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title: "Referenciais não inerciais; dinâmica na Terra"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 18
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/18-referenciais-nao-inerciais-dinamica-na-terra
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# Capítulo 18 — Referenciais não inerciais; dinâmica na Terra

Em pé num ônibus que faz uma curva à esquerda, você se inclina para a direita, empurrado por uma força que ninguém exerce. Um balde de água girado sobre um prato giratório escava a sua superfície em forma de tigela. Sob a cúpula de um museu um pêndulo oscila durante horas, e a linha da sua oscilação gira devagar, alguns graus por hora, como se uma mão invisível a fizesse girar. Nenhuma dessas é uma força nova: é o aspecto que as [leis de Newton](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) assumem quando o [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) em que se descreve o movimento está ele próprio acelerado ou em rotação. Este capítulo mostra como velocidades e acelerações se transformam de um [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) para outro, como se consertam as leis da dinâmica acrescentando *[forças de inércia](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)*, e o que essas forças fazem no mais importante de todos os referenciais girantes — a Terra.

![O pêndulo de Foucault do Panteão, em Paris, onde foi pendurado pela primeira vez em 1851: 67\, m de fio, uma massa de 28\, kg e um plano de oscilação que gira em relação ao piso. Fotografia: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-non-inertial-frames/img-1a8e4a77e632.jpg)

*O [pêndulo de Foucault](#prop-b1-non-inertial-frames-foucault) do Panteão, em Paris, onde foi pendurado pela primeira vez em 1851: $67\,\mathrm{m}$ de fio, uma massa de $28\,\mathrm{kg}$ e um plano de oscilação que gira em relação ao piso. Fotografia: Olga Khomitsevich, CC BY 2.0.*

## 18.1 Mudança de referencial: cinemática

**Definição 18.1 (Movimento relativo; referencial em translação, em rotação).**

Seja $\mathcal R$ um [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) (origem $O$) e $\mathcal R'$ um outro (origem $O'$) que se move em relação a ele. $\mathcal R'$ está *em translação* se os seus eixos mantêm direções fixas em $\mathcal R$ (todo ponto de $\mathcal R'$ tem a velocidade de $O'$); está *em rotação em torno de um eixo fixo* $\Delta$ se $\Delta$ é fixo nos dois referenciais e $\mathcal R'$ gira em torno dele com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega(t)$. A velocidade e a aceleração de um ponto $M$ *relativas* a $\mathcal R'$, $\vect v'$ e $\vect a'$, são as que mede um observador em repouso em $\mathcal R'$.

**Teorema 18.2 (Composição das velocidades e das acelerações).**

- $\mathcal R'$ em translação com velocidade $\vect v_{O'}$ e aceleração $\vect a_{O'}$: $$\vect v = \vect v' + \vect v_{O'}, \qquad \vect a = \vect a' + \vect a_{O'} .$$
- $\mathcal R'$ girando em torno do eixo fixo $\Delta$ com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega$ (vetor $\vect\Omega = \Omega\vect e_z$ ao longo do eixo); $H$ a projeção de $M$ sobre o eixo: $$\vect v = \vect v' + \vect\Omega\wedge\vect{HM}, \qquad  \vect a = \vect a' + \underbrace{\big(-\Omega^2\vect{HM} + \dot\Omega\,\vect e_z\wedge\vect{HM}\big)}_{\vect a_e}  + \underbrace{2\vect\Omega\wedge\vect v'}_{\vect a_C} .$$

$\vect a_e$ é a *[aceleração de arrastamento](#thm-b1-non-inertial-frames-composition)* (a aceleração do ponto de $\mathcal R'$ que coincide com $M$: centrípeta, dirigida ao eixo, para uma rotação uniforme) e $\vect a_C = 2\vect\Omega\wedge\vect v'$ é a *[aceleração de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-composition)*, presente apenas quando $M$ se move em relação ao [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) girante.

**Demonstração.** Translação: $\vect{OM} = \vect{OO'} + \vect{O'M}$ com as componentes de $\vect{O'M}$ na base comum; derive duas vezes. Rotação: use [coordenadas cilíndricas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-cylindrical) em torno de $\Delta$ em $\mathcal R$, $(r, \theta, z)$, e em $\mathcal R'$, $(r, \theta', z)$ com $\theta = \theta' + \int\Omega\,\dd t$. O [Teorema 11.7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#thm-b1-point-kinematics-cylindrical) em $\mathcal R$ dá então, com $\dot\theta = \dot\theta' + \Omega$: $\vect v = \dot r\vect e_r + r(\dot\theta' + \Omega)\vect e_\theta + \dot z\vect e_z
= \vect v' + r\Omega\vect e_\theta$, and $r\Omega\vect e_\theta = \vect\Omega\wedge\vect{HM}$. Para a aceleração, $\ddot\theta = \ddot\theta' + \dot\Omega$: $\vect a = [\ddot r - r(\dot\theta' + \Omega)^2]\vect e_r + [r(\ddot\theta' + \dot\Omega)
+ 2\dot r(\dot\theta' + \Omega)]\vect e_\theta + \ddot z\vect e_z$; desenvolvendo e agrupando, $\vect a = \vect a' - r\Omega^2\vect e_r + r\dot\Omega\vect e_\theta
+ 2\Omega(-r\dot\theta'\vect e_r + \dot r\vect e_\theta)$, e o último parêntese vale $2\vect\Omega\wedge\vect v'$, pois $\vect e_z\wedge\vect e_r = \vect e_\theta$ e $\vect e_z\wedge\vect e_\theta = -\vect e_r$. ∎

**Exemplo 18.3 (Andando sobre um prato giratório).**

O [Exercício 11.12](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#exo-b1-point-kinematics-12) calculou a aceleração de uma pessoa que caminha radialmente com velocidade $u$ sobre um prato giratório que gira com [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega$: $-ut\Omega^2\vect e_r
+ 2u\Omega\vect e_\theta$. Na nova linguagem: aceleração relativa nula, arrastamento $-r\Omega^2\vect e_r$, Coriolis $2\vect\Omega\wedge u\vect e_r = 2u\Omega\vect e_\theta$.

## 18.2 Dinâmica num referencial não inercial: as forças de inércia

**Teorema 18.4 (A lei de Newton num referencial não inercial).**

Num [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) $\mathcal R'$ que não é inercial, o movimento de uma partícula obedece a

$$
m\vect a' = \sum\vect F + \vect F_e + \vect F_C, \qquad
\vect F_e = -m\vect a_e, \qquad \vect F_C = -m\vect a_C = -2m\vect\Omega\wedge\vect v' :
$$

A segunda lei de Newton continua valendo desde que se acrescentem às forças reais a *força de arrastamento* (para um [referencial em rotação](#def-b1-non-inertial-frames-frames) uniforme, a *[força centrífuga](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)* $+m\Omega^2\vect{HM}$, dirigida para fora do eixo; para um [referencial em translação](#def-b1-non-inertial-frames-frames), $-m\vect a_{O'}$) e a *[força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)*. Essas *[forças de inércia](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)* não são interações: nenhum corpo as exerce, elas não têm reação e desaparecem num [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws).

**Demonstração.** $m\vect a = \sum\vect F$ no [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) $\mathcal R$; substitua $\vect a = \vect a' + \vect a_e + \vect a_C$ e passe os dois últimos termos para a direita. ∎

**Exemplo 18.5 (O passageiro que se inclina; o fio de prumo).**

Num ônibus que freia a $a = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, uma alça pendurada sente, no [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) do ônibus, o peso mais uma [força de inércia](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) $ma$ dirigida para a frente: ela pende ao longo da *gravidade aparente* $\vect g' = \vect g - \vect a_{O'}$, inclinada para a frente de $\arctan(a/g) = 17^\circ$. Um passageiro que queira ficar parado tem de se inclinar segundo essa vertical aparente. Num elevador em queda livre, $\vect g' = \vect 0$: a imponderabilidade, vista de dentro.

![Forças de inércia. À esquerda: num ônibus que freia, o fio de prumo pende ao longo da gravidade aparente g - a_O', inclinado para a frente. À direita: num referencial que gira com a velocidade angular , uma partícula sente uma força centrífuga dirigida para fora do eixo e, se ela se move, uma força de Coriolis perpendicular à sua velocidade relativa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-non-inertial-frames/fig-e4e100214d89.svg)

*[Forças de inércia](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics). À esquerda: num ônibus que freia, o fio de prumo pende ao longo da gravidade aparente $\vect g - \vect a_{O'}$, inclinado para a frente. À direita: num [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) que gira com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega$, uma partícula sente uma [força centrífuga](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) dirigida para fora do eixo e, se ela se move, uma [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) perpendicular à sua velocidade relativa.*

**Exemplo 18.6 (O balde girante).**

A água de um balde que gira com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega$ em torno do seu eixo vertical está em repouso no [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) girante, sob o peso e a [força centrífuga](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics): a sua superfície livre é perpendicular à gravidade aparente $\vect g' = -g\vect e_z +
\Omega^2r\vect e_r$ (a superfície de um fluido em repouso é normal ao campo, [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos#ch-b1-fluid-statics)). A sua inclinação vale $\dd z/\dd r = \Omega^2r/g$, de modo que $z = \Omega^2r^2/2g$: um paraboloide. A $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ a borda de um balde de $10\,\mathrm{cm}$ fica $5\,\mathrm{cm}$ acima do centro — é o princípio do telescópio de espelho líquido, cujo mercúrio girante toma exatamente a forma parabólica de que um espelho precisa.

**Método 18.7 (Trabalhar num referencial não inercial).**

Escolha o [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) em que a pergunta é mais simples (o ônibus, o prato giratório, a Terra); liste as forças reais; acrescente $-m\vect a_e$ e, se o corpo se move nesse [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame), $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$; depois proceda como no [Método 12.10](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#met-b1-newton-dynamics-method). Atenção: as [forças de inércia](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) nunca aparecem no balanço de energia como “trabalho realizado por alguém” — a [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics), perpendicular a $\vect v'$, não realiza trabalho, e a [força centrífuga](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) deriva da [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) $-\tfrac12 m\Omega^2r^2$ num [referencial em rotação](#def-b1-non-inertial-frames-frames) uniforme.

## 18.3 O referencial terrestre

**Definição 18.8 (Referenciais geocêntrico e terrestre).**

O *[referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) geocêntrico* tem origem no centro da Terra e eixos apontados para estrelas fixas; ele é inercial com excelente aproximação para movimentos de um dia ou menos (a sua própria aceleração em torno do Sol vale apenas $6 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ e é quase uniforme sobre a Terra). O *[referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) terrestre*, preso ao solo, gira em relação a ele em torno do eixo dos polos com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular)

$$
\Omega = \frac{2\pi}{86\,164\,\mathrm{s}} = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} .
$$

**Proposição 18.9 (O peso e a variação de ggg).**

No [referencial terrestre](#def-b1-non-inertial-frames-earth) um corpo em repouso sente a atração gravitacional $m\vect{\mathcal G}$ e a [força centrífuga](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) $m\Omega^2\vect{HM}$; a soma das duas é o que uma balança mede e o que um fio de prumo indica: o *peso* $m\vect g = m\vect{\mathcal G} + m\Omega^2\vect{HM}$. O termo centrífugo é máximo no equador, $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0.35\%$ de $g$; ele diminui $g$ dos polos para o equador e afasta a vertical da direção do centro da Terra em até $0.1^\circ$ nas latitudes médias.

**Demonstração.** Aplique o [Teorema 18.4](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) com $\vect v' = \vect 0$ (sem [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics)); $\Omega^2R = (7.29\times10^{-5})^2 \times 6.37\times10^6$. O ângulo de desvio sai do triângulo formado por $m\vect{\mathcal G}$ e a [força centrífuga](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) ([Exercício 18.6](#exo-b1-non-inertial-frames-6)). ∎

**Proposição 18.10 (A força de Coriolis na Terra).**

Na latitude $\lambda$, um corpo que se move horizontalmente com velocidade $v'$ sente uma [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) horizontal de módulo

$$
F_C = 2m\Omega v'\sin\lambda ,
$$

dirigida para a *direita* do movimento no hemisfério norte e para a esquerda no hemisfério sul, qualquer que seja a direção do deslocamento; um corpo que cai verticalmente é desviado para *leste* de $2m\Omega v'\cos\lambda$.

**Demonstração.** Decomponha $\vect\Omega = \Omega(\cos\lambda\,\vect e_N + \sin\lambda\,\vect e_z)$ (norte e vertical local). Para $\vect v'$ horizontal, $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ tem uma parte horizontal $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$ — girada de $90^\circ$ no sentido horário a partir de $\vect v'$, vista de cima, para $\lambda > 0$ — e uma parte vertical (desprezível diante do peso). Para $\vect v' =
-v'\vect e_z$ vertical: $-2m\Omega\cos\lambda\,\vect e_N\wedge(-v'\vect e_z) = 2m\Omega v'\cos\lambda\,
\vect e_E$, para leste. ∎

![À esquerda: na latitude o vetor rotação da Terra tem uma componente vertical e uma componente dirigida ao norte . À direita: visto de cima no hemisfério norte, um corpo que se move horizontalmente é empurrado para a sua direita pela força de Coriolis e a sua trajetória se curva no sentido horário.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-non-inertial-frames/fig-d6ee908979b1.svg)

*À esquerda: na latitude $\lambda$ o vetor rotação da Terra tem uma componente vertical $\Omega\sin\lambda$ e uma componente dirigida ao norte $\Omega\cos\lambda$. À direita: visto de cima no hemisfério norte, um corpo que se move horizontalmente é empurrado para a sua direita pela [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) e a sua [trajetória](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) se curva no sentido horário.*

**Exemplo 18.11 (Forças pequenas, consequências grandes).**

Um trem a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ na latitude $45^\circ$: $a_C = 2 \times 7.29\times
10^{-5} \times 27.8 \times 0.71 = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, três milésimos de $g$ — o trilho da direita de uma via de sentido único se desgasta um pouco mais depressa. O ar que escoa a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rumo a um centro de baixa pressão é desviado para a direita durante todo o percurso e acaba girando em torno dele no sentido anti-horário: todo ciclone do hemisfério norte gira assim, e todo ciclone do sul, ao contrário. Uma pedra solta num poço de $100\,\mathrm{m}$ a $45^\circ$ cai $1.6\,\mathrm{cm}$ a leste do fio de prumo ([Exercício 18.7](#exo-b1-non-inertial-frames-7)).

**Proposição 18.12 (O pêndulo de Foucault).**

Um pêndulo que oscila com pequena [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) na latitude $\lambda$ mantém o seu plano de oscilação fixo em relação ao [referencial geocêntrico](#def-b1-non-inertial-frames-earth), a menos da rotação da vertical local: visto no [referencial terrestre](#def-b1-non-inertial-frames-earth), o plano gira no sentido *horário* (de cima, no hemisfério norte) com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega\sin\lambda$, isto é, uma volta completa em

$$
T_F = \frac{23.93\,\mathrm{h}}{\sin\lambda} .
$$

**Demonstração parcial.** No polo ($\lambda = 90^\circ$) o argumento é geométrico: nenhuma força horizontal age sobre a massa a não ser a tração, cuja componente horizontal está no plano de oscilação; assim, no [referencial geocêntrico](#def-b1-non-inertial-frames-earth) esse plano fica fixo enquanto a Terra gira por baixo com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega$, e visto do solo ele gira com $-\Omega$. Na latitude $\lambda$, a [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) horizontal vale $-2m\Omega\sin\lambda\,\vect e_z\wedge\vect v'$: exatamente o que produziria um [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) girando com $\Omega\sin\lambda$ em torno da vertical local. Num [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) que gira com o plano a $-\Omega\sin\lambda$, essa força desaparece em primeira ordem e o pêndulo é um oscilador plano comum; logo o plano precessa com $\Omega\sin\lambda$ no [referencial terrestre](#def-b1-non-inertial-frames-earth). O cálculo completo, com os termos de segunda ordem aqui desprezados, é o problema de fim de semana. ∎

**Observação 18.13 (As marés, em duas linhas).**

No [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) do centro da Terra, que cai livremente rumo à Lua, a atração da Lua não é uniforme: um pouco mais forte do lado próximo, mais fraca do lado afastado. A diferença, da ordem de $2GM_{\text{Lua}}R/d^3
\approx 1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, estica os oceanos em duas protuberâncias — duas marés por dia — e a contribuição do Sol, $46\%$ da contribuição lunar, dá as marés de sizígia e as de quadratura conforme os dois se alinham ou se cruzam ([Exercício 18.12](#exo-b1-non-inertial-frames-12)).

## 18.4 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

Um fio de prumo pende dentro de um carro que acelera a $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: ângulo com a vertical e tração em unidades de $mg$. E o mesmo carro freando com a mesma intensidade?

**Solução de Exercício 18.1.**

$\tan\alpha = a/g = 0.255$, $\alpha = 14^\circ$ (o prumo fica para trás); $T = m\sqrt{g^2 + a^2} = 1.03\,mg$. Freando: mesmo ângulo e mesma tração, com o prumo inclinado para a frente.

**Exercício 18.2 ★.**

Uma criança está sentada a $3.0\,\mathrm{m}$ do eixo de um carrossel que dá uma volta a cada $4.0\,\mathrm{s}$. Aceleração centrífuga no [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) girante, em fração de $g$; que força real a fornece?

**Solução de Exercício 18.2.**

$\Omega = 2\pi/4.0 = 1.57\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $\Omega^2r = 7.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = 0.75g$, dirigida para fora no [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) girante; o assento (atrito e cinto) fornece a força real dirigida para dentro.

**Exercício 18.3 ★.**

Calcule a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega$ da Terra, a aceleração centrífuga no equador e a sua fração de $g$. Com que período de rotação os objetos sairiam flutuando no equador?

**Solução de Exercício 18.3.**

$\Omega = 2\pi/86164 = 7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$; $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0.35\%$ de $g$. Sair flutuando exigiria $\Omega^2R = g$: $T = 2\pi\sqrt{R/g} =
84\,\mathrm{min}$ — dezessete vezes mais rápido do que hoje.

**Exercício 18.4 ★.**

Um trem de $400\,\mathrm{t}$ corre a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ na latitude $45^\circ$. [Aceleração de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-composition) e força lateral sobre os trilhos; que trilho é empurrado quando ele vai para o norte? e para leste?

**Solução de Exercício 18.4.**

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2 \times 7.29\times10^{-5} \times 27.8 \times 0.707
= 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $F = 1.1\,\mathrm{kN}$. Rumo ao norte: empurrado para leste, contra o trilho da direita (o de leste); rumo a leste: empurrado para o sul, de novo o trilho da direita.

**Exercício 18.5 ★★.**

Um balde de raio $10\,\mathrm{cm}$ gira a $2.0\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ e depois a $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Subida da água na borda em relação ao centro. Por que um banho de mercúrio girante é um bom espelho de telescópio?

**Solução de Exercício 18.5.**

$z = \Omega^2r^2/2g$: $2.0\,\mathrm{mm}$ a $2\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $5.1\,\mathrm{cm}$ a $10\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$. Um paraboloide concentra num ponto um feixe paralelo: mercúrio girante é um espelho parabólico perfeito, barato e sempre polido (mas que não pode ser inclinado).

**Exercício 18.6 ★★.**

Mostre que o fio de prumo na latitude $\lambda$ se afasta da direção do centro da Terra de cerca de $\Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g$ radianos e calcule esse desvio a $45^\circ$ em minutos de arco. De quanto $g$ é menor no equador do que no polo, só por causa da rotação?

**Solução de Exercício 18.6.**

A aceleração centrífuga $\Omega^2R\cos\lambda$ aponta para fora do eixo; a sua componente perpendicular à vertical local vale $\Omega^2R\cos\lambda
\sin\lambda$, o que inclina $\vect g$ de $\delta \approx \Omega^2R\sin\lambda\cos\lambda/g
= 0.034 \times 0.5/9.81 = 1.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad} = 6'$. No equador: $g$ diminuído de $\Omega^2R = 0.034\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ pela rotação (o achatamento acrescenta mais).

**Exercício 18.7 ★★.**

Uma pedra cai do repouso num poço de $100\,\mathrm{m}$ na latitude $45^\circ$. Trate a [aceleração de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-composition) $2\Omega v\cos\lambda$ (para leste) como uma pequena perturbação com $v = gt$; integre duas vezes para achar o desvio para leste no fundo. Por que para leste?

**Solução de Exercício 18.7.**

$\ddot x_E = 2\Omega gt\cos\lambda$: $x_E = \tfrac13\Omega g\cos\lambda\,t^3$; $t =
\sqrt{2h/g} = 4.5\,\mathrm{s}$: $x_E = \tfrac13 \times 7.29\times10^{-5} \times 9.81
\times 0.707 \times 92 = 1.6\,\mathrm{cm}$. Para leste: o alto do poço se move para leste mais depressa (raio maior) do que o fundo, e a pedra conserva esse excesso — ou, no [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) girante, a [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) sobre uma velocidade dirigida para baixo aponta para leste.

**Exercício 18.8 ★★.**

Período de precessão de um [pêndulo de Foucault](#prop-b1-non-inertial-frames-foucault) em Paris ($\lambda = 48.9^\circ$), no polo e no equador. De que ângulo o plano gira em uma hora em Paris?

**Solução de Exercício 18.8.**

$T_F = 23.93/\sin\lambda$: Paris $31.8\,\mathrm{h}$; polo $23.9\,\mathrm{h}$; equador infinito (sem precessão). Paris: $360^\circ/31.8 = 11.3^\circ$ por hora.

**Exercício 18.9 ★★.**

O ar escoa a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rumo a um centro de baixa pressão a $45^\circ$ norte. [Aceleração de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-composition); em que sentido o ar acaba girando em torno do centro? Por que os pequenos redemoinhos (uma pia, um tornado) não obedecem a essa regra?

**Solução de Exercício 18.9.**

$a_C = 2\Omega v\sin\lambda = 2.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, para a direita. O ar que converge de todos os lados é desviado para a direita e portanto espirala para dentro no sentido anti-horário (visto de cima): é o ciclone do hemisfério norte. Uma pia se esvazia em segundos e um tornado se forma em minutos: o desvio de Coriolis nesses tempos é desprezível diante de qualquer rotação inicial.

**Exercício 18.10 ★★★.**

Um balão de hélio preso a um barbante flutua dentro de um carro. Quando o carro acelera para a frente, para que lado o balão se inclina? Explique com a gravidade aparente e o empuxo.

**Solução de Exercício 18.10.**

No [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) do carro a gravidade aparente $\vect g - \vect a$ se inclina para trás. O ar, mais pesado, “cai” para trás; o balão, mais leve do que o ar que desloca, é levado pelo empuxo ao longo da vertical aparente — ele se inclina para *a frente*, ao contrário de um fio de prumo.

**Exercício 18.11 ★★★.**

Uma estação espacial é um anel de raio $100\,\mathrm{m}$ posto a girar para dar $1g$ de gravidade artificial na borda. Período de rotação? Um astronauta caminha ao longo da borda a $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: [aceleração de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-composition) e o seu efeito sobre o peso aparente quando ele caminha no sentido da rotação e contra ela. Ele solta uma bola de $2.0\,\mathrm{m}$: a que distância dos seus pés, grosso modo, ela cai?

**Solução de Exercício 18.11.**

$\Omega^2R = g$: $\Omega = 0.31\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 20\,\mathrm{s}$. $a_C = 2\Omega v
= 0.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, cerca de $0.1g$: caminhando no sentido da rotação ele se sente $10\%$ mais pesado (a [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) aponta para fora), e no sentido contrário, mais leve. Uma bola solta: no [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) ela segue em linha reta enquanto o piso sobe ao seu encontro; durante o tempo de queda $\sqrt{2h/g} = 0.64\,\mathrm{s}$ o desvio é da ordem de $\tfrac13\Omega\,g\,t^3 \cdot 2 \approx 2 \times 0.31 \times
9.81 \times 0.26/3 \approx 0.5\,\mathrm{m}$ — alguns decímetros, no sentido contrário ao da rotação.

**Exercício 18.12 ★★★.**

Mostre que a diferença entre a aceleração gravitacional da Lua no centro da Terra e no ponto da superfície mais próximo da Lua vale cerca de $2GM_Mr/d^3$ ($r$ o raio da Terra, $d$ a distância Terra–Lua); calcule-a, e o mesmo para o Sol; deduza a razão entre as marés solares e as lunares.

**Solução de Exercício 18.12.**

$GM/(d - r)^2 - GM/d^2 \approx 2GMr/d^3$ (primeira ordem em $r/d$). Lua: $2 \times 6.67\times10^{-11} \times 7.35\times10^{22} \times 6.37\times10^6/
(3.84\times10^8)^3 = 1.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; Sol: $2 \times 1.33\times10^{20}
\times 6.37\times10^6/(1.50\times10^{11})^3 = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; razão $0.46$: as marés do Sol são quase metade das da Lua, embora a sua atração seja $180$ vezes maior — as marés vão como $M/d^3$.

## 18.5 Problema: o pêndulo de Foucault

**Problema 18.1.**

Problema de fim de semana — uma massa de 28 quilogramas num fio de 67 metros sob uma cúpula: por que o seu plano de oscilação gira, com que rapidez, o que isso prova e quão pequena é a força que o faz

Em 1851 um pêndulo de comprimento $\ell = 67\,\mathrm{m}$ e massa $m = 28\,\mathrm{kg}$ oscilou sob a cúpula do Panteão, em Paris, latitude $\lambda =
48.85^\circ$, com uma [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de cerca de $x_0 = 3.0\,\mathrm{m}$. $\Omega =
7.29 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — O pêndulo em si.**

1. Período das [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability) ; verifique que a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) é pequena ( $x_0/\ell$ ).
2. Velocidade máxima da massa e a sua altura máxima acima do ponto mais baixo.
3. Tração no ponto mais baixo, em unidades de $mg$ .
4. Estime o arrasto do ar sobre a massa na velocidade máxima (lei quadrática, $C_xS \approx 0.05\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) e compare com a força de restituição máxima $m\omega_0^2x_0$ .
5. Por que um fio longo e uma massa pesada? (Duas razões, uma sobre o período, outra sobre o amortecimento.)

**Parte II — No polo.** Imagine o mesmo pêndulo no polo norte.

6. No [referencial geocêntrico](#def-b1-non-inertial-frames-earth) , liste as forças sobre a massa e mostre que nada pode girar o seu plano de oscilação.
7. Deduza o que um observador de pé sobre o gelo vê o plano fazer, e em quanto tempo ele volta à direção inicial.
8. Descreva a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) da massa sobre o solo (uma roseta): quantas pétalas em um dia?

**Parte III — Na latitude $\lambda$: o termo de Coriolis.** Use eixos locais: $x$ para leste, $y$ para o norte, $z$ para cima; [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability), de modo que o movimento é quase horizontal, $\vect v' \approx (\dot x, \dot y, 0)$; a força de restituição vale $-m\omega_0^2(x, y, 0)$ com $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$.

9. Escreva $\vect\Omega$ nesses eixos.
10. Calcule $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ e guarde as suas componentes horizontais; mostre que nelas só entra $\Omega\sin\lambda$ .
11. Escreva as duas equações do movimento para $x$ e $y$ ; ponha $\omega_F = \Omega\sin\lambda$ e compare $\omega_F$ com $\omega_0$ .
12. Introduza $u = x + jy$ e mostre que $\ddot u + 2j\omega_F\dot u +  \omega_0^2u = 0$ .
13. Tente $u = \eu^{j\alpha t}$ : ache os dois valores de $\alpha$ e mostre que, para $\omega_F \ll \omega_0$ , eles valem $\alpha \approx \pm\omega_0  - \omega_F$ .
14. Deduza que $u \approx \eu^{-j\omega_Ft}(A\eu^{j\omega_0t} + B\eu^{-j\omega_0t})$ : interprete o fator $\eu^{-j\omega_Ft}$ — em que sentido e com que velocidade gira o plano de oscilação?
15. Calcule o período de precessão em Paris e o ângulo percorrido em uma hora.
16. Por que o plano não gira no equador?

**Parte IV — Quão pequena é a força.**

17. Calcule a [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) máxima sobre a massa e compare-a com o peso e com a força de restituição máxima.
18. De quanto o ponto extremo da oscilação se desloca lateralmente durante um semiperíodo? (O plano gira de $\omega_FT/2$ .)
19. Em 1851 a massa levava um estilete que derrubava pequenos pinos dispostos em círculo na [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) : depois de quanto tempo, mais ou menos, caía o pino seguinte?
20. O pêndulo era lançado queimando-se um fio que o mantinha afastado. Por que não empurrá-lo com a mão?
21. O arrasto do ar para um pêndulo depois de algumas horas. Os pêndulos modernos de museu usam um pequeno eletroímã embaixo para repor a energia sem tocar no plano de oscilação: por que esse impulso tem de ser estritamente radial?

**Parte V — O que ele prova e o que mais ele faz.**

22. A demonstração de Foucault convenceu o público da rotação da Terra. O que exatamente a velocidade de precessão mede, e a experiência poderia determinar a latitude?
23. Em que latitude o plano daria uma volta em exatamente $48\,\mathrm{h}$ ?
24. Um giroscópio (uma roda que gira depressa numa suspensão cardânica) mantém o seu eixo fixo no [referencial geocêntrico](#def-b1-non-inertial-frames-earth) . Explique numa frase por que ele também revela a rotação, e cite uma aplicação.
25. Resuma: a única [força de inércia](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) responsável, a sua dependência com a latitude e o período que ela dá em Paris.

**Solução de Problema 18.1.**

**1.** $T = 2\pi\sqrt{67/9.81} = 16.4\,\mathrm{s}$; $x_0/\ell = 0.045$ ($2.6^\circ$): pequena.

**2.** $v_{\max} = x_0\omega_0 = 3.0 \times 0.383 = 1.15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; altura $x_0^2/2\ell = 6.7\,\mathrm{cm}$.

**3.** $T = mg + mv_{\max}^2/\ell = mg(1 + 0.002)$: $1.002\,mg$.

**4.** $\tfrac12\rho C_xSv_{\max}^2 = 0.5 \times 1.2 \times 0.05 \times 1.3 =
0.04\,\mathrm{N}$, contra $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$: trezentas vezes menor, e ainda assim bastante para parar o pêndulo em algumas horas.

**5.** Um fio longo dá um período longo, portanto uma massa lenta e um arrasto relativo pequeno, e torna visível a precessão a cada oscilação; uma massa pesada armazena muita energia para o arrasto consumir — horas de oscilação.

**6.** O peso (vertical) e a tração (no plano do fio e da vertical, isto é, no plano de oscilação): nenhuma força tem componente perpendicular a esse plano.

**7.** O plano fica fixo em relação às estrelas; o gelo gira por baixo dele para leste com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\Omega$, de modo que o observador vê o plano girar no sentido horário, de volta ao ponto de partida depois de um dia sideral, $23.93\,\mathrm{h}$.

**8.** Cada meia oscilação traça uma corda ligeiramente girada: uma roseta; $86164/8.2 \approx 10500$ meias oscilações, cada uma $0.034^\circ$ adiante.

**9.** $\vect\Omega = \Omega(0, \cos\lambda, \sin\lambda)$.

**10.** Com $\vect v' = (\dot x, \dot y, 0)$: $\vect\Omega\wedge\vect v' = \Omega(-\sin\lambda\,\dot y,\ \sin\lambda\,\dot x,\ -\cos\lambda\,\dot x)$, de modo que $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$ tem as componentes horizontais $2m\Omega\sin\lambda\,(\dot y, -\dot x)$: só $\Omega\sin\lambda$ entra.

**11.** $\ddot x = -\omega_0^2x + 2\omega_F\dot y$, $\ddot y = -\omega_0^2y -
2\omega_F\dot x$; $\omega_F = 7.29\times10^{-5} \times 0.753 = 5.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}
\ll \omega_0 = 0.38\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$.

**12.** $\ddot u = -\omega_0^2u + 2\omega_F(\dot y - j\dot x) = -\omega_0^2u -
2j\omega_F\dot u$.

**13.** $-\alpha^2 - 2\omega_F\alpha + \omega_0^2 = 0$: $\alpha = -\omega_F \pm
\sqrt{\omega_F^2 + \omega_0^2} \approx -\omega_F \pm \omega_0$.

**14.** O colchete é uma oscilação plana (uma reta fixa pela origem quando $A = B$ é real); o fator $\eu^{-j\omega_Ft}$ gira todo o desenho no sentido horário com a [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega_F$: o plano de oscilação precessa no sentido horário com $\Omega\sin\lambda$.

**15.** $T_F = 2\pi/\omega_F = 1.14 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 31.8\,\mathrm{h}$; $11.3^\circ$ por hora.

**16.** $\sin\lambda = 0$: a componente vertical local de $\vect\Omega$ se anula, e a [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) horizontal é nula para um movimento horizontal.

**17.** $2m\omega_Fv_{\max} = 2 \times 28 \times 5.5\times10^{-5} \times 1.15 =
3.5\,\mathrm{mN}$; peso $275\,\mathrm{N}$ ($10^{-5}$ dele), força de restituição $m\omega_0^2x_0 = 12\,\mathrm{N}$: três mil vezes menor.

**18.** $\omega_FT/2 = 5.5\times10^{-5} \times 8.2 = 4.5 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$: $x_0 \times 4.5\times10^{-4} = 1.4\,\mathrm{mm}$ por meia oscilação.

**19.** Pinos a um centímetro um do outro no círculo caem a cada $\sim 7$ meias oscilações, cerca de um minuto.

**20.** Um empurrão com a mão dá uma velocidade lateral: a massa passa a descrever uma elipse, cuja própria precessão lenta (um efeito da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) finita) mascara a de Foucault.

**21.** Um impulso radial acrescenta energia ao longo da oscilação sem acrescentar velocidade transversal, e assim deixa o plano intacto; uma componente lateral levaria o pêndulo a uma elipse e falsificaria ou esconderia a precessão.

**22.** A velocidade de precessão mede $\Omega\sin\lambda$, a componente vertical da rotação da Terra; conhecendo $\Omega$ pela astronomia, essa velocidade dá a latitude (e vice-versa).

**23.** $\sin\lambda = 23.93/48 = 0.499$: $\lambda = 30^\circ$.

**24.** O seu [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) se conserva, de modo que o seu eixo fica fixo em relação às estrelas enquanto a Terra gira por baixo: é a bússola giroscópica, que acha o norte verdadeiro sem ímã.

**25.** A [força de Coriolis](#thm-b1-non-inertial-frames-dynamics) $-2m\vect\Omega\wedge\vect v'$; a sua parte horizontal cresce como $\sin\lambda$; uma volta em $23.93\,\text{h}/\sin\lambda$, $31.8\,\mathrm{h}$ em Paris.