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title: "Espelhos e lentes delgadas"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 3
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas
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# Capítulo 3 — Espelhos e lentes delgadas

Um espelho de maquiagem mostra um rosto com o dobro do tamanho; o dorso de uma colher o mostra minúsculo e direito, a concavidade o mostra minúsculo e de cabeça para baixo; uma lupa segurada com o braço estendido vira a sala ao contrário e, aproximada, aumenta um selo; a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de um celular, do tamanho de uma lentilha, pinta a rua inteira sobre um sensor. Uma única relação algébrica entre três distâncias governa todas essas imagens, e este capítulo a estabelece — primeiro para os espelhos curvos, depois para a [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) com que quase todos os instrumentos ópticos são construídos.

![Uma lente convergente formando sobre um anteparo a imagem real e invertida da chama de uma vela: as distâncias do objeto e da imagem obedecem à relação de conjugação deste capítulo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/img-4e16a71a9752.jpg)

*Uma [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) formando sobre um anteparo a [imagem real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) e invertida da chama de uma vela: as distâncias do objeto e da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) obedecem à relação de conjugação deste capítulo.*

## 3.1 Imagens e condições de Gauss

**Definição 3.1 (Objeto, imagem, estigmatismo).**

Um sistema óptico recebe raios vindos de um ponto $A$ (o *ponto objeto*). Se todos os raios emergentes passam por um único ponto $A'$, ou todos parecem vir de um único ponto $A'$, o sistema é *estigmático* para $A$, e $A'$ é a *imagem* de $A$. A imagem é *real* se os raios emergentes de fato se cruzam em $A'$ (ela pode ser recolhida num anteparo), e *virtual* se apenas os seus prolongamentos se cruzam (ela é vista através do sistema, não projetada). Do mesmo modo, o objeto é real se os raios incidentes divergem de $A$, e virtual se convergem para $A$ depois da entrada do sistema. O par $(A, A')$ é *conjugado*.

**Definição 3.2 (Sistema centrado; condições de Gauss).**

Um *sistema centrado* tem um eixo de simetria de revolução, o *eixo óptico*. Os raios que ficam próximos do eixo e fazem ângulos pequenos com ele são *paraxiais*; diz-se que um sistema usado apenas com raios paraxiais trabalha nas *condições de Gauss*. Nessas condições um sistema centrado é aproximadamente estigmático para todo ponto, e um plano-objeto perpendicular ao eixo tem um [plano-imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) perpendicular ao eixo (*aplanetismo*).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 3.3 (Por que ângulos pequenos).**

O [espelho plano](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) é o único sistema simples rigorosamente estigmático para todo ponto. Um espelho ou uma [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) esférica é estigmático apenas na medida em que $\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta$: é essa aproximação que transforma a [lei de Snell](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) em relações lineares entre distâncias. Fora dela, a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de um ponto é uma mancha (*aberrações*), e o trabalho do projetista — diafragmas, combinações de [lentes](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), superfícies asféricas — é empurrar essa mancha para baixo do que o olho ou o sensor conseguem resolver.

**Notação 3.4 (Medidas algébricas e aumento).**

O [eixo óptico](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss) é orientado no sentido da luz incidente; a direção transversal é orientada para cima. Para pontos $P$, $Q$ do eixo, $\overline{PQ}$ designa a [medida algébrica](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why) ($\overline{PQ} > 0$ se $Q$ está a jusante de $P$); para um objeto $AB$ perpendicular ao eixo e a sua [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'B'$, o *[aumento transversal](#rem-b1-mirrors-thin-lenses-why)* é

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} ,
$$

negativo para uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) invertida, de valor absoluto maior que $1$ para uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) ampliada.

## 3.2 Espelhos esféricos

**Definição 3.5 (Espelho esférico).**

Um *espelho esférico* é uma calota esférica refletora de centro $C$ e vértice $S$ (a sua interseção com o eixo). Ele é *côncavo* se a luz encontra o lado oco ($C$ do lado da luz incidente), e *convexo* em caso contrário. O seu *foco* $F$ é a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de um ponto do infinito sobre o eixo; a sua [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) é $f = \overline{SF}$.

**Proposição 3.6 (Foco de um espelho esférico).**

Nas [condições de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), o [foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) é o ponto médio de $SC$: $\overline{SF} = \overline{SC}/2$. Um [espelho côncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) tem $f < 0$ ([foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) real, à frente); um convexo tem $f > 0$ ([foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) virtual, atrás).

**Demonstração.** Um raio paralelo ao eixo, à altura $h$, encontra o espelho em $I$; a normal em $I$ é o raio $CI$, que faz um ângulo $\alpha$ com o eixo, $\sin\alpha = h/R$. Refletido com o mesmo ângulo $\alpha$ em relação à normal, o raio cruza o eixo em $F$; o triângulo $CIF$ tem ângulos iguais $\alpha$ em $C$ e em $I$, de modo que $CF = IF$ e, projetando, $CF = R/(2\cos\alpha)$. Para raios paraxiais $\cos\alpha \to 1$ e $CF = R/2$: todos esses raios cruzam o eixo no mesmo ponto, o ponto médio de $SC$. Sinal: para um [espelho côncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror), $C$ e $F$ ficam à frente (a montante) e $\overline{SC} < 0$. ∎

**Teorema 3.7 (Conjugação de um espelho esférico).**

Nas [condições de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ de um ponto $A$ do eixo satisfaz

$$
\frac{1}{\overline{SA'}} + \frac{1}{\overline{SA}} = \frac{2}{\overline{SC}}
= \frac{1}{\overline{SF}},
\qquad
\gamma = -\frac{\overline{SA'}}{\overline{SA}} .
$$

**Demonstração.** Tome um [espelho côncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) e um objeto real $A$ além de $C$; a forma algébrica cobre então todos os casos. Um raio que parte de $A$ atinge o espelho em $I$ (altura $h$) e volta a $A'$ sobre o eixo. Sejam $u$, $u'$, $\omega$ os ângulos de $AI$, $A'I$ e $CI$ com o eixo; paraxialmente $u = h/AS$, $u' = h/A'S$, $\omega = h/CS$ (distâncias). A lei da reflexão diz que a normal $CI$ bissecta o ângulo entre $AI$ e $A'I$: $\omega - u = u' - \omega$, isto é, $u + u' = 2\omega$, isto é, $1/AS + 1/A'S = 2/CS$; com $\overline{SA}$, $\overline{SA'}$, $\overline{SC}$ todos negativos, essa é a relação exibida. Quanto ao aumento, o raio $B \to S \to B'$ refletido no vértice faz ângulos iguais com o eixo: $A'B'/SA' = AB/SA$ em comprimentos, e a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) é invertida, $\gamma = -\overline{SA'}/\overline{SA}$. ∎

**Método 3.8 (Construindo uma imagem num espelho).**

Para um ponto-objeto $B$ fora do eixo, trace dois dos quatro raios notáveis; a sua interseção (ou a dos seus prolongamentos) é $B'$:

1. paralelo ao eixo $\to$ refletido passando por $F$ ;
2. passando por $F$ $\to$ refletido paralelo ao eixo;
3. passando por $C$ $\to$ refletido sobre si mesmo;
4. dirigido ao vértice $S$ $\to$ refletido simetricamente em relação ao eixo.

Então $A'$ é o pé da perpendicular baixada de $B'$ ao eixo.

![Um espelho côncavo (C, foco F a meio raio). Para um objeto AB além de C, o raio paralelo ao eixo volta passando por F e o raio que passa por F volta paralelo: eles se cruzam em B' — uma imagem real, invertida e reduzida, entre F e C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-1566047a0650.svg)

*Um [espelho côncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) ($C$, [foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) $F$ a meio raio). Para um objeto $AB$ além de $C$, o raio paralelo ao eixo volta passando por $F$ e o raio que passa por $F$ volta paralelo: eles se cruzam em $B'$ — uma [imagem real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), invertida e reduzida, entre $F$ e $C$.*

**Exemplo 3.9 (Espelho de barbear, espelho retrovisor).**

Um [espelho côncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de raio $60\,\mathrm{cm}$ ($f = -30\,\mathrm{cm}$) com um rosto a $20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/30 + 1/20 = 1/60$, $\overline{SA'} = +60\,\mathrm{cm}$ — atrás do espelho, virtual — e $\gamma = -60/(-20) = +3$: direita, três vezes maior, o espelho de barbear. Um [espelho convexo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de raio $2.0\,\mathrm{m}$ ($f = +1.0\,\mathrm{m}$) com um carro $20\,\mathrm{m}$ atrás: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ (virtual, atrás), $\gamma = +0.048$: direita, vinte vezes menor e, portanto, com campo amplo — o espelho retrovisor, com o seu aviso de que os objetos estão mais perto do que parecem.

## 3.3 Lentes delgadas

**Definição 3.10 (Lente delgada).**

Uma *lente* é um [meio transparente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#def-b1-rays-reflection-refraction-index) limitado por duas superfícies esféricas (ou planas); ela é *delgada* quando a sua espessura é desprezível frente aos raios de curvatura e às distâncias em jogo, de modo que os dois vértices se confundem num só ponto, o *centro óptico* $O$. Um raio que passa por $O$ não é desviado. O *[foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)* $F'$ é a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de um ponto do infinito sobre o eixo; o *[foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) objeto* $F$ é o ponto cuja [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) está no infinito; ambos estão à mesma distância de $O$: $\overline{OF'} = -\overline{OF} = f'$, a *distância focal*. A lente é *convergente* se $f' > 0$ ($F'$ real, a jusante; bordas mais finas que o centro), e *divergente* se $f' < 0$. A sua *vergência* $V = 1/f'$ é medida em *dioptrias* ($1\,\delta = 1\,\mathrm{m}^{-1}$).

**Teorema 3.11 (Conjugação de uma lente delgada).**

Nas [condições de Gauss](#def-b1-mirrors-thin-lenses-gauss), a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A'$ de um ponto $A$ do eixo satisfaz a [relação de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'},
\qquad
\gamma = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}},
$$

e, de modo equivalente, a [relação de Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj)

$$
\overline{FA}\cdot\overline{F'A'} = -f'^2,
\qquad
\gamma = \frac{f'}{\overline{FA}} = -\frac{\overline{F'A'}}{f'} .
$$

**Demonstração parcial.** O fato central é que uma [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) desvia um raio que a atravessa à altura $h$ do ângulo $h/f'$ em direção ao eixo, qualquer que seja a direção do raio — cada zona da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) age como um prisma delgado ([Observação 2.21](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#rem-b1-rays-reflection-refraction-thin)) cujo ângulo de refringência cresce linearmente com $h$ para superfícies esféricas; essa linearidade, exata para raios paraxiais, é admitida aqui e deduzida da [lei de Snell](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#thm-b1-rays-reflection-refraction-snell) em duas superfícies esféricas no volume do segundo ano. Admitindo-a: um raio que parte de $A$ (à distância $p = -\overline{OA} > 0$ para um objeto real) e chega à [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) à altura $h$ tem inclinação $h/p$, é desviado de $h/f'$ e sai com inclinação $h/p - h/f'$; ele cruza o eixo em $A'$ com $h/\overline{OA'} = h/f' - h/p$, isto é, $1/\overline{OA'}
- 1/\overline{OA} = 1/f'$, independentemente de $h$: todos os raios vindos de $A$ se encontram em $A'$. O raio $B \to O \to B'$ que passa pelo centro é retilíneo, de modo que $\overline{A'B'}/\overline{AB} = \overline{OA'}/\overline{OA}$. A forma de Newton segue substituindo $\overline{OA} = \overline{OF} + \overline{FA}
= -f' + \overline{FA}$ e $\overline{OA'} = f' + \overline{F'A'}$. ∎

**Método 3.12 (Construindo uma imagem através de uma lente delgada).**

Três raios notáveis a partir de $B$:

1. passando por $O$ : não desviado;
2. paralelo ao eixo: emerge passando por $F'$ ;
3. passando por $F$ : emerge paralelo ao eixo.

Dois bastam; para uma [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), use os prolongamentos (o raio dirigido a $F$ atrás da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) emerge paralelo; o raio paralelo emerge como se viesse de $F'$, à frente).

![Uma lente convergente: objeto AB além de F. O raio que passa por O segue reto, o raio paralelo se desvia passando por F', o raio que passa por F sai paralelo; os três se encontram em B': imagem real e invertida. Aqui OA = -1.5f', logo OA' = 3f' e = -2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-9d98a81aa150.svg)

*Uma [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): objeto $AB$ além de $F$. O raio que passa por $O$ segue reto, o raio paralelo se desvia passando por $F'$, o raio que passa por $F$ sai paralelo; os três se encontram em $B'$: [imagem real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) e invertida. Aqui $\overline{OA} = -1.5f'$, logo $\overline{OA'} = 3f'$ e $\gamma = -2$.*

![Uma lente divergente (F' a montante, F a jusante): o raio paralelo emerge como se viesse de F', o raio central segue reto; os seus prolongamentos se encontram em B' — uma imagem virtual, direita e reduzida, qualquer que seja a posição do objeto.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-0212246928e4.svg)

*Uma [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ($F'$ a montante, $F$ a jusante): o raio paralelo emerge como se viesse de $F'$, o raio central segue reto; os seus prolongamentos se encontram em $B'$ — uma [imagem virtual](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), direita e reduzida, qualquer que seja a posição do objeto.*

**Exemplo 3.13 (A mesma lente, três usos).**

Uma [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Selo a $3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtual, $\gamma = +2.5$: a lupa. Lâmpada a $20\,\mathrm{cm}$: $\overline{OA'} = 6.7\,\mathrm{cm}$, real, $\gamma = -1/3$: uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) invertida e reduzida sobre um cartão. Janela a $4\,\mathrm{m}$: $\overline{OA'}
\approx f'$, [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) invertida minúscula no plano focal — a câmera. Três usos, uma relação.

**Proposição 3.14 (Aumento longitudinal).**

Se o objeto se desloca ao longo do eixo de $\dd\overline{OA}$, a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se desloca de $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$, no mesmo sentido.

**Demonstração.** Derive a [relação de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) com $f'$ fixo: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2 + \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, de modo que $\dd\overline{OA'} = (\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA}$. ∎

**Observação 3.15 (Tolerância de foco).**

Um projetor com $\gamma = -50$ tem $\gamma^2 = 2500$: um slide que se deforma $0.1\,\mathrm{mm}$ sob o calor da lâmpada joga a sua [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $25\,\mathrm{cm}$ para fora do plano da tela. Inversamente, uma câmera ($\abs\gamma
\ll 1$) tolera grandes deslocamentos do objeto para um [desvio mínimo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#prop-b1-rays-reflection-refraction-prism) da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) — é a profundidade de campo.

## 3.4 Medindo uma distância focal

**Método 3.16 (Autocolimação).**

Coloque um [espelho plano](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) logo atrás da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) e desloque um objeto iluminado (uma cruz num vidro fosco) ao longo do eixo até que a sua [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), refletida de volta através da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), se forme nítida sobre o próprio objeto, invertida e do mesmo tamanho. O objeto está então no plano focal: os raios saem da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) paralelos, voltam paralelos do espelho e são refocalizados no plano focal. A distância objeto–lente vale $f'$.

**Proposição 3.17 (Método de Bessel).**

Um objeto e um anteparo estão fixos a uma distância $D$ um do outro. Uma [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) forma uma [imagem real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida sobre o anteparo em exatamente duas posições se $D > 4f'$, numa única se $D = 4f'$, e em nenhuma se $D < 4f'$. As duas posições distam $d$ uma da outra, com

$$
f' = \frac{D^2 - d^2}{4D} .
$$

Em $D = 4f'$ (Silbermann) a única posição dá $\gamma = -1$.

**Demonstração.** Seja $p = -\overline{OA} > 0$ a distância objeto–lente; então $\overline{OA'} = D - p$ e Descartes dá $1/(D - p) + 1/p = 1/f'$, isto é, $p^2 - Dp + Df' = 0$: discriminante $D^2 - 4Df'$, positivo se e só se $D > 4f'$. As duas raízes $p_{1,2} = (D \mp \sqrt{D^2 - 4Df'})/2$ somam $D$ (as posições são simétricas: as distâncias do objeto e da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se trocam) e diferem de $d = \sqrt{D^2 - 4Df'}$; basta isolar $f'$. Em $D = 4f'$, $p = 2f' = \overline{OA'}$ e $\gamma = -1$. ∎

![Método de Bessel: objeto e anteparo fixos com D > 4f'; a lente dá uma imagem nítida em duas posições simétricas separadas por d (ampliada, reduzida), e f' = (D2 - d2)/4D.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-mirrors-thin-lenses/fig-f9cf354a1d01.svg)

*[Método de Bessel](#prop-b1-mirrors-thin-lenses-bessel): objeto e anteparo fixos com $D > 4f'$; a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) dá uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida em duas posições simétricas separadas por $d$ (ampliada, reduzida), e $f' = (D^2 - d^2)/4D$.*

## 3.5 Duas lentes delgadas

**Proposição 3.18 (Lentes em contato; dubleto afocal).**

Duas [lentes delgadas](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) em contato se comportam como uma única [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [vergência](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $V = V_1 + V_2$. Duas [lentes](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) dispostas de modo que $F_1' = F_2$ formam um sistema *afocal*: um feixe paralelo emerge paralelo, e um feixe inclinado de $\alpha$ emerge inclinado de $\alpha' = G\alpha$, com o *aumento angular* $G = -f_1'/f_2'$.

**Demonstração.** A [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $A_1$ dada por $L_1$ é o objeto para $L_2$. Em contato, $O_1 = O_2 = O$: $1/\overline{OA_1} - 1/\overline{OA} = V_1$ e $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA_1} = V_2$; some. Afocal: um feixe paralelo com ângulo $\alpha$ focaliza no plano focal comum à altura $h = f_1'\alpha$ do eixo (raio que passa por $O_1$); visto de $L_2$, esse ponto está no seu plano focal objeto, de modo que o feixe emerge paralelo, com o ângulo do raio que vai desse ponto até $O_2$: $\alpha' = -h/f_2'$. ∎

**Exemplo 3.19 (Uma luneta em uma linha).**

$f_1' = 1000\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = -40$; a Lua, de meio grau de largura, vira um disco de $20^\circ$ — a luneta astronômica do próximo capítulo. Com uma ocular divergente, $f_2' = -25\,\mathrm{mm}$, $G = +40$: direita, a luneta de Galileu.

## 3.6 Exercícios

**Exercício 3.1 ★.**

Um [espelho côncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) tem $R = 40\,\mathrm{cm}$. Encontre a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de um objeto colocado a $60\,\mathrm{cm}$, $30\,\mathrm{cm}$ e $10\,\mathrm{cm}$ do vértice: posição, real ou virtual, aumento.

**Solução de Exercício 3.1.**

$\overline{SF} = -20\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{SA'} = 1/\overline{SF} -
1/\overline{SA}$. A $60\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -30\,\mathrm{cm}$, real, $\gamma = -0.5$. A $30\,\mathrm{cm}$: $\overline{SA'} = -60\,\mathrm{cm}$, real, $\gamma = -2$. A $10\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{SA'} = -1/20 + 1/10
= 1/20$, $\overline{SA'} = +20\,\mathrm{cm}$ atrás do espelho, virtual, $\gamma = +2$ (direita, ampliada).

**Exercício 3.2 ★.**

Uma [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) tem $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$. Encontre a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de um objeto a $20\,\mathrm{cm}$ e depois a $3.0\,\mathrm{cm}$; esboce as construções.

**Solução de Exercício 3.2.**

$\overline{OA} = -20\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/20 = 3/20$, $\overline{OA'} = +6.7\,\mathrm{cm}$, real invertida, $\gamma = -1/3$. $\overline{OA} = -3.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5 - 1/3 = -2/15$, $\overline{OA'} = -7.5\,\mathrm{cm}$, virtual direita, $\gamma = +2.5$.

**Exercício 3.3 ★.**

Dê a [vergência](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de uma [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $25\,\mathrm{cm}$; a [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de uma [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $-2.0\,\delta$; a [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de uma [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $+3.0\,\delta$ em contato com uma de $-1.0\,\delta$.

**Solução de Exercício 3.3.**

$V = 1/0.25 = +4.0\,\delta$; $f' = 1/(-2.0) = -50\,\mathrm{cm}$; $V = 3.0 - 1.0 = +2.0\,\delta$, $f' = 50\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 3.4 ★.**

Com $f' = 10\,\mathrm{cm}$ e um objeto $15\,\mathrm{cm}$ antes de $F$, use a [relação de Newton](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) para localizar a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) e encontrar $\gamma$; verifique com a [relação de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj).

**Solução de Exercício 3.4.**

$\overline{FA} = -15\,\mathrm{cm}$: $\overline{F'A'} = -f'^2/\overline{FA}
= +100/15 = 6.7\,\mathrm{cm}$ depois de $F'$, isto é, $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$; $\gamma = f'/\overline{FA} = -0.67$. Descartes: $\overline{OA} =
-25\,\mathrm{cm}$, $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/25 = 3/50$, $\overline{OA'} = 16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 16.7/(-25) = -0.67$.

**Exercício 3.5 ★★.**

Um espelho retrovisor convexo tem $R = 2.0\,\mathrm{m}$. Um carro de $1.5\,\mathrm{m}$ de altura está $20\,\mathrm{m}$ atrás dele: encontre a posição da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), a sua altura e explique o aviso “os objetos no espelho estão mais perto do que parecem”.

**Solução de Exercício 3.5.**

$\overline{SF} = +1.0\,\mathrm{m}$, $\overline{SA} = -20\,\mathrm{m}$: $1/\overline{SA'} = 1 + 1/20$, $\overline{SA'} = 0.95\,\mathrm{m}$ atrás do espelho (virtual, direita); $\gamma = -0.95/(-20) = +0.048$, altura da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $7.1\,\mathrm{cm}$. O cérebro julga a distância pelo tamanho aparente: um carro mostrado vinte vezes menor a $0.95\,\mathrm{m}$ é lido como um carro distante — mais distante que $20\,\mathrm{m}$.

**Exercício 3.6 ★★.**

Uma objetiva fotográfica, $f' = 50\,\mathrm{mm}$, focaliza um motivo a $2.0\,\mathrm{m}$ de distância. Quanto a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) precisa se deslocar em relação ao ajuste de infinito? Qual é o aumento? A que distância o fotógrafo deve ficar para que uma pessoa de $1.8\,\mathrm{m}$ caiba nos $24\,\mathrm{mm}$ de altura do sensor?

**Solução de Exercício 3.6.**

$1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/2000 = 0.0195\,\mathrm{mm}^{-1}$, $\overline{OA'} = 51.3\,\mathrm{mm}$: a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) se afasta $1.3\,\mathrm{mm}$ do sensor. $\gamma = 51.3/(-2000) = -0.026$. Para $\abs\gamma = 24/1800
= 1/75$: $\overline{OA} = f'(1/\gamma - 1) = 50 \times (-76) =
-3.8\,\mathrm{m}$.

**Exercício 3.7 ★★.**

Um projetor deve mostrar um slide de $36\,\mathrm{mm}$ de largura como uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de $1.8\,\mathrm{m}$ de largura numa tela a $5.0\,\mathrm{m}$ da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Encontre a [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) necessária e a distância slide–lente. Por que o slide é inserido de cabeça para baixo?

**Solução de Exercício 3.7.**

$\gamma = -1.8/0.036 = -50$; $\overline{OA'} = 5.0\,\mathrm{m}$, $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma = -10\,\mathrm{cm}$; $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2\,\mathrm{m}^{-1}$, $f' = 98\,\mathrm{mm}$. A [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) é invertida ($\gamma < 0$), de cima para baixo e da esquerda para a direita: o slide entra girado de $180^\circ$.

**Exercício 3.8 ★★.**

Explique, com um traçado de raios, por que a autocolimação localiza exatamente o plano focal e por que a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) devolvida é invertida e do mesmo tamanho do objeto. O que acontece com a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) devolvida se o espelho for ligeiramente inclinado?

**Solução de Exercício 3.8.**

Objeto no plano focal $\Rightarrow$ os raios de cada ponto deixam a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) paralelos; o [espelho plano](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#prop-b1-rays-reflection-refraction-mirror) os devolve paralelos (direção simétrica); a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) focaliza um feixe paralelo no seu plano focal, no ponto simétrico do ponto-fonte em relação ao eixo: [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) no plano do objeto, invertida, $\gamma = -1$. Inclinar o espelho de $\alpha$ gira o feixe de volta de $2\alpha$ e desloca a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) lateralmente de $2\alpha f'$, ainda nítida no mesmo plano.

**Exercício 3.9 ★★.**

O objeto e o anteparo distam $1.00\,\mathrm{m}$; obtêm-se imagens nítidas para duas posições da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) separadas por $40\,\mathrm{cm}$. Encontre $f'$. Qual é a menor distância objeto–anteparo em que essa [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ainda projeta uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida, e com que aumento?

**Solução de Exercício 3.9.**

$f' = (100^2 - 40^2)/(4 \times 100) = 21\,\mathrm{cm}$. Menor distância $4f' = 84\,\mathrm{cm}$, com $\gamma = -1$.

**Exercício 3.10 ★★★.**

Uma [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ ($f_1' = 20\,\mathrm{cm}$) é seguida, $15\,\mathrm{cm}$ adiante, por uma [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$ ($f_2' = -10\,\mathrm{cm}$). Localize a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de um objeto no infinito. Mostre que um objeto distante de tamanho angular $\alpha$ dá uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de altura $40\,\mathrm{cm}\times\alpha$, e compare com o comprimento do arranjo: o princípio da teleobjetiva.

**Solução de Exercício 3.10.**

$L_1$ conjuga o infinito em $F_1'$, $20\,\mathrm{cm}$ depois de $L_1$, isto é, $5\,\mathrm{cm}$ depois de $L_2$: um objeto virtual, $\overline{O_2A_1} = +5\,\mathrm{cm}$. $1/\overline{O_2A'} = -1/10 + 1/5 = 1/10$: [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) final $10\,\mathrm{cm}$ depois de $L_2$. Altura da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermediária $h_1 = f_1'\alpha = 20\alpha$ (cm); $\gamma_2 = 10/5 = 2$, logo $h = 40\alpha$: [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) equivalente $40\,\mathrm{cm}$, num barrilete de $15 + 10 = 25\,\mathrm{cm}$ — uma teleobjetiva.

**Exercício 3.11 ★★★.**

Um [espelho côncavo](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) forma, num anteparo a $80\,\mathrm{cm}$ do filamento de uma lâmpada, uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) do filamento três vezes maior que ele. Encontre as posições do espelho e o seu raio de curvatura.

**Solução de Exercício 3.11.**

$\gamma = -3 = -\overline{SA'}/\overline{SA}$ dá $\overline{SA'} =
3\overline{SA}$; ambos reais, à frente: $\overline{SA} = -x$, $\overline{SA'} = -3x$, e a distância anteparo–lâmpada $2x = 80\,\mathrm{cm}$: $x = 40\,\mathrm{cm}$. Espelho a $40\,\mathrm{cm}$ da lâmpada e a $120\,\mathrm{cm}$ do anteparo; $1/\overline{SF} = -1/40 - 1/120 = -1/30$: $R = 2 \times 30 = 60\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 3.12 ★★★.**

O Sol subtende $0.53^\circ$. Uma [lente convergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de diâmetro $10\,\mathrm{cm}$ e [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $50\,\mathrm{cm}$ forma a sua [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sobre uma folha de papel. Calcule o diâmetro da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image), a potência coletada (irradiância solar $1.0\,\mathrm{kW}/\mathrm{m}^{2}$) e a irradiância na [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image); compare com a irradiância direta do Sol e conclua.

**Solução de Exercício 3.12.**

$\theta = 0.53^\circ = 9.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$; diâmetro da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $f'\theta =
4.6\,\mathrm{mm}$. Potência coletada $10^3 \times \pi(0.05)^2 = 7.9\,\mathrm{W}$; área da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) $\pi(2.3\times10^{-3})^2 = 1.7 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$; irradiância $4.7 \times 10^{5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $470$ vezes a luz solar direta: o papel carboniza e se inflama — a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) incendiária. Em geral o ganho vale $(D/f'\theta)^2$.

## 3.7 Problema: o projetor de slides

**Problema 3.1.**

Problema de fim de semana — uma lente, medida numa bancada, depois encarregada de lançar um slide de 35 mm através de um salão: como um projetor é projetado, focalizado e equipado com um conversor de longo alcance

Uma objetiva de projeção $L_1$ é uma [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) convergente de [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ desconhecida. O slide tem $24\,\mathrm{mm}$ de altura e $36\,\mathrm{mm}$ de largura.

**Parte I — A [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) na bancada.**

1. Enuncie a [relação de Descartes](#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) e o aumento de uma [lente delgada](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) , com as convenções de sinal.
2. O objeto e o anteparo estão fixos a uma distância $D$ um do outro. Mostre que uma [imagem real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sobre o anteparo exige $D \geq 4f_1'$ .
3. Mostre que, quando $D > 4f_1'$ , as duas posições da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) que dão uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida são simétricas em relação ao ponto médio entre o objeto e o anteparo, e que $f_1' = (D^2 - d^2)/4D$ , sendo $d$ a separação entre elas.
4. Com $D = 80.0\,\mathrm{cm}$ e $d = 40.0\,\mathrm{cm}$ , calcule $f_1'$ .
5. A [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) fica num barrilete espesso cujo [centro óptico](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) não pode ser localizado com precisão. Por que isso não afeta o método?
6. As distâncias carregam $u(D) = 0.2\,\mathrm{cm}$ e $u(d) = 0.5\,\mathrm{cm}$ . Calcule $u(f_1')$ e escreva o resultado.
7. Dê o aumento em cada uma das duas posições. Qual delas corresponde a um projetor?
8. Qual é o menor $D$ para o qual existe [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) nítida, e o aumento nesse caso (Silbermann)?

**Parte II — Lançando a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image).** A [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) na tela deve ter $1.80\,\mathrm{m}$ de largura. Tome $f_1' = 15.0\,\mathrm{cm}$.

9. Que aumento é necessário (com o seu sinal)?
10. Calcule a distância lente–tela e a distância slide–lente.
11. Por que o slide é inserido de cabeça para baixo e invertido da esquerda para a direita?
12. A tela é levada a $10.0\,\mathrm{m}$ . De quanto, e em que sentido, a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) precisa ser deslocada em relação ao slide para refocalizar? Qual é a largura da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) agora?

**Parte III — Tolerância de [foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) e luz.**

13. Mostre que um pequeno deslocamento $\dd\overline{OA}$ do slide desloca a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de $\dd\overline{OA'} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$ .
14. O filme se deforma $0.10\,\mathrm{mm}$ sob o calor da lâmpada. De quanto se desloca o plano da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) (tela a $7.65\,\mathrm{m}$ )? Comente.
15. A abertura da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) tem $30\,\mathrm{mm}$ de diâmetro. Se a tela estiver $20\,\mathrm{cm}$ fora do plano da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) , qual é o diâmetro do círculo de confusão de um ponto do slide? Visto de $5\,\mathrm{m}$ , o olho (resolução angular de cerca de $3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ ) percebe?
16. O slide recebe $2.0\,\mathrm{W}$ de luz, que chegam integralmente à tela. Calcule a irradiância (potência por unidade de área) sobre o slide e sobre a tela, e mostre que a razão entre elas é $\gamma^2$ .

**Parte IV — O conversor de longo alcance.** Num salão maior a tela fica a $12.0\,\mathrm{m}$. Uma [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_2$, $f_2' = -30.0\,\mathrm{cm}$, é encaixada $8.0\,\mathrm{cm}$ atrás de $L_1$; a tela está a $12.0\,\mathrm{m}$ de $L_2$.

17. Para que a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) final seja real e esteja sobre a tela, onde (a partir de $L_2$ ) deve ficar a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermediária dada por $L_1$ ? Ela é um objeto real ou virtual para $L_2$ ?
18. Deduza a posição do slide $\overline{O_1A}$ .
19. Calcule $\gamma_1$ , $\gamma_2$ e o aumento total.
20. Dê a largura da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) e compare com o que $L_1$ sozinha daria na mesma tela ( $12.08\,\mathrm{m}$ de $L_1$ ).
21. Para um objeto no infinito, mostre que o sistema equivale a uma única [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_{\mathrm{eq}}$ com $$\frac{1}{f_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{f_1'} + \frac{1}{f_2'} - \frac{e}{f_1' f_2'},$$ $e = \overline{O_1O_2}$, no sentido de que um feixe inclinado de $\alpha$ focaliza à altura $f_{\mathrm{eq}}\,\alpha$ do eixo. Calcule $f_{\mathrm{eq}}$.
22. Verifique que a razão entre as larguras da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) (com/sem conversor) está próxima de $f_1'/f_{\mathrm{eq}}$ . Por que apenas aproximadamente?
23. Por que a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermediária deve ficar a menos de $\abs{f_2'}$ além de $L_2$ para que a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) final seja real?
24. Com a mesma lâmpada, por qual fator a irradiância na tela muda quando o conversor é montado (mesma distância de tela)?
25. Resuma: o conversor multiplica a [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) por qual fator, e o que ele faz com o tamanho e o brilho da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) a uma dada distância de projeção?

**Solução de Problema 3.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$, $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA}$; eixo orientado no sentido da luz, distâncias algébricas a partir de $O$.

**2.** $p = -\overline{OA}$, $\overline{OA'} = D - p$: $1/(D - p) + 1/p = 1/f_1'$, isto é, $p^2 - Dp + Df_1' = 0$; raízes reais se e só se $D^2 - 4Df_1' \geq 0$, isto é, $D \geq 4f_1'$.

**3.** As raízes somam $D$: $p_1 + p_2 = D$, logo $p_2 = D - p_1$ — as distâncias do objeto e da [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) se trocam e as posições são simétricas em relação ao ponto médio. $d = p_2 - p_1 = \sqrt{D^2 - 4Df_1'}$, donde $f_1' = (D^2 -
d^2)/4D$.

**4.** $f_1' = (6400 - 1600)/320 = 15.0\,\mathrm{cm}$.

**5.** Só entram o deslocamento $d$ do barrilete entre os dois ajustes nítidos e a distância objeto–anteparo $D$: nenhum dos dois exige saber onde $O$ fica dentro do barrilete.

**6.** $\partial f_1'/\partial D = 1/4 + d^2/4D^2 = 0.3125$, $\partial f_1'/\partial d = -d/2D = -0.25$; logo $u(f_1')^2 = (0.3125 \times 0.2)^2 + (0.25 \times 0.5)^2 =
0.0195\,\mathrm{cm}^{2}$ e $u(f_1') = 0.14\,\mathrm{cm}$: $f_1' = (15.00 \pm 0.14)\,\mathrm{cm}$.

**7.** $p = (80 \mp 40)/2 = 20$ ou $60\,\mathrm{cm}$: $\gamma =
-60/20 = -3$ (slide perto da [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), ampliado: o projetor) e $\gamma = -1/3$.

**8.** $D_{\min} = 4f_1' = 60.0\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -1$.

**9.** $\gamma = -1.80/0.036 = -50$.

**10.** $\overline{OA'} = f_1'(1 - \gamma) = 15 \times 51 =
765\,\mathrm{cm} = 7.65\,\mathrm{m}$; $\overline{OA} = \overline{OA'}/\gamma =
-15.3\,\mathrm{cm}$.

**11.** $\gamma < 0$: a [imagem real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) é girada de $180^\circ$ em torno do eixo, de modo que o slide é inserido girado de $180^\circ$ (de cabeça para baixo e invertido da esquerda para a direita).

**12.** $\overline{OA'} = 1000\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = 1/1000
- 1/15$, $\overline{OA} = -15.23\,\mathrm{cm}$: a [lente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) se desloca $0.7\,\mathrm{mm}$ em direção ao slide. $\gamma = 1000/(-15.23) = -65.7$: [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de $2.36\,\mathrm{m}$ de largura.

**13.** Derivando Descartes: $-\dd\overline{OA'}/\overline{OA'}^2
+ \dd\overline{OA}/\overline{OA}^2 = 0$, logo $\dd\overline{OA'} =
(\overline{OA'}/\overline{OA})^2\,\dd\overline{OA} = \gamma^2\,\dd\overline{OA}$.

**14.** $2500 \times 0.10\,\mathrm{mm} = 25\,\mathrm{cm}$: a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sai de [foco](#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) à medida que o filme esquenta — daí os slides montados em vidro ou um autofoco que acompanha o filme.

**15.** Triângulos semelhantes da abertura ao [ponto-imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image): borrão $= 30 \times 0.20/7.65 = 0.78\,\mathrm{mm}$; de $5\,\mathrm{m}$ isso subtende $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} < 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$: não é percebido.

**16.** Área do slide $8.64\times10^{-4}\ \mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{slide}}
= 2.0/8.64\times10^{-4} = 2.3 \times 10^{3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; a área da tela é $\gamma^2$ vezes maior, $2.16\,\mathrm{m}^{2}$: $E_{\text{tela}} = 0.93\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; mesma potência, áreas na razão $\gamma^2 = 2500$.

**17.** $\overline{O_2A'} = 1200\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{O_2A} =
1/1200 + 1/30 = 0.03417$, $\overline{O_2A} = +29.3\,\mathrm{cm}$: a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) intermediária fica $29.3\,\mathrm{cm}$ *além* de $L_2$ — um objeto virtual para $L_2$ (os raios vindos de $L_1$ convergem para ela).

**18.** $\overline{O_1A_1'} = 8.0 + 29.3 = 37.3\,\mathrm{cm}$; $1/\overline{O_1A} = 1/37.3 - 1/15 = -0.0398$, $\overline{O_1A} =
-25.1\,\mathrm{cm}$.

**19.** $\gamma_1 = 37.3/(-25.1) = -1.49$; $\gamma_2 = 1200/29.3 =
41.0$; $\gamma = -60.9$.

**20.** Largura $60.9 \times 36 = 2.19\,\mathrm{m}$. $L_1$ sozinha: $\gamma = 1 - \overline{OA'}/f_1' = 1 - 1208/15 = -79.5$, largura $2.86\,\mathrm{m}$.

**21.** Feixe a $\alpha$: $L_1$ o focaliza à altura $h_1 = f_1'\alpha$ no seu plano focal, que dista $\overline{O_2A_1} = f_1' - e$ de $L_2$; $L_2$ conjuga esse ponto em $\overline{O_2A'}$ com $1/\overline{O_2A'}
= 1/f_2' + 1/(f_1' - e)$ e o amplia por $\gamma_2 = \overline{O_2A'}/(f_1'
- e)$, de modo que $h = \gamma_2 f_1'\alpha$ e $f_{\mathrm{eq}} = \gamma_2 f_1'
= \dfrac{f_1' f_2'}{f_1' + f_2' - e}$, cujo inverso é a fórmula enunciada. $1/f_{\mathrm{eq}} = 1/15 - 1/30 + 8/450 = 0.0511\,\mathrm{cm}^{-1}$, $f_{\mathrm{eq}} = 19.6\,\mathrm{cm}$.

**22.** $2.19/2.86 = 0.77$ e $15/19.6 = 0.77$. Apenas aproximadamente, porque o slide está a distância finita e as duas projeções são medidas a partir de [lentes](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) diferentes; para um objeto no infinito a razão seria exata.

**23.** Objeto virtual em $p > 0$ além de uma [lente divergente](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens): $1/\overline{O_2A'} = 1/p + 1/f_2' = 1/p - 1/\abs{f_2'}$, positivo ([imagem real](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image)) se e só se $p < \abs{f_2'}$.

**24.** Mesma potência sobre uma [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) de área $(2.19/2.86)^2 = 0.59$ vezes menor: irradiância $\times 1.7$.

**25.** O conversor multiplica a [distância focal](#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) por $f_{\mathrm{eq}}/f_1' = 1.3$; a uma dada distância de projeção a [imagem](#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) fica $1.3$ vezes menor em cada direção e $1.7$ vezes mais brilhante — uma objetiva de longo alcance.