--- title: "A primeira lei da termodinâmica" book: "Física universitária — 1.º ano" subject: physics language: pt chapter: 22 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/22-a-primeira-lei-da-termodinamica --- # Capítulo 22 — A primeira lei da termodinâmica Encha o pneu de uma bicicleta e o corpo da bomba fica quente demais para segurar. Um motor diesel não tem vela de ignição: ele comprime o seu ar vinte vezes, e o ar fica quente o bastante para acender o combustível sozinho. Um cilindro de gás comprimido cobre-se de gelo enquanto se esvazia. Em cada caso a energia muda de forma — trabalho vira [calor](#def-b1-first-law-heat), [calor](#def-b1-first-law-heat) vira trabalho, os dois viram [energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U) — e a [primeira lei da termodinâmica](#thm-b1-first-law-firstlaw) é a contabilidade que fecha as contas. Este capítulo define trabalho e [calor](#def-b1-first-law-heat) para um [sistema termodinâmico](#def-b1-first-law-transformation), enuncia a primeira lei, introduz a [energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U) e a [entalpia](#def-b1-first-law-enthalpy) como as grandezas que ela conserva e a aplica às transformações de um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) e à calorimetria. ![Uma bomba de bicicleta: o trabalho da mão sobre o ar preso eleva a sua energia interna, e o corpo da bomba esquenta — a primeira lei na palma da mão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/img-7b8ecb401796.jpg) *Uma bomba de bicicleta: o trabalho da mão sobre o ar preso eleva a sua [energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U), e o corpo da bomba esquenta — a primeira lei na palma da mão.* ## 22.1 Transformações, trabalho e calor **Definição 22.1 (Sistema, transformação).** Um *sistema termodinâmico* é a matéria contida numa fronteira escolhida; todo o resto é o *exterior*. Uma *transformação* o leva de um estado de equilíbrio a outro. Ela é *quase-estática* se o sistema passa por uma sucessão de estados de equilíbrio (lenta o bastante para que $P$ e $T$ estejam definidos em todo o sistema), e *reversível* se, além disso, inverter as condições externas inverte o caminho (sem atrito, sem diferença finita de temperatura ou de pressão com o exterior). Os nomes vêm do que fica constante: *isotérmica* ($T$), *isobárica* ($P$), *isocórica* ($V$); *adiabática* se não há troca de [calor](#def-b1-first-law-heat); *monobárica* (*monotérmica*) se a pressão (a temperatura) externa é constante, aconteça o que acontecer lá dentro. **Proposição 22.2 (Trabalho das forças de pressão).** Um sistema cujo volume varia de $\dd V$ contra uma pressão externa $P_{\mathrm{ext}}$ recebe o trabalho $$ \delta W = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V, \qquad W = -\int_{V_1}^{V_2}P_{\mathrm{ext}}\,\dd V . $$ Para uma [transformação quase-estática](#def-b1-first-law-transformation) $P_{\mathrm{ext}} = P$ (a pressão do próprio sistema) e $W = -\int P\,\dd V$ é menos a área sob o caminho no diagrama de Clapeyron: positivo na compressão, negativo na expansão. **Demonstração.** Um pistão de área $S$ empurrado pelo exterior com a força $P_{\mathrm{ext}}S$ se desloca de $\dd x$ para fora: o exterior realiza sobre o sistema o trabalho $-P_{\mathrm{ext}}S\,\dd x = -P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$. Toda fronteira é um conjunto de pistões como esse. Quase-estática: o pistão está em equilíbrio, $P_{\mathrm{ext}} = P$ a menos de uma diferença que tende a zero. ∎ **Definição 22.3 (Calor).** *Calor* $Q$ é a energia transferida ao sistema de outro modo que não por trabalho macroscópico — por colisões moleculares numa parede (condução), pela circulação de um fluido (convecção), por radiação. Um *termostato* é um corpo tão grande que a sua temperatura não muda, qualquer que seja o calor que ele troque. Convenção de sinais em todo o livro: $W$ e $Q$ são *recebidos* pelo sistema, positivos quando entram. ## 22.2 A primeira lei **Teorema 22.4 (Primeira lei da termodinâmica).** Um [sistema fechado](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#def-b1-newton-dynamics-conservation) possui uma função de estado, a sua *[energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U)* $U$ (extensiva), tal que, para qualquer [transformação](#def-b1-first-law-transformation), $$ \Delta U + \Delta E_{k} = W + Q , $$ sendo $E_k$ a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) macroscópica (nula para um sistema em repouso): a energia recebida como trabalho e como [calor](#def-b1-first-law-heat) fica armazenada como [energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U). $W$ e $Q$ dependem cada um do caminho; a sua soma, não. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 22.5 (O que ela diz).** É a conservação da energia, com o [calor](#def-b1-first-law-heat) reconhecido como uma transferência de energia (a experiência da roda de pás de Joule: um trabalho medido eleva sempre a temperatura da água tanto quanto um [calor](#def-b1-first-law-heat) medido). “$U$ é uma função de estado” quer dizer que $\Delta U$ está fixado pelos estados inicial e final — de modo que um ciclo tem $\Delta U = 0$ e $W + Q = 0$: uma máquina que fornece trabalho tem de receber [calor](#def-b1-first-law-heat). O conteúdo microscópico de $U$ é o da [Definição 20.10](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U). **Definição 22.6 (Entalpia; capacidades térmicas).** A *entalpia* $H = U + PV$ é uma função de estado adaptada às transformações a pressão constante. As *capacidades térmicas a volume e a pressão constantes* são $$ C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V, \qquad C_P = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P , $$ em $\mathrm{J}/\mathrm{K}$; por [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales), $C_{V,m}$ e $C_{P,m}$; por quilograma, os [calores](#def-b1-first-law-heat) específicos $c_V$ e $c_P$. **Proposição 22.7 (Calor a volume constante e a pressão constante).** Para um sistema em repouso que troca trabalho apenas por forças de pressão: - [transformação](#def-b1-first-law-transformation) isocórica: $W = 0$ e $Q_V = \Delta U$ ; - [transformação](#def-b1-first-law-transformation) monobárica entre dois estados à pressão externa $P_0$ : $Q_P = \Delta H$ . **Demonstração.** Isocórica: $\dd V = 0$. Monobárica: $W = -P_0(V_2 - V_1)$, logo $Q = \Delta U + P_0\Delta V = \Delta(U + PV)$, pois $P_1 = P_2 = P_0$. ∎ **Proposição 22.8 (Gás perfeito: UUU, HHH, relação de Mayer).** Para um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model), $U$ e $H$ dependem só de $T$ ([leis de Joule](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#prop-b1-kinetic-theory-Ugas)): $\dd U = C_V\,\dd T$, $\dd H = C_P\,\dd T$, e $$ C_{P,m} - C_{V,m} = R, \qquad \gamma = \frac{C_P}{C_V}, \qquad C_{V,m} = \frac{R}{\gamma - 1}, \quad C_{P,m} = \frac{\gamma R}{\gamma - 1} ; $$ $\gamma = 5/3$ para os gases monoatômicos e $7/5$ para os diatômicos a temperaturas comuns. Para uma [fase condensada](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#prop-b1-kinetic-theory-condensed) no modelo da [Proposição 20.13](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#prop-b1-kinetic-theory-condensed), $C_P \approx C_V = C$ e $\dd U \approx \dd H = C\,\dd T$. **Demonstração.** $H = U + nRT$; derive em relação a $T$. $C_{V,m} = \tfrac32 R$ ou $\tfrac52 R$ pela [Proposição 20.11](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#prop-b1-kinetic-theory-Ugas). ∎ ## 22.3 Transformações de um gás perfeito **Proposição 22.9 (As quatro transformações usuais).** Para $n$ [mols](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model): - isocórica: $W = 0$ , $Q = \Delta U = nC_{V,m}\Delta T$ ; - isobárica (quase-estática): $W = -P\Delta V = -nR\Delta T$ , $Q = \Delta H = nC_{P,m}\Delta T$ ; - isotérmica reversível: $\Delta U = 0$ , $W = -Q = -nRT\ln(V_2/V_1) = nRT\ln(P_2/P_1)$ ; - adiabática reversível: $Q = 0$, $W = \Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$, e ao longo do caminho (*[lei de Laplace](#prop-b1-first-law-transformations)*) $$PV^\gamma = \text{const}, \qquad TV^{\gamma - 1} = \text{const}, \qquad T^\gamma P^{1 - \gamma} = \text{const} .$$ **Demonstração.** Isocórica e isobárica: as proposições anteriores. Isotérmica: $W = -\int nRT\,\dd V/V$. Adiabática: $\dd U = \delta W$, isto é, $nC_{V,m}\dd T = -P\,\dd V = -nRT\,\dd V/V$, logo $\dd T/T = -(\gamma - 1)\dd V/V$ (usando $R/C_{V,m} = \gamma - 1$); integre: $TV^{\gamma - 1}$ constante; as outras formas saem de $PV = nRT$. ∎ ![À esquerda: no diagrama de Clapeyron o trabalho recebido numa compressão quase-estática é a área sob o caminho; a partir do mesmo ponto, uma adiabática é mais inclinada do que uma isoterma (> 1): um gás comprimido sem perda de calor esquenta e sobe para uma isoterma mais alta. À direita: o trabalho do exterior sobre um pistão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/fig-61991d1bf5bb.svg) ![À esquerda: no diagrama de Clapeyron o trabalho recebido numa compressão quase-estática é a área sob o caminho; a partir do mesmo ponto, uma adiabática é mais inclinada do que uma isoterma (> 1): um gás comprimido sem perda de calor esquenta e sobe para uma isoterma mais alta. À direita: o trabalho do exterior sobre um pistão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/fig-13e0d0298712.svg) *À esquerda: no diagrama de Clapeyron o trabalho recebido numa compressão quase-estática é a área sob o caminho; a partir do mesmo ponto, uma adiabática é mais inclinada do que uma isoterma ($\gamma > 1$): um gás comprimido sem perda de [calor](#def-b1-first-law-heat) esquenta e sobe para uma isoterma mais alta. À direita: o trabalho do exterior sobre um pistão.* **Exemplo 22.10 (A bomba e o diesel).** Ar ($\gamma = 1.4$) comprimido adiabaticamente de $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$ a $7\,\mathrm{bar}$ (uma bomba de bicicleta): $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$ — $250{}^{\circ}\mathrm{C}$ por um instante, o que o corpo da bomba sente. Uma taxa de compressão de $20$ num diesel: $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$, $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$ — acima da temperatura de autoignição do combustível: o motor não precisa de faísca (o problema de fim de semana percorre o ciclo inteiro). **Observação 22.11 (Transformações irreversíveis).** Quando a [transformação](#def-b1-first-law-transformation) não é quase-estática, a [lei de Laplace](#prop-b1-first-law-transformations) e $W = -\int P\,\dd V$ não se aplicam; só valem $W = -\int P_{\mathrm{ext}}\,\dd V$ e a primeira lei. Dois casos clássicos: um gás que se expande no vácuo ([expansão de Joule](#rem-b1-first-law-irreversible)) não recebe trabalho e, em paredes adiabáticas, nenhum [calor](#def-b1-first-law-heat) — $\Delta U = 0$, e um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) mantém a sua temperatura; um gás subitamente comprimido por uma pressão externa que salta para $P_2$ recebe $W = -P_2\Delta V$, mais do que o trabalho reversível até a mesma pressão, e termina mais quente ([Exercício 22.11](#exo-b1-first-law-11)). ## 22.4 Calorimetria **Método 22.12 (Balanço calorimétrico).** Corpos postos em contato térmico dentro de um vaso isolado a pressão constante (a atmosférica) trocam [calor](#def-b1-first-law-heat) apenas entre si: o total $\Delta H = \sum Q_P = 0$. Para cada corpo, $\Delta H = mc\,\Delta T$ (sem mudança de fase) ou $\pm mL$ para uma mudança de estado na sua temperatura de transição, sendo $L$ o *[calor](#def-b1-first-law-heat) latente* ([entalpia](#def-b1-first-law-enthalpy) de fusão ou de vaporização por unidade de massa: água, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, $L_v = 2260\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$). Escreva o balanço, resolva para a temperatura final e verifique que a fase suposta para cada corpo é compatível com ela. **Exemplo 22.13 (Gelo na água).** $50\,\mathrm{g}$ de gelo a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ em $200\,\mathrm{g}$ de água a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$: a fusão exige $16.7\,\mathrm{kJ}$; a água pode dar $25.1\,\mathrm{kJ}$ ao esfriar até $0{}^{\circ}\mathrm{C}$, de modo que todo o gelo derrete e o balanço $0.250 \times 4180 \times (T_f - 0) = 25.1 - 16.7$ kJ dá $T_f = 8{}^{\circ}\mathrm{C}$. Se houvesse $100\,\mathrm{g}$ de gelo, seriam precisos $33.4\,\mathrm{kJ}$: só uma parte derrete e $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ — a verificação importa. ![Aquecendo um quilograma de água desde gelo a -20 C até vapor: a temperatura faz uma pausa em cada mudança de estado, enquanto o calor latente é fornecido — 334\, kJ para derreter, 2260\, kJ para ferver, muito mais do que os 418\, kJ que levam o líquido de 0\, a 100 C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-first-law/fig-3cfe27fc78f9.svg) *Aquecendo um quilograma de água desde gelo a $-20{}^{\circ}\mathrm{C}$ até vapor: a temperatura faz uma pausa em cada mudança de estado, enquanto o [calor](#def-b1-first-law-heat) latente é fornecido — $334\,\mathrm{kJ}$ para derreter, $2260\,\mathrm{kJ}$ para ferver, muito mais do que os $418\,\mathrm{kJ}$ que levam o líquido de $0\,$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$.* ## 22.5 Exercícios **Exercício 22.1 ★.** Um [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) de ar ($C_{P,m} = 29.1\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$) é aquecido de $300\,\mathrm{K}$ a $400\,\mathrm{K}$ a pressão constante. [Calor](#def-b1-first-law-heat) recebido, trabalho recebido, variação da [energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U). **Solução de Exercício 22.1.** $Q = C_{P,m}\Delta T = 29.1 \times 100 = 2.91\,\mathrm{kJ}$; $W = -nR\Delta T = -0.83\,\mathrm{kJ}$; $\Delta U = Q + W = 2.08\,\mathrm{kJ} = C_{V,m}\Delta T$. **Exercício 22.2 ★.** Um [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) de gás a $300\,\mathrm{K}$ é comprimido isotérmica e reversivelmente de $2.0\,\mathrm{L}$ a $0.50\,\mathrm{L}$. Trabalho recebido, [calor](#def-b1-first-law-heat) trocado, $\Delta U$. **Solução de Exercício 22.2.** $W = -nRT\ln(V_2/V_1) = -2494\ln(0.25) = +3.46\,\mathrm{kJ}$; $\Delta U = 0$, logo $Q = -3.46\,\mathrm{kJ}$ (cedido ao banho térmico). **Exercício 22.3 ★.** Ar a $300\,\mathrm{K}$ e $1\,\mathrm{bar}$ é comprimido adiabática e reversivelmente até um décimo do seu volume. Temperatura e pressão finais. **Solução de Exercício 22.3.** $T_2 = T_1 \times 10^{\gamma - 1} = 300 \times 10^{0.4} = 754\,\mathrm{K}$; $P_2 = 10^{1.4} = 25\,\mathrm{bar}$. **Exercício 22.4 ★.** Dê $C_{V,m}$, $C_{P,m}$ e $\gamma$ para o argônio e para o nitrogênio. Para a água líquida ($c = 4180\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$), por que se abandona a distinção entre $c_P$ e $c_V$? **Solução de Exercício 22.4.** Argônio: $C_{V,m} = \tfrac32 R = 12.5$, $C_{P,m} = \tfrac52 R = 20.8$ J/([mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) K), $\gamma = 1.67$; nitrogênio: $20.8$, $29.1$, $\gamma = 1.40$. Para a água, a dilatação com o aquecimento é ínfima, de modo que o trabalho $P\,\dd V$ a pressão constante é desprezível diante do [calor](#def-b1-first-law-heat): $c_P - c_V \approx 0$. **Exercício 22.5 ★★.** $200\,\mathrm{g}$ de água a $80{}^{\circ}\mathrm{C}$ são misturados com $300\,\mathrm{g}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ num copo isolado. Temperatura final; o que muda se o próprio copo tiver capacidade térmica de $80\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ e começar a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$? **Solução de Exercício 22.5.** $T_f = (200 \times 80 + 300 \times 20)/500 = 44{}^{\circ}\mathrm{C}$. Com o copo: $(200 \times 4.18 \times 80 + (300 \times 4.18 + 80) \times 20)/(500 \times 4.18 + 80) = 43{}^{\circ}\mathrm{C}$. **Exercício 22.6 ★★.** $50\,\mathrm{g}$ de gelo a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($c_{\text{gelo}} = 2100\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$) são jogados em $200\,\mathrm{g}$ de água a $30{}^{\circ}\mathrm{C}$. Estado e temperatura finais. Mesma pergunta com $150\,\mathrm{g}$ de gelo. **Solução de Exercício 22.6.** Gelo: aquecer até $0$: $0.050 \times 2100 \times 10 = 1.05\,\mathrm{kJ}$; derreter: $16.7\,\mathrm{kJ}$; total $17.8\,\mathrm{kJ}$. A água pode dar $25.1\,\mathrm{kJ}$ até $0$: tudo derrete; então $0.250 \times 4180\,T_f = 25.1 - 17.8$ kJ: $T_f = 7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Com $150\,\mathrm{g}$: seriam precisos $53.3\,\mathrm{kJ}$ $>$ $25.1\,\mathrm{kJ}$: só $(25.1 - 3.15)/334 = 66\,\mathrm{g}$ de gelo derretem, $T_f = 0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e restam $84\,\mathrm{g}$ de gelo. **Exercício 22.7 ★★.** Um gás percorre um ciclo retangular no diagrama de Clapeyron: $(V_1, P_1) \to (V_2, P_1) \to (V_2, P_2) \to (V_1, P_2) \to (V_1, P_1)$ com $V_2 > V_1$ e $P_2 > P_1$. Trabalho recebido ao longo do ciclo, em função da área; sinal, e significado do sinal. **Solução de Exercício 22.7.** $W = -P_1(V_2 - V_1) + 0 - P_2(V_1 - V_2) + 0 = (P_2 - P_1)(V_2 - V_1) > 0$: o ciclo é percorrido no sentido anti-horário (expansão a baixa pressão, compressão a alta), de modo que o gás *recebe* trabalho líquido, igual à área encerrada; no sentido horário ele o forneceria — uma máquina térmica. **Exercício 22.8 ★★.** Uma bomba de bicicleta comprime ar de $1\,\mathrm{bar}$ e $300\,\mathrm{K}$ a $7\,\mathrm{bar}$ depressa o bastante para ser adiabática. Temperatura atingida; por que a bomba esquenta; e por que a pressão do pneu cai um pouco depois que se para de bombear. **Solução de Exercício 22.8.** $T_2 = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$. O ar quente e comprimido aquece o corpo da bomba por condução a cada curso. No pneu o ar esfria até a temperatura ambiente a volume fixo: $P \propto T$, e a pressão cai na razão das temperaturas — complete o enchimento. **Exercício 22.9 ★★.** Um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) se expande num vaso isolado e previamente evacuado ([expansão de Joule](#rem-b1-first-law-irreversible)). Trabalho, [calor](#def-b1-first-law-heat), $\Delta U$, $\Delta T$. A [transformação](#def-b1-first-law-transformation) é reversível? O que faria um gás real? **Solução de Exercício 22.9.** $W = 0$ (não há pressão externa contra a qual empurrar), $Q = 0$: $\Delta U = 0$, donde $\Delta T = 0$ para um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model). Irreversível: o gás nunca volta sozinho. Um gás real, cujas moléculas se atraem, esfria um pouco (parte da [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) vira [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) quando elas se afastam). **Exercício 22.10 ★★★.** Fervura de $1.0\,\mathrm{kg}$ de água a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1\,\mathrm{atm}$ (volume do vapor $1.67\,\mathrm{m}^{3}$). [Calor](#def-b1-first-law-heat) fornecido, trabalho trocado com a atmosfera, $\Delta U$. Para onde vai a maior parte do [calor](#def-b1-first-law-heat) latente? **Solução de Exercício 22.10.** $Q = L_v = 2.26\,\mathrm{MJ}$; $W = -P(V_g - V_l) = -1.013\times10^5 \times 1.67 = -0.17\,\mathrm{MJ}$; $\Delta U = 2.09\,\mathrm{MJ}$: $93\%$ do [calor](#def-b1-first-law-heat) vai para separar as moléculas ([energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U)) e $7\%$ para empurrar a atmosfera. **Exercício 22.11 ★★★.** Um [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gás diatômico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) a $300\,\mathrm{K}$ e $1\,\mathrm{bar}$, num cilindro isolado, é comprimido pondo-se subitamente a pressão externa em $5\,\mathrm{bar}$ e esperando o equilíbrio. Temperatura e volume finais (primeira lei com $W = -P_{\mathrm{ext}}\Delta V$); compare com a compressão adiabática reversível até $5\,\mathrm{bar}$. **Solução de Exercício 22.11.** $W = -P_2(V_2 - V_1)$, $\Delta U = nC_{V,m}(T_2 - T_1)$, $V_2 = nRT_2/P_2$, $V_1 = nRT_1/P_1$: $\tfrac52(T_2 - 300) = -T_2 + 300 \times 5$, $3.5T_2 = 2250$, $T_2 = 643\,\mathrm{K}$, $V_2 = 10.7\,\mathrm{L}$. Reversível: $T_2 = 300 \times 5^{0.286} = 475\,\mathrm{K}$, $V_2 = 7.9\,\mathrm{L}$. A compressão súbita realiza mais trabalho sobre o gás (os $5\,\mathrm{bar}$ inteiros agem desde o início) e termina mais quente e menos comprimida. **Exercício 22.12 ★★★.** O som é uma compressão rápida, portanto adiabática: a sua velocidade vale $c = \sqrt{\gamma P/\rho}$ (o valor isotérmico $\sqrt{P/\rho}$ foi o erro de Newton). Calcule os dois para o ar a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ e compare com os $343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ medidos. Mostre que $c = \sqrt{\gamma RT/M}$ e compare com a [velocidade quadrática média](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-kinetictemp) do [Capítulo 20](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#ch-b1-kinetic-theory). **Solução de Exercício 22.12.** $\rho = PM/RT = 1.20\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$: $\sqrt{\gamma P/\rho} = \sqrt{1.4 \times 1.013\times10^5/1.20} = 343\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\sqrt{P/\rho} = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $15\%$ abaixo. Com $P/\rho = RT/M$: $c = \sqrt{\gamma RT/M}$; contra $u = \sqrt{3RT/M}$ = $502\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $c/u = \sqrt{\gamma/3} = 0.68$. ## 22.6 Problema: da bomba de bicicleta ao motor diesel **Problema 22.1.** Problema de fim de semana — uma bomba manual que queima os dedos, um cilindro que acende o seu próprio combustível e uma esfera de aço que quica sobre um colchão de ar: a primeira lei em três compressões Ar: [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) diatômico, $\gamma = 1.40$, $C_{V,m} = \tfrac52 R$, $C_{P,m} = \tfrac72 R$, $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $R = 8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$. Estado inicial em toda parte: $P_1 = 1.00\,\mathrm{bar}$, $T_1 = 300\,\mathrm{K}$. **Parte I — A bomba de bicicleta.** O cilindro da bomba tem volume $V_1 = 212\,\mathrm{cm}^{3}$; o ar que ele contém é comprimido reversível e adiabaticamente até atingir a pressão do pneu, $7.0\,\mathrm{bar}$. 1. Quantidade de ar no cilindro. 2. Volume no fim da compressão. 3. Temperatura no fim da compressão. 4. Trabalho recebido pelo ar durante um curso. 5. O pneu ( $2.0\,\mathrm{L}$ ) tem de passar de $1\,\mathrm{bar}$ a $7\,\mathrm{bar}$ a $300\,\mathrm{K}$ : quantos cursos, e quanto trabalho ao todo (tome o trabalho por curso como constante)? 6. O ar quente esfria depois no pneu até $300\,\mathrm{K}$ : o que acontece com a pressão do pneu, e o que o ciclista faz? 7. Compare o trabalho adiabático por curso com o trabalho de uma compressão isotérmica até os mesmos $7\,\mathrm{bar}$ . Por que o trabalho isotérmico é maior, embora o gás termine mais frio? **Parte II — A compressão do diesel.** Um cilindro de $V_1 = 0.50\,\mathrm{L}$ comprime o seu ar reversível e adiabaticamente por um fator $20$. 8. Quantidade de ar e temperatura $T_2$ depois da compressão. 9. Pressão $P_2$ . 10. O combustível se autoinflama acima de uns $500\,\mathrm{K}$ : explique por que um diesel não precisa de vela de ignição, e por que um motor a gasolina (taxa $\approx 10$ , veja o [Exercício 22.3](#exo-b1-first-law-3) ) não pode autoinflamar. 11. Trabalho recebido pelo ar durante a compressão. 12. A $3000\,\mathrm{rpm}$ um cilindro comprime $25$ vezes por segundo: potência absorvida pela compressão (ela é devolvida mais adiante no ciclo). 13. As compressões reais são rápidas (irreversibilidade) e perdem [calor](#def-b1-first-law-heat) para as paredes: em que sentido cada efeito desloca $T_2$ ? **Parte III — Combustão e expansão.** No alto do curso, $20\,\mathrm{mg}$ de combustível (poder calorífico $43\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$) queimam enquanto o pistão começa a descer, à pressão constante $P_2$; depois o gás se expande reversível e adiabaticamente de volta a $V_1$. Trate o gás como ar o tempo todo. 14. [Calor](#def-b1-first-law-heat) liberado pelo combustível. 15. Temperatura $T_3$ e volume $V_3$ no fim da combustão isobárica. 16. Trabalho trocado durante a fase isobárica (atenção ao sinal!). 17. Temperatura $T_4$ no fim da expansão adiabática e o trabalho trocado durante ela. 18. Trabalho líquido fornecido pelo gás nos quatro tempos e razão entre ele e o [calor](#def-b1-first-law-heat) liberado (o rendimento ideal). 19. Compare esse rendimento com $1 - T_1/T_3$ , o limite que o [Capítulo 24](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#ch-b1-heat-engines) estabelecerá para qualquer máquina que funcione entre essas temperaturas extremas. 20. [Calor](#def-b1-first-law-heat) rejeitado com o escapamento, pela primeira lei ao longo do ciclo; verifique o balanço. **Parte IV — Medindo $\gamma$ com uma esfera que quica.** Uma esfera de aço de massa $m = 16.5\,\mathrm{g}$ se ajusta a um tubo vertical de vidro de seção $S = 2.0\,\mathrm{cm}^{2}$ fechado embaixo por um balão de volume $V = 10\,\mathrm{L}$ de ar a $P = 1.0\,\mathrm{bar}$; deslocada de $x$ da sua posição de equilíbrio, ela oscila. 21. Por que as compressões e expansões do ar podem ser tomadas como adiabáticas? Escreva a relação entre um pequeno deslocamento $x$ e a variação de pressão $\dd P$ ( [lei de Laplace](#prop-b1-first-law-transformations) , linearizada). 22. Deduza a força de restituição sobre a esfera e mostre que o seu movimento é harmônico, com $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$ . 23. Calcule o período e o valor de $\gamma$ que se deduziria de um período medido de $1.10\,\mathrm{s}$ . 24. Por que o atrito entre a esfera e o tubo, e o vazamento de ar, enviesam o resultado, e em que sentido? 25. Resuma as três compressões: que grandeza a primeira lei conservou em cada uma, e o que o expoente adiabático $\gamma$ governou. **Solução de Problema 22.1.** **1.** $n = P_1V_1/RT_1 = 10^5 \times 2.12\times10^{-4}/2494 = 8.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{mol}$. **2.** $PV^\gamma$ constante: $V_2 = V_1(P_1/P_2)^{1/\gamma} = 212 \times 7^{-0.714} = 53\,\mathrm{cm}^{3}$. **3.** $T_2 = T_1(P_2/P_1)^{(\gamma - 1)/\gamma} = 300 \times 7^{0.286} = 523\,\mathrm{K}$. **4.** $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 8.5\times10^{-3} \times 20.8 \times 223 = 39\,\mathrm{J}$. **5.** Ar a acrescentar: $\Delta n = \Delta P\,V/RT = 6\times10^5 \times 2\times10^{-3}/ 2494 = 0.48\,\mathrm{mol}$: $0.48/8.5\times10^{-3} = 57$ cursos, cerca de $2.2\,\mathrm{kJ}$ — um minuto de esforço honesto. **6.** A volume constante $P \propto T$: a pressão cai enquanto o ar esfria (até $300/523$ para o ar do último curso); o ciclista dá mais alguns cursos depois de uma pausa. **7.** $W_{\text{iso}} = nRT\ln(P_2/P_1) = 8.5\times10^{-3} \times 2494 \times 1.95 = 41\,\mathrm{J} > 39\,\mathrm{J}$: o caminho isotérmico comprime o gás ainda mais (até $30\,\mathrm{cm}^{3}$ em vez de $53\,\mathrm{cm}^{3}$) para chegar a $7\,\mathrm{bar}$, porque ele fica frio — mais volume varrido, mais trabalho. **8.** $n = 10^5 \times 5\times10^{-4}/2494 = 0.020\,\mathrm{mol}$; $T_2 = 300 \times 20^{0.4} = 994\,\mathrm{K}$. **9.** $P_2 = 20^{1.4} = 66\,\mathrm{bar}$. **10.** $994\,\mathrm{K}$ está bem acima do ponto de autoignição do combustível: o combustível injetado acende ao contato. Um motor a gasolina comprime a sua mistura ar–combustível só até uns $750\,\mathrm{K}$, para que ela não acenda antes da faísca; uma taxa alta demais provoca “detonação”. **11.** $W = nC_{V,m}(T_2 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 694 = 289\,\mathrm{J}$. **12.** $25 \times 289 = 7.2\,\mathrm{kW}$ por cilindro, armazenados no gás quente e devolvidos na expansão. **13.** A irreversibilidade (o gás não segue o caminho quase-estático, e um trabalho extra é dissipado) eleva $T_2$; o [calor](#def-b1-first-law-heat) perdido para as paredes o abaixa. Num motor real o segundo efeito costuma vencer: $T_2$ fica um pouco abaixo do valor ideal. **14.** $Q = 20\times10^{-6} \times 43\times10^6 = 860\,\mathrm{J}$. **15.** Isobárica: $Q = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$: $T_3 - T_2 = 860/(0.020 \times 29.1) = 1480\,\mathrm{K}$, $T_3 = 2470\,\mathrm{K}$; $V_3 = V_2T_3/T_2 = 25 \times 2.48 = 62\,\mathrm{cm}^{3}$. **16.** $W = -P_2(V_3 - V_2) = -66\times10^5 \times 37\times10^{-6} = -244\,\mathrm{J}$: trabalho fornecido pelo gás. **17.** $T_4 = T_3(V_3/V_1)^{\gamma - 1} = 2470 \times (0.124)^{0.4} = 1070\,\mathrm{K}$; $W = nC_{V,m}(T_4 - T_3) = 0.020 \times 20.8 \times (-1400) = -582\,\mathrm{J}$. **18.** Trabalho líquido fornecido $= 244 + 582 - 289 = 537\,\mathrm{J}$; razão $537/860 = 62\%$ (o rendimento ideal do ciclo Diesel nestes ajustes; os motores reais chegam a uns $40\%$). **19.** $1 - 300/2470 = 88\%$: o ciclo Diesel ideal fica bem abaixo do limite de Carnot, porque recebe o seu [calor](#def-b1-first-law-heat) ao longo de um intervalo de temperaturas, e não todo na mais alta. **20.** Ao longo de um ciclo $\Delta U = 0$: $Q_{\text{saída}} = -(860 - 537) = -323\,\mathrm{J}$, isto é, $323\,\mathrm{J}$ saem com o escapamento; verificação: $nC_{V,m}(T_4 - T_1) = 0.020 \times 20.8 \times 770 = 320\,\mathrm{J}$. **21.** A oscilação é rápida (um segundo) comparada com a condução de [calor](#def-b1-first-law-heat) através de $10\,\mathrm{L}$ de ar: adiabática. Linearizando $PV^\gamma$: $\dd P/P = -\gamma\,\dd V/V = -\gamma Sx/V$. **22.** Força sobre a esfera $S\,\dd P = -\gamma PS^2x/V$: $m\ddot x = -(\gamma PS^2/V)x$, harmônica, $\omega_0^2 = \gamma PS^2/mV$. **23.** $\omega_0^2 = 1.4 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}/(0.0165 \times 0.010) = 33.9\,\mathrm{s}^{-2}$: $T = 2\pi/5.83 = 1.08\,\mathrm{s}$. Com $T = 1.10\,\mathrm{s}$: $\gamma = 4\pi^2mV/(T^2PS^2) = 4\pi^2 \times 0.0165 \times 0.010/(1.21 \times 10^5 \times 4\times10^{-8}) = 1.35$. **24.** O atrito amortece o movimento e, se for seco, desloca o equilíbrio; o vazamento ao redor da esfera deixa o ar escapar durante uma compressão, baixando a força de restituição: os dois alongam o período e enviesam $\gamma$ para baixo — como o $1.35$ acima. **25.** Bomba e diesel: $Q = 0$, logo $\Delta U = W$ — o trabalho virou [energia interna](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-U) e temperatura, pela [lei de Laplace](#prop-b1-first-law-transformations) com expoente $\gamma$. Esfera: uma compressão rápida é adiabática, e $\gamma$ fixa a rigidez de uma mola de ar.