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title: "Estática dos fluidos"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 21
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos
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# Capítulo 21 — Estática dos fluidos

Um submarino a trezentos metros carrega, em cada metro quadrado do seu casco, o peso de um caminhão carregado. Uma barragem segura um lago com uma parede grossa embaixo e fina em cima, por uma razão que nada tem a ver com o comprimento do lago. Um navio de cem mil toneladas flutua porque empurra para o lado cem mil toneladas de água, e afunda um palmo a mais quando passa do mar para um rio. Cada um desses fatos é consequência de uma única relação — num fluido em repouso a pressão cresce para baixo à taxa $\rho g$ — e este capítulo a deduz, aplica-a aos líquidos e à atmosfera e tira dela a força sobre uma parede e o teorema de Arquimedes.

![Um submarino num exercício de emersão de emergência (Marinha dos EUA): esvaziados os seus tanques de lastro, ele fica mais leve do que a água que desloca e sobe — o teorema de Arquimedes a 7000\, t.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/img-32f2271ed5d4.jpg)

*Um submarino num exercício de emersão de emergência (Marinha dos EUA): esvaziados os seus tanques de lastro, ele fica mais leve do que a água que desloca e sobe — o teorema de Arquimedes a $7000\,\mathrm{t}$.*

## 21.1 A pressão num fluido em repouso

**Proposição 21.1 (Isotropia da pressão).**

Num fluido em repouso, a força exercida pelo fluido sobre uma pequena superfície $\dd S$ colocada num ponto $M$ vale $\dd\vect F = P(M)\,\dd S\,\vect n$, normal à superfície e dirigida para ela, com uma pressão $P(M)$ que depende do ponto mas *não* da orientação da superfície.

**Demonstração parcial.** Um fluido em repouso não transmite força tangencial (senão escoaria): a força é normal. Considere um pequeníssimo prisma triangular de fluido em $M$ com faces de orientações diferentes: ele está em equilíbrio sob as forças de pressão nas suas faces e sob o seu peso; o peso varia como o volume (cubo do tamanho) e as forças de pressão como áreas (quadrado), de modo que, para um prisma bastante pequeno, só as forças de pressão contam, e o seu equilíbrio em toda direção exige o mesmo $P$ em todas as faces. ∎

**Teorema 21.2 (Relação fundamental da estática dos fluidos).**

Num fluido em repouso na gravidade uniforme $\vect g = -g\vect e_z$ ($z$ para cima), a pressão depende só de $z$ e

$$
\frac{\dd P}{\dd z} = -\rho g ,
$$

sendo $\rho$ a densidade do fluido nesse nível. A pressão cresce para baixo; as superfícies de pressão igual (as *isóbaras*) são horizontais, e a superfície livre de um líquido também.

**Demonstração.** Tome uma fatia horizontal de fluido de área $S$ entre $z$ e $z + \dd z$: ela é empurrada para cima por $P(z)S$ de baixo, para baixo por $P(z + \dd z)S$ de cima, e puxada para baixo pelo seu peso $\rho gS\,\dd z$. Em repouso: $P(z)S - P(z + \dd z)S - \rho gS\,\dd z = 0$. As fatias horizontais de fluido não recebem força horizontal da gravidade, logo na horizontal $P$ é uniforme. ∎

![À esquerda: o equilíbrio de uma fatia horizontal de fluido — a pressão de baixo tem de exceder a de cima do peso da fatia por unidade de área. À direita: vasos comunicantes — uma horizontal encontra a mesma pressão em toda parte num líquido conectado, de modo que as superfícies livres ficam num só nível, quaisquer que sejam as formas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-9afd3b5ca77a.svg)

![À esquerda: o equilíbrio de uma fatia horizontal de fluido — a pressão de baixo tem de exceder a de cima do peso da fatia por unidade de área. À direita: vasos comunicantes — uma horizontal encontra a mesma pressão em toda parte num líquido conectado, de modo que as superfícies livres ficam num só nível, quaisquer que sejam as formas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-af011c0ca15e.svg)

*À esquerda: o equilíbrio de uma fatia horizontal de fluido — a pressão de baixo tem de exceder a de cima do peso da fatia por unidade de área. À direita: vasos comunicantes — uma horizontal encontra a mesma pressão em toda parte num líquido conectado, de modo que as superfícies livres ficam num só nível, quaisquer que sejam as formas.*

**Corolário 21.3 (Fluido incompressível).**

Num líquido de densidade uniforme $\rho$, a pressão à profundidade $h$ abaixo de um ponto onde ela vale $P_0$ é

$$
P = P_0 + \rho gh .
$$

Água: $1\,\mathrm{bar}$ a mais a cada $10\,\mathrm{m}$. Dois pontos de um líquido conectado no mesmo nível estão à mesma pressão; as superfícies livres de vasos comunicantes ficam num só nível; uma pressão aplicada em qualquer ponto de um líquido confinado é transmitida sem atenuação a todos os pontos (princípio de Pascal).

**Demonstração.** Integre $\dd P/\dd z = -\rho g$ com $\rho$ constante; o resto é a horizontalidade das isóbaras e a unicidade de $P$ num dado nível. ∎

**Exemplo 21.4 (Manômetros e prensas).**

Um tubo em U de mercúrio ($\rho = 13\,600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) cujas colunas diferem de $h = 760\,\mathrm{mm}$ mede uma diferença de pressão $\rho gh = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ — a atmosfera, que sustenta uma coluna de $10.3\,\mathrm{m}$ de água. Uma [prensa hidráulica](#ex-b1-fluid-statics-manometer): uma força $F_1$ sobre um pistão de área $S_1$ eleva a pressão de $F_1/S_1$ em todo o líquido; sobre o pistão grande $S_2$ ela dá $F_2 = F_1S_2/S_1$ — cinquenta vezes mais para cinquenta vezes a área, ao preço de cinquenta vezes menos curso (a energia se conserva: $F_1d_1 = F_2d_2$).

## 21.2 A atmosfera

**Proposição 21.5 (Atmosfera isotérmica).**

Para um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) de massa molar $M$ à temperatura uniforme $T$ numa gravidade uniforme,

$$
P(z) = P_0\,\eu^{-z/H}, \qquad H = \frac{RT}{Mg} ,
$$

a *[altura de escala](#prop-b1-fluid-statics-atmosphere)*: cerca de $8\,\mathrm{km}$ para o ar; a pressão cai pela metade a cada $H\ln2 \approx 5.5\,\mathrm{km}$.

**Demonstração.** $\rho = PM/RT$ (equação de estado), logo $\dd P/\dd z = -(Mg/RT)P$: uma equação linear de primeira ordem, $P = P_0\eu^{-Mgz/RT}$. ∎

**Exemplo 21.6 (Ar rarefeito).**

Com $T = 260\,\mathrm{K}$ (uma média sobre a baixa atmosfera), $H =
7.6\,\mathrm{km}$: $P = 0.52P_0$ a $5000\,\mathrm{m}$ e $0.31P_0$ no cume do Everest — perto dos valores medidos, $0.54$ e $0.33$; a atmosfera real esfria com a altitude, o que o volume do segundo ano leva em conta. O modelo também diz por que o mar é diferente: a água é oitocentas vezes mais densa e quase incompressível, de modo que a sua pressão cresce linearmente, um bar a cada dez metros, sem [altura de escala](#prop-b1-fluid-statics-atmosphere).

![A atmosfera isotérmica: a pressão (e a densidade) cai exponencialmente com a altitude, dividindo-se por dois a cada 5.5\, km. Nove décimos do ar estão abaixo de 17\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-d6c6ddad00e0.svg)

*A atmosfera isotérmica: a pressão (e a densidade) cai exponencialmente com a altitude, dividindo-se por dois a cada $5.5\,\mathrm{km}$. Nove décimos do ar estão abaixo de $17\,\mathrm{km}$.*

## 21.3 Forças sobre paredes

**Proposição 21.7 (Força sobre uma parede vertical).**

Um líquido de profundidade $h$ contra uma parede vertical retangular de largura $L$ (a pressão atmosférica agindo nas duas faces e se cancelando) exerce a força horizontal

$$
F = \tfrac12\rho gh^2L ,
$$

equivalente a uma única força aplicada no *[centro de pressão](#prop-b1-fluid-statics-wall)*, à profundidade $2h/3$ — a resultante age embaixo, onde a pressão é maior.

**Demonstração.** À profundidade $x$ a pressão manométrica vale $\rho gx$; sobre a faixa de altura $\dd x$ a força vale $\rho gxL\,\dd x$; integre de $0$ a $h$. O seu momento em relação à linha da superfície é $\int_0^h\rho gx^2L\,\dd x = \tfrac13\rho gh^3L$; dividindo por $F$ obtém-se o [braço de alavanca](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $2h/3$. ∎

![A pressão sobre uma barragem cresce linearmente com a profundidade (setas), de modo que a resultante age a dois terços da profundidade: a parede tem de ser mais grossa embaixo. A força depende de h e de L, e não de quanta água há atrás.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-07a8962fc964.svg)

*A pressão sobre uma barragem cresce linearmente com a profundidade (setas), de modo que a resultante age a dois terços da profundidade: a parede tem de ser mais grossa embaixo. A força depende de $h$ e de $L$, e não de quanta água há atrás.*

**Exemplo 21.8 (Uma barragem).**

$h = 20\,\mathrm{m}$, $L = 100\,\mathrm{m}$: $F = \tfrac12 \times 1000 \times 9.81 \times
400 \times 100 = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$ — vinte mil toneladas, aplicadas $13\,\mathrm{m}$ abaixo da superfície, o mesmo quer o lago atrás seja um açude ou um fiorde: é o *paradoxo hidrostático*.

## 21.4 O teorema de Arquimedes

**Teorema 21.9 (Arquimedes).**

Um corpo imerso num fluido em repouso recebe das forças de pressão uma resultante — o *empuxo* — igual e oposta ao peso do fluido que ele desloca,

$$
\vect\Pi = -\rho_{\text{fluido}}V_{\text{imerso}}\,\vect g ,
$$

aplicada no [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#def-b1-systems-of-points-cm) do fluido deslocado (o *[centro de empuxo](#thm-b1-fluid-statics-archimedes)*).

**Demonstração.** As forças de pressão sobre a superfície do corpo dependem apenas da forma dessa superfície e do fluido de fora. Substitua o corpo, em pensamento, por fluido em repouso ocupando o mesmo volume: esse fluido está em equilíbrio sob o seu peso e sob as mesmas forças de pressão, de modo que as forças de pressão equilibram o seu peso — a soma delas vale $-\rho V\vect g$, aplicada no seu [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#def-b1-systems-of-points-cm). Desfaça a experiência de pensamento; as forças de pressão não mudaram. ∎

**Corolário 21.10 (Flutuação).**

Um corpo de densidade $\rho_b$ flutua num fluido de densidade $\rho_f > \rho_b$ com a fração $\rho_b/\rho_f$ do seu volume imersa; se $\rho_b >
\rho_f$ ele afunda, com um peso aparente $(\rho_b - \rho_f)Vg$.

**Demonstração.** O peso $\rho_bVg$ é igual ao empuxo $\rho_fV_{\text{im}}g$. ∎

![Um corpo que flutua: o seu peso, aplicado no seu centro de massa G, equilibra o empuxo, aplicado no centro de empuxo C (o centro do volume imerso). Gelo (= 917\, kg/ m3) em água do mar (1025\, kg/ m3): 89\% abaixo da superfície.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/fig-4e510dda35b7.svg)

*Um corpo que flutua: o seu peso, aplicado no seu [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#def-b1-systems-of-points-cm) $G$, equilibra o empuxo, aplicado no [centro de empuxo](#thm-b1-fluid-statics-archimedes) $C$ (o centro do volume imerso). Gelo ($\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) em água do mar ($1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): $89\%$ abaixo da superfície.*

**Exemplo 21.11 (Três empuxos).**

Um densímetro é um tubo lastreado que afunda até deslocar o seu próprio peso: quanto mais denso o líquido, menos ele afunda — um medidor de densidade que se lê na haste. Um balão de $2800\,\mathrm{m}^{3}$ de ar quente a $373\,\mathrm{K}$ desloca $3.4\,\mathrm{t}$ de ar frio e pesa $2.6\,\mathrm{t}$ de ar quente: $0.7\,\mathrm{t}$ de sustentação ([Problema 20.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#pb-b1-kinetic-theory-1)). Um navio de $100\,000\,\mathrm{t}$ desloca $97\,600\,\mathrm{m}^{3}$ de água do mar; em água doce ($1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) ele precisa deslocar $2.5\%$ a mais e afunda mais — daí as marcas de Plimsoll no seu casco.

**Observação 21.12 (Estabilidade).**

Um corpo que flutua, inclinado de um pequeno ângulo, é restaurado se o empuxo, agora aplicado no centro deslocado do novo volume imerso, produz um momento de endireitamento — o que acontece quando o *metacentro* (o ponto em que a linha de ação do empuxo encontra o eixo do corpo) fica acima de $G$. Lastro no fundo do casco baixa $G$ e estabiliza o navio; um barco pesado em cima emborca.

## 21.5 Exercícios

**Exercício 21.1 ★.**

Pressão absoluta a $10\,\mathrm{m}$, $100\,\mathrm{m}$ e $1\,\mathrm{km}$ sob o mar ($\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); força sobre uma vigia de $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ a $300\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 21.1.**

$P = P_0 + \rho gh$: $2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ ($2.0\,\mathrm{bar}$), $1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$ ($11\,\mathrm{bar}$), $1.0 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}$ ($101\,\mathrm{bar}$). A $300\,\mathrm{m}$: $P =
3.1 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}$, força $3.1\,\mathrm{MN}$ sobre $1\,\mathrm{m}^{2}$ (resultante, contra $1\,\mathrm{atm}$ do lado de dentro: $3.0\,\mathrm{MN}$).

**Exercício 21.2 ★.**

Altura de uma coluna de mercúrio que equilibra $1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; e de uma coluna de água. Por que uma bomba de sucção não consegue elevar a água mais do que uns $10\,\mathrm{m}$?

**Solução de Exercício 21.2.**

$h = P/\rho g$: mercúrio $0.760\,\mathrm{m}$; água $10.3\,\mathrm{m}$. Uma bomba pode, no melhor dos casos, fazer vácuo acima da água: a atmosfera então empurra a coluna para cima de $10.3\,\mathrm{m}$, e não mais.

**Exercício 21.3 ★.**

Um macaco hidráulico: $100\,\mathrm{N}$ sobre um pistão de $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$, carga sobre um pistão de $200\,\mathrm{cm}^{2}$; distâncias percorridas por cada um se o pistão pequeno anda $20\,\mathrm{cm}$.

**Solução de Exercício 21.3.**

$F_2 = F_1S_2/S_1 = 10\,\mathrm{kN}$ (uma tonelada); $d_2 = d_1S_1/S_2 = 2.0\,\mathrm{mm}$ (mesmo volume deslocado, mesmo trabalho).

**Exercício 21.4 ★.**

Um tubo em U contém água; despeja-se óleo ($\rho = 850\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$) num dos ramos, formando uma coluna de $12\,\mathrm{cm}$. Diferença de altura entre as duas superfícies livres.

**Solução de Exercício 21.4.**

Mesma pressão no nível da interface óleo–água nos dois ramos: $\rho_og
h_o = \rho_wgh_w$, $h_w = 0.85 \times 12 = 10.2\,\mathrm{cm}$ de água acima desse nível no outro ramo; a superfície do óleo fica $12 - 10.2 = 1.8\,\mathrm{cm}$ mais alta.

**Exercício 21.5 ★★.**

[Altura de escala](#prop-b1-fluid-statics-atmosphere) da atmosfera a $273\,\mathrm{K}$; pressão a $5000\,\mathrm{m}$ e a $8848\,\mathrm{m}$; altitude em que $P = P_0/2$. Compare com os valores citados no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#ch-b1-kinetic-theory).

**Solução de Exercício 21.5.**

$H = RT/Mg = 8.314 \times 273/(0.029 \times 9.81) = 8.0\,\mathrm{km}$; $P/P_0 =
\eu^{-z/H}$: $0.54$ a $5\,\mathrm{km}$, $0.33$ a $8848\,\mathrm{m}$; metade em $H\ln2 =
5.5\,\mathrm{km}$ — os números usados no [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#ch-b1-kinetic-theory).

**Exercício 21.6 ★★.**

Uma barragem retangular de $100\,\mathrm{m}$ de largura segura $20\,\mathrm{m}$ de água. Força total, profundidade do [centro de pressão](#prop-b1-fluid-statics-wall) e momento da água em relação à base da barragem. Por que uma barragem é curvada na direção da água?

**Solução de Exercício 21.6.**

$F = \tfrac12\rho gh^2L = 1.96 \times 10^{8}\,\mathrm{N}$; [centro de pressão](#prop-b1-fluid-statics-wall) à profundidade de $13.3\,\mathrm{m}$, isto é, $6.7\,\mathrm{m}$ acima da base; momento em relação à base $F \times
6.7 = 1.3 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. Curvar a barragem na direção da água transforma o empurrão em compressão do arco, levada às encostas do vale.

**Exercício 21.7 ★★.**

Fração de um iceberg abaixo da superfície (gelo $917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$, água do mar $1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$); de um tronco de densidade $600\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ em água doce; uma balsa de $2.0\,\mathrm{m}^{3}$ dessa madeira consegue levar quantas pessoas de $75\,\mathrm{kg}$ antes que o seu convés fique alagado?

**Solução de Exercício 21.7.**

$917/1025 = 89\%$; tronco $60\%$. Balsa: empuxo com imersão total $1000 \times
2.0 \times 9.81 = 19.6\,\mathrm{kN}$, peso próprio $11.8\,\mathrm{kN}$: $7.8\,\mathrm{kN}$ de sobra, dez pessoas… a décima com os pés molhados: nove para ficar seco ($800\,\mathrm{kg}$).

**Exercício 21.8 ★★.**

Um densímetro de massa $20\,\mathrm{g}$, com uma haste de seção $0.50\,\mathrm{cm}^{2}$, flutua em água com $4.0\,\mathrm{cm}$ de haste emersa. Quanta haste emerge numa salmoura de densidade $1100\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$? Sensibilidade (cm por unidade de densidade relativa)?

**Solução de Exercício 21.8.**

Volume imerso $m/\rho$: em água $20\,\mathrm{cm}^{3}$; em salmoura $20/1.1 = 18.2\,\mathrm{cm}^{3}$, $1.8\,\mathrm{cm}^{3}$ a menos, isto é, $1.8/0.50 = 3.6\,\mathrm{cm}$ a mais de haste: $7.6\,\mathrm{cm}$ emersos. Sensibilidade $\approx m/(\rho^2S) \approx 40\,\mathrm{cm}$ por unidade de densidade relativa ($3.6\,\mathrm{cm}$ por $0.1$).

**Exercício 21.9 ★★.**

Um submarino de volume $3000\,\mathrm{m}^{3}$ tem massa de $2800\,\mathrm{t}$ com os tanques de lastro vazios. Fração emersa na superfície (água do mar); massa de água a admitir para ficar em equilíbrio indiferente; e se ele entrar depois num estuário de água doce?

**Solução de Exercício 21.9.**

Volume deslocado $2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$: $268\,\mathrm{m}^{3}$ ($9\%$) emergem. Equilíbrio indiferente: massa $1025 \times 3000 = 3075\,\mathrm{t}$: admitir $275\,\mathrm{t}$. Água doce: o empuxo cai para $3000\,\mathrm{t}$: $75\,\mathrm{t}$ pesado demais — ele afunda a menos que $75\,\mathrm{t}$ sejam bombeadas para fora.

**Exercício 21.10 ★★★.**

Um balão de criança contém $10\,\mathrm{L}$ de hélio ($M = 4\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$) a $1\,\mathrm{bar}$ e $293\,\mathrm{K}$; a borracha pesa $3.0\,\mathrm{g}$. Sustentação líquida; massa de barbante que ele consegue carregar.

**Solução de Exercício 21.10.**

Ar deslocado: $10^{-2} \times 1.20 = 12.0\,\mathrm{g}$; hélio dentro $12.0 \times
4/29 = 1.7\,\mathrm{g}$; borracha $3.0\,\mathrm{g}$: sustentação líquida $7.3\,\mathrm{g}$ — sete metros de barbante leve.

**Exercício 21.11 ★★★.**

Prove que o [centro de pressão](#prop-b1-fluid-statics-wall) sobre uma parede vertical retangular fica a $2h/3$ calculando o momento das forças de pressão em relação à linha da superfície. Onde ele fica para uma parede só parcialmente submersa, digamos da profundidade $h_1$ à $h_2$?

**Solução de Exercício 21.11.**

Momento $\int_0^h\rho gx\cdot xL\,\dd x = \rho gLh^3/3$, força $\rho gLh^2/2$: braço $2h/3$. De $h_1$ a $h_2$: momento $\rho gL(h_2^3 - h_1^3)/3$, força $\rho gL(h_2^2 - h_1^2)/2$: profundidade $\frac23(h_2^3 - h_1^3)/(h_2^2 - h_1^2)$.

**Exercício 21.12 ★★★.**

Um densímetro cilíndrico (massa $m$, seção $S$) que flutua num líquido de densidade $\rho$ é empurrado para baixo de $x$ e solto. Mostre que ele oscila harmonicamente e dê o período; calcule-o para $m =
20\,\mathrm{g}$, $S = 0.50\,\mathrm{cm}^{2}$, em água. ([Exemplo 14.3](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortecimento-e-ressonancia#ex-b1-oscillators-resonance-bob) revisitado.)

**Solução de Exercício 21.12.**

Uma imersão suplementar $x$ acrescenta o empuxo $\rho gSx$ para cima: $m\ddot x = -\rho gSx$, $\omega_0^2 = \rho gS/m$, $T = 2\pi\sqrt{m/\rho gS} = 2\pi\sqrt{0.020/(1000 \times
9.81 \times 5\times10^{-5})} = 1.3\,\mathrm{s}$.

![Enchendo um balão de ar quente: o ar aquecido é menos denso do que o ar frio em volta, e o empuxo de Arquimedes sobre o envelope supera o seu peso.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-fluid-statics/img-33cb78170213.jpg)

*Enchendo um balão de ar quente: o ar aquecido é menos denso do que o ar frio em volta, e o empuxo de Arquimedes sobre o envelope supera o seu peso.*

## 21.6 Problema: o submarino

**Problema 21.1.**

Problema de fim de semana — um casco de aço a trezentos metros de profundidade: a pressão sobre as suas chapas, a água que ele tem de engolir para descer e cuspir para subir, a mergulhadora que sai dele e o petroleiro que passa lá em cima

Água do mar: $\rho = 1025\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; água doce $1000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; $P_0 = 1.013 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$; $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. O casco do submarino encerra $V = 3000\,\mathrm{m}^{3}$; com os tanques de lastro vazios a sua massa é $m_0 = 2800\,\mathrm{t}$.

**Parte I — A pressão sobre o casco.**

1. Pressão absoluta a $300\,\mathrm{m}$ , em [pascals](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-pressure) e em bars.
2. Força sobre uma escotilha circular de $0.80\,\mathrm{m}$ de diâmetro nessa profundidade; compare com o peso de um caminhão.
3. Força sobre um metro quadrado de casco na quilha, se o casco tem $10\,\mathrm{m}$ de altura e o topo está a $300\,\mathrm{m}$ : quão diferente do topo?
4. A água é ligeiramente compressível ( $\chi_T = 4.6 \times 10^{-10}\,\mathrm{Pa}^{-1}$ ): de que fração a água do mar é mais densa a $300\,\mathrm{m}$ do que na superfície? Isso importa para a pressão calculada acima?
5. A tripulação lá dentro respira ar a $1\,\mathrm{atm}$ : por que o casco precisa ser um cilindro espesso, e por que um cilindro resiste melhor do que uma caixa de faces planas?
6. Uma casca cilíndrica fina de raio $R$ e espessura de parede $e$ sob uma sobrepressão externa $\Delta P$ suporta na parede uma tensão de compressão $\Delta P\,R/e$ . Para $R = 5.0\,\mathrm{m}$ e $e = 3.0\,\mathrm{cm}$ a $300\,\mathrm{m}$ , calcule-a e compare com o limite de escoamento do aço, cerca de $600\,\mathrm{MPa}$ .

**Parte II — Afundar e flutuar.**

7. Na superfície, com os tanques vazios, que volume do casco emerge?
8. Que massa de água do mar os tanques de lastro precisam admitir para o submarino ficar em equilíbrio indiferente?
9. Uma vez em equilíbrio indiferente a $300\,\mathrm{m}$ , o casco é comprimido de $0.1\%$ pela pressão. Calcule a força resultante e diga se o equilíbrio é estável em relação à profundidade.
10. O barco navega em equilíbrio indiferente do mar para um estuário de água doce. Força resultante? Para que lado ele vai, e o que a tripulação tem de fazer?
11. Um torpedo de $20\,\mathrm{t}$ é disparado. O que o sistema de lastro tem de fazer imediatamente, e de quanto?
12. Por que um submarino usa ar comprimido para esvaziar os seus tanques, e por que a pressão desse ar é o limite da profundidade em que ele pode esvaziá-los?
13. Estime o volume de ar a $1\,\mathrm{atm}$ necessário para esvaziar $275\,\mathrm{m}^{3}$ de tanques a $300\,\mathrm{m}$ (lei de Boyle, $PV$ constante).

**Parte III — A mergulhadora.** Uma mergulhadora deixa a superfície com $6.0\,\mathrm{L}$ de ar nos pulmões.

14. Pressão absoluta a $10\,\mathrm{m}$ e a $30\,\mathrm{m}$ .
15. Se ela desce prendendo a respiração, qual é o volume dos seus pulmões a $30\,\mathrm{m}$ ?
16. Uma mergulhadora com cilindro respira ar à pressão ambiente a $30\,\mathrm{m}$ e sobe prendendo a respiração: volume que os seus pulmões precisariam ter na superfície, e a lição.
17. Um snorkel de $1.0\,\mathrm{m}$ : diferença de pressão entre a água sobre o peito da mergulhadora e o ar dos seus pulmões; força sobre um peito de $0.05\,\mathrm{m}^{2}$ ; ela consegue inspirar?
18. O cilindro contém $12\,\mathrm{L}$ a $200\,\mathrm{bar}$ : quantos litros de ar a $30\,\mathrm{m}$ isso dá, e por quanto tempo a $20\,\mathrm{L}$ por minuto?

**Parte IV — O petroleiro lá em cima.**

19. Um petroleiro de $100\,000\,\mathrm{t}$ flutua em água do mar: volume de água deslocado.
20. A sua área de flutuação é $8000\,\mathrm{m}^{2}$ : de quanto ele sobe ou desce ao entrar em água doce?
21. Carregando $10\,000\,\mathrm{t}$ de petróleo: variação do calado.
22. O petroleiro vazio tem o [centro de massa](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#def-b1-systems-of-points-cm) alto e leva água do mar como lastro quando está vazio. Por quê, em termos do metacentro?
23. O casco do petroleiro na quilha (calado de $20\,\mathrm{m}$ ): pressão e força por metro quadrado, comparadas com as do submarino a $300\,\mathrm{m}$ .
24. O petroleiro passa exatamente por cima do submarino. O submarino sente as suas $100\,000\,\mathrm{t}$ ? Explique com o campo de pressão.
25. Resuma: a única relação que fixou todos os números deste problema, e o teorema que dela decorreu.

**Solução de Problema 21.1.**

**1.** $P = 1.013\times10^5 + 1025 \times 9.81 \times 300 = 3.12 \times 10^{6}\,\mathrm{Pa}
= 31\,\mathrm{bar}$.

**2.** $S = \pi(0.40)^2 = 0.503\,\mathrm{m}^{2}$: força resultante $(P - P_0)S =
1.52 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$ — 155 toneladas, um caminhão carregado sobre uma escotilha.

**3.** Quilha $10\,\mathrm{m}$ mais fundo: $+\rho g \times 10 = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ a mais, $3\%$: o casco é carregado quase uniformemente.

**4.** $\Delta\rho/\rho = \chi_T\Delta P = 4.6\times10^{-10} \times 3.0\times10^6
= 0.14\%$: desprezível para a pressão (alguns quilopascals em três milhões).

**5.** Trinta bars do lado de fora, um do lado de dentro: o casco é um vaso de pressão carregado para dentro; um cilindro (ou uma esfera) transforma a pressão em compressão ao longo da parede, coisa que o aço resiste bem, ao passo que uma chapa plana se dobraria.

**6.** $\Delta P\,R/e = 3.0\times10^6 \times 5.0/0.030 = 5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}
= 500\,\mathrm{MPa}$: perto do limite de escoamento — $300\,\mathrm{m}$ está no limite para este casco, e barcos mais profundos exigem aço mais espesso ou mais resistente (ou titânio).

**7.** Volume deslocado $m_0/\rho = 2800/1.025 = 2732\,\mathrm{m}^{3}$: $268\,\mathrm{m}^{3}$ emergem ($9\%$).

**8.** Equilíbrio indiferente: $m = \rho V = 3075\,\mathrm{t}$: admitir $275\,\mathrm{t}$.

**9.** O empuxo cai de $0.1\%$ de $\rho Vg$: $0.001 \times 3075 \times 9.81
\times10^3 = 30\,\mathrm{kN}$ para baixo (três toneladas). Mais fundo $\Rightarrow$ mais compressão $\Rightarrow$ mais pesado: instável — um submarino tem de corrigir o lastro continuamente (e um casco de aço se comprime menos do que a água, o que ajuda; um casco flexível demais afundaria sem volta).

**10.** Empuxo $1000 \times 3000 \times 9.81 = 29.4\,\mathrm{MN}$ contra o peso $3075 \times 9.81 \times 10^3 = 30.2\,\mathrm{MN}$: $0.74\,\mathrm{MN}$ para baixo ($75\,\mathrm{t}$); bombear $75\,\mathrm{t}$ para fora.

**11.** Imediatamente $20\,\mathrm{t}$ mais leve: admitir $20\,\mathrm{t}$ de água ($19.5\,\mathrm{m}^{3}$) nos tanques de compensação.

**12.** A água só pode ser expulsa por algo a pressão mais alta do que a do mar do lado de fora; o ar comprimido dos cilindros a empurra para fora — mas só enquanto a pressão dos cilindros exceder a pressão ambiente naquela profundidade.

**13.** $PV$ constante: $275\,\mathrm{m}^{3}$ a $31\,\mathrm{bar}$ exigem $275 \times 31
= 8500\,\mathrm{m}^{3}$ de ar a $1\,\mathrm{atm}$ — guardados a $200\,\mathrm{bar}$ em $43\,\mathrm{m}^{3}$ de cilindros.

**14.** $2.0\,\mathrm{bar}$ a $10\,\mathrm{m}$; $4.0\,\mathrm{bar}$ a $30\,\mathrm{m}$.

**15.** $PV$ constante: $6.0/4.0 = 1.5\,\mathrm{L}$ — a caixa torácica é esmagada para dentro; os apneístas sentem isso.

**16.** O ar tomado a $4\,\mathrm{bar}$ se expande quatro vezes: $24\,\mathrm{L}$ em pulmões que comportam $6\,\mathrm{L}$: ruptura. Nunca prenda a respiração na subida; expire continuamente.

**17.** $\Delta P = \rho g \times 1.0 = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}$; força $1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Pa}
\times 0.05 = 500\,\mathrm{N}$ sobre o peito: os músculos respiratórios não levantam cinquenta quilos — um snorkel só funciona nos primeiros decímetros.

**18.** $12 \times 200 = 2400\,\mathrm{L}$ a $1\,\mathrm{bar}$, isto é, $600\,\mathrm{L}$ a $4\,\mathrm{bar}$: $30\,\mathrm{min}$.

**19.** $V = 10^8/1025 = 97\,600\,\mathrm{m}^{3}$.

**20.** Em água doce ele precisa deslocar $10^5\ \mathrm{m}^{3}$: $2400\,\mathrm{m}^{3}$ a mais, isto é, $2400/8000 = 0.30\,\mathrm{m}$ mais fundo.

**21.** $10^4/1.025 = 9756\,\mathrm{m}^{3}$ a mais: $1.2\,\mathrm{m}$ mais fundo.

**22.** Vazio, o $G$ do navio fica alto e pouco casco está imerso: o metacentro pode cair abaixo de $G$ e o navio emborcar numa onda. Água do mar no fundo do casco baixa $G$ e aumenta o calado.

**23.** $\rho gh = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$, $0.2\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$: quinze vezes menos do que os $3\,\mathrm{MN}/\mathrm{m}^{2}$ do submarino.

**24.** Não: a pressão à profundidade do submarino vale $P_0 + \rho gh$, fixada só pela profundidade. O peso do petroleiro é sustentado pela água que ele desloca, o que eleva o nível do mar em toda parte de uma quantidade imensurável; nenhuma carga suplementar chega ao submarino.

**25.** $\dd P/\dd z = -\rho g$ — donde $P = P_0 + \rho gh$ para toda profundidade, força e volume pulmonar aqui — e o teorema de Arquimedes, que é essa relação integrada sobre uma superfície fechada.