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title: "Momento angular"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 15
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular
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# Capítulo 15 — Momento angular

Uma patinadora que gira de braços abertos os recolhe e, sem que ninguém a empurre, roda duas vezes mais depressa. Uma porta cede à ponta de um dedo na maçaneta e resiste a um ombro junto à dobradiça. Os planetas varrem áreas iguais em tempos iguais — Kepler notou isso há quatro séculos, muito antes que alguém pudesse dizer por quê. E a Lua, puxada pelas marés que levanta, se afasta da Terra alguns centímetros por ano enquanto os nossos dias se alongam imperceptivelmente. Por trás dos quatro casos está uma única grandeza vetorial, o [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L), e uma única lei: a sua taxa de variação é igual ao [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) das forças. Este capítulo define os dois, demonstra a lei para um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) e para um sistema, e a põe a trabalhar em pêndulos, órbitas e coisas que giram.

![Braços recolhidos, a patinadora gira mais depressa: sem torque externo em torno do eixo vertical, o momento angular se conserva, e um momento de inércia menor significa uma velocidade angular maior.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/img-9e41b9ef03c7.jpg)

*Braços recolhidos, a patinadora gira mais depressa: sem [torque](#def-b1-angular-momentum-moment) externo em torno do eixo vertical, o [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) se conserva, e um [momento de inércia](#prop-b1-angular-momentum-inertia) menor significa uma [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) maior.*

## 15.1 Momento de uma força

**Definição 15.1 (Momento em relação a um ponto; em relação a um eixo).**

O *momento* (ou *torque*) em relação a um ponto $O$ de uma força $\vect F$ aplicada em $M$ é o vetor

$$
\vect{\mathcal M}_O(\vect F) = \vect{OM}\wedge\vect F \qquad (\mathrm{N}\,\mathrm{m}),
$$

perpendicular ao plano de $\vect{OM}$ e $\vect F$, de norma $OM\cdot F\sin\alpha = F\,d$, em que $d$ — o *braço de alavanca* — é a distância de $O$ à linha de ação de $\vect F$. O momento em relação a um eixo orientado $\Delta$ (vetor unitário $\vect e_\Delta$) que passa por $O$ é o escalar $\mathcal M_\Delta = \vect{\mathcal M}_O\cdot\vect e_\Delta$, independente da escolha de $O$ sobre $\Delta$; ele se anula se $\vect F$ for paralela a $\Delta$ ou o encontrar. Duas forças opostas sobre linhas de ação diferentes formam um *binário*, cujo momento $\vect F\wedge\vect{AB}$ é o mesmo em relação a todos os pontos.

**Exemplo 15.2 (A porta).**

Um empurrão de $20\,\mathrm{N}$ perpendicular a uma porta, a $0.80\,\mathrm{m}$ das dobradiças, tem [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) $16\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ em relação ao eixo das dobradiças; o mesmo empurrão a $0.10\,\mathrm{m}$, $2\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; ao longo da porta (linha de ação passando pelas dobradiças), zero. A reação da própria dobradiça, que encontra o eixo, não tem [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) em relação a ele: é isso que faz do eixo o lugar natural para tomar [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment).

![O momento de F em relação a O: o produto vetorial OM F, de norma F\,d, sendo d a distância de O à linha de ação (o braço de alavanca), dirigido perpendicularmente à figura — aqui, para fora do papel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/fig-f5af5c4e0859.svg)

*O [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) de $\vect F$ em relação a $O$: o produto vetorial $\vect{OM}\wedge\vect F$, de norma $F\,d$, sendo $d$ a distância de $O$ à linha de ação (o [braço de alavanca](#def-b1-angular-momentum-moment)), dirigido perpendicularmente à figura — aqui, para fora do papel.*

## 15.2 Momento angular de um ponto material

**Definição 15.3 (Momento angular).**

O *[momento](#def-b1-angular-momentum-moment) angular* em relação a $O$ de um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) de massa $m$ em $M$ com velocidade $\vect v$ é

$$
\vect L_O = \vect{OM}\wedge m\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}),
$$

e, em relação a um eixo $\Delta$ que passa por $O$, $L_\Delta = \vect L_O\cdot\vect e_\Delta$. Para um movimento num plano perpendicular a $\Delta$, em [coordenadas polares](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-cylindrical) em torno do eixo, $L_\Delta = mr^2\dot\theta$; num círculo de raio $R$, $L_\Delta = mR^2\omega = mRv$.

**Demonstração.** $\vect{OM} = r\vect e_r$, $\vect v = \dot r\vect e_r + r\dot\theta\vect e_\theta$: $\vect{OM}\wedge m\vect v = mr^2\dot\theta\,\vect e_r\wedge\vect e_\theta = mr^2\dot\theta\,\vect e_z$. ∎

**Teorema 15.4 (Teorema do momento angular).**

Num [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws), para um ponto $O$ fixo nesse [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame),

$$
\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_i),
\qquad
\frac{\dd L_\Delta}{\dd t} = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_i)
$$

para um eixo fixo $\Delta$. Se o [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) total em relação a $O$ se anula, $\vect L_O$ se conserva.

**Demonstração.** $\dd(\vect{OM}\wedge m\vect v)/\dd t = \vect v\wedge m\vect v + \vect{OM}\wedge m\vect a
= \vect 0 + \vect{OM}\wedge\sum\vect F_i$, usando a segunda lei de Newton ($O$ fixo, de modo que $\dd\vect{OM}/\dd t = \vect v$). Projete sobre $\vect e_\Delta$. ∎

**Corolário 15.5 (Forças centrais: movimento plano e lei das áreas).**

Um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) submetido apenas a uma *força central* (sempre dirigida ao longo de $\vect{OM}$, para o centro fixo $O$ ou para longe dele) mantém $\vect L_O$ constante. O seu movimento permanece no plano que passa por $O$ perpendicular a $\vect L_O$ e, nesse plano, $r^2\dot\theta = C$ (constante): o raio vetor $\vect{OM}$ varre área com a *[velocidade areolar](#cor-b1-angular-momentum-central)* constante

$$
\frac{\dd A}{\dd t} = \frac12 r^2\dot\theta = \frac{L_O}{2m} = \frac{C}{2} .
$$

**Demonstração.** $\vect{OM}\wedge\vect F = \vect 0$ para $\vect F \parallel \vect{OM}$: $\vect L_O$ é constante. Sempre $\vect{OM}\perp\vect L_O$, donde o plano; $L_O =
mr^2\dot\theta$ é constante. A área varrida durante $\dd t$ é a do triângulo de lados $\vect{OM}$ e $\vect v\dd t$: $\dd A = \tfrac12\abs{\vect{OM}
\wedge\vect v}\dd t = \tfrac12 r^2\dot\theta\,\dd t$. ∎

![A lei das áreas para uma força central: em tempos iguais o raio vetor traçado a partir do centro O varre áreas iguais, de modo que o ponto material se move depressa quando está perto de O e devagar quando está longe — a segunda lei de Kepler, uma consequência apenas da conservação de L_O, qualquer que seja a lei de força.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/fig-48e7c478636a.svg)

*A [lei das áreas](#cor-b1-angular-momentum-central) para uma força central: em tempos iguais o raio vetor traçado a partir do centro $O$ varre áreas iguais, de modo que o [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) se move depressa quando está perto de $O$ e devagar quando está longe — a segunda lei de Kepler, uma consequência apenas da conservação de $\vect L_O$, qualquer que seja a lei de força.*

**Exemplo 15.6 (O pêndulo pelos momentos).**

[Pêndulo simples](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum), com eixo $\Delta$ pelo pivô e perpendicular ao plano de oscilação: $L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$; a tensão encontra o eixo ([momento](#def-b1-angular-momentum-moment) nulo) e o [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) do peso vale $-mg\ell\sin\theta$ ([braço de alavanca](#def-b1-angular-momentum-moment) $\ell\sin\theta$, restaurador). O teorema dá $m\ell^2\ddot\theta =
-mg\ell\sin\theta$, a equação do [Exemplo 12.12](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) sem jamais escrever a tensão — a principal vantagem dos [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment): as forças que passam pelo eixo desaparecem.

**Exemplo 15.7 (Puxando um disco para dentro).**

Um disco desliza sem atrito no gelo em círculo, preso a um fio que passa por um furo no centro; puxa-se o fio de modo que o raio caia à metade. A tensão é central: $L = mr^2\omega$ se conserva, de modo que $\omega$ fica multiplicada por $4$, a velocidade $r\omega$ por $2$ e a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) por $4$ — a energia extra é o trabalho da puxada, à qual o disco resiste todo o caminho para dentro. Os braços da patinadora são a mesma física, com a massa distribuída ([Exercício 15.4](#exo-b1-angular-momentum-4)).

## 15.3 Sistemas de pontos e rotação em torno de um eixo fixo

**Teorema 15.8 (Momento angular de um sistema).**

Para um sistema de [pontos materiais](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame), com $\vect L_O = \sum_i\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ e $O$ fixo num [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws),

$$
\frac{\dd\vect L_O}{\dd t} = \sum\vect{\mathcal M}_O(\vect F_{\mathrm{ext}}):
$$

só contam os [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment) das forças *externas*; as forças internas, que obedecem à lei da [ação e reação](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) ao longo da reta que une os pontos, nada contribuem.

**Demonstração.** Some os teoremas de cada ponto. Para um par interno, $\vect{OM_i}\wedge\vect F_{j\to i}
+ \vect{OM_j}\wedge\vect F_{i\to j} = (\vect{OM_i} - \vect{OM_j})\wedge\vect F_{j\to i}
= \vect{M_jM_i}\wedge\vect F_{j\to i} = \vect 0$, pois a força é dirigida ao longo de $\vect{M_jM_i}$. ∎

**Proposição 15.9 (Rotação rígida em torno de um eixo fixo).**

Se os pontos mantêm distâncias fixas $r_i$ a um eixo $\Delta$ e todos giram em torno dele com a mesma [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega$ (uma rotação rígida),

$$
L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad J_\Delta = \sum_i m_ir_i^2, \qquad
E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2,
$$

sendo $J_\Delta$ o *[momento de inércia](#prop-b1-angular-momentum-inertia)* em relação a $\Delta$, e o teorema se lê $J_\Delta\dot\omega = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})$.

**Demonstração.** Cada ponto contribui com $m_ir_i^2\omega$ para $L_\Delta$ e com $\tfrac12 m_i(r_i\omega)^2$ para $E_k$. O [Capítulo 19](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#ch-b1-systems-of-points) estende isso a sólidos contínuos. ∎

**Exemplo 15.10 (A patinadora).**

De braços abertos, o corpo de uma patinadora tem $J \approx 4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ mais dois braços de $3\,\mathrm{kg}$ a $0.8\,\mathrm{m}$: $J_1 = 4 + 2 \times 3 \times 0.64 =
7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. Braços recolhidos ($0.2\,\mathrm{m}$): $J_2 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$. A reação do gelo e o peso não têm [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) em relação ao eixo vertical: $J\omega$ se conserva e a taxa de giro sobe por $J_1/J_2 = 1.85$ — de $2$ para $3.7$ voltas por segundo — enquanto a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) sobe pelo mesmo fator, paga pelos músculos que recolhem os braços.

![Pontos materiais em rotação rígida em torno de um eixo: cada um percorre o seu próprio círculo com o comum, contribuindo com m_ir_i2 para o momento angular em relação ao eixo. A massa longe do eixo conta com o quadrado da sua distância — os braços abertos da patinadora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-angular-momentum/fig-a2652396ce81.svg)

*[Pontos materiais](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) em rotação rígida em torno de um eixo: cada um percorre o seu próprio círculo com o $\omega$ comum, contribuindo com $m_ir_i^2\omega$ para o [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) em relação ao eixo. A massa longe do eixo conta com o quadrado da sua distância — os braços abertos da patinadora.*

**Observação 15.11 (Estática).**

Um sólido em repouso tem $\vect L_O = \vect 0$ constante: as forças externas devem ter resultante nula *e* [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) total nulo em relação a qualquer ponto. A segunda condição é a lei da alavanca, da balança, da gangorra e do pé de cabra: uma força pequena longe do pivô equilibra uma grande perto dele.

## 15.4 Exercícios

**Exercício 15.1 ★.**

Uma força de $50\,\mathrm{N}$ numa chave a $0.30\,\mathrm{m}$ da porca: [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) quando a força é perpendicular ao cabo; a $60^\circ$ dele; ao longo dele.

**Solução de Exercício 15.1.**

$Fd = 50 \times 0.30 = 15\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $Fd\sin 60^\circ = 13\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; ao longo do cabo a linha de ação passa pela porca: $0$.

**Exercício 15.2 ★.**

[Momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) da Terra em relação ao Sol (órbita circular, $r = 1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, $v = 29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $m = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$), e a sua [velocidade areolar](#cor-b1-angular-momentum-central).

**Solução de Exercício 15.2.**

$L = mrv = 5.97\times10^{24} \times 1.50\times10^{11} \times 2.98\times10^4 =
2.7 \times 10^{40}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$; $\dd A/\dd t = L/2m = rv/2 = 2.2 \times 10^{15}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**Exercício 15.3 ★.**

Um pêndulo cônico (fio de $1.0\,\mathrm{m}$, $30^\circ$ com a vertical, [Exercício 12.9](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#exo-b1-newton-dynamics-9)). Calcule $L$ em relação ao eixo vertical que passa pelo pivô, por unidade de massa, e explique por que ele se conserva embora a tensão do fio e o peso atuem.

**Solução de Exercício 15.3.**

$r = \ell\sin 30^\circ = 0.50\,\mathrm{m}$, $\omega = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: $L_z/m = r^2\omega = 0.84\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$. A linha de ação da tensão passa pelo pivô ([momento](#def-b1-angular-momentum-moment) nulo em relação a qualquer eixo que passe por ele); o peso é paralelo ao eixo vertical ([momento](#def-b1-angular-momentum-moment) nulo em relação a ele): $L_z$ se conserva.

**Exercício 15.4 ★.**

O tronco de uma patinadora tem $J = 4.0\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ em relação ao eixo de giro; cada braço ($3.0\,\mathrm{kg}$) é tratado como um ponto a $0.80\,\mathrm{m}$ e depois a $0.20\,\mathrm{m}$. Taxa de giro depois de recolher os braços, partindo de $2.0\,$ voltas por segundo; razão das [energias cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke); de onde vem a energia extra?

**Solução de Exercício 15.4.**

$J_1 = 4.0 + 2 \times 3.0 \times 0.64 = 7.8\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$, $J_2 = 4.0 +
2 \times 3.0 \times 0.04 = 4.2\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $\omega_2 = \omega_1J_1/J_2 =
1.85\omega_1$: $3.7\,$ voltas por segundo. $E_k = L^2/2J$: razão $J_1/J_2 = 1.85$; são os músculos, ao recolher os braços contra a tendência centrífuga, que realizam o trabalho.

**Exercício 15.5 ★★.**

Deduza a equação do pêndulo $\ell\ddot\theta + g\sin\theta = 0$ a partir do teorema do [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) em relação ao eixo do pivô, e dê o [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) de cada força.

**Solução de Exercício 15.5.**

$L_\Delta = m\ell^2\dot\theta$; tensão: momento nulo (encontra o eixo); peso: $-mg\ell\sin\theta$ ([braço de alavanca](#def-b1-angular-momentum-moment) $\ell\sin\theta$, restaurador). $m\ell^2\ddot\theta = -mg\ell\sin\theta$.

**Exercício 15.6 ★★.**

A distância da Terra ao Sol varia de $1.471 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (periélio) a $1.521 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (afélio). Pela [lei das áreas](#cor-b1-angular-momentum-central), encontre a razão entre as suas velocidades nesses pontos; com uma velocidade média de $29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, dê as duas velocidades.

**Solução de Exercício 15.6.**

$r_pv_p = r_av_a$: $v_p/v_a = r_a/r_p = 1.034$; com $(v_p + v_a)/2 \approx
29.8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $v_p = 30.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $v_a = 29.3\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Exercício 15.7 ★★.**

Um disco de $0.20\,\mathrm{kg}$ gira a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ preso a um fio de $0.50\,\mathrm{m}$ que passa por um furo; o fio é puxado até que o raio valha $0.25\,\mathrm{m}$. Nova velocidade e nova [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular); [energias cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) antes e depois; trabalho realizado pela puxada. Por que a tensão consegue realizar trabalho aqui?

**Solução de Exercício 15.7.**

$L = mrv$ se conserva: $v_2 = v_1r_1/r_2 = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\omega_2 = v_2/r_2
= 16\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ (partindo de $4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$). $E_1 = 0.40\,\mathrm{J}$, $E_2 =
1.6\,\mathrm{J}$: a puxada realiza $1.2\,\mathrm{J}$. A tensão é radial, mas o deslocamento do disco passa a ter uma componente radial (ele entra em espiral): o trabalho $\vect T\cdot\dd\vect\ell$ deixa de ser nulo.

**Exercício 15.8 ★★.**

Uma prancha uniforme de massa $20\,\mathrm{kg}$ e comprimento $4.0\,\mathrm{m}$ repousa sobre um pivô a $1.5\,\mathrm{m}$ da sua extremidade esquerda; uma criança de $30\,\mathrm{kg}$ senta-se na extremidade esquerda. Onde deve sentar-se uma criança de $45\,\mathrm{kg}$ para haver equilíbrio? O que o pivô sustenta?

**Solução de Exercício 15.8.**

[Momentos](#def-b1-angular-momentum-moment) em relação ao pivô (comprimentos medidos a partir dele): criança $30 \times 1.5 =
45$ (à esquerda); peso da prancha no seu centro, $0.5$ à direita: $20 \times
0.5 = 10$ (à direita); segunda criança a $x$ à direita: $45x$. Equilíbrio: $45 = 10 + 45x$, $x = 0.78\,\mathrm{m}$. O pivô sustenta o peso total, $95 \times 9.81 = 932\,\mathrm{N}$.

**Exercício 15.9 ★★.**

Uma máquina de Atwood ($m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$, $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$) pende sobre uma polia de raio $0.10\,\mathrm{m}$ e [momento de inércia](#prop-b1-angular-momentum-inertia) $0.010\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ na qual o fio não escorrega. Usando o teorema do [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) para a polia e a lei de Newton para as massas, encontre a aceleração e as duas tensões. Compare com a polia sem massa.

**Solução de Exercício 15.9.**

Massas: $m_1a = m_1g - T_1$, $m_2a = T_2 - m_2g$; polia: $J\dot\omega =
(T_1 - T_2)R$ com $a = R\dot\omega$. Somando: $a = (m_1 - m_2)g/(m_1 + m_2 +
J/R^2) = 9.81/(3.0 + 1.0) = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (contra $3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$); $T_1 = m_1(g - a) = 14.7\,\mathrm{N}$, $T_2 = m_2(g + a) = 12.3\,\mathrm{N}$ — desiguais, pois a polia precisa de um [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) resultante.

**Exercício 15.10 ★★★.**

Um cometa passa pelo seu periélio a $0.50\,\mathrm{AU}$ do Sol a $40\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Quando está a $10\,\mathrm{AU}$, qual é a componente da sua velocidade perpendicular ao raio vetor? A [lei das áreas](#cor-b1-angular-momentum-central) pode dar a sua velocidade total?

**Solução de Exercício 15.10.**

$r_1v_1 = r_2v_{\perp 2}$: $v_{\perp 2} = 40 \times 0.5/10 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. A [lei das áreas](#cor-b1-angular-momentum-central) dá apenas a componente perpendicular; a radial exige a conservação da energia ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#ch-b1-central-forces)).

**Exercício 15.11 ★★★.**

Uma estrela como o Sol ($R = 7.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, período de rotação $25\,\mathrm{d}$) colapsa numa estrela de nêutrons de raio $10\,\mathrm{km}$, conservando a sua massa e o seu [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) ($J \propto MR^2$). Novo período? Velocidade equatorial? O que esta última diz sobre a hipótese feita?

**Solução de Exercício 15.11.**

$J\omega$ constante com $J \propto R^2$: $T' = T(R'/R)^2 = 25 \times 86400
\times (10^4/7\times10^8)^2 = 4.4 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$. Velocidade equatorial $2\pi R'/T'
= 1.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, metade da velocidade da luz: o colapso não pode conservar todo o [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) — boa parte é expelida (e a relatividade entra em cena).

**Exercício 15.12 ★★★.**

Uma conta desliza sem atrito ao longo de uma haste reta que gira num plano horizontal com $\omega$ constante em torno de um eixo vertical que passa por uma extremidade. Escreva o $L_z$ da conta; mostre que ele *não* se conserva e calcule o [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) que a haste deve exercer; deduza a reação transversal da haste sobre a conta.

**Solução de Exercício 15.12.**

$L_z = mr^2\omega$, e $r$ varia: $\dd L_z/\dd t = 2mr\dot r\omega \neq 0$. Isso deve ser o [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) da reação transversal $N$ da haste: $rN =
2mr\dot r\omega$, logo $N = 2m\dot r\omega$ — a haste empurra a conta lateralmente enquanto ela desliza para fora (o termo de Coriolis do [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/18-referenciais-nao-inerciais-dinamica-na-terra#ch-b1-non-inertial-frames)).

## 15.5 Problema: por que a Lua está indo embora

**Problema 15.1.**

Problema de fim de semana — as marés que a Lua levanta na Terra a puxam para a frente e freiam a Terra: como o momento angular flui dos nossos dias para a órbita da Lua, centímetro a centímetro, e para onde vai a energia

Dados: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$; Terra $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R =
6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, rotação $\Omega = 2\pi/(86\,164\,\mathrm{s})$, [momento de inércia](#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J = 0.33\,MR^2$; Lua $m = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$, órbita tratada como circular, $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$; a telemetria laser lunar mede $\dd r/\dd t = 3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$; o dia se alonga $2.3\,\mathrm{ms}$ por século; $1$ século $= 3.16 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$.

**Parte I — Os [momentos angulares](#def-b1-angular-momentum-L).**

1. Calcule a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) orbital $\omega$ da Lua pela lei de Newton (órbita circular) e confira com o mês sideral de $27.3\,\mathrm{d}$ .
2. Calcule o [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) orbital da Lua, $L_{\text{orb}} =  mr^2\omega$ .
3. Mostre que, para uma órbita circular, $L_{\text{orb}} = m\sqrt{GMr}$ , e deduza $\dd L_{\text{orb}}/\dd r = L_{\text{orb}}/2r$ .
4. Calcule o [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) de rotação da Terra, $L_{\text{rot}} =  J\Omega$ , e compare com $L_{\text{orb}}$ .
5. A Lua gira uma vez por mês: estime o seu [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) de rotação ( $J_m \approx 0.4\,mR_m^2$ , $R_m = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) e justifique desprezá-lo.
6. Que [momentos](#def-b1-angular-momentum-moment) externos agem sobre o sistema Terra–Lua em relação ao seu centro de massa? Argumente que, com boa aproximação, o total $L = L_{\text{rot}} + L_{\text{orb}}$ se conserva.

**Parte II — O [torque](#def-b1-angular-momentum-moment) de maré.** A Lua levanta duas protuberâncias de água na Terra; como a Terra gira mais depressa do que a Lua orbita, o atrito arrasta as protuberâncias à frente da linha Terra–Lua por um pequeno ângulo.

7. Esboce a Terra, a protuberância adiantada e a Lua. Em que sentido age a atração da Lua sobre a protuberância mais próxima, em relação à rotação da Terra?
8. Deduza o sinal do [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) sobre a rotação da Terra: o dia se alonga ou encurta?
9. Por [ação e reação](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) , que [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) age sobre o movimento orbital da Lua? $L_{\text{orb}}$ cresce ou diminui?
10. Pela questão 3, $r$ cresce ou diminui? E a velocidade orbital da Lua, $v = \sqrt{GM/r}$ ?
11. Resolva o aparente paradoxo: a Lua é empurrada para a frente e, ainda assim, acaba se movendo mais devagar.
12. Para que estado final tende essa troca?

**Parte III — Os números.**

13. A partir do alongamento do dia, calcule a variação relativa $\Delta\Omega/\Omega$ por século.
14. Deduza a variação de $L_{\text{rot}}$ por século.
15. Deduza a variação de $L_{\text{orb}}$ por século.
16. Usando a questão 3, converta-a numa variação de $r$ por século e por ano. Compare com o valor da telemetria laser.
17. Em que fração, e em quantos segundos, o mês sideral se alonga por século ( $T \propto r^{3/2}$ )?
18. Calcule a variação da [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de rotação da Terra por século ( $\Delta E = L_{\text{rot}}\Delta\Omega$ em primeira ordem).
19. Calcule a variação da [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em) orbital da Lua, $E_{\text{orb}} = -GMm/2r$ , por século.

**Parte IV — A energia.**

20. Mostre que a Terra perde mais energia do que a Lua ganha, e calcule a diferença por século e a potência correspondente. Para onde ela vai?
21. Compare essa potência com o consumo da humanidade, cerca de $18\,\mathrm{TW}$ , e com o fluxo de calor interno da Terra, cerca de $47\,\mathrm{TW}$ .
22. No estado final da questão 12, dia e mês são iguais: $\Omega = \omega = \sqrt{GM/r^3}$ . Escrevendo a conservação de $L_{\text{rot}} + L_{\text{orb}}$ , verifique que $r \approx  5.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ a satisfaz, e dê o período comum em dias.
23. Por que esse estado nunca será de fato alcançado? (Pense nas marés do Sol.)
24. A Lua já mostra sempre a mesma face à Terra. Explique pelo mesmo mecanismo e diga por que isso aconteceu primeiro com a Lua.
25. Resuma em três linhas: o que se conserva, o que é trocado, o que é dissipado.

**Solução de Problema 15.1.**

**1.** $m\omega^2r = GMm/r^2$: $\omega = \sqrt{GM/r^3} = \sqrt{3.98\times
10^{14}/5.66\times10^{25}} = 2.65 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, período $2\pi/\omega =
2.37 \times 10^{6}\,\mathrm{s} = 27.4\,\mathrm{d}$.

**2.** $L_{\text{orb}} = 7.35\times10^{22} \times 1.475\times10^{17}
\times 2.65\times10^{-6} = 2.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$.

**3.** $v = \sqrt{GM/r}$, $L = mrv = m\sqrt{GMr}$; $\dd L/\dd r =
\tfrac12 m\sqrt{GM/r} = L/2r$.

**4.** $J = 0.33 \times 5.97\times10^{24} \times 4.06\times10^{13} =
8.0 \times 10^{37}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $\Omega = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $L_{\text{rot}} =
5.8 \times 10^{33}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, um quinto de $L_{\text{orb}}$.

**5.** $J_m \approx 0.4 \times 7.35\times10^{22} \times 3.0\times10^{12} =
8.9 \times 10^{34}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$, vezes $\omega$: $2.4 \times 10^{29}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$, $10^{-5}$ do valor orbital: desprezível.

**6.** A atração do Sol age sobre o centro de massa do sistema (sem [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) em relação a ele, em primeira ordem); o seu efeito de maré sobre o par é pequeno: o $L$ total se conserva com a precisão necessária aqui.

**7.** A protuberância mais próxima, adiantada em relação à linha Terra–Lua, é puxada pela Lua com uma força cuja componente tangencial se opõe à rotação da Terra.

**8.** [Momento](#def-b1-angular-momentum-moment) negativo sobre a rotação: a Terra desacelera e o dia se alonga.

**9.** A protuberância puxa a Lua para a frente: [momento](#def-b1-angular-momentum-moment) positivo sobre a órbita, e $L_{\text{orb}}$ cresce.

**10.** $L_{\text{orb}} \propto \sqrt r$ cresce, logo $r$ cresce; $v \propto
1/\sqrt r$ diminui.

**11.** A puxada para a frente realiza trabalho positivo, elevando a energia da Lua; uma órbita mais alta é uma órbita mais lenta: a energia vai para a altura (potencial), mais do que a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) perdida.

**12.** Acoplamento de maré da Terra: dia igual ao mês, sem protuberância adiantada, sem [torque](#def-b1-angular-momentum-moment).

**13.** $\Delta\Omega/\Omega = -2.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}/86\,164\,\mathrm{s} =
-2.7 \times 10^{-8}$ por século.

**14.** $\Delta L_{\text{rot}} = L_{\text{rot}}\Delta\Omega/\Omega =
-1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ por século.

**15.** $\Delta L_{\text{orb}} = +1.55 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ por século.

**16.** $\Delta r = 2r\,\Delta L/L = 2 \times 3.84\times10^8 \times 1.55
\times10^{26}/2.9\times10^{34} = 4.1\,\mathrm{m}$ por século, ou $4.1\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$: próximo dos $3.8\,\mathrm{cm}/\mathrm{yr}$ medidos (o alongamento do dia também tem uma parte não devida às marés).

**17.** $\Delta T/T = \tfrac32\Delta r/r = 1.6\times10^{-8}$: $2.37\times
10^6 \times 1.6\times10^{-8} = 0.04\,\mathrm{s}$ por século.

**18.** $\Delta E_{\text{rot}} = L_{\text{rot}}\Delta\Omega = 5.8\times10^{33}
\times 7.29\times10^{-5} \times (-2.7\times10^{-8}) = -1.1 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ por século.

**19.** $\Delta E_{\text{orb}} = GMm\Delta r/2r^2 = 2.93\times10^{37}
\times 4.1/(2 \times 1.475\times10^{17}) = +4.1 \times 10^{20}\,\mathrm{J}$ por século.

**20.** Saldo $-1.1\times10^{22} + 4\times10^{20} \approx -1.06 \times 10^{22}\,\mathrm{J}$ por século: $3.4\times10^{12}\ \mathrm{W}$, dissipados como calor pelo atrito de maré nos oceanos e na Terra sólida.

**21.** Um quinto da potência da humanidade e um catorze avos do fluxo geotérmico — um aquecedor pequeno, mas permanente.

**22.** $L_{\text{tot}} = 3.5\times10^{34}$. Em $r = 5.5\times10^8$: $\omega = \sqrt{GM/r^3} = 1.55 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $J\omega = 1.2\times10^{32}$, $m\sqrt{GMr} = 7.35\times10^{22} \times 4.68\times10^{11} = 3.44\times10^{34}$; soma $3.45\times10^{34}$: coerente. Período $2\pi/\omega = 4.1 \times 10^{6}\,\mathrm{s}
= 47\,\mathrm{d}$.

**23.** As marés do Sol continuam freando a Terra abaixo da taxa orbital da Lua, de modo que o [torque](#def-b1-angular-momentum-moment) Terra–Lua se inverteria; além disso, o Sol terá evoluído muito antes (a escala de tempo é de dezenas de bilhões de anos).

**24.** A Terra levantou marés na Lua, que frearam a sua rotação até que uma face ficasse voltada para nós; sendo mais leve e mais próxima de um parceiro mais pesado, o acoplamento da Lua foi muito mais rápido.

**25.** Conserva-se: o [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) total. É trocado: [momento angular](#def-b1-angular-momentum-L) da rotação da Terra para a órbita da Lua, cerca de $1.6 \times 10^{26}\,\mathrm{SI}$ por século. É dissipada: a [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em), alguns terawatts, como calor de maré.