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title: "Introdução à física quântica"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 30
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/30-introducao-a-fisica-quantica
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# Capítulo 30 — Introdução à física quântica

Ilumine com luz ultravioleta um metal limpo e elétrons saem voando na hora, com uma energia que depende da cor da luz e absolutamente não do seu brilho; ilumine com luz vermelha e nada sai, por mais forte que seja a lâmpada. Envie elétrons um a um por duas fendas e eles chegam como pontos, cada um num lugar — e os pontos se acumulam, aos milhares, nas franjas de uma onda. Nenhum dos dois fatos cabe na física dos vinte e nove capítulos anteriores. Este último capítulo introduz as ideias em que eles cabem: a luz vem em quanta, os fótons; a matéria tem um [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal); o que se propaga é uma [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) cujo quadrado é uma probabilidade; posição e quantidade de movimento não podem ser ambas exatas; e uma partícula confinada só pode ter certas energias — e é por isso que os átomos têm tamanho, os espectros têm linhas e um grão de semicondutor de alguns nanômetros brilha numa cor fixada pelo seu diâmetro.

## 30.1 O fóton

**Teorema 30.1 (Relações de Planck–Einstein).**

A luz de frequência $\nu$ e [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $\lambda$ troca energia com a matéria apenas em quanta, os *fótons*, de energia e quantidade de movimento

$$
E = h\nu = \frac{hc}{\lambda} , \qquad p = \frac{h}{\lambda} = \frac{E}{c} ,
$$

com a *[constante de Planck](#thm-b1-quantum-introduction-photon)* $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ ($\hbar = h/2\pi =
1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$). Útil: $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$ — um fóton de $620\,\mathrm{nm}$ carrega $2\,\mathrm{eV}$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Proposição 30.2 (O efeito fotoelétrico).**

A luz que incide num metal de *[função trabalho](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric)* $W$ (a energia que liga os seus elétrons menos ligados, alguns eV) arranca elétrons de [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) máxima

$$
E_{k,\max} = h\nu - W ,
$$

e portanto só acima do *limiar* $\nu_0 = W/h$, instantaneamente, com uma energia independente da intensidade; a intensidade fixa o *número* de elétrons por segundo. O *[potencial de corte](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric)* $V_s$ que anula exatamente a corrente mede $E_{k,\max} = eV_s$, e o gráfico de $V_s$ contra $\nu$ é uma reta de inclinação $h/e$ — foi assim que Millikan mediu $h$.

**Demonstração.** Cada fóton é absorvido por um elétron, que fica, no melhor dos casos, com $h\nu - W$; uma onda entregaria energia continuamente a cada elétron, a energia cresceria com a intensidade, e uma luz fraca levaria horas para acumular $W$ num átomo ([Problema 30.1](#pb-b1-quantum-introduction-1)) — e nada disso se observa. A interpretação de Einstein (1905) fica admitida como lei. ∎

![À esquerda: a célula fotoelétrica — a luz liberta elétrons do cátodo; uma tensão inversa V_s apenas suficiente para pará-los mede a sua energia máxima. À direita: o potencial de corte contra a frequência é uma reta para cada metal, de inclinação h/e; o intercepto dá a função trabalho, e o limiar, a frequência mínima.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-69a01f93b142.svg)

![À esquerda: a célula fotoelétrica — a luz liberta elétrons do cátodo; uma tensão inversa V_s apenas suficiente para pará-los mede a sua energia máxima. À direita: o potencial de corte contra a frequência é uma reta para cada metal, de inclinação h/e; o intercepto dá a função trabalho, e o limiar, a frequência mínima.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-e407fcc90bef.svg)

*À esquerda: a célula fotoelétrica — a luz liberta elétrons do cátodo; uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) inversa $V_s$ apenas suficiente para pará-los mede a sua energia máxima. À direita: o [potencial de corte](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) contra a frequência é uma reta para cada metal, de inclinação $h/e$; o intercepto dá a [função trabalho](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric), e o limiar, a frequência mínima.*

**Exemplo 30.3 (Ordens de grandeza).**

Um fóton visível: $2\,\mathrm{eV}$; um fóton de raios X de $0.1\,\mathrm{nm}$: $12\,\mathrm{keV}$; um fóton de rádio a $100\,\mathrm{MHz}$: $4 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$. Um laser vermelho de $1\,\mathrm{mW}$ emite $10^{-3}/(3.1 \times 10^{-19}) = 3 \times 10^{15}$ fótons por segundo; uma antena de rádio que capta $1\,\mathrm{pW}$ a $100\,\mathrm{MHz}$ recebe $10^{13}$ por segundo — tantos e tão pequenos que a descrição ondulatória é exata para todos os fins; o [olho](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-eye), ao contrário, consegue registrar um clarão de uma centena de fótons. A natureza quântica da luz aparece quando os fótons são poucos ou energéticos: células fotoelétricas, detectores de raios X, o grão de uma fotografia fraca.

**Observação 30.4 (Espalhamento Compton).**

Um fóton que ricocheteia num elétron livre transfere quantidade de movimento como uma bola de bilhar: o seu [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) cresce de $\Delta\lambda = \frac{h}{m_ec}(1 -
\cos\theta)$, com $h/m_ec = 2.43\,\mathrm{pm}$ (admitido — uma colisão relativista, do segundo ano). Invisível para a luz ($\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-5}$), é um efeito de $20\%$ para os raios X, e foi a experiência que convenceu os céticos (1923) de que o fóton carrega a quantidade de movimento $h/\lambda$.

## 30.2 Ondas de matéria

**Teorema 30.5 (de Broglie).**

Uma partícula de quantidade de movimento $p$ se propaga como uma onda de [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)

$$
\lambda = \frac{h}{p} ,
$$

e apresenta, em consequência, difração e interferência: elétrons num cristal (Davisson e Germer, 1927), através de duas fendas (Jönsson, 1961), nêutrons, átomos e moléculas de sessenta átomos de carbono. Para um elétron acelerado por $U$, $\lambda = h/\sqrt{2m_eeU} = 1.23\,\mathrm{nm}/\sqrt{U/\mathrm{V}}$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 30.6 (Por que nunca víamos isso).**

Um elétron de $100\,\mathrm{eV}$: $\lambda = 0.12\,\mathrm{nm}$, o espaçamento dos átomos num cristal — daí a difração e o [microscópio](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-microscope) eletrônico. Um nêutron térmico ($0.025\,\mathrm{eV}$): $0.18\,\mathrm{nm}$. Uma bola de $1\,\mathrm{g}$ a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $\lambda = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$, $10^{20}$ vezes menor que um núcleo: fenda nenhuma, cristal nenhum poderia difratá-la. A natureza ondulatória da matéria é universal; é o seu [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) que a torna visível só para o que é leve e lento.

**Proposição 30.7 (Partículas isoladas constroem as franjas).**

Elétrons enviados um de cada vez através de duas fendas (Tonomura, 1989) fazem cada um um único ponto na tela, num lugar que não se pode prever; os pontos se acumulam na figura de interferência de duas fendas de uma onda de [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) $h/p$. Fechar uma das fendas apaga as franjas — a figura não é feita por elétrons que interferem uns com os outros, mas por a onda de cada elétron passar pelas duas fendas. Detectar por qual fenda uma partícula passou também apaga as franjas.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Elétrons um de cada vez através de duas fendas. Cada um chega como um ponto em algum lugar (à esquerda, em cima); os pontos se acumulam onde a onda de duas fendas é intensa (à esquerda, embaixo), seguindo a densidade de probabilidade | |2 da amplitude que passou pelas duas fendas (à direita). A figura é a mesma para fótons, nêutrons e moléculas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-c760ee40ed69.svg)

![Elétrons um de cada vez através de duas fendas. Cada um chega como um ponto em algum lugar (à esquerda, em cima); os pontos se acumulam onde a onda de duas fendas é intensa (à esquerda, embaixo), seguindo a densidade de probabilidade | |2 da amplitude que passou pelas duas fendas (à direita). A figura é a mesma para fótons, nêutrons e moléculas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-d94d6ea4cfb0.svg)

*Elétrons um de cada vez através de duas fendas. Cada um chega como um ponto em algum lugar (à esquerda, em cima); os pontos se acumulam onde a onda de duas fendas é intensa (à esquerda, embaixo), seguindo a [densidade de probabilidade](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction) $|\psi|^2$ da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) que passou pelas duas fendas (à direita). A figura é a mesma para fótons, nêutrons e moléculas.*

## 30.3 Amplitudes, probabilidades e o princípio da incerteza

**Definição 30.8 (Função de onda).**

O estado de uma partícula é descrito por uma *função de onda* $\psi(x, t)$ (complexa), tal que $|\psi(x, t)|^2\,\dd x$ é a probabilidade de encontrar a partícula entre $x$ e $x + \dd x$ quando se olha: $|\psi|^2$ é uma *densidade de probabilidade*, e $\int|\psi|^2\dd x =
1$. As [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) se somam (superposição): se dois caminhos levam ao mesmo ponto, $\psi = \psi_1 + \psi_2$ e $|\psi|^2 = |\psi_1|^2 + |\psi_2|^2 +
2\,\mathrm{Re}(\psi_1^\ast\psi_2)$ — o último termo é a interferência. Uma medida dá um dos resultados possíveis, ao acaso, com as probabilidades que as [amplitudes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#def-b1-wave-propagation-signal) prescrevem, e deixa a partícula no estado encontrado.

**Observação 30.9 (O que é que ondula).**

$\psi$ não é um campo físico como $\vect E$: ele não é medido, só o seu quadrado o é, e descreve o melhor conhecimento possível de onde a partícula será encontrada. Um único elétron não está espalhado pela tela; ele é detectado inteiro, num ponto; o que está espalhado é a probabilidade. É esse o conteúdo da teoria, e ela nunca falhou num teste.

**Teorema 30.10 (Princípio da incerteza de Heisenberg).**

A posição e a quantidade de movimento de uma partícula ao longo do mesmo eixo não podem ser ambas exatamente definidas: os seus desvios padrão, em qualquer estado, obedecem a

$$
\Delta x\,\Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2} .
$$

Uma partícula confinada a uma região de tamanho $\ell$ tem, portanto, uma dispersão de quantidade de movimento de pelo menos $\hbar/2\ell$, e daí uma [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) da ordem de $\hbar^2/2m\ell^2$ que resfriamento nenhum remove: confinar custa energia.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 30.11 (O tamanho do átomo de hidrogênio).**

Um elétron a menos de $r$ do próton tem $p \gtrsim \hbar/r$ e energia $E(r) \approx \dfrac{\hbar^2}{2m_er^2} - \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r}$: o primeiro termo explode se $r$ encolhe, e o segundo, se ele cresce. $\dd E/\dd r = 0$ em

$$
a_0 = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_ee^2} = 53\,\mathrm{pm} , \qquad
E(a_0) = -\frac{m_ee^4}{2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2} = -13.6\,\mathrm{eV} :
$$

o *[raio de Bohr](#ex-b1-quantum-introduction-hsize)* e a energia de ionização do hidrogênio, até o último algarismo. A física clássica não conseguia explicar por que o elétron não espirala até o núcleo (ele irradia) nem por que todos os átomos de um elemento são idênticos; o princípio da incerteza responde às duas coisas numa linha: o átomo é tão pequeno quanto pode ser sem que a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) supere a de ligação.

## 30.4 Quantização da energia

**Proposição 30.12 (Partícula numa caixa).**

Uma partícula de massa $m$ confinada entre duas paredes impenetráveis à distância $L$ tem, como a corda de Melde ([Capítulo 5](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#ch-b1-wave-propagation)), apenas as [ondas estacionárias](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#thm-b1-wave-propagation-standing) $\lambda_n = 2L/n$, e portanto apenas as quantidades de movimento $p_n = nh/2L$ e as energias

$$
E_n = \frac{n^2h^2}{8mL^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots
$$

com as [funções de onda](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction) $\psi_n(x) \propto \sin(n\pi x/L)$. A energia é *quantizada*; a mais baixa, o *[estado fundamental](#prop-b1-quantum-introduction-box)* $E_1 > 0$, é a energia de confinamento do princípio da incerteza tornada exata; a partícula salta entre níveis absorvendo ou emitindo um fóton de energia $h\nu = E_p - E_n$.

**Demonstração.** $\psi$ tem de se anular nas paredes (a partícula não pode estar lá), de modo que a onda encaixa um número inteiro de meios [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) em $L$ — é a condição da corda; de Broglie dá $p$, e $E = p^2/2m$. Que $\psi$ obedeça a uma equação de onda com essas condições de contorno fica admitido (a equação de Schrödinger, do segundo ano). ∎

![À esquerda: os três estados mais baixos de uma partícula numa caixa — as funções de onda são as ondas estacionárias de uma corda, as energias crescem como n2, e o estado fundamental não fica em zero. À direita: os níveis do átomo de hidrogênio e as suas duas primeiras séries de linhas; cada linha é um fóton de energia igual ao intervalo que ele vence.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-e856b32aaafb.svg)

![À esquerda: os três estados mais baixos de uma partícula numa caixa — as funções de onda são as ondas estacionárias de uma corda, as energias crescem como n2, e o estado fundamental não fica em zero. À direita: os níveis do átomo de hidrogênio e as suas duas primeiras séries de linhas; cada linha é um fóton de energia igual ao intervalo que ele vence.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/fig-e9a3ac650e43.svg)

*À esquerda: os três estados mais baixos de uma partícula numa caixa — as [funções de onda](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction) são as [ondas estacionárias](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#thm-b1-wave-propagation-standing) de uma corda, as energias crescem como $n^2$, e o [estado fundamental](#prop-b1-quantum-introduction-box) não fica em zero. À direita: os níveis do [átomo de hidrogênio](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen) e as suas duas primeiras séries de linhas; cada linha é um fóton de energia igual ao intervalo que ele vence.*

**Proposição 30.13 (O átomo de hidrogênio).**

O elétron do [átomo de hidrogênio](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen) tem as energias discretas

$$
E_n = -\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^2} , \qquad n = 1, 2, 3, \ldots ,
$$

sendo $n = 1$ o [estado fundamental](#prop-b1-quantum-introduction-box) e $E \geq 0$ o átomo ionizado. O seu espectro é feito de linhas em $h\nu = E_p - E_n$: a série de Lyman até $n = 1$ (ultravioleta, $122\,\mathrm{nm}$ para $2 \to 1$), a série de Balmer até $n = 2$ (visível: $656\,\mathrm{nm}$, $486\,\mathrm{nm}$, $434\,\mathrm{nm}$, …), e assim por diante. O modelo de Bohr (1913) obtém essas energias quantizando o [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) de uma [órbita circular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#prop-b1-central-forces-effective), $m_evr = n\hbar$ ([Exercício 30.9](#exo-b1-quantum-introduction-9)); a teoria completa substitui as órbitas por [funções de onda](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction), mas mantém as energias.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 30.14 (Cores a partir do tamanho: o ponto quântico).**

Um nanocristal de semicondutor de alguns nanômetros confina os seus elétrons como uma caixa: quanto menor o cristal, maior a energia de confinamento somada à banda proibida do semicondutor, e mais azul a luz que ele emite. Pontos de seleneto de cádmio de raio $2\,\mathrm{nm}$ brilham em azul, os de $3\,\mathrm{nm}$ em amarelo e os de $4\,\mathrm{nm}$ em vermelho — um só material, com as cores escolhidas com uma régua ([Problema 30.1](#pb-b1-quantum-introduction-1)). As telas de televisão os usam.

**Observação 30.15 (O que o resto da teoria acrescenta).**

A equação de Schrödinger torna exatos a caixa, o átomo e a molécula; ela prevê que uma partícula pode atravessar uma barreira que não tem energia para escalar (o *[efeito túnel](#rem-b1-quantum-introduction-rest)*, por trás da radioatividade e do [microscópio](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-microscope) de varredura por tunelamento); que as partículas idênticas são ou sociáveis (bósons — daí o *laser*, em que os fótons se amontoam num só modo) ou exclusivas (férmions — daí a tabela periódica e a rigidez da matéria); e que o spin do elétron é um [momento magnético](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/28-magnetostatica-campo-forcas-e-dipolos#def-b1-magnetostatics-moment) sem contrapartida clássica. Tudo isso é do segundo ano em diante; tudo isso repousa sobre as poucas ideias deste capítulo.

## 30.5 Exercícios

**Exercício 30.1 ★.**

Energia de um fóton de: rádio a $100\,\mathrm{MHz}$; luz a $500\,\mathrm{nm}$; raios X a $0.10\,\mathrm{nm}$; raios gama de $1\,\mathrm{MeV}$ (dê o seu [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal)). Número de fótons por segundo de um laser de $1.0\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$.

**Solução de Exercício 30.1.**

$h\nu$: $100\,\mathrm{MHz}$: $6.6 \times 10^{-26}$ J $= 4.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}$; $500\,\mathrm{nm}$: $1240/500 = 2.5\,\mathrm{eV}$; $0.10\,\mathrm{nm}$: $12.4\,\mathrm{keV}$; $1\,\mathrm{MeV}$: $\lambda =
1240/10^6 = 1.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm} = 1.2\,\mathrm{pm}$. Laser: $1240/633 = 1.96\,\mathrm{eV} =
3.1 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$, logo $10^{-3}/3.1 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{15}$ fótons por segundo.

**Exercício 30.2 ★.**

Sódio, $W = 2.3\,\mathrm{eV}$: [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) limiar; [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) máxima e [potencial de corte](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) para luz de $400\,\mathrm{nm}$; o que muda se a intensidade for dobrada? e com luz de $600\,\mathrm{nm}$?

**Solução de Exercício 30.2.**

$\lambda_0 = 1240/2.3 = 540\,\mathrm{nm}$. A $400\,\mathrm{nm}$, $h\nu = 3.1\,\mathrm{eV}$: $E_{k,\max} = 0.8\,\mathrm{eV}$, $V_s = 0.8\,\mathrm{V}$. Dobrar a intensidade dobra a corrente e deixa $V_s$ inalterado. A $600\,\mathrm{nm}$ ($2.07\,\mathrm{eV}$ $< W$): nada, com qualquer intensidade.

**Exercício 30.3 ★.**

[Comprimento de onda de De Broglie](#thm-b1-quantum-introduction-debroglie) de um elétron de $100\,\mathrm{eV}$ e de $1.0\,\mathrm{keV}$; de um nêutron de $0.025\,\mathrm{eV}$; de uma bola de $1\,\mathrm{g}$ a $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Quais deles podem ser difratados por um cristal (espaçamento de $0.2\,\mathrm{nm}$)?

**Solução de Exercício 30.3.**

Elétron: $1.23/\sqrt{100} = 0.12\,\mathrm{nm}$; a $1\,\mathrm{keV}$: $0.039\,\mathrm{nm}$. Nêutron: $E = 4.0 \times 10^{-21}\,\mathrm{J}$, $p = \sqrt{2m_nE} = 3.7 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = h/p = 0.18\,\mathrm{nm}$. Bola: $6.6 \times 10^{-34}/10^{-3} = 7 \times 10^{-31}\,\mathrm{m}$. Os três primeiros têm $\lambda$ da ordem do espaçamento atômico e são difratados (cristalografia de elétrons, de nêutrons e de raios X); a bola, nunca.

**Exercício 30.4 ★.**

Um elétron numa caixa de $1.0\,\mathrm{nm}$: $E_1$, $E_2$, [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) do fóton emitido em $2 \to 1$. Um próton numa caixa de $5\,\mathrm{fm}$ (um núcleo): $E_1$ em $\mathrm{MeV}$.

**Solução de Exercício 30.4.**

$E_1 = h^2/8m_eL^2 = 4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 10^{-18}) =
6.0 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.38\,\mathrm{eV}$, $E_2 = 4E_1 = 1.5\,\mathrm{eV}$; fóton de $1.13\,\mathrm{eV}$, $\lambda = 1240/1.13 = 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (infravermelho próximo). Próton em $5\,\mathrm{fm}$: $4.39 \times 10^{-67}/(8 \times 1.67 \times 10^{-27} \times 25 \times 10^{-30}) =
1.3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 8\,\mathrm{MeV}$ — a escala das energias nucleares, só a partir do confinamento.

**Exercício 30.5 ★★.**

Potenciais de corte medidos para um metal: $0.40\,\mathrm{V}$ a $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.23\,\mathrm{V}$ a $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $2.05\,\mathrm{V}$ a $1.0 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$. Deduza $h$ (com $e$ conhecido) e a [função trabalho](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric); [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) limiar; que metal poderia ser (césio $2.1\,\mathrm{eV}$, potássio $2.3\,\mathrm{eV}$, zinco $4.3\,\mathrm{eV}$)?

**Solução de Exercício 30.5.**

Inclinação $(2.05 - 0.40)/(4.0 \times 10^{14}) = 4.1 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$, $h = e \times 4.1 \times
10^{-15} = 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$. $W = h\nu - eV_s = 2.48 - 0.40 = 2.1\,\mathrm{eV}$, limiar $\lambda_0 = 1240/2.1 = 600\,\mathrm{nm}$: césio.

**Exercício 30.6 ★★.**

Compton: um fóton de raios X de $10\,\mathrm{pm}$ é espalhado a $90{}^{\circ}$ por um elétron. Novo [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal); energias do fóton antes e depois; energia cedida ao elétron. Deslocamento relativo para luz de $500\,\mathrm{nm}$ — por que Compton precisou de raios X.

**Solução de Exercício 30.6.**

$\Delta\lambda = 2.43\,\mathrm{pm}$: $\lambda' = 12.4\,\mathrm{pm}$. Antes: $1240/0.010 =
124\,\mathrm{keV}$; depois: $1240/0.0124 = 100\,\mathrm{keV}$; o elétron leva $24\,\mathrm{keV}$. Para a luz, $\Delta\lambda/\lambda = 2.4 \times 10^{-12}/5 \times 10^{-7} = 5 \times
10^{-6}$: imensurável em 1923 — os raios X tornaram o deslocamento um efeito de $25\%$.

**Exercício 30.7 ★★.**

*A experiência de Jönsson.* Elétrons de $50\,\mathrm{keV}$ (use $p =
\sqrt{2m_eE}$), duas fendas a $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ uma da outra, tela a $35\,\mathrm{cm}$. [Comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal); espaçamento das franjas; por que foi preciso uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) eletrônica de aumento. Na versão de Tonomura, um elétron de cada vez atravessa o aparelho: o que a tela mostra depois de 10 e depois de $10^5$ elétrons, e o que isso ensina?

**Solução de Exercício 30.7.**

$p = \sqrt{2 \times 9.11 \times 10^{-31} \times 5 \times 10^4 \times 1.6 \times 10^{-19}} =
1.2 \times 10^{-22}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\lambda = 5.5\,\mathrm{pm}$ (a relatividade corrige para $5.4\,\mathrm{pm}$); espaçamento das franjas $\lambda D/d = 5.5 \times 10^{-12} \times 0.35/2 \times 10^{-6}
= 1\,\text{µ}\mathrm{m}$: invisível a [olho](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-eye) nu, daí a [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de aumento. Dez elétrons: dez pontos, aparentemente ao acaso; $10^5$: as franjas. Cada elétron chega num ponto; a *probabilidade* de chegada segue a onda de duas fendas — a onda de um único elétron passa pelas duas fendas.

**Exercício 30.8 ★★.**

[Energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) mínima, pelo princípio da incerteza, de: um elétron confinado a $0.1\,\mathrm{nm}$ (um átomo); um elétron confinado a $5\,\mathrm{fm}$ (um núcleo — use $E \approx pc$ se o resultado for relativista, e conclua se os núcleos podem conter elétrons); um grão de poeira de $1\,\text{µ}\mathrm{g}$ localizado em $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ (dê $\Delta v$).

**Solução de Exercício 30.8.**

Átomo: $\Delta p \geq \hbar/2\Delta x = 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E \sim \Delta p^2/2m_e =
1.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J} \approx 1\,\mathrm{eV}$: a escala certa. Núcleo: $\Delta p \geq
1.1 \times 10^{-20}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $\Delta p^2/2m_e$ daria $400\,\mathrm{MeV}$, muito acima de $m_ec^2$, de modo que se usa $E \approx \Delta p\,c = 3 \times 10^{-12}\,\mathrm{J} = 20\,\mathrm{MeV}$: força nenhuma dentro do núcleo poderia segurar um elétron tão energético — os núcleos não contêm elétrons (os elétrons beta são criados na emissão). Grão: $\Delta v \geq
\hbar/2m\Delta x = 1.05 \times 10^{-34}/(2 \times 10^{-9} \times 10^{-6}) = 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: irrelevante.

**Exercício 30.9 ★★.**

*O modelo de Bohr.* Um elétron numa [órbita circular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#prop-b1-central-forces-effective) de raio $r$ em torno de um próton: (a) velocidade e energia em função de $r$ (dinâmica coulombiana, [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#ch-b1-central-forces)); (b) imponha $m_evr = n\hbar$ e deduza $r_n = n^2a_0$, $E_n = E_1/n^2$ com $a_0$ e $E_1$ como no [Exemplo 30.11](#ex-b1-quantum-introduction-hsize); (c) $v_1$ e $v_1/c$; (d) [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) da Lyman $\alpha$ ($2 \to 1$) e da H$\alpha$ ($3 \to 2$); (e) mostre que a órbita $n$ contém exatamente $n$ [comprimentos de onda de De Broglie](#thm-b1-quantum-introduction-debroglie).

**Solução de Exercício 30.9.**

(a) $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$: $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$, $E =
\tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$. (b) $m_evr = n\hbar$ e $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$: divida o quadrado da primeira pela segunda: $m_er = n^2\hbar^2 \cdot 4\pi\varepsilon_0/e^2$, $r_n = n^2a_0$, e $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0n^2a_0
= E_1/n^2$ com $a_0 = 52.9\,\mathrm{pm}$, $E_1 = -13.6\,\mathrm{eV}$. (c) $v_1 =
\hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v_1/c = 1/137$. (d) $2 \to 1$: $\tfrac34 \times
13.6 = 10.2\,\mathrm{eV}$, $122\,\mathrm{nm}$; $3 \to 2$: $(\tfrac14 - \tfrac19) \times 13.6 =
1.89\,\mathrm{eV}$, $656\,\mathrm{nm}$. (e) $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (pois $m_ev_1a_0 = \hbar$), e $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$.

**Exercício 30.10 ★★★.**

*Sistemas hidrogenoides.* (a) Para um núcleo de carga $Ze$, mostre que $E_n = -Z^2 \times 13.6\,\mathrm{eV}/n^2$ e $r_n = n^2a_0/Z$: energia de ionização do He$^+$ e do último elétron do urânio ($Z = 92$; comente). (b) Hidrogênio muônico: o múon tem $207$ vezes a massa do elétron: raio e energia fundamental; [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) da sua linha Lyman $\alpha$; por que ele é usado para medir o tamanho do próton (raio $0.84\,\mathrm{fm}$). (c) Positrônio (elétron e pósitron, de massas iguais): mostre que a [massa reduzida](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#prop-b1-systems-of-points-twobody) divide as energias por dois: a sua Lyman $\alpha$.

**Solução de Exercício 30.10.**

(a) Substitua $e^2$ por $Ze^2$: $a_0 \to a_0/Z$, $E_1 \to Z^2E_1$. He$^+$: $54.4\,\mathrm{eV}$. U$^{91+}$: $92^2 \times 13.6 = 115\,\mathrm{keV}$ — mas $v_1 = Z\alpha c
= 0.67c$: ali o modelo não relativista é apenas indicativo. (b) $a_0/207
= 256\,\mathrm{fm}$, $E_1 = 207 \times 13.6 = 2.8\,\mathrm{keV}$; Lyman $\alpha$: $2.1\,\mathrm{keV}$, $\lambda = 0.59\,\mathrm{nm}$ (raios X). A órbita do múon tem só $300$ raios do próton: os seus níveis se deslocam de modo mensurável com o tamanho do próton, e foi assim que o raio do próton foi remedido (2010). (c) As duas partículas orbitam o centro comum: a [massa reduzida](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/19-sistemas-de-pontos-introducao-aos-corpos-rigidos#prop-b1-systems-of-points-twobody) $m_e/2$ divide por dois cada energia: $E_1 = -6.8\,\mathrm{eV}$, Lyman $\alpha$ a $5.1\,\mathrm{eV}$, $243\,\mathrm{nm}$.

**Exercício 30.11 ★★★.**

*[Pontos quânticos](#ex-b1-quantum-introduction-dot).* Num nanocristal esférico de raio $R$ a energia de confinamento de uma partícula de massa efetiva $m^\ast$ vale $h^2/8m^\ast R^2$ (admitido). CdSe: banda proibida $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$, $m_e^\ast =
0.13\,m_e$, $m_h^\ast = 0.45\,m_e$ (a “lacuna” deixada pelo elétron excitado também fica confinada). (a) Energia do fóton emitido $E_g + E_e + E_h$ e [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$, $3.0\,\mathrm{nm}$ e $4.0\,\mathrm{nm}$; cores. (b) Raio para emissão a $520\,\mathrm{nm}$ (verde). (c) Por que o CdSe maciço emite só a $713\,\mathrm{nm}$? (d) Uma dispersão de $10\,\%$ nos raios de um lote: dispersão em [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) a $3\,\mathrm{nm}$.

**Solução de Exercício 30.11.**

(a) $h^2/8m_e = 6.02 \times 10^{-38}\,\mathrm{J}\,\mathrm{m}^{2}$. $R = 2\,\mathrm{nm}$: $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/
(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$, $E_h = 0.21\,\mathrm{eV}$, total $1.74 +
0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$, $464\,\mathrm{nm}$: azul. $3\,\mathrm{nm}$: confinamento $\times4/9$, $2.15\,\mathrm{eV}$, $577\,\mathrm{nm}$: amarelo. $4\,\mathrm{nm}$: $\times1/4$, $1.97\,\mathrm{eV}$, $629\,\mathrm{nm}$: vermelho. (b) $520\,\mathrm{nm}$ valem $2.38\,\mathrm{eV}$: confinamento $0.65\,\mathrm{eV}$ $= 0.93 \times (2/R)^2$, $R = 2.4\,\mathrm{nm}$. (c) Sem confinamento: só $E_g$, $713\,\mathrm{nm}$. (d) $\delta E = -2 \times 0.1 \times 0.41 = -0.08\,\mathrm{eV}$, $4\%$ de $2.15\,\mathrm{eV}$: cerca de $20\,\mathrm{nm}$ de dispersão — cores puras exigem lotes monodispersos.

**Exercício 30.12 ★★★.**

*Energia de ponto zero.* (a) Para um [oscilador harmônico](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/14-osciladores-mecanicos-amortecimento-e-ressonancia#def-b1-oscillators-resonance-harmonic) $E = p^2/2m +
\tfrac12m\omega^2x^2$, tome $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ e minimize $E \approx
\Delta p^2/2m + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$ em $\Delta x$: mostre que $E_{\min} = \hbar\omega/2$ (a energia fundamental exata). (b) A molécula de H$_2$ vibra a $\omega =
8.3 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$: energia de ponto zero em eV, e a menor temperatura em que a sua vibração é “térmica” ($k_BT \sim \hbar\omega$). (c) O hélio líquido nunca congela à pressão atmosférica: estime a energia de ponto zero de um átomo de hélio localizado em $\Delta x = 0.05\,\mathrm{nm}$ (uma fração da distância interatômica) num cristal, e compare com a sua energia de ligação no sólido, cerca de $1\,\mathrm{meV}$. (d) Compare a fórmula da caixa $E_1 = h^2/8mL^2$ com o limite da incerteza para $\Delta x = L/2$: qual é maior, e por que tem de ser?

**Solução de Exercício 30.12.**

(a) $E(\Delta x) = \hbar^2/8m\Delta x^2 + \tfrac12m\omega^2\Delta x^2$; derivada nula em $\Delta x^2 = \hbar/2m\omega$, onde os dois termos valem $\hbar\omega/4$: $E_{\min} =
\hbar\omega/2$. (b) $\tfrac12 \times 1.055 \times 10^{-34} \times 8.3 \times 10^{14} = 4.4 \times 10^{-20}\,\mathrm{J}
= 0.27\,\mathrm{eV}$; $T \sim \hbar\omega/k_B = 6300\,\mathrm{K}$ — à temperatura ambiente a vibração está congelada no seu [estado fundamental](#prop-b1-quantum-introduction-box). (c) $\Delta p = \hbar/2\Delta x =
1.05 \times 10^{-24}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E = \Delta p^2/2m_{\mathrm{He}} = 1.1 \times 10^{-48}/1.33 \times
10^{-26} = 8 \times 10^{-23}\,\mathrm{J} = 0.5\,\mathrm{meV}$: metade da ligação — os átomos não conseguem ficar quietos o bastante para cristalizar; o hélio permanece líquido até o zero absoluto, a menos que seja comprimido ($25\,\mathrm{bar}$). (d) $E_1 = \pi^2\hbar^2/2mL^2$ contra $\hbar^2/2mL^2$: dez vezes maior, como tem de ser — o limite é um limite inferior, e o estado da caixa tem $\Delta x \approx 0.18L$, e não $L/2$.

![O espectro de emissão visível do hidrogênio: as linhas de Balmer a 656\, nm, 486\, nm, 434\, nm e 410\, nm, cada uma um salto para n = 2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/img-ba97c5e0ee08.jpg)

*O espectro de emissão visível do hidrogênio: as linhas de Balmer a $656\,\mathrm{nm}$, $486\,\mathrm{nm}$, $434\,\mathrm{nm}$ e $410\,\mathrm{nm}$, cada uma um salto para $n = 2$.*

![Pontos quânticos de um mesmo material em frascos: quanto menor o nanocristal, maior a energia de confinamento e mais azul a luz — a cor escolhida pelo tamanho.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-quantum-introduction/img-7f970193e5ad.jpg)

*[Pontos quânticos](#ex-b1-quantum-introduction-dot) de um mesmo material em frascos: quanto menor o nanocristal, maior a energia de confinamento e mais azul a luz — a cor escolhida pelo tamanho.*

## 30.6 Problema: o espectro do hidrogênio e um ponto quântico

**Problema 30.1.**

Problema de fim de semana — medir $h$ com luz e um voltímetro, construir o átomo de hidrogênio a partir de três constantes e escolher a cor de um cristal pelo seu tamanho

Constantes: $h = 6.626 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $\hbar = 1.055 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$, $c =
3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $e = 1.602 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, $1/4\pi\varepsilon_0 = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{SI}$, $hc = 1240\,\mathrm{eV}\,\mathrm{nm}$.

**Parte I — Medindo a [constante de Planck](#thm-b1-quantum-introduction-photon).** Um fotocátodo de potássio é iluminado com luz monocromática; mede-se o [potencial de corte](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric): $0.30\,\mathrm{V}$ a $6.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $0.69\,\mathrm{V}$ a $7.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.13\,\mathrm{V}$ a $8.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $1.50\,\mathrm{V}$ a $9.0 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ e $2.36\,\mathrm{V}$ a $1.1 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$.

1. Descreva a célula e explique por que uma [tensão](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/6-circuitos-em-corrente-continua-leis-de-kirchhoff-e-teoremas#def-b1-dc-circuits-voltage) inversa consegue parar a corrente, e o que $eV_s$ mede.
2. Escreva a relação de Einstein e diga o que dão a inclinação e o intercepto de $V_s(\nu)$ .
3. A partir dos dados (um ajuste linear, ou os dois pontos extremos), deduza $h$ ; compare com o valor aceito.
4. [Função trabalho](#prop-b1-quantum-introduction-photoelectric) do potássio em eV; frequência e [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) limiares; uma caneta laser vermelha conseguiria arrancar elétrons?
5. A intensidade da lâmpada é dobrada: o que acontece com $V_s$ e com a corrente? Por que isso é incompatível com uma imagem puramente ondulatória?
6. Estimativa clássica: uma luz de $1\,\text{µ}\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ incide no metal; um átomo oferece uma área de cerca de $1 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}^{2}$ : quanto tempo levaria para acumular $2.2\,\mathrm{eV}$ num átomo? O que se observa em vez disso?

**Parte II — O [átomo de hidrogênio](#prop-b1-quantum-introduction-hydrogen) de Bohr.**

7. Um elétron numa [órbita circular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/16-forcas-centrais-planetas-e-satelites#prop-b1-central-forces-effective) de raio $r$ em torno de um próton fixo: velocidade $v(r)$ e [energia mecânica](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-em) $E(r)$ .
8. Condição de Bohr $m_evr = n\hbar$ : mostre que $r_n = n^2a_0$ e dê $a_0 = 4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2$ numericamente.
9. $E_n = E_1/n^2$ com $E_1 = -m_ee^4/[2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2]$ ; valor numérico em eV.
10. Velocidade na primeira órbita e a razão $v_1/c$ (a constante de estrutura fina $\alpha \approx 1/137$ ).
11. [Comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) das linhas $2 \to 1$ (Lyman $\alpha$ ), $3 \to 2$ e $4 \to 2$ (Balmer H $\alpha$ e H $\beta$ ): quais são visíveis?
12. Mostre que $1/\lambda = R_H(1/n^2 - 1/p^2)$ e calcule a constante de Rydberg $R_H$ ; o menor [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) de Balmer.
13. Energia de ionização do hidrogênio a partir do [estado fundamental](#prop-b1-quantum-introduction-box) ; [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) do fóton que apenas o ioniza.
14. De Broglie: mostre que a circunferência da órbita $n$ vale $n$ [comprimentos de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) — a condição de Bohr é uma condição de [onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#thm-b1-wave-propagation-standing) .
15. Duas coisas que o modelo erra, uma que ele acerta exatamente e o que substitui a órbita na teoria completa.

**Parte III — O [ponto quântico](#ex-b1-quantum-introduction-dot).** Um nanocristal de CdSe de raio $R$ confina um elétron excitado (massa efetiva $m_e^\ast = 0.13\,m_e$) e a lacuna que ele deixa ($m_h^\ast = 0.45\,m_e$); a energia de confinamento de cada um numa esfera de raio $R$ vale $h^2/8m^\ast R^2$ (admitido); a banda proibida do CdSe maciço vale $E_g = 1.74\,\mathrm{eV}$.

16. Deduza as energias $E_n = n^2h^2/8mL^2$ de uma partícula numa caixa unidimensional a partir da condição de [onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#thm-b1-wave-propagation-standing) , e comente a analogia com a fórmula da esfera.
17. Energias de confinamento do elétron e da lacuna para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ .
18. Energia e [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) do fóton emitido para $R = 2.0\,\mathrm{nm}$ , $3.0\,\mathrm{nm}$ e $4.0\,\mathrm{nm}$ ; cores.
19. Explique numa frase por que os pontos menores são mais azuis.
20. Verifique a [ordem de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom) com o princípio da incerteza: $\Delta p \sim \hbar/R$ para o elétron em $R = 2\,\mathrm{nm}$ , e a [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/13-trabalho-energia-e-energia-potencial#thm-b1-work-and-energy-ke) que isso implica.
21. Um ponto emite $1.0\,\mathrm{nW}$ a $577\,\mathrm{nm}$ : fótons por segundo.

**Parte IV — Contando quanta.**

22. Fótons por segundo de um laser de $1.0\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$ .
23. O [olho](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho#def-b1-optical-instruments-eye) adaptado ao escuro detecta um clarão de cerca de $100$ fótons a $500\,\mathrm{nm}$ que chegam em $0.1\,\mathrm{s}$ : a potência correspondente.
24. Uma antena de FM recebe $1.0\,\mathrm{pW}$ a $100\,\mathrm{MHz}$ : fótons por segundo; há alguma esperança de detectá-los um a um?
25. Resuma: só a partir de $h$ , $e$ e $m_e$ , que três grandezas do mundo atômico este problema produziu, e com que [ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/1-unidades-dimensoes-e-medida#def-b1-units-dimensions-oom) ?

**Solução de Problema 30.1.**

**1.** A luz liberta elétrons do cátodo com energias variadas; mantido a $-V_s$, o ânodo os repele e só chegam os que têm $E_k > eV_s$. A corrente se anula quando $eV_s = E_{k,\max}$.

**2.** $eV_s = h\nu - W$: inclinação $h/e$, intercepto $-W/e$; $V_s = 0$ no limiar $\nu_0 = W/h$.

**3.** Pontos extremos: $(2.36 - 0.30)/(5.0 \times 10^{14}) = 4.12 \times 10^{-15}\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}$, $h = 1.602 \times 10^{-19} \times 4.12 \times 10^{-15} = 6.60 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ (um ajuste sobre os cinco dá $6.62$): a $0.5\%$ de $6.626 \times 10^{-34}$.

**4.** $W = h\nu - eV_s = 2.47 - 0.30 = 2.2\,\mathrm{eV}$; $\nu_0 = W/h =
5.3 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$, $\lambda_0 = 1240/2.2 = 560\,\mathrm{nm}$. Uma caneta vermelha ($650\,\mathrm{nm}$, $1.9\,\mathrm{eV}$) não arranca nada.

**5.** $V_s$ inalterado, corrente dobrada: o dobro de fótons, cada um com a mesma energia. Uma onda daria mais energia a cada elétron com mais intensidade, e um limiar em intensidade em vez de em frequência.

**6.** $10^{-6} \times 10^{-20} = 1 \times 10^{-26}\,\mathrm{W}$ sobre o átomo; $2.2\,\mathrm{eV}$ $=
3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ levam $3.5 \times 10^7$ s — um ano. A emissão é observada em nanossegundos: a energia chega em quanta inteiros.

**7.** $m_ev^2/r = e^2/4\pi\varepsilon_0r^2$: $v = \sqrt{e^2/4\pi\varepsilon_0m_er}$; $E =
\tfrac12m_ev^2 - e^2/4\pi\varepsilon_0r = -e^2/8\pi\varepsilon_0r$.

**8.** $(m_evr)^2 = n^2\hbar^2$ and $m_ev^2r = e^2/4\pi\varepsilon_0$: $r_n = n^2 \cdot
4\pi\varepsilon_0\hbar^2/m_ee^2 = n^2a_0$, $a_0 = (1.055 \times 10^{-34})^2/(8.99 \times 10^9
\times 9.11 \times 10^{-31} \times 2.57 \times 10^{-38}) = 52.9\,\mathrm{pm}$.

**9.** $E_n = -e^2/8\pi\varepsilon_0r_n = -m_ee^4/2(4\pi\varepsilon_0)^2\hbar^2n^2$; $E_1 =
-2.31 \times 10^{-28}/(2 \times 5.29 \times 10^{-11}) = -2.18 \times 10^{-18}\,\mathrm{J} = -13.6\,\mathrm{eV}$.

**10.** $v_1 = \hbar/m_ea_0 = 2.19 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_1/c = 7.3 \times 10^{-3} =
1/137$.

**11.** $2 \to 1$: $10.2\,\mathrm{eV}$, $122\,\mathrm{nm}$ (ultravioleta); $3 \to 2$: $1.89\,\mathrm{eV}$, $656\,\mathrm{nm}$ (vermelho); $4 \to 2$: $2.55\,\mathrm{eV}$, $486\,\mathrm{nm}$ (azul-esverdeado): as linhas de Balmer são as visíveis.

**12.** $hc/\lambda = |E_1|(1/n^2 - 1/p^2)$: $R_H = |E_1|/hc = 13.6/1240 =
1.097 \times 10^{-2}\,\mathrm{nm}^{-1} = 1.097 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{-1}$. Limite de Balmer ($p \to \infty$): $\lambda = 4/R_H = 365\,\mathrm{nm}$.

**13.** $13.6\,\mathrm{eV}$; $\lambda = 1240/13.6 = 91\,\mathrm{nm}$.

**14.** $v_n = v_1/n$, $\lambda_n = h/m_ev_n = nh/m_ev_1 = 2\pi na_0$ (pois $m_ev_1a_0
= \hbar$); $2\pi r_n = 2\pi n^2a_0 = n\lambda_n$: a órbita carrega $n$ ondas inteiras — a regra de Bohr é uma regra de [onda estacionária](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#thm-b1-wave-propagation-standing).

**15.** Errado: o elétron não tem órbita (ele irradiaria; o [estado fundamental](#prop-b1-quantum-introduction-box) tem [momento angular](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/15-momento-angular#def-b1-angular-momentum-L) nulo) e o modelo falha para qualquer átomo com dois elétrons. Certo: os níveis do hidrogênio, e portanto cada linha do seu espectro. A órbita é substituída por uma [função de onda](#def-b1-quantum-introduction-wavefunction), uma nuvem de probabilidade de tamanho $\sim n^2a_0$.

**16.** [Ondas estacionárias](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#thm-b1-wave-propagation-standing): $L = n\lambda/2$, $p_n = h/\lambda_n = nh/2L$, $E_n =
p_n^2/2m = n^2h^2/8mL^2$. A fórmula da esfera é a mesma com $L \to R$: o [estado fundamental](#prop-b1-quantum-introduction-box) encaixa meio [comprimento de onda](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/5-propagacao-de-sinais-ondas-progressivas-e-estacionarias#prop-b1-wave-propagation-sinusoidal) no raio.

**17.** $E_e = 6.02 \times 10^{-38}/(0.13 \times 4 \times 10^{-18}) = 0.72\,\mathrm{eV}$; $E_h = 0.13/0.45 \times 0.72 = 0.21\,\mathrm{eV}$.

**18.** $R = 2\,\mathrm{nm}$: $1.74 + 0.93 = 2.67\,\mathrm{eV}$, $464\,\mathrm{nm}$, azul; $3\,\mathrm{nm}$: $2.15\,\mathrm{eV}$, $577\,\mathrm{nm}$, amarelo; $4\,\mathrm{nm}$: $1.97\,\mathrm{eV}$, $629\,\mathrm{nm}$, vermelho.

**19.** A energia de confinamento cresce como $1/R^2$: uma caixa menor eleva os níveis, o fóton fica mais energético e a luz, mais azul.

**20.** $\Delta p \sim \hbar/R = 5.3 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $E \sim \Delta p^2/2m_e^\ast =
1.2 \times 10^{-20}\,\mathrm{J} = 0.07\,\mathrm{eV}$: a ordem certa (o coeficiente exato $\pi^2/2$ e o $\Delta p$ mais grosseiro explicam o fator dez).

**21.** $1240/577 = 2.15\,\mathrm{eV} = 3.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$: $10^{-9}/3.4 \times 10^{-19}
= 2.9 \times 10^9$ fótons por segundo.

**22.** $10^{-3}/(1.96 \times 1.6 \times 10^{-19}) = 3.2 \times 10^{15}$ por segundo.

**23.** $100 \times 2.48 \times 1.6 \times 10^{-19} = 4 \times 10^{-17}\,\mathrm{J}$ em $0.1\,\mathrm{s}$: $4 \times 10^{-16}\,\mathrm{W}$.

**24.** $h\nu = 6.6 \times 10^{-26}\,\mathrm{J}$: $1.5 \times 10^{13}$ fótons por segundo — e cada um é $10^5$ vezes menor que a energia térmica $k_BT$ da antena: sem esperança, e sem necessidade; ali a imagem ondulatória é exata.

**25.** O tamanho dos átomos, $a_0 = 53\,\mathrm{pm}$; a sua escala de energia, $13.6\,\mathrm{eV}$ (donde os fótons de alguns eV, a química, o espectro visível); e a velocidade dos seus elétrons, $\alpha c \approx 2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — os três a partir de $h$, $e$ e $m_e$ (e $\varepsilon_0$), sem nada ajustado.