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title: "Magnetostática: campo, forças e dipolos"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 28
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos
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# Capítulo 28 — Magnetostática: campo, forças e dipolos

Uma agulha de bússola gira quando um fio próximo conduz corrente: essa observação de Ørsted, em 1820, uniu duas ciências que haviam crescido separadas, a eletricidade e o magnetismo, e em poucos meses Ampère tinha a lei da força entre correntes, e Biot e Savart, o campo de um fio. Este capítulo é a estática do [campo magnético](#def-b1-magnetostatics-field): o que as correntes criam (mapas de campo, a [lei de Biot–Savart](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart) e o teorema de Ampère, o gêmeo magnético da [lei de Gauss](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#thm-b1-electrostatics-gauss-gauss)), o que o campo faz às correntes (a [força de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace), que move todo motor e todo instrumento de medida) e o [dipolo magnético](#def-b1-magnetostatics-moment), a espira de corrente que explica a bússola, o ímã e o campo da própria Terra.

![O mais antigo instrumento do magnetismo: uma agulha de bússola é um pequeno dipolo magnético que se alinha com o campo da Terra.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-c52946ef6b63.jpg)

*O mais antigo instrumento do magnetismo: uma agulha de bússola é um pequeno [dipolo magnético](#def-b1-magnetostatics-moment) que se alinha com o campo da Terra.*

![A experiência de Ørsted: feche o circuito e a agulha gira — uma corrente cria um campo magnético que circula o fio.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-2e2eacba0aff.jpg)

*A experiência de Ørsted: feche o circuito e a agulha gira — uma corrente cria um [campo magnético](#def-b1-magnetostatics-field) que circula o fio.*

## 28.1 Fontes e mapas de campo

**Definição 28.1 (Campo magnetostático).**

Correntes permanentes (cargas em movimento permanente) criam em todo ponto um *campo magnético* $\vect B$ (tesla, $\mathrm{T}$), definido pela força $q\vect v\wedge\vect B$ que ele exerce sobre uma carga de prova em movimento ([Definição 17.1](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/17-particulas-carregadas-em-campos-e-e-b#def-b1-charged-particles-lorentz)). As suas *[linhas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field)* são tangentes a $\vect B$ e orientadas segundo ele. Os ímãs permanentes criam campos da mesma natureza, a partir das correntes microscópicas dos seus átomos. [Ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom): a Terra, $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$; um ímã de geladeira, $0.01\,\mathrm{T}$; um aparelho de ressonância magnética, de $1.5\,\mathrm{T}$ a $3\,\mathrm{T}$; os maiores campos permanentes de laboratório, $45\,\mathrm{T}$.

**Proposição 28.2 (Mapas de campo).**

1. Um fio retilíneo: círculos centrados no fio, em planos perpendiculares a ele, orientados pela *regra da mão direita* (polegar no sentido da corrente, dedos no sentido de $\vect B$ ).
2. Uma espira circular: linhas que a atravessam ao longo do seu eixo e se fecham por fora; de longe, o mapa de um pequeno ímã.
3. Um solenoide longo: linhas paralelas, densas e uniformes dentro; quase nenhum campo fora; é o mapa de um ímã em barra, cuja face “norte” é aquela de onde as linhas saem.
4. As [linhas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) magnético não têm começo nem fim: elas se fecham sobre si mesmas ou vão para o infinito. Equivalentemente, *o fluxo de $\vect B$ através de qualquer superfície fechada é nulo* — não existem cargas magnéticas.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Três mapas de campo. Um ponto é uma corrente que vem para o leitor, e uma cruz, uma corrente que se afasta. As linhas de um fio são círculos; as de uma espira a atravessam e se fecham por fora; as de um solenoide longo são retas e uniformes dentro e se fecham bem longe, onde o campo é fraco — em todos os casos elas não têm nem fonte nem sumidouro.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-142d8a03d4c7.svg)

*Três mapas de campo. Um ponto é uma corrente que vem para o leitor, e uma cruz, uma corrente que se afasta. As linhas de um fio são círculos; as de uma espira a atravessam e se fecham por fora; as de um solenoide longo são retas e uniformes dentro e se fecham bem longe, onde o campo é fraco — em todos os casos elas não têm nem fonte nem sumidouro.*

**Proposição 28.3 (Simetrias de B→\vect BB).**

$\vect B$ se comporta na reflexão especular de modo *oposto* a $\vect E$ (ele é um *pseudovetor*, construído a partir de um produto vetorial): num ponto de um plano de *simetria* das correntes, $\vect B$ é *perpendicular* ao plano; num ponto de um plano de *antissimetria* (a imagem especular inverte as correntes), $\vect B$ está *contido* no plano. As invariâncias se transferem como para $\vect E$.

**Demonstração.** O campo de um elemento de corrente é $\propto I\,\dd\vect l\wedge\vect e_r$ (veja abaixo); um espelho inverte um dos fatores de um produto vetorial em relação à imagem de um vetor verdadeiro, de modo que a imagem de $\vect B$ é o oposto da imagem especular da flecha. Num [plano de simetria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) $\vect B$ tem de ser igual ao oposto da sua própria imagem especular, e portanto normal ao plano; num [plano de antissimetria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), o oposto do oposto: contido no plano. ∎

**Exemplo 28.4 (Usando as simetrias).**

Para um fio retilíneo, todo plano que contém o fio é um [plano de simetria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry), de modo que em cada ponto $\vect B$ é perpendicular ao plano que passa pelo fio e pelo ponto: ortorradial, $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$ por invariância ao longo e em torno do fio. Para uma espira, o plano da espira é um [plano de simetria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry): nele $\vect B$ é normal à espira; o eixo está contido em todos os [planos de antissimetria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) que o contêm: no eixo $\vect B$ é axial.

## 28.2 A lei de Biot–Savart

**Teorema 28.5 (Biot–Savart).**

Um circuito que conduz a corrente $I$ cria em $M$ o campo

$$
\vect B(M) = \frac{\mu_0}{4\pi}\sum_{\text{circuito}} \frac{I\,\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}}{PM^2} ,
$$

soma sobre os elementos $\dd\vect l$ do circuito nos pontos $P$, orientados no sentido da corrente, sendo $\vect e_{PM}$ o vetor unitário de $P$ para $M$ e $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}$ a *[permeabilidade do vácuo](#thm-b1-magnetostatics-biotsavart)*. Cada elemento contribui com um campo perpendicular a si mesmo e à reta $PM$, que cai como $1/PM^2$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Proposição 28.6 (Fio, espira, solenoide).**

1. Fio retilíneo infinito, à distância $r$ : $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ .
2. Espira circular de raio $R$ , no seu eixo à distância $z$ do centro: $B_z = \dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}} = \dfrac{\mu_0I}{2R}  \sin^3\alpha$ , sendo $\alpha$ o semiângulo sob o qual a espira é vista de $M$ ; no centro, $B = \mu_0I/2R$ .
3. Solenoide de $n$ espiras por metro, no seu eixo: $B = \tfrac12\mu_0nI  (\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$ , sendo $\alpha_1, \alpha_2$ os ângulos sob os quais se veem as duas extremidades; para um solenoide longo, $B = \mu_0nI$ dentro, e metade disso numa extremidade.

**Demonstração.** (1) $M$ à distância $r$ do fio, $P$ na abscissa $z$ ao longo dele: $\dd\vect l\wedge\vect e_{PM}$ tem módulo $\dd z\,\sin\beta = \dd z\cdot r/PM$ com $PM = \sqrt{r^2 + z^2}$, e todas as contribuições são ortorradiais: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\dfrac{r\,\dd z}{(r^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\,\dfrac{2}{r}$. (2) Cada elemento da espira está à mesma distância $\sqrt{R^2 + z^2}$ de $M$, perpendicular a $\vect e_{PM}$; o seu campo tem módulo $\mu_0I\,\dd l/4\pi(R^2 + z^2)$, e só a componente axial, a fração $R/\sqrt{R^2 + z^2}$ dele, sobrevive à soma ao longo da espira: $B_z = \mu_0I\cdot2\pi R\cdot R/4\pi(R^2 +
z^2)^{3/2}$. (3) Uma fatia $\dd z'$ de solenoide é uma espira de corrente $nI\,\dd z'$; com $z' - z = R/\tan\alpha$, $\dd z' = -R\,\dd\alpha/\sin^2\alpha$, e $B = \dfrac{\mu_0nI}{2}\displaystyle\int\sin^3\alpha\,\dfrac{\dd\alpha}{\sin^2\alpha}$ sobre o solenoide $= \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)$; infinitamente longo, $\alpha_1 \to 0$, $\alpha_2 \to \pi$. ∎

![Os três cálculos de Biot–Savart do capítulo: o elemento l de um fio e a sua contribuição em M, perpendicular ao plano da figura; a espira vista de M sob o semiângulo ; e o solenoide, cujas extremidades são vistas sob _1 e _2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-c3e37e2542ba.svg)

*Os três cálculos de Biot–Savart do capítulo: o elemento $\dd\vect l$ de um fio e a sua contribuição em $M$, perpendicular ao plano da figura; a espira vista de $M$ sob o semiângulo $\alpha$; e o solenoide, cujas extremidades são vistas sob $\alpha_1$ e $\alpha_2$.*

**Exemplo 28.7 (Ordens de grandeza).**

Um fio de $10\,\mathrm{A}$ a $1\,\mathrm{cm}$: $B = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 =
2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$, quatro vezes o campo da Terra — a bússola gira mesmo. Uma bobina de $100$ espiras, raio $5\,\mathrm{cm}$, com $2\,\mathrm{A}$: $\mu_0NI/2R =
2.5\,\mathrm{mT}$ no seu centro. Um solenoide de $1000$ espiras por metro a $5\,\mathrm{A}$: $6.3\,\mathrm{mT}$; com um núcleo de ferro de permeabilidade relativa $1000$, seguiriam vários [tesla](#def-b1-magnetostatics-field), se o ferro não saturasse perto de $2\,\mathrm{T}$ — o teto de todo eletroímã, e é por isso que os campos mais fortes vêm de bobinas supercondutoras sem ferro.

## 28.3 A lei de Ampère

**Teorema 28.8 (Ampère).**

A circulação de $\vect B$ ao longo de qualquer curva fechada orientada $\Gamma$ é igual a $\mu_0$ vezes a corrente total que atravessa qualquer superfície apoiada em $\Gamma$, contada positivamente quando ela atravessa no sentido dado pela regra da mão direita a partir da orientação de $\Gamma$:

$$
\oint_\Gamma \vect B\cdot\dd\vect l = \mu_0 I_{\text{enlaçada}} .
$$

**Demonstração.** Para um círculo de raio $r$ centrado num fio retilíneo, $\vect B$ é tangente e de módulo $\mu_0I/2\pi r$ em toda parte, de modo que a circulação vale $2\pi r \times \mu_0I/2\pi r = \mu_0I$, independente de $r$; para uma curva que não envolve o fio, as contribuições se cancelam. O caso geral fica admitido (volume do segundo ano). ∎

**Método 28.9 (Usar a lei de Ampère).**

Como no caso de Gauss: (1) as simetrias dão a direção de $\vect B$ e a variável de que ele depende; (2) escolha uma *curva amperiana* que passe por $M$ e sobre a qual $\vect B$ seja tangente com módulo constante ou então perpendicular; (3) conte a corrente que a atravessa; (4) isole. Funciona para fios e cilindros infinitos, solenoides e toroides infinitos, e lâminas de corrente infinitas.

**Proposição 28.10 (Cilindro, solenoide, toroide).**

1. Um fio cilíndrico de raio $a$ que conduz $I$ uniformemente: $B = \dfrac{\mu_0Ir}{2\pi a^2}$ dentro e $\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$ fora — o máximo fica na superfície.
2. Um solenoide infinito de $n$ espiras por metro: $\vect B = \mu_0nI\,  \vect e_z$ uniforme dentro e $\vect 0$ fora, qualquer que seja a forma da sua seção.
3. Um toroide de $N$ espiras: $B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}$ dentro dos enrolamentos e nulo fora — é um solenoide fechado sobre si mesmo, sem campo disperso.

**Demonstração.** (1) Círculo de raio $r$: $2\pi rB = \mu_0I(r/a)^2$ ou $\mu_0I$. (2) $\vect B$ é axial por simetria e, por Ampère num retângulo com os dois lados longos fora, uniforme fora, e portanto nulo (ele se anula no infinito); um retângulo com um lado longo dentro, de comprimento $\ell$, dá $B\ell =
\mu_0n\ell I$. (3) Círculo de raio $r$ dentro do toro: $2\pi rB =
\mu_0NI$; fora, a corrente encerrada é nula. ∎

![À esquerda: o campo de um fio espesso, linear dentro e em 1/r fora, máximo na superfície. À direita: o retângulo amperiano que dá o campo de um solenoide infinito — só o lado que fica dentro contribui para a circulação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-8f6e5622f97f.svg)

![À esquerda: o campo de um fio espesso, linear dentro e em 1/r fora, máximo na superfície. À direita: o retângulo amperiano que dá o campo de um solenoide infinito — só o lado que fica dentro contribui para a circulação.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-926a720c207a.svg)

*À esquerda: o campo de um fio espesso, linear dentro e em $1/r$ fora, máximo na superfície. À direita: o retângulo amperiano que dá o [campo de um solenoide](#prop-b1-magnetostatics-three) infinito — só o lado que fica dentro contribui para a circulação.*

## 28.4 A força de Laplace

**Teorema 28.11 (Força de Laplace).**

Um elemento de condutor $\dd\vect l$ que conduz $I$ num campo $\vect B$ recebe a força $\dd\vect F = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$; um segmento retilíneo $\vect L$ num campo uniforme recebe $\vect F = I\vect L\wedge\vect B$, de módulo $ILB\sin\theta$, perpendicular ao fio e ao campo.

**Demonstração.** Os portadores de carga em $\dd\vect l$ (em número $n\,S\,\dd l$, de carga $q$ e velocidade de deriva $\vect v$) sentem cada um $q\vect v\wedge\vect B$; a sua soma vale $nSq\,\dd l\,\vect v\wedge\vect B = I\,\dd\vect l\wedge\vect B$, pois $I = nqvS$ e $\vect v$ é paralelo a $\dd\vect l$. Os portadores transmitem a força à rede cristalina do fio pelas suas colisões. ∎

**Proposição 28.12 (Força entre fios paralelos).**

Dois fios longos e paralelos separados de $d$, conduzindo $I_1$ e $I_2$, se atraem se as correntes forem paralelas e se repelem se forem antiparalelas, com a força por unidade de comprimento

$$
\frac{F}{\ell} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d} .
$$

Dois fios a $1\,\mathrm{m}$ um do outro conduzindo $1\,\mathrm{A}$ sentem $2 \times 10^{-7}$ N por metro — a definição do [ampère](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-current) de 1948 a 2019, e a origem do valor $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$.

**Demonstração.** O fio 1 cria $\mu_0I_1/2\pi d$ no fio 2, perpendicular a ele; a [força de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre um comprimento $\ell$ do fio 2 vale $I_2\ell \times \mu_0I_1/2\pi d$, dirigida ao fio 1 quando as correntes são paralelas (verifique com a regra da mão direita). ∎

![A força de Laplace: entre fios paralelos (à esquerda e no meio) e sobre uma barra deslizante que conduz corrente através de um campo (à direita) — os trilhos de Laplace, cujo balanço de energia é assunto do .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-0a2718f519d5.svg)

*A [força de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace): entre fios paralelos (à esquerda e no meio) e sobre uma barra deslizante que conduz corrente através de um campo (à direita) — os trilhos de Laplace, cujo balanço de energia é assunto do [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/29-inducao-eletromagnetica-e-aplicacoes#ch-b1-induction).*

## 28.5 O dipolo magnético

**Definição 28.13 (Momento magnético).**

Uma espira plana de área $S$ que conduz $I$, orientada pela regra da mão direita (a normal $\vect n$ segundo o polegar quando os dedos seguem $I$), tem *momento magnético* $\vect m = IS\,\vect n$ ($\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$); para $N$ espiras, $NIS\,\vect n$. Vista de distâncias $r \gg \sqrt S$, a espira é um *dipolo magnético*: o seu campo tem exatamente a forma do campo do [dipolo elétrico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/27-potencial-eletrico-condutores-e-capacitores#def-b1-potential-capacitors-dipole) com $\vect p/\varepsilon_0 \to \mu_0\vect m$:

$$
B_r = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2m\cos\theta}{r^3}, \qquad
B_\theta = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{m\sin\theta}{r^3} .
$$

Um ímã em barra, um átomo, a Terra são dipolos magnéticos: o momento da Terra vale $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, e o de um elétron, $9.3 \times 10^{-24}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ (o magnéton de Bohr).

**Demonstração.** No eixo, o campo da espira $\mu_0IR^2/2z^3$ para $z \gg R$ é igual a $\mu_0 \cdot 2m/4\pi z^3$ com $m = I\pi R^2$, coincidindo com $B_r$ em $\theta = 0$; a forma angular completa fica admitida. ∎

**Teorema 28.14 (Dipolo num campo).**

Um [momento magnético](#def-b1-magnetostatics-moment) $\vect m$ num campo uniforme $\vect B$ não sente força resultante, mas sim um [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $\vect\Gamma = \vect m\wedge\vect B$ que o alinha com o campo, e tem a [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) $E_p = -\vect m\cdot\vect B$. Num campo não uniforme ele é puxado para a região de campo intenso quando está alinhado (e empurrado para longe quando antialinhado).

**Demonstração.** Para uma espira retangular $a \times b$ com $\vect n$ fazendo o ângulo $\theta$ com $\vect B$: as [forças de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre os dois lados de comprimento $b$ paralelos ao eixo de rotação valem $\pm IbB$, opostas e separadas de $a\sin\theta$: um binário de momento $IabB\sin\theta = mB\sin\theta$, que tende a reduzir $\theta$; as forças sobre os outros dois lados são opostas e colineares. Energia: $\Gamma = -\dd E_p/\dd\theta$ com $\Gamma = -mB\sin\theta$ dá $E_p = -mB\cos\theta$. Toda espira plana é uma soma de pequenos retângulos; o caso não uniforme fica admitido. ∎

![À esquerda: uma espira de corrente num campo uniforme, vista ao longo do seu eixo de rotação — as forças de Laplace sobre os dois lados formam um binário que alinha o momento com o campo. À direita: as linhas de campo de um ímã em barra são as de um dipolo magnético, de forma idêntica às do dipolo elétrico, saindo da face norte e voltando à sul.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/fig-1bb05e600251.svg)

*À esquerda: uma espira de corrente num campo uniforme, vista ao longo do seu eixo de rotação — as [forças de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre os dois lados formam um binário que alinha o momento com o campo. À direita: as [linhas de campo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#def-b1-electrostatics-gauss-field) de um ímã em barra são as de um [dipolo magnético](#def-b1-magnetostatics-moment), de forma idêntica às do [dipolo elétrico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/27-potencial-eletrico-condutores-e-capacitores#def-b1-potential-capacitors-dipole), saindo da face norte e voltando à sul.*

**Exemplo 28.15 (A bússola e a Terra).**

Uma agulha de bússola é um pequeno ímã, de momento $m \sim 0.1\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$; na componente horizontal do campo da Terra, $B_h \approx 2 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $mB_h\sin\theta$ a vira para o norte, e ela oscila em torno do norte com período $2\pi\sqrt{J/mB_h} \sim 1\,\mathrm{s}$ ([Exercício 28.9](#exo-b1-magnetostatics-9)). O dipolo da própria Terra, $8 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$, equivale a uma corrente de alguns bilhões de [ampères](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-current) circulando no núcleo de ferro líquido; o campo que ele faz na superfície é o mais fraco do capítulo e foi o primeiro que alguém usou.

## 28.6 Exercícios

**Exercício 28.1 ★.**

Campo a $1.0\,\mathrm{cm}$ de um fio retilíneo que conduz $10\,\mathrm{A}$; corrente necessária para chegar a $1\,\mathrm{T}$ nessa distância; distância em que o campo de um fio de $100\,\mathrm{A}$ iguala os $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ da Terra.

**Solução de Exercício 28.1.**

$B = \mu_0I/2\pi r = 2 \times 10^{-7} \times 10/0.01 = 2 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$. Para $1\,\mathrm{T}$: $I = 2\pi rB/\mu_0 = 5 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$. O valor da Terra em $r = 2 \times 10^{-7} \times
100/5 \times 10^{-5} = 0.4\,\mathrm{m}$.

**Exercício 28.2 ★.**

Campo no centro de uma bobina de $100$ espiras, raio $5.0\,\mathrm{cm}$, conduzindo $2.0\,\mathrm{A}$; e no seu eixo a $5.0\,\mathrm{cm}$ e a $50\,\mathrm{cm}$ do centro.

**Solução de Exercício 28.2.**

Centro: $\mu_0NI/2R = 4\pi \times 10^{-7} \times 200/0.1 = 2.5\,\mathrm{mT}$. Em $z = R$: $\times(R^2/2R^2)^{3/2} = 2^{-3/2}$: $0.89\,\mathrm{mT}$. Em $z = 10R$: $\times(1/101)^{3/2}
= 10^{-3}$: $2.5\,\text{µ}\mathrm{T}$, já a lei dipolar em $1/z^3$.

**Exercício 28.3 ★.**

Um solenoide de $1000$ espiras por metro conduz $5.0\,\mathrm{A}$: campo dentro, longe das extremidades, e bem na extremidade. Número de espiras de fio de $0.5\,\mathrm{mm}$ que se pode enrolar por metro numa única camada, e o campo então a $5\,\mathrm{A}$.

**Solução de Exercício 28.3.**

$B = \mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 5 = 6.3\,\mathrm{mT}$; na extremidade, metade: $3.1\,\mathrm{mT}$. Fio de $0.5\,\mathrm{mm}$: $2000$ espiras por metro, logo $12.6\,\mathrm{mT}$ a $5\,\mathrm{A}$.

**Exercício 28.4 ★.**

Força sobre um fio de $1.0\,\mathrm{m}$ conduzindo $10\,\mathrm{A}$ perpendicular a um campo de $0.10\,\mathrm{T}$; e sobre o mesmo fio a $30{}^{\circ}$ do campo. Um motor tem $100$ fios desses num rotor de raio $5\,\mathrm{cm}$: [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) ([ordem de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom)).

**Solução de Exercício 28.4.**

$F = ILB = 10 \times 1 \times 0.1 = 1.0\,\mathrm{N}$; a $30{}^{\circ}$, $\sin30^\circ$: $0.5\,\mathrm{N}$. Motor: $100 \times 1\,\mathrm{N} \times 0.05\,\mathrm{m} = 5\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ — um pequeno motor industrial.

**Exercício 28.5 ★★.**

Campo de um segmento retilíneo finito à distância $d$ da sua reta, com as suas extremidades vistas sob os ângulos $\alpha_1$ e $\alpha_2$ (medidos a partir da perpendicular): $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$. Verifique o limite do fio infinito. Campo no centro de uma espira quadrada de lado $a$.

**Solução de Exercício 28.5.**

Com $z = d\tan\alpha$: $B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi}\displaystyle\int\dfrac{d\,\dd z}{(d^2 + z^2)^{3/2}}
= \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}\displaystyle\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos\alpha\,\dd\alpha = \dfrac{\mu_0I}{4\pi d}
(\sin\alpha_2 - \sin\alpha_1)$; fio infinito, $\alpha_{1,2} = \mp\pi/2$: $\mu_0I/2\pi d$. Quadrado: cada lado a $d = a/2$ visto sob $\pm45^\circ$ dá $\mu_0I\sqrt2/2\pi a$; quatro lados: $B = 2\sqrt2\,\mu_0I/\pi a = 0.90\,\mu_0I/a$ (um círculo do mesmo “raio” $a/2$ daria $\mu_0I/a$).

**Exercício 28.6 ★★.**

*Bobinas de Helmholtz.* Duas bobinas idênticas ($N$ espiras, raio $R$) num eixo comum, separadas de $R$, conduzem a mesma corrente no mesmo sentido. Campo no ponto médio; mostre que a primeira *e a segunda* derivadas de $B$ ao longo do eixo se anulam ali. Números: $N = 100$, $R = 15\,\mathrm{cm}$, $I = 1.0\,\mathrm{A}$.

**Solução de Exercício 28.6.**

$B(z) = f(z - R/2) + f(z + R/2)$ com $f(u) = \mu_0NIR^2/2(R^2 + u^2)^{3/2}$. Ponto médio: $2f(R/2) = \mu_0NIR^2/(5R^2/4)^{3/2} = (4/5)^{3/2}\mu_0NI/R$. $f'$ é ímpar, logo $B'(0) = f'(-R/2) + f'(R/2) = 0$; $f''(u) \propto (4u^2 - R^2)(R^2 +
u^2)^{-7/2}$ se anula em $u = R/2$, logo $B''(0) = 2f''(R/2) = 0$: o campo é uniforme até a terceira ordem. Números: $0.716 \times 4\pi \times 10^{-7} \times 100/0.15 =
0.60\,\mathrm{mT}$.

**Exercício 28.7 ★★.**

Um fio de cobre de raio $2.0\,\mathrm{mm}$ conduz $100\,\mathrm{A}$. Campo na superfície, a $1.0\,\mathrm{mm}$ do eixo e a $1.0\,\mathrm{cm}$. Esboce $B(r)$. O fio passa a ser o condutor interno de um cabo coaxial cuja blindagem conduz a corrente de retorno: campo fora da blindagem.

**Solução de Exercício 28.7.**

Superfície: $\mu_0I/2\pi a = 2 \times 10^{-7} \times 100/0.002 = 10\,\mathrm{mT}$; a $1\,\mathrm{mm}$, dentro, $\times r/a$: $5\,\mathrm{mT}$; a $1\,\mathrm{cm}$: $2\,\mathrm{mT}$. $B$ cresce linearmente até a superfície e depois cai como $1/r$. Coaxial: fora da blindagem a corrente encerrada é nula, $B = 0$.

**Exercício 28.8 ★★.**

Força por metro entre dois fios a $1\,\mathrm{m}$ um do outro com $1\,\mathrm{A}$; entre dois barramentos a $10\,\mathrm{cm}$ conduzindo $10\,\mathrm{kA}$; e sob um curto-circuito de $100\,\mathrm{kA}$. O que tem de segurar os barramentos?

**Solução de Exercício 28.8.**

$2 \times 10^{-7}$ N/m. Barramentos: $2 \times 10^{-7} \times 10^8/0.1 = 200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; a $100\,\mathrm{kA}$: $2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ — duas toneladas por metro. Os suportes isolantes dos quadros de manobra são dimensionados para a corrente de falta, e não para a de trabalho.

**Exercício 28.9 ★★.**

Uma agulha de bússola, de momento $m = 0.10\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$ e [momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) $J = 1.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$, num campo horizontal $B_h = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$. [Torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) a $90{}^{\circ}$; trabalho para virá-la do norte ao sul; período das [pequenas oscilações](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#prop-b1-work-and-energy-stability). Como se mede $B_h$ com ela?

**Solução de Exercício 28.9.**

$\Gamma = mB_h = 2 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$; $W = 2mB_h = 4 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$; $J\ddot\theta =
-mB_h\theta$: $T = 2\pi\sqrt{J/mB_h} = 2\pi\sqrt{10^{-7}/2 \times 10^{-6}} =
1.4\,\mathrm{s}$. Cronometre as oscilações: $B_h = 4\pi^2J/mT^2$, uma vez conhecidos $m$ e $J$ (Gauss media $m$ separadamente, pelo desvio que ele impõe a uma segunda agulha).

**Exercício 28.10 ★★★.**

*A Terra como dipolo.* (a) Mostre que, no seu eixo e bem longe, o [campo de uma espira](#prop-b1-magnetostatics-three) vale $B = \mu_0m/2\pi z^3$ com $m = I\pi R^2$; compare com o [dipolo elétrico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/27-potencial-eletrico-condutores-e-capacitores#def-b1-potential-capacitors-dipole). (b) O campo no polo magnético vale cerca de $6 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$: deduza o [momento dipolar](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/27-potencial-eletrico-condutores-e-capacitores#def-b1-potential-capacitors-dipole) da Terra. (c) Corrente numa espira de raio $3000\,\mathrm{km}$ (o núcleo) que o produziria. (d) Campo no equador no modelo dipolar; e a inclinação magnética do campo na latitude $45{}^{\circ}$ (use $B_r$ e $B_\theta$).

**Solução de Exercício 28.10.**

(a) $\mu_0IR^2/2z^3 = \mu_0(I\pi R^2)/2\pi z^3 = \mu_0m/2\pi z^3 = (\mu_0/4\pi)\,2m/z^3$: o $2p/4\pi\varepsilon_0z^3$ elétrico com $1/\varepsilon_0 \to \mu_0$. (b) $m = 2\pi R_E^3B/
\mu_0 = 2\pi \times 2.58 \times 10^{20} \times 6 \times 10^{-5}/1.26 \times 10^{-6} = 7.7 \times 10^{22}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$. (c) $I = m/\pi R^2 = 7.7 \times 10^{22}/(\pi \times 9 \times 10^{12}) = 2.7 \times 10^{9}\,\mathrm{A}$. (d) Equador ($\theta = 90^\circ$): $B_\theta = \mu_0m/4\pi R_E^3 = 3 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, metade do valor polar. Em $\theta = 45^\circ$: $\tan(\text{inclinação}) = B_r/B_\theta = 2\cot\theta = 2$, inclinação $= 63{}^{\circ}$ — o campo mergulha abruptamente no solo nas latitudes médias.

**Exercício 28.11 ★★★.**

*Solenoide finito.* Comprimento $L = 20\,\mathrm{cm}$, raio $R = 2.0\,\mathrm{cm}$, $n = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$, $I = 3.0\,\mathrm{A}$. Campo no centro e numa extremidade pela fórmula do curso; fração do valor do solenoide infinito; a que distância fora, ao longo do eixo, o campo caiu a $1\%$ do valor central? Esboce $B(z)$ ao longo do eixo.

**Solução de Exercício 28.11.**

$\mu_0nI = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 3 = 7.5\,\mathrm{mT}$. Centro: $\tan\alpha_1 =
R/(L/2) = 0.2$, $\cos\alpha_1 = -\cos\alpha_2 = 0.981$: $B = 0.981\,\mu_0nI =
7.4\,\mathrm{mT}$ ($98\%$). Extremidade: $\cos\alpha_1 = 0$, $\tan\alpha_2 = R/L$, $\cos\alpha_2 =
-0.995$: $B = 0.497\,\mu_0nI = 3.7\,\mathrm{mT}$ ($50\%$). Fora, a uma distância $x$ além da extremidade, com as duas extremidades do mesmo lado: $B = \tfrac12\mu_0nI(\cos\alpha_1 - \cos\alpha_2)
\approx \tfrac12\mu_0nI\,\tfrac{R^2}{2}[1/x^2 - 1/(x + L)^2]$; $1\%$ do valor central em $x \approx 10\,\mathrm{cm}$, meio comprimento adiante. $B(z)$: um topo plano ao longo de quase todo o comprimento, caindo à metade nas extremidades e a alguns por cento a um comprimento de distância.

**Exercício 28.12 ★★★.**

*Pressão magnética.* Num solenoide longo o campo vale $B$ dentro e $0$ fora; os enrolamentos conduzem a corrente superficial $K = nI$ por metro de comprimento. (a) Mostre que o campo *sobre* os enrolamentos, a média entre o de dentro e o de fora, vale $B/2$, e que a [força de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre eles é uma pressão dirigida para fora, $p = B^2/2\mu_0$. (b) Números para $1\,\mathrm{T}$, $10\,\mathrm{T}$ e $45\,\mathrm{T}$; compare com a pressão atmosférica e com a resistência à tração do aço ($1\,\mathrm{GPa}$). (c) O que limita os ímãs permanentes mais fortes?

**Solução de Exercício 28.12.**

(a) O campo próprio dos enrolamentos salta de $0$ a $B$ ao atravessá-los; o campo que age sobre eles é a média, $B/2$ (a lâmina não pode empurrar a si mesma). Força sobre um elemento de enrolamento de comprimento $\dd l$ e largura $\dd z$ conduzindo $K\,\dd z$: $K\,\dd z\,\dd l\,B/2$, radial para fora (verifique com $I\,\dd\vect l
\wedge\vect B$): pressão $p = KB/2 = B^2/2\mu_0$, pois $K = nI = B/\mu_0$. (b) $1\,\mathrm{T}$: $4 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $4\,\mathrm{bar}$; $10\,\mathrm{T}$: $400\,\mathrm{bar}$; $45\,\mathrm{T}$: $8 \times 10^{8}\,\mathrm{Pa}$ = $8000\,\mathrm{bar}$, perto do $1\,\mathrm{GPa}$ do aço. (c) Os enrolamentos têm de suportar uma pressão que cresce como $B^2$: acima de uns $40\,\mathrm{T}$ nenhum material e nenhum esquema de refrigeração dá conta — o limite dos ímãs permanentes é mecânico (e, para os supercondutores, o seu campo crítico).

![Uma linha de transmissão de alta tensão: três condutores por circuito, cujas correntes somam zero, de modo que os seus campos se cancelam a distância. Fotografia: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-magnetostatics/img-689accea7d17.jpg)

*Uma linha de transmissão de alta [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage): três condutores por circuito, cujas correntes somam zero, de modo que os seus campos se cancelam a distância. Fotografia: Stefan Andrej Shambora, CC BY 2.0.*

## 28.7 Problema: o cabo, a linha e o instrumento

**Problema 28.1.**

Problema de fim de semana — a lei de Ampère num cabo coaxial, forças de Laplace numa linha de transmissão e o projeto de um galvanômetro de bobina móvel

$\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI; resistividade do cobre $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\,\mathrm{m}$.

**Parte I — O cabo coaxial.** Um cabo conduz $I = 1.0\,\mathrm{A}$ por uma alma maciça de cobre de raio $a = 0.50\,\mathrm{mm}$ e de volta por uma blindagem de raio interno $b =
2.5\,\mathrm{mm}$ e raio externo $c = 3.0\,\mathrm{mm}$; as correntes são uniformes na seção de cada condutor.

1. Simetrias e invariâncias: direção de $\vect B$ e a variável de que ele depende.
2. $B(r)$ na alma, entre os condutores e fora do cabo, pela [lei de Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere) .
3. Valores em $r = a$ e $r = b$ .
4. A alma é substituída por um tubo fino de cobre do mesmo raio $a$ conduzindo a mesma corrente: o que muda em cada região?
5. $B(r)$ dentro da blindagem ( $b < r < c$ ); verifique os valores em $b$ e em $c$ ; esboce $B(r)$ de $0$ a $4\,\mathrm{mm}$ .
6. [Força de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre a blindagem: sentido (atração ou repulsão em relação à alma?) e módulo por unidade de área, tomando o campo na blindagem como a média entre os seus valores em $b$ e em $c$ . O mesmo para uma corrente pulsada de $10\,\mathrm{kA}$ .
7. Por que a geometria coaxial é usada para sinais? Compare com um par de fios paralelos separados de $d = 2\,\mathrm{mm}$ : campo à distância $D = 10\,\mathrm{cm}$ do par (superponha os dois fios).

**Parte II — A linha de transmissão.** Dois condutores horizontais separados de $d = 1.0\,\mathrm{m}$, a $h = 10\,\mathrm{m}$ acima do solo, conduzem $I = 500\,\mathrm{A}$ em sentidos opostos.

8. Campo de um dos condutores no ponto do solo situado abaixo do ponto médio; mostre que os dois campos se combinam num campo vertical e dê o seu valor; compare com o da Terra e com o limite de exposição de $100\,\text{µ}\mathrm{T}$ .
9. Mostre que, a distâncias $D \gg d$ , o campo do par cai como $\mu_0Id/2\pi D^2$ : por que mais depressa do que o de um único fio?
10. Campo a $1.0\,\mathrm{m}$ abaixo de um dos condutores, onde um técnico poderia trabalhar.
11. Força por metro entre os condutores; atração ou repulsão? O mesmo sob uma corrente de curto-circuito de $20\,\mathrm{kA}$ .
12. Força sobre um vão de $300\,\mathrm{m}$ , em regime normal e em curto-circuito; compare com o peso do vão ( $1.0\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}$ ); o que fazem as linhas durante um curto-circuito?
13. Uma linha trifásica conduz três correntes de mesma [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) defasadas de $120{}^{\circ}$ : mostre que a sua soma se anula em todo instante, e o que isso implica para o campo distante.
14. Uma bússola no ponto da questão 8, onde o campo horizontal da Terra vale $2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : o campo da linha a desvia? (Considere a direção dele.)

**Parte III — O galvanômetro de bobina móvel.** Uma bobina retangular, $N = 200$ espiras, de lados $a = 2.0\,\mathrm{cm}$ (paralelo ao eixo de rotação) e $b = 3.0\,\mathrm{cm}$, gira em torno do seu eixo no entreferro entre peças polares cilíndricas onde o campo, $B = 0.20\,\mathrm{T}$, é *radial*: sempre no plano da bobina e perpendicular aos seus lados $a$. Uma mola espiral exerce o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) restaurador $-C\theta$ com $C = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}/\mathrm{rad}$. [Momento de inércia](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#prop-b1-angular-momentum-inertia) da bobina e do ponteiro: $J = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}$.

15. [Forças de Laplace](#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre os quatro lados; quais delas produzem [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) em torno do eixo?
16. [Torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) para uma corrente $I$ ; por que o campo radial o torna independente de $\theta$ ?
17. Deflexão $\theta$ no equilíbrio; sensibilidade em radianos por miliampère; corrente para uma deflexão de fundo de escala de $1.2\,\mathrm{rad}$ .
18. A bobina é enrolada com fio de cobre de diâmetro $0.10\,\mathrm{mm}$ : resistência da bobina; [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) nos seus terminais e potência dissipada em fundo de escala.
19. Equação do movimento da bobina; período próprio das oscilações em torno do equilíbrio.
20. O movimento da bobina no campo induz um [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) de frenagem $-\alpha\dot\theta$ ( [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/29-inducao-eletromagnetica-e-aplicacoes#ch-b1-induction) ); valor de $\alpha$ para o amortecimento crítico, e por que ele é desejável.
21. [Resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) em série para fazer um voltímetro de fundo de escala $10\,\mathrm{V}$ ; [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) em derivação para fazer um amperímetro de fundo de escala $1.0\,\mathrm{A}$ .
22. [Momento magnético](#def-b1-magnetostatics-moment) da bobina em fundo de escala; energia $-\vect m\cdot  \vect B$ que ela teria, alinhada, num campo uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ ; compare com a energia armazenada na mola em fundo de escala.
23. Se o campo fosse *uniforme* em vez de radial, mostre que a escala deixaria de ser linear: escreva a condição de equilíbrio com $\theta$ medido a partir da posição em que o plano da bobina contém $\vect B$ .
24. Uma corrente de $50\,\mathrm{Hz}$ e [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $0.5\,\mathrm{mA}$ é aplicada ao instrumento: o que o ponteiro mostra, e por quê? (Compare $50\,\mathrm{Hz}$ com a [frequência própria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortecimento-e-ressonancia#def-b1-oscillators-resonance-harmonic) .)
25. Resuma as três cenas em três números, e diga que lei única produziu cada um.

**Solução de Problema 28.1.**

**1.** Todo plano que contém o eixo é um [plano de simetria](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/26-eletrostatica-o-campo-e-a-lei-de-gauss#prop-b1-electrostatics-gauss-symmetry) das correntes: $\vect B$ é perpendicular a ele, ortorradial; por invariância ao longo e em torno do eixo: $\vect B = B(r)\,\vect e_\theta$.

**2.** Círculo de raio $r$: $2\pi rB = \mu_0I_{\text{enl}}$. Alma: $I_{\text{enl}} = Ir^2/a^2$, $B = \mu_0Ir/2\pi a^2$; entre os condutores: $\mu_0I/2\pi r$; fora ($r > c$): $I - I = 0$, $B = 0$.

**3.** $B(a) = 2 \times 10^{-7}/5 \times 10^{-4} = 4.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$; $B(b) = 2 \times
10^{-7}/2.5 \times 10^{-3} = 8.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$.

**4.** Dentro do tubo nenhuma corrente é encerrada: $B = 0$ ali, em vez da subida linear; em todo o resto nada muda — o campo fora de uma corrente cilíndrica só depende da corrente total.

**5.** $I_{\text{enl}} = I - I(r^2 - b^2)/(c^2 - b^2) = I(c^2 - r^2)/(c^2 -
b^2)$: $B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}\,\dfrac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2}$, igual a $\mu_0I/2\pi b$ em $b$ e a $0$ em $c$: contínuo. Esboço: linear até $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ em $0.5\,\mathrm{mm}$, depois $1/r$ até $8 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ em $2.5\,\mathrm{mm}$, caindo a zero em $3\,\mathrm{mm}$ e nulo além disso.

**6.** A corrente da blindagem é antiparalela à da alma: repulsão, uma pressão dirigida para fora. Corrente superficial $K = I/2\pi b = 64\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$; campo médio $\tfrac12(8 \times 10^{-5} + 0) = 4 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$: $p = KB = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{Pa}$. A $10\,\mathrm{kA}$: $\times10^8$, $2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{Pa}$ = $2.5\,\mathrm{bar}$ — os cabos de potência pulsada são construídos para aguentar isso.

**7.** Nenhum campo fora: o cabo não irradia nem capta interferência magnética das vizinhanças. Um par de fios: os dois campos quase se cancelam, deixando $\approx \mu_0Id/2\pi D^2 = 2 \times 10^{-7} \times 2 \times
10^{-3}/10^{-2} = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{T}$ a $10\,\mathrm{cm}$ — pouco, mas o coaxial dá zero.

**8.** $D = \sqrt{h^2 + d^2/4} = 10.0\,\mathrm{m}$: cada um dá $\mu_0I/2\pi D =
1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$, perpendicular à reta que vem do condutor. Sendo as correntes opostas, as componentes paralelas à reta que une os condutores se cancelam e as verticais se somam: $B = 2 \times 10^{-5} \times
(d/2)/D = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}$, vertical. Cinquenta vezes abaixo do campo da Terra e cem vezes abaixo do limite.

**9.** Para $D \gg d$, $B \approx \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\Bigl(\dfrac1{D_1} - \dfrac1{D_2}\Bigr)
\sim \dfrac{\mu_0I}{2\pi}\dfrac{d}{D^2}$: os dois campos em $1/D$ se cancelam em primeira ordem e só a diferença entre eles, de tamanho relativo $d/D$, sobrevive — um “dipolo de dois fios”.

**10.** O próprio condutor a $1\,\mathrm{m}$: $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ horizontal; o outro a $1.41\,\mathrm{m}$: $7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ a $45{}^{\circ}$, em sentido oposto: resultante $(5 \times 10^{-5}, 5 \times 10^{-5})$, $7 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ — $70\,\text{µ}\mathrm{T}$, abaixo do limite para o público e muito abaixo do ocupacional.

**11.** $F/\ell = \mu_0I^2/2\pi d = 2 \times 10^{-7} \times 2.5 \times 10^5 =
0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, repulsiva; a $20\,\mathrm{kA}$: $80\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**12.** $15\,\mathrm{N}$ em regime normal; $24\,\mathrm{kN}$ em curto-circuito, oito vezes o peso do vão, $2.9\,\mathrm{kN}$: os condutores são lançados para longe, balançam e podem se chocar ao voltar — daí os espaçadores e os disjuntores que abrem em poucos ciclos.

**13.** $I\cos\omega t + I\cos(\omega t - 2\pi/3) + I\cos(\omega t + 2\pi/3) =
I\cos\omega t\,(1 + 2\cos2\pi/3) = 0$: os três [fasores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-complex) somam zero. Os campos em $1/D$ se cancelam como no coaxial; o campo distante cai como $1/D^2$ ou mais depressa.

**14.** O campo da linha ali é vertical; uma bússola responde só à componente horizontal: nenhum desvio (a inclinação muda de $10^{-6}/(2 \times 10^{-5})$, três graus, que a bússola não consegue mostrar).

**15.** Lados $a$ (paralelos ao eixo): o $\vect B$ radial é perpendicular a eles, força $NIaB$ em cada um, perpendicular ao plano da bobina e oposta nos dois lados: um binário. Lados $b$: $\dd\vect l$ é radial, paralelo a $\vect B$: nenhuma força.

**16.** $\Gamma = 2 \times NIaB \times b/2 = NIabB = NISB = 0.024\,I$ (em N m, com $I$ em A). O campo radial está sempre no plano da bobina e perpendicular aos lados $a$: as forças são sempre normais ao plano e o seu [braço de alavanca](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $b/2$ nunca muda.

**17.** $C\theta = NISB$: $\theta = 2400\,I$ rad, isto é, $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$; fundo de escala $1.2\,\mathrm{rad}$ em $I = 0.50\,\mathrm{mA}$.

**18.** Comprimento $200 \times 2(0.02 + 0.03) = 20\,\mathrm{m}$, seção $\pi(5 \times
10^{-5})^2 = 7.9 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{2}$: $R = 1.7 \times 10^{-8} \times 20/7.9 \times 10^{-9} =
43\,\Omega$; $U = 43 \times 5 \times 10^{-4} = 22\,\mathrm{mV}$; $P = UI = 11\,\text{µ}\mathrm{W}$.

**19.** $J\ddot\theta = -C\theta + NISB\,I$: $\omega_0 = \sqrt{C/J} = \sqrt{10^{-5}/6.7
\times 10^{-8}} = 12\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $T = 0.51\,\mathrm{s}$.

**20.** $J\ddot\theta + \alpha\dot\theta + C\theta = NISB\,I$: crítico para $\alpha = 2\sqrt{JC} = 2\sqrt{6.7 \times 10^{-13}} = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}$; o ponteiro alcança então a sua leitura o mais rápido possível sem ultrapassá-la.

**21.** Voltímetro: $R_s = 10/5 \times 10^{-4} - 43 \approx 20\,\mathrm{k}\Omega$. Amperímetro: o [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor) em derivação conduz $0.9995\,\mathrm{A}$ sob $22\,\mathrm{mV}$: $R_{\text{der}} =
22\,\mathrm{m}\Omega$.

**22.** $m = NIS = 200 \times 5 \times 10^{-4} \times 6 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{A}\,\mathrm{m}^{2}$; $-mB = -1.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; mola $\tfrac12C\theta^2 = \tfrac12 \times 10^{-5} \times 1.44 =
7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{J}$: a mesma ordem — a mola armazena o que o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) magnético realizou enquanto a bobina girava.

**23.** Num campo uniforme o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) vale $mB\cos\theta$ (máximo quando o plano contém $\vect B$, nulo quando a normal está ao longo dele): $C\theta =
NISB\,I\cos\theta$ — linear só para $\theta$ pequeno, e comprimido no alto da escala.

**24.** $50\,\mathrm{Hz}$ contra $\omega_0/2\pi = 2\,\mathrm{Hz}$: a bobina não consegue acompanhar; ela fica na média da corrente, zero, com um tremor de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $\approx \theta_{\text{est}}(\omega_0/\omega)^2 = 1.2 \times (12/314)^2 \approx
2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, invisível. Um instrumento de bobina móvel lê a média — para corrente alternada ele precisa de um retificador.

**25.** $4 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ na alma de um coaxial de $1\,\mathrm{A}$ e nada fora ([lei de Ampère](#thm-b1-magnetostatics-ampere)); $1\,\text{µ}\mathrm{T}$ sob uma linha de $500\,\mathrm{A}$ e $0.05\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ entre os seus condutores (Biot–Savart mais Laplace); $2.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{mA}$ para o instrumento (binário de Laplace contra uma mola).