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title: "Trabalho, energia e energia potencial"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 13
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial
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# Capítulo 13 — Trabalho, energia e energia potencial

Um ciclista para de pedalar no alto de um morro e chega embaixo com uma velocidade que depende do desnível, não do traçado da estrada. Um saltador de bungee jump cai sessenta metros e para, por um instante, exatamente onde a tração da corda consumiu toda a velocidade que a queda havia dado. Um átomo de hidrogênio ligado a um átomo de cloro vibra num poço cuja profundidade é a energia necessária para despedaçar a molécula. Em cada caso um único número é trocado entre formas — movimento, altura, alongamento, ligação — e, somado, não muda. Este capítulo constrói essa contabilidade a partir da segunda lei de Newton: [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) e potência, o teorema da [energia cinética](#thm-b1-work-and-energy-ke), [energias potenciais](#def-b1-work-and-energy-conservative) para as forças que as admitem e a [conservação da energia mecânica](#thm-b1-work-and-energy-em), que transforma muitos problemas de dinâmica numa álgebra de uma linha e explica, pela forma de um [poço de potencial](#def-b1-work-and-energy-turning), quais posições são estáveis.

![O pêndulo do professor: solta junto ao nariz, a bola de boliche volta ao nariz e não passa dele — a energia mecânica se conserva, e nunca é excedida.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/img-b210ce0e63a6.jpg)

*O pêndulo do professor: solta junto ao nariz, a bola de boliche volta ao nariz e não passa dele — a [energia mecânica](#thm-b1-work-and-energy-em) se conserva, e nunca é excedida.*

## 13.1 Potência e trabalho

**Definição 13.1 (Potência e trabalho de uma força).**

A *potência* de uma força $\vect F$ que age sobre um ponto que se move com velocidade $\vect v$ é

$$
\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{watts}),
$$

e o seu *trabalho* entre os instantes $t_1$ e $t_2$ (posições $A$ e $B$) é a potência acumulada,

$$
W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t
= \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{joules}),
$$

a soma dos *trabalhos elementares* $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ ao longo dos deslocamentos elementares $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ da [trajetória](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame). O trabalho é positivo se a força empurra no sentido do movimento (*motor*), negativo se contra ele (*resistente*) e nulo se perpendicular.

**Proposição 13.2 (Trabalhos que se encontram).**

- Força constante: $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , qualquer que seja o caminho. Peso: $W = mg(z_A - z_B)$ , com $z$ contado para cima.
- Mola de constante elástica $k$ , do alongamento $x_A$ a $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
- [Reação normal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-friction) de uma superfície fixa, tensão de um fio sobre um corpo que se move perpendicularmente a ele: $W = 0$ (força $\perp$ deslocamento).
- Atrito cinético e arrasto: $W < 0$ sempre (a força se opõe ao movimento relativo), e depende do comprimento do caminho.

**Demonstração.** Com $\vect F$ constante: $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell
= \vect F\cdot\vect{AB}$; com $\vect F = -mg\vect e_z$, $\vect F\cdot\vect{AB}
= -mg(z_B - z_A)$. Mola: $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$, e $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$. Atrito: $\vect T
= -\mu N\vect v/v$, logo $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$. ∎

![O trabalho elementar de uma força ao longo de um pequeno deslocamento do seu ponto de aplicação: só a componente de F ao longo do movimento realiza trabalho. Somado ao longo do caminho de A a B, ele dá W_A B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/fig-3762d53da000.svg)

*O [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) elementar de uma força ao longo de um pequeno deslocamento do seu ponto de aplicação: só a componente de $\vect F$ ao longo do movimento realiza [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work). Somado ao longo do caminho de $A$ a $B$, ele dá $W_{A\to B}$.*

## 13.2 O teorema da energia cinética

**Teorema 13.3 (Teoremas da energia cinética e da potência).**

Num [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws), a *[energia cinética](#thm-b1-work-and-energy-ke)* $E_k = \tfrac12 mv^2$ de um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) obedece a

$$
\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v,
\qquad
E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:
$$

a variação da [energia cinética](#thm-b1-work-and-energy-ke) entre duas posições é igual ao [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) total de todas as forças aplicadas ao longo do caminho.

**Demonstração.** Multiplique escalarmente a segunda lei de Newton por $\vect v$: $m\vect a\cdot\vect v =
\tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$, enquanto $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$. Integre no tempo. ∎

**Exemplo 13.4 (Distância de frenagem).**

Um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($E_k = 386\,\mathrm{kJ}$) freado por uma força constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ para depois de $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$: a distância cresce com o *quadrado* da velocidade. Como a força máxima de frenagem vale $\mu_smg$ ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ch-b1-newton-dynamics)), a menor distância de parada é $v^2/2\mu_sg$, qualquer que seja a massa do carro — e ela dobra numa pista molhada, onde $\mu_s$ cai à metade.

## 13.3 Forças conservativas e energia potencial

**Definição 13.5 (Força conservativa; energia potencial).**

Uma força é *conservativa* se o seu [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) entre dois pontos não depende do caminho seguido. De modo equivalente, existe uma função da posição, a *energia potencial* $E_p$, tal que

$$
W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p ,
\qquad \delta W = -\dd E_p ,
$$

sendo $E_p$ definida a menos de uma constante aditiva (uma escolha de origem).

**Proposição 13.6 (A força a partir da energia potencial).**

Uma [força conservativa](#def-b1-work-and-energy-conservative) deriva da sua [energia potencial](#def-b1-work-and-energy-conservative):

$$
\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p
= -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x
- \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y
- \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,
$$

e em uma dimensão $F_x = -\dd E_p/\dd x$: a força aponta no sentido em que a [energia potencial](#def-b1-work-and-energy-conservative) decresce, “ladeira abaixo” no gráfico de $E_p$.

**Demonstração.** $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x
+ \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ para todo deslocamento: identifique os coeficientes (a diferencial de uma função de várias variáveis, do curso de matemática). ∎

**Proposição 13.7 (As energias potenciais usuais).**

- Peso: $E_p = mgz + \text{const}$ (com $z$ para cima).
- Mola: $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{const}$ .
- Gravitação newtoniana de uma massa $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{const}$ , com a constante escolhida em geral para que $E_p \to 0$ no infinito.
- Força eletrostática sobre uma carga $q$ num potencial $V$ : $E_p = qV$ ( [Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/27-potencial-eletrico-condutores-e-capacitores#ch-b1-potential-capacitors) ).

O atrito cinético e o arrasto fluido *não* são conservativos (o seu [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) depende do caminho e é sempre negativo).

**Demonstração.** Cada uma se lê nos [trabalhos](#def-b1-work-and-energy-work) da [Proposição 13.2](#prop-b1-work-and-energy-works): $W = -\Delta E_p$. Para a gravitação, $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ e $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$. ∎

## 13.4 Energia mecânica

**Teorema 13.8 (Energia mecânica).**

Seja $E_m = E_k + E_p$ a *[energia mecânica](#thm-b1-work-and-energy-em)*, em que $E_p$ é a soma das [energias potenciais](#def-b1-work-and-energy-conservative) das [forças conservativas](#def-b1-work-and-energy-conservative). Então

$$
\Delta E_m = W_{\text{nc}} ,
$$

o [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) total das forças não conservativas. Se estas não realizam [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) (sem atrito, ou com forças de vínculo perpendiculares ao movimento), $E_m$ se *conserva*: o movimento é *conservativo*.

**Demonstração.** $\Delta E_k = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$. ∎

**Método 13.9 (Usando a energia).**

Quando um problema pede uma *velocidade numa posição* (não um tempo, nem uma força), tente a energia primeiro:

1. liste as forças; veja quais realizam [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) e quais são conservativas;
2. escreva $E_m$ nas duas posições, com uma origem clara para $E_p$ ;
3. iguale-as (somando $W_{\text{nc}}$ se houver atrito) e resolva para a velocidade ou a posição desconhecida.

A energia nunca dá o tempo nem as forças de vínculo; para essas, volte à lei de Newton — muitas vezes com a velocidade que a energia acabou de fornecer.

**Exemplo 13.10 (A lei da velocidade do loop).**

No loop sem atrito do [Problema 11.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#pb-b1-point-kinematics-1), a reação da pista é normal ao movimento e não realiza [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work): $E_m$ se conserva. Com $z = R(1 - \cos\theta)$ acima do ponto mais baixo, $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 -
\cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$: a lei da velocidade $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 -
\cos\theta)$ ali usada, agora deduzida em uma linha. A velocidade mínima de entrada $\sqrt{5gR}$ decorre então da condição no alto, $v^2 \geq gR$, do [Exemplo 12.16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-circles).

**Exemplo 13.11 (Energia perdida no atrito).**

Um bloco desce uma rampa de ângulo $\alpha$ e altura $h$ com atrito cinético $\mu_d$: $W_{\text{nc}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times
h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$, logo $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$. Para $h = 2.0\,\mathrm{m}$, $\alpha = 30^\circ$, $\mu_d = 0.20$: $v =
5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em vez de $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; um terço da [energia potencial](#def-b1-work-and-energy-conservative) virou calor.

## 13.5 Equilíbrio, estabilidade e retratos de fase

**Proposição 13.12 (Equilíbrio e estabilidade em uma dimensão).**

Um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) que se move sobre um eixo sob uma [força conservativa](#def-b1-work-and-energy-conservative) de [energia potencial](#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p(x)$:

- está em *equilíbrio* em $x_0$ se e só se $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : nos extremos de $E_p$ ;
- o equilíbrio é *estável* se $E_p$ tem ali um mínimo local ( $E_p''(x_0) > 0$ ): um pequeno deslocamento produz uma força restauradora; é *instável* num máximo;
- perto de um equilíbrio estável, os pequenos movimentos são harmônicos, com $$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$$

**Demonstração.** Fórmula de Taylor (curso de matemática): $E_p(x) \approx E_p(x_0) +
\tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$, logo $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ e $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — uma mola de constante elástica $E_p''(x_0)$. Para $E_p'' < 0$ a “constante elástica” é negativa: afastamento exponencial. ∎

![Uma paisagem de potencial unidimensional: os mínimos são equilíbrios estáveis, e o máximo é um equilíbrio instável. Um ponto material de energia E_1 abaixo da barreira fica preso num poço entre dois pontos de retorno (onde E_p = E_1, setas) e oscila; com E_2 acima da barreira ele passa livremente de um poço ao outro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/fig-03209b34c27d.svg)

*Uma paisagem de potencial unidimensional: os mínimos são equilíbrios estáveis, e o máximo é um equilíbrio instável. Um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) de energia $E_1$ abaixo da barreira fica preso num poço entre dois *[pontos de retorno](#def-b1-work-and-energy-turning)* (onde $E_p = E_1$, setas) e oscila; com $E_2$ acima da barreira ele passa livremente de um poço ao outro.*

**Definição 13.13 (Pontos de retorno; movimento ligado e livre).**

Para um movimento unidimensional conservativo de energia $E_m$, o [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) só pode estar onde $E_p(x) \leq E_m$ (pois $E_k \geq 0$); os pontos em que $E_p = E_m$ são *pontos de retorno*, em que a velocidade se anula e se inverte. Preso entre dois pontos de retorno num *poço de potencial*, o movimento é *ligado* e periódico; se puder alcançar o infinito, ele é *livre*; uma *barreira de potencial* mais alta que $E_m$ não pode ser atravessada.

**Definição 13.14 (Retrato de fase).**

O *retrato de fase* de um movimento unidimensional é a família de curvas traçadas pelo ponto $(x, \dot x)$ no *plano de fase*. Para um sistema conservativo cada curva é uma linha de nível $\tfrac12 m\dot x^2 +
E_p(x) = E_m$: curvas fechadas em torno dos equilíbrios estáveis (oscilações), curvas abertas para o movimento livre e, passando pelos equilíbrios instáveis, as *separatrizes* que dividem os dois casos. As curvas são percorridas no sentido horário ($\dot x > 0$ significa $x$ crescente) e nunca se cruzam.

![Retrato de fase do pêndulo simples, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Curvas fechadas (azuis): oscilações em torno do equilíbrio estável = 0; curvas abertas (laranja): rotações completas; entre elas a separatriz (vermelha) pelos equilíbrios instáveis = ±π, o movimento que apenas alcança o topo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-work-and-energy/fig-4f8091d9ae80.svg)

*[Retrato de fase](#def-b1-work-and-energy-phase) do [pêndulo simples](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), $\tfrac12\dot\theta^2 +
\omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$. Curvas fechadas (azuis): oscilações em torno do equilíbrio estável $\theta = 0$; curvas abertas (laranja): rotações completas; entre elas a separatriz (vermelha) pelos equilíbrios instáveis $\theta = \pm\pi$, o movimento que apenas alcança o topo.*

**Exemplo 13.15 (A paisagem do pêndulo).**

$E_p = -mg\ell\cos\theta$: mínimo em $\theta = 0$, $E_p'' = mg\ell$, logo $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — o resultado das [pequenas oscilações](#prop-b1-work-and-energy-stability) do [Exemplo 12.12](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), lido na curvatura do poço; máximo em $\theta = \pi$, o pêndulo invertido, instável. Energia $E_m < mg\ell$: oscilação entre $\pm\theta_{\max}$; $E_m > mg\ell$: ele passa por cima e gira; $E_m = mg\ell$: a separatriz, uma aproximação infinitamente lenta ao topo.

## 13.6 Exercícios

**Exercício 13.1 ★.**

Uma caixa de $20\,\mathrm{kg}$ é erguida $3.0\,\mathrm{m}$ com velocidade constante em $5.0\,\mathrm{s}$. [Trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) da força que ergue, do peso, e potência fornecida. A mesma caixa empurrada $3.0\,\mathrm{m}$ por um piso com $\mu_d = 0.30$: [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) do atrito.

**Solução de Exercício 13.1.**

Força que ergue $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$; peso $-589\,\mathrm{J}$; potência $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$. Atrito: $-\mu_dmgd =
-0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$.

**Exercício 13.2 ★.**

[Energia cinética](#thm-b1-work-and-energy-ke) de um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; distância de parada com uma força de frenagem constante de $7.0\,\mathrm{kN}$; o que acontece com a distância se a velocidade dobrar?

**Solução de Exercício 13.2.**

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$; $d = E_k/F =
55\,\mathrm{m}$; dobrar $v$ quadruplica $E_k$ e $d$: $220\,\mathrm{m}$.

**Exercício 13.3 ★.**

Uma mola de constante elástica $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ é comprimida $10\,\mathrm{cm}$ e solta contra uma bola de $50\,\mathrm{g}$ numa pista horizontal sem atrito. Energia armazenada; velocidade da bola.

**Solução de Exercício 13.3.**

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$; $v = \sqrt{2 \times
2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercício 13.4 ★.**

Um pêndulo de comprimento $1.0\,\mathrm{m}$ é solto do repouso a $60^\circ$: velocidade embaixo pela energia; depois, com a lei de Newton, a tensão ali (em unidades de $mg$).

**Solução de Exercício 13.4.**

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$: $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tensão: $T - mg = mv^2/\ell = mg$, $T = 2mg$.

**Exercício 13.5 ★★.**

Um bloco desce do repouso uma rampa de $30^\circ$ e altura $2.0\,\mathrm{m}$, com $\mu_d = 0.20$. Velocidade embaixo pelo teorema da energia; fração da [energia potencial](#def-b1-work-and-energy-conservative) inicial perdida no atrito.

**Solução de Exercício 13.5.**

O atrito realiza $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$, de modo que

$$
\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),
$$

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $35\%$ perdidos.

**Exercício 13.6 ★★.**

Usando $E_p = -GMm/r$, mostre que a velocidade necessária para escapar da atração da Terra a partir da sua superfície vale $v_e = \sqrt{2GM/R}$, e calcule-a ($M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$). Qual é a velocidade de escape de um corpo de mesma densidade e raio duas vezes maior?

**Solução de Exercício 13.6.**

$E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ para que o corpo alcance o infinito (onde $E_p = 0$ e $v \to 0$): $v_e = \sqrt{2GM/R}$, isto é,

$$
v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}}
= 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.
$$

Mesma densidade, $M \propto R^3$: $v_e \propto R$, logo $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Exercício 13.7 ★★.**

Bungee jump: um saltador de $70\,\mathrm{kg}$, com corda de comprimento natural $20\,\mathrm{m}$ e constante elástica $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, salta do repouso. Encontre o alongamento máximo da corda, a queda total e a tensão máxima (em unidades do peso). Onde a velocidade é maior?

**Solução de Exercício 13.7.**

Ponto mais baixo: $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$, $25x^2 - 687x - 13734 = 0$, $x = 41\,\mathrm{m}$; queda total $61\,\mathrm{m}$; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN}
= 3.0\,mg$ (resultante de $2\,\mathrm{g}$ para cima). A velocidade é máxima onde a força resultante se anula, $kx = mg$: $x = 14\,\mathrm{m}$, $34\,\mathrm{m}$ abaixo do ponto de salto.

**Exercício 13.8 ★★.**

Um ciclista ($80\,\mathrm{kg}$ com a bicicleta) sobe uma rampa de $5\%$ a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ contra um arrasto $\tfrac12\rho C_xSv^2$ com $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$. Potência contra a gravidade, contra o arrasto, e total.

**Solução de Exercício 13.8.**

Gravidade: $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$; arrasto: $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 =
38\,\mathrm{W}$; total $234\,\mathrm{W}$.

**Exercício 13.9 ★★.**

Um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) de massa $m$ tem $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$. Encontre os equilíbrios e a sua estabilidade, a profundidade dos poços e a [frequência angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) das [pequenas oscilações](#prop-b1-work-and-energy-stability) em torno de um equilíbrio estável.

**Solução de Exercício 13.9.**

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$: $x = 0, \pm a$. $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 -
4/a^2)$: $-4E_0/a^2$ em $0$ (máximo instável, $E_p = 0$), $+8E_0/a^2$ em $\pm a$ (mínimos estáveis, $E_p = -E_0$): poços de profundidade $E_0$; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$.

**Exercício 13.10 ★★★.**

Para o oscilador harmônico $E_p = \tfrac12 kx^2$, mostre que as curvas de fase são elipses, dê os seus semieixos para a energia $E$ e explique por que todas são percorridas no mesmo tempo.

**Solução de Exercício 13.10.**

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$: uma elipse de semieixos $x_{\max}
= \sqrt{2E/k}$ e $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$. O movimento é harmônico, de período $2\pi\sqrt{m/k}$ qualquer que seja a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) (isocronismo), de modo que toda elipse leva o mesmo tempo.

**Exercício 13.11 ★★★.**

Um pequeno objeto desliza do repouso a partir do topo de um hemisfério sem atrito de raio $R$. Usando a energia e a lei de Newton, encontre o ângulo com a vertical em que ele deixa a superfície, a altura e a sua velocidade nesse instante.

**Solução de Exercício 13.11.**

Energia: $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$. Radial: $mg\cos\theta - N = mv^2/R$, logo $N = mg(3\cos\theta - 2)$, nula em $\cos\theta = 2/3$ ($\theta =
48^\circ$): altura $2R/3$, velocidade $\sqrt{2gR/3}$.

**Exercício 13.12 ★★★.**

Um carro a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ derrapa até parar em $80\,\mathrm{m}$ com as rodas travadas. Encontre $\mu_d$ pela energia. Para onde foi a energia? Por que um sistema antitravamento (rodas mantidas girando) reduz a distância de parada?

**Solução de Exercício 13.12.**

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$: $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$. Calor no contato pneu–pista (e uma marca de derrapagem). Rodas que giram usam o atrito estático, com $\mu_s > \mu_d$: força de frenagem maior, distância menor e direção preservada.

## 13.7 Problema: o poço de energia de uma ligação química

**Problema 13.1.**

Problema de fim de semana — dois átomos, uma curva: a energia potencial de uma ligação lida como uma paisagem — o seu fundo, as suas paredes, as pequenas vibrações no fundo e a energia necessária para sair dela

A interação dos dois átomos de uma molécula diatômica é modelada pela [energia potencial](#def-b1-work-and-energy-conservative)

$$
E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],
$$

sendo $r$ a distância entre os núcleos. Para o cloreto de hidrogênio tome $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$, $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$, e deixe o leve átomo de hidrogênio ($m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$) se mover enquanto o pesado cloro permanece parado. $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$.

**Parte I — A paisagem.**

1. Dê os limites de $E_p$ quando $r \to 0$ e $r \to \infty$ , e esboce a curva.
2. Mostre que $E_p$ tem um único mínimo, em $r = \sigma$ , de valor $-\epsilon$ .
3. Com $u = (\sigma/r)^6$ , mostre que $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : uma parábola em $u$ . Recupere o mínimo a partir dela.
4. Exprima a força $F(r)$ (positiva se repulsiva) e dê o seu sinal de cada lado de $\sigma$ .
5. Calcule $E_p$ e $F$ em $r = 1.2\sigma$ (em eV e em nN).
6. Qual é a energia de dissociação da molécula, em eV e em $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ? (Energia de ligação medida do HCl: $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
7. Verifique o critério de estabilidade em $r = \sigma$ : calcule $E_p''(\sigma)$ .

**Parte II — Pequenas vibrações.**

8. Escreva o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem de $E_p$ em torno de $\sigma$ e identifique uma constante elástica efetiva $k$ .
9. Calcule $k$ (em $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
10. Deduza a [frequência angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) , a frequência e o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) da vibração, e o seu [número de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $1/\lambda$ em $\mathrm{cm}^{-1}$ .
11. A vibração medida do HCl fica em $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Comente a concordância e o que o modelo acerta.
12. A $300\,\mathrm{K}$ a energia vibracional média é da ordem de $k_BT$ . Estime a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da vibração e compare com $\sigma$ .
13. Deduza a velocidade máxima do átomo de hidrogênio nessa vibração.

**Parte III — Grandes oscilações e a saída.**

14. Descreva o [retrato de fase](#def-b1-work-and-energy-phase) : que energias dão curvas fechadas, quais dão curvas abertas, e o que as separa?
15. Para $E_m = -\epsilon/2$ , encontre os dois [pontos de retorno](#def-b1-work-and-energy-turning) (em unidades de $\sigma$ ).
16. Mostre que o ponto médio entre eles fica além de $\sigma$ , e explique por que aquecer (elevar a energia vibracional) faz crescer o comprimento médio da ligação — a origem da dilatação térmica.
17. O período das grandes oscilações é maior ou menor que $2\pi/\omega_0$ ? Argumente pela forma das paredes.
18. A partir de $E_m = -\epsilon/2$ , que energia é preciso fornecer para dissociar a molécula? Se fornecida como [energia cinética](#thm-b1-work-and-energy-ke) do átomo de hidrogênio em $r = \sigma$ , que velocidade é essa?
19. Dois átomos que se aproximam de longe com energia total positiva não podem formar sozinhos uma molécula ligada. Por quê? O que é necessário?

**Parte IV — [Trabalho](#def-b1-work-and-energy-work), força e temperatura.**

20. Calcule o [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) da força de ligação quando $r$ vai de $2\sigma$ a $\sigma$ . Ali a força é motora ou resistente?
21. Calcule o [trabalho](#def-b1-work-and-energy-work) que um agente externo precisa realizar para esticar a ligação de $\sigma$ a $1.5\sigma$ com velocidade desprezível.
22. Calcule $F$ em $r = 0.9\sigma$ e compare com $r = 1.2\sigma$ : o que a assimetria diz sobre comprimir e esticar?
23. A que temperatura $k_BT$ valeria $\epsilon$ ? Por que as moléculas se dissociam a temperaturas muito menores na prática?
24. Um modelo melhor (o de Morse) muda a forma das paredes, mas conserva um mínimo no comprimento da ligação. Quais dos resultados acima sobrevivem inalterados no método, e que números mudariam?
25. Resuma os três usos que se fez dos métodos energéticos: encontrar o equilíbrio, encontrar a frequência de vibração e encontrar o que é preciso para escapar.

**Solução de Problema 13.1.**

**1.** $r \to 0$: $+\infty$ (o termo em $r^{-12}$); $r \to \infty$: $0^-$. Uma parede íngreme, um poço, uma longa cauda.

**2.** $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ se e só se $(\sigma/r)^6 = 1$: $r = \sigma$, $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$.

**3.** $(\sigma/r)^{12} = u^2$: $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2
- 1]$, mínimo em $u = 1$ ($r = \sigma$) com valor $-\epsilon$.

**4.** $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$: positiva (repulsiva) para $r < \sigma$, negativa (atrativa) além disso.

**5.** $(1/1.2)^6 = 0.335$, $(1/1.2)^{12} = 0.112$: $E_p = \epsilon(0.112
- 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$. $(1/1.2)^{13} = 0.0935$, $(1/1.2)^7 = 0.279$: $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma =
-2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$.

**6.** $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$, próximo dos $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ medidos.

**7.** $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$; em $\sigma$: $72\epsilon/\sigma^2 > 0$: estável.

**8.** $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$: $k = 72\epsilon/\sigma^2$.

**9.** $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 =
3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**10.** $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} =
1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$.

**11.** Um fator $2.4$ alto demais: as paredes do modelo são íngremes demais (o caroço em $r^{-12}$ é um substituto grosseiro de uma ligação covalente), mas a [ordem de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom) — uma vibração no infravermelho a $10^{14}$ Hz — está certa, e o método (curvatura do poço) é exatamente o que se usa com potenciais melhores.

**12.** $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$: $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times
10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$: a ligação apenas estremece.

**13.** $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15}
= 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**14.** $-\epsilon < E_m < 0$: curvas fechadas em torno de $(\sigma, 0)$ — vibração, estado ligado; $E_m > 0$: curvas abertas — os átomos se separam; $E_m = 0$: a separatriz, um átomo que apenas consegue alcançar o infinito.

**15.** $u^2 - 2u = -\tfrac12$ com $u = (\sigma/r)^6$: $u = 1 \pm 1/\sqrt2
= 1.71$ ou $0.293$; $r = \sigma u^{-1/6}$: $0.915\sigma$ e $1.23\sigma$.

**16.** Ponto médio $1.07\sigma > \sigma$: a parede externa é mais macia que a interna, de modo que o átomo dispõe de mais espaço do lado de fora; a distância média no tempo cresce com a energia — ligações aquecidas se alongam, e os sólidos se dilatam.

**17.** Maior: a força restauradora do lado externo, mais macio, é mais fraca do que a aproximação harmônica supõe, de modo que o retorno leva mais tempo.

**18.** $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$. Tomada como [energia cinética](#thm-b1-work-and-energy-ke) em $\sigma$, essa energia dá $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}}
= 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**19.** Conservação da energia: $E_m > 0$ continua $> 0$, a curva é aberta, e os átomos se afastam após um único encontro. Um terceiro corpo (outra molécula, uma parede, um fóton) precisa levar embora o excesso.

**20.** $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6})
+ \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$, positivo: a atração puxa o átomo para dentro, é motora.

**21.** $W_{\text{ext}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 -
0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$.

**22.** $(1/0.9)^{13} = 3.93$, $(1/0.9)^7 = 2.09$: $F = +22\epsilon/\sigma
= +120\,\mathrm{nN}$, dez vezes a atração em $1.2\sigma$: comprimir uma ligação em $10\%$ custa muito mais do que esticá-la em $20\%$.

**23.** $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} =
5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$. Os gases reais se dissociam bem abaixo disso porque as energias são distribuídas: uma fração das moléculas carrega muitas vezes $k_BT$ ([Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#ch-b1-kinetic-theory)).

**24.** Sobrevivem: o equilíbrio no mínimo, $k = E_p''$ no mínimo, a energia de dissociação $=$ profundidade, os [pontos de retorno](#def-b1-work-and-energy-turning) a partir de $E_p = E_m$, a assimetria $\Rightarrow$ dilatação. Mudam: os valores de $k$, da frequência e dos [pontos de retorno](#def-b1-work-and-energy-turning).

**25.** Equilíbrio: $E_p' = 0$; vibração: $\omega_0^2 = E_p''/m$; escape: $E_m$ comparada com a borda do poço.