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title: "Mudanças de fase de um corpo puro"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 25
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/25-mudancas-de-fase-de-um-corpo-puro
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# Capítulo 25 — Mudanças de fase de um corpo puro

A água é a única substância que todo mundo já viu nos três estados, e é o fluido de trabalho da maior parte das usinas do mundo, o refrigerante das primeiras máquinas de gelo e o motor do tempo meteorológico. O gelo derrete a uma temperatura que não se mexe enquanto o calor entra; uma chaleira ferve a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ à beira-mar e a $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ no Everest; uma garrafa lacrada de água muito fria congela de uma vez a uma batidinha. Este capítulo desenha o mapa das [fases](#def-b1-phase-changes-phase) de um [corpo puro](#def-b1-phase-changes-phase) — os diagramas $(T, P)$ e $(v, P)$ — e dá as três ferramentas que o acompanham: a regra da alavanca (quanto há de cada [fase](#def-b1-phase-changes-phase)), o [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) (o que uma mudança custa, em energia e em entropia) e a [relação de Clausius–Clapeyron](#thm-b1-phase-changes-clapeyron) (como se inclinam as linhas de fronteira). E termina onde o mapa falha: nos [estados metaestáveis](#def-b1-phase-changes-metastable), que é de onde vêm o tempo meteorológico e as surpresas da panela de pressão.

## 25.1 Fases e o diagrama $(T, P)$

**Definição 25.1 (Corpo puro, fase, mudança de fase).**

Um *corpo puro* é um corpo de uma única espécie química. Uma *fase* é uma parte dele homogênea nas suas propriedades físicas: sólido, líquido, gás (*vapor* quando coexiste com o seu líquido). Uma *mudança de fase* (fusão/solidificação, vaporização/condensação, sublimação/deposição) é a passagem de uma fase a outra; a pressão fixa ela ocorre a uma temperatura fixa, com troca de calor mas sem variação de temperatura: é o *calor latente*.

**Proposição 25.2 (Diagrama de equilíbrio).**

No plano $(T, P)$ cada [fase](#def-b1-phase-changes-phase) ocupa uma região; duas [fases](#def-b1-phase-changes-phase) coexistem apenas ao longo de uma curva (sublimação, fusão, vaporização), e as três apenas num ponto, o *[ponto triplo](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram)*. A curva de vaporização $P = P_s(T)$ — a *[pressão de vapor saturante](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram)* — termina no *[ponto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram)* $(T_c, P_c)$, além do qual líquido e gás já não se distinguem. Para a água: [ponto triplo](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) $273.16\,\mathrm{K}$, $611\,\mathrm{Pa}$; [ponto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) $647\,\mathrm{K}$, $221\,\mathrm{bar}$. A curva de fusão da água pende para a esquerda (o gelo é menos denso que a água); para quase todas as outras substâncias ela pende para a direita.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![O diagrama de fases da água (fora de escala). Aquecer à pressão atmosférica segue a isóbara tracejada: o gelo derrete onde ela cruza a curva de fusão, e a água ferve onde ela cruza a curva de vaporização. A curva de fusão da água pende para a esquerda: a pressão baixa o seu ponto de fusão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-532a7b15d51b.svg)

*O [diagrama de fases](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) da água (fora de escala). Aquecer à pressão atmosférica segue a isóbara tracejada: o gelo derrete onde ela cruza a curva de fusão, e a água ferve onde ela cruza a curva de vaporização. A curva de fusão da água pende para a esquerda: a pressão baixa o seu ponto de fusão.*

**Observação 25.3 (Ebulição, evaporação e a panela de pressão).**

Um líquido *evapora* a qualquer temperatura pela sua superfície, desde que a pressão parcial do seu vapor acima dela esteja abaixo de $P_s(T)$; ele *ferve* quando $P_s(T)$ alcança a pressão ambiente, de modo que bolhas de vapor podem crescer no seu interior. A água ferve a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ porque $P_s(100{}^{\circ}\mathrm{C}) = 1.013\,\mathrm{bar}$; a $0.33\,\mathrm{bar}$ no Everest ela ferve perto de $70{}^{\circ}\mathrm{C}$, e numa panela de pressão a $1.8\,\mathrm{bar}$, perto de $117{}^{\circ}\mathrm{C}$. A temperatura de um líquido em ebulição é fixada pela pressão — fato que serviu para definir a escala Celsius durante dois séculos.

## 25.2 O diagrama $(v, P)$ e a regra da alavanca

**Proposição 25.4 (Isotermas de Andrews).**

No plano de Clapeyron $(v, P)$ do volume específico, uma isoterma $T < T_c$ tem três partes: um ramo íngreme (líquido, quase incompressível), um *patamar* horizontal em $P = P_s(T)$ onde líquido e vapor coexistem, e um ramo parecido com uma hipérbole (vapor). As extremidades do patamar são os volumes específicos $v_l(T)$ e $v_v(T)$ do líquido e do vapor saturados; o seu lugar geométrico é a *[curva de saturação](#prop-b1-phase-changes-andrews)* (a cúpula), cujo cume é o [ponto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram), onde a isoterma $T_c$ tem uma inflexão horizontal. Acima de $T_c$ não existe patamar.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Teorema 25.5 (Regra da alavanca).**

Uma massa $m$ de volume específico $v$ sobre o patamar a $T$ se reparte numa fração mássica de vapor $x = m_v/m$ (o *título*) e numa fração líquida $1 - x$, com

$$
v = (1 - x)v_l + x\,v_v , \qquad\text{isto é,}\qquad
x = \frac{v - v_l}{v_v - v_l} = \frac{LM}{LV} ,
$$

a razão entre os segmentos que o ponto de estado $M$ corta no patamar. A mesma regra vale para toda grandeza extensiva por unidade de massa ($u$, $h$, $s$): $h = (1 - x)h_l + xh_v$.

**Demonstração.** Os volumes se somam: $V = m_lv_l + m_vv_v$; divida por $m$. Energia, [entalpia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/22-a-primeira-lei-da-termodinamica#def-b1-first-law-enthalpy) e entropia também são extensivas. ∎

![Isotermas de Andrews no diagrama de Clapeyron. Sob a cúpula, a isoterma T_1 é um patamar em P_s(T_1); um estado M sobre ele é uma mistura cuja fração de vapor x é a razão LM/LV. A isoterma crítica toca a cúpula no seu cume com uma inflexão horizontal; acima de T_c não há patamar nem distinção entre líquido e gás.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-8985247cb249.svg)

*[Isotermas de Andrews](#prop-b1-phase-changes-andrews) no diagrama de Clapeyron. Sob a cúpula, a isoterma $T_1$ é um patamar em $P_s(T_1)$; um estado $M$ sobre ele é uma mistura cuja fração de vapor $x$ é a razão $LM/LV$. A isoterma crítica toca a cúpula no seu cume com uma inflexão horizontal; acima de $T_c$ não há patamar nem distinção entre líquido e gás.*

**Exemplo 25.6 (Uma chaleira e uma caldeira).**

Água a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1\,\mathrm{atm}$: $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ — uma razão de $1600$. Um recipiente fechado de $1.0\,\mathrm{L}$ que contém $0.50\,\mathrm{kg}$ de água a essa temperatura tem $v =
2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ e $x = (2.0 - 1.04) \times 10^{-3}/1.67 = 5.8 \times 10^{-4}$: $0.29\,\mathrm{g}$ de vapor ocupando metade do recipiente. Dobrar a massa de vapor num recipiente lacrado mal desloca o ponto de estado; a pressão é fixada só pela temperatura.

## 25.3 Energética de uma mudança de fase

**Proposição 25.7 (Calor latente, entalpia e entropia de transição).**

À temperatura $T$ e à pressão $P_s(T)$ de coexistência, a transição de uma unidade de massa da [fase](#def-b1-phase-changes-phase) 1 para a [fase](#def-b1-phase-changes-phase) 2 é reversível, isotérmica e isobárica, e

$$
L_{12}(T) = h_2 - h_1 , \qquad s_2 - s_1 = \frac{L_{12}}{T} , \qquad
u_2 - u_1 = L_{12} - P_s(v_2 - v_1) .
$$

$L_{12} > 0$ quando se vai para a [fase](#def-b1-phase-changes-phase) menos ordenada (fusão, vaporização, sublimação), e $L_{21} = -L_{12}$. Para a água a $1\,\mathrm{atm}$: $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Demonstração.** A pressão constante o calor recebido é $\Delta H$ ([Proposição 22.7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/22-a-primeira-lei-da-termodinamica#prop-b1-first-law-qvqp)); sendo reversível e isotérmico, ele vale $T\Delta S$ ([Proposição 23.3](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/23-a-segunda-lei-a-entropia#prop-b1-second-law-entropy-identity)); e $U = H - PV$. ∎

**Exemplo 25.8 (Para onde vai o calor de vaporização).**

Para a água a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$: $P_s(v_v - v_l) = 1.013 \times 10^5 \times
1.67 = 169\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, logo $u_v - u_l = 2257 - 169 = 2088\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$: $93\%$ do [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) vai para separar as moléculas e $7\%$ para empurrar a atmosfera. A entropia de vaporização, $2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, é muito maior que a de fusão, $334/273 =
1.22\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$: derreter afrouxa as moléculas, ferver as liberta.

**Método 25.9 (Calorimetria com mudanças de fase).**

Num vaso isolado a pressão constante, $\sum\Delta H_i = 0$. Suponha o estado final (que [fases](#def-b1-phase-changes-phase) estão presentes, a que temperatura); escreva o $\Delta H$ de cada corpo como calores sensíveis $mc\,\Delta T$ mais [calores latentes](#def-b1-phase-changes-phase) $\pm mL$ para as mudanças por que ele passa; resolva; e *verifique a suposição*: um corpo que termine acima do seu ponto de ebulição ou abaixo do seu ponto de fusão, ou uma massa negativa de uma [fase](#def-b1-phase-changes-phase), significa que a suposição estava errada — o estado final é então uma mistura à temperatura de transição, e a incógnita passa a ser a massa transformada ([Exemplo 22.13](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/22-a-primeira-lei-da-termodinamica#ex-b1-first-law-ice)).

**Exemplo 25.10 (Queimaduras de vapor).**

$10\,\mathrm{g}$ de vapor a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ que condensam na pele cedem $0.010 \times 2257 = 22.6\,\mathrm{kJ}$ antes de ter esfriado um grau — tanto quanto $10\,\mathrm{g}$ de água fervente cedem ao esfriar $540\,\mathrm{K}$. É por isso que o vapor escalda muito pior do que a água à mesma temperatura, e por que um radiador a vapor precisa de tão pouca vazão.

![A mesma cúpula no diagrama entrópico. Uma isóbara a atravessa como um segmento horizontal de comprimento L_v/T; a área sob o segmento é o calor latente. Os ciclos das usinas são desenhados neste plano, e o título na saída da turbina se lê no segmento pela regra da alavanca.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-7f3463486cb1.svg)

*A mesma cúpula no [diagrama entrópico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/23-a-segunda-lei-a-entropia#def-b1-second-law-entropy-TS). Uma isóbara a atravessa como um segmento horizontal de comprimento $L_v/T$; a área sob o segmento é o [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase). Os ciclos das usinas são desenhados neste plano, e o título na saída da turbina se lê no segmento pela regra da alavanca.*

## 25.4 A relação de Clausius–Clapeyron

**Teorema 25.11 (Clausius–Clapeyron).**

Ao longo de uma curva de coexistência das [fases](#def-b1-phase-changes-phase) 1 e 2,

$$
\frac{\dd P_s}{\dd T} = \frac{L_{12}(T)}{T\,(v_2 - v_1)} .
$$

**Demonstração.** Leve uma unidade de massa por um [ciclo de Carnot](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-carnotcycle) infinitesimal dentro da cúpula: transição completa $1 \to 2$ ao longo do patamar a $T + \dd T$, pressão $P_s + \dd P_s$ (calor recebido $L_{12}$ em primeira ordem); um passo adiabático infinitesimal para baixo até $T$; a transição inversa ao longo do patamar a $T$, $P_s$; e um passo adiabático de volta. O ciclo é reversível e ditérmico entre $T + \dd T$ e $T$, de modo que o seu [rendimento](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-efficiency) vale $\dd T/T$ ([Teorema 24.5](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#thm-b1-heat-engines-carnot)); o seu trabalho, a área do retângulo fino, vale $\dd P_s\,(v_2 - v_1)$. Logo $\dd P_s\,(v_2 - v_1)/L_{12} =
\dd T/T$. ∎

![O ciclo de Carnot infinitesimal que demonstra a relação de Clausius–Clapeyron: dois patamares separados de T, ligados por passos adiabáticos curtos demais para desenhar; o teorema de Carnot iguala a T/T a razão entre a sua área e o calor recebido.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-b1ef002ae825.svg)

*O [ciclo de Carnot](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-carnotcycle) infinitesimal que demonstra a [relação de Clausius–Clapeyron](#thm-b1-phase-changes-clapeyron): dois patamares separados de $\dd T$, ligados por passos adiabáticos curtos demais para desenhar; o teorema de Carnot iguala a $\dd T/T$ a razão entre a sua área e o calor recebido.*

**Corolário 25.12 (Pressão de vapor saturante de um líquido).**

Se o vapor for um [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) e $v_v \gg v_l$, de modo que $v_v - v_l \approx
RT/(MP_s)$, e se $L_v$ variar pouco,

$$
\frac{\dd P_s}{P_s} = \frac{ML_v}{R}\,\frac{\dd T}{T^2} , \qquad
\ln\frac{P_s(T)}{P_s(T_0)} = \frac{ML_v}{R}\Bigl(\frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}\Bigr) :
$$

a pressão de vapor cresce aproximadamente de modo exponencial com a temperatura. Para a água perto de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$, $ML_v/R = 0.018 \times 2.257 \times 10^6/
8.314 = 4890\,\mathrm{K}$ e $\dd P_s/\dd T = 2.257 \times 10^6/(373 \times 1.67) =
3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$: cada [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-temperature) a mais na temperatura de ebulição custa $36\,\mathrm{mbar}$ de pressão a mais.

**Demonstração.** Substitua $v_v - v_l \approx RT/(MP_s)$ no teorema e separe as variáveis; integre com $L_v$ constante. ∎

![A pressão de vapor saturante da água. A curva é próxima de uma exponencial em -1/T; a temperatura de ebulição é onde ela cruza a pressão ambiente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/fig-1c53fd2a06f8.svg)

*A [pressão de vapor saturante](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) da água. A curva é próxima de uma exponencial em $-1/T$; a temperatura de ebulição é onde ela cruza a pressão ambiente.*

**Exemplo 25.13 (O gelo sob um patim).**

Para o par gelo–água, $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ e $v_l - v_s = (1.000 - 1.091)
\times 10^{-3} = -9.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$: $\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/(273 \times
(-9.1 \times 10^{-5})) = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K} = -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$. Um patinador de $70\,\mathrm{kg}$ sobre uma lâmina de $30\,\mathrm{cm}$ por $3\,\mathrm{mm}$ ($9\,\mathrm{cm}^{2}$) exerce cerca de $8\,\mathrm{bar}$, o que baixa o ponto de fusão em $0.06\,\mathrm{K}$ — não é a fusão por pressão que faz o patim deslizar (uma fina camada superficial do gelo já é quase líquida por si só, e o atrito aquece); mas a inclinação negativa é real, e é por ela que um arame carregado com pesos corta um bloco de gelo que volta a congelar atrás dele.

## 25.5 Estados metaestáveis

**Definição 25.14 (Super-resfriamento, superaquecimento).**

Uma [fase](#def-b1-phase-changes-phase) pode persistir além da sua fronteira de equilíbrio: água líquida esfriada abaixo de $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ sem congelar (*super-resfriamento*), aquecida acima do seu ponto de ebulição sem ferver (*superaquecimento*), vapor comprimido além de $P_s$ sem condensar (supersaturação). Tais *estados metaestáveis* exigem a ausência de sítios de *nucleação* — poeira, riscos, gás dissolvido, cristais de gelo — em que a nova [fase](#def-b1-phase-changes-phase) possa começar; uma perturbação os leva de repente e irreversivelmente ao equilíbrio.

**Exemplo 25.15 (A garrafa super-resfriada).**

Água parada a $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ numa garrafa limpa, ao levar uma batida: cristais de gelo a atravessam e a temperatura salta para $0{}^{\circ}\mathrm{C}$. O processo é adiabático e rápido, de modo que o calor sensível $c\,\Delta T$ congela uma fração $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 =
0.10$ da água; a entropia criada, $c\ln(273/265) - xL_f/273 =
124 - 122 = +2\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, é positiva, como tem de ser. As nuvens estão cheias de gotículas super-resfriadas até $-40{}^{\circ}\mathrm{C}$; a formação de gelo nas aeronaves e a semeadura de nuvens exploram as duas esse fato.

**Observação 25.16 (Pedras de ebulição e câmaras de bolhas).**

Uma bolha de raio $r$ num líquido à pressão $P$ contém vapor a $P + 2\sigma/r$ (tensão superficial $\sigma$, volume do segundo ano); ela só pode crescer se $P_s(T) > P + 2\sigma/r$, de modo que um líquido limpo no seu ponto de ebulição não tem bolha pequena o bastante para começar e superaquece alguns [kelvins](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-temperature) antes de irromper — são os solavancos que as pedras de ebulição evitam, oferecendo cavidades cheias de gás preso. A câmara de bolhas da física de partículas funcionava com a mesma instabilidade ao contrário: um líquido superaquecido ferve primeiro ao longo do rastro de uma partícula ionizante.

**Exemplo 25.17 (Umidade e orvalho).**

O ar contém vapor de água a uma pressão parcial $P_v \leq P_s(T)$; a *[umidade relativa](#ex-b1-phase-changes-dew)* é $P_v/P_s(T)$, e o *[ponto de orvalho](#ex-b1-phase-changes-dew)*, a temperatura em que $P_s$ cai até $P_v$. O ar a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($P_s = 3.17\,\mathrm{kPa}$) com $60\%$ de umidade tem $P_v = 1.9\,\mathrm{kPa}$, $\rho_v = P_vM/(RT) = 14\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$, e orvalha em qualquer superfície abaixo de uns $17{}^{\circ}\mathrm{C}$ — a grama ao amanhecer, a garrafa gelada, o espelho do banheiro. Ao subir, esse mesmo ar esfria adiabaticamente a $9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ ([Problema 25.1](#pb-b1-phase-changes-1)) e chega ao seu [ponto de orvalho](#ex-b1-phase-changes-dew) mais ou menos um quilômetro acima: é ali que ficam as bases planas dos cúmulos.

## 25.6 Exercícios

**Exercício 25.1 ★.**

Usando o diagrama do curso, dê a [fase](#def-b1-phase-changes-phase) da água (a) a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob $0.5\,\mathrm{kPa}$; (b) a $-5{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob $1\,\mathrm{bar}$; (c) a $400{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob $200\,\mathrm{bar}$; (d) a $0.01{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob $611\,\mathrm{Pa}$. Por que uma poça seca a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, embora a água “ferva a 100”?

**Solução de Exercício 25.1.**

(a) Vapor: $0.5\,\mathrm{kPa}$ está abaixo de $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$. (b) Sólido. (c) Acima de $T_c = 374{}^{\circ}\mathrm{C}$: fluido supercrítico, sem distinção líquido–gás. (d) O [ponto triplo](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram): as três. A poça evapora pela sua superfície enquanto a pressão de vapor no ar estiver abaixo de $P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C})$; a ebulição é apenas o caso em que bolhas podem se formar dentro do líquido.

**Exercício 25.2 ★.**

$100\,\mathrm{g}$ de vapor a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ são borbulhados em $1.0\,\mathrm{kg}$ de água a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ num vaso isolado. Temperatura final ($L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$). Compare com acrescentar $100\,\mathrm{g}$ de água a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**Solução de Exercício 25.2.**

$0.1 \times 2257 + 0.1 \times 4.18\,(100 - T_f) = 1.0 \times 4.18\,(T_f - 20)$: $351.1 = 4.60\,T_f$, $T_f = 76{}^{\circ}\mathrm{C}$. Com água quente no lugar do vapor: $100 - T_f = 10(T_f - 20)$, $T_f = 27{}^{\circ}\mathrm{C}$ — o [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) vale $540\,\mathrm{K}$ de calor sensível.

**Exercício 25.3 ★.**

Um recipiente rígido de $2.0\,\mathrm{L}$ contém $1.0\,\mathrm{kg}$ de água a $150{}^{\circ}\mathrm{C}$ em equilíbrio líquido–vapor ($P_s =
4.76\,\mathrm{bar}$, $v_l = 1.09 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_v = 0.393\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$). Título, massa de vapor, volume ocupado pelo líquido.

**Solução de Exercício 25.3.**

$v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; $x = (2.0 - 1.09) \times 10^{-3}/0.392 = 2.3 \times 10^{-3}$: $2.3\,\mathrm{g}$ de vapor ocupando $0.91\,\mathrm{L}$; os $0.998\,\mathrm{kg}$ de líquido ocupam $0.998 \times 1.09 = 1.09\,\mathrm{L}$.

**Exercício 25.4 ★.**

Entropia de vaporização da água a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$, por quilograma e por [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales); entropia de fusão por [mol](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-scales) a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$. Muitos líquidos comuns têm uma entropia molar de vaporização perto de $88\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$ (regra de Trouton): a água é comum?

**Solução de Exercício 25.4.**

$2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, isto é, $\times 0.018 = 109\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$; fusão $334/273 \times 0.018 = 22\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$. Os $109$ da água ficam bem acima dos $88$ de Trouton: as ligações de hidrogênio tornam a água líquida mais ordenada do que um líquido comum, de modo que vaporizá-la ganha mais desordem.

**Exercício 25.5 ★★.**

Temperatura de ebulição da água no cume do Everest, $P =
0.33\,\mathrm{bar}$, a partir do [Corolário 25.12](#cor-b1-phase-changes-vapourpressure) com $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$; e a $2000\,\mathrm{m}$ ($P = 0.80\,\mathrm{bar}$). O que acontece com um ovo de $3\,\mathrm{min}$?

**Solução de Exercício 25.5.**

$1/T = 1/373.15 - \ln(P/P_0)/4890$. Everest: $\ln(0.33/1.013) = -1.12$, $1/T = 2.680 \times 10^{-3} + 2.29 \times 10^{-4}$, $T = 344\,\mathrm{K} =
71{}^{\circ}\mathrm{C}$. A $0.80\,\mathrm{bar}$: $\ln = -0.236$, $T = 366\,\mathrm{K} =
93{}^{\circ}\mathrm{C}$. A $71{}^{\circ}\mathrm{C}$ a clara coalha devagar e a gema quase não coalha: o ovo de $3\,\mathrm{min}$ vira um ovo de $10\,\mathrm{min}$ ou mais.

**Exercício 25.6 ★★.**

Temperatura dentro de uma panela de pressão cuja válvula abre a $1.8\,\mathrm{bar}$ absolutos; e a mesma se a válvula fosse regulada em $2.5\,\mathrm{bar}$. O vapor a $1.8\,\mathrm{bar}$ tem $v_v = 0.98\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$: quantos gramas de vapor contém uma panela de $6\,\mathrm{L}$ acima de $4\,\mathrm{L}$ de água?

**Solução de Exercício 25.6.**

$\ln(1.8/1.013) = 0.575$: $1/T = 2.680 \times 10^{-3} - 1.18 \times 10^{-4}$, $T = 390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$; a $2.5\,\mathrm{bar}$: $\ln = 0.903$, $T = 401\,\mathrm{K} = 128{}^{\circ}\mathrm{C}$. Vapor: $2\,\mathrm{L}/0.98 =
2.0\,\mathrm{g}$ — a panela quase só contém água e um pouco de vapor.

**Exercício 25.7 ★★.**

Inclinação da curva de fusão da água a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($L_f =
334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $v_s = 1.091 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_l = 1.000 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$). A que pressão o gelo derrete a $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$? Gelo no fundo de um manto de $3\,\mathrm{km}$ ($\rho = 917\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$): temperatura de fusão ali, e uma consequência para o escoamento das geleiras.

**Solução de Exercício 25.7.**

$\dd P/\dd T = 3.34 \times 10^5/[273 \times (-9.1 \times 10^{-5})] = -1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}
= -130\,\mathrm{bar}/\mathrm{K}$: o gelo derrete a $-1{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob cerca de $130\,\mathrm{bar}$. Sob $3\,\mathrm{km}$ de gelo, $P = 917 \times 9.8 \times 3000 =
270\,\mathrm{bar}$: fusão a $-2{}^{\circ}\mathrm{C}$; o leito de uma geleira pode estar no seu ponto de fusão enquanto a superfície está muito mais fria, e o filme de água de degelo deixa o manto deslizar.

**Exercício 25.8 ★★.**

Um quilograma de água ferve todo a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob $1\,\mathrm{atm}$ ($v_v = 1.673\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, $v_l = 1.04 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$). Trabalho recebido, calor recebido, $\Delta U$, $\Delta H$, $\Delta S$ da água; entropia criada se o calor vier de uma chama a $1500\,\mathrm{K}$.

**Solução de Exercício 25.8.**

$W = -P(v_v - v_l) = -1.013 \times 10^5 \times 1.672 = -169\,\mathrm{kJ}$ (a água empurra a atmosfera); $Q = L_v = 2257\,\mathrm{kJ}$; $\Delta U = 2257 - 169
= 2088\,\mathrm{kJ}$; $\Delta H = 2257\,\mathrm{kJ}$; $\Delta S = 2257/373 = 6.05\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$. A partir de uma chama a $1500\,\mathrm{K}$: $S_{\mathrm{exch}} = 2257/1500 = 1.50\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$, criados $4.5\,\mathrm{kJ}/\mathrm{K}$ — quase toda a qualidade da chama se perde ao aquecer água.

**Exercício 25.9 ★★.**

Pressões de saturação: $1.23\,\mathrm{kPa}$ ($10{}^{\circ}\mathrm{C}$), $1.70\,\mathrm{kPa}$ ($15{}^{\circ}\mathrm{C}$), $2.34\,\mathrm{kPa}$ ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$), $3.17\,\mathrm{kPa}$ ($25{}^{\circ}\mathrm{C}$), $4.24\,\mathrm{kPa}$ ($30{}^{\circ}\mathrm{C}$). Uma sala a $22{}^{\circ}\mathrm{C}$ tem [umidade relativa](#ex-b1-phase-changes-dew) de $70\%$: pressão de vapor, [ponto de orvalho](#ex-b1-phase-changes-dew) (interpole), massa de vapor de água em $50\,\mathrm{m}^{3}$. Uma vidraça a $12{}^{\circ}\mathrm{C}$: ela embaça? Aquecendo a sala a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ sem acrescentar água: nova umidade.

**Solução de Exercício 25.9.**

$P_s(22{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 2.34 + 0.4 \times 0.83 = 2.67\,\mathrm{kPa}$, $P_v = 0.70 \times 2.67 = 1.87\,\mathrm{kPa}$; [ponto de orvalho](#ex-b1-phase-changes-dew) onde $P_s = 1.87$: $15 +
5 \times 0.17/0.64 = 16{}^{\circ}\mathrm{C}$. Massa: $\rho_v = 1870 \times 0.018/
(8.314 \times 295) = 13.7\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$, $0.69\,\mathrm{kg}$ na sala. Vidraça a $12{}^{\circ}\mathrm{C}$: $P_s \approx 1.42\,\mathrm{kPa} < 1.87$, ela embaça. A $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ a umidade cai para $1.87/3.17 = 59\%$.

**Exercício 25.10 ★★★.**

*O [ponto triplo](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram).* (a) Mostre, pelo caráter de função de estado de $h$, que, no [ponto triplo](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram), $L_s = L_f + L_v$ (sublimação = fusão + vaporização). (b) Mostre, com Clausius–Clapeyron, que a curva de sublimação é mais inclinada que a de vaporização no [ponto triplo](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) (despreze $v_s$ e $v_l$ diante de $v_v$). (c) Água: $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $L_v = 2500\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $T = 273.16\,\mathrm{K}$, $P = 611\,\mathrm{Pa}$, vapor como [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model): as duas inclinações em $\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$. (d) Por que a neve desaparece num dia frio e seco sem nunca derreter?

**Solução de Exercício 25.10.**

(a) $h$ é uma função de estado: ir de sólido $\to$ líquido $\to$ vapor no [ponto triplo](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) ou de sólido $\to$ vapor diretamente dá o mesmo $\Delta h$: $L_s = L_f + L_v$. (b) Com $v_s, v_l \ll v_v$ as duas inclinações valem $L/(Tv_v)$ com o mesmo $T$ e o mesmo $v_v$: a sua razão é $L_s/L_v > 1$. (c) $v_v = RT/(MP) =
8.314 \times 273.16/(0.018 \times 611) = 206\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; vaporização $2.50 \times 10^6/(273.16 \times 206) = 44\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$, sublimação $2.83 \times 10^6/
(273.16 \times 206) = 50\,\mathrm{Pa}/\mathrm{K}$. (d) Abaixo de $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ a $1\,\mathrm{bar}$ não existe líquido; se a pressão de vapor do ar estiver abaixo de $P_s$ sobre o gelo ($260\,\mathrm{Pa}$ a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$), a neve sublima — o vento frio e seco a devora.

**Exercício 25.11 ★★★.**

*Água superaquecida.* Uma bolha de raio $r$ em água à pressão $P_0$ contém vapor a $P_0 + 2\sigma/r$ com $\sigma = 0.059\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ (admitido). (a) Raio mínimo de uma bolha capaz de crescer em água a $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ sob $1.013\,\mathrm{bar}$, usando $\dd P_s/\dd T = 3.6\,\mathrm{kPa}/\mathrm{K}$. (b) O mesmo a $101{}^{\circ}\mathrm{C}$. (c) Uma xícara de água superaquecida a $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ num forno de micro-ondas é perturbada por uma colher: fração da água que vira vapor de repente e volume de vapor produzido por litro de água — comente o perigo. (d) Por que as pedras de ebulição evitam isso?

**Solução de Exercício 25.11.**

(a) $P_s(105{}^{\circ}\mathrm{C}) \approx 1.013 + 5 \times 0.036 = 1.19\,\mathrm{bar}$: $\Delta P = 0.18\,\mathrm{bar}$, $r^\ast = 2 \times 0.059/(1.8 \times 10^4) = 6.6\,\text{µ}\mathrm{m}$. (b) $\Delta P = 3.6\,\mathrm{kPa}$, $r^\ast = 33\,\text{µ}\mathrm{m}$. (c) $x = c\,\Delta T/L_v =
4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$: $9.3\,\mathrm{g}$ por litro, isto é, $9.3 \times 10^{-3}
\times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ de vapor produzidos numa fração de segundo dentro de uma xícara — a água é lançada para fora, fervendo. (d) As pedras seguram ar nos seus poros: já existem bolhas de dezenas de micrômetros, de modo que a ebulição começa assim que $P_s$ alcança $P_0$.

**Exercício 25.12 ★★★.**

*O ciclo de um [fluido refrigerante](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-vapourcycle).* Uma [bomba de calor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-machine) faz o R-134a circular pela [Definição 24.16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-vapourcycle): evaporação a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($2.0\,\mathrm{bar}$; $h_l = 187\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_v =
392\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$) e condensação a $40{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($10.2\,\mathrm{bar}$; $h_l = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$, $h_v = 419\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$). O fluido sai do condensador como líquido saturado e do evaporador como vapor saturado; o compressor o entrega a $h = 430\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$. Admita que na válvula $h$ se conserva e que o trabalho do compressor por quilograma vale $\Delta h$ (balanços em escoamento permanente, volume do segundo ano); nos trocadores, isobáricos, $q = \Delta h$ ([Proposição 22.7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/22-a-primeira-lei-da-termodinamica#prop-b1-first-law-qvqp)). (a) Título na entrada do evaporador. (b) Calor tomado por quilograma no evaporador, calor cedido no condensador, trabalho de compressão; verifique a primeira lei. (c) $e_p$ e $e_f$; compare com os valores de Carnot entre as duas temperaturas de saturação. (d) Vazão mássica para $6\,\mathrm{kW}$ de aquecimento.

**Solução de Exercício 25.12.**

(a) Depois da válvula, $h = 256\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $-10{}^{\circ}\mathrm{C}$: $x =
(256 - 187)/(392 - 187) = 0.34$. (b) Evaporador $q_c = 392 - 256 =
136\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; compressor $w = 430 - 392 = 38\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; condensador $q_h = 256 - 430 = -174\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $136 + 38 - 174 = 0$. (c) $e_p =
174/38 = 4.6$, $e_f = 136/38 = 3.6$; Carnot $313/50 = 6.3$ e $263/50 =
5.3$: cerca de $0.7$ do ideal. (d) $\dot m = 6000/174000 = 34\,\mathrm{g}/\mathrm{s}$, $2.1\,\mathrm{kg}$ por minuto.

![Uma panela de pressão: a 1.8\, bar a água ferve a 117 C, e é a válvula com peso que fixa a pressão.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-phase-changes/img-3a8cb16dd599.jpg)

*Uma panela de pressão: a $1.8\,\mathrm{bar}$ a água ferve a $117{}^{\circ}\mathrm{C}$, e é a válvula com peso que fixa a pressão.*

## 25.7 Problema: a água em quatro cenas

**Problema 25.1.**

Problema de fim de semana — a panela de pressão, a nuvem, o recipiente lacrado e a garrafa super-resfriada: uma substância, quatro usos do seu diagrama de fases

Dados da água: $L_v = 2257\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$ a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ e cerca de $2.2\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ a $117{}^{\circ}\mathrm{C}$, $2.45\,\mathrm{MJ}/\mathrm{kg}$ perto de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$; $L_f = 334\,\mathrm{kJ}/\mathrm{kg}$; $c = 4.18\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ (líquido); $M = 18\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$; $ML_v/R = 4890\,\mathrm{K}$ perto de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$. Pressões de saturação: $0.61\,\mathrm{kPa}$ ($0{}^{\circ}\mathrm{C}$), $1.23\,\mathrm{kPa}$ ($10{}^{\circ}\mathrm{C}$), $1.70\,\mathrm{kPa}$ ($15{}^{\circ}\mathrm{C}$), $2.34\,\mathrm{kPa}$ ($20{}^{\circ}\mathrm{C}$), $3.17\,\mathrm{kPa}$ ($25{}^{\circ}\mathrm{C}$), $4.24\,\mathrm{kPa}$ ($30{}^{\circ}\mathrm{C}$), $101.3\,\mathrm{kPa}$ ($100{}^{\circ}\mathrm{C}$). Volumes específicos saturados: $v_l = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ (água fria), $1.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ a $360{}^{\circ}\mathrm{C}$; $v_v = 0.0217\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ a $300{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.0108$ a $340{}^{\circ}\mathrm{C}$, $0.0088$ a $350{}^{\circ}\mathrm{C}$; [ponto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) $374{}^{\circ}\mathrm{C}$, $221\,\mathrm{bar}$, $v_c = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$. Ar: $M = 29\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$, $c_p =
1.0\,\mathrm{kJ}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$, $\gamma = 1.4$; $g = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $R =
8.314\,\mathrm{J}/(\mathrm{mol}\,\mathrm{K})$.

**Parte I — A panela de pressão.**

1. Por que a água numa panela aberta ao nível do mar não pode ser aquecida acima de $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ , por mais forte que seja a chama?
2. Partindo da [relação de Clausius–Clapeyron](#thm-b1-phase-changes-clapeyron) , deduza $\ln[P_s(T)/P_s(T_0)] = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$ , dizendo quais são as aproximações.
3. Temperatura numa panela cuja válvula abre a $1.8\,\mathrm{bar}$ absolutos.
4. A válvula é um peso apoiado sobre um orifício de $20\,\mathrm{mm}^{2}$ ; pressão atmosférica $1.0\,\mathrm{bar}$ : massa do peso.
5. $2.0\,\mathrm{L}$ de água são levados de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ à temperatura de trabalho por uma chapa de $2.0\,\mathrm{kW}$ (despreze a panela): calor e tempo.
6. Uma vez ali, a chapa é deixada em $2.0\,\mathrm{kW}$ : massa de vapor que sai pela válvula por minuto. O que o cozinheiro deve fazer?
7. As reações do cozimento mais ou menos dobram de velocidade a cada $10\,\mathrm{K}$ : por que fator a panela encurta uma receita de $30\,\mathrm{min}$ ao nível do mar? E quanto tempo levaria a receita no Everest, onde a água ferve a $70{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?

**Parte II — A nuvem.**

8. Defina [umidade relativa](#ex-b1-phase-changes-dew) . Ar a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ com $60\%$ : pressão parcial do vapor e massa de vapor por metro cúbico ( [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) ).
9. [Ponto de orvalho](#ex-b1-phase-changes-dew) desse ar (interpole a tabela). Explique o orvalho na grama ao amanhecer e as gotas numa garrafa gelada.
10. Uma porção de ar seco sobe sem trocar calor. A partir da lei adiabática reversível e da [relação hidrostática](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/21-estatica-dos-fluidos#thm-b1-fluid-statics-fundamental) $\dd P/\dd z = -\rho g$ , mostre que $\dd T/\dd z = -g/c_p$ e avalie o valor.
11. O próprio [ponto de orvalho](#ex-b1-phase-changes-dew) da porção que sobe cai cerca de $2\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$ à medida que a pressão baixa. Altura em que a porção da questão 8 fica saturada — a base da nuvem.
12. Acima da base, o vapor que condensa libera o seu [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) dentro da porção. De quanto condensar $1\,\mathrm{g}$ de água por quilograma de ar aquece esse ar? O que isso faz com a taxa de resfriamento da porção enquanto ela continua a subir, e por que isso importa para as tempestades?
13. Um cúmulo de $1\,\mathrm{km}^{3}$ contém $1\,\mathrm{g}$ de água líquida por metro cúbico: massa de água e energia liberada pela sua condensação, em joules e em $\mathrm{GW}\mathrm{h}$ .
14. Um espelho de banheiro a $18{}^{\circ}\mathrm{C}$ , ar a $25{}^{\circ}\mathrm{C}$ com $80\%$ : ele embaça? Com que umidade ele deixaria de embaçar?

**Parte III — O recipiente lacrado.** Um recipiente rígido de aço de $1.0\,\mathrm{L}$ é enchido com uma massa $m$ de água e lacrado sem ar, e depois aquecido lentamente.

15. $m = 0.50\,\mathrm{kg}$ a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ : pressão dentro, volume específico, massa de vapor (use o [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model) para $v_v$ ) e fração do volume ocupada pelo líquido.
16. Aquecido: o nível do líquido sobe ou desce? A que temperatura, mais ou menos, o líquido enche o recipiente, e o que acontece com a pressão depois disso? (Use $v_l$ a $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ .)
17. $m = 0.10\,\mathrm{kg}$ : o nível do líquido sobe ou desce com o aquecimento? A que temperatura, mais ou menos, evapora a última gota (use a tabela de $v_v$ )?
18. $m = 0.31\,\mathrm{kg}$ : descreva o que um observador vê no menisco quando a temperatura se aproxima de $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
19. Esboce os três caminhos de aquecimento no diagrama $(v, P)$ com a cúpula de saturação, e diga de que lado do [ponto crítico](#prop-b1-phase-changes-PTdiagram) cada um passa.
20. O mesmo recipiente de $1.0\,\mathrm{L}$ com $0.50\,\mathrm{kg}$ de água é agora lacrado *com* o ar que ele continha a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $1.0\,\mathrm{bar}$ , e aquecido a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$ : pressão total interna (Dalton) e força sobre uma tampa de $100\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**Parte IV — A garrafa super-resfriada.**

21. Uma garrafa de água limpa e parada esfriou até $-8{}^{\circ}\mathrm{C}$ sem congelar. Como se chama esse estado, por que ele é possível e o que acontece quando a garrafa leva uma batida? Por que a temperatura se estabiliza então exatamente em $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ?
22. Fração da água que congela (o processo é rápido, portanto adiabático).
23. Entropia criada por quilograma; verifique o sinal.
24. A surpresa inversa: uma xícara de água aquecida a $105{}^{\circ}\mathrm{C}$ num forno de micro-ondas sem ferver, e depois perturbada. Fração da água que vira vapor de repente, volume de vapor produzido por litro ( $v_v = 1.67\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$ ) e por que a xícara transborda com violência.
25. [Trabalho perdido](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#thm-b1-heat-engines-lostwork) : o litro super-resfriado poderia ter acionado uma máquina reversível com a vizinhança a $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ ; tomando $T_0 = 273\,\mathrm{K}$ , o trabalho jogado fora ao deixá-lo congelar com uma batida vale $T_0S_{\mathrm{created}}$ . Avalie-o por litro e compare com erguer a garrafa em um metro. Conclua: o que armazena um [estado metaestável](#def-b1-phase-changes-metastable) ?

**Solução de Problema 25.1.**

**1.** A $1\,\mathrm{atm}$ a água ferve a $100{}^{\circ}\mathrm{C}$; enquanto resta líquido, todo calor fornecido faz vapor a essa temperatura ([calor latente](#def-b1-phase-changes-phase)) em vez de aquecer o líquido: a temperatura fica presa à pressão.

**2.** $\dd P_s/\dd T = L_v/[T(v_v - v_l)]$ com $v_l \ll v_v = RT/(MP_s)$ (vapor como [gás perfeito](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-model)): $\dd P_s/P_s = (ML_v/R)\,\dd T/T^2$; com $L_v$ tomado constante, integre: $\ln(P_s/P_0) = (ML_v/R)(1/T_0 - 1/T)$.

**3.** $1/T = 1/373.15 - \ln(1.8/1.013)/4890 = 2.562 \times 10^{-3}$: $T =
390\,\mathrm{K} = 117{}^{\circ}\mathrm{C}$.

**4.** $m = \Delta P\,A/g = 0.8 \times 10^5 \times 2.0 \times 10^{-5}/9.8 =
0.16\,\mathrm{kg}$.

**5.** $Q = 2.0 \times 4.18 \times 97 = 811\,\mathrm{kJ}$; $t = 811/2.0 =
405\,\mathrm{s} \approx 7\,\mathrm{min}$.

**6.** $2000/(2.2 \times 10^6) = 0.91\,\mathrm{g}/\mathrm{s} = 55\,\mathrm{g}/\mathrm{min}$ — dois litros embora em $37\,\mathrm{min}$. Baixe a chapa ao mínimo que mantenha a válvula chiando: a temperatura é fixada pela pressão, e não pela chama.

**7.** $+17\,\mathrm{K}$: $2^{1.7} = 3.2$ vezes mais rápido, $30\,\mathrm{min}$ $\to$ $9\,\mathrm{min}$. No Everest, $-30\,\mathrm{K}$: $2^{-3}$, quatro horas.

**8.** [Umidade relativa](#ex-b1-phase-changes-dew) $= P_v/P_s(T)$. $P_v = 0.60 \times 3.17 =
1.90\,\mathrm{kPa}$; $\rho_v = P_vM/(RT) = 1900 \times 0.018/(8.314 \times 298) =
13.8\,\mathrm{g}/\mathrm{m}^{3}$.

**9.** $P_s(T_d) = 1.90\,\mathrm{kPa}$: entre $15{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($1.70\,\mathrm{kPa}$) e $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($2.34\,\mathrm{kPa}$): $T_d = 15 + 5 \times 0.20/0.64
= 16.6{}^{\circ}\mathrm{C}$. A grama, que irradia para o céu noturno, ou uma garrafa tirada da geladeira, cai abaixo de $T_d$: o vapor em contato com ela fica então acima da saturação e condensa.

**10.** $TP^{(1-\gamma)/\gamma} = \text{const}$: $\dd T/T = \frac{\gamma - 1}{\gamma}
\dd P/P$; $\dd P = -\rho g\,\dd z$ com $\rho = PM/(RT)$: $\dd T/T = -\frac{\gamma -
1}{\gamma}\frac{Mg}{RT}\dd z$, logo $\dd T/\dd z = -\frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{Mg}{R} =
-g/c_p$, pois $c_p = \gamma R/[(\gamma - 1)M]$. Valor $9.8/1000 = 9.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$.

**11.** A diferença $T - T_d$ se fecha a $9.8 - 2 = 7.8\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$: $z = (25 - 16.6)/
7.8 = 1.1\,\mathrm{km}$.

**12.** $1 \times 2.45 = 2.45\,\mathrm{kJ}$ por quilograma de ar: $\Delta T =
2.45\,\mathrm{K}$. Essa liberação compensa parte do resfriamento adiabático: uma porção saturada esfria só a $5\text{ to }6\,\mathrm{K}/\mathrm{km}$, fica mais quente e mais leve do que a vizinhança e continua subindo — o [calor latente](#def-b1-phase-changes-phase) é o combustível da tempestade.

**13.** $10^9 \times 1\,\mathrm{g} = 1000\,\mathrm{t}$; $10^6 \times 2.45 \times 10^6 =
2.5 \times 10^{12}\,\mathrm{J} = 0.68\,\mathrm{GW}\mathrm{h}$ — quarenta minutos de uma usina grande.

**14.** $P_v = 0.80 \times 3.17 = 2.54\,\mathrm{kPa}$; $P_s(18{}^{\circ}\mathrm{C})
\approx 1.70 + 0.6 \times 0.64 = 2.08\,\mathrm{kPa} < 2.54$: ele embaça, até a umidade cair abaixo de $2.08/3.17 = 66\%$.

**15.** $P = P_s(20{}^{\circ}\mathrm{C}) = 2.3\,\mathrm{kPa}$; $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; $v_v = RT/(MP_s) = 8.314 \times 293/(0.018 \times 2340) = 58\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$; $x =
(2.0 - 1.0) \times 10^{-3}/58 = 1.7 \times 10^{-5}$: $9\,\mathrm{mg}$ de vapor; líquido $0.50 \times 10^{-3} = 0.50\,\mathrm{L}$, metade do recipiente.

**16.** $v = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} < v_c$: a isocórica encontra o ramo líquido da cúpula — o líquido se dilata mais depressa do que evapora, o nível *sobe*, e o recipiente fica cheio de líquido quando $v_l(T) =
2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg}$, um pouco acima de $360{}^{\circ}\mathrm{C}$ (cerca de $190\,\mathrm{bar}$). Depois disso, um líquido quase incompressível aquecido a volume constante: a pressão sobe dezenas de bar por [kelvin](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/20-teoria-cinetica-e-o-gas-perfeito#def-b1-kinetic-theory-temperature) — o recipiente estoura. Nunca lacre um recipiente cheio de líquido.

**17.** $v = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} > v_c$: o nível *desce*; a última gota se vai quando $v_v(T) = 0.010$, entre $340{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($0.0108$) e $350{}^{\circ}\mathrm{C}$ ($0.0088$): cerca de $344{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $150\,\mathrm{bar}$.

**18.** $v = 3.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{kg} \approx v_c$: o menisco fica perto da meia-altura, torna-se mais plano e mais tênue à medida que as duas densidades convergem, o fluido fica leitoso (opalescência crítica) e, a $374{}^{\circ}\mathrm{C}$ e $221\,\mathrm{bar}$, o menisco desaparece: uma só [fase](#def-b1-phase-changes-phase).

**19.** Três retas verticais: $v = 2.0 \times 10^{-3}$ deixa a cúpula pelo ramo líquido, à esquerda de C; $10^{-2}$ pelo ramo de vapor, à direita de C; $3.2 \times 10^{-3}$ pelo cume.

**20.** Ar: $0.5\,\mathrm{L}$ a $1.0\,\mathrm{bar}$ e $293\,\mathrm{K}$, mesmo volume a $373\,\mathrm{K}$: $P_{\text{ar}} = 1.0 \times 373/293 = 1.27\,\mathrm{bar}$; mais $P_s = 1.01\,\mathrm{bar}$: $2.3\,\mathrm{bar}$ dentro, $1.3\,\mathrm{bar}$ acima do lado de fora: $1.3 \times 10^5 \times 10^{-2} = 1.3\,\mathrm{kN}$ sobre a tampa — o peso de $130\,\mathrm{kg}$.

**21.** Super-resfriada, metaestável: nenhum sítio de [nucleação](#def-b1-phase-changes-metastable) (água limpa, sem poeira, sem movimento) para o primeiro cristal. Uma batida nucleia o gelo, que cresce pela garrafa liberando $L_f$; a temperatura sobe até $0{}^{\circ}\mathrm{C}$ e para ali, a única temperatura em que gelo e água coexistem a $1\,\mathrm{atm}$: o congelamento cessa assim que o calor liberado leva a mistura até ela.

**22.** $x = c\,\Delta T/L_f = 4.18 \times 8/334 = 0.10$.

**23.** $\Delta s = c\ln(273/265) - xL_f/273 = 124.3 - 122.3 =
+2.0\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$: adiabático, portanto tudo criado; positivo, como um processo espontâneo tem de ser.

**24.** $x = 4.18 \times 5/2257 = 0.93\%$: $9.3\,\mathrm{g}$ de vapor por litro, $9.3 \times 10^{-3} \times 1.67 = 16\,\mathrm{L}$ de vapor nascidos no seio do líquido numa fração de segundo: a xícara transborda com violência.

**25.** $T_0S_{\mathrm{created}} = 273 \times 2.0 = 550\,\mathrm{J}$ por litro, contra $mgh = 9.8\,\mathrm{J}$: cinquenta e seis vezes mais. Um [estado metaestável](#def-b1-phase-changes-metastable) armazena trabalho — o que um caminho reversível poderia ter extraído — e uma batida transforma tudo em entropia.