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title: "Eletrostática: o campo e a lei de Gauss"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 26
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss
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# Capítulo 26 — Eletrostática: o campo e a lei de Gauss

Esfregue um balão num suéter e ele gruda na parede; penteie um cabelo seco e o pente entorta um filete fino de água. Por trás dos dois está a força entre [cargas elétricas](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) em repouso, a [lei de Coulomb](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb) — uma lei em inverso do quadrado como a [gravitação](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#def-b1-central-forces-gravitation), mas $10^{36}$ vezes mais forte entre dois prótons e com os dois sinais, de modo que a matéria é neutra com precisão fantástica e os efeitos residuais são o que chamamos de química, materiais e raios. Este capítulo constrói o conceito que torna a lei manejável, o [campo elétrico](#def-b1-electrostatics-gauss-field), mostra como ler um campo a partir das suas simetrias e deduz o único teorema que calcula em três linhas os campos de distribuições simétricas: a [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). O seu gêmeo gravitacional vem de brinde no fim.

![Um raio de nuvem para o solo: dezenas de coulombs trazidos para baixo em algumas descargas de cem quiloampères — a Terra elétrica do problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/img-4e36ee9b571d.jpg)

*Um raio de nuvem para o solo: dezenas de coulombs trazidos para baixo em algumas descargas de cem quiloampères — a Terra elétrica do problema de fim de semana.*

## 26.1 Cargas e a lei de Coulomb

**Definição 26.1 (Carga elétrica).**

A *carga elétrica* $q$ (coulomb, $\mathrm{C}$) é uma propriedade da matéria, dos dois sinais; ela se conserva (a carga total de um sistema isolado nunca muda) e é quantizada em unidades da *carga elementar* $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (próton $+e$, elétron $-e$). Uma distribuição macroscópica é descrita por uma *densidade de carga*: linear $\lambda$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}$), superficial $\sigma$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$) ou volumétrica $\rho$ ($\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$), de modo que um pequeno elemento leva $\dd q = \lambda\,\dd l$, $\sigma\,\dd S$ ou $\rho\,\dd\tau$.

**Teorema 26.2 (Lei de Coulomb).**

Duas cargas pontuais $q_1$ em $M_1$ e $q_2$ em $M_2$ em repouso no vácuo exercem uma sobre a outra as forças

$$
\vect F_{1 \to 2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0\,r^2}\,\vect e_{12} = -\vect F_{2 \to 1},
\qquad r = M_1M_2,\quad \vect e_{12} = \frac{\vect{M_1M_2}}{r},
$$

repulsivas para cargas de mesmo sinal e atrativas para cargas de sinais contrários, com a *[permissividade do vácuo](#thm-b1-electrostatics-gauss-coulomb)* $\varepsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, isto é, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$. As forças de várias cargas se somam (superposição).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 26.3 (Quão forte).**

Dois prótons a $1\,\mathrm{fm}$ um do outro se repelem com $8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times
10^{-19})^2/10^{-30} = 230\,\mathrm{N}$ — o peso de uma criança, entre duas partículas de $10^{-27}$ kg; a atração gravitacional entre eles é $10^{36}$ vezes menor. Dois gramas de elétrons numa ponta de uma sala e os prótons correspondentes na outra se atrairiam com $10^{25}$ N. A matéria é neutra porque não tem escolha: qualquer desequilíbrio é corrigido por forças que estrutura nenhuma resiste.

## 26.2 O campo elétrico

**Definição 26.4 (Campo eletrostático).**

Uma distribuição de cargas em repouso cria em todo ponto $M$ do espaço um *campo elétrico* $\vect E(M)$, definido pela força que ele exerce sobre uma carga de prova $q$ colocada em $M$: $\vect F = q\vect E(M)$ ($\mathrm{V}/\mathrm{m}$ $=$ $\mathrm{N}/\mathrm{C}$). Uma carga pontual $q_1$ em $O$ cria

$$
\vect E(M) = \frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\,\vect e_r , \qquad r = OM ,
$$

radial e para fora se $q_1 > 0$; uma distribuição cria a soma vetorial dos campos dos seus elementos. Uma *linha de campo* é uma curva tangente em cada ponto a $\vect E$, orientada segundo ele.

**Proposição 26.5 (Ler um mapa de campo).**

As [linhas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field) saem das cargas positivas e terminam nas negativas (ou no infinito); elas nunca se cruzam (o campo é unívoco) e se adensam onde o campo é forte. Quando há duas cargas presentes, o número de linhas desenhadas em cada uma é proporcional à sua carga.

![Linhas de campo de duas cargas opostas (à esquerda) e de duas cargas positivas iguais (à direita). As linhas partem do + e terminam no - ou no infinito; à direita elas se repelem e o campo se anula no ponto médio, por onde não passa nenhuma linha.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-944406dd220a.svg)

*[Linhas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field) de duas cargas opostas (à esquerda) e de duas cargas positivas iguais (à direita). As linhas partem do $+$ e terminam no $-$ ou no infinito; à direita elas se repelem e o campo se anula no ponto médio, por onde não passa nenhuma linha.*

**Exemplo 26.6 (Anel e segmento por soma direta).**

No eixo de um anel de raio $R$ que leva $Q$ uniformemente, à distância $z$ do seu centro, cada elemento $\dd q$ contribui com $\dd q/4\pi\varepsilon_0(R^2 +
z^2)$ ao longo da reta que o liga a $M$; as componentes perpendiculares ao eixo se cancelam aos pares e as axiais se somam com o fator $z/\sqrt{R^2 + z^2}$:

$$
E_z = \frac{Qz}{4\pi\varepsilon_0(R^2 + z^2)^{3/2}} ,
$$

nulo no centro, máximo em $z = R/\sqrt2$ e igual a $Q/4\pi\varepsilon_0z^2$ bem longe. Um disco carregado uniformemente é uma pilha de anéis ([Problema 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). A soma direta funciona sempre que a geometria permite calcular a integral; o resto do capítulo trata de evitá-la.

## 26.3 Simetrias e invariâncias

**Proposição 26.7 (Princípio de simetria).**

O campo tem as simetrias das suas fontes. Se um plano $\Pi$ é um *[plano de simetria](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* da distribuição de cargas (a imagem especular da distribuição é ela própria), então em todo ponto de $\Pi$ o campo está *contido* em $\Pi$; se $\Pi$ é um *[plano de antissimetria](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry)* (a imagem especular é a distribuição com todas as cargas trocadas de sinal), o campo nos pontos de $\Pi$ é *perpendicular* a $\Pi$. Se a distribuição é invariante por uma translação ou por uma rotação, o campo também é: as suas componentes não dependem da coordenada correspondente.

**Demonstração.** $\vect E$ é uma soma de termos $\dd q\,\vect e/4\pi\varepsilon_0r^2$; a imagem especular da soma é a soma das imagens, e a imagem do campo de uma distribuição é o campo da distribuição imagem (um vetor construído a partir de posições e cargas se transforma como as posições). Num [plano de simetria](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) o campo é igual à sua própria imagem especular e portanto está no plano; num [plano de antissimetria](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) ele é igual ao oposto da sua imagem e portanto é normal a ele. A invariância é o mesmo argumento com uma translação ou uma rotação. ∎

**Método 26.8 (Achar a forma de um campo antes de calculá-lo).**

Para o ponto $M$ em que se quer o campo: (1) liste os [planos de simetria](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) das fontes que contêm $M$ — o campo está sobre a interseção deles; dois desses planos fixam a direção. (2) Liste as invariâncias — elas dizem de que coordenadas $\vect E$ depende. Assim, um fio infinito carregado uniformemente dá $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ em [coordenadas cilíndricas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#def-b1-point-kinematics-cylindrical), uma esfera dá $\vect E = E(r)\,\vect e_r$ em esféricas, e um plano infinito dá $\vect E = E(z)\,\vect e_z$ com $E(-z) = -E(z)$. Só então calcule.

![As três distribuições simétricas do capítulo e as superfícies de Gauss (tracejadas) adaptadas a elas: uma esfera concêntrica, um cilindro coaxial e uma caixinha cilíndrica atravessando o plano. Em cada uma, o campo é normal e de módulo uniforme, ou então tangente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-355fe6d4cd96.svg)

*As três distribuições simétricas do capítulo e as superfícies de Gauss (tracejadas) adaptadas a elas: uma esfera concêntrica, um cilindro coaxial e uma caixinha cilíndrica atravessando o plano. Em cada uma, o campo é normal e de módulo uniforme, ou então tangente.*

## 26.4 Fluxo e lei de Gauss

**Definição 26.9 (Fluxo do campo).**

Corte uma superfície $S$ em pequenos elementos de área $\dd S$, cada um com uma normal unitária $\vect n$ (para uma superfície fechada, a normal para fora). O *fluxo* de $\vect E$ através de $S$ é a soma

$$
\Phi = \sum \vect E\cdot\vect n\,\dd S = \sum E_n\,\dd S \qquad (\mathrm{V}\,\mathrm{m}):
$$

a componente normal do campo ponderada pela área — o “número de [linhas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field)” que atravessam $S$, contadas positivamente quando cruzam no sentido de $\vect n$.

**Teorema 26.10 (Lei de Gauss).**

O [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) do campo eletrostático através de qualquer superfície fechada $S$ é igual à carga total encerrada por $S$ dividida por $\varepsilon_0$:

$$
\Phi_{\text{saída}} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0} .
$$

As cargas fora de $S$ não contribuem em nada para o [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) (as suas linhas entram e voltam a sair).

**Demonstração.** Para uma carga pontual $q$ no centro de uma esfera de raio $r$: $\vect E$ é radial, de módulo $q/4\pi\varepsilon_0r^2$ em toda a esfera, logo $\Phi = E \times 4\pi r^2 = q/\varepsilon_0$ — independente de $r$, porque o campo cai como $1/r^2$ exatamente na medida em que a área cresce. Que o mesmo valha para qualquer superfície fechada em torno de $q$ (o [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) através de um elemento de superfície só depende do ângulo sólido que ele subtende desde $q$), que uma carga externa dê zero (ela subtende duas vezes cada ângulo sólido, com sinais opostos) e que os [fluxos](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) de várias cargas se somem fica admitido aqui; a demonstração completa está no volume do segundo ano. ∎

**Método 26.11 (Usar a lei de Gauss).**

(1) A partir das simetrias, escreva a forma de $\vect E$ (direção e a variável de que ele depende). (2) Escolha uma *superfície de Gauss* fechada que passe pelo ponto $M$ e na qual $\vect E$ seja em toda parte normal com o mesmo módulo $E(M)$, ou então tangente: o [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) é então $E(M)$ vezes a área da parte normal. (3) Conte a carga que está dentro. (4) Isole $E(M)$. Funciona para esferas, cilindros infinitos e planos infinitos — e para nada mais, sem outras ferramentas.

**Proposição 26.12 (Os três campos clássicos).**

1. Esfera de raio $R$ , de carga $Q$ espalhada uniformemente no seu volume: $E(r) = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}$ fora ( $r > R$ ) — como se toda a carga estivesse no centro — e $E(r) =  \dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0R^3}$ dentro, crescendo linearmente a partir de zero; contínuo em $r = R$ . Se a carga estiver só na superfície, o campo interno é nulo.
2. Fio infinito de carga linear $\lambda$ : $E(r) =  \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$ , radial.
3. Plano infinito de carga superficial $\sigma$ : $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ de cada lado, normal ao plano, apontando para longe dele se $\sigma > 0$ , *independentemente da distância* . Ao atravessar o plano a componente normal salta de $\sigma/\varepsilon_0$ .

**Demonstração.** (1) Esfera de raio $r$: [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $4\pi r^2E(r)$; carga interna $Q$ se $r > R$, e $Q(r/R)^3$ se $r < R$. (2) Cilindro de raio $r$ e comprimento $h$: [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) pela superfície lateral $2\pi rh\,E(r)$, nenhum pelas bases (campo tangente); carga $\lambda h$. (3) Caixinha cilíndrica de seção $S$ atravessando o plano: [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $2SE$ pelas duas bases (o campo é ímpar em $z$, de modo que as duas contam positivamente), nenhum pela lateral; carga $\sigma S$. ∎

![O campo de uma esfera carregada em função da distância ao seu centro: linear dentro e em 1/r2 fora quando a carga preenche o volume (traço cheio); nulo dentro e o mesmo fora quando ela está na superfície (tracejado). Do lado de fora, nada distingue a esfera de uma carga pontual no seu centro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-eea42cc5f0c5.svg)

*O [campo de uma esfera carregada](#prop-b1-electrostatics-gauss-three) em função da distância ao seu centro: linear dentro e em $1/r^2$ fora quando a carga preenche o volume (traço cheio); nulo dentro e o mesmo fora quando ela está na superfície (tracejado). Do lado de fora, nada distingue a esfera de uma carga pontual no seu centro.*

**Exemplo 26.13 (Dois planos: o capacitor plano).**

Dois planos paralelos que levam $+\sigma$ e $-\sigma$: cada um cria $\sigma/2\varepsilon_0$ apontando para longe de si (em direção a si, no caso do negativo). Entre os planos os dois campos se somam e dão $\sigma/\varepsilon_0$, dirigido do $+$ para o $-$; fora eles se cancelam. Com $\sigma = 1\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$, $E =
10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ entre eles e zero fora: o campo de um capacitor carregado fica confinado ao seu espaçamento ([Capítulo 27](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/27-potencial-eletrico-condutores-e-capacitores#ch-b1-potential-capacitors)).

![Superposição para duas folhas opostas. À esquerda: os campos uniformes de cada folha isolada (em vermelho, o da positiva; em azul, o dirigido à negativa). À direita: a sua soma, / _0 no espaçamento e zero fora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-electrostatics-gauss/fig-eb65d67ebcaf.svg)

*Superposição para duas folhas opostas. À esquerda: os campos uniformes de cada folha isolada (em vermelho, o da positiva; em azul, o dirigido à negativa). À direita: a sua soma, $\sigma/\varepsilon_0$ no espaçamento e zero fora.*

## 26.5 A analogia gravitacional

**Proposição 26.14 (Lei de Gauss para a gravitação).**

A lei de Newton $\vect F = -Gm_1m_2\,\vect e_{12}/r^2$ tem a forma da de Coulomb com $q \to m$ e $1/4\pi\varepsilon_0 \to -G$. O [campo gravitacional](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-weight) $\vect g$ (força por unidade de massa) obedece, portanto, às mesmas regras de simetria e a

$$
\Phi_{\text{saída}}(\vect g) = -4\pi G\,M_{\text{int}} .
$$

Em particular, um corpo de simetria esférica atrai os pontos externos como se a sua massa estivesse no seu centro, e o campo dentro de uma esfera homogênea de raio $R$ e massa $M$ vale $g(r) = GMr/R^3$, linear em $r$.

**Demonstração.** Substitua $Q/\varepsilon_0$ por $-4\pi GM$ na demonstração da [Proposição 26.12](#prop-b1-electrostatics-gauss-three); o sinal de menos diz que o [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) entra (a gravidade atrai). ∎

**Exemplo 26.15 (Dentro da Terra).**

Numa Terra homogênea, $g$ cairia linearmente de $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ na superfície até zero no centro; uma pedra solta num túnel que atravessasse o planeta oscilaria harmonicamente com período $2\pi\sqrt{R/g} =
84\,\mathrm{min}$ — o período de um satélite rasante. A Terra real tem um núcleo denso, e $g$ de fato *sobe* até $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ na fronteira núcleo–manto antes de cair ([Problema 26.1](#pb-b1-electrostatics-gauss-1)). Newton precisou do teorema das cascas para aplicar a sua lei aos planetas; a [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) o dá numa linha.

## 26.6 Exercícios

**Exercício 26.1 ★.**

Força elétrica e força gravitacional entre dois prótons a $2.0\,\mathrm{fm}$ um do outro; a razão entre elas. Por que, então, os núcleos se mantêm coesos?

**Solução de Exercício 26.1.**

$F_e = 8.99 \times 10^9 \times (1.6 \times 10^{-19})^2/(2 \times 10^{-15})^2 = 58\,\mathrm{N}$; $F_g = 6.67 \times 10^{-11} \times (1.67 \times 10^{-27})^2/(4 \times 10^{-30}) =
4.6 \times 10^{-35}\,\mathrm{N}$; razão $1.2 \times 10^{36}$. Os núcleos se mantêm porque a interação forte, no alcance do femtômetro, vence até essa repulsão.

**Exercício 26.2 ★.**

Campo a $1.0\,\mathrm{m}$ de uma carga pontual de $1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. A superfície da Terra tem um campo de $100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ apontando para baixo: sinal e valor da carga da Terra, tratando-a como uma esfera de raio $6370\,\mathrm{km}$.

**Solução de Exercício 26.2.**

$E = 8.99 \times 10^9 \times 10^{-6}/1 = 9.0\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$. Um campo dirigido para baixo é o de uma carga negativa: $Q = -4\pi\varepsilon_0R^2E = -1.11 \times 10^{-10} \times
(6.37 \times 10^6)^2 \times 100 = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**Exercício 26.3 ★.**

Duas cargas $+q$ em $x = \pm a$ no eixo $x$. Campo no eixo $x$ para $|x| > a$ e no eixo $y$; mostre que no eixo $y$ o $E_y$ é máximo em $y = a/\sqrt2$. Esboce as linhas perto da origem.

**Solução de Exercício 26.3.**

No eixo, $|x| > a$: $E_x = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\dfrac{1}{(x - a)^2} +
\dfrac{1}{(x + a)^2}\Bigr]$, para fora. No eixo $y$ as componentes $x$ se cancelam: $E_y = \dfrac{2qy}{4\pi\varepsilon_0(y^2 + a^2)^{3/2}}$; $\dd E_y/\dd y \propto
(y^2 + a^2) - 3y^2 = 0$ em $y = a/\sqrt2$. Na origem o campo se anula; as linhas que saem de cada carga em direção à outra se curvam ao longo de $\pm y$ — uma sela.

**Exercício 26.4 ★.**

Cargas $+2q$ em $x = 0$ e $-q$ em $x = a$. Onde o campo se anula no eixo $x$? Quantas [linhas de campo](#def-b1-electrostatics-gauss-field) saem de $+2q$ para cada uma que chega em $-q$, e para onde vão as outras?

**Solução de Exercício 26.4.**

Entre as cargas os dois campos apontam para $-q$: nenhum zero. À esquerda de $+2q$, $2q/x^2 > q/(x + a)^2$ sempre. Além de $-q$, à distância $d$ dele: $2q/(a + d)^2 = q/d^2$, $a + d = \sqrt2\,d$, $d = a/(\sqrt2 - 1) = 2.4a$. Duas linhas saem de $+2q$ para cada uma que termina em $-q$; a outra metade vai para o infinito, onde o par parece uma carga $+q$.

**Exercício 26.5 ★★.**

Um disco de raio $R$ leva $\sigma$ uniformemente. A partir do resultado do anel, mostre que no seu eixo $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 +
R^2}}\Bigr)$ para $z > 0$; verifique os dois limites $z \ll R$ e $z \gg R$.

**Solução de Exercício 26.5.**

Anel de raio $a$ e largura $\dd a$: $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$, $\dd E_z =
\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}}$; integrando: $\dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\Bigl[-\dfrac{1}{\sqrt{a^2 + z^2}}\Bigr]_0^R = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}
\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$. $z \ll R$: $\sigma/2\varepsilon_0$, o plano infinito. $z \gg R$: $z/\sqrt{z^2 + R^2} \approx 1 - R^2/2z^2$, logo $E_z
\approx \sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, a carga pontual.

**Exercício 26.6 ★★.**

Um núcleo de ouro ($Z = 79$, $R = 7.0\,\mathrm{fm}$) como esfera carregada uniformemente: campo na superfície, em $R/2$ e a $1\,\mathrm{pm}$. Compare com o campo de ruptura do ar, $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 26.6.**

$Q = 79e = 1.26 \times 10^{-17}\,\mathrm{C}$; $E(R) = 8.99 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-17}/
(7 \times 10^{-15})^2 = 2.3 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; em $R/2$, metade: $1.2 \times 10^{21}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; a $1\,\mathrm{pm}$: $1.14 \times 10^{-7}/10^{-24} = 1.1 \times 10^{17}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ — $10^{15}$ vezes o campo de ruptura do ar, a uma distância em que os elétrons vivem.

**Exercício 26.7 ★★.**

Campo de um fio infinito pela [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). Um condutor de alta [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) de raio $1.0\,\mathrm{cm}$: carga linear com que o campo na sua superfície atinge o valor de ruptura $3 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ (início do efeito corona). Campo a $5\,\mathrm{m}$ nesse caso.

**Solução de Exercício 26.7.**

Cilindro de raio $r$ e comprimento $h$: $2\pi rh\,E = \lambda h/\varepsilon_0$, $E =
\lambda/2\pi\varepsilon_0r$. Corona quando $\lambda = 2\pi\varepsilon_0 rE = 2\pi \times 8.85 \times
10^{-12} \times 0.01 \times 3 \times 10^6 = 1.7\,\text{µ}\mathrm{C}/\mathrm{m}$; a $5\,\mathrm{m}$, $E = 3 \times 10^6 \times 0.01/5 = 6\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$.

**Exercício 26.8 ★★.**

Duas placas paralelas de área $1.0\,\mathrm{m}^{2}$ levam $\pm1.0\,\text{µ}\mathrm{C}$. Campo entre elas; força sobre uma das placas (o campo que age sobre ela é o da outra placa apenas — por quê?); pressão sobre as placas.

**Solução de Exercício 26.8.**

$E = \sigma/\varepsilon_0 = 10^{-6}/8.85 \times 10^{-12} = 1.1 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Uma placa não exerce força resultante sobre si mesma (as contribuições do seu próprio campo se cancelam aos pares); o campo da outra placa no lugar dela vale $\sigma/2\varepsilon_0$, logo $F = Q\sigma/2\varepsilon_0 = 10^{-6} \times 10^{-6}/(2 \times 8.85 \times 10^{-12}) =
5.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, atrativa; pressão $\sigma^2/2\varepsilon_0 = 0.056\,\mathrm{Pa}$.

**Exercício 26.9 ★★.**

Cabo coaxial: condutor interno de raio $a$ com $+\lambda$, blindagem externa de raio $b$ com $-\lambda$. Campo nas três regiões pela [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss). $a = 0.5\,\mathrm{mm}$, $b = 2.5\,\mathrm{mm}$, $\lambda = 10\,\mathrm{nC}/\mathrm{m}$: campo na superfície do condutor interno.

**Solução de Exercício 26.9.**

$r < a$: a carga do condutor interno fica na sua superfície, não há carga dentro, $E = 0$. $a < r < b$: $E = \lambda/2\pi\varepsilon_0r$. $r > b$: carga encerrada $\lambda - \lambda = 0$, $E = 0$ — o cabo não irradia campo estático algum. Em $r = a$: $2 \times 8.99 \times 10^9 \times 10^{-8}/(5 \times 10^{-4}) =
3.6 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Exercício 26.10 ★★★.**

Uma casca esférica espessa $R_1 < r < R_2$ leva $Q$ uniformemente no seu volume. Campo nas três regiões; verifique a continuidade em $R_1$ e $R_2$; onde ele é máximo? Esboce $E(r)$. Uma carga positiva colocada na cavidade: que força ela sente?

**Solução de Exercício 26.10.**

$\rho = 3Q/4\pi(R_2^3 - R_1^3)$. $r < R_1$: $E = 0$. $R_1 < r < R_2$: $4\pi r^2E =
\rho\,\tfrac43\pi(r^3 - R_1^3)/\varepsilon_0$, logo $E = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\,
\dfrac{r^3 - R_1^3}{R_2^3 - R_1^3}$. $r > R_2$: $Q/4\pi\varepsilon_0r^2$. Em $R_1$ os dois lados dão $0$; em $R_2$ os dois dão $Q/4\pi\varepsilon_0R_2^2$. Na casca, $E
\propto r - R_1^3/r^2$ cresce, de modo que o máximo está em $R_2$, depois do qual ele cai como $1/r^2$. Na cavidade o campo é nulo: uma carga ali não sente força alguma — onde quer que esteja.

**Exercício 26.11 ★★★.**

*A gravidade dentro da Terra.* Núcleo: raio $3480\,\mathrm{km}$, densidade $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; manto até $6370\,\mathrm{km}$, densidade $4500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$. (a) Massa do núcleo, do manto e total (compare com $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$). (b) $g$ na superfície e na fronteira núcleo–manto. (c) Mostre que $g$ cresce com a profundidade no manto se a densidade do manto for inferior a $\tfrac23$ da densidade média do que está abaixo, e verifique.

**Solução de Exercício 26.11.**

(a) Núcleo $\tfrac43\pi(3.48 \times 10^6)^3 \times 11000 = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; manto $\tfrac43\pi[(6.37 \times 10^6)^3 - (3.48 \times 10^6)^3] \times 4500 = 4.08 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$; total $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, com erro de $1\%$. (b) Superfície $GM/R^2 = 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; fronteira $6.67 \times 10^{-11} \times 1.94 \times 10^{24}/(3.48 \times 10^6)^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $g = GM(r)/r^2$ com $\dd M = 4\pi r^2\rho_m\,\dd r$: $\dd g/\dd r = 4\pi G\rho_m - 2GM(r)/r^3 = 4\pi G[\rho_m - \tfrac23\bar\rho(r)]$, onde $\bar\rho(r) = M(r)/\tfrac43\pi r^3$ é a densidade média abaixo de $r$. $g$ cresce com a profundidade ($\dd g/\dd r < 0$) se e só se $\rho_m < \tfrac23\bar\rho$. Logo abaixo da superfície $\bar\rho = 5500$, $\tfrac23\bar\rho = 3700 < 4500$: $g$ primeiro cai um pouco; na fronteira do núcleo $\bar\rho = 11000$, $7300 >
4500$: ali ele sobe, até $10.7$.

**Exercício 26.12 ★★★.**

*O átomo de Thomson.* Modele o átomo de hidrogênio como uma esfera positiva homogênea de carga $+e$ e raio $R = 0.10\,\mathrm{nm}$ com o elétron livre dentro dela. (a) Força sobre o elétron à distância $r$ do centro. (b) Mostre que ele oscila harmonicamente e calcule a frequência e o [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) da luz que ele emitiria. (c) Compare com as linhas ultravioletas do hidrogênio ($122\,\mathrm{nm}$ e menores) e comente o que o modelo acerta e o que erra ([Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/30-introducao-a-fisica-quantica#ch-b1-quantum-introduction)).

**Solução de Exercício 26.12.**

(a) Dentro, $E = er/4\pi\varepsilon_0R^3$ para fora; sobre o elétron $\vect F =
-\dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0R^3}\,\vect r$: uma mola. (b) $\omega = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0mR^3}
= \sqrt{2.31 \times 10^{-28}/(9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-30})} = 1.6 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $f = 2.5 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$, $\lambda = c/f = 120\,\mathrm{nm}$. (c) Surpreendentemente perto da linha de $122\,\mathrm{nm}$: o tamanho e a intensidade do átomo estão certos. Mas o modelo dá uma única frequência, e não uma série, e o núcleo não é uma bolinha de $0.1\,\mathrm{nm}$, e sim um ponto de $10^{-15}$ m — e um elétron clássico em órbita irradiaria toda a sua energia em nanossegundos. O conserto está no [Capítulo 30](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/30-introducao-a-fisica-quantica#ch-b1-quantum-introduction).

## 26.7 Problema: a Terra elétrica

**Problema 26.1.**

Problema de fim de semana — o campo de bom tempo, a nuvem de tempestade, a descarga do raio e a lei de Gauss aplicada à gravitação

Dados: $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$, $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, raio da Terra $R_E = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, superfície $5.1 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{2}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{SI}$, $M_E = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Parte I — O campo de bom tempo.** Com tempo claro o campo no solo vale $E_0 = 100\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, apontando para *baixo*.

1. Sentido da força sobre um elétron livre no solo; sinal da carga da Terra.
2. Trate a Terra como uma esfera carregada uniformemente: pela [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) , a sua carga total.
3. Densidade superficial de carga do solo; número de elétrons em excesso por centímetro quadrado.
4. Força sobre um grão de poeira de massa $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ que leva $100$ [cargas elementares](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) ; compare com o seu peso.
5. As medidas mostram o campo caindo a cerca de $5\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ a $10\,\mathrm{km}$ . Aplique a [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) a uma coluna vertical de seção $1\,\mathrm{m}^{2}$ entre o solo e $10\,\mathrm{km}$ : sinal e quantidade da carga que o ar contém por metro quadrado.
6. Densidade volumétrica média de carga desse ar e o número correspondente de [cargas elementares](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) por metro cúbico. (O ar contém cerca de $10^9$ íons de cada sinal por metro cúbico: que fração de desequilíbrio é essa?)
7. O ar tem uma pequena condutividade $\gamma = 2 \times 10^{-14}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , de modo que uma densidade de corrente $\gamma E_0$ escoa para baixo. Corrente total de bom tempo sobre o globo; tempo que ela levaria para neutralizar a carga da Terra. Conclua.

**Parte II — A nuvem de tempestade.** Modele uma nuvem de tempestade como dois discos horizontais de raio $R = 3\,\mathrm{km}$: $-Q$ à altitude $3\,\mathrm{km}$ e $+Q$ a $9\,\mathrm{km}$, com $Q = 40\,\mathrm{C}$.

8. Campo no eixo de um anel de raio $a$ que leva $q$ , à distância $z$ do seu centro (simetria e depois soma).
9. Deduza, somando sobre anéis, o campo no eixo de um disco de raio $R$ e carga superficial $\sigma$ : $E_z = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2 + R^2}}\Bigr)$ .
10. Limites $z \ll R$ e $z \gg R$ ; interprete cada um.
11. Carga superficial do disco de baixo; campo que ele cria no solo exatamente por baixo (sentido e valor).
12. Campo do disco de cima no mesmo ponto; campo resultante no solo sob a tempestade. O solo é condutor e as suas cargas induzidas mais ou menos dobram o resultado (admitido): compare com os $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ medidos sob as tempestades e com o valor de bom tempo.
13. [Fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) do campo através de uma superfície fechada que encerre toda a nuvem; e através de uma que encerre só o disco de baixo.
14. Campo a meio caminho entre os dois discos ( $6\,\mathrm{km}$ ) e o seu sentido; compare com o campo de ruptura do ar naquela altitude, cerca de $1.5 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ .
15. Se os $40\,\mathrm{C}$ estivessem concentrados numa esfera de raio $500\,\mathrm{m}$ : campo na sua superfície. Por que a iniciação de um raio ainda é uma questão em aberto?

**Parte III — A descarga.** Uma descarga de retorno leva $5\,\mathrm{C}$ ao solo em $50\,\text{µ}\mathrm{s}$ por um canal de $3\,\mathrm{km}$ de comprimento; tome o campo ao longo do canal como $10^5$ V/m.

16. Corrente média.
17. Trabalho da força elétrica sobre a carga transferida; potência durante a descarga; compare com o consumo médio de potência da humanidade, cerca de $2 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ .
18. O canal tem raio de $2\,\mathrm{cm}$ : massa de ar dentro dele ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ) e temperatura que ele atingiria se toda a energia o aquecesse a volume constante ( $c_V =  720\,\mathrm{J}/(\mathrm{kg}\,\mathrm{K})$ ). As temperaturas reais do canal ficam perto de $30\,000\,\mathrm{K}$ : para onde vai o resto?
19. O trovão: atraso por quilômetro, e por que o som de um canal de $3\,\mathrm{km}$ ribomba por segundos.
20. No mundo todo ocorrem cerca de $50$ descargas nuvem–solo por segundo: corrente que elas levam para baixo; compare com a Parte I e complete o quadro do “circuito global”.

**Parte IV — A [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) aplicada à [gravitação](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#def-b1-central-forces-gravitation).**

21. Escreva a [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) para o [campo gravitacional](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-weight) $\vect g$ e justifique a constante pelo caso de uma massa pontual.
22. Terra homogênea: $g(r)$ dentro; valor em $r = R_E/2$ .
23. Terra real, com núcleo de raio $3480\,\mathrm{km}$ e densidade $11\,000\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : $g$ na fronteira núcleo–manto; compare com a superfície.
24. Uma pedra solta num túnel sem atrito que atravessa uma Terra homogênea: equação do movimento, período da oscilação e velocidade no centro.
25. Resuma: em cada uma das quatro partes, o que a [lei de Gauss](#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss) substituiu, e que quatro números vale a pena guardar?

**Solução de Problema 26.1.**

**1.** $\vect F = -e\vect E$: para cima. Um campo dirigido para baixo na superfície é o campo de uma carga negativa: a Terra é negativa.

**2.** Esfera de raio $R_E$, com $E_n = -100$: $Q = 4\pi\varepsilon_0R_E^2E_n =
1.11 \times 10^{-10} \times 4.06 \times 10^{13} \times (-100) = -4.5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$.

**3.** $\sigma = \varepsilon_0E_n = -8.9 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; $8.9 \times 10^{-10}/1.6 \times
10^{-19} = 5.5 \times 10^9$ elétrons por metro quadrado, $5.5 \times 10^5$ por centímetro quadrado.

**4.** $F = 100e \times 100 = 1.6 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$; peso $10^{-9} \times 9.8 =
9.8 \times 10^{-9}\,\mathrm{N}$: seis milhões de vezes maior.

**5.** Normais para fora: no topo $E_n = -5$, embaixo $E_n = +100$, nos lados zero: $\Phi = 95\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$, logo $Q = 95\varepsilon_0 = +8.4 \times 10^{-10}\,\mathrm{C}$ por metro quadrado — carga espacial positiva, que quase cancela os $-8.9 \times 10^{-10}$ do solo.

**6.** $\rho = 8.4 \times 10^{-10}/10^4 = 8.4 \times 10^{-14}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}$: $5 \times 10^5$ [cargas elementares](#def-b1-electrostatics-gauss-charge) por metro cúbico; contra $10^9$ íons de cada sinal, um desequilíbrio de $5 \times 10^{-4}$.

**7.** $J = \gamma E_0 = 2 \times 10^{-12}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$; $I = J \times 5.1 \times 10^{14} =
1.0\,\mathrm{kA}$; $Q/I = 4.5 \times 10^5/1000 = 450\,\mathrm{s}$. A Terra ficaria neutra em oito minutos: alguma coisa a recarrega continuamente.

**8.** O eixo está em todos os planos que o contêm, todos [planos de simetria](#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry): $\vect E$ é axial. Cada $\dd q$ dá $\dd q/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)$ ao longo da sua própria direção, cuja parte axial é a fração $z/\sqrt{a^2 + z^2}$: $E_z = qz/4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)^{3/2}$.

**9.** $\dd q = 2\pi\sigma a\,\dd a$: $E_z = \dfrac{\sigma z}{2\varepsilon_0}\displaystyle\int_0^R
\dfrac{a\,\dd a}{(a^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1 - \dfrac{z}{\sqrt{z^2
+ R^2}}\Bigr)$.

**10.** $z \ll R$: $\sigma/2\varepsilon_0$, o plano infinito (o valor de Gauss); $z \gg R$: $\sigma R^2/4\varepsilon_0z^2 = Q/4\pi\varepsilon_0z^2$, a carga pontual.

**11.** $\sigma = -40/(\pi \times 9 \times 10^6) = -1.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}$; $\sigma/2\varepsilon_0 =
8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; em $z = 3\,\mathrm{km}$, $1 - 3/\sqrt{18} = 0.29$: $E =
2.3 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, apontando para *cima*, rumo à carga negativa.

**12.** Disco de cima, $z = 9\,\mathrm{km}$: $8.0 \times 10^4 \times (1 - 9/\sqrt{90}) =
4.1 \times 10^{3}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ para baixo. Resultante $1.9 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ para cima, cerca de $4 \times 10^4$ com as cargas induzidas do solo: é a [ordem de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom) certa dos $10\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ medidos (a carga real é mais espalhada e em parte blindada); invertido e cem vezes o campo de bom tempo.

**13.** Nuvem inteira: carga líquida nula, [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) nulo. Só o disco de baixo: $-Q/\varepsilon_0 = -40/8.85 \times 10^{-12} = -4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{V}\,\mathrm{m}$.

**14.** Cada disco está a $3\,\mathrm{km}$ e dá $2.3 \times 10^4$; o de cima ($+$) empurra para baixo e o de baixo ($-$) puxa para baixo: $4.7 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ para baixo — trinta vezes abaixo da ruptura.

**15.** $Q/4\pi\varepsilon_0R^2 = 8.99 \times 10^9 \times 40/(2.5 \times 10^5) =
1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: só uma carga apertada em meio quilômetro alcança a ruptura, e os campos medidos dentro das nuvens são dez vezes fracos demais. O reforço local nas gotas e no gelo, ou elétrons em fuga semeados por raios cósmicos, são os candidatos — como um relâmpago começa ainda se discute.

**16.** $I = 5/(5 \times 10^{-5}) = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{A}$.

**17.** $W = QEd = 5 \times 10^5 \times 3000 = 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ($420\,\mathrm{kW}\mathrm{h}$); $P = 1.5 \times 10^9/5 \times 10^{-5} = 3 \times 10^{13}\,\mathrm{W}$ — uma vez e meia a potência de toda a humanidade, durante cinquenta microssegundos.

**18.** Volume $\pi(0.02)^2 \times 3000 = 3.8\,\mathrm{m}^{3}$, massa $4.5\,\mathrm{kg}$; $\Delta T = 1.5 \times 10^9/(4.5 \times 720) = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{K}$ se nada escapasse. O canal explode para fora (o choque é o trovão), irradia luz e ondas de rádio, ioniza e dissocia o ar: aquecer o canal final a $3 \times 10^4$ K é uma pequena parte da conta.

**19.** $2.9\,\mathrm{s}$ por quilômetro. O som parte de todos os pontos de um canal de $3\,\mathrm{km}$ ao mesmo tempo, de distâncias que diferem de quilômetros: ele chega espalhado por vários segundos — o ribombo.

**20.** $50 \times 5 = 250\,\mathrm{A}$ levados ao solo; com as correntes mais discretas das tempestades (descarga por pontas sob as nuvens, chuva carregada), o total alcança o quiloampère da Parte I: as tempestades são os geradores de um circuito global cujo caminho de volta é o ar de bom tempo.

**21.** $\Phi_{\text{saída}}(\vect g) = -4\pi GM_{\text{int}}$: para uma massa pontual, $g = -GM/r^2$ numa esfera de área $4\pi r^2$, [fluxo](#def-b1-electrostatics-gauss-flux) $-4\pi GM$, independente de $r$; o resto segue como no caso de Coulomb.

**22.** $g(r) = g_0r/R_E$; em $R_E/2$: $4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$.

**23.** $M_{\text{núcleo}} = 1.94 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $g = GM_{\text{núcleo}}/R_c^2 =
10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — maior do que na superfície: o manto acima é mais leve do que a média do que está por baixo.

**24.** $m\ddot x = -mg_0x/R_E$: $\omega = \sqrt{g_0/R_E} = 1.24 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 2\pi/\omega = 5060\,\mathrm{s} = 84\,\mathrm{min}$, $v_{\max} = \omega R_E =
7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — a [velocidade orbital](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#thm-b1-central-forces-circular) de um satélite rasante, cujo período é o mesmo.

**25.** Ela substituiu a soma sobre cada carga da Terra (I), sobre os íons do ar (I) e sobre cada casca de rocha (IV) — e na II fixou os limites da soma sobre o disco. Guarde: $-5 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ e $1\,\mathrm{kA}$ para a Terra de bom tempo; $40\,\mathrm{C}$ e $10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ sob uma tempestade; $10^{5}\,\mathrm{A}$ e $10^{9}\,\mathrm{J}$ por descarga; $10.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ na fronteira do núcleo.