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title: "Máquinas térmicas"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 24
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas
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# Capítulo 24 — Máquinas térmicas

O motor de um carro, uma usina elétrica, uma geladeira e uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) são o mesmo objeto visto de quatro lados: um fluido levado por um ciclo, em contato alternadamente com uma fonte quente e uma fria, trocando calor com as duas e trabalho com um eixo. A primeira lei faz a contabilidade da energia; a segunda, pelo balanço de entropia ao longo de um ciclo, fixa o limite que nenhuma esperteza vence — o teorema de Carnot, a desigualdade de maiores consequências de toda a engenharia. Este capítulo deduz esse limite, calcula o ciclo ideal e os ciclos reais que dele se aproximam (Otto, Diesel, Stirling), inverte a máquina para fazer frio e para aquecer casas, e mostra como a entropia criada por uma máquina real é paga, joule a joule, em [trabalho perdido](#thm-b1-heat-engines-lostwork).

## 24.1 Máquinas cíclicas e as duas leis

**Definição 24.1 (Máquina termodinâmica).**

Uma *máquina termodinâmica* é um [sistema fechado](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#def-b1-newton-dynamics-conservation) (o fluido de trabalho) levado por um *ciclo*, de modo que ele volta periodicamente ao mesmo estado, enquanto troca trabalho $W$ com o exterior e calor $Q_i$ com fontes às temperaturas $T_i$ — os *termostatos*, cuja temperatura a troca não altera. Uma máquina *ditérmica* usa dois termostatos, a fonte quente a $T_h$ e a fonte fria a $T_c < T_h$. Ela é uma *máquina motriz* se fornece trabalho ($W < 0$), um *refrigerador* se é acionada ($W > 0$) para tirar calor da fonte fria, e uma *bomba de calor* se é acionada para ceder calor à fonte quente. Todas as grandezas são contadas ao longo de um ciclo, algebricamente, como recebidas pelo fluido.

**Teorema 24.2 (As duas leis num ciclo; desigualdade de Clausius).**

Ao longo de um ciclo de uma máquina ditérmica,

$$
W + Q_h + Q_c = 0 , \qquad
\frac{Q_h}{T_h} + \frac{Q_c}{T_c} = -S_{\mathrm{created}} \leq 0 ,
$$

com igualdade na segunda relação se e somente se o ciclo for reversível. Mais geralmente, para um número qualquer de [termostatos](#def-b1-heat-engines-machine), $\sum_i Q_i/T_i \leq 0$ (*desigualdade de Clausius*).

**Demonstração.** $U$ e $S$ são funções de estado, logo $\Delta U = 0$ e $\Delta S = 0$ ao longo de um ciclo. A primeira lei dá $0 = W + Q_h + Q_c$; o balanço de entropia ([Teorema 23.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/23-a-segunda-lei-a-entropia#thm-b1-second-law-entropy-secondlaw)) dá $0 = S_{\mathrm{exch}} +
S_{\mathrm{created}}$ com $S_{\mathrm{exch}} = \sum Q_i/T_i$, pois cada [termostato](#def-b1-heat-engines-machine) troca à sua própria temperatura fixa ([Proposição 23.5](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/23-a-segunda-lei-a-entropia#prop-b1-second-law-entropy-thermostat)). ∎

**Corolário 24.3 (Kelvin de novo).**

Uma máquina *monotérmica* ($Q_c = 0$) tem $Q_h \leq 0$, donde $W \geq 0$: nenhum ciclo pode converter em trabalho o calor de uma única fonte. Um navio não pode navegar esfriando o mar — uma máquina motriz precisa de uma fonte fria onde rejeitar calor, e a segunda lei diz quanto ela tem de rejeitar.

![Os dois sentidos de um ciclo ditérmico. À esquerda: a máquina motriz toma calor da fonte quente, rejeita parte dele à fria e fornece a diferença como trabalho. À direita: a mesma máquina acionada ao contrário bombeia calor do frio para o quente; é um refrigerador se se quer Q_c, e uma bomba de calor se se quer |Q_h|.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-6ecb72de8bb3.svg)

*Os dois sentidos de um ciclo ditérmico. À esquerda: a máquina motriz toma calor da fonte quente, rejeita parte dele à fria e fornece a diferença como trabalho. À direita: a mesma máquina acionada ao contrário bombeia calor do frio para o quente; é um [refrigerador](#def-b1-heat-engines-machine) se se quer $Q_c$, e uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) se se quer $|Q_h|$.*

## 24.2 O teorema de Carnot

**Definição 24.4 (Rendimento e coeficientes de desempenho).**

O *rendimento* de uma máquina motriz é o trabalho fornecido por unidade de calor tomado da fonte quente, $\eta = -W/Q_h$; o *coeficiente de desempenho* (COP) de um [refrigerador](#def-b1-heat-engines-machine) é o frio produzido por unidade de trabalho, $e_f = Q_c/W$; o de uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) é o calor cedido por unidade de trabalho, $e_p = -Q_h/W$. Cada um é a razão entre “o que se quer” e “o que se paga”; um rendimento vale no máximo 1, mas um COP pode passar de 1.

**Teorema 24.5 (Carnot).**

Entre [termostatos](#def-b1-heat-engines-machine) $T_h > T_c$,

$$
\eta \leq \eta_C = 1 - \frac{T_c}{T_h}, \qquad
e_f \leq \frac{T_c}{T_h - T_c}, \qquad
e_p \leq \frac{T_h}{T_h - T_c} = 1 + \frac{T_c}{T_h - T_c},
$$

com igualdade se e somente se o ciclo for reversível. Os limites dependem só das temperaturas — não do fluido, não do mecanismo.

**Demonstração.** Para uma máquina motriz ($Q_h > 0$): $\eta = -W/Q_h = (Q_h + Q_c)/Q_h = 1 + Q_c/Q_h$, e a desigualdade de Clausius dá $Q_c/Q_h \leq -T_c/T_h$. Para um [refrigerador](#def-b1-heat-engines-machine) ($Q_c > 0$, $W > 0$): $W = -Q_h - Q_c$ com $-Q_h \geq Q_c T_h/T_c$, logo $W \geq Q_c(T_h/T_c - 1)$ e $e_f = Q_c/W \leq T_c/(T_h - T_c)$. Para a [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine), $e_p = -Q_h/W = (W + Q_c)/W = 1 + e_f$. A igualdade é o caso reversível $S_{\mathrm{created}} = 0$ em toda parte. ∎

**Exemplo 24.6 (Três números).**

Uma turbina a vapor entre $T_h = 800\,\mathrm{K}$ e um rio a $T_c = 300\,\mathrm{K}$: $\eta_C = 0.625$; as usinas reais chegam a uns $0.40$. Uma geladeira doméstica entre $275\,\mathrm{K}$ dentro e uma cozinha a $298\,\mathrm{K}$: $e_f \leq 275/23 = 12$; as máquinas reais dão $2$ a $4$. Uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) que aquece uma casa a $293\,\mathrm{K}$ a partir do ar a $273\,\mathrm{K}$: $e_p \leq 293/20 = 14.7$; as bombas reais dão $3$ a $5$ — ainda assim, três a cinco vezes o que a mesma eletricidade daria numa resistência ([Problema 24.1](#pb-b1-heat-engines-1)).

**Observação 24.7 (Por que o rendimento não pode ser 1).**

Uma máquina motriz recebe a entropia $Q_h/T_h$ com o calor que toma; o trabalho não leva nenhuma embora; a única saída é o calor rejeitado à fonte fria, que leva $|Q_c|/T_c$. Como a entropia não pode ser destruída, pelo menos $Q_h T_c/T_h$ de calor tem de ser jogado fora, e o trabalho é o que sobra. Quanto mais baixa a fonte fria e mais alta a quente, melhor — daí as torres de resfriamento e a busca de pás de turbina cada vez mais quentes.

## 24.3 O ciclo de Carnot

**Definição 24.8 (Ciclo de Carnot).**

O *ciclo de Carnot* é o ciclo ditérmico reversível: duas isotermas reversíveis, a $T_h$ (em contato com a fonte quente) e a $T_c$ (com a fria), ligadas por dois trechos adiabáticos reversíveis (isentrópicos, sem fonte em contato). Percorrido no sentido horário no plano $(V, P)$ ele é uma máquina motriz; no sentido anti-horário, um [refrigerador](#def-b1-heat-engines-machine) ou uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine). No [diagrama entrópico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/23-a-segunda-lei-a-entropia#def-b1-second-law-entropy-TS) ele é um retângulo.

**Proposição 24.9 (Ciclo de Carnot de um gás perfeito).**

Para $n$ [mols](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) levados por $A \to B$ (isoterma $T_h$, expansão), $B \to C$ (adiabática), $C \to D$ (isoterma $T_c$, compressão), $D \to A$ (adiabática):

$$
Q_h = nRT_h\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
Q_c = -nRT_c\ln\frac{V_B}{V_A}, \qquad
\eta = 1 - \frac{T_c}{T_h} ,
$$

o valor de Carnot — como tem de ser para qualquer ciclo ditérmico reversível.

**Demonstração.** Numa isoterma $\Delta U = 0$, logo $Q = -W = nRT\ln(V_{\text{final}}/
V_{\text{inicial}})$. Nas adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ é constante: $T_hV_B^{\gamma-1} = T_cV_C^{\gamma-1}$ e $T_hV_A^{\gamma-1} =
T_cV_D^{\gamma-1}$, donde $V_C/V_D = V_B/V_A$ e $Q_c = nRT_c\ln(V_D/V_C) =
-nRT_c\ln(V_B/V_A)$. Então $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - T_c/T_h$. ∎

![O ciclo de Carnot de um gás perfeito. À esquerda: no diagrama de Clapeyron, duas isotermas e duas adiabáticas (mais inclinadas), percorridas no sentido horário; a área encerrada é o trabalho fornecido. À direita: o mesmo ciclo no diagrama entrópico é um retângulo de altura T_h - T_c e largura Q_h/T_h; a sua área é de novo -W, e a razão entre essa área e a área sob o lado de cima, Q_h, vale 1 - T_c/T_h a olho nu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-1d6a11640536.svg)

![O ciclo de Carnot de um gás perfeito. À esquerda: no diagrama de Clapeyron, duas isotermas e duas adiabáticas (mais inclinadas), percorridas no sentido horário; a área encerrada é o trabalho fornecido. À direita: o mesmo ciclo no diagrama entrópico é um retângulo de altura T_h - T_c e largura Q_h/T_h; a sua área é de novo -W, e a razão entre essa área e a área sob o lado de cima, Q_h, vale 1 - T_c/T_h a olho nu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-a7ec08597e47.svg)

*O [ciclo de Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) de um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model). À esquerda: no diagrama de Clapeyron, duas isotermas e duas adiabáticas (mais inclinadas), percorridas no sentido horário; a área encerrada é o trabalho fornecido. À direita: o mesmo ciclo no [diagrama entrópico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/23-a-segunda-lei-a-entropia#def-b1-second-law-entropy-TS) é um retângulo de altura $T_h - T_c$ e largura $Q_h/T_h$; a sua área é de novo $-W$, e a razão entre essa área e a área sob o lado de cima, $Q_h$, vale $1 - T_c/T_h$ a [olho](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-eye) nu.*

**Observação 24.10 (O ciclo de Carnot é um teorema, não um motor).**

As isotermas reversíveis exigem uma transferência de calor infinitamente lenta através de uma diferença de temperatura que tende a zero: uma máquina de Carnot fornece o seu trabalho máximo com potência nula. As máquinas reais trocam [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) por potência aceitando diferenças finitas de temperatura nos seus trocadores ([Exercício 24.10](#exo-b1-heat-engines-10)); o valor de Carnot continua sendo o teto com que todo projeto é comparado.

## 24.4 Ciclos de máquinas reais

**Proposição 24.11 (Ciclo Otto).**

O motor a gasolina idealizado leva o ar ($\gamma$) por: $1 \to 2$ compressão adiabática de $V_1$ a $V_2$ (*[taxa de compressão](#prop-b1-heat-engines-otto)* $r = V_1/V_2$); $2 \to 3$ aquecimento isocórico (a combustão); $3 \to 4$ expansão adiabática de volta a $V_1$; $4 \to 1$ resfriamento isocórico (o escapamento). O seu [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) vale

$$
\eta_{\text{Otto}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}} .
$$

**Demonstração.** O calor só é trocado nas isocóricas: $Q_h = nC_{V,m}(T_3 - T_2)$ e $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$. Nas adiabáticas $TV^{\gamma-1}$ é constante: $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$ e $T_3 = T_4r^{\gamma-1}$, logo $T_3 - T_2 =
(T_4 - T_1)r^{\gamma-1}$ e $\eta = 1 + Q_c/Q_h = 1 - (T_4 - T_1)/(T_3 - T_2) = 1 - r^{1-\gamma}$. ∎

**Exemplo 24.12 (Números para um motor a gasolina).**

$r = 9$, $\gamma = 1.4$: $9^{0.4} = 2.41$ e $\eta = 0.58$. Um motor real dá uns $0.30$: a combustão não é instantânea, o gás não é perfeito a $2500\,\mathrm{K}$, o calor foge para as paredes, e o atrito e o bombeamento cobram a sua parte. Aumentar $r$ ajuda — até que a mistura ar–combustível se acenda sozinha no fim da compressão (a detonação); o motor diesel transforma esse vício no seu princípio.

**Proposição 24.13 (Ciclo Diesel).**

Substitua o aquecimento isocórico do [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) por um isobárico, de $V_2$ a $V_3 = \rho V_2$ (*razão de corte* $\rho > 1$): o combustível injetado no ar já quente por uma [taxa de compressão](#prop-b1-heat-engines-otto) $r$ de $15$ a $22$ queima à medida que chega. Então

$$
\eta_{\text{Diesel}} = 1 - \frac{1}{r^{\gamma-1}}\,\frac{\rho^{\gamma} - 1}{\gamma(\rho - 1)} ,
$$

menor que o valor de Otto para o mesmo $r$, mas atingido com $r$ muito maiores, e por isso maior na prática ($0.40$ a $0.45$ nos motores grandes).

**Demonstração.** $Q_h = nC_{P,m}(T_3 - T_2)$, $Q_c = nC_{V,m}(T_1 - T_4)$, logo $\eta = 1 -
(T_4 - T_1)/[\gamma(T_3 - T_2)]$. Com $T_2 = T_1r^{\gamma-1}$, $T_3 =
\rho T_2$ e, na adiabática $3 \to 4$ ($V_4 = V_1 = rV_2$), $T_4 =
T_3(V_3/V_4)^{\gamma-1} = \rho T_1 r^{\gamma-1}(\rho/r)^{\gamma-1} = T_1\rho^{\gamma}$: $\eta = 1 - (\rho^\gamma - 1)/[\gamma r^{\gamma-1}(\rho - 1)]$. ∎

![À esquerda: o ciclo Otto no diagrama de Clapeyron (desenhado com r = 4): duas adiabáticas e duas isocóricas; o calor entra no ponto morto superior e sai com o escapamento. À direita: rendimentos ideais em função da taxa de compressão; as linhas tracejadas marcam um motor a gasolina (r = 9) e um diesel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-9d66bf1e9a5d.svg)

![À esquerda: o ciclo Otto no diagrama de Clapeyron (desenhado com r = 4): duas adiabáticas e duas isocóricas; o calor entra no ponto morto superior e sai com o escapamento. À direita: rendimentos ideais em função da taxa de compressão; as linhas tracejadas marcam um motor a gasolina (r = 9) e um diesel (r = 18, = 2).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-9f3b2784b6a5.svg)

*À esquerda: o [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) no diagrama de Clapeyron (desenhado com $r = 4$): duas adiabáticas e duas isocóricas; o calor entra no ponto morto superior e sai com o escapamento. À direita: [rendimentos](#def-b1-heat-engines-efficiency) ideais em função da [taxa de compressão](#prop-b1-heat-engines-otto); as linhas tracejadas marcam um motor a gasolina ($r = 9$) e um diesel ($r = 18$, $\rho = 2$).*

**Proposição 24.14 (Ciclo Stirling e o regenerador).**

Duas isotermas ($T_c$, $T_h$) ligadas por duas isocóricas. O calor dos trechos isocóricos, $\pm nC_{V,m}(T_h - T_c)$, é igual e de sinais opostos; se ele for armazenado no trecho de resfriamento num *regenerador* (uma massa porosa através da qual o gás escoa) e devolvido no trecho de aquecimento, só as isotermas trocam com as fontes, e $\eta = 1 - T_c/T_h$: o motor Stirling é um motor de Carnot em tudo menos na forma do seu ciclo. Sem o regenerador o calor das isocóricas tem de vir da fonte quente e $\eta = \dfrac{nR(T_h - T_c)\ln(V_1/V_2)}{nRT_h\ln(V_1/V_2) + nC_{V,m}(T_h - T_c)}$, bem menor ([Exercício 24.8](#exo-b1-heat-engines-8)).

**Demonstração.** Nas isotermas $Q_h = nRT_h\ln(V_1/V_2)$ e $Q_c = -nRT_c\ln(V_1/V_2)$, logo $-W = Q_h + Q_c + 0$ assim que os calores isocóricos se cancelam; divida pelo calor efetivamente tirado da fonte quente em cada caso. ∎

**Observação 24.15 (Turbinas a vapor e a gás).**

As usinas elétricas não usam um gás num cilindro, mas água fervida, expandida através de uma turbina, condensada e bombeada de volta (o ciclo Rankine, com duas mudanças de fase — [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/25-mudancas-de-fase-de-um-corpo-puro#ch-b1-phase-changes)), ou ar comprimido, aquecido pela combustão e expandido numa turbina a gás (o ciclo Brayton, duas adiabáticas e duas isobáricas). A sua análise exige o balanço de energia de um fluido em escoamento, dado no volume do segundo ano; o limite de Carnot e a lógica deste capítulo se aplicam sem mudança.

## 24.5 Refrigeradores e bombas de calor

**Definição 24.16 (Ciclo de compressão de vapor).**

Quase toda geladeira, congelador, ar-condicionado e [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) faz um *fluido refrigerante* circular por quatro componentes: um *compressor* (recebe o trabalho e eleva a pressão do vapor), um *condensador* (o vapor quente se liquefaz a alta pressão, liberando $|Q_h|$ para o lado quente), uma *válvula de expansão* (o líquido cai à baixa pressão sem trabalho nem calor, e em parte vira vapor) e um *evaporador* (o resto ferve a baixa pressão, absorvendo $Q_c$ do lado frio). O calor é transportado como calor latente de vaporização, e as duas pressões fixam as duas temperaturas de ebulição ([Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/25-mudancas-de-fase-de-um-corpo-puro#ch-b1-phase-changes)).

![O ciclo de compressão de vapor. O fluido refrigerante ferve no evaporador, mais frio do que o lado frio, e condensa no condensador, mais quente do que o lado quente: o calor escoa no sentido natural em cada trocador, e o compressor paga por erguê-lo de T_ ev a T_ cd.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-dbd4c717522e.svg)

*O [ciclo de compressão de vapor](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). O [fluido refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) ferve no evaporador, mais frio do que o lado frio, e condensa no condensador, mais quente do que o lado quente: o calor escoa no sentido natural em cada trocador, e o compressor paga por erguê-lo de $T_{\mathrm{ev}}$ a $T_{\mathrm{cd}}$.*

**Proposição 24.17 (O preço das diferenças de temperatura).**

Uma máquina reversível que trabalha entre as suas próprias temperaturas internas $T_{\mathrm{ev}} < T_c$ e $T_{\mathrm{cd}} > T_h$ tem $e_p = T_{\mathrm{cd}}/(T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}})$, menor que o valor de Carnot entre as fontes; uma máquina real atinge uma fração (tipicamente $0.4$ a $0.6$) até mesmo desse valor. O desempenho de uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) cai, portanto, quando a temperatura externa baixa e quando a temperatura exigida pelo circuito de aquecimento sobe.

**Demonstração.** Aplique o [Teorema 24.5](#thm-b1-heat-engines-carnot) ao fluido, cujos [termostatos](#def-b1-heat-engines-machine) são, de fato, as temperaturas dos trocadores; $T_{\mathrm{cd}} - T_{\mathrm{ev}} >
T_h - T_c$ baixa a razão. ∎

![Coeficiente de desempenho de uma bomba de calor em função da temperatura externa: o limite de Carnot entre a casa (20 C) e o ar externo; o limite quando se contam as diferenças de temperatura nos trocadores (T_ cd = 313\, K, T_ ev = T_ out - 8\, K); e uma máquina realista a 0.55 deste último. Mesmo a -10 C a bomba real fornece cerca de três joules de calor por joule de eletricidade, onde uma resistência dá um.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/fig-a447562aa178.svg)

*[Coeficiente de desempenho](#def-b1-heat-engines-efficiency) de uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) em função da temperatura externa: o limite de Carnot entre a casa ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$) e o ar externo; o limite quando se contam as diferenças de temperatura nos trocadores ($T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$); e uma máquina realista a $0.55$ deste último. Mesmo a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ a bomba real fornece cerca de três joules de calor por joule de eletricidade, onde uma resistência dá um.*

**Exemplo 24.18 (Bomba de calor ou resistência?).**

Uma casa que perde $6\,\mathrm{kW}$ com $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ lá fora precisa de $6\,\mathrm{kW}$ de eletricidade com resistências; uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ideal de $268\,\mathrm{K}$ a $293\,\mathrm{K}$ precisaria de $6/11.7 = 0.51\,\mathrm{kW}$; uma real com temperaturas de trocador de $260\,\mathrm{K}$ e $313\,\mathrm{K}$ e um [fator de qualidade](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-secondorder) $0.55$, $e_p = 0.55 \times 313/53 = 3.2$, precisa de $1.9\,\mathrm{kW}$. O problema de fim de semana percorre a estação inteira, entropia incluída.

## 24.6 Entropia e trabalho perdido

**Teorema 24.19 (Trabalho perdido).**

Uma máquina motriz ditérmica que cria a entropia $S_{\mathrm{created}}$ por ciclo fornece

$$
-W = Q_h\Bigl(1 - \frac{T_c}{T_h}\Bigr) - T_c\,S_{\mathrm{created}} ,
$$

e uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ditérmica que fornece $|Q_h|$ consome $W = |Q_h|(1 - T_c/T_h) + T_c\,S_{\mathrm{created}}$: cada joule por [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-temperature) criado custa $T_c$ joules de trabalho, sendo a temperatura da fonte fria a taxa de câmbio entre entropia e trabalho.

**Demonstração.** Pelo [Teorema 24.2](#thm-b1-heat-engines-clausius), $Q_c = -T_c(Q_h/T_h + S_{\mathrm{created}})$; substitua em $-W = Q_h + Q_c$. Para a bomba, escreva as mesmas duas relações com $Q_h < 0$. ∎

**Método 24.20 (Auditar uma máquina).**

Meça (ou calcule) os calores trocados com cada fonte e o trabalho; verifique a primeira lei; calcule $S_{\mathrm{created}} = -\sum Q_i/T_i$ por ciclo ou por segundo; a potência perdida vale $T_c\dot S_{\mathrm{created}}$; localize a criação (diferenças finitas de temperatura nos trocadores, atrito, estrangulamento, compressão não quase-estática) aplicando o balanço de entropia a cada componente, um a um. Um componente que não cria entropia não vale a pena melhorar.

**Exemplo 24.21 (A auditoria de uma usina).**

Fonte quente $800\,\mathrm{K}$, rio $300\,\mathrm{K}$, $1.0\,\mathrm{GW}$ de eletricidade a $\eta = 0.40$: $\dot Q_h = 2.5\,\mathrm{GW}$, $\dot Q_c = 1.5\,\mathrm{GW}$, logo $\dot S_{\mathrm{created}} = 1.5/300 - 2.5/800 = 1.9\,\mathrm{MW}/\mathrm{K}$ e a potência perdida vale $300 \times 1.9 = 0.56\,\mathrm{GW}$: exatamente o intervalo entre a produção de Carnot $0.625 \times 2.5 = 1.56\,\mathrm{GW}$ e o $1.0\,\mathrm{GW}$ real. O rio esquenta com os $1.5\,\mathrm{GW}$ que tem de levar embora; no verão, quando ele está quente e baixo, as usinas reduzem a carga.

## 24.7 Exercícios

**Exercício 24.1 ★.**

Uma usina toma calor a $800\,\mathrm{K}$ e o rejeita num rio a $300\,\mathrm{K}$. [Rendimento de Carnot](#thm-b1-heat-engines-carnot); se o [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) real é $0.40$ e a produção elétrica é $1.0\,\mathrm{GW}$, calor tomado do combustível e calor rejeitado no rio por segundo.

**Solução de Exercício 24.1.**

$\eta_C = 1 - 300/800 = 0.625$. A $0.40$: $\dot Q_h = 1.0/0.40 = 2.5\,\mathrm{GW}$ vindos do combustível, $\dot Q_c = 2.5 - 1.0 = 1.5\,\mathrm{GW}$ para o rio — joga-se fora mais calor do que se vende.

**Exercício 24.2 ★.**

Uma geladeira mantém o seu interior a $275\,\mathrm{K}$ numa cozinha a $298\,\mathrm{K}$. [Coeficiente de desempenho](#def-b1-heat-engines-efficiency) máximo; com um COP real de $3$, [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) necessária para retirar os $100\,\mathrm{W}$ que entram pelas paredes.

**Solução de Exercício 24.2.**

$e_f \leq 275/(298 - 275) = 12$. Com $e_f = 3$: $P = 100/3 = 33\,\mathrm{W}$ (e $133\,\mathrm{W}$ vão para a cozinha).

**Exercício 24.3 ★.**

[Rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) ideal de um [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) com $r = 9$ e $\gamma = 1.4$; e com $r = 11$ (um motor moderno de injeção direta). Por que não $r = 20$?

**Solução de Exercício 24.3.**

$r = 9$: $9^{0.4} = 2.41$, $\eta = 0.585$; $r = 11$: $11^{0.4} = 2.61$, $\eta = 0.62$. Com $r = 20$ a mistura gasolina–ar, comprimida a cerca de $900\,\mathrm{K}$, se acenderia antes da faísca (detonação), destruindo o motor; só o diesel, que comprime ar puro, pode ir até lá.

**Exercício 24.4 ★.**

Uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) aquece uma casa a $300\,\mathrm{K}$ a partir do ar externo a $280\,\mathrm{K}$. $e_p$ máximo; [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) para uma demanda de aquecimento de $5\,\mathrm{kW}$ com essa bomba ideal e com uma real de $e_p = 3.5$; compare com uma resistência.

**Solução de Exercício 24.4.**

$e_p \leq 300/20 = 15$: potência ideal $5/15 = 0.33\,\mathrm{kW}$; real, $5/3.5 =
1.43\,\mathrm{kW}$; resistência, $5\,\mathrm{kW}$.

**Exercício 24.5 ★★.**

Um [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) ($\gamma = 1.4$) percorre um [ciclo de Carnot](#def-b1-heat-engines-carnotcycle) entre $T_h = 500\,\mathrm{K}$ e $T_c = 300\,\mathrm{K}$; a isoterma quente o leva de $1.0\,\mathrm{L}$ a $3.0\,\mathrm{L}$. Calcule $V_C$, $V_D$, $Q_h$, $Q_c$, $W$ e verifique o [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Solução de Exercício 24.5.**

Adiabáticas: $V_C = V_B(T_h/T_c)^{1/(\gamma-1)} = 3.0 \times (5/3)^{2.5} =
10.8\,\mathrm{L}$, $V_D = 1.0 \times 3.59 = 3.59\,\mathrm{L}$ (logo $V_C/V_D = 3 =
V_B/V_A$). $Q_h = RT_h\ln3 = 8.314 \times 500 \times 1.099 = 4.57\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -RT_c\ln3 = -2.74\,\mathrm{kJ}$, $W = -(4.57 - 2.74) = -1.83\,\mathrm{kJ}$, $\eta = 1.83/4.57 = 0.40 = 1 - 300/500$.

**Exercício 24.6 ★★.**

Um inventor afirma ter uma máquina cíclica que toma $1000\,\mathrm{J}$ por ciclo de uma fonte a $400\,\mathrm{K}$, rejeita $800\,\mathrm{J}$ numa fonte a $300\,\mathrm{K}$ e fornece $200\,\mathrm{J}$ de trabalho. É possível? Entropia criada por ciclo. Um segundo inventor afirma tirar $300\,\mathrm{J}$ de trabalho dos mesmos $1000\,\mathrm{J}$, rejeitando $700\,\mathrm{J}$. É possível? Qual é o máximo de trabalho que alguém pode tirar desses $1000\,\mathrm{J}$?

**Solução de Exercício 24.6.**

Primeira alegação: a energia fecha, $200 = 1000 - 800$; Clausius $1000/400 - 800/300
= 2.5 - 2.67 = -0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$, logo $S_{\mathrm{created}} = 0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} \geq 0$: possível ($\eta = 0.20$). Segunda: $1000/400 - 700/300 = +0.17\,\mathrm{J}/\mathrm{K} > 0$: seria preciso destruir entropia — impossível. Máximo: $\eta_C = 1 -
300/400 = 0.25$, isto é, $250\,\mathrm{J}$.

**Exercício 24.7 ★★.**

[Ciclo Diesel](#prop-b1-heat-engines-diesel) com $r = 18$, $\rho = 2$, $\gamma = 1.4$: [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency); compare com um [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) de mesmo $r$ e com o [ciclo Otto](#prop-b1-heat-engines-otto) a $r = 9$. Por que o diesel pode usar um $r$ tão grande?

**Solução de Exercício 24.7.**

$r^{\gamma-1} = 18^{0.4} = 3.18$; $\rho^\gamma = 2^{1.4} = 2.64$: $\eta = 1 -
1.64/(1.4 \times 3.18 \times 1) = 0.63$. Otto com $r = 18$: $1 - 1/3.18 = 0.69$; com $r = 9$: $0.585$. O diesel comprime ar puro: não há combustível presente para pré-acender, e o combustível, injetado em ar a $900\,\mathrm{K}$, queima ao entrar — o limite da detonação não existe.

**Exercício 24.8 ★★.**

[Ciclo Stirling](#prop-b1-heat-engines-stirling) de um [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) de [gás diatômico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#prop-b1-kinetic-theory-Ugas) ($C_{V,m} = \tfrac52R$) entre $600\,\mathrm{K}$ e $300\,\mathrm{K}$ com uma razão de volumes $V_1/V_2 = 2$. Trabalho por ciclo; [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) com um regenerador perfeito e sem regenerador.

**Solução de Exercício 24.8.**

$Q_h = RT_h\ln2 = 8.314 \times 600 \times 0.693 = 3.46\,\mathrm{kJ}$, $Q_c = -8.314
\times 300 \times 0.693 = -1.73\,\mathrm{kJ}$: $W = -1.73\,\mathrm{kJ}$ por ciclo. Com o regenerador $\eta = 1.73/3.46 = 0.50 = 1 - 300/600$. Sem ele, a fonte quente tem também de fornecer $C_{V,m}(T_h - T_c) = 2.5 \times 8.314 \times 300 =
6.24\,\mathrm{kJ}$: $\eta = 1.73/(3.46 + 6.24) = 0.18$.

**Exercício 24.9 ★★.**

Dois blocos idênticos de capacidade térmica $C = 4.0\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ a $T_1 =
400\,\mathrm{K}$ e $T_2 = 300\,\mathrm{K}$ são usados como fontes de uma máquina até chegarem a uma temperatura comum $T_f$. Mostre que o trabalho máximo se obtém com uma máquina reversível, que então $T_f = \sqrt{T_1T_2}$, e calcule $W_{\max}$. Que $T_f$ se teria se os blocos fossem simplesmente postos em contato, e qual é a entropia então criada?

**Solução de Exercício 24.9.**

Entropia dos dois blocos: $\Delta S = C\ln(T_f/T_1) + C\ln(T_f/T_2) =
C\ln\bigl(T_f^2/T_1T_2\bigr) = S_{\mathrm{created}} \geq 0$ (a entropia da própria máquina volta ao seu valor a cada ciclo), logo $T_f \geq \sqrt{T_1T_2}$, e $W = C(T_1 + T_2 - 2T_f)$ (primeira lei) é máximo para o menor $T_f$: o caso reversível, $T_f = \sqrt{400 \times 300} = 346.4\,\mathrm{K}$, $W_{\max} = 4000 \times (700 - 692.8) = 29\,\mathrm{kJ}$. Contato direto: $T_f =
350\,\mathrm{K}$, nenhum trabalho, $S_{\mathrm{created}} = 4000\ln(350^2/120000) =
82\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$.

**Exercício 24.10 ★★★.**

*Máquina a potência máxima.* Uma máquina reversível trabalha entre temperaturas internas $x$ e $y$, e troca calor com as fontes através de trocadores de condutância $K$: $\dot Q_h = K(T_h - x)$ e $|\dot Q_c| = K(y - T_c)$. (a) Escreva a potência $P$ e a condição de entropia do núcleo reversível. (b) Mostre que $y = xT_c/(2x - T_h)$ e que $P = \frac{K}{2}\bigl[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u\bigr]$ com $u = 2x - T_h$. (c) Maximize em $u$ e mostre que o [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) a potência máxima vale $\eta^\ast = 1 - \sqrt{T_c/T_h}$. (d) Números para $T_h = 800\,\mathrm{K}$ e $T_c = 300\,\mathrm{K}$; compare com o [Exercício 24.1](#exo-b1-heat-engines-1).

**Solução de Exercício 24.10.**

(a) $P = \dot Q_h - |\dot Q_c| = K(T_h - x) - K(y - T_c)$; o núcleo reversível não troca entropia líquida: $K(T_h - x)/x = K(y - T_c)/y$. (b) Multiplicando em cruz: $y(T_h - x) = x(y - T_c)$, logo $y(T_h - 2x) = -xT_c$ e $y = xT_c/(2x - T_h)$. Então $P = K(T_h - x)(1 - y/x) = K(T_h - x)(2x - T_h - T_c)/(2x - T_h)$; com $u = 2x - T_h$, $T_h - x = (T_h - u)/2$ e $P = K(T_h - u)(u - T_c)/(2u) =
\tfrac{K}{2}[(T_h + T_c) - u - T_hT_c/u]$. (c) $\dd P/\dd u = \tfrac K2(-1 +
T_hT_c/u^2) = 0$ em $u = \sqrt{T_hT_c}$, um máximo; então $x = (T_h +
\sqrt{T_hT_c})/2$, $y = xT_c/u = (\sqrt{T_hT_c} + T_c)/2$, e $\eta^\ast = 1 - y/x
= 1 - \sqrt{T_c}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})/[\sqrt{T_h}(\sqrt{T_h} + \sqrt{T_c})] = 1 -
\sqrt{T_c/T_h}$; $P_{\max} = \tfrac K2(\sqrt{T_h} - \sqrt{T_c})^2$. (d) $\eta^\ast = 1 - \sqrt{0.375} = 0.39$, contra $\eta_C = 0.625$: o $0.40$ real do [Exercício 24.1](#exo-b1-heat-engines-1) é uma máquina construída para dar potência, e não [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency).

**Exercício 24.11 ★★★.**

*[Refrigerador](#def-b1-heat-engines-machine) por absorção.* Uma máquina sem peças móveis toma o calor $Q_h$ de um queimador a $T_h$, o calor $Q_c$ de uma câmara fria a $T_c$, e rejeita calor para a sala a $T_0$ ($T_c < T_0 <
T_h$), sem trabalho algum. Mostre que $Q_c/Q_h \leq \bigl(1 - T_0/T_h\bigr)\,T_c/(T_0 - T_c)$, interprete os dois fatores e calcule o limite para $T_h = 400\,\mathrm{K}$, $T_0 =
300\,\mathrm{K}$, $T_c = 275\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 24.11.**

Ciclo: $Q_h + Q_c + Q_0 = 0$ e $Q_h/T_h + Q_c/T_c + Q_0/T_0 \leq 0$. Elimine $Q_0 = -(Q_h + Q_c)$: $Q_h(1/T_h - 1/T_0) + Q_c(1/T_c - 1/T_0) \leq 0$, isto é, $Q_c(T_0 - T_c)/(T_cT_0) \leq Q_h(T_h - T_0)/(T_hT_0)$, donde $Q_c/Q_h \leq (1 - T_0/T_h)\,T_c/(T_0 - T_c)$. O primeiro fator é o [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) de uma máquina de Carnot entre o queimador e a sala, e o segundo, o COP de um [refrigerador](#def-b1-heat-engines-machine) de Carnot entre a câmara e a sala: o limite é o que se obtém acoplando os dois idealmente. Números: $0.25 \times 11 = 2.75$ (nos [refrigeradores](#def-b1-heat-engines-machine) de absorção reais: cerca de $0.6$).

**Exercício 24.12 ★★★.**

*Aquecer com eletricidade, de três maneiras.* A eletricidade é produzida numa usina térmica de [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$. Por joule de calor do combustível, quanto calor chega a uma casa (a) por uma resistência, (b) por uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) de $e_p = 3.5$, (c) se o combustível for queimado diretamente numa caldeira de [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.90$? (d) O ideal: uma máquina reversível entre $800\,\mathrm{K}$ e $293\,\mathrm{K}$ acionando uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) reversível entre $273\,\mathrm{K}$ e $293\,\mathrm{K}$ — quanto calor por joule de combustível, e por que a resposta é maior do que um sem contradizer nada?

**Solução de Exercício 24.12.**

(a) $0.40\,\mathrm{J}$. (b) $0.40 \times 3.5 = 1.4\,\mathrm{J}$. (c) $0.90\,\mathrm{J}$. (d) Máquina $\eta = 1 - 293/800 = 0.634$, bomba $e_p = 293/20 = 14.65$: $0.634 \times 14.65 = 9.3\,\mathrm{J}$ (e os $0.37\,\mathrm{J}$ que a própria máquina rejeita a $293\,\mathrm{K}$ também poderiam aquecer a casa: $9.7\,\mathrm{J}$). Mais do que um joule porque o resto é erguido do ar externo: a energia se conserva, e a segunda lei só pede que a entropia não seja destruída, coisa que uma cadeia reversível respeita exatamente.

![Uma bomba de calor com captação no ar, no inverno: ela tira calor do ar externo frio e entrega à casa três a quatro vezes a energia elétrica que consome — é o problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-heat-engines/img-4f9781d64fbb.jpg)

*Uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) com captação no ar, no inverno: ela tira calor do ar externo frio e entrega à casa três a quatro vezes a energia elétrica que consome — é o problema de fim de semana.*

## 24.8 Problema: a bomba de calor da casa

**Problema 24.1.**

Problema de fim de semana — aquecer uma casa durante um inverno: a conta com resistências, com gás, com uma bomba de calor ideal e com uma real, e para onde vai a eletricidade da real

Uma casa perde calor à taxa $K(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ com $K = 250\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; ela é mantida a $T_{\mathrm{in}} = 20{}^{\circ}\mathrm{C}$. Temperatura externa de projeto: $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$; estação de aquecimento: $200$ dias com temperatura externa média de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$. Preços: eletricidade 0.25 € por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$, gás 0.10 € por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$; $1\,\mathrm{kW}\mathrm{h} = 3.6\,\mathrm{MJ}$.

**Parte I — A casa e os meios antigos.**

1. Potência de aquecimento necessária na temperatura de projeto.
2. Energia necessária ao longo da estação, em joules e em $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ .
3. Custo da estação com resistências elétricas.
4. Custo com uma caldeira a gás de [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.90$ .
5. A eletricidade vem de uma usina térmica de [rendimento](#def-b1-heat-engines-efficiency) $0.40$ . Energia de combustível consumida, por estação, pelas resistências e pela caldeira; comente a frase “o aquecimento elétrico é um desperdício termodinâmico”.

**Parte II — A [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ideal.**

6. Defina $e_p$ e demonstre, a partir das duas leis num ciclo, que $e_p \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})$ .
7. $e_p$ ideal na temperatura de projeto e a [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) então necessária.
8. $e_p$ ideal na temperatura média da estação e (tomando esse valor para toda a estação) a eletricidade sazonal.
9. Explique fisicamente por que $e_p$ cai quando a temperatura externa cai, e por que esse é o pior comportamento possível para um aparelho de aquecimento.
10. No ponto de projeto a bomba ideal consome $0.53\,\mathrm{kW}$ e fornece $6.25\,\mathrm{kW}$ : de onde vêm os outros $5.7\,\mathrm{kW}$ , e por que esfriar o ar externo frio para aquecer uma casa quente não viola a segunda lei?

**Parte III — A máquina real.** A bomba funciona num [ciclo de compressão de vapor](#def-b1-heat-engines-vapourcycle). O [fluido refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) evapora a $T_{\mathrm{ev}} = T_{\mathrm{out}} - 8\,\mathrm{K}$ e condensa a $T_{\mathrm{cd}} = 313\,\mathrm{K}$ (a água de um circuito de piso aquecido circula a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$); a máquina atinge $0.55$ do valor de Carnot calculado entre $T_{\mathrm{ev}}$ e $T_{\mathrm{cd}}$. Calor latente do [fluido refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle): $L = 200\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$.

11. Nomeie os quatro componentes do ciclo, diga em qual deles o fluido recebe $Q_c$ , cede $|Q_h|$ e recebe $W$ , e por que o evaporador tem de ser mais frio que o ar externo e o condensador mais quente que a casa.
12. Na temperatura de projeto: $T_{\mathrm{ev}}$ e o $e_p$ de Carnot entre $T_{\mathrm{ev}}$ e $T_{\mathrm{cd}}$ .
13. $e_p$ real, [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) consumida e calor tirado do ar externo, na temperatura de projeto.
14. Vazão mássica de [fluido refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) através do evaporador.
15. As mesmas perguntas ( $e_p$ real, [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) ) na temperatura média de $7{}^{\circ}\mathrm{C}$ , em que a casa perde $3.25\,\mathrm{kW}$ .
16. Dê $e_p$ em função de $T_{\mathrm{out}}$ ; eletricidade e custo sazonais, tomando para a estação o $e_p$ da temperatura média. Compare com a Parte I.
17. Energia de combustível consumida na usina para a estação com [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ; compare com as resistências e com a caldeira.
18. Uma onda de frio a $-15{}^{\circ}\mathrm{C}$ : demanda de calor, $e_p$ real, [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) se a bomba pudesse fornecê-la. A capacidade do compressor de fato cai com $T_{\mathrm{ev}}$ e a bomba só consegue fornecer $3.8\,\mathrm{kW}$ ali: potência das resistências de apoio necessária, e o sentido de “dimensionar uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) ”.
19. Se a casa tivesse radiadores antigos que exigem água a $60{}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_{\mathrm{cd}} = 338\,\mathrm{K}$ ): $e_p$ real e [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) na temperatura de projeto; conclua sobre a escolha dos emissores.

**Parte IV — Para onde vai a eletricidade.**

20. Mostre que, para uma [bomba de calor](#def-b1-heat-engines-machine) que fornece $|Q_h|$ à casa a $T_{\mathrm{in}}$ a partir do ar externo a $T_{\mathrm{out}}$ , $W = |Q_h|(1 - T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}) + T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$ .
21. No ponto de projeto, entropia criada por segundo pela transferência de calor no condensador (de $313\,\mathrm{K}$ à casa) e no evaporador (do ar externo a $260\,\mathrm{K}$ ).
22. [Potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) que essas duas diferenças de temperatura custam; fração dos $1.92\,\mathrm{kW}$ consumidos.
23. Entropia total criada por segundo pela máquina real (compare os seus $1.92\,\mathrm{kW}$ com os $0.53\,\mathrm{kW}$ ideais); parcela dos trocadores; cite as outras fontes.
24. Reduza à metade as duas diferenças ( $4\,\mathrm{K}$ e $10\,\mathrm{K}$ ): entropia criada nos trocadores e [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) economizada; o que custa ao projetista reduzir uma diferença à metade?
25. Resuma em três números: quilowatt-horas de calor por quilowatt-hora de eletricidade ao longo da estação; custo sazonal contra o do gás; e, com a eletricidade a $60\,\mathrm{g}$ de CO $_2$ por $\mathrm{kW}\mathrm{h}$ e o gás a $200\,\mathrm{g}$ , o carbono emitido por cada via.

**Solução de Problema 24.1.**

**1.** $P = 250 \times 25 = 6.25\,\mathrm{kW}$.

**2.** Perda média $250 \times 13 = 3.25\,\mathrm{kW}$ durante $200 \times 86400 =
1.73 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$: $E = 5.6 \times 10^{10}\,\mathrm{J} = 15\,600\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$.

**3.** $15600 \times 0.25 = 3900$ €.

**4.** Gás $15600/0.90 = 17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $1730$ €.

**5.** Resistências: $15600/0.40 = 39\,000\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustível; caldeira $17\,300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$: $2.25$ vezes menos. A eletricidade é trabalho, a forma que pode fazer qualquer coisa; transformá-la em calor a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ numa resistência descarta os $60\%$ do combustível já perdidos na usina e a possibilidade de bombear calor.

**6.** Ao longo de um ciclo $W + Q_h + Q_c = 0$ e $Q_h/T_{\mathrm{in}} +
Q_c/T_{\mathrm{out}} \leq 0$ com $Q_h < 0$, $Q_c > 0$: $Q_c \leq
|Q_h|T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}}$, logo $W = |Q_h| - Q_c \geq |Q_h|(1 -
T_{\mathrm{out}}/T_{\mathrm{in}})$ e $e_p = |Q_h|/W \leq T_{\mathrm{in}}/(T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}})$.

**7.** $293/25 = 11.7$; $6.25/11.7 = 0.53\,\mathrm{kW}$.

**8.** $293/13 = 22.5$; $15600/22.5 = 690\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ (cerca de $170$ €).

**9.** O trabalho por joule erguido vale $(T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}})/
T_{\mathrm{in}}$, a “altura” do levantamento; quanto mais frio lá fora, mais alto cada joule tem de ser bombeado — e mais joules são precisos, pois a perda também é proporcional a $T_{\mathrm{in}} - T_{\mathrm{out}}$: a [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) cresce com o quadrado da diferença de temperatura, e é pior justamente quando o aquecimento mais importa.

**10.** Do ar externo, que é esfriado: $Q_c = 6.25 - 0.53 =
5.7\,\mathrm{kW}$. A segunda lei proíbe o calor de escoar *espontaneamente* do frio para o quente; aqui o trabalho paga o levantamento. Verificação: entropia tirada do ar $5.72/268 = 21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, entropia cedida à casa $6.25/293 =
21.3\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ — nada destruído, nada criado: é a bomba ideal.

**11.** Compressor (recebe $W$), condensador (cede $|Q_h|$), válvula de expansão (nenhum dos dois), evaporador (recebe $Q_c$). O calor só escoa descendo uma rampa de temperatura: o [fluido refrigerante](#def-b1-heat-engines-vapourcycle) tem de ser mais frio que o ar para tirar calor dele e mais quente que a água da casa para lhe ceder calor.

**12.** $T_{\mathrm{ev}} = 268 - 8 = 260\,\mathrm{K}$; $e_{p,C} = 313/(313 - 260)
= 5.9$.

**13.** $e_p = 0.55 \times 5.9 = 3.25$; $W = 6.25/3.25 = 1.92\,\mathrm{kW}$; $Q_c = 6.25 - 1.92 = 4.33\,\mathrm{kW}$ vindos do ar.

**14.** $\dot m = 4330/200000 = 22\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$, $1.3\,\mathrm{kg}$ por minuto.

**15.** $T_{\mathrm{ev}} = 272\,\mathrm{K}$, $313/41 = 7.6$, $e_p = 4.2$; $W = 3.25/4.2 = 0.77\,\mathrm{kW}$.

**16.** $e_p = 0.55 \times 313/(321 - T_{\mathrm{out}}) = 172/(321 -
T_{\mathrm{out}})$ (com $T_{\mathrm{out}}$ em [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-temperature)). Estação: $15600/4.2 =
3700\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$, $930$ € — contra $3900$ com resistências e $1730$ com gás.

**17.** $3700/0.40 = 9300\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$ de combustível: $46\%$ menos que a caldeira e quatro vezes menos que as resistências, mesmo passando por uma usina de $40\%$.

**18.** Demanda $250 \times 35 = 8.75\,\mathrm{kW}$; $T_{\mathrm{ev}} = 250\,\mathrm{K}$, $313/63 = 5.0$, $e_p = 2.7$, $W = 3.2\,\mathrm{kW}$ se ela conseguisse. Capacidade $3.8\,\mathrm{kW}$: apoio de $8.75 - 3.8 \approx 5\,\mathrm{kW}$ de resistências. Uma bomba dimensionada para a hora mais fria ficaria superdimensionada — e ligando e desligando sem eficiência — o inverno inteiro; dimensiona-se para a temperatura de projeto e deixa-se uma resistência barata cobrir o extremo raro.

**19.** $338/(338 - 260) = 4.33$, $e_p = 2.4$, $W = 6.25/2.4 =
2.6\,\mathrm{kW}$: $36\%$ mais eletricidade do que com o piso a $35{}^{\circ}\mathrm{C}$. Os emissores de baixa temperatura são metade da instalação.

**20.** Entropia ao longo de um ciclo: $Q_h/T_{\mathrm{in}} + Q_c/T_{\mathrm{out}} +
S_{\mathrm{created}} = 0$ dá $Q_c = T_{\mathrm{out}}|Q_h|/T_{\mathrm{in}} -
T_{\mathrm{out}}S_{\mathrm{created}}$; substitua em $W = |Q_h| - Q_c$.

**21.** Condensador: $6250\,(1/293 - 1/313) = 1.36\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; evaporador: $4330\,(1/260 - 1/268) = 0.50\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$.

**22.** $268 \times 1.86 = 0.50\,\mathrm{kW}$: um quarto dos $1.92\,\mathrm{kW}$.

**23.** $(1.92 - 0.53)/268 = 5.2\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$; os trocadores respondem por $36\%$; o resto vem do compressor (atrito, compressão não isentrópica, perdas do motor), do estrangulamento na válvula (uma expansão livre), das perdas de carga e dos ventiladores.

**24.** $T_{\mathrm{cd}} = 303\,\mathrm{K}$, $T_{\mathrm{ev}} = 264\,\mathrm{K}$: condensador $6250\,(1/293 - 1/303) = 0.70\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$, evaporador $4330\,(1/264 - 1/268) = 0.25\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$: $0.95\,\mathrm{W}/\mathrm{K}$ em vez de $1.86$, isto é, $268 \times 0.91 \approx 0.25\,\mathrm{kW}$ economizados ($13\%$; a máquina inteira, avaliada a $0.55$ de um valor de Carnot melhor, ganharia mais). Reduzir uma diferença à metade significa dobrar a superfície de troca: trocadores maiores, mais caros e mais potência de ventilação.

**25.** $15600/3700 = 4.2$ quilowatt-horas de calor por quilowatt-hora de eletricidade; $930$ € contra $1730$ do gás; carbono: $3700
\times 0.060 = 220\,\mathrm{kg}$ contra $17300 \times 0.20 = 3500\,\mathrm{kg}$ — quinze vezes menos.