicado).

![Uma curva sobrelevada vista em corte: sem atrito, a reação normal da pista precisa ao mesmo tempo sustentar o carro e empurrá-lo rumo ao centro; a componente horizontal N fornece mv2/R, o que acontece a exatamente uma velocidade, v = √gR.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/fig-403a2e0ef6fd.svg)

*Uma curva sobrelevada vista em corte: sem atrito, a [reação normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction) da pista precisa ao mesmo tempo sustentar o carro e empurrá-lo rumo ao centro; a componente horizontal $N\sin\beta$ fornece $mv^2/R$, o que acontece a exatamente uma velocidade, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$.*

## 12.5 Exercícios

**Exercício 12.1 ★.**

Uma pessoa de [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $70\,\mathrm{kg}$ está sobre uma balança num elevador. O que a balança indica (em newtons e em “quilogramas”) quando o elevador acelera para cima a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, para baixo a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, move-se com velocidade constante e cai livremente?

**Solução de Exercício 12.1.**

Leitura da balança $N = m(g + a)$, com $a$ a aceleração para cima: subindo, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (“$84\,\mathrm{kg}$”); descendo, $70 \times 7.81 =
547\,\mathrm{N}$ (“$56\,\mathrm{kg}$”); velocidade constante, $687\,\mathrm{N}$ ($70\,\mathrm{kg}$); queda livre, $0$.

**Exercício 12.2 ★.**

Um bloco $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ sobre uma mesa sem atrito é ligado por um fio que passa por uma polia sem atrito a uma [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) pendurada $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. Encontre a aceleração e a tensão.

**Solução de Exercício 12.2.**

Mesma aceleração $a$ para os dois (fio inextensível): $m_1a = T$, $m_2a = m_2g - T$, logo $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$.

**Exercício 12.3 ★.**

Um bloco desliza por um plano inclinado de $30^\circ$ com $\mu_d = 0.20$. Calcule a sua aceleração e a sua velocidade após $5.0\,\mathrm{m}$ a partir do repouso. A resposta depende da sua [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum)?

**Solução de Exercício 12.3.**

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Nenhuma [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) à vista.

**Exercício 12.4 ★.**

Uma [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de $0.50\,\mathrm{kg}$ pende de uma mola de constante elástica $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$. Encontre o alongamento estático; depois a [frequência angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e o período das suas oscilações verticais em torno do equilíbrio (mostre que a equação do movimento é harmônica).

**Solução de Exercício 12.4.**

$k\Delta\ell = mg$: $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$. Com $x$ o deslocamento em relação ao equilíbrio, $m\ddot x = -kx$ (o peso e o alongamento estático se cancelam): $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 0.31\,\mathrm{s}$.

**Exercício 12.5 ★★.**

Uma caixa está sobre uma plataforma inclinável; ela começa a deslizar a $22^\circ$. Encontre $\mu_s$. Um carro numa pista plana com $\mu_s = 0.80$: velocidade máxima numa curva de raio $50\,\mathrm{m}$, e numa pista molhada com $\mu_s = 0.40$.

**Solução de Exercício 12.5.**

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$. Curva: $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$: $\sqrt{0.8
\times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$); molhada, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**Exercício 12.6 ★★.**

[Velocidades limites](#prop-b1-newton-dynamics-terminal): um paraquedista ($m = 80\,\mathrm{kg}$, $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$, $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); uma gotícula de neblina de raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ no ar ($\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$), usando a [lei de Stokes](#prop-b1-newton-dynamics-drag). Verifique com um número de Reynolds que cada regime é o correto.

**Solução de Exercício 12.6.**

Paraquedista: $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5}
\approx 10^6$: quadrático. Gotícula: $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$, $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$: linear.

**Exercício 12.7 ★★.**

Um pêndulo de comprimento $\ell$ é solto do repouso em $\theta_0 = 60^\circ$. Dado que a sua velocidade embaixo vale $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ (energia, próximo capítulo), encontre a tensão do fio embaixo, em unidades de $mg$, e no ponto de soltura.

**Solução de Exercício 12.7.**

Embaixo: $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$; $T = mg + mv^2/\ell =
2mg$. Ponto de soltura: $v = 0$, $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$.

**Exercício 12.8 ★★.**

Uma curva de raio $200\,\mathrm{m}$ é sobrelevada de $15^\circ$. Com que velocidade ela pode ser feita sem atrito algum? O que o atrito deve fazer em velocidades menores e maiores?

**Solução de Exercício 12.8.**

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Mais devagar: o carro tende a escorregar rampa abaixo, e o atrito deve apontar rampa acima; mais depressa: o atrito aponta rampa abaixo para acrescentar [força centrípeta](#prop-b1-newton-dynamics-centripetal).

**Exercício 12.9 ★★.**

Um pêndulo cônico: uma [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) num fio de comprimento $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ descreve um círculo horizontal, com o fio formando $30^\circ$ com a vertical. Encontre a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular), o período e a tensão (em unidades de $mg$).

**Solução de Exercício 12.9.**

$T\cos\alpha = mg$, $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$: $\omega =
\sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, período $1.9\,\mathrm{s}$; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$.

**Exercício 12.10 ★★★.**

Um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ atinge $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a partir do repouso em $8.0\,\mathrm{s}$ com aceleração constante. Encontre a [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) resultante e o [coeficiente de atrito](#prop-b1-newton-dynamics-friction) mínimo entre os pneus de tração e a pista, supondo que as rodas de tração suportem todo o peso. O que limita um carro esportivo numa pista molhada?

**Solução de Exercício 12.10.**

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $F = 3.5\,\mathrm{kN}$; de $F \leq \mu_smg$ vem $\mu_s \geq a/g = 0.35$. Numa pista molhada $\mu_s \approx 0.4$ limita a aceleração perto de $0.4g$, qualquer que seja o motor: é aderência, não potência.

**Exercício 12.11 ★★★.**

Um corpo cai do repouso com arrasto linear, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$. Escreva $v(t)$ e deduza a distância percorrida $z(t)$; calcule $v_\infty$ e $z$ após $2.0\,\mathrm{s}$; compare com a queda livre.

**Solução de Exercício 12.11.**

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$, $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$. Em $2.0\,\mathrm{s}$: $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$, contra $\tfrac12 gt^2
= 20\,\mathrm{m}$ no vácuo.

**Exercício 12.12 ★★★.**

Um carro de [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m$ percorre o interior de um loop circular vertical de raio $R$ ([Problema 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#pb-b1-point-kinematics-1)). Exprima a [reação normal](#prop-b1-newton-dynamics-friction) da pista em função do ângulo $\theta$ medido a partir do ponto mais baixo e da velocidade $v(\theta)$; deduza a velocidade mínima no alto; usando $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$, encontre a velocidade mínima de entrada e a reação embaixo nesse caso.

**Solução de Exercício 12.12.**

Projeção radial (rumo ao centro): $N - mg\cos\theta = mv^2/R$, logo $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$. No alto ($\theta = \pi$): $N = m(v^2/R - g)
\geq 0$ se e só se $v \geq \sqrt{gR}$. Com a lei da velocidade, $v_{\text{alto}}^2 =
v_0^2 - 4gR \geq gR$: $v_0 \geq \sqrt{5gR}$; então, embaixo, $N =
m(5g + g) = 6mg$.

![Queda livre com ar: após alguns segundos o arrasto quadrático equilibra o peso e o paraquedista cai a uma velocidade limite próxima de 200\, km/ h — o problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-newton-dynamics/img-56eb68ace300.jpg)

*Queda livre com ar: após alguns segundos o arrasto quadrático equilibra o peso e o paraquedista cai a uma [velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) próxima de $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — o problema de fim de semana.*

## 12.6 Problema: o paraquedista

**Problema 12.1.**

Problema de fim de semana — da porta do avião até o solo: queda livre, o ar que empurra de volta, um velame que se abre depressa demais e a aterrissagem — uma lei do movimento, duas leis de arrasto

Um paraquedista com equipamento tem [massa](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m = 80\,\mathrm{kg}$. Ar: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$. Caindo de barriga para baixo, $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$; sob o velame aberto, $C_xS =
25\,\mathrm{m}^{2}$. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $z$ é contado para baixo a partir do ponto de salto.

**Parte I — Sem ar.**

1. Escreva a segunda lei de Newton e dê $v(t)$ e $z(t)$ ; calcule ambos em $t = 10\,\mathrm{s}$ .
2. Calcule o peso.
3. O paraquedista se sente “sem peso” durante essa fase, embora a gravidade aja plenamente. Explique pelas [forças](#def-b1-newton-dynamics-momentum) (o que falta em comparação com estar de pé no solo).
4. O [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) da Terra é suficientemente inercial para este problema? Nomeie o que está sendo desprezado.

**Parte II — Caindo através do ar.**

5. Escreva a [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de arrasto na queda de barriga para baixo em função de $v$ .
6. Escreva a equação de movimento para $v(t)$ .
7. Encontre a [velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) $v_\infty$ (em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
8. Com $u = v/v_\infty$ e $\tau = v_\infty/g$ , mostre que $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; calcule $\tau$ .
9. Resolva por separação de variáveis e mostre que $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
10. Após quanto tempo $v = 0.9v_\infty$ ? E $0.99v_\infty$ ?
11. Mostre que $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ e calcule a distância percorrida em $t = 10\,\mathrm{s}$ ; compare com a Parte I.
12. Estime o número de Reynolds em $v_\infty$ com $L = 0.5\,\mathrm{m}$ e justifique a lei quadrática.

**Parte III — O velame se abre.**

13. Calcule a nova [velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) sob o velame aberto.
14. Se o velame abrisse instantaneamente a $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , qual seria a desaceleração, em $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ e em $g$ ? Por que isso é inaceitável?
15. Os velames reais se abrem em cerca de $3\,\mathrm{s}$ . Estime a desaceleração média e a [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) média do arnês sobre o paraquedista.
16. Uma vez plenamente aberto o velame, a velocidade decai rumo à nova $v_\infty$ : qual é a nova [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau' = v_\infty'/g$ , e o que ela significa para a aproximação à descida estacionária?
17. Na descida estacionária, qual é a [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) do arnês? Justifique com a segunda lei.
18. Explique por que a [velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) varia como $1/\sqrt{C_xS}$ : por qual fator um velame de metade da área a aumentaria?
19. Um saltador mais pesado ( $100\,\mathrm{kg}$ ) sob o mesmo velame: qual a [velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) ?

**Parte IV — A aterrissagem.**

20. A velocidade de aterrissagem é a $v_\infty$ do velame. De que altura seria preciso saltar, sem ar, para chegar ao solo com essa velocidade?
21. Uma aterrissagem de pernas rígidas para o corpo em $0.5\,\mathrm{m}$ ; um rolamento, em $1.5\,\mathrm{m}$ . Estime a desaceleração média (em $g$ ) e a [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) média sobre as pernas em cada caso, e conclua.
22. Pouco antes de tocar o solo o paraquedista puxa os dois comandos, o que aumenta brevemente o arrasto do velame. Explique qualitativamente o efeito sobre a velocidade.

**Parte V — Coisas pequenas caem de outro jeito.**

23. Uma gota de chuva de raio $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ): calcule a sua [velocidade limite](#prop-b1-newton-dynamics-terminal) pela lei quadrática e verifique o número de Reynolds.
24. Uma gotícula de neblina de raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : use a [lei de Stokes](#prop-b1-newton-dynamics-drag) para $v_\infty$ e verifique que o número de Reynolds é de fato pequeno.
25. Resuma: uma equação de movimento, dois regimes de arrasto e os três números ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) que decidem se algo cai como uma pedra, como uma folha ou não cai.

**Solução de Problema 12.1.**

**1.** $m\dot v = mg$: $v = gt$, $z = \tfrac12 gt^2$; em $10\,\mathrm{s}$: $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $490\,\mathrm{m}$.

**2.** $mg = 785\,\mathrm{N}$.

**3.** No solo o piso empurra para cima com $N = mg$ — é esse empurrão que se sente como peso. Em queda livre não há [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) de contato: a gravidade age igualmente sobre cada parte e nada pressiona.

**4.** Sim, com erro de uma fração de por cento ao longo de um minuto; despreza-se: a rotação da Terra (termos centrífugo e de Coriolis, [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/18-referenciais-nao-inerciais-dinamica-na-terra#ch-b1-non-inertial-frames)) e o vento.

**5.** $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (SI).

**6.** $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$.

**7.** $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**8.** Divida por $mg$: $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$.

**9.** $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$, logo $u = \tanh(t/\tau)$.

**10.** $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$; para $0.99$: $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$.

**11.** $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$; em $10\,\mathrm{s}$: $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$, contra $490\,\mathrm{m}$.

**12.** $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx
1.3 \times 10^{6}$: muito acima de $1000$, quadrático.

**13.** $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**14.** Arrasto $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$; $a = (24000 - 785)/80
= 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$: o arnês arrebentaria, ou o saltador.

**15.** Média $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$; [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) do arnês $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$.

**16.** $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$: em poucos segundos após a abertura completa a descida já é estacionária.

**17.** $\vect a = \vect 0$: [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) do arnês $= mg = 785\,\mathrm{N}$.

**18.** O equilíbrio $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ dá $v \propto (C_xS)^{-1/2}$: metade da área, $\sqrt2$ vezes a velocidade ($10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$).

**19.** $v \propto \sqrt m$: $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**20.** $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$: um salto de um primeiro andar.

**21.** $a = v^2/2d$: $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ($5.3g$) em $0.5\,\mathrm{m}$, [força](#def-b1-newton-dynamics-momentum) $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ($1.8g$) em $1.5\,\mathrm{m}$, $2.2\,\mathrm{kN}$. Role.

**22.** Um arrasto maior (e alguma sustentação) supera momentaneamente o peso: o saltador desacelera e toca o solo abaixo de $v_\infty'$.

**23.** $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$, $S = \pi r^2 =
3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$: $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/
1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times
2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$: quadrático (grosso modo).

**24.** $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ([Exercício 12.6](#exo-b1-newton-dynamics-6)); $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$: Stokes se aplica, coerentemente.

**25.** $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{arrasto}}$; o arrasto é linear em $v$ para coisas pequenas e lentas, e quadrático para coisas grandes e rápidas. Os números: $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para um corpo em queda, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sob um velame (ou para uma gota de chuva), $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ para a neblina — a mesma lei ao longo de quatro [ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom).