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title: "Forças centrais: planetas e satélites"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 16
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites
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# Capítulo 16 — Forças centrais: planetas e satélites

Trinta e um satélites dão duas voltas por dia em torno da Terra, cada um um relógio e um rádio, e um celular que ouve quatro deles sabe onde está com alguns metros de precisão. O cometa Halley cai rumo ao Sol durante trinta e oito anos, contorna-o em poucas semanas e volta a subir por mais trinta e oito. Uma sonda rumo a Marte deixa a Terra exatamente com a velocidade que fará o seu trajeto apenas tangenciar a órbita de Marte. Tudo isso é o movimento de um corpo atraído para um ponto fixo por uma força que cai com o inverso do quadrado da distância, e tudo isso decorre de duas grandezas conservadas — a energia e o [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) — mais uma única ideia nova, o potencial efetivo. Este capítulo deduz a forma e as velocidades das órbitas, as três [leis de Kepler](#thm-b1-central-forces-conics) e a aritmética de pôr um satélite onde se quer.

## 16.1 Forças centrais conservativas

**Definição 16.1 (Força central; força central conservativa).**

Uma força é *central* com centro $O$ se está sempre dirigida ao longo de $\vect{OM}$: $\vect F = F(M)\,\vect e_r$. Ela é *central conservativa* se o seu módulo depende apenas de $r = OM$: $\vect F =
F(r)\,\vect e_r$, o que decorre de uma [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p(r)$ com $F(r) = -\dd E_p/\dd r$.

**Teorema 16.2 (Movimento sob uma força central conservativa).**

Um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) de massa $m$ submetido apenas a uma [força central](#def-b1-central-forces-central) conservativa:

1. conserva o seu [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) $\vect L_O$ ; o seu movimento é plano e, em [coordenadas polares](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-cylindrical) nesse plano, $r^2\dot\theta = C$ é constante ( [lei das áreas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#cor-b1-angular-momentum-central) , [Corolário 15.5](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#cor-b1-angular-momentum-central) );
2. conserva a sua [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em) $E_m = \tfrac12 m(\dot r^2 + r^2\dot\theta^2)  + E_p(r)$, que se pode escrever $$E_m = \tfrac12 m\dot r^2 + E_{p,\mathrm{eff}}(r), \qquad  E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_p(r) + \frac{mC^2}{2r^2} = E_p(r) + \frac{L^2}{2mr^2} .$$

O movimento radial é, portanto, o de um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) unidimensional no *potencial efetivo* $E_{p,\mathrm{eff}}$: os [pontos de retorno](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-turning) radiais são as raízes de $E_{p,\mathrm{eff}}(r) = E_m$, o movimento é ligado se ficar preso entre dois deles, e circular se $r$ se situar num mínimo de $E_{p,\mathrm{eff}}$.

**Demonstração.** A parte 1 é o [Corolário 15.5](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#cor-b1-angular-momentum-central). A força é conservativa e nenhuma outra atua, de modo que $E_m$ se conserva; no plano, $v^2 = \dot r^2 + r^2\dot\theta^2$ e $r^2\dot\theta^2 = C^2/r^2$. O termo $mC^2/2r^2$, [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) do movimento angular, age como uma *[barreira centrífuga](#prop-b1-central-forces-effective)* repulsiva no problema radial, ao qual se aplica a análise unidimensional do [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#ch-b1-work-and-energy). ∎

## 16.2 A gravitação newtoniana

**Definição 16.3 (Gravitação universal).**

Uma massa pontual $M$ em $O$ atrai uma massa pontual $m$ em $M$ com

$$
\vect F = -\frac{GMm}{r^2}\,\vect e_r, \qquad E_p = -\frac{GMm}{r} \quad (E_p \to 0 \text{ no infinito}),
$$

com $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$. Um corpo de simetria esférica atrai, fora de si, como se toda a sua massa estivesse no centro (admitido; é consequência do teorema de Gauss, [Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#ch-b1-electrostatics-gauss)).

**Proposição 16.4 (O potencial efetivo da gravitação).**

Para $E_p = -GMm/r$,

$$
E_{p,\mathrm{eff}}(r) = -\frac{GMm}{r} + \frac{L^2}{2mr^2}
$$

tende a $+\infty$ quando $r \to 0$ (para $L \neq 0$) e a $0^-$ no infinito, e tem um único mínimo em $r_c = L^2/GMm^2$, de valor $-G^2M^2m^3/2L^2$. Daí: $E_m < 0$ — [movimento ligado](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-turning) entre um raio mínimo e um raio máximo (perigeu e apogeu); $E_m \geq 0$ — não ligado, o corpo vem do infinito e a ele retorna; $E_m$ igual ao mínimo — [órbita circular](#prop-b1-central-forces-effective) de raio $r_c$.

**Demonstração.** Os limites por inspeção; $E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ em $r_c$; substitua. O caso circular é $\dot r = 0$ para sempre, possível apenas no mínimo. ∎

![O potencial efetivo da gravitação newtoniana: a atração -GMm/r mais a barreira centrífuga L2/2mr2. Abaixo da energia zero o movimento radial fica preso entre dois pontos de retorno (perigeu, apogeu); no mínimo a órbita é circular; em zero ou acima dele o corpo escapa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/fig-52bd54311537.svg)

*O potencial efetivo da [gravitação](#def-b1-central-forces-gravitation) newtoniana: a atração $-GMm/r$ mais a [barreira centrífuga](#prop-b1-central-forces-effective) $L^2/2mr^2$. Abaixo da energia zero o movimento radial fica preso entre dois [pontos de retorno](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-turning) (perigeu, apogeu); no mínimo a órbita é circular; em zero ou acima dele o corpo escapa.*

**Teorema 16.5 (Órbitas circulares).**

Numa [órbita circular](#prop-b1-central-forces-effective) de raio $r$ em torno de uma massa $M$:

$$
v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad
T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \qquad
E_m = -\frac{GMm}{2r} = -E_k = \tfrac12 E_p .
$$

Em particular, $T^2/r^3 = 4\pi^2/GM$ é o mesmo para todas as [órbitas circulares](#prop-b1-central-forces-effective) em torno do mesmo centro ([terceira lei de Kepler](#thm-b1-central-forces-circular)).

**Demonstração.** O [movimento circular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) uniforme exige a [força centrípeta](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-centripetal) $mv^2/r = GMm/r^2$; $T = 2\pi r/v$; $E_k = \tfrac12 mv^2 = GMm/2r$ e $E_p = -GMm/r$. ∎

**Exemplo 16.6 (Três órbitas).**

$GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$. Órbita baixa ($r = 6770\,\mathrm{km}$, $400\,\mathrm{km}$ de altitude): $v = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $T = 92\,\mathrm{min}$. Geoestacionária ($T = 86\,164\,\mathrm{s}$, um dia sideral): $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} =
42\,200\,\mathrm{km}$, $v = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. A Lua ($r = 384\,000\,\mathrm{km}$): $T = 27.4\,\mathrm{d}$ — e a sua [aceleração centrípeta](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $v^2/r =
2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vale $g/3600$ a sessenta raios terrestres: o inverso do quadrado, verificado pelo próprio Newton.

## 16.3 As leis de Kepler e a forma das órbitas

**Teorema 16.7 (Trajetórias num campo newtoniano).**

A [trajetória](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) de um corpo no campo de uma massa fixa $M$ é uma cônica com $O$ num dos focos: uma elipse se $E_m < 0$, uma parábola se $E_m = 0$ e uma hipérbole se $E_m > 0$. Para a elipse de semieixo maior $a$ e excentricidade $e$:

- (Kepler I) o centro de força está num foco; perigeu e apogeu ficam em $r_p = a(1 - e)$ e $r_a = a(1 + e)$ ;
- (Kepler II) a [velocidade areolar](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#cor-b1-angular-momentum-central) é constante ( [lei das áreas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#cor-b1-angular-momentum-central) );
- (Kepler III) o período obedece a $T^2 = 4\pi^2a^3/GM$ ;
- a energia depende apenas de $a$, $E_m = -GMm/2a$, de modo que a velocidade à distância $r$ é dada por $$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) .$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 16.8 (O que é demonstrado e o que é admitido).**

Kepler II e a classificação por energia foram demonstrados acima. Que as órbitas ligadas sejam exatamente elipses com $O$ num foco, com Kepler III e $E_m = -GMm/2a$ em geral, exige a integração da equação radial (o volume do segundo ano a faz); para [órbitas circulares](#prop-b1-central-forces-effective) ($a = r$, $e = 0$) toda afirmação se reduz ao [Teorema 16.5](#thm-b1-central-forces-circular), que é a verificação possível aqui. A relação $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ decorre de $E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/r = -GMm/2a$, uma vez concedida essa fórmula da energia.

![À esquerda: uma órbita elíptica em torno do foco O — semieixo maior a, semieixo menor b, distância focal c = ea; o corpo é mais rápido no perigeu P e mais lento no apogeu A. À direita: uma hipérbole (energia positiva) e uma parábola (energia nula) em torno do mesmo foco — os trajetos não ligados de cometas e sondas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/fig-2c1aadf4ebcf.svg)

*À esquerda: uma órbita elíptica em torno do foco $O$ — semieixo maior $a$, semieixo menor $b$, [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $c = ea$; o corpo é mais rápido no perigeu $P$ e mais lento no apogeu $A$. À direita: uma hipérbole (energia positiva) e uma parábola (energia nula) em torno do mesmo foco — os trajetos não ligados de cometas e sondas.*

**Exemplo 16.9 (O cometa Halley).**

Periélio $0.586\,\mathrm{AU}$, afélio $35.1\,\mathrm{AU}$: $a = 17.8\,\mathrm{AU}$, $e = 0.967$, $T = \sqrt{17.8^3} = 75$ anos (Kepler III em unidades astronômicas e anos, em que $T^2 = a^3$ para o Sol). Com $GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, a velocidade no periélio vale $\sqrt{GM(2/r_p - 1/a)} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e no afélio $0.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — sessenta vezes mais lenta, como a [lei das áreas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#cor-b1-angular-momentum-central) exige ($r_pv_p = r_av_a$).

## 16.4 Satélites

**Proposição 16.10 (Velocidade de escape; órbita geoestacionária).**

A partir da superfície de um corpo de massa $M$ e raio $R$, a menor velocidade de lançamento capaz de alcançar o infinito é $v_e = \sqrt{2GM/R} = \sqrt2\,v_c$, em que $v_c = \sqrt{GM/R}$ é a velocidade circular ao nível do solo: $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ para a Terra. Um satélite *geoestacionário* orbita no plano equatorial com o período sideral da Terra, a $r = 42\,200\,\mathrm{km}$ ($35\,800\,\mathrm{km}$ de altitude).

**Demonstração.** $E_m \geq 0$: $\tfrac12 mv_e^2 - GMm/R = 0$. Kepler III com $T = 86\,164\,\mathrm{s}$. ∎

**Proposição 16.11 (Transferência de Hohmann).**

Para levar um satélite de uma [órbita circular](#prop-b1-central-forces-effective) de raio $r_1$ a uma [órbita circular](#prop-b1-central-forces-effective) coplanar de raio $r_2 > r_1$ com duas queimas breves, acione o motor em $r_1$ para entrar na *elipse de transferência* de perigeu $r_1$ e apogeu $r_2$ ($a = (r_1 + r_2)/2$), percorra meio período e acione de novo em $r_2$ para circularizar:

$$
\Delta v_1 = \sqrt{\frac{GM}{r_1}}\left(\sqrt{\frac{2r_2}{r_1 + r_2}} - 1\right),
\qquad
\Delta v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}\left(1 - \sqrt{\frac{2r_1}{r_1 + r_2}}\right),
\qquad
t = \pi\sqrt{\frac{(r_1 + r_2)^3}{8GM}} .
$$

**Demonstração.** As velocidades na elipse de transferência vêm de $v^2 = GM(2/r - 1/a)$ em $r_1$ e $r_2$; subtraia as velocidades circulares; e tome metade do período do [Teorema 16.7](#thm-b1-central-forces-conics). ∎

![Uma transferência de Hohmann entre duas órbitas circulares: uma primeira queima na órbita interna eleva o apogeu até r_2; meia elipse depois, uma segunda queima eleva o perigeu — a rota de dois acionamentos de menor consumo, e a que leva uma sonda a Marte.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/fig-39f0cc0530ce.svg)

*Uma [transferência de Hohmann](#prop-b1-central-forces-hohmann) entre duas [órbitas circulares](#prop-b1-central-forces-effective): uma primeira queima na órbita interna eleva o apogeu até $r_2$; meia elipse depois, uma segunda queima eleva o perigeu — a rota de dois acionamentos de menor consumo, e a que leva uma sonda a Marte.*

**Exemplo 16.12 (Da órbita baixa à geoestacionária).**

$r_1 = 6770\,\mathrm{km}$, $r_2 = 42\,200\,\mathrm{km}$: $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\Delta v_2 = 1.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, com $5.3\,\mathrm{h}$ de percurso. O total, $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, é metade do que o lançamento até a órbita baixa já custou: a “última milha” rumo a uma órbita alta é cara, e os satélites levam o próprio motor para ela.

**Observação 16.13 (Centros repulsivos).**

Para uma força repulsiva em inverso do quadrado (duas cargas de mesmo sinal, [Capítulo 26](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#ch-b1-electrostatics-gauss)) o potencial efetivo não tem poço: toda [trajetória](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) é uma hipérbole, a partícula se aproxima, é desviada e vai embora. Lançando uma partícula $\alpha$ direto contra um núcleo de ouro, a sua distância de máxima aproximação decorre só da energia, $E_k =
2Ze^2/4\pi\varepsilon_0 r_{\min}$ — o modo como Rutherford limitou o tamanho do núcleo ([Exercício 16.11](#exo-b1-central-forces-11)).

## 16.5 Exercícios

**Exercício 16.1 ★.**

A Estação Espacial Internacional orbita a $400\,\mathrm{km}$ de altitude ($R_\oplus = 6370\,\mathrm{km}$, $GM_\oplus = 3.99 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$). Velocidade, período e número de nasceres do Sol que a sua tripulação vê por dia.

**Solução de Exercício 16.1.**

$r = 6770\,\mathrm{km}$: $v = \sqrt{GM/r} = 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi r/v
= 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 92\,\mathrm{min}$; $1440/92 \approx 16$ nasceres do Sol por dia.

**Exercício 16.2 ★.**

Encontre o raio e a altitude da [órbita geoestacionária](#prop-b1-central-forces-escape) a partir do dia sideral de $86\,164\,\mathrm{s}$, e a [velocidade orbital](#thm-b1-central-forces-circular).

**Solução de Exercício 16.2.**

$r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.99\times10^{14} \times 7.42\times10^9/39.5)^{1/3}
= 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$: altitude $35\,800\,\mathrm{km}$; $v = 2\pi r/T = 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Exercício 16.3 ★.**

[Velocidade de escape](#prop-b1-central-forces-escape) da Terra e da Lua ($GM = 4.90 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $R = 1740\,\mathrm{km}$). Por que a Lua não conserva atmosfera?

**Solução de Exercício 16.3.**

$v_e = \sqrt{2GM/R}$: Terra $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; Lua $\sqrt{2 \times 4.90\times
10^{12}/1.74\times10^6} = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. As moléculas de um gás, a algumas centenas de metros por segundo, têm uma cauda da distribuição de velocidades acima de $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; em tempos geológicos o gás da Lua vazou para o espaço.

**Exercício 16.4 ★.**

Marte tem $a = 1.524\,\mathrm{AU}$ e Júpiter $5.20\,\mathrm{AU}$: os seus anos, pela [terceira lei de Kepler](#thm-b1-central-forces-circular). E um corpo a $30\,\mathrm{AU}$ (Netuno)?

**Solução de Exercício 16.4.**

$T = a^{3/2}$ (anos, AU): Marte $1.88\,\mathrm{yr}$; Júpiter $11.9\,\mathrm{yr}$; a $30\,\mathrm{AU}$: $164\,\mathrm{yr}$.

**Exercício 16.5 ★★.**

Energia necessária para pôr $1000\,\mathrm{kg}$ na órbita da EEI a partir do repouso na superfície (despreze a rotação da Terra e o ar). Compare com a energia química da gasolina ($46\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$).

**Solução de Exercício 16.5.**

$\Delta E = \tfrac12 mv^2 + GMm(1/R - 1/r) = 2.94\times10^{10} + 3.99\times
10^{17} \times (1.570 - 1.477)\times10^{-7} = 2.94\times10^{10} + 0.37\times
10^{10} = 3.3 \times 10^{10}\,\mathrm{J}$ — $33\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$, a energia de $0.7\,\mathrm{kg}$ de gasolina por quilograma posto em órbita (os foguetes precisam de muito mais, por terem de erguer o próprio combustível).

**Exercício 16.6 ★★.**

Cometa Halley: periélio $0.586\,\mathrm{AU}$, afélio $35.1\,\mathrm{AU}$. Calcule $a$, $e$, o período e as velocidades no periélio e no afélio ($GM_\odot = 1.33 \times 10^{20}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $1\,\mathrm{AU} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$).

**Solução de Exercício 16.6.**

$a = (0.586 + 35.1)/2 = 17.8\,\mathrm{AU}$; $e = (35.1 - 0.586)/35.7 = 0.967$; $T = 17.8^{3/2} = 75\,\mathrm{yr}$. $v_p^2 = GM(2/r_p - 1/a)$ com $r_p =
8.77\times10^{10}$ m e $a = 2.67\times10^{12}$ m: $v_p = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; $v_a = v_pr_p/r_a = 0.91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Exercício 16.7 ★★.**

[Transferência de Hohmann](#prop-b1-central-forces-hohmann) da órbita da EEI ($6770\,\mathrm{km}$) para a [órbita geoestacionária](#prop-b1-central-forces-escape) ($42\,200\,\mathrm{km}$): as duas queimas, o total e a duração.

**Solução de Exercício 16.7.**

$a = 24\,490\,\mathrm{km}$. $v_1 = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; na elipse, em $r_1$: $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} = 10.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $\Delta v_1 = 2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Em $r_2$: $\sqrt{GM(2/r_2 - 1/a)} = 1.62\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, contra a circular $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: $\Delta v_2 = 1.45\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Total $3.85\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; duração $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{s} = 5.3\,\mathrm{h}$.

**Exercício 16.8 ★★.**

Mostre que o mínimo de $E_{p,\mathrm{eff}}$ fica em $r_c = L^2/GMm^2$ e que as [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability) radiais em torno dele têm [frequência angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\sqrt{GM/r_c^3}$ — a própria frequência orbital. O que isso diz sobre uma [órbita circular](#prop-b1-central-forces-effective) ligeiramente perturbada?

**Solução de Exercício 16.8.**

$E_{p,\mathrm{eff}}' = GMm/r^2 - L^2/mr^3 = 0$ em $r_c = L^2/GMm^2$. $E_{p,\mathrm{eff}}'' = -2GMm/r^3 + 3L^2/mr^4$; em $r_c$, $L^2 = GMm^2r_c$ dá $E'' = GMm/r_c^3$, logo $\omega_r^2 = E''/m = GM/r_c^3 = \omega_{\text{orb}}^2$. Uma pequena perturbação radial oscila exatamente uma vez por revolução: a órbita se fecha sobre si mesma — uma elipse pouco excêntrica, e não uma roseta.

**Exercício 16.9 ★★.**

Os astronautas a bordo da EEI flutuam. Explique pelas forças; qual é o valor de $g$ na sua altitude, e por que isso não contradiz a flutuação?

**Solução de Exercício 16.9.**

Só a gravidade age sobre a estação e a tripulação, igualmente; ambas caem na mesma órbita, de modo que não é preciso força de contato entre elas — nenhum piso empurra, donde a “ausência de peso”. $g = GM/r^2 = 3.99\times10^{14}/(6.77\times10^6)^2
= 8.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: a gravidade está quase com toda a força; o peso não está ausente, ele está inteiramente empregado em curvar a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame).

**Exercício 16.10 ★★★.**

O “teste da Lua” de Newton: calcule a [aceleração centrípeta](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) da Lua a partir de $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ e $T = 27.3\,\mathrm{d}$, e compare com $g(R/r)^2$. Conclua.

**Solução de Exercício 16.10.**

$a = 4\pi^2r/T^2 = 39.5 \times 3.84\times10^8/(2.36\times10^6)^2 =
2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $g(R/r)^2 = 9.81/60.3^2 = 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: a mesma lei de força que derruba uma maçã segura a Lua, diluída como $1/r^2$.

**Exercício 16.11 ★★★.**

Uma partícula $\alpha$ ($q = 2e$, $E_k = 5.0\,\mathrm{MeV}$) é lançada direto contra um núcleo de ouro ($Z = 79$), tomado como fixo. Usando a conservação da energia com $E_p = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r$ ($1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$), encontre a distância de máxima aproximação; compare com o raio nuclear, cerca de $7\,\mathrm{fm}$. Que energia seria necessária para tocar o núcleo?

**Solução de Exercício 16.11.**

$E_k = 2Ze^2/4\pi\varepsilon_0r_{\min}$: $r_{\min} = 8.99\times10^9 \times 2 \times 79
\times (1.60\times10^{-19})^2/8.0\times10^{-13} = 4.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{m} = 45\,\mathrm{fm}$, seis vezes o raio nuclear: a partícula $\alpha$ volta antes de tocá-lo. Para chegar a $7\,\mathrm{fm}$: $E_k \approx 32\,\mathrm{MeV}$.

**Exercício 16.12 ★★★.**

Um satélite em órbita baixa é freado pela atmosfera residual, de modo que a sua [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em) diminui. Mostre, com $E_m = -GMm/2r$ e $v = \sqrt{GM/r}$, que ele passa então a se mover *mais depressa*. Para onde vai a energia, e que fração da [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) perdida vira calor?

**Solução de Exercício 16.12.**

$E_m = -GMm/2r$ diminui $\Rightarrow$ $r$ diminui $\Rightarrow$ $v =
\sqrt{GM/r}$ aumenta. A [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) $GMm/2r$ sobe de $\abs{\Delta E}$ enquanto a [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) $-GMm/r$ cai de $2\abs{\Delta E}$: metade da [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) liberada vira cinética, e metade é dissipada como calor pelo arrasto.

![Um satélite GPS (concepção artística da NASA): um dos trinta e tantos da constelação a 20\,200\, km do problema de fim de semana, cada um um relógio numa órbita kepleriana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-central-forces/img-cc30b677620c.jpg)

*Um satélite GPS (concepção artística da NASA): um dos trinta e tantos da constelação a $20\,200\,\mathrm{km}$ do problema de fim de semana, cada um um relógio numa órbita kepleriana.*

## 16.6 Problema: os satélites que dizem onde você está

**Problema 16.1.**

Problema de fim de semana — uma constelação de navegação a vinte mil quilômetros de altitude: a sua órbita, o combustível para chegar lá, quantos satélites um celular consegue ver e por que os seus relógios precisam ser ajustados para atrasar

Dados: $GM_\oplus = 3.986 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $R_\oplus = 6371\,\mathrm{km}$, dia sideral $86\,164\,\mathrm{s}$, $c = 2.998 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Os satélites dão a volta na Terra em exatamente meio dia sideral, em [órbitas circulares](#prop-b1-central-forces-effective).

**Parte I — A órbita.**

1. Calcule o raio orbital e a altitude.
2. Calcule a [velocidade orbital](#thm-b1-central-forces-circular) .
3. Calcule a aceleração do satélite e compare-a com $g$ na superfície.
4. Calcule a [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em) por quilograma, e as partes cinética e potencial.
5. Por que escolher meio dia sideral e não meio dia solar? O que um observador em terra vê se repetir?
6. Visto de um satélite, que ângulo o disco da Terra subtende?
7. Compare o raio dessa órbita com o da geoestacionária; qual é mais alta, e por qual fator?

**Parte II — Chegar lá.**

8. Energia por quilograma para ir do repouso na superfície até a órbita final (despreze o ar e a rotação da Terra).
9. O lançador atinge primeiro uma [órbita circular](#prop-b1-central-forces-effective) baixa a $400\,\mathrm{km}$ . Qual a velocidade ali?
10. [Transferência de Hohmann](#prop-b1-central-forces-hohmann) daquela órbita para a final: as duas queimas e a sua soma.
11. Duração da transferência.
12. Compare a soma das queimas com a [velocidade de escape](#prop-b1-central-forces-escape) a partir da órbita baixa: quão longe de “deixar a Terra” está esta missão?
13. O estágio superior e o satélite têm $2000\,\mathrm{kg}$ antes da transferência; a velocidade de exaustão do motor vale $3.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e a equação do foguete dá $\Delta v = u\ln(m_0/m_1)$ . Quanto propelente é preciso para as duas queimas?

**Parte III — Cobertura e cronometragem.**

14. Um satélite é visível de todo ponto da Terra que fique dentro do cone de semiângulo $\theta$ com $\cos\theta = R/r$ em torno da linha Terra–satélite. Calcule $\theta$ e a fração $(1 - \cos\theta)/2$ da superfície da Terra que ele cobre.
15. Com $24$ satélites distribuídos uniformemente, quantos são visíveis em média de um dado ponto? O mínimo de $4$ necessário para uma posição é plausível?
16. Tempo de percurso da luz de um satélite no zênite; e no horizonte.
17. Para localizar o receptor com $3\,\mathrm{m}$ de precisão, com que precisão os sinais devem ser cronometrados?
18. O relógio do próprio receptor é um quartzo barato, errado em milissegundos: por que são necessários quatro satélites em vez de três?
19. Os relógios dos satélites são atômicos. Dê a estabilidade relativa necessária para um erro de $3\,\mathrm{m}$ após um dia.

**Parte IV — A relatividade, em resumo.** Dois efeitos deslocam os relógios dos satélites em relação aos relógios em terra (fórmulas admitidas, do volume do terceiro ano): o movimento atrasa um relógio na fração $v^2/2c^2$; a altitude o adianta em $GM(1/R - 1/r)/c^2$.

20. Calcule o atraso devido à velocidade, em microssegundos por dia.
21. Calcule o adiantamento devido à altitude, em microssegundos por dia.
22. Efeito líquido e erro de posição que ele causaria por dia se não fosse corrigido.
23. Os relógios dos satélites são ajustados antes do lançamento para $10.229\,999\,995\,43\,\mathrm{MHz}$ em vez de $10.23\,\mathrm{MHz}$ . Verifique que isso compensa o efeito líquido.
24. As órbitas não são exatamente keplerianas: nomeie três perturbações e diga como o sistema lida com elas.
25. Resuma a cadeia: duas leis de conservação, uma órbita, uma constelação e a única correção que ninguém teria adivinhado.

**Solução de Problema 16.1.**

**1.** $T = 43\,082\,\mathrm{s}$: $r = (GMT^2/4\pi^2)^{1/3} = (3.986\times10^{14}
\times 1.856\times10^9/39.48)^{1/3} = 2.656 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$; altitude $20\,190\,\mathrm{km}$.

**2.** $v = \sqrt{GM/r} = 3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**3.** $a = v^2/r = GM/r^2 = 0.565\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = g(R/r)^2$, dezessete vezes mais fraca que na superfície — mas não nula: o satélite cai continuamente em torno da Terra.

**4.** $E_m/m = -GM/2r = -7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$; $E_k/m = +7.5\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$, $E_p/m = -15.0\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$.

**5.** A Terra gira uma vez por dia sideral em relação às estrelas (o [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) da órbita); após duas órbitas o satélite está de novo sobre o mesmo ponto do solo: os traços em terra se repetem a cada dia sideral.

**6.** $\sin\beta = R/r = 0.240$: $\beta = 13.9^\circ$, um disco de $28^\circ$ de largura.

**7.** Geoestacionária $42\,200\,\mathrm{km}$: $1.59$ vezes mais alta; a órbita de navegação fica abaixo dela.

**8.** $GM(1/R - 1/2r) = 3.986\times10^{14}(1.570\times10^{-7} - 1.88\times
10^{-8}) = 5.5 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{kg} = 55\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$.

**9.** $r_1 = 6771\,\mathrm{km}$: $v = 7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**10.** $a = 16\,665\,\mathrm{km}$; em $r_1$: $\sqrt{GM(2/r_1 - 1/a)} =
9.69\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\Delta v_1 = 2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; em $r_2$: $2.47\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ contra a circular $3.87\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, $\Delta v_2 = 1.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; total $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**11.** $\pi\sqrt{a^3/GM} = 1.07 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx 3.0\,\mathrm{h}$.

**12.** Escape a partir da órbita baixa: $(\sqrt2 - 1)\times 7.67 = 3.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$: os $3.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ da missão o superam — alcançar esta órbita custa mais ou menos o mesmo que deixar a Terra de vez.

**13.** $m_0/m_1 = \eu^{3.4/3.0} = 3.1$: $m_1 = 640\,\mathrm{kg}$, propelente $1360\,\mathrm{kg}$ — dois terços da massa.

**14.** $\cos\theta = 0.240$, $\theta = 76^\circ$; fração $(1 - 0.240)/2
= 0.38$.

**15.** $24 \times 0.38 = 9$ em média; quatro é confortavelmente superado quase sempre.

**16.** Zênite: $2.02\times10^7/c = 67\,\mathrm{ms}$; horizonte: distância $\sqrt{r^2 - R^2} = 2.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, $86\,\mathrm{ms}$.

**17.** $3/c = 10\,\mathrm{ns}$.

**18.** O desvio do relógio do receptor é uma quarta incógnita, além das suas três coordenadas: quatro distâncias, quatro equações.

**19.** $10^{-8}\ \mathrm{s}/86\,400\,\mathrm{s} \approx 1 \times 10^{-13}$.

**20.** $v^2/2c^2 = (3874)^2/(2 \times 8.99\times10^{16}) = 8.3 \times 10^{-11}$: $8.3\times10^{-11} \times 86400 = 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, de atraso.

**21.** $GM(1/R - 1/r)/c^2 = 3.986\times10^{14} \times 1.19\times10^{-7}/
8.99\times10^{16} = 5.3 \times 10^{-10}$: $45.7\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, de adiantamento.

**22.** Saldo $+38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia; $c \times 38.5\times10^{-6}
= 11.5\,\mathrm{km}$ de erro por dia.

**23.** $(10.23 - 10.22999999543)/10.23 = 4.47 \times 10^{-10}$, coincidindo com o saldo $4.5\times10^{-10}$ ($38.5\,\text{µ}\mathrm{s}$ em $86\,400\,\mathrm{s}$).

**24.** O achatamento equatorial da Terra, a atração da Lua e do Sol e a pressão de radiação solar (além de pequenos acionamentos de propulsores): o segmento de solo mede as órbitas continuamente e envia efemérides atualizadas, que os satélites transmitem.

**25.** A energia e o [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) fixam uma [órbita circular](#prop-b1-central-forces-effective) a partir do seu período; Kepler III a posiciona; a geometria fixa a cobertura e os tempos de luz; e os relógios — o coração do sistema — precisam ser corrigidos pela relatividade em $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ por dia, ou o posicionamento se desvia dez quilômetros até o anoitecer.