---
title: "Indução eletromagnética e aplicações"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 29
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/29-inducao-eletromagnetica-e-aplicacoes
---

# Capítulo 29 — Indução eletromagnética e aplicações

Aproxime um ímã de uma bobina e uma corrente passa a circular nela; pare o ímã e a corrente para. Faraday descobriu isso em 1831, depois de dez anos de procura, e é sobre esse fato que corre o mundo elétrico: toda usina, todo transformador, todo motor, alto-falante e microfone, todo fogão de indução e carregador sem fio converte energia pela lei segundo a qual um [fluxo magnético](#def-b1-induction-flux) *variável* produz uma [força eletromotriz](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources). Este capítulo enuncia a lei com os seus sinais, dá-lhe as duas faces que ela usa (um campo variável num circuito fixo, um circuito em movimento num campo fixo), define a [autoindutância](#def-b1-induction-inductance) e a [indutância mútua](#def-b1-induction-inductance) e depois percorre as máquinas eletromecânicas — a barra deslizante, o alternador, o transformador, o alto-falante — em que a mesma lei transforma potência mecânica em [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) e de volta, nunca de graça.

![Um aparelho de ressonância magnética: um solenoide supercondutor que mantém 1.5\, T sobre um paciente — um megajoule de energia magnética num campo com nada dentro. Fotografia: Jan Ainali, CC BY 3.0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/img-fb3c35ccfe21.jpg)

*Um aparelho de ressonância magnética: um solenoide supercondutor que mantém $1.5\,\mathrm{T}$ sobre um paciente — um megajoule de [energia magnética](#prop-b1-induction-inductor) num campo com nada dentro. Fotografia: Jan Ainali, CC BY 3.0.*

## 29.1 A lei de Faraday

**Definição 29.1 (Fluxo magnético através de um circuito).**

Oriente um circuito fechado $\Gamma$ (um sentido de percurso); a sua superfície recebe a normal $\vect n$ dada pela regra da mão direita. O *fluxo magnético* através do circuito vale $\Phi = \sum\vect B\cdot\vect n\,\dd S$ sobre qualquer superfície apoiada em $\Gamma$ (weber, $1\,\mathrm{Wb} = 1\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}^{2}$) — “qualquer”, porque o fluxo de $\vect B$ através de uma superfície fechada é nulo. Para um campo uniforme e uma bobina plana de $N$ espiras e área $S$, $\Phi =
NBS\cos\alpha$, sendo $\alpha$ o ângulo entre $\vect B$ e $\vect n$.

**Teorema 29.2 (Lei da indução de Faraday).**

Sempre que o fluxo através de um circuito varia, o circuito é sede de uma *[força eletromotriz](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources) induzida*

$$
e = -\frac{\dd\Phi}{\dd t} ,
$$

contada na orientação do circuito, isto é, agindo como uma [fonte de tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources) ideal de fem $e$ nesse sentido; num circuito de resistência $R$ ela faz passar a corrente $i = e/R$. O sinal de menos é a *[lei de Lenz](#thm-b1-induction-faraday)*: a corrente induzida circula de modo a se opor à variação de fluxo que a produz — o seu próprio campo, e as forças que ela sente, combatem a causa.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 29.3 (Duas faces da mesma lei).**

O fluxo varia ou porque $\vect B$ varia no tempo através de um circuito fixo (*[indução de Neumann](#rem-b1-induction-twofaces)*: transformador, fogão de indução) ou porque o circuito se move ou se deforma num campo permanente (*[indução de Lorentz](#rem-b1-induction-twofaces)*: gerador, alto-falante). No segundo caso a fem também pode ser calculada diretamente: os portadores de um elemento condutor $\dd\vect l$ que se move com $\vect v$ sentem a força $q\vect v\wedge
\vect B$, equivalente a um campo elétrico $\vect v\wedge\vect B$, de modo que $e = \oint(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ — e isso concorda sempre com $-\dd\Phi/\dd t$. A [lei de Faraday](#thm-b1-induction-faraday) cobre os dois casos; o volume do segundo ano explica por que os dois mecanismos dão uma só fórmula.

![Orientação e lei de Lenz. À esquerda: a orientação do circuito fixa n e o sinal de . No meio: um ímã que se aproxima de um anel aumenta o fluxo; a corrente induzida cria um campo oposto ao do ímã e o anel o repele. À direita: uma barra que desliza sobre trilhos num campo dirigido para o leitor; o fluxo do circuito cresce, e a corrente induzida circula de modo que a força de Laplace sobre a barra se opõe ao seu movimento.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-1a58718c46f0.svg)

*Orientação e [lei de Lenz](#thm-b1-induction-faraday). À esquerda: a orientação do circuito fixa $\vect n$ e o sinal de $\Phi$. No meio: um ímã que se aproxima de um anel aumenta o fluxo; a corrente induzida cria um campo oposto ao do ímã e o anel o repele. À direita: uma barra que desliza sobre trilhos num campo dirigido para o leitor; o fluxo do circuito cresce, e a corrente induzida circula de modo que a [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre a barra se opõe ao seu movimento.*

**Exemplo 29.4 (Ordens de grandeza).**

Uma bobina de $100$ espiras e $10\,\mathrm{cm}^{2}$ no campo da Terra, virada em $0.1\,\mathrm{s}$: $\Delta\Phi = 2 \times 100 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-5} = 1 \times 10^{-5}\,\mathrm{Wb}$, $e \sim 0.1\,\mathrm{mV}$ — mensurável com um galvanômetro sensível, do modo como o campo da Terra foi outrora mapeado. A mesma bobina no entreferro de $1\,\mathrm{T}$ de um ímã, retirada em $0.1\,\mathrm{s}$: $1\,\mathrm{V}$. Uma bobina de transformador de $1000$ espiras com $1\,\mathrm{T}$ a $50\,\mathrm{Hz}$ sobre $10\,\mathrm{cm}^{2}$: $e_{\max} =
1000 \times 10^{-3} \times 314 = 314\,\mathrm{V}$ — a rede elétrica.

## 29.2 Autoindutância e indutância mútua

**Definição 29.5 (Indutância).**

O fluxo do campo próprio de um circuito através dele mesmo é proporcional à sua corrente: $\Phi_{\text{próprio}} = Li$, sendo $L > 0$ a sua *autoindutância* (henry, $\mathrm{H}$). O fluxo que o circuito 1 envia através do circuito 2 vale $\Phi_{1 \to 2} = Mi_1$ e, simetricamente, $\Phi_{2 \to 1} = Mi_2$, sendo $M$ a *indutância mútua* dos dois (com o sinal fixado pelas orientações). O fluxo total do circuito 1 vale então $\Phi_1 = L_1i_1 + Mi_2$.

**Proposição 29.6 (O indutor; o solenoide).**

Um circuito de indutância $L$ percorrido por uma corrente variável é sede da fem $e = -L\,\dd i/\dd t$: na [convenção receptor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff), essa é a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) $u = L\,\dd i/\dd t$ do indutor usado desde o [Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#ch-b1-transient-regimes). Ele armazena a energia $W = \tfrac12Li^2$. Um solenoide longo de $n$ espiras por metro, comprimento $\ell$ e seção $S$ tem $L = \mu_0n^2S\ell$; a sua energia armazenada vale $\tfrac12\mu_0n^2I^2S\ell =
\dfrac{B^2}{2\mu_0}\,S\ell$: a [energia magnética](#prop-b1-induction-inductor) mora no campo, com densidade $B^2/2\mu_0$, exatamente como a elétrica em $\varepsilon_0E^2/2$.

**Demonstração.** Faraday com $\Phi = Li$ e $L$ constante. Energia: a potência recebida pelo indutor vale $ui = Li\,\dd i/\dd t = \dd(\tfrac12Li^2)/\dd t$. Solenoide: $B = \mu_0nI$ dentro, fluxo $BS$ através de cada uma das $n\ell$ espiras, logo $\Phi =
\mu_0n^2S\ell I$. A densidade geral fica admitida. ∎

**Exemplo 29.7 (Um ímã de ressonância magnética).**

$1.5\,\mathrm{T}$ sobre cerca de um metro cúbico: $B^2/2\mu_0 = 2.25/2.5 \times 10^{-6} =
0.9\,\mathrm{MJ}/\mathrm{m}^{3}$ — a energia de uma bateria de carro, guardada no espaço vazio. Com uma corrente de bobina de $500\,\mathrm{A}$, $L = 2W/I^2 = 7\,\mathrm{H}$. Se o supercondutor de repente se torna resistivo (um *quench*), esse megajoule vira calor em segundos e evapora centenas de litros de hélio líquido: a sala do ímã tem um respiro para isso.

**Proposição 29.8 (O transformador ideal).**

Duas bobinas de $N_1$ e $N_2$ espiras enroladas no mesmo núcleo de ferro fechado, de modo que o mesmo fluxo $\varphi$ atravesse cada espira, obedecem a

$$
\frac{u_2}{u_1} = \frac{N_2}{N_1} , \qquad N_1i_1 + N_2i_2 = 0 \quad\text{(sem perdas em vazio, sem corrente magnetizante)},
$$

de modo que $u_2i_2 = -u_1i_1$: a potência tomada no primário é entregue no secundário; as tensões variam com a razão de espiras, e as correntes, inversamente. Só funciona com correntes variáveis.

**Demonstração.** $u_1 = N_1\,\dd\varphi/\dd t$ e $u_2 = N_2\,\dd\varphi/\dd t$ ([convenção receptor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) nas duas, com as orientações escolhidas segundo o fluxo comum): divida. A relação entre as correntes é a [lei de Ampère](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-ampere) no núcleo: a sua circulação, $\mu_0\mu_r$ vezes o total de ampère-espiras, teria de criar o fluxo; para um núcleo ideal ($\mu_r \to \infty$) isso exige um número de ampère-espiras que tende a zero, donde $N_1i_1 + N_2i_2 = 0$. Admitido nesta forma. ∎

![À esquerda: um transformador — duas bobinas num núcleo de ferro fechado compartilham o mesmo fluxo; as tensões escalam com o número de espiras, e as correntes, inversamente. À direita: duas bobinas acopladas no ar e a sua indutância mútua M; o fluxo próprio de uma bobina vale Li.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-65a329f5422c.svg)

*À esquerda: um transformador — duas bobinas num núcleo de ferro fechado compartilham o mesmo fluxo; as tensões escalam com o número de espiras, e as correntes, inversamente. À direita: duas bobinas acopladas no ar e a sua [indutância mútua](#def-b1-induction-inductance) $M$; o fluxo próprio de uma bobina vale $Li$.*

## 29.3 Condutores em movimento: geradores e motores

**Proposição 29.9 (A barra deslizante).**

Uma barra de comprimento $\ell$ desliza com velocidade $v$ sobre dois trilhos fechados por uma resistência $R$, num campo uniforme $B$ normal ao plano. Ela é sede da fem $e = B\ell v$, faz passar $i = B\ell v/R$ e sente a [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) $F = B\ell i = B^2\ell^2v/R$ que se *opõe* ao seu movimento. A potência mecânica gasta para empurrá-la, $Fv$, é igual à [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $ei = Ri^2$ dissipada: a barra é um gerador. Alimentada, em vez disso, por uma fonte $E$, ela é um motor: a corrente $(E - B\ell v)/R$ a empurra até que a força contraeletromotriz $B\ell v$ equilibre $E$, na velocidade a vazio $E/B\ell$.

**Demonstração.** Fluxo $B\ell x$, $e = -B\ell\dot x$ na orientação em que $\vect n$ está ao longo de $\vect B$; a [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) $i\vect\ell\wedge\vect B$ sobre a corrente assim orientada aponta contra $\vect v$ ([Teorema 29.2](#thm-b1-induction-faraday), Lenz). Multiplique a equação elétrica $e = Ri$ por $i$ e a mecânica por $v$: $Fv = B\ell iv = ei$. A potência eletromecânica $ei$ e a potência de Laplace $-Fv$ são sempre opostas — é a lei da conversão. ∎

**Proposição 29.10 (A espira girante: o alternador).**

Uma bobina de $N$ espiras e área $S$ que gira com [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega$ em torno de um eixo perpendicular a um $B$ uniforme tem $\Phi = NBS\cos\omega t$ e

$$
e = NBS\omega\sin\omega t :
$$

uma fem senoidal de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $NBS\omega$ e frequência igual à de rotação. Numa resistência $R$ ela entrega a [potência média](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $(NBS\omega)^2/2R$, fornecida pelo [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) que a mantém girando contra o binário de Laplace $-\vect m\wedge\vect B$ da sua própria corrente.

**Demonstração.** Derive o fluxo; $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$. O binário é o do [Teorema 28.14](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-dipoleinfield) com $m = Ni S$; a sua [potência média](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) $\langle\Gamma\omega\rangle$ é igual a $\langle ei\rangle$ pelo mesmo cálculo feito para a barra. ∎

![À esquerda: a barra deslizante como gerador — fem B v, corrente através de R, força de Laplace freando a barra; a potência de quem empurra é o calor do resistor. No meio e à direita: a bobina girante de um alternador e a sua fem senoidal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-e105be73efb4.svg)

![À esquerda: a barra deslizante como gerador — fem B v, corrente através de R, força de Laplace freando a barra; a potência de quem empurra é o calor do resistor. No meio e à direita: a bobina girante de um alternador e a sua fem senoidal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-3b5b25027c02.svg)

*À esquerda: a barra deslizante como gerador — fem $B\ell v$, corrente através de $R$, [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) freando a barra; a potência de quem empurra é o calor do [resistor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor). No meio e à direita: a bobina girante de um alternador e a sua fem senoidal.*

**Exemplo 29.11 (Correntes de Foucault).**

Um condutor maciço que se move num campo não uniforme, ou que fica num campo variável, é atravessado por fluxo variável ao longo de incontáveis caminhos fechados: as *[correntes de Foucault](#ex-b1-induction-eddy)* circulam nele, aquecendo-o e — por Lenz — freando-o. Um ímã largado dentro de um tubo de cobre desce devagar; os freios de caminhões e de montanhas-russas usam isso (sem contato, sem desgaste, sem falha de freio — mas sem frenagem em repouso); o fogão de indução aquece a panela pelas mesmas correntes, a $25\,\mathrm{kHz}$; e os núcleos de transformador são laminados justamente para cortá-las.

## 29.4 O alto-falante: um sistema acoplado

**Proposição 29.12 (Acoplamento eletromecânico de uma bobina num campo radial).**

Uma bobina de comprimento total de fio $\ell$ fica num campo radial $B$, de modo que cada elemento de fio é perpendicular a $\vect B$; ela se move ao longo do seu eixo com velocidade $v$ e conduz $i$. Ela sente então a [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) axial $F = B\ell i$ e é sede da força contraeletromotriz $e = -B\ell v$ (na [convenção receptor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) $B\ell v$). Com uma massa $m$, uma suspensão de rigidez $k$ e um amortecimento mecânico $h$, alimentada por uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) $u$ através da resistência $R$ e da indutância $L$ da bobina:

$$
u = Ri + L\frac{\dd i}{\dd t} + B\ell v , \qquad
m\frac{\dd v}{\dd t} = -kx - hv + B\ell i .
$$

Multiplicando por $i$ e por $v$ e somando: a [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) $ui$ é igual à perda Joule $Ri^2$ mais o crescimento das energias armazenadas $\tfrac12Li^2 + \tfrac12mv^2 + \tfrac12kx^2$ mais a perda mecânica $hv^2$ (que inclui o som): o termo de conversão $B\ell iv$ se cancela entre as duas equações. Funcionando ao contrário (movimento imposto, $u$ lido), o mesmo dispositivo é um *microfone* dinâmico.

**Demonstração.** [Força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) sobre cada elemento $i\,\dd\vect l\wedge\vect B$, todas axiais e de mesmo sinal; fem por $(\vect v\wedge\vect B)\cdot\dd\vect l$ somado sobre o fio. O balanço de energia é a soma das duas equações multiplicadas como se disse. ∎

![Um alto-falante de bobina móvel em corte: a bobina fica no entreferro anular de um ímã onde o campo é radial, de modo que uma corrente dá uma força axial qualquer que seja a posição; o cone que ela move é preso por uma suspensão rígida e amortecida; o movimento da bobina injeta uma força contraeletromotriz B v no circuito elétrico.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/fig-018cb578ac53.svg)

*Um alto-falante de bobina móvel em corte: a bobina fica no entreferro anular de um ímã onde o campo é radial, de modo que uma corrente dá uma força axial qualquer que seja a posição; o cone que ela move é preso por uma suspensão rígida e amortecida; o movimento da bobina injeta uma força contraeletromotriz $B\ell v$ no circuito elétrico.*

**Observação 29.13 (Por que o acoplamento amortece).**

Em baixa frequência ($L\omega \ll R$), $i \approx (u - B\ell v)/R$ e a força vale $B\ell u/R - (B^2\ell^2/R)\,v$: o circuito elétrico acrescenta o amortecimento $B^2\ell^2/R$ ao mecânico. Um alto-falante ligado a um amplificador (de baixa resistência de saída) fica bastante amortecido — o seu cone para quando o sinal para — e o mesmo acoplamento é o que permite ao microfone tirar energia do som ([Problema 29.1](#pb-b1-induction-1)).

## 29.5 Exercícios

**Exercício 29.1 ★.**

Uma bobina de $100$ espiras e $10\,\mathrm{cm}^{2}$ num campo uniforme de $0.20\,\mathrm{T}$ a $30{}^{\circ}$ da sua normal. Fluxo; fem média se o campo for desligado em $10\,\mathrm{ms}$; e em $1\,\mathrm{ms}$; sentido da corrente induzida em relação ao campo (Lenz).

**Solução de Exercício 29.1.**

$\Phi = NBS\cos30^\circ = 100 \times 0.2 \times 10^{-3} \times 0.866 = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{Wb}$; $\langle e\rangle = \Delta\Phi/\Delta t = 1.7\,\mathrm{V}$ em $10\,\mathrm{ms}$, e $17\,\mathrm{V}$ em $1\,\mathrm{ms}$. A corrente circula de modo a recriar o fluxo que desaparece: o seu campo tem o sentido do antigo $\vect B$.

**Exercício 29.2 ★.**

Uma barra de $20\,\mathrm{cm}$ desliza a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sobre trilhos fechados por $0.10\,\Omega$, em $0.50\,\mathrm{T}$. Fem, corrente, [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace), força que quem empurra tem de aplicar, potência mecânica, [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff).

**Solução de Exercício 29.2.**

$e = B\ell v = 0.5 \times 0.2 \times 2 = 0.20\,\mathrm{V}$; $i = 2.0\,\mathrm{A}$; $F = B\ell i =
0.20\,\mathrm{N}$ freando, de modo que quem empurra aplica $0.20\,\mathrm{N}$; $Fv = 0.40\,\mathrm{W}
= Ri^2$.

**Exercício 29.3 ★.**

Solenoide de $1000\,\mathrm{espiras}/\mathrm{m}$, comprimento $20\,\mathrm{cm}$, seção $4.0\,\mathrm{cm}^{2}$: indutância; energia a $5.0\,\mathrm{A}$; [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) com uma resistência de $1.0\,\Omega$; campo dentro e densidade de energia, para verificar $B^2/2\mu_0$.

**Solução de Exercício 29.3.**

$L = \mu_0n^2S\ell = 4\pi \times 10^{-7} \times 10^6 \times 4 \times 10^{-4} \times 0.2 =
0.10\,\mathrm{mH}$; $W = \tfrac12LI^2 = 1.3\,\mathrm{mJ}$; $\tau = L/R = 0.1\,\mathrm{ms}$. $B = \mu_0nI = 6.3\,\mathrm{mT}$, $B^2/2\mu_0 = 15.7\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$ sobre $S\ell = 8 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}$: $1.3\,\mathrm{mJ}$.

**Exercício 29.4 ★.**

Um transformador de $230\,\mathrm{V}$ para $12\,\mathrm{V}$: razão de espiras; espiras do primário para um secundário de $50$ espiras; corrente do primário quando o secundário entrega $2.0\,\mathrm{A}$. Por que ele não funciona com uma bateria de carro?

**Solução de Exercício 29.4.**

$N_2/N_1 = 12/230 = 0.052$; $N_1 = 50/0.052 = 960$ espiras; $i_1 = 2 \times 0.052 =
0.10\,\mathrm{A}$. Uma corrente contínua faz um fluxo constante: sem $\dd\varphi/\dd t$, sem [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) no secundário — e o primário, um curto, queimaria.

**Exercício 29.5 ★★.**

[Lei de Lenz](#thm-b1-induction-faraday): dê o sentido da corrente induzida e a direção da força em cada caso — (a) um polo norte se aproxima de um anel ao longo do seu eixo; (b) um anel está num campo que cresce; (c) um anel é largado sobre um ímã; (d) um ímã cai dentro de um tubo longo de cobre. Para (d), explique pela energia por que ele cai com velocidade constante e pequena.

**Solução de Exercício 29.5.**

(a) O fluxo (no sentido da aproximação) cresce: a corrente cria um campo que se opõe a ele — o seu próprio polo norte fica de frente para o norte do ímã — e o anel é empurrado para longe. (b) Uma corrente cujo campo se opõe ao crescimento; o anel, um dipolo antialinhado com $\vect B$, é empurrado para o campo mais fraco. (c) Ao cair, o fluxo cresce: mesma corrente que em (a), e o anel é freado. (d) Cada trecho de tubo à frente do ímã vê o fluxo crescer, e atrás dele, diminuir; as duas correntes induzidas freiam o ímã; na velocidade em que a [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) equilibra o peso, o ímã cai uniformemente e a sua [energia potencial](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#def-b1-work-and-energy-conservative) perdida vira calor Joule no tubo.

**Exercício 29.6 ★★.**

Alternador: $N = 200$, $S = 20\,\mathrm{cm}^{2}$, $B = 0.10\,\mathrm{T}$, $50\,\mathrm{Hz}$. Fem de pico e eficaz; corrente de pico e [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) de pico em $10\,\Omega$; [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) média; compare com a potência mecânica média e com o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) instantâneo no momento em que a fem se anula.

**Solução de Exercício 29.6.**

$E_{\max} = NBS\omega = 200 \times 2 \times 10^{-3} \times 0.1 \times 314 = 12.6\,\mathrm{V}$, eficaz $8.9\,\mathrm{V}$; $I_{\max} = 1.26\,\mathrm{A}$, $\Gamma_{\max} = NBSI_{\max} = 0.050\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (quando $\sin\omega t = 1$); $\langle P\rangle = E_{\max}^2/2R = 7.9\,\mathrm{W}$ $=
\langle\Gamma\omega\rangle = \tfrac12 \times 0.05 \times 314$; quando $e = 0$ a corrente é nula e o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) se anula — o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) pulsa a $100\,\mathrm{Hz}$.

**Exercício 29.7 ★★.**

*Freio magnético.* Uma espira quadrada de lado $a = 10\,\mathrm{cm}$ e resistência $R = 1.0\,\mathrm{m}\Omega$, de massa $1.0\,\mathrm{kg}$, sai de uma região de campo uniforme $B = 1.0\,\mathrm{T}$ com velocidade $v$ (um lado ainda dentro do campo). Fem, corrente, força de frenagem; equação do movimento e [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder); distância percorrida antes de parar a partir de $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; para onde foi a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke)?

**Solução de Exercício 29.7.**

$e = Bav$, $i = Bav/R$, $F = B^2a^2v/R = 10\,v$ (N). $m\,\dd v/\dd t = -B^2a^2v/R$: $v = v_0\eu^{-t/\tau}$, $\tau = mR/B^2a^2 = 0.10\,\mathrm{s}$; distância $v_0\tau =
10\,\mathrm{cm}$ (se a região de campo for longa o bastante). A [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke), $0.5\,\mathrm{J}$, é dissipada como $Ri^2$ na espira.

**Exercício 29.8 ★★.**

Uma pequena bobina ($N_2 = 50$ espiras, seção $2.0\,\mathrm{cm}^{2}$) fica dentro de um solenoide longo ($n_1 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$), com os eixos alinhados. [Indutância mútua](#def-b1-induction-inductance); fem na bobina quando a corrente do solenoide cresce a $100\,\mathrm{A}/\mathrm{s}$, e quando ela vale $1.0\,\mathrm{A}$ a $10\,\mathrm{kHz}$. $M$ depende de qual bobina conduz a corrente?

**Solução de Exercício 29.8.**

Fluxo do campo do solenoide $\mu_0n_1i_1$ através das $N_2$ espiras: $M =
\mu_0n_1N_2S_2 = 4\pi \times 10^{-7} \times 2000 \times 50 \times 2 \times 10^{-4} = 25\,\text{µ}\mathrm{H}$. Rampa: $e = M\,\dd i_1/\dd t = 2.5\,\mathrm{mV}$; a $10\,\mathrm{kHz}$ e $1\,\mathrm{A}$: $e_{\max} =
M\omega I = 25 \times 10^{-6} \times 6.3 \times 10^4 = 1.6\,\mathrm{V}$. $M$ é simétrica: o mesmo número dá o fluxo que a bobina pequena envia através do solenoide — muito mais difícil de calcular diretamente.

**Exercício 29.9 ★★.**

Energia num campo: $B = 1.5\,\mathrm{T}$ sobre $1.0\,\mathrm{m}^{3}$, como num ímã de ressonância magnética. Energia; indutância para $I = 500\,\mathrm{A}$; altura a que essa energia elevaria um carro de $1\,\mathrm{t}$; volume de hélio líquido que ela evapora num quench ($2.6\,\mathrm{kJ}$ por litro). Energia do campo da Terra ($5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$) numa sala de $50\,\mathrm{m}^{3}$.

**Solução de Exercício 29.9.**

$W = B^2V/2\mu_0 = 2.25/(2.51 \times 10^{-6}) = 0.90\,\mathrm{MJ}$; $L = 2W/I^2 =
7.2\,\mathrm{H}$; $h = W/mg = 92\,\mathrm{m}$; hélio: $9 \times 10^5/2600 = 350\,\mathrm{L}$. Campo da Terra: $(5 \times 10^{-5})^2/2\mu_0 = 1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}^{3}$, $50\,\mathrm{mJ}$ na sala.

**Exercício 29.10 ★★★.**

*Trilhos como motor.* A barra do [Exercício 29.2](#exo-b1-induction-2) (massa $m$, sem atrito) é ligada a uma fonte $E$ através da resistência $R$. (a) Equações elétrica e mecânica; mostre que $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E -
B\ell v)/R$. (b) [Velocidade limite](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/12-as-leis-de-newton-da-dinamica#prop-b1-newton-dynamics-terminal) e [constante de tempo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder). (c) Balanço de potência: potência da fonte $=$ Joule $+$ mecânica; [rendimento](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-efficiency) em função de $v$. (d) Números: $E = 2.0\,\mathrm{V}$, $m = 50\,\mathrm{g}$, o resto como no [Exercício 29.2](#exo-b1-induction-2). (e) Um canhão eletromagnético acelera um projétil de $10\,\mathrm{g}$ com $1\,\mathrm{MA}$ ao longo de $5\,\mathrm{m}$ em $1\,\mathrm{T}$: velocidade de saída ([ordem de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom)).

**Solução de Exercício 29.10.**

(a) $E - B\ell v = Ri$ (a força contraeletromotriz se opõe à fonte), $m\,\dd v/\dd t =
B\ell i$: $m\,\dd v/\dd t = B\ell(E - B\ell v)/R$. (b) $v_\infty = E/B\ell$, $\tau =
mR/B^2\ell^2$. (c) Multiplique a equação elétrica por $i$: $Ei = Ri^2 +
B\ell vi$, e $B\ell vi = Fv$ é a potência mecânica; [rendimento](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-efficiency) $Fv/Ei =
B\ell v/E = v/v_\infty$ — $100\%$ só a vazio, quando nada é entregue. (d) $v_\infty = 2/(0.5 \times 0.2) = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\tau = 0.05 \times
0.1/0.01 = 0.5\,\mathrm{s}$. (e) $F = B\ell I = 1 \times 0.1 \times 10^6 = 1 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ (tomando $\ell = 10\,\mathrm{cm}$), $a = 1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $v = \sqrt{2a \times 5} =
1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — dez quilômetros por segundo, a promessa e o problema dos canhões eletromagnéticos (os trilhos se erodem).

**Exercício 29.11 ★★★.**

*O disco de Faraday.* Um disco de cobre de raio $R$ gira com [velocidade angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/11-cinematica-do-ponto#cor-b1-point-kinematics-circular) $\omega$ em torno do seu eixo num $B$ uniforme paralelo ao eixo; escovas tocam o centro e a borda. (a) Fem entre o centro e a borda somando $(\vect v\wedge
\vect B)\cdot\dd\vect l$ ao longo de um raio: $e = \tfrac12B\omega R^2$. (b) Números: $R = 10\,\mathrm{cm}$, $3000\,\mathrm{rpm}$, $1.0\,\mathrm{T}$. (c) Por que ele é uma máquina de baixa [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) e alta corrente; corrente em $1\,\mathrm{m}\Omega$ e o [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) de frenagem. (d) Recupere $e$ pela [lei de Faraday](#thm-b1-induction-faraday) aplicada ao circuito escova–raio–borda–escova: que fluxo varia?

**Solução de Exercício 29.11.**

(a) No raio $r$ o metal se move a $v = \omega r$; $\vect v\wedge\vect B$ é radial, de módulo $\omega rB$: $e = \int_0^R\omega Br\,\dd r = \tfrac12B\omega R^2$. (b) $\omega = 314$: $e = 0.5 \times 1 \times 314 \times 0.01 = 1.6\,\mathrm{V}$. (c) Uma só “espira”, logo alguns volts no máximo; em $1\,\mathrm{m}\Omega$: $1.6\,\mathrm{kA}$, [torque](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-moment) $= P/\omega = ei/\omega = 2500/314 = 8\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$. (d) O circuito escova–raio– borda–escova varre a área $\tfrac12R^2\omega\,\dd t$ em cada $\dd t$: $\dd\Phi/\dd t =
\tfrac12BR^2\omega$ — é o fluxo através do circuito móvel e deformável.

**Exercício 29.12 ★★★.**

*Fogão de indução.* A bobina sob o vidro conduz $i_1 =
I_1\cos\omega t$ com $I_1 = 30\,\mathrm{A}$ a $25\,\mathrm{kHz}$; o fundo da panela age como uma única espira de resistência $R_p = 10\,\mathrm{m}\Omega$, acoplada por $M = 1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$ (desprezada a indutância da espira da panela). (a) Fem induzida na panela, valor de pico. (b) Corrente e [potência média](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#thm-b1-sinusoidal-impedance-power) dissipada na panela. (c) Por que uma frequência alta, e por que o calor aparece na panela e não no vidro? (d) A corrente da panela reage sobre a bobina: fem que ela induz ali (de pico) e potência extra que o gerador tem de fornecer — verifique que ela é igual à de (b).

**Solução de Exercício 29.12.**

(a) $e_2 = -M\,\dd i_1/\dd t$, de pico $M\omega I_1 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 30 =
4.7\,\mathrm{V}$. (b) $I_2 = 4.7/0.01 = 470\,\mathrm{A}$ de pico; $\langle P\rangle = R_pI_2^2/2
= 1.1\,\mathrm{kW}$. (c) A fem é $\propto\omega$: uma frequência alta dá uma fem útil com um $M$ modesto; o vidro é isolante, e nada circula nele — o calor nasce dentro do metal. (d) A corrente da panela induz na bobina $M\omega I_2 = 10^{-6} \times 1.57 \times 10^5 \times 470 = 74\,\mathrm{V}$ de pico, em fase com $i_1$ (a corrente da panela não se atrasa em relação a $e_2$, sendo resistiva, e $e_2$ se atrasa de $90{}^{\circ}$ em relação a $i_1$… de modo que a fem refletida vale $-M\,\dd i_2/\dd t$, em oposição de fase com a [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) *motriz* de $i_1$): o gerador fornece $\tfrac12 \times 74 \times 30 =
1.1\,\mathrm{kW}$ a mais — exatamente o que a panela dissipa.

![Um dínamo de garrafa: a roda gira um ímã dentro de uma bobina, o fluxo através da bobina muda, e a lâmpada acende — a lei de Faraday numa bicicleta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-induction/img-25a69feba0de.jpg)

*Um dínamo de garrafa: a roda gira um ímã dentro de uma bobina, o fluxo através da bobina muda, e a lâmpada acende — a [lei de Faraday](#thm-b1-induction-faraday) numa bicicleta.*

## 29.6 Problema: o dínamo de bicicleta e o alto-falante

**Problema 29.1.**

Problema de fim de semana — dois conversores eletromecânicos desmontados: um dínamo que se regula sozinho e um alto-falante cujo amplificador é também o seu freio

**Parte I — O dínamo de bicicleta.** Uma bobina de $N = 300$ espiras e área $S = 3.0\,\mathrm{cm}^{2}$ gira num campo uniforme $B = 0.30\,\mathrm{T}$; o seu eixo leva uma roldana de raio $r = 1.0\,\mathrm{cm}$ pressionada contra o pneu, de modo que a bobina gira com $\omega = v/r$ para uma velocidade $v$ da bicicleta. Resistência da bobina $r_c = 4.0\,\Omega$, indutância $L = 20\,\mathrm{mH}$; a lâmpada é uma resistência $R = 12\,\Omega$.

1. Fluxo através da bobina e fem induzida em função do tempo; [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) e frequência a $v = 18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
2. Desprezando $L$ de início: corrente eficaz e potência na lâmpada a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; uma lâmpada de “ $6\,\mathrm{V}$ , $3\,\mathrm{W}$ ” fica confortável?
3. Potência mecânica média que o ciclista fornece ao dínamo e a força correspondente sobre o pneu (compare com o atrito de rolamento, cerca de $2\,\mathrm{N}$ ).
4. Explique pela [lei de Lenz](#thm-b1-induction-faraday) por que o dínamo resiste, e por que uma lâmpada que acende “de graça” não contradiz a conservação da energia.
5. Inclua agora $L$ : [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) complexa do circuito; mostre que a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da corrente vale $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$ e que ela satura em alta velocidade; o seu limite e a velocidade em que ela atinge $70\%$ do limite.
6. Sem a indutância, o que a lâmpada receberia a $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ numa descida? E com ela?
7. Corrente e potência da lâmpada a $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e a $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; comente a autorregulação.
8. Os dínamos reais giram um ímã dentro de uma bobina fixa. A análise muda? Que problema prático isso elimina?
9. O que a lâmpada faz quando a bicicleta para num sinal vermelho, e como as lanternas modernas resolvem isso?

**Parte II — O alto-falante.** Bobina móvel: comprimento de fio $\ell = 5.0\,\mathrm{m}$ num campo radial $B =
1.0\,\mathrm{T}$, resistência $R = 8.0\,\Omega$, indutância $L = 0.50\,\mathrm{mH}$; massa móvel (bobina e cone) $m = 10\,\mathrm{g}$; rigidez da suspensão $k = 1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$, amortecimento mecânico $h = 1.0\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. Regime senoidal, [amplitudes complexas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-complex).

10. Força sobre a bobina para uma corrente $i$ ; força contraeletromotriz para uma velocidade $v$ (deduza as duas, com os sinais).
11. Escreva as equações elétrica e mecânica.
12. Elimine $i$ e mostre que $\underline v = \dfrac{B\ell\,\underline u}{(R + jL\omega)(jm\omega + h + k/j\omega) + B^2\ell^2}$ .
13. Nas frequências em que $L\omega \ll R$ , mostre que o acoplamento age como um amortecimento mecânico suplementar $B^2\ell^2/R$ ; valor; frequência de ressonância do cone e o seu [fator de qualidade](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-secondorder) com e sem o amortecimento elétrico.
14. O amplificador entrega $i$ de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $1.0\,\mathrm{A}$ a $1\,\mathrm{kHz}$ : [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de força, aceleração, deslocamento e velocidade do cone (regime controlado pela massa); [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da força contraeletromotriz comparada com $Ri$ .
15. A mesma corrente na frequência de ressonância: [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) da velocidade (regime controlado pelo amortecimento) e força contraeletromotriz; comente.
16. [Potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff) a $1\,\mathrm{kHz}$ ; potência mecânica dissipada em $h$ (tomada como o som e as perdas da suspensão); [rendimento](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-efficiency) .
17. Por que o fato de a pressão sonora ser proporcional à aceleração do cone (admita-o) é a razão de um cone controlado pela massa dar uma resposta plana acima da ressonância?
18. Por que o campo tem de ser radial, e por que um tweeter é pequeno?
19. Esboce o módulo da [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance) $\underline u/\underline i$ vista pelo amplificador de $10\,\mathrm{Hz}$ a $10\,\mathrm{kHz}$ : valor em baixa frequência, na ressonância (use a velocidade controlada pelo amortecimento) e a $10\,\mathrm{kHz}$ .

**Parte III — Ao contrário, e as contas.**

20. O mesmo dispositivo como microfone: um som move o cone a $v = 1.0\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) em circuito aberto.
21. Carregado por $R_L = 600\,\Omega$ : corrente e força de frenagem sobre o cone; mostre que o microfone tira potência do som por um amortecimento efetivo $B^2\ell^2/(R + R_L)$ .
22. A bobina é enrolada sobre um cilindro de alumínio (o carretel), uma espira fechada de comprimento $0.10\,\mathrm{m}$ e resistência $1.0\,\mathrm{m}\Omega$ : amortecimento que ele acrescenta; por que os carretéis são fendidos.
23. Bata no cone de um alto-falante cujos terminais estão em aberto e depois no de um cujos terminais estão em curto: qual dos dois soa por mais tempo, e por quê?
24. Escreva o balanço de energia do alto-falante ao longo de um período em [regime permanente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/7-regimes-transitorios-primeira-e-segunda-ordem#def-b1-transient-regimes-firstorder) , nomeando cada termo.
25. Resuma: para cada dispositivo, a lei usada e os dois números que vale a pena guardar.

**Solução de Problema 29.1.**

**1.** $\Phi = NBS\cos\omega t$, $e = NBS\omega\sin\omega t$; $NBS = 300 \times
0.3 \times 3 \times 10^{-4} = 0.027\,\mathrm{Wb}$; $\omega = v/r = 5/0.01 = 500\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) $13.5\,\mathrm{V}$, frequência $\omega/2\pi = 80\,\mathrm{Hz}$.

**2.** $I_{\text{rms}} = 13.5/\sqrt2/16 = 0.60\,\mathrm{A}$; lâmpada $RI^2 = 4.3\,\mathrm{W}$ sob $7.2\,\mathrm{V}$: uma lâmpada de $6\,\mathrm{V}$ e $3\,\mathrm{W}$ fica sobrecarregada e não dura.

**3.** Mecânica $=$ elétrica: $(R + r_c)I_{\text{rms}}^2 = 16 \times 0.36 =
5.7\,\mathrm{W}$; $F = P/v = 5.7/5 = 1.1\,\mathrm{N}$ — metade do atrito de rolamento; o ciclista sente.

**4.** O binário de Laplace da corrente induzida se opõe à rotação (Lenz); a energia da lâmpada vem das pernas do ciclista, $5.7\,\mathrm{W}$ dela.

**5.** $\underline Z = R + r_c + jL\omega$; $I = NBS\omega/\sqrt{(R + r_c)^2 + L^2\omega^2}$; para $L\omega \gg R + r_c$, $I \to NBS/L = 0.027/0.02 = 1.35\,\mathrm{A}$. $70\%$: $L\omega
= 0.7(R + r_c)/\sqrt{1 - 0.49} = 15.7$, $\omega = 784\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$, $v = 7.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**6.** Sem $L$: $e_{\max} = 3 \times 13.5 = 40.5\,\mathrm{V}$, $I_{\text{rms}} =
1.8\,\mathrm{A}$, $39\,\mathrm{W}$ na lâmpada — ela queima. Com $L$: $I = 40.5/\sqrt{256 +
900} = 1.2\,\mathrm{A}$ de pico, $8.5\,\mathrm{W}$: quente, mas dez vezes menos.

**7.** $9\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $e_{\max} = 6.75$, $|Z| = \sqrt{256 + 25} = 16.8$, $I = 0.40$, $P = \tfrac12 \times 0.16 \times 12 = 1.0\,\mathrm{W}$: fraca. $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: $e_{\max} = 27$, $|Z| = 25.6$, $I = 1.05$, $P = 6.6\,\mathrm{W}$. Quatro vezes a velocidade, $2.6$ vezes a corrente: a indutância regula.

**8.** Só o [movimento relativo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/18-referenciais-nao-inerciais-dinamica-na-terra#def-b1-non-inertial-frames-frames) importa: o fluxo através da bobina fixa varia do mesmo modo, mesma fem. Não são precisos contatos deslizantes (escovas) para tirar a corrente de uma bobina que gira.

**9.** Sem movimento, sem variação de fluxo, sem luz — daí o [capacitor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/27-potencial-eletrico-condutores-e-capacitores#def-b1-potential-capacitors-capacitance) ou a pequena bateria (“luz de parada”) carregada durante o pedal.

**10.** Cada elemento de fio é perpendicular ao $\vect B$ radial: $F = B\ell i$, axial. Movendo-se a $v$, cada elemento vê $\vect v\wedge\vect B$ ao longo do fio: $e = -B\ell v$, que se opõe à corrente que produz o movimento ([convenção receptor](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#thm-b1-dc-circuits-kirchhoff): uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) $B\ell v$).

**11.** $u = Ri + L\,\dd i/\dd t + B\ell v$; $m\,\dd v/\dd t = -kx - hv + B\ell i$.

**12.** $\underline i = (\underline u - B\ell\underline v)/(R + jL\omega)$; $\underline v\,(jm\omega + h +
k/j\omega) = B\ell\,\underline i$; substitua e resolva para $\underline v$.

**13.** $i \approx (u - B\ell v)/R$ dá $m\dot v + (h + B^2\ell^2/R)v + kx =
B\ell u/R$: amortecimento extra $25/8 = 3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$. $f_0 = \tfrac1{2\pi}\sqrt{k/m} =
50\,\mathrm{Hz}$; $Q = \sqrt{km}/h_{\text{tot}}$: $3.2$ em aberto, $0.77$ com o amplificador.

**14.** $F = 5.0\,\mathrm{N}$, $a = F/m = 500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $x = a/\omega^2 =
13\,\text{µ}\mathrm{m}$, $v = a/\omega = 0.080\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $B\ell v = 0.40\,\mathrm{V}$ contra $Ri = 8\,\mathrm{V}$: $5\%$.

**15.** Com a corrente imposta, $v = F/h = 5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (uma [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) de $16\,\mathrm{mm}$ — uma excursão enorme para $1\,\mathrm{A}$); $B\ell v =
25\,\mathrm{V}$, três vezes $Ri$: o amplificador tem de fornecer $33\,\mathrm{V}$ para empurrar $1\,\mathrm{A}$ na ressonância — é o pico de [impedância](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/8-regime-senoidal-permanente-e-impedancia#def-b1-sinusoidal-impedance-impedance). Um amplificador que fosse [fonte de tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-sources) deixaria, em vez disso, o amortecimento elétrico segurar o cone.

**16.** $\tfrac12RI^2 = 4.0\,\mathrm{W}$; $\tfrac12hv^2 = \tfrac12 \times 0.0064 =
3.2\,\mathrm{mW}$: [rendimento](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-efficiency) de $0.08\%$ — os alto-falantes são aquecedores que sussurram.

**17.** Acima da ressonância, $a = F/m = B\ell i/m$ não depende da frequência para uma dada corrente, de modo que a pressão, $\propto a$, fica plana: a banda controlada pela massa é a banda de trabalho.

**18.** Campo radial: a força é axial e a mesma em cada posição da bobina no entreferro. Um tweeter tem de permanecer controlado pela massa até $20\,\mathrm{kHz}$ com uma excursão minúscula: bobina e cone leves; e um cone pequeno irradia as frequências altas em todas as direções.

**19.** Baixa frequência: $v$ pequeno, $|Z| \approx R = 8\,\Omega$; a $50\,\mathrm{Hz}$: $u = Ri + B\ell v$ com $v = B\ell i/h$: $Z = R + B^2\ell^2/h = 8 + 25 =
33\,\Omega$; a $10\,\mathrm{kHz}$: $|R + jL\omega| = |8 + 31j| = 32\,\Omega$. Um pico na ressonância, um piso plano de $8\,\Omega$ e uma subida com $L\omega$.

**20.** $e = B\ell v = 5 \times 10^{-3} = 5\,\mathrm{mV}$.

**21.** $i = 5 \times 10^{-3}/608 = 8.2\,\text{µ}\mathrm{A}$; $F = B\ell i = 41\,\text{µ}\mathrm{N}$, opondo-se a $v$: $F = [B^2\ell^2/(R + R_L)]\,v$, um amortecimento de $0.041\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$; a potência $Fv = 4 \times 10^{-8}\,\mathrm{W}$ é tirada do som e acaba nos dois [resistores](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-resistor).

**22.** Carretel: $B^2\ell_f^2/R_f = 1 \times 0.01/10^{-3} = 10\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$, dez vezes $h$: ele amorteceria o cone e desperdiçaria potência como calor; uma fenda rompe a espira fechada.

**23.** Em aberto: só $h$ amortece, $Q = 3.2$, e ele soa. Em curto: a força contraeletromotriz faz passar corrente por $R$, acrescenta-se o amortecimento $B^2\ell^2/R$, $Q = 0.77$: ele para na hora. (Experimente.)

**24.** Ao longo de um período, as energias armazenadas voltam aos seus valores: $\langle ui\rangle = \langle Ri^2\rangle + \langle hv^2\rangle$ — entrada elétrica $=$ calor Joule na bobina $+$ perdas mecânicas (som irradiado e atrito da suspensão); o termo de acoplamento $B\ell iv$ aparece nas duas equações com sinais opostos e se cancela.

**25.** Dínamo: Faraday numa bobina girante — $13.5\,\mathrm{V}$ a $18\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, com a corrente limitada a $1.35\,\mathrm{A}$ pela sua própria indutância. Alto-falante: [força de Laplace](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#thm-b1-magnetostatics-laplace) e força contraeletromotriz — $3.1\,\mathrm{N}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}$ de amortecimento elétrico, [rendimento](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/24-maquinas-termicas#def-b1-heat-engines-efficiency) de $0.08\%$. Microfone: a mesma bobina ao contrário — $5\,\mathrm{mV}$ por milímetro por segundo.