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title: "Osciladores mecânicos: amortecimento e ressonância"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 14
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortecimento-e-ressonancia
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# Capítulo 14 — Osciladores mecânicos: amortecimento e ressonância

Empurre o balanço de uma criança na hora errada e quase nada acontece; empurre-o uma vez por período, com suavidade, e em uma dezena de idas e vindas a criança já grita no alto do arco. Uma máquina de lavar treme violentamente a uma velocidade determinada da centrifugação e fica quieta acima dela. Uma taça de cristal canta quando um dedo molhado percorre a sua borda no ritmo certo, e se estilhaça quando um cantor sustenta a mesma nota alto o bastante. Todos esses casos são uma *ressonância*: um sistema com uma [frequência própria](#def-b1-oscillators-resonance-harmonic), excitado perto dessa frequência, acumula energia ciclo após ciclo até que o atrito a drene tão depressa quanto ela entra. Este capítulo toma o oscilador mecânico — livre, amortecido, depois forçado — e deduz as curvas de ressonância cujas gêmeas elétricas apareceram no [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#ch-b1-sinusoidal-impedance).

## 14.1 O oscilador harmônico

**Definição 14.1 (Oscilador harmônico).**

Um sistema cujo deslocamento $x$ em relação a um equilíbrio estável obedece a

$$
\ddot x + \omega_0^2\,x = 0
$$

é um *oscilador harmônico* de *[frequência angular própria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-secondorder)* $\omega_0$ (período $T_0 = 2\pi/\omega_0$). A solução $x = A\cos(\omega_0t
+ \varphi)$ tem [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e fase fixadas pelas condições iniciais e um período independente da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) (*isocronismo*).

**Proposição 14.2 (De onde vêm os osciladores harmônicos).**

- Massa $m$ numa mola $k$ : $\omega_0^2 = k/m$ ( [lei de Hooke](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-springstring) ).
- [Pêndulo simples](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de comprimento $\ell$ , ângulos pequenos: $\omega_0^2 = g/\ell$ .
- Qualquer [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) perto de um equilíbrio estável de um potencial $E_p$ : $\omega_0^2 = E_p''(x_0)/m$ ( [Proposição 13.12](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability) ).
- Circuito LC: $\omega_0^2 = 1/LC$ , com $q \leftrightarrow x$ , $L \leftrightarrow m$ , $1/C \leftrightarrow k$ .

A energia $E = \tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 m\omega_0^2x^2 = \tfrac12
m\omega_0^2A^2$ é constante e vai e volta entre as formas cinética e potencial duas vezes por período.

**Demonstração.** Segunda lei de Newton com $F = -kx$; a equação do pêndulo $\ddot\theta + (g/\ell)\sin\theta = 0$ com $\sin\theta \approx \theta$; a fórmula de Taylor no mínimo de $E_p$; a [lei das malhas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) do circuito LC. Energia: derive e use a equação. ∎

**Exemplo 14.3 (Um cilindro que bóia e balança).**

Um cilindro vertical de seção $S$ flutua com uma profundidade $h$ imersa ($mg = \rho_wgSh$, empuxo do [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos#ch-b1-fluid-statics)). Afundado de $x$, ele recebe uma força adicional para cima $\rho_wgSx$: $m\ddot x = -\rho_wgSx$, logo $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$ — o mesmo que um pêndulo de comprimento $h$. Uma boia imersa $1\,\mathrm{m}$ balança com período de $2\,\mathrm{s}$, qualquer que seja a sua massa.

## 14.2 O oscilador amortecido

**Proposição 14.4 (Oscilador amortecido).**

Com um atrito viscoso $-\alpha\dot x$, a equação se torna

$$
\ddot x + \frac{\omega_0}{Q}\dot x + \omega_0^2x = 0, \qquad
Q = \frac{\sqrt{km}}{\alpha} = \frac{m\omega_0}{\alpha},
$$

a forma canônica de segunda ordem do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#ch-b1-transient-regimes): para $Q > \tfrac12$, um decaimento pseudoperiódico $x = A\eu^{-t/\tau}\cos(\omega t +
\varphi)$ com $\tau = 2Q/\omega_0$, $\omega = \omega_0\sqrt{1 - 1/4Q^2}$; a energia decai como $\eu^{-2t/\tau}$ e

$$
Q = 2\pi\,\frac{\text{energia armazenada}}{\text{energia perdida por período}}
\quad (Q \gg 1) .
$$

**Demonstração.** Divida $m\ddot x + \alpha\dot x + kx = 0$ por $m$. Para a energia: $E
\propto A^2\eu^{-2t/\tau}$ perde a fração $2T/\tau = 2\pi/Q$ por período quando esta é pequena. ∎

**Exemplo 14.5 (Tempos de extinção).**

Um diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ ainda soa dez segundos depois de percutido: a sua [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) caiu a cerca de $5\%$ em $3\tau = 10\,\mathrm{s}$, logo $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$ e $Q = \omega_0\tau/2 \approx 4600$. A suspensão de um carro ($Q \approx 0.7$) para em menos de um período; um balanço de criança ($Q \approx 20$) perde um terço da sua energia por vaivém e precisa de um empurrão a cada vez.

## 14.3 Oscilações forçadas e ressonância

**Teorema 14.6 (Oscilador excitado senoidalmente).**

Excitado por uma força $F_0\cos\omega t$, o [oscilador amortecido](#prop-b1-oscillators-resonance-damped)

$$
m\ddot x + \alpha\dot x + kx = F_0\cos\omega t
$$

se estabelece, após um transitório de duração $\sim\tau$, no [regime forçado](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) $x = X\cos(\omega t + \varphi)$ com, escrevendo $x_r = \omega/\omega_0$ e $X_0 = F_0/k$ a deflexão estática,

$$
X = \frac{X_0}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}}, \qquad
\tan\varphi = -\frac{x_r/Q}{1 - x_r^2}, \quad \varphi \in [-\pi, 0] .
$$

A *[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal)* $X$ passa por um máximo, para $Q > 1/\sqrt2$, em $\omega_r =
\omega_0\sqrt{1 - 1/2Q^2}$, com $X_{\max} \approx QX_0$; a *[amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da velocidade* $V = \omega X$ é máxima exatamente em $\omega_0$, onde $V_{\max} =
F_0/\alpha$, e a sua curva de ressonância

$$
\frac{V}{V_{\max}} = \frac{1}{\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}}
$$

tem [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\Delta\omega = \omega_0/Q$. Em $\omega_0$ o deslocamento atrasa $\pi/2$ em relação à força, e a velocidade está em fase com ela.

**Demonstração.** Método complexo ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#ch-b1-sinusoidal-impedance)): $\underline X(-\omega^2
+ j\omega\omega_0/Q + \omega_0^2) = F_0/m$, logo $\underline X = (F_0/m)/(\omega_0^2
- \omega^2 + j\omega\omega_0/Q)$; divida numerador e denominador por $\omega_0^2 = k/m$. O módulo e o argumento decorrem daí; o máximo de $X$ foi localizado na [Proposição 8.10](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-overvoltage) (mesma função). Velocidade: $\underline V = j\omega\underline X$ dá $V = \omega X$; escrever $(1 - x_r^2)/x_r = 1/x_r - x_r$ transforma o denominador em $\sqrt{1/Q^2 + (1/x_r - x_r)^2}$, isto é, a forma do RLC. Em $x_r = 1$, $\underline X = -jQX_0$: um atraso de $\pi/2$. ∎

![Amplitude (à esquerda) e fase (à direita) do oscilador forçado contra a frequência de excitação, para vários fatores de qualidade. Um pico agudo perto de _0 para Q grande, e nenhum abaixo de Q = 1/√2; o deslocamento passa de em fase ( baixo) a oposto ( alto), atravessando um atraso de π/2 em _0 — quanto mais aguda a ressonância, mais abrupta a transição.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-1b9ff811c9c5.svg)

![Amplitude (à esquerda) e fase (à direita) do oscilador forçado contra a frequência de excitação, para vários fatores de qualidade. Um pico agudo perto de _0 para Q grande, e nenhum abaixo de Q = 1/√2; o deslocamento passa de em fase ( baixo) a oposto ( alto), atravessando um atraso de π/2 em _0 — quanto mais aguda a ressonância, mais abrupta a transição.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-2142742bced6.svg)

*[Amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) (à esquerda) e fase (à direita) do oscilador forçado contra a frequência de excitação, para vários [fatores de qualidade](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-secondorder). Um pico agudo perto de $\omega_0$ para $Q$ grande, e nenhum abaixo de $Q = 1/\sqrt2$; o deslocamento passa de em fase ($\omega$ baixo) a oposto ($\omega$ alto), atravessando um atraso de $\pi/2$ em $\omega_0$ — quanto mais aguda a ressonância, mais abrupta a transição.*

**Observação 14.7 (Duas ressonâncias, um circuito).**

A correspondência $x \leftrightarrow q$, $\dot x \leftrightarrow i$, $m \leftrightarrow L$, $\alpha \leftrightarrow R$, $k \leftrightarrow 1/C$, $F \leftrightarrow e$ leva o oscilador forçado ao RLC série do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#ch-b1-sinusoidal-impedance): a ressonância em velocidade é a ressonância em corrente (sempre em $\omega_0$, com [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) $\omega_0/Q$), e a ressonância em [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) é a ressonância da carga, isto é, da [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no capacitor (ligeiramente abaixo de $\omega_0$, ausente para $Q$ baixo). A potência absorvida, $\langle F\dot x\rangle
= \tfrac12 F_0V\cos\varphi_v$, é máxima em $\omega_0$, com o valor $F_0^2/2\alpha$, e os pontos de meia potência delimitam a [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) em velocidade — exatamente como no RLC.

**Exemplo 14.8 (Velocidades de ressonância).**

A suspensão de um carro tem $f_0 \approx 1.3\,\mathrm{Hz}$ ([Problema 7.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#pb-b1-transient-regimes-1)). Numa estrada com ondulações a cada $\lambda = 10\,\mathrm{m}$, a frequência de excitação vale $v/\lambda$: ressonância em $v = \lambda f_0 = 13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, cerca de $47\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — a velocidade em que uma estrada ondulada sacode mais o carro, e a razão de se montar um amortecedor com $Q \approx 0.7$: com $Q = 5$ a carroceria oscilaria com cinco vezes a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da estrada. Acima da ressonância ($x_r \gg 1$) a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cai como $X_0/x_r^2$: a carroceria “flutua” sobre as ondulações rápidas — o isolamento, a outra face da ressonância.

## 14.4 Excitação pela base: isolamento e o sismômetro

**Proposição 14.9 (Oscilador sacudido pelo seu suporte).**

Seja o suporte de um conjunto massa–mola–amortecedor deslocado de $x_g(t)$ (a estrada sob um carro, o solo sob um sismômetro), e seja $u$ o deslocamento da massa em relação ao suporte e $x = x_g + u$ o seu deslocamento absoluto (a partir do equilíbrio). Então

$$
m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g ,
$$

e para $x_g = X_g\cos\omega t$, com $x_r = \omega/\omega_0$:

$$
\frac{U}{X_g} = \frac{x_r^2}{\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}},
\qquad
\frac{X}{X_g} = \sqrt{\frac{1 + x_r^2/Q^2}{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}} .
$$

Para $x_r \gg 1$: $U \to X_g$ (a massa fica parada no espaço — um *sismômetro* lê o deslocamento do solo) e $X \to 0$ (a massa fica *isolada* do tremor); para $x_r \ll 1$: $U \approx
\ddot x_g/\omega_0^2$ (um *acelerômetro*) e $X \approx X_g$ (a massa acompanha o suporte).

**Demonstração.** A mola e o amortecedor agem sobre o movimento relativo: $m\ddot x = -ku -
\alpha\dot u$, e $\ddot x = \ddot x_g + \ddot u$. Em forma complexa, $\underline U(\omega_0^2 - \omega^2 + j\omega\omega_0/Q) = \omega^2X_g$, donde $U/X_g$; depois $\underline X = \underline U + X_g = X_g(1 + jx_r/Q)/(1 -
x_r^2 + jx_r/Q)$. ∎

![Uma massa sacudida através do seu suporte. À esquerda: o movimento relativo U/X_g — um acelerômetro abaixo de _0 (inclinação 2 em escalas logarítmicas) e um sismômetro acima. À direita: o movimento absoluto X/X_g — a massa acompanha o suporte em baixa frequência e fica isolada dele bem acima de _0; um Q alto não traz nada além de um pico perigoso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-56aa3fa20648.svg)

![Uma massa sacudida através do seu suporte. À esquerda: o movimento relativo U/X_g — um acelerômetro abaixo de _0 (inclinação 2 em escalas logarítmicas) e um sismômetro acima. À direita: o movimento absoluto X/X_g — a massa acompanha o suporte em baixa frequência e fica isolada dele bem acima de _0; um Q alto não traz nada além de um pico perigoso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-5f442447ec06.svg)

*Uma massa sacudida através do seu suporte. À esquerda: o movimento relativo $U/X_g$ — um acelerômetro abaixo de $\omega_0$ (inclinação $2$ em escalas logarítmicas) e um sismômetro acima. À direita: o movimento absoluto $X/X_g$ — a massa acompanha o suporte em baixa frequência e fica isolada dele bem acima de $\omega_0$; um $Q$ alto não traz nada além de um pico perigoso.*

**Exemplo 14.10 (Por que as máquinas ficam sobre coxins macios).**

Um motor de $50\,\mathrm{Hz}$ sobre coxins de borracha sintonizados em $f_0 = 10\,\mathrm{Hz}$ ($x_r = 5$, $Q \approx 2$): $X/X_g = \sqrt{(1 + 6.25)/(576 + 6.25)} = 0.11$ — nove décimos da vibração não chegam ao piso. Os coxins precisam ser *mais macios* do que a intuição sugere: enrijecê-los eleva $f_0$ rumo aos $50$ Hz e destrói o isolamento. A mesma fórmula, lida ao contrário, é o carro do [Exemplo 14.8](#ex-b1-oscillators-resonance-road) numa estrada ondulada.

## 14.5 Energia: como uma ressonância se constrói

**Proposição 14.11 (Balanço energético no regime forçado).**

No [regime forçado](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced) permanente, a [potência média](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) fornecida pela força excitadora iguala a [potência média](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) dissipada pelo atrito, $\tfrac12\alpha V^2$. Na ressonância a energia armazenada $\tfrac12 mV_{\max}^2$ vale $Q/2\pi$ vezes a energia fornecida por período: o oscilador acumula o trabalho da excitação durante cerca de $Q$ ciclos antes que as perdas igualem a entrada, que é também o número de ciclos ($\sim\tau/T$) que o transitório dura.

**Demonstração.** Tome a média do teorema da energia sobre um período: $\langle\dd E/\dd t\rangle = 0$ em [regime permanente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder), logo $\langle F\dot x\rangle = \langle\alpha\dot x^2\rangle =
\tfrac12\alpha V^2$. Na ressonância $V_{\max} = F_0/\alpha$, energia armazenada $\tfrac12 m(F_0/\alpha)^2$, energia fornecida por período $\tfrac12\alpha(F_0/\alpha)^2T$; razão $m/(\alpha T) = Q/2\pi$. ∎

**Exemplo 14.12 (O balanço).**

Um balanço de $2.5\,\mathrm{m}$ ($T_0 = 3.2\,\mathrm{s}$, $Q \approx 20$) recebe um empurrão de $50\,\mathrm{N}$ ao longo de $0.5\,\mathrm{m}$ por período: $25\,\mathrm{J}$ por ciclo. Ele cresce até que a perda por período, $2\pi E/Q$, iguale $25\,\mathrm{J}$: $E = 80\,\mathrm{J}$; com uma criança de $30\,\mathrm{kg}$, $mg\ell(1 -
\cos\theta_{\max}) = 80\,\mathrm{J}$ dá $\theta_{\max} \approx 27^\circ$. Empurrando em qualquer outro ritmo, o trabalho dos empurrões alternaria de sinal e daria média nula.

![Partida de uma ressonância (Q = 5, excitação ligada em t = 0 em _0): a amplitude cresce rumo a QX_0 com a constante de tempo = 2Q/ _0, isto é, ao longo de cerca de Q/π períodos — o transitório do superposto ao regime forçado.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/fig-32410aeb23f9.svg)

*Partida de uma ressonância ($Q = 5$, excitação ligada em $t = 0$ em $\omega_0$): a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cresce rumo a $QX_0$ com a [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$, isto é, ao longo de cerca de $Q/\pi$ períodos — o transitório do [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#ch-b1-transient-regimes) superposto ao [regime forçado](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#prop-b1-sinusoidal-impedance-forced).*

## 14.6 Exercícios

**Exercício 14.1 ★.**

Uma massa de $0.20\,\mathrm{kg}$ numa mola de constante elástica $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ oscila com [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de $5.0\,\mathrm{cm}$. [Frequência angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal), frequência, período, velocidade máxima, energia total.

**Solução de Exercício 14.1.**

$\omega_0 = \sqrt{80/0.20} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f_0 = 3.2\,\mathrm{Hz}$, $T_0 =
0.31\,\mathrm{s}$; $v_{\max} = A\omega_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E = \tfrac12 kA^2 =
0.10\,\mathrm{J}$.

**Exercício 14.2 ★.**

Período de um pêndulo de $1.0\,\mathrm{m}$ na Terra e na Lua ($g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). O que acontece com o período do sistema massa–mola na Lua?

**Solução de Exercício 14.2.**

$T = 2\pi\sqrt{\ell/g}$: $2.0\,\mathrm{s}$ na Terra, $4.9\,\mathrm{s}$ na Lua. O período do sistema massa–mola, $2\pi\sqrt{m/k}$, não envolve $g$: fica inalterado.

**Exercício 14.3 ★.**

Um oscilador tem $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$ e $Q = 50$. Tempo de decaimento $\tau$ da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal); tempo para a energia cair à metade; número de oscilações antes que a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) chegue a $5\%$.

**Solução de Exercício 14.3.**

$\tau = 2Q/\omega_0 = 100/(4\pi) = 8.0\,\mathrm{s}$; a energia $\propto \eu^{-2t/\tau}$ cai à metade em $t = \tau\ln2/2 = 2.8\,\mathrm{s}$; $5\%$ após $3\tau = 24\,\mathrm{s}$, cerca de $48 \approx Q$ oscilações.

**Exercício 14.4 ★.**

Uma massa numa mola ($k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, $Q = 10$) é excitada por uma força de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{N}$. Deflexão estática; [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) na ressonância; [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) em $\omega = 3\omega_0$.

**Solução de Exercício 14.4.**

$X_0 = F_0/k = 1.0\,\mathrm{cm}$; na ressonância $\approx QX_0 = 10\,\mathrm{cm}$; em $3\omega_0$: $X_0/\sqrt{64 + 0.09} = 0.13\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 14.5 ★★.**

Um carro ($f_0 = 1.3\,\mathrm{Hz}$, $Q = 0.7$) passa por lombadas espaçadas de $8.0\,\mathrm{m}$. Velocidade de ressonância? A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, que fração da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) das lombadas a carroceria sente? Comente.

**Solução de Exercício 14.5.**

$v = Lf_0 = 8.0 \times 1.3 = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($37\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). A $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $f = 16.7/8.0 = 2.1\,\mathrm{Hz}$, $x_r = 1.6$: $X/X_g =
\sqrt{(1 + 5.2)/(2.4 + 5.2)} = 0.90$ — mal isolado; o isolamento exige $x_r \gg 1$ (a $120\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, $x_r = 3.2$: $0.45$).

**Exercício 14.6 ★★.**

Explique pelo balanço energético por que um balanço precisa ser empurrado no seu próprio período; para $Q = 20$ e um empurrão que acrescenta $25\,\mathrm{J}$ por ciclo, encontre a energia em [regime permanente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) e a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) para uma criança de $30\,\mathrm{kg}$ num balanço de $2.5\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 14.6.**

O trabalho de um empurrão só é positivo quando ele age no sentido do movimento; empurrado a cada período, todos os empurrões se somam; em qualquer outro ritmo eles se alternam. [Regime permanente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder): $2\pi E/Q = 25\,\mathrm{J}$, $E = 80\,\mathrm{J}$; $mg\ell(1 - \cos\theta_{\max}) = 80$: $1 - \cos\theta_{\max} = 0.109$, $\theta_{\max} = 27^\circ$.

**Exercício 14.7 ★★.**

Máximos sucessivos de uma oscilação livre decrescem $10\%$ a cada período. Encontre $Q$ e a [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) (em hertz) da sua ressonância em velocidade se $f_0 = 2.0\,\mathrm{Hz}$.

**Solução de Exercício 14.7.**

$\delta = \ln(1/0.9) = 0.105$, $Q = \pi/\delta = 30$; $\Delta f = f_0/Q =
0.067\,\mathrm{Hz}$.

**Exercício 14.8 ★★.**

Dê a fase do deslocamento em relação à força bem abaixo da ressonância, na ressonância e bem acima, e a fase da velocidade na ressonância. Por que a ressonância em velocidade é a que importa para a potência?

**Solução de Exercício 14.8.**

Deslocamento: em fase ($\varphi = 0$) bem abaixo, $-\pi/2$ na ressonância, $-\pi$ (oposto) bem acima. Velocidade na ressonância: em fase com a força. A potência vale $\vect F\cdot\vect v$: é a fase da velocidade, e não a do deslocamento, que decide quanto trabalho a excitação realiza.

**Exercício 14.9 ★★.**

Mostre que a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da velocidade $V = \omega X$ é máxima exatamente em $\omega_0$, com $V_{\max} = F_0/\alpha$, e que $V/V_{\max}$ tem a forma $1/\sqrt{1 + Q^2(x_r - 1/x_r)^2}$.

**Solução de Exercício 14.9.**

$V = \omega X = \omega(F_0/m)/\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + (\omega\omega_0/Q)^2}$; divida numerador e denominador por $\omega\omega_0/Q$: $V = (F_0Q/m\omega_0)/
\sqrt{1 + Q^2(\omega_0/\omega - \omega/\omega_0)^2}$, e $F_0Q/m\omega_0 = F_0/\alpha$. A raiz quadrada é $\geq 1$, e vale $1$ exatamente em $\omega = \omega_0$.

**Exercício 14.10 ★★★.**

Calcule a [potência média](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) absorvida na ressonância para $F_0 = 1.0\,\mathrm{N}$, $\alpha = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, e a energia armazenada se $m = 0.20\,\mathrm{kg}$; verifique que a razão entre elas vale $Q/\omega_0$ com $\omega_0 = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**Solução de Exercício 14.10.**

$P = F_0^2/2\alpha = 10\,\mathrm{W}$; $V_{\max} = F_0/\alpha = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E = \tfrac12 mV_{\max}^2 = 40\,\mathrm{J}$; $E/P = 4.0\,\mathrm{s}$ e $Q/\omega_0 =
m/\alpha = 4.0\,\mathrm{s}$.

**Exercício 14.11 ★★★.**

Um diapasão de $440\,\mathrm{Hz}$ é ouvido por $10\,\mathrm{s}$ ([amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) reduzida a $5\%$). Estime $\tau$ e $Q$, a [largura de banda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-resonance) da sua ressonância, e comente por que ele é um bom padrão de frequência.

**Solução de Exercício 14.11.**

$3\tau = 10\,\mathrm{s}$: $\tau = 3.3\,\mathrm{s}$, $Q = \omega_0\tau/2 = 2\pi \times
440 \times 3.3/2 \approx 4600$; $\Delta f = f_0/Q = 0.1\,\mathrm{Hz}$. Ele responde a, e emite, essencialmente uma única frequência: um padrão bom a algumas partes em $10^4$.

**Exercício 14.12 ★★★.**

Deduza a frequência de balanço de um cilindro flutuante ([Exemplo 14.3](#ex-b1-oscillators-resonance-bob)) pela lei de Newton e pela força de Arquimedes $\rho_wgS(h + x)$; mostre que $\omega_0^2 = g/h$; calcule o período para $h = 10\,\mathrm{cm}$. Por que o resultado independe da massa e do líquido?

**Solução de Exercício 14.12.**

$m\ddot x = mg - \rho_wgS(h + x) = -\rho_wgSx$ (pois $mg = \rho_wgSh$): $\omega_0^2 = \rho_wgS/m = g/h$; $T = 2\pi\sqrt{0.10/9.81} = 0.63\,\mathrm{s}$. Tanto a massa quanto a densidade do líquido entram apenas através da profundidade de equilíbrio $h$.

![Um sismógrafo: uma massa pesada numa suspensão macia fica parada enquanto o solo se move, e a pena escreve a diferença — o oscilador excitado pela base do problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-oscillators-resonance/img-53d548226295.jpg)

*Um sismógrafo: uma massa pesada numa suspensão macia fica parada enquanto o solo se move, e a pena escreve a diferença — o oscilador excitado pela base do problema de fim de semana.*

## 14.7 Problema: o sismógrafo

**Problema 14.1.**

Problema de fim de semana — uma massa pende de uma mola dentro de uma caixa aparafusada ao solo; o solo treme: o que a pena registra, por que o mesmo instrumento mede deslocamento em alta frequência e aceleração em baixa frequência, e por que um sismômetro de longo período não pode ser simplesmente uma mola longa

Uma massa $m = 1.0\,\mathrm{kg}$ pende de uma mola de constante elástica $k$ dentro de uma armação rígida presa ao solo; um amortecedor exerce $-\alpha\dot u$, sendo $u$ o deslocamento da massa em relação à armação, medido a partir da sua posição de equilíbrio. O solo, e portanto a armação, se move verticalmente segundo $x_g(t)$. O [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) das estrelas distantes é inercial.

**Parte I — A equação.**

1. Escreva a posição absoluta da massa como $x = x_g + u +  \text{const}$, liste as forças sobre a massa (no [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws)) e mostre que $$m\ddot u + \alpha\dot u + ku = -m\ddot x_g .$$
2. Ponha-a na forma canônica; identifique $\omega_0$ e $Q$ .
3. O instrumento é construído com $f_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$ e $Q = 0.70$ : calcule $k$ e $\alpha$ .
4. Uma aceleração constante do solo $a_g$ (a armação se inclinando, digamos) dá que $u$ permanente? Interprete.
5. O que registra a pena presa à massa, escrevendo num tambor fixo à armação?

**Parte II — [Movimento harmônico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#prop-b1-point-kinematics-harmonic) do solo.** O solo se move segundo $x_g = X_g\cos\omega t$; escreva $x_r = \omega/\omega_0$.

6. Usando [amplitudes complexas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) , mostre que $\underline U = X_g\,x_r^2/  (1 - x_r^2 + jx_r/Q)$ .
7. Deduza $U/X_g$ em função de $x_r$ e de $Q$ .
8. Limite $x_r \gg 1$ : mostre que $U \to X_g$ e explique fisicamente o que a massa faz (o que o instrumento está medindo?).
9. Limite $x_r \ll 1$ : mostre que $U \approx x_r^2X_g = a_g/\omega_0^2$ , sendo $a_g$ a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da aceleração do solo: o que é o instrumento agora?
10. Valor em $x_r = 1$ ; por que $Q \approx 0.7$ é uma escolha sensata?
11. Esboce $U/X_g$ contra $x_r$ (escalas logarítmicas) para $Q = 0.7$ e $Q = 5$ .
12. Fase de $u$ em relação a $x_g$ em alta frequência; interprete.

**Parte III — Projetando para terremotos.** Terremotos distantes produzem ondas de superfície de $0.05\,$ a $0.1\,\mathrm{Hz}$ com [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) milimétricas; tremores locais chegam a $5\,$ ou $10\,\mathrm{Hz}$.

13. Para registrar ondas de $0.05\,\mathrm{Hz}$ como deslocamentos quer-se $f_0 \ll 0.05\,\mathrm{Hz}$ , digamos $0.02\,\mathrm{Hz}$ . Que alongamento estático a mola teria sob o peso da massa? Comente.
14. Um [pêndulo simples](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de mesma frequência: que comprimento?
15. Os instrumentos reais de longo período usam um pêndulo quase horizontal do tipo “porteira de jardim”, ou uma realimentação eletrônica de força. Explique em uma frase o que cada solução consegue.
16. Para o instrumento de $0.50\,\mathrm{Hz}$ , calcule o alongamento estático: é viável?
17. Com ele, uma onda de $0.10\,\mathrm{Hz}$ e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{mm}$ dá que $U$ ? Em que regime está o instrumento?
18. Um tremor local de $5.0\,\mathrm{Hz}$ e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{mm}$ : qual $U$ ? Qual regime?

**Parte IV — O acelerômetro de um celular.** Uma massa micro-usinada sobre molas de silício tem $f_0 = 1.0\,\mathrm{kHz}$ e $Q = 0.7$.

19. Um tremor de $10\,\mathrm{Hz}$ com [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de aceleração $g$ : calcule $U$ . Como se lê um deslocamento desses?
20. Até que frequência a leitura fica a menos de $10\%$ de $a_g/\omega_0^2$ ?
21. Que [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) $\tau = 2Q/\omega_0$ governa a sua resposta a um solavanco, e por que isso importa para detectar uma queda?
22. O $\tau$ do sismômetro: valor e consequência após um degrau súbito do solo.
23. Por que se escolhe o amortecimento crítico (ou quase crítico) para os dois instrumentos, em vez de um $Q$ alto?
24. O celular é sacudido exatamente a $1.0\,\mathrm{kHz}$ : por qual fator a leitura se afasta do valor correto?
25. Resuma: um único dispositivo, dois regimes, decididos por qual única comparação.

**Solução de Problema 14.1.**

**1.** Forças: peso (equilibrado pelo alongamento estático), mola $-ku$, amortecedor $-\alpha\dot u$; $m\ddot x = -ku - \alpha\dot u$ com $\ddot x =
\ddot x_g + \ddot u$.

**2.** $\ddot u + (\omega_0/Q)\dot u + \omega_0^2u = -\ddot x_g$, $\omega_0 =
\sqrt{k/m}$, $Q = \sqrt{km}/\alpha$.

**3.** $k = m\omega_0^2 = \pi^2 = 9.9\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; $\alpha = m\omega_0/Q =
3.14/0.70 = 4.5\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$.

**4.** $u = -a_g/\omega_0^2$: a massa se desloca de um valor fixo — o instrumento é um acelerômetro em frequência nula (e um inclinômetro).

**5.** O deslocamento relativo $u(t)$.

**6.** $-\omega^2\underline U + j\omega(\omega_0/Q)\underline U + \omega_0^2\underline U
= \omega^2X_g$; divida por $\omega_0^2$.

**7.** $U/X_g = x_r^2/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$.

**8.** $U \to X_g$: a massa não se move no [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) (a sua inércia a mantém parada, enquanto a mola é macia demais para arrastá-la); a armação se move em torno dela, e a pena registra o deslocamento do solo — é um sismômetro.

**9.** $U \approx x_r^2X_g = \omega^2X_g/\omega_0^2 = a_g/\omega_0^2$: um acelerômetro.

**10.** $U = QX_g = 0.7X_g$: sem pico; os dois regimes se juntam suavemente e o instrumento não ressoa.

**11.** Para $Q = 0.7$: uma reta de inclinação $2$ subindo até $1$ perto de $x_r = 1$, depois plana em $1$; para $Q = 5$: o mesmo, com um pico de altura $5$ em $x_r = 1$.

**12.** $\underline U \to -X_g$: $u = -x_g$, a massa parada enquanto a armação se move.

**13.** $\Delta\ell = g/\omega_0^2 = 9.81/(2\pi \times 0.02)^2 = 620\,\mathrm{m}$: absurdo.

**14.** $\ell = g/\omega_0^2 = 620\,\mathrm{m}$.

**15.** Porteira de jardim: o pêndulo oscila em torno de um eixo quase vertical, de modo que só uma fração minúscula de $g$ o restaura e um braço curto dá um período longo. Realimentação de força: uma bobina mantém a massa fixa, e a corrente necessária é proporcional à aceleração do solo — a rigidez passa a ser eletrônica e ajustável.

**16.** $\Delta\ell = 9.81/\pi^2 = 0.99\,\mathrm{m}$: viável.

**17.** $x_r = 0.2$: $U/X_g = 0.04/\sqrt{0.92 + 0.08} = 0.040$: $40\,\text{µ}\mathrm{m}$ — regime de acelerômetro, exige amplificação (alavanca óptica ou eletrônica).

**18.** $x_r = 10$: $100/\sqrt{9801 + 204} \approx 1.00$: $1.0\,\mathrm{mm}$, registro fiel do deslocamento.

**19.** $\omega_0 = 6.3 \times 10^{3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $U = g/\omega_0^2 = 2.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ — lido como a variação da folga de um capacitor.

**20.** $U/(a_g/\omega_0^2) = 1/\sqrt{(1 - x_r^2)^2 + x_r^2/Q^2}$; com $Q = 0.7$ ela decresce monotonicamente e permanece acima de $0.9$ até $x_r \approx 0.7$: cerca de $700\,\mathrm{Hz}$.

**21.** $\tau = 2Q/\omega_0 = 0.22\,\mathrm{ms}$: ele acompanha uma queda (dezenas de milissegundos) sem atraso.

**22.** $\tau = 1.4/3.14 = 0.45\,\mathrm{s}$: após um degrau do solo o registro se acomoda em meio segundo, sem oscilar.

**23.** Um $Q$ alto faria o instrumento ressoar em $f_0$ após cada solavanco (registrando a si mesmo em vez do solo) e produziria um pico perto de $f_0$; $Q \approx 0.7$ é plano e rápido.

**24.** $U = QX_g = 0.7X_g$ contra o ideal $X_g$ (ou $a_g/\omega_0^2
= X_g$): $30\%$ abaixo.

**25.** Compare a frequência do sinal com $f_0$: bem acima, a massa é uma referência fixa e $u$ é o deslocamento; bem abaixo, $u$ é a aceleração dividida por $\omega_0^2$.