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title: "Sistemas de pontos; introdução aos corpos rígidos"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 19
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos
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# Capítulo 19 — Sistemas de pontos; introdução aos corpos rígidos

Uma saltadora deixa o trampolim, encolhe-se, dá dois mortais e se estica; durante tudo isso um ponto do seu corpo — o seu [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) — descreve a mesma parábola simples que uma pedra descreveria. Um ioiô solto da mão leva três vezes mais tempo para chegar ao fim do seu cordão do que levaria uma pedra, e chega girando a duas mil voltas por minuto. Uma esfera maciça vence uma esfera oca em qualquer rampa, sejam quais forem os seus tamanhos ou as suas massas. A mecânica de um único ponto, desenvolvida nos capítulos anteriores, estende-se a sistemas de muitos pontos — e aos [corpos rígidos](#def-b1-systems-of-points-solid) da vida cotidiana — por meio de um punhado de teoremas: o [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) se move como um ponto, a energia e o [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) se separam numa parte do [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) e numa parte “em torno” dele, e um corpo que gira em torno de um eixo fixo é um sistema de um grau de liberdade governado pelo seu [momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia).

## 19.1 Centro de massa e quantidade de movimento

**Definição 19.1 (Centro de massa; quantidade de movimento de um sistema).**

Para partículas de massas $m_i$ em $M_i$, de massa total $M = \sum m_i$, o *centro de massa* (baricentro) $G$ é definido por

$$
\sum_i m_i\,\vect{GM_i} = \vect 0, \qquad\text{isto é,}\qquad
\vect{OG} = \frac{1}{M}\sum_i m_i\,\vect{OM_i}
$$

qualquer que seja a origem $O$. A *quantidade de movimento* do sistema é $\vect P =
\sum_i m_i\vect v_i = M\vect v_G$.

**Teorema 19.2 (Teorema do centro de massa).**

Num [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws),

$$
M\,\vect a_G = \frac{\dd\vect P}{\dd t} = \sum\vect F_{\mathrm{ext}} :
$$

o [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) se move como um [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) de massa $M$ submetido à resultante das forças *externas* apenas. Para um [sistema fechado](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#def-b1-newton-dynamics-conservation) sem força externa, $\vect P$ se conserva e $G$ se move uniformemente.

**Demonstração.** Some a segunda lei de Newton sobre as partículas; as forças internas se cancelam aos pares de [ação e reação](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws); $\sum m_i\vect a_i = M\vect a_G$ derivando duas vezes a definição de $G$. ∎

**Exemplo 19.3 (Saltadora, recuo, colisão).**

O $G$ da saltadora segue uma parábola só sob o seu peso, por mais que ela gire — os seus músculos são forças internas. Um fuzil de $4.0\,\mathrm{kg}$ que dispara uma bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\vect P = \vect 0$ antes e depois, de modo que o fuzil recua a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Dois carros, $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $1500\,\mathrm{kg}$ parado, que ficam engatados: $v =
20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — a quantidade de movimento se conserva, enquanto $60\%$ da [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) foi para o metal amassado e para o calor. A quantidade de movimento se conserva em toda colisão; a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke), só nas *elásticas* ([Exercício 19.12](#exo-b1-systems-of-points-12)).

## 19.2 Os teoremas de Koenig

**Definição 19.4 (Referencial baricêntrico).**

O *[referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) baricêntrico* $\mathcal R^*$ tem origem em $G$ e está em translação em relação ao [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws) $\mathcal R$ (os seus eixos mantêm direções fixas). As grandezas nele medidas levam asterisco: $\vect v_i^*
= \vect v_i - \vect v_G$, e $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$.

**Teorema 19.5 (Teoremas de Koenig).**

O [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) em relação a um ponto $O$ e a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de um sistema se separam na contribuição do seu [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm), que carrega toda a massa, e nas contribuições no [referencial baricêntrico](#def-b1-systems-of-points-barycentric):

$$
\vect L_O = \vect{OG}\wedge M\vect v_G + \vect L^*, \qquad
E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*,
$$

onde $\vect L^* = \sum\vect{GM_i}\wedge m_i\vect v_i^*$ e $E_k^* = \sum\tfrac12
m_iv_i^{*2}$ não dependem da origem do [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame).

**Demonstração.** $\vect{OM_i} = \vect{OG} + \vect{GM_i}$ e $\vect v_i = \vect v_G + \vect v_i^*$; desenvolva $\sum\vect{OM_i}\wedge m_i\vect v_i$ e $\sum\tfrac12 m_iv_i^2$: os termos cruzados contêm $\sum m_i\vect{GM_i} = \vect 0$ ou $\sum m_i\vect v_i^* = \vect 0$ e se anulam. ∎

**Exemplo 19.6 (Uma roda que rola).**

Uma roda de massa $M$, raio $R$ e [momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J$ em relação ao seu eixo, que rola sem deslizar com velocidade $v$: o ponto de contato está em repouso, logo $\omega = v/R$, e $E_k = \tfrac12 Mv^2 + \tfrac12 J\omega^2 = \tfrac12 Mv^2(1 +
J/MR^2)$ — três quartos de $Mv^2$ para um disco homogêneo ($J = \tfrac12 MR^2$), $Mv^2$ para um aro. É por causa do segundo termo que as rodas de uma bicicleta são feitas leves: a sua rotação custa uma energia que a massa do quadro não custa.

## 19.3 O problema de dois corpos

**Proposição 19.7 (Massa reduzida).**

Duas partículas que interagem apenas uma com a outra (força $\vect F$ sobre $m_2$ vinda de $m_1$, $-\vect F$ sobre $m_1$): $G$ se move uniformemente, e a posição relativa $\vect r = \vect{M_1M_2}$ obedece a

$$
\mu\,\frac{\dd^2\vect r}{\dd t^2} = \vect F, \qquad \mu = \frac{m_1m_2}{m_1 + m_2},
$$

que é a equação de uma única partícula fictícia de *[massa reduzida](#prop-b1-systems-of-points-twobody)* $\mu$ que se move sob $\vect F$ em torno de um centro fixo. Em $\mathcal R^*$, $E_k^* =
\tfrac12\mu\dot{\vect r}^2$ e $\vect L^* = \vect r\wedge\mu\dot{\vect r}$.

**Demonstração.** $\ddot{\vect r} = \vect a_2 - \vect a_1 = \vect F/m_2 + \vect F/m_1 = \vect F(m_1 +
m_2)/m_1m_2$. Em $\mathcal R^*$, $\vect{GM_2} = m_1\vect r/(m_1 + m_2)$ e $\vect{GM_1} = -m_2\vect r/(m_1 + m_2)$; substitua em $E_k^*$ e $\vect L^*$. ∎

**Exemplo 19.8 (Quando o centro também se move).**

No [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#ch-b1-central-forces) o Sol estava fixo: exato apenas no limite $m \ll M$; em geral a [terceira lei de Kepler](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#thm-b1-central-forces-circular) se escreve $T^2 = 4\pi^2a^3/G(M +
m)$. Para a molécula de HCl em vibração do [Problema 13.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#pb-b1-work-and-energy-1), a massa que oscila no poço vale $\mu = m_Hm_{Cl}/(m_H + m_{Cl}) =
0.972\,m_H$, o que eleva a frequência de $1.4\%$; para o átomo de hidrogênio, o $\mu$ do elétron difere de $m_e$ de uma parte em $1836$ — mensurável no espectro.

## 19.4 Sólido em rotação em torno de um eixo fixo

**Definição 19.9 (Sólido; rotação em torno de um eixo fixo).**

Um *corpo rígido* (sólido) é um sistema cujos pontos mantêm fixas as distâncias mútuas. Se ele gira em torno de um eixo $\Delta$ fixo no [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame), todo ponto descreve um círculo centrado em $\Delta$ com a mesma [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega = \dot\theta$; um ponto à distância $r_i$ do eixo tem velocidade $r_i\omega$.

**Proposição 19.10 (Momento de inércia; momento angular; energia cinética).**

Com o *[momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia)* $J_\Delta = \sum m_ir_i^2$ (uma integral $\int r^2\,\dd m$ para um corpo contínuo):

$$
L_\Delta = J_\Delta\,\omega, \qquad E_k = \tfrac12 J_\Delta\omega^2 .
$$

Valores usuais (massa $M$): anel fino ou cilindro oco em torno do seu eixo, $MR^2$; disco homogêneo ou cilindro maciço, $\tfrac12 MR^2$; barra fina de comprimento $L$ em torno do seu centro, $\tfrac{1}{12}ML^2$, e em torno de uma extremidade, $\tfrac13 ML^2$; esfera maciça em torno de um diâmetro, $\tfrac25 MR^2$. *Teorema de Huygens*: em torno de um eixo $\Delta$ paralelo a um eixo $\Delta_G$ que passa por $G$ à distância $d$, $J_\Delta = J_{\Delta_G} + Md^2$.

**Demonstração.** $L_\Delta$ e $E_k$: [Proposição 15.9](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia). Barra em torno de uma extremidade: $\int_0^L x^2(M/L)\,\dd x = ML^2/3$; em torno do centro, $\int_{-L/2}^{L/2}
x^2(M/L)\dd x = ML^2/12$. Disco: anel de raio $r$, largura $\dd r$, massa $(2Mr/R^2)\dd r$: $\int_0^R r^2(2Mr/R^2)\dd r = MR^2/2$; o anel e a esfera são admitidos (a esfera exige uma integral dupla). Huygens: com $r_i^2 = \abs{\vect{GM_i}_\perp + \vect d}^2 = r_{G,i}^2 + d^2 + 2\vect d\cdot
\vect{GM_i}_\perp$, o termo cruzado soma zero pela definição de $G$. ∎

![À esquerda: o momento de inércia de um disco, somado anel a anel. À direita: o teorema de Huygens — em torno de um eixo pela borda de um disco, paralelo ao eixo que passa pelo seu centro, J = 1/2 MR2 + MR2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-systems-of-points/fig-e4b616a8d0ed.svg)

*À esquerda: o [momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) de um disco, somado anel a anel. À direita: o teorema de Huygens — em torno de um eixo pela borda de um disco, paralelo ao eixo que passa pelo seu centro, $J = \tfrac12 MR^2 + MR^2$.*

**Teorema 19.11 (Dinâmica de um sólido em torno de um eixo fixo).**

Para um sólido que gira em torno de um eixo fixo $\Delta$ num [referencial inercial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#thm-b1-newton-dynamics-laws),

$$
J_\Delta\,\ddot\theta = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}}),
\qquad
\frac{\dd}{\dd t}\Big(\tfrac12 J_\Delta\dot\theta^2\Big) = \sum\mathcal M_\Delta(\vect F_{\mathrm{ext}})\,\dot\theta :
$$

os momentos das forças externas em relação ao eixo governam a aceleração angular, e um momento $\mathcal M_\Delta$ fornece a potência $\mathcal M_\Delta\omega$. Um *pivô* ideal (mancal sem atrito) não exerce momento algum em torno do seu eixo e portanto nem acelera nem freia a rotação.

**Demonstração.** [Teorema 15.8](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#thm-b1-angular-momentum-system) projetado sobre $\Delta$, com $L_\Delta
= J_\Delta\dot\theta$ e $J_\Delta$ constante para um [corpo rígido](#def-b1-systems-of-points-solid); multiplique por $\dot\theta$ para a forma em energia (as forças internas de um [corpo rígido](#def-b1-systems-of-points-solid) não realizam trabalho: as distâncias não mudam). ∎

**Exemplo 19.12 (Pêndulo físico; pêndulo de torção).**

Um sólido de massa $M$ que gira em torno de um eixo horizontal à distância $d$ de $G$: o momento do peso vale $-Mgd\sin\theta$, de modo que $J_\Delta\ddot\theta =
-Mgd\sin\theta$ e as [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability) têm o período

$$
T = 2\pi\sqrt{\frac{J_\Delta}{Mgd}} ,
$$

o de um [pêndulo simples](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de comprimento $J_\Delta/Md$ — para uma barra homogênea presa por uma extremidade, $2L/3$. Um disco pendurado num fio de constante de torção $C$ (momento restaurador $-C\theta$): $J\ddot\theta = -C\theta$, $T = 2\pi\sqrt{J/C}$ — é a balança de torção que mediu $G$ e a lei de Coulomb.

![Três sólidos em movimento: um pêndulo físico que oscila em torno de um pivô (momento do peso em relação ao eixo), um pêndulo de torção (momento do fio) e um sólido que rola sem deslizar por uma rampa — quanto maior o seu J/MR2, mais devagar ele rola.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-systems-of-points/fig-591dd8783de3.svg)

*Três sólidos em movimento: um [pêndulo físico](#ex-b1-systems-of-points-pendulums) que oscila em torno de um pivô (momento do peso em relação ao eixo), um [pêndulo de torção](#ex-b1-systems-of-points-pendulums) (momento do fio) e um sólido que rola sem deslizar por uma rampa — quanto maior o seu $J/MR^2$, mais devagar ele rola.*

**Proposição 19.13 (Rolamento sem deslizamento numa rampa).**

Um sólido de revolução ($J = kMR^2$ em torno do seu eixo) solto numa rampa de ângulo $\alpha$ rola sem deslizar com a aceleração

$$
a = \frac{g\sin\alpha}{1 + k} :
$$

$\tfrac57 g\sin\alpha$ para uma esfera maciça, $\tfrac23 g\sin\alpha$ para um disco, $\tfrac12 g\sin\alpha$ para um aro — independentemente da massa e do raio.

**Demonstração.** Energia: $Mgh = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$ ao longo da rampa (o atrito estático no ponto de contato, que está em repouso, não realiza trabalho), logo $v^2 = 2ah$ com o $a$ do enunciado; ou Newton para $G$ e o teorema do momento em relação a $G$ com o atrito $f$: $Ma = Mg\sin\alpha - f$, $kMR^2\dot\omega = fR$, $a = R\dot\omega$. ∎

**Observação 19.14 (Sistemas deformáveis).**

Para um sistema que não é rígido, o teorema da [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) se escreve $\Delta E_k = W_{\mathrm{ext}} + W_{\mathrm{int}}$: as forças internas realizam trabalho (músculos, molas, atrito dentro do sistema). A patinadora que recolhe os braços, a saltadora que se encolhe, o ciclista que pedala em pé ganham [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) sem trabalho externo — o teorema do [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) continua verdadeiro, e a energia vem de dentro.

## 19.5 Exercícios

**Exercício 19.1 ★.**

Massas de $2.0\,\mathrm{kg}$ em $x = 0$ e de $3.0\,\mathrm{kg}$ em $x = 1.0\,\mathrm{m}$: posição de $G$. O sistema Terra–Lua ($81:1$, $384\,000\,\mathrm{km}$): distância de $G$ ao centro da Terra; compare com o raio da Terra.

**Solução de Exercício 19.1.**

$x_G = (2.0 \times 0 + 3.0 \times 1.0)/5.0 = 0.60\,\mathrm{m}$. Terra–Lua: $384000/82 = 4700\,\mathrm{km}$ a partir do centro da Terra, dentro da Terra ($6370\,\mathrm{km}$): a Terra oscila em torno de um ponto $1700\,\mathrm{km}$ abaixo da sua superfície.

**Exercício 19.2 ★.**

Um fuzil de $4.0\,\mathrm{kg}$ dispara uma bala de $10\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Velocidade de recuo; [energias cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) da bala e do fuzil; de onde veio a energia?

**Solução de Exercício 19.2.**

$4.0v = 0.010 \times 800$: $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Bala $\tfrac12 \times 0.010
\times 800^2 = 3.2\,\mathrm{kJ}$, fuzil $8\,\mathrm{J}$: vêm da energia química da pólvora; o corpo leve fica com quase tudo ($E_k = p^2/2m$ com $p$ igual).

**Exercício 19.3 ★.**

Um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bate num carro de $1500\,\mathrm{kg}$ parado; os dois ficam engatados. Velocidade comum; fração da [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) perdida.

**Solução de Exercício 19.3.**

$v = 20000/2500 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $E_k$: $200\,\mathrm{kJ}$ antes, $\tfrac12 \times
2500 \times 64 = 80\,\mathrm{kJ}$ depois: $60\%$ perdidos.

**Exercício 19.4 ★.**

Deduza o [momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) de uma barra homogênea de massa $M$ e comprimento $L$ em torno de um eixo perpendicular que passa por uma extremidade, e depois pelo centro; verifique entre os dois o teorema de Huygens.

**Solução de Exercício 19.4.**

Extremidade: $\int_0^L x^2(M/L)\dd x = ML^2/3$; centro: $\int_{-L/2}^{L/2}x^2(M/L)
\dd x = ML^2/12$; Huygens com $d = L/2$: $ML^2/12 + ML^2/4 = ML^2/3$.

**Exercício 19.5 ★★.**

[Energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de um cilindro homogêneo que rola e de um aro que rola com a mesma massa e a mesma velocidade, em múltiplos de $\tfrac12 Mv^2$. Qual deles para primeiro num piso plano e rugoso, e qual sobe mais alto numa rampa?

**Solução de Exercício 19.5.**

$E_k = \tfrac12 Mv^2(1 + k)$: cilindro $1.5$, aro $2$ vezes $\tfrac12 Mv^2$. À mesma velocidade, mais energia para o aro: ele rola mais longe num piso plano (mesmo atrito) e sobe mais alto ($h = v^2(1 + k)/2g$).

**Exercício 19.6 ★★.**

[Massa reduzida](#prop-b1-systems-of-points-twobody) do HCl ($m_{Cl} = 35m_H$) e do átomo de hidrogênio ($m_p = 1836m_e$); correção relativa a uma frequência de vibração ou de órbita calculada só com a massa leve.

**Solução de Exercício 19.6.**

HCl: $\mu = 35m_H/36 = 0.972m_H$; átomo: $\mu = m_e/(1 + 1/1836) =
0.99946m_e$. As frequências são $\propto 1/\sqrt\mu$: $+1.4\%$ para o HCl, $+0.027\%$ para o hidrogênio (o desvio isotópico entre os espectros do H e do D repousa nisso).

**Exercício 19.7 ★★.**

Uma barra homogênea de $1.0\,\mathrm{m}$ gira livremente em torno de uma extremidade. Período das [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability); comprimento do [pêndulo simples](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#ex-b1-newton-dynamics-pendulum) de mesmo período; o ponto da barra (o centro de percussão) em que um golpe seco não produz reação no pivô fica a essa distância — por que um batedor o procura?

**Solução de Exercício 19.7.**

$J = ML^2/3$, $d = L/2$: $T = 2\pi\sqrt{(ML^2/3)/(MgL/2)} = 2\pi\sqrt{2L/3g}
= 1.64\,\mathrm{s}$; comprimento equivalente $2L/3 = 0.67\,\mathrm{m}$. Um golpe no centro de percussão põe a barra a girar em torno do pivô sem nenhuma reação impulsiva ali: acerte a bola no “ponto doce” do bastão e as mãos não sentem o repuxo.

**Exercício 19.8 ★★.**

Um disco ($M = 0.20\,\mathrm{kg}$, $R = 10\,\mathrm{cm}$) pende de um fio e oscila em torção com período de $2.0\,\mathrm{s}$. Constante de torção do fio.

**Solução de Exercício 19.8.**

$J = \tfrac12 MR^2 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$; $C = 4\pi^2J/T^2 = 9.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$.

**Exercício 19.9 ★★.**

Um volante de inércia de [momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) $10\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$ gira a $3000\,\mathrm{rpm}$. Energia armazenada; momento de frenagem que o para em $10\,\mathrm{s}$; número de voltas durante a frenagem.

**Solução de Exercício 19.9.**

$\omega = 314\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $E = \tfrac12 J\omega^2 = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; $\Gamma = J\omega/t = 314\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; voltas: $\tfrac12\omega t/2\pi = 250$.

**Exercício 19.10 ★★★.**

Uma esfera maciça, um cilindro maciço e um aro são soltos juntos no alto de uma rampa. Ordem de chegada e razão entre as suas acelerações. O resultado depende dos raios ou das massas?

**Solução de Exercício 19.10.**

$a = g\sin\alpha/(1 + k)$: esfera ($k = 2/5$) $0.714$, cilindro ($1/2$) $0.667$, aro ($1$) $0.500$ vezes $g\sin\alpha$: a esfera primeiro, o aro por último; nem massa nem raio aparecem.

**Exercício 19.11 ★★★.**

Pêndulo balístico: uma bala de $10\,\mathrm{g}$ a $400\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ se aloja num bloco de $2.0\,\mathrm{kg}$ pendurado num fio de $1.0\,\mathrm{m}$. Velocidade logo depois do impacto; altura atingida; fração da [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) da bala perdida. Por que não se pode usar a conservação da energia no próprio impacto?

**Solução de Exercício 19.11.**

Quantidade de movimento: $0.010 \times 400 = 2.01\,v$: $v = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; depois, a energia: $h = v^2/2g = 0.20\,\mathrm{m}$. $E_k$: $800\,\mathrm{J}$ antes, $\tfrac12 \times
2.01 \times 4.0 = 4.0\,\mathrm{J}$ depois: $99.5\%$ perdidos em deformação e calor. O impacto é inelástico — a energia não se conserva nele, a quantidade de movimento sim (a tração do fio é vertical e o impacto é breve).

**Exercício 19.12 ★★★.**

Colisão elástica frontal de $m_1$ com velocidade $v_1$ contra $m_2$ em repouso: deduza $v_1' = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}v_1$ e $v_2' = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}v_1$. Fração da energia transferida quando um nêutron atinge um próton; um núcleo de carbono ($12m_n$); um núcleo de chumbo ($207m_n$). Por que os reatores são moderados com núcleos leves?

**Solução de Exercício 19.12.**

$m_1v_1 = m_1v_1' + m_2v_2'$ e $m_1v_1^2 = m_1v_1'^2 + m_2v_2'^2$ dão $v_1 + v_1' = v_2'$ (divida a equação da energia pela da quantidade de movimento), donde as fórmulas. Fração da energia cedida ao alvo $4m_1m_2/(m_1 + m_2)^2$: próton $100\%$; carbono $4 \times 12/169 = 28\%$; chumbo $4 \times 207/208^2 =
1.9\%$. Os núcleos leves tomam a energia do nêutron em poucas colisões (água, grafite); o chumbo precisaria de centenas.

![Um ioiô se desenrolando: o centro de massa cai, o disco gira, e a tração do cordão é o que amarra os dois movimentos — é o problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-systems-of-points/img-01bcb8be8e85.jpg)

*Um ioiô se desenrolando: o [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) cai, o disco gira, e a tração do cordão é o que amarra os dois movimentos — é o problema de fim de semana.*

## 19.6 Problema: o ioiô

**Problema 19.1.**

Problema de fim de semana — um disco num eixo fino na ponta de um cordão: por que ele cai tão devagar, com que rapidez gira lá embaixo, por que ele “dorme” ali e para que lado rola um carretel quando se puxa o seu fio

Um ioiô é um disco homogêneo de massa $M = 50\,\mathrm{g}$ e raio $R =
3.0\,\mathrm{cm}$ com um eixo fino de raio $r = 0.40\,\mathrm{cm}$ em torno do qual se enrola um cordão de comprimento $h = 1.0\,\mathrm{m}$; a ponta de cima do cordão é mantida fixa. $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $J = \tfrac12 MR^2$ em torno do eixo.

**Parte I — Cinemática e energia.**

1. Onde fica o [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) $G$ do ioiô? Por quê?
2. Mostre, pelo teorema de Koenig, que a sua [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) é $\tfrac12  Mv_G^2 + \tfrac12 J\omega^2$ .
3. Deduza $J = \tfrac12 MR^2$ integrando sobre anéis e calcule $J$ .
4. À medida que o cordão se desenrola do eixo sem deslizar, relacione $v_G$ e $\omega$ .
5. Deduza $E_k = \tfrac12 Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$ e calcule o fator entre parênteses. Comente.

**Parte II — A queda.**

6. Forças sobre o ioiô; escreva o teorema do [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) (eixo vertical para baixo).
7. Escreva o teorema do [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) em relação ao eixo que passa por $G$ (que forças têm momento?).
8. Combine com a questão 4 para achar a aceleração $a_G = g/(1 +  R^2/2r^2)$ ; calcule-a.
9. Calcule a tração do cordão e compare com o peso.
10. Tempo para desenrolar o $1.0\,\mathrm{m}$ de cordão e a velocidade nesse instante; compare com uma pedra solta da mesma altura.
11. [Velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) lá embaixo, em rad/s e em voltas por minuto.
12. Separe a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) lá embaixo nas suas partes de translação e de rotação.
13. Verifique o balanço de energia: compare $Mgh$ com a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) lá embaixo, e diga por que a tração do cordão, embora grande, não realiza trabalho.

**Parte III — Lá embaixo: o ioiô que dorme.** Quando o cordão está todo desenrolado, ele para o [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) em alguns milissegundos; o ioiô continua girando na alça da ponta do cordão (“dormindo”).

14. Por que a rotação sobrevive à parada de $G$ ? (Que teorema, e que força teria sido necessária para pará-la?)
15. Estime a tração média durante a parada, se $G$ é detido em $5\,\mathrm{ms}$ .
16. A alça roça no eixo com um momento de atrito $\Gamma =  1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ : quanto tempo o ioiô dorme?
17. Um puxão seco para cima no cordão faz o cordão agarrar de novo o eixo, e o ioiô girante então sobe. Pela energia, até que altura ele poderia subir se nada se perdesse? Por que, na prática, menos?
18. Durante a subida, a tração é maior ou menor do que o peso? (Sinal de $a_G$ .)
19. O que aconteceria com um ioiô cujo eixo tivesse raio igual a $R$ (cordão enrolado na borda)? Calcule a sua aceleração de queda.

**Parte IV — O carretel sobre a mesa.** O mesmo objeto está deitado sobre uma mesa rugosa, com o eixo horizontal, e o seu fio sai horizontalmente por *baixo* do eixo; puxa-se com uma força $F$. Ele rola sem deslizar.

20. No ponto de contato $C$ com a mesa, qual é a velocidade da matéria do carretel? Deduza que o movimento é, a cada instante, uma rotação em torno de $C$ .
21. Calcule o momento de $F$ em relação a $C$ ( [braço de alavanca](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $R - r$ ) e os do peso e da reação da mesa.
22. Usando o teorema do [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) em relação a $C$ com $J_C = J +  MR^2$ (Huygens), ache $a_G$ e mostre que o carretel rola *na direção* da mão.
23. Agora o fio é puxado formando um ângulo $\beta$ acima da horizontal. Mostre que o carretel não rola quando a linha de ação de $F$ passa por $C$ , isto é, $\cos\beta = r/R$ , e que ele se afasta da mão para puxões mais inclinados. Calcule esse ângulo.
24. Calcule $a_G$ para $F = 0.20\,\mathrm{N}$ puxado horizontalmente e a força de atrito necessária; o que limita $F$ antes que o carretel deslize?
25. Resuma: os três teoremas usados ( [centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm) , [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) em relação a um eixo, energia) e o que cada um decidiu.

**Solução de Problema 19.1.**

**1.** No eixo, no centro do disco, por simetria.

**2.** Koenig: $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + E_k^*$, e no [referencial baricêntrico](#def-b1-systems-of-points-barycentric) o ioiô gira em torno do seu eixo: $E_k^* = \tfrac12 J\omega^2$.

**3.** Anel de raio $\rho$, de massa $2M\rho\,\dd\rho/R^2$: $J = \int_0^R
\rho^2\cdot 2M\rho\,\dd\rho/R^2 = MR^2/2 = 0.5 \times 0.050 \times 9\times10^{-4}
= 2.25 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

**4.** O cordão está fixo e se desenrola do eixo: o ponto do eixo em contato com ele está momentaneamente em repouso, logo $v_G = r\omega$.

**5.** $E_k = \tfrac12 Mv_G^2 + \tfrac12(\tfrac12 MR^2)(v_G/r)^2 = \tfrac12
Mv_G^2(1 + R^2/2r^2)$; $R^2/2r^2 = 9/(2 \times 0.16) = 28$: fator $29$ — quase toda a energia está na rotação.

**6.** Peso $Mg$ para baixo, tração $T$ para cima: $Ma_G = Mg - T$.

**7.** Só a tração tem momento em relação ao eixo ([braço de alavanca](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $r$): $J\dot\omega = Tr$.

**8.** $\dot\omega = a_G/r$: $T = Ja_G/r^2 = (R^2/2r^2)Ma_G$; então $Ma_G = Mg - (R^2/2r^2)Ma_G$, $a_G = g/29 = 0.34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**9.** $T = M(g - a_G) = 0.050 \times 9.47 = 0.47\,\mathrm{N}$, $97\%$ do peso: o cordão quase o segura.

**10.** $t = \sqrt{2h/a_G} = 2.4\,\mathrm{s}$; $v_G = a_Gt = 0.82\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Uma pedra: $0.45\,\mathrm{s}$ e $4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**11.** $\omega = v_G/r = 205\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} = 1960\,\mathrm{rpm}$.

**12.** $\tfrac12 Mv_G^2 = 0.017\,\mathrm{J}$ contra $\tfrac12 J\omega^2 =
0.47\,\mathrm{J}$: $28$ vezes mais energia na rotação do que na queda.

**13.** $Mgh = 0.49\,\mathrm{J}$; $\tfrac12 Mv_G^2 \times 29 = 0.5 \times 0.050
\times 0.67 \times 29 = 0.49\,\mathrm{J}$. A tração age no ponto do cordão que está em repouso (o cordão não se move): potência nula.

**14.** A força que para o ioiô age ao longo do cordão, passando pelo eixo: nenhum momento em torno dele, e o [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) $J\omega$ fica intacto. Só uma força tangencial (atrito no eixo) poderia frear a rotação.

**15.** $T \approx Mv_G/\Delta t + Mg = 0.050 \times 0.82/0.005 + 0.49 =
8.7\,\mathrm{N}$, dezoito vezes o peso — daí o tranco sentido no dedo.

**16.** $J\dot\omega = -\Gamma$: $t = J\omega/\Gamma = 2.25\times10^{-5} \times
205/10^{-4} = 46\,\mathrm{s}$.

**17.** Toda a energia de rotação $\tfrac12 J\omega^2 = 0.47\,\mathrm{J}$ se converte em $Mgh'$: $h' = 0.96\,\mathrm{m}$, quase toda a altura; menos na prática, por causa do atrito no eixo durante o sono e das perdas no tranco.

**18.** $a_G$ aponta para baixo (o ioiô desacelera na subida) enquanto $v_G$ aponta para cima: $T = M(g - a_G) < Mg$ — menor do que o peso.

**19.** $r = R$: fator $1 + 1/2 = 1.5$, $a_G = 2g/3 = 6.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — queda rápida, pouca rotação: é o eixo fino que faz um ioiô.

**20.** [Rolamento sem deslizamento](#ex-b1-systems-of-points-rolling): o [ponto material](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) em $C$ tem velocidade nula; o campo de velocidades de um [corpo rígido](#def-b1-systems-of-points-solid) com um ponto em repouso é uma rotação em torno desse ponto (eixo por $C$, mesmo $\omega$).

**21.** $F$ age por baixo do eixo, a uma altura $R - r$ acima da mesa, horizontalmente na direção da mão: momento $F(R - r)$ em relação a $C$ no sentido que rola o carretel para a mão; o peso e a reação passam por $C$ (sem momento).

**22.** $(J + MR^2)\dot\omega = F(R - r)$, $a_G = R\dot\omega = FR(R - r)/
(\tfrac32 MR^2) = 2F(R - r)/3MR > 0$: na direção da mão.

**23.** A linha de ação de $F$ passa por $C$ quando o fio que sai de baixo do eixo encontra a mesa em $C$: $\cos\beta = r/R$, $\beta = 82^\circ$. Mais inclinado: o momento em relação a $C$ se inverte e o carretel se afasta (e, para $\beta$ grande o bastante, levanta).

**24.** $a_G = 2 \times 0.20 \times 0.026/(3 \times 0.050 \times 0.030) =
2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; o atrito sai de $Ma_G = F - f$ (o atrito se opõe a $F$): $f = 0.20 - 0.050 \times 2.3 = 0.085\,\mathrm{N}$; ele deve ficar abaixo de $\mu_sMg
\approx 0.2\,\mathrm{N}$ (para $\mu_s = 0.4$), isto é, $F \lesssim 0.5\,\mathrm{N}$.

**25.** [Centro de massa](#def-b1-systems-of-points-cm): a translação de $G$ e a tração; [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) em relação a um eixo: a rotação e o sentido do rolamento; energia: a velocidade lá embaixo e a altura da subida.