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title: "Teoria cinética e o gás perfeito"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 20
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito
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# Capítulo 20 — Teoria cinética e o gás perfeito

O ar de uma sala de aula pesa tanto quanto um homem adulto e contém mais moléculas do que há grãos de areia na Terra, cada uma voando com a velocidade de uma bala de fuzil e colidindo dez bilhões de vezes por segundo com as vizinhas. Ninguém consegue acompanhar uma delas; ninguém precisa. Um punhado de médias — [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure), [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature), volume, quantidade de matéria — descreve o ar completamente para todos os fins da engenharia, e uma imagem simples de moléculas ricocheteando nas paredes explica de onde vêm essas médias e como elas se relacionam. Este capítulo abre a parte de termodinâmica do volume olhando a matéria pelas duas pontas: o caos microscópico e a calma macroscópica, e a teoria cinética que os liga no caso do [gás perfeito](#def-b1-kinetic-theory-model).

## 20.1 Duas escalas de descrição

**Definição 20.1 (Escalas microscópica e macroscópica).**

Na escala *microscópica* a matéria é feita de moléculas: $1\,\mathrm{mol}$ contém $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,$ delas, cada uma com cerca de $0.3\,\mathrm{nm}$ de diâmetro; num gás em condições comuns elas ficam a $3\,\mathrm{nm}$ umas das outras, movem-se a centenas de metros por segundo e colidem a cada $70\,\mathrm{nm}$, mais ou menos. Na escala *macroscópica* um sistema é descrito por algumas poucas *variáveis de estado* — [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) $P$, volume $V$, [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) $T$, quantidade de matéria $n$ — que são médias sobre números enormes de moléculas. Uma variável é *extensiva* se dobra quando o sistema é dobrado ($V$, $n$, massa, energia), e *intensiva* se não dobra ($P$, $T$, densidade).

**Definição 20.2 (Equilíbrio termodinâmico).**

Um sistema está em *equilíbrio termodinâmico* quando as suas variáveis de estado são uniformes e constantes no tempo e nenhum escoamento macroscópico de matéria ou de energia o atravessa. Só então $P$ e $T$ estão definidos para o sistema como um todo; a *equação de estado* os liga a $V$ e $n$.

**Definição 20.3 (Pressão).**

Um fluido em repouso empurra cada elemento de superfície $\dd S$ de uma parede com uma força $\dd\vect F = P\,\dd S\,\vect n$ normal a ela e dirigida para a parede; $P$ é a *pressão*, em pascals ($1\,\mathrm{Pa} = 1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^{2}$); $1\,\mathrm{bar}
= 1 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, $1\,\mathrm{atm} = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. Num ponto dado ela não depende da orientação da superfície ([Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos#ch-b1-fluid-statics)).

**Definição 20.4 (Temperatura).**

Dois sistemas em contato através de uma parede que deixa passar energia atingem, com o tempo, um estado comum: estão então à mesma *temperatura*, e dois corpos em equilíbrio com um terceiro estão em equilíbrio um com o outro (a *lei zero*). A escala kelvin é fixada por $k_B = 1.380\,649 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ exatamente; Celsius: $\theta = T - 273.15$. A teoria cinética abaixo dá a $T$ o seu sentido microscópico.

## 20.2 O modelo cinético do gás perfeito

**Definição 20.5 (Gás perfeito, modelo microscópico).**

Um *gás perfeito* (gás ideal) é um conjunto de $N$ moléculas, tratadas como pontos de massa $m$, que se movem livremente e ao acaso — sem interação alguma a não ser colisões breves — num recipiente de volume $V$. No equilíbrio a distribuição das velocidades é isotrópica e estacionária; $n^* = N/V$ é a densidade numérica e $\langle v^2\rangle$ o valor médio do quadrado da velocidade.

**Teorema 20.6 (Pressão cinética).**

A [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) exercida pelo gás sobre as paredes vale

$$
P = \tfrac13\,n^*m\langle v^2\rangle = \tfrac23\,n^*\langle\epsilon_k\rangle ,
$$

onde $\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle$ é a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) média de uma molécula.

**Demonstração parcial.** Tome o modelo simplificado em que todas as moléculas têm velocidade $u$ e se movem ao longo dos três eixos, um sexto delas em cada sentido. Uma molécula que bate de frente na parede $x = 0$ ricocheteia elasticamente e lhe entrega a quantidade de movimento $2mu$. Num tempo $\dd t$, as moléculas que se dirigem à parede e alcançam uma área $S$ são as que estão na fatia de espessura $u\,\dd t$, um sexto das $n^*Su\,\dd t$ moléculas ali presentes. Força $=$ quantidade de movimento por unidade de tempo $= (n^*Su\,\dd t/6)(2mu)/\dd t = \tfrac13 n^*mu^2S$, logo $P = \tfrac13 n^*mu^2$. Tomar a média sobre a distribuição real das velocidades e das direções substitui $u^2$ por $\langle v^2\rangle$ (a isotropia dá $\langle v_x^2\rangle = \tfrac13\langle v^2\rangle$); o volume do segundo ano faz o cálculo por inteiro. ∎

![À esquerda: a origem cinética da pressão — as moléculas que batem numa parede e ricocheteiam lhe entregam quantidade de movimento; o seu número por segundo vezes 2mu é a força. À direita: as velocidades reais são espalhadas (distribuição de Maxwell, aqui para o nitrogênio a duas temperaturas); o único u do modelo é substituído pela velocidade quadrática média.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-kinetic-theory/fig-e0dce23a4801.svg)

*À esquerda: a origem cinética da [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) — as moléculas que batem numa parede e ricocheteiam lhe entregam quantidade de movimento; o seu número por segundo vezes $2mu$ é a força. À direita: as velocidades reais são espalhadas (distribuição de Maxwell, aqui para o nitrogênio a duas [temperaturas](#def-b1-kinetic-theory-temperature)); o único $u$ do modelo é substituído pela [velocidade quadrática média](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp).*

**Definição 20.7 (Temperatura cinética; equação de estado).**

A [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) de um [gás perfeito](#def-b1-kinetic-theory-model) é *definida* pela [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) média das suas moléculas,

$$
\langle\epsilon_k\rangle = \tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT ,
$$

de modo que, combinando com o [Teorema 20.6](#thm-b1-kinetic-theory-pressure),

$$
PV = Nk_BT = nRT, \qquad R = N_Ak_B = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K}) ,
$$

a *equação de estado do [gás perfeito](#def-b1-kinetic-theory-model)*. A *velocidade quadrática média* vale $u = \sqrt{\langle v^2\rangle} = \sqrt{3k_BT/m} = \sqrt{3RT/M}$, sendo $M$ a massa molar.

**Exemplo 20.8 (Números para o ar).**

Nitrogênio a $300\,\mathrm{K}$: $u = \sqrt{3 \times 8.314 \times 300/0.028} =
517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; hidrogênio, $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; quanto mais pesado, mais lento, como $1/\sqrt M$. A $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$, $n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$: $24\,\mathrm{L}$ por [mol](#def-b1-kinetic-theory-scales), $2.7 \times 10^{22}\,$ moléculas num litro. Uma sala de aula de $200\,\mathrm{m}^{3}$: $8300\,\mathrm{mol}$, $240\,\mathrm{kg}$ de ar.

**Observação 20.9 (Por que o modelo funciona, e quando falha).**

Entre duas colisões uma molécula de ar voa um *[livre caminho médio](#rem-b1-kinetic-theory-validity)* $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*) \approx 70\,\mathrm{nm}$ — duzentas vezes o seu tamanho: o gás é sobretudo vazio, as interações são raras e $PV = nRT$ vale com erro menor que um por cento nas pressões comuns. A alta [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) ou a baixa [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature), o volume próprio das moléculas e a sua atração passam a contar: a equação de van der Waals $(P + an^2/V^2)(V - nb) = nRT$ corrige as duas coisas, e abaixo de uma [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) crítica o gás se liquefaz ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/25-mudancas-de-fase-de-um-corpo-puro#ch-b1-phase-changes)).

![O diagrama de Clapeyron de um gás perfeito: a cada temperatura a isoterma é uma hipérbole P = nRT/V, tanto mais alta quanto maior T. Uma transformação é um caminho nesse plano; um ciclo, um laço fechado ().](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-kinetic-theory/fig-2666b2c1df89.svg)

*O diagrama de Clapeyron de um [gás perfeito](#def-b1-kinetic-theory-model): a cada [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) a isoterma é uma hipérbole $P = nRT/V$, tanto mais alta quanto maior $T$. Uma transformação é um caminho nesse plano; um ciclo, um laço fechado ([Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#ch-b1-heat-engines)).*

## 20.3 Energia interna do gás perfeito

**Definição 20.10 (Energia interna).**

A *energia interna* $U$ de um sistema é a soma das [energias cinéticas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) das suas moléculas no [referencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-frame) em que o sistema está em repouso e das suas [energias potenciais](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) mútuas; é uma função de estado extensiva.

**Proposição 20.11 (Energia interna dos gases perfeitos).**

Para um [gás perfeito](#def-b1-kinetic-theory-model) $U$ depende só de $T$ (primeira lei de Joule):

$$
\begin{gather*}
U = \tfrac32 nRT \quad (\text{monoatômico: He, Ne, Ar}), \\
U = \tfrac52 nRT \quad (\text{diatômico a temperaturas comuns: N}_2, \text{O}_2, \text{H}_2),
\end{gather*}
$$

de modo que a capacidade térmica molar a volume constante $C_{V,m} = \dd U_m/\dd T$ vale $\tfrac32 R = 12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ e $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, respectivamente.

**Demonstração parcial.** Nenhuma [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) mútua, por hipótese, logo $U = N\langle\epsilon_k\rangle
= \tfrac32 Nk_BT$ para moléculas pontuais. Uma molécula diatômica também gira: cada um dos seus dois graus de liberdade de rotação carrega, no equilíbrio, o mesmo $\tfrac12 k_BT$ que cada grau de translação (o teorema da *equipartição*, admitido; o volume do terceiro ano o demonstra e explica por que a vibração só entra acima de mil [kelvins](#def-b1-kinetic-theory-temperature)). ∎

**Exemplo 20.12 (O que cabe numa sala).**

Os $8300\,\mathrm{mol}$ de ar da sala de aula a $300\,\mathrm{K}$: $U = \tfrac52 \times
8300 \times 8.314 \times 300 = 5.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ — a energia de um litro e meio de gasolina, guardada no movimento molecular. Aquecer a sala de $1$ K custa $\tfrac52 nR = 170\,\mathrm{kJ}$ (a volume constante).

## 20.4 Fases condensadas

**Proposição 20.13 (Modelo da fase incompressível e indilatável).**

Líquidos e sólidos são modelados, neste nível, como fases de volume fixo — nem compressíveis nem dilatáveis — cuja [energia interna](#def-b1-kinetic-theory-U) depende só de $T$: $\dd U = C\,\dd T$ com $C = mc$, sendo $c$ o calor específico ($4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para a água, $450\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ para o aço). Os desvios reais, pequenos, são medidos pelo coeficiente de [dilatação térmica](#prop-b1-kinetic-theory-condensed) $\alpha = (1/V)(\partial V/\partial T)_P$ ($\sim1 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$ para os metais, $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{K}^{-1}$ para os líquidos) e pela compressibilidade isotérmica $\chi_T = -(1/V)(\partial V/\partial P)_T$ ($\sim5 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para a água, contra $1/P \approx 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ para um gás).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 20.14 (Quão incompressível).**

A água no fundo da fossa das Marianas ($1100\,\mathrm{bar}$) é comprimida de $\chi_T\Delta P \approx 5\times10^{-10} \times 1.1\times10^8 = 5\%$; um trilho de aço de $30\,\mathrm{m}$ aquecido de $50$ K se alonga de $\alpha L\Delta T =
18\,\mathrm{mm}$ — daí as juntas de dilatação. Contra um gás, cujo volume cai pela metade quando a [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) dobra, o modelo de volume fixo é bom a alguns por cento na maioria das situações deste volume.

## 20.5 Exercícios

**Exercício 20.1 ★.**

Número de moléculas em $1.0\,\mathrm{L}$ de gás a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1\,\mathrm{atm}$; distância média entre vizinhas; compare com o tamanho molecular de $0.3\,\mathrm{nm}$.

**Solução de Exercício 20.1.**

$N = PV/k_BT = 1.013\times10^5 \times 10^{-3}/(1.38\times10^{-23} \times 273) =
2.7 \times 10^{22}$; $n^{*-1/3} = (3.7\times10^{-26})^{1/3} = 3.3\,\mathrm{nm}$, dez vezes o tamanho molecular.

**Exercício 20.2 ★.**

[Velocidades quadráticas médias](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) de H$_2$, N$_2$, O$_2$ e CO$_2$ a $300\,\mathrm{K}$, e do N$_2$ a $77\,\mathrm{K}$ (nitrogênio em ebulição).

**Solução de Exercício 20.2.**

$u = \sqrt{3RT/M}$: H$_2$ $1930\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, N$_2$ $517\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, O$_2$ $484\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, CO$_2$ $412\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; N$_2$ a $77\,\mathrm{K}$: $262\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercício 20.3 ★.**

Um pneu de carro de volume $30\,\mathrm{L}$ é calibrado a uma [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) manométrica de $2.5\,\mathrm{bar}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$. Quantidade e massa do ar dentro dele; [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) absoluta depois de uma viagem que o aquece a $50{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solução de Exercício 20.3.**

$P = 3.5\,\mathrm{bar}$ absolutos: $n = PV/RT = 3.5\times10^5 \times 0.030/(8.314
\times 293) = 4.3\,\mathrm{mol}$, $125\,\mathrm{g}$. A $323\,\mathrm{K}$, $P \propto T$: $3.86\,\mathrm{bar}$ (manométrica $2.85\,\mathrm{bar}$).

**Exercício 20.4 ★.**

Estime o [livre caminho médio](#rem-b1-kinetic-theory-validity) das moléculas do ar a $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$ ($d = 0.37\,\mathrm{nm}$), e a frequência de colisões de uma molécula. A que [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) o [livre caminho médio](#rem-b1-kinetic-theory-validity) chega a $1\,\mathrm{m}$ (um “vácuo”)?

**Solução de Exercício 20.4.**

$n^* = P/k_BT = 2.4 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times
10^{-19} \times 2.4\times10^{25}) = 6.8 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}$; frequência $u/\lambda \approx
500/7\times10^{-8} = 7 \times 10^{9}\,\mathrm{s}^{-1}$. $\lambda \propto 1/P$: $1\,\mathrm{m}$ a $P \approx 10^5 \times 7\times10^{-8} = 7 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$.

**Exercício 20.5 ★★.**

Densidade do ar a $1.013\,\mathrm{bar}$ e $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$) e depois a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$. Sustentação de um balão de ar quente de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ (diferença entre os dois pesos de ar).

**Solução de Exercício 20.5.**

$\rho = PM/RT$: $1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$, $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$. Sustentação $(1.20 - 0.95) \times 2800 \times 9.81 = 7.0\,\mathrm{kN}$: cerca de $720\,\mathrm{kg}$.

**Exercício 20.6 ★★.**

O ar tem $21\%$ de O$_2$ em número de moléculas. [Pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parcial do oxigênio ao nível do mar; a $5000\,\mathrm{m}$, onde $P = 0.54\,\mathrm{atm}$; no cume do Everest ($0.33\,\mathrm{atm}$). Por que o corpo sofre lá em cima?

**Solução de Exercício 20.6.**

$P_{\mathrm{O}_2} = 0.21P$: $0.21\,\mathrm{atm}$; $0.11\,\mathrm{atm}$ a $5000\,\mathrm{m}$; $0.07\,\mathrm{atm}$ no Everest — um terço do valor ao nível do mar. O oxigênio entra no sangue proporcionalmente à sua [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parcial; a um terço, os pulmões não conseguem saturar a hemoglobina.

**Exercício 20.7 ★★.**

Um [mol](#def-b1-kinetic-theory-scales) de CO$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ em $1.0\,\mathrm{L}$: [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) pela lei dos [gases perfeitos](#def-b1-kinetic-theory-model) e depois por van der Waals ($a = 0.364\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{m}^{6}/\mathrm{mol}^{2}$, $b = 4.27 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{mol}$). Que correção domina aqui?

**Solução de Exercício 20.7.**

[Gás perfeito](#def-b1-kinetic-theory-model): $P = RT/V = 2494/10^{-3} = 24.9\,\mathrm{bar}$. Van der Waals: $RT/(V - b) - a/V^2 = 2494/9.57\times10^{-4} - 0.364/10^{-6} = 26.1 - 3.6 =
22.4\,\mathrm{bar}$: a atração ($-3.6$ [bar](#def-b1-kinetic-theory-pressure)) pesa mais do que o volume excluído ($+1.2$ [bar](#def-b1-kinetic-theory-pressure)); o CO$_2$ real fica $10\%$ abaixo do valor ideal.

**Exercício 20.8 ★★.**

[Energia interna](#def-b1-kinetic-theory-U) do ar de uma sala de $50\,\mathrm{m}^{3}$ a $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$; energia para aquecê-lo de $5\,\mathrm{K}$ a volume constante; tempo com um aquecedor de $2\,\mathrm{kW}$ (sem perdas).

**Solução de Exercício 20.8.**

$n = PV/RT = 10^5 \times 50/(8.314 \times 300) = 2000\,\mathrm{mol}$; $U = \tfrac52
nRT = 1.25 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 5 = 208\,\mathrm{kJ}$; $104\,\mathrm{s}$ a $2\,\mathrm{kW}$.

**Exercício 20.9 ★★.**

Um trilho de aço de $30\,\mathrm{m}$ ($\alpha = 1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$) entre $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $40{}^{\circ}\mathrm{C}$: variação de comprimento. Um anel de latão ($\alpha = 1.9 \times 10^{-5}\,\mathrm{K}^{-1}$) de diâmetro interno $49.95\,\mathrm{mm}$ deve passar por um eixo de $50.00\,\mathrm{mm}$: de quanto ele precisa ser aquecido?

**Solução de Exercício 20.9.**

$\Delta L = \alpha L\Delta T = 1.2\times10^{-5} \times 30 \times 50 = 18\,\mathrm{mm}$. Anel: $\Delta d/d = \alpha\Delta T = 0.05/49.95 = 10^{-3}$: $\Delta T = 10^{-3}/
1.9\times10^{-5} = 53\,\mathrm{K}$ (o furo se dilata como o metal em volta).

**Exercício 20.10 ★★★.**

Energia por molécula a $300\,\mathrm{K}$ ($\tfrac32 k_BT$) em joules e em eV; capacidades térmicas molares $C_{V,m}$ do argônio e do nitrogênio; por que a do nitrogênio é maior, embora as suas moléculas sejam mais leves?

**Solução de Exercício 20.10.**

$\tfrac32 k_BT = 6.2 \times 10^{-21}\,\mathrm{J} = 0.039\,\mathrm{eV}$. Argônio $\tfrac32 R =
12.5\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$; nitrogênio $\tfrac52 R = 20.8\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$: a molécula diatômica também armazena energia em rotação (dois graus de liberdade a mais), qualquer que seja a sua massa.

**Exercício 20.11 ★★★.**

Refaça a dedução da [pressão cinética](#thm-b1-kinetic-theory-pressure) no modelo das seis direções e mostre em seguida que, para uma distribuição isotrópica de velocidades, $\langle v_x^2\rangle
= \tfrac13\langle v^2\rangle$, e que a fórmula da [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) não muda.

**Solução de Exercício 20.11.**

Modelo das seis direções: como no texto, $P = \tfrac13 n^*mu^2$. Isotropia: $\langle v_x^2\rangle = \langle v_y^2\rangle = \langle v_z^2\rangle$ e a soma das três é $\langle v^2\rangle$, logo cada uma vale $\tfrac13\langle v^2\rangle$. O argumento de fluxo com uma distribuição dá $P = n^*m\langle v_x^2\rangle$ (moléculas com $v_x > 0$ que batem na parede, quantidade de movimento $2mv_x$ cada uma, fluxo $n^*v_x/2$ por classe de velocidade, tomada a média), isto é, $\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$ — o mesmo.

**Exercício 20.12 ★★★.**

[Velocidades quadráticas médias](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) do H$_2$ e do O$_2$ a $300\,\mathrm{K}$ comparadas com a [velocidade de escape](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#prop-b1-central-forces-escape) da Terra e com a da Lua ($2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$). Sabendo que a fração de moléculas mais rápidas do que $3u$ é pequena, mas não nula, explique por que a Terra perdeu o seu hidrogênio, e a Lua, toda a sua atmosfera.

**Solução de Exercício 20.12.**

H$_2$: $1.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, O$_2$: $0.48\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; Terra $11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, Lua $2.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Para o O$_2$ na Terra, $v_e/u = 23$: a cauda da distribuição além disso é totalmente desprezível; para o H$_2$, $v_e/u \approx 6$: uma fração ínfima mas constante escapa a cada ano e, ao longo de bilhões de anos, o hidrogênio se foi. Na Lua, $v_e/u$ vale $5$ para o O$_2$ e $1.2$ para o H$_2$: tudo vazou.

## 20.6 Problema: o ar da sala

**Problema 20.1.**

Problema de fim de semana — uma sala de aula cheia de ar: contar as suas moléculas, pesá-la, cronometrar os seus voos e tirar do mesmo modelo a sustentação de um balão, a rarefação do ar da montanha e a velocidade do som

Uma sala de aula mede $10 \times 8 \times 2.5\,\mathrm{m}$; o seu ar está a $P = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, $T = 293\,\mathrm{K}$, massa molar $M = 29.0\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $79\%$ de N$_2$ e $21\%$ de O$_2$ em número de moléculas. $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$, $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, $N_A = 6.02 \times 10^{23}$, $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**Parte I — Contar e pesar.**

1. Quantidade de ar (em [mols](#def-b1-kinetic-theory-scales) ) e número de moléculas na sala.
2. Massa do ar; compare com uma pessoa.
3. Densidade numérica $n^*$ e distância média entre moléculas ( $n^{*-1/3}$ ); compare com o diâmetro molecular de $0.37\,\mathrm{nm}$ .
4. [Velocidade quadrática média](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) do N $_2$ e do O $_2$ ; por que o gás mais pesado se move mais devagar à mesma [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) ?
5. [Energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) média de uma molécula; [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de translação total do ar da sala; compare com a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) de um carro a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
6. [Livre caminho médio](#rem-b1-kinetic-theory-validity) $\lambda \approx 1/(\sqrt2\pi d^2n^*)$ e tempo médio entre duas colisões de uma molécula.

**Parte II — A [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) a partir dos impactos.**

7. Usando o modelo das seis direções com $u = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , calcule o número de impactos por segundo em $1\,\mathrm{cm}^{2}$ de parede.
8. Calcule a quantidade de movimento cedida por segundo e verifique que ela reproduz a [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosférica.
9. Força total do ar sobre uma parede de $8\,\mathrm{m}$ por $2.5\,\mathrm{m}$ ; por que a parede não se move?
10. A sala é aquecida a $303\,\mathrm{K}$ com as janelas fechadas e vedadas: nova [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) , e força resultante sobre a parede agora.
11. O mesmo aquecimento com uma janela aberta: o que sai, e quanto?

**Parte III — O empuxo.**

12. Densidade do ar da sala e do ar a $373\,\mathrm{K}$ à mesma [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) .
13. Um balão de ar quente de volume $2800\,\mathrm{m}^{3}$ é enchido com ar a $373\,\mathrm{K}$ : peso do ar quente, peso do ar frio deslocado e a sustentação disponível (Arquimedes, [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos#ch-b1-fluid-statics) ).
14. O envelope, o cesto, o queimador e o gás pesam $300\,\mathrm{kg}$ : quantos passageiros de $75\,\mathrm{kg}$ ele consegue levantar?
15. A que [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) o ar deveria ser aquecido para dobrar a sustentação, e por que isso não se faz (o envelope é de náilon)?
16. Um balão de hélio do mesmo volume a $293\,\mathrm{K}$ ( $M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ): sustentação? Por que, ainda assim, os balões turísticos usam ar quente?

**Parte IV — Ar rarefeito e a velocidade do som.**

17. [Pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) parcial do oxigênio na sala.
18. No cume do Everest, $P = 0.33\,\mathrm{atm}$ e $T \approx 250\,\mathrm{K}$ : densidade numérica de moléculas de oxigênio comparada com a da sala.
19. A [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) da atmosfera cai com a altitude aproximadamente como $P(z) = P_0\eu^{-z/H}$ com $H = RT/Mg$ ( [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos#ch-b1-fluid-statics) ): calcule $H$ para $260\,\mathrm{K}$ e a altitude em que $P = P_0/2$ .
20. A velocidade do som num [gás perfeito](#def-b1-kinetic-theory-model) vale $c_s = \sqrt{\gamma RT/M}$ com $\gamma = 1.4$ para o ar ( [Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/22-a-primeira-lei-da-termodinamica#ch-b1-first-law) ): calcule-a a $293\,\mathrm{K}$ e compare com a [velocidade quadrática média](#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) ; interprete a proximidade.
21. Como $c_s$ varia com $T$ ? Velocidade do som na sala a $303\,\mathrm{K}$ e no hélio a $293\,\mathrm{K}$ ( $\gamma = 5/3$ ): por que uma voz com hélio soa aguda?
22. No alto do Everest, o som é mais rápido ou mais lento do que na sala? De quanto?
23. O ar da sala é substituído por argônio à mesma $P$ e à mesma $T$ : o que muda na contagem, na massa, nas velocidades e na [energia interna](#def-b1-kinetic-theory-U) ?
24. [Energia interna](#def-b1-kinetic-theory-U) do ar da sala ( $U = \tfrac52 nRT$ ) e energia para aquecê-lo de $10\,\mathrm{K}$ a volume constante.
25. Resuma em três linhas o que o modelo cinético entregou: que grandezas macroscópicas ele explicou, e a partir de que única média microscópica.

**Solução de Problema 20.1.**

**1.** $V = 200\,\mathrm{m}^{3}$: $n = PV/RT = 1.013\times10^5 \times 200/(8.314
\times 293) = 8320\,\mathrm{mol}$; $N = nN_A = 5.0 \times 10^{27}$.

**2.** $m = nM = 241\,\mathrm{kg}$: três pessoas.

**3.** $n^* = N/V = 2.5 \times 10^{25}\,\mathrm{m}^{-3}$; distância $n^{*-1/3} = 3.4\,\mathrm{nm}$, nove diâmetros moleculares.

**4.** N$_2$: $\sqrt{3 \times 8.314 \times 293/0.028} = 511\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; O$_2$: $478\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O mesmo $\tfrac32 k_BT$ por molécula: $\tfrac12 mu^2$ fixo, logo $u \propto 1/\sqrt m$.

**5.** $\tfrac32 k_BT = 6.1 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$; total $N \times 6.1\times10^{-21}
= 3.0 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $3.9 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ — o movimento molecular da sala vale oitenta carros.

**6.** $\lambda = 1/(\sqrt2\pi \times 1.37\times10^{-19} \times 2.5\times10^{25})
= 66\,\mathrm{nm}$; tempo $\lambda/u = 66\times10^{-9}/500 = 1.3 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**7.** Impactos por segundo em $S$: $\tfrac16 n^*Su = \tfrac16 \times 2.5\times
10^{25} \times 10^{-4} \times 500 = 2.1 \times 10^{23}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**8.** Cada um cede $2mu = 2 \times 4.8\times10^{-26} \times 500 = 4.8 \times 10^{-23}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($m = M/N_A = 4.8 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$): força $2.1\times10^{23} \times 4.8\times10^{-23}
= 10\,\mathrm{N}$ em $1\,\mathrm{cm}^{2}$: $1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$. O modelo reproduz a [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) atmosférica.

**9.** $F = PS = 1.013\times10^5 \times 20 = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — duzentas toneladas; a mesma [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) age do outro lado.

**10.** $P' = P \times 303/293 = 1.048 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; resultante $\Delta P\,S = 3.5
\times10^3 \times 20 = 70\,\mathrm{kN}$ para fora: sete toneladas sobre a parede.

**11.** O ar sai até a [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) se igualar: $n \propto 1/T$ com $P$ e $V$ fixos: $8320 \times (1 - 293/303) = 275\,\mathrm{mol}$, $8\,\mathrm{kg}$ que saem.

**12.** $\rho = PM/RT$: $1.205\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $293\,\mathrm{K}$; $0.946\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ a $373\,\mathrm{K}$.

**13.** Ar quente $0.946 \times 2800 \times 9.81 = 26.0\,\mathrm{kN}$; ar frio deslocado $1.205 \times 2800 \times 9.81 = 33.1\,\mathrm{kN}$; sustentação $7.1\,\mathrm{kN}$ ($725\,\mathrm{kg}$).

**14.** $725 - 300 = 425\,\mathrm{kg}$: cinco passageiros.

**15.** Sustentação $\propto \rho_c - \rho_h = \rho_c(1 - 293/T)$: dobrar $1 - 293/373 = 0.215$ exige $T = 293/0.57 = 514\,\mathrm{K}$ ($240{}^{\circ}\mathrm{C}$), bem acima do que o náilon tolera (cerca de $120{}^{\circ}\mathrm{C}$).

**16.** Hélio $\rho = 1.205 \times 4/29 = 0.166\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: sustentação $(1.205 - 0.166) \times 2800 \times 9.81 = 28.5\,\mathrm{kN}$ ($2.9\,\mathrm{t}$), quatro vezes mais — mas o hélio é caro e se perde a cada pouso, enquanto o ar quente é de graça e a sua sustentação se ajusta com o queimador.

**17.** $0.21 \times 1.013\times10^5 = 2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$.

**18.** $n^*_{\mathrm{O}_2} = P_{\mathrm{O}_2}/k_BT$: sala $2.1\times10^4/
(1.38\times10^{-23} \times 293) = 5.3 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$; Everest $0.21 \times 0.33
\times 1.013\times10^5/(1.38\times10^{-23} \times 250) = 2.0 \times 10^{24}\,\mathrm{m}^{-3}$: $38\%$ do valor da sala.

**19.** $H = RT/Mg = 8.314 \times 260/(0.029 \times 9.81) = 7.6\,\mathrm{km}$; $P_0/2$ a $H\ln 2 = 5.3\,\mathrm{km}$.

**20.** $c_s = \sqrt{1.4 \times 8.314 \times 293/0.029} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, contra $u = 503\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para a mistura: $c_s/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$. O som é uma perturbação transportada pelas próprias moléculas, de modo que viaja a uma velocidade da ordem da delas — um pouco menor, já que só conta a componente ao longo da propagação.

**21.** $c_s \propto \sqrt T$: $343\sqrt{303/293} = 349\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Hélio: $\sqrt{(5/3) \times 8.314 \times 293/0.004} = 1010\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: as ressonâncias do trato vocal escalam com $c_s$, de modo que cada formante fica três vezes mais alto.

**22.** Mais frio: $343\sqrt{250/293} = 317\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $8\%$ mais lento; a [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) não entra.

**23.** O mesmo $N$ (mesmos $P$, $V$, $T$); massa $\times 40/29 = 333\,\mathrm{kg}$; velocidades $\times\sqrt{29/40}$: $u = 428\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $U = \tfrac32 nRT$ em vez de $\tfrac52$: $60\%$.

**24.** $U = \tfrac52 \times 8320 \times 8.314 \times 293 = 5.1 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$; $\Delta U = \tfrac52 nR \times 10 = 1.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$.

**25.** Uma única média, $\langle v^2\rangle$, fixa a [pressão](#def-b1-kinetic-theory-pressure) ($\tfrac13 n^*m\langle v^2\rangle$), define a [temperatura](#def-b1-kinetic-theory-temperature) ($\tfrac12 m\langle v^2\rangle = \tfrac32 k_BT$), dá a equação de estado e a [energia interna](#def-b1-kinetic-theory-U) e fixa a escala da velocidade do som.