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title: "Instrumentos ópticos e o olho"
book: "Física universitária — 1.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 4
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/4-instrumentos-opticos-e-o-olho
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# Capítulo 4 — Instrumentos ópticos e o olho

Da última fileira de uma sala de concertos, um binóculo traz o rosto do cantor à distância de um braço; um [microscópio](#def-b1-optical-instruments-microscope) transforma uma gota de água de lagoa num zoológico; um celular da espessura de um dedo fotografa a Via Láctea. Cada um desses instrumentos é um punhado de [lentes delgadas](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) dispostas com um único fim: apresentar ao [olho](#def-b1-optical-instruments-eye), ou a um sensor, uma imagem maior, mais brilhante ou mais nítida do que o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) formaria sozinho. Por isso o capítulo começa pelo próprio [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) — o que ele pode e o que não pode fazer — e depois constrói a [lupa](#def-b1-optical-instruments-G), o [microscópio](#def-b1-optical-instruments-microscope), a luneta e a [câmera](#def-b1-optical-instruments-camera) a partir da relação de conjugação do capítulo anterior.

![O refrator de 40 polegadas do Observatório Yerkes (1897), ainda a maior luneta já construída: uma objetiva de um metro e um tubo de dezenove. Além desse tamanho a lente cede sob o próprio peso, e a astronomia passou aos espelhos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-4e4f7ec86ae8.jpg)

*O refrator de 40 polegadas do Observatório Yerkes (1897), ainda a maior luneta já construída: uma [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) de um metro e um tubo de dezenove. Além desse tamanho a [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) cede sob o próprio peso, e a astronomia passou aos espelhos.*

![Uma pequena luneta ao anoitecer: uma objetiva de longa distância focal e uma ocular de distância focal curta — a luneta afocal deste capítulo, apontada para a Lua do seu problema de fim de semana.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ccb52c3300bb.jpg)

*Uma pequena luneta ao anoitecer: uma [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) de longa [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) e uma [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) curta — a luneta afocal deste capítulo, apontada para a Lua do seu problema de fim de semana.*

## 4.1 O olho

**Definição 4.1 (Olho reduzido).**

O *olho reduzido* modela a córnea e o cristalino como uma única [lente delgada](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) convergente de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) *variável*, e a *retina* como um anteparo a uma distância fixa $d \approx 17\,\mathrm{mm}$ atrás dela. Os músculos mudam a curvatura do cristalino para manter na retina a imagem do objeto observado: é a *acomodação*. A íris, diante do cristalino, é um diafragma variável de diâmetro $2\,$ a $8\,\mathrm{mm}$, a *pupila*.

**Definição 4.2 (Ponto remoto, ponto próximo).**

O *ponto remoto* (punctum remotum) é o ponto-objeto visto nitidamente sem [acomodação](#def-b1-optical-instruments-eye); o *ponto próximo* (punctum proximum), o ponto mais próximo visto nitidamente com [acomodação](#def-b1-optical-instruments-eye) máxima. Para um [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) normal (emétrope) o ponto remoto está no infinito e o ponto próximo em $d_m \approx 25\,\mathrm{cm}$, a *distância mínima de visão distinta* convencional. A diferença de [vergências](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) necessária para os dois é a *amplitude de [acomodação](#def-b1-optical-instruments-eye)*: cerca de $4\,\delta$ para um adulto jovem, decrescente com a idade.

**Exemplo 4.3 (A vergência do olho).**

Objeto distante: imagem a $d = 17\,\mathrm{mm}$ significa $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 59\,\delta$. Objeto a $25\,\mathrm{cm}$: $V = 1/0.017 + 1/0.25 = 59 + 4 = 63\,\delta$. Quatro dioptrias de [acomodação](#def-b1-optical-instruments-eye) em sessenta: o cristalino acrescenta apenas alguns por cento ao trabalho da córnea, mas esses poucos por cento são tudo para a leitura.

**Proposição 4.4 (Defeitos e correções).**

Um [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) *míope* é convergente demais: o seu [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) está a uma distância finita $D_r$; uma [lente divergente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' = -D_r$ (usada junto ao [olho](#def-b1-optical-instruments-eye)) conjuga o infinito no [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) e restaura a visão de longe. Um [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) *hipermetrope* não é convergente o bastante: o seu [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) é virtual (atrás do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye)) e o seu [ponto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum), longe demais; uma [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) o corrige. A *presbiopia* é a perda de [acomodação](#def-b1-optical-instruments-eye) com a idade: o [ponto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum) se afasta e a leitura exige [lentes convergentes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), qualquer que seja o [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum).

**Demonstração.** Uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) junto ao [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) e o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) formam um sistema cujo objeto deve ser o que o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) consegue ver: a [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) precisa transformar um objeto no infinito numa [imagem virtual](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) no [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum), $\overline{OA'} = -D_r$ para $\overline{OA} = -\infty$, de modo que $f' = \overline{OA'} = -D_r$. Os outros casos seguem do mesmo argumento com os pontos pertinentes. ∎

![O olho reduzido: uma lente delgada de distância focal variável e uma retina 17\, mm atrás dela. Relaxado, ele focaliza objetos distantes; acomodando, ele encurta f' para trazer à retina a imagem de um objeto próximo. A imagem é invertida — o cérebro a desvira.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-5bf4e446ccb7.svg)

*O [olho reduzido](#def-b1-optical-instruments-eye): uma [lente delgada](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) variável e uma [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ atrás dela. Relaxado, ele focaliza objetos distantes; acomodando, ele encurta $f'$ para trazer à [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) a imagem de um objeto próximo. A imagem é invertida — o cérebro a desvira.*

**Definição 4.5 (Tamanho angular e resolução).**

O *tamanho angular* de um objeto de altura $h$ à distância $D$ é $\theta \approx h/D$ (ângulos pequenos). O [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) distingue dois pontos apenas se a sua separação angular exceder a sua *resolução angular*, cerca de $\epsilon \approx 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ (um minuto de arco): o espaçamento das células cones e a difração na pupila fixam ambos esse limite.

**Observação 4.6 (Para que serve um instrumento).**

Levado ao [ponto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum), um detalhe de $1\,\mathrm{mm}$ subtende $1/250 =
4 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$: treze vezes o limite de resolução; um detalhe de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtende $2 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ e é invisível. Os instrumentos que olham objetos próximos ([lupa](#def-b1-optical-instruments-G), [microscópio](#def-b1-optical-instruments-microscope)) aumentam o [tamanho angular](#def-b1-optical-instruments-angular) além do que aproximar o objeto conseguiria; os instrumentos para objetos distantes (luneta) aumentam o [tamanho angular](#def-b1-optical-instruments-angular) do que não se pode aproximar; a [câmera](#def-b1-optical-instruments-camera) substitui a [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) por um sensor capaz de integrar luz durante segundos e de ser ampliado depois.

## 4.2 A lupa

**Definição 4.7 (Aumento angular).**

Para um instrumento usado pelo [olho](#def-b1-optical-instruments-eye), o *aumento angular* é $G = \theta'/\theta$, em que $\theta'$ é o [tamanho angular](#def-b1-optical-instruments-angular) da imagem vista através do instrumento e $\theta$ o [tamanho angular](#def-b1-optical-instruments-angular) do objeto visto a [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu — no [ponto próximo](#def-b1-optical-instruments-punctum) $d_m = 25\,\mathrm{cm}$ para um objeto próximo, e no lugar em que está para um objeto distante.

**Proposição 4.8 (A lupa).**

Uma [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f' < d_m$ com o objeto no seu plano focal objeto dá uma imagem no infinito, vista sem [acomodação](#def-b1-optical-instruments-eye), com

$$
G = \frac{d_m}{f'} = d_m V .
$$

**Demonstração.** Objeto $AB$ de altura $h$ no plano focal: os raios que partem de $B$ saem paralelos, com o ângulo do raio que passa por $O$, $\theta' = h/f'$. A [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu, no melhor caso: $\theta = h/d_m$. Razão $d_m/f'$. ∎

**Exemplo 4.9 (A lupa do relojoeiro).**

$f' = 25\,\mathrm{mm}$: $G = 250/25 = 10$, vendida como “$10\times$”. Um detalhe de $0.05\,\mathrm{mm}$ subtende então $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}$, confortavelmente resolvido. Levar $G$ mais alto significa $f'$ de poucos milímetros, uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) minúscula encostada no [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) — o limite da [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) única, e a razão de existir do [microscópio](#def-b1-optical-instruments-microscope).

## 4.3 O microscópio

**Definição 4.10 (Microscópio composto).**

Um *microscópio* é uma *objetiva* $L_1$ de curta [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ que forma uma imagem intermediária real e ampliada de um objeto próximo no plano focal objeto de uma *ocular* $L_2$ ([distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_2'$), que funciona como [lupa](#def-b1-optical-instruments-G). A distância $\Delta =
\overline{F_1'F_2}$ entre o foco imagem da objetiva e o foco objeto da ocular é o *intervalo óptico*, padronizado em $160\,\mathrm{mm}$ nos instrumentos clássicos.

**Proposição 4.11 (Aumento de um microscópio).**

Com a imagem final no infinito,

$$
\gamma_1 = -\frac{\Delta}{f_1'}, \qquad G_2 = \frac{d_m}{f_2'},
\qquad G = \abs{\gamma_1}\,G_2 = \frac{\Delta\,d_m}{f_1' f_2'} .
$$

**Demonstração.** A imagem intermediária $A_1B_1$ fica no plano focal objeto da [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope), isto é, em $\overline{F_1'A_1} = \Delta$; a [relação de Newton](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) dá $\gamma_1 = -\overline{F_1'A_1}/f_1' = -\Delta/f_1'$. A [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) então mostra $A_1B_1$ (altura $\abs{\gamma_1} h$) no infinito sob o ângulo $\theta' = \abs{\gamma_1} h/f_2'$, contra $\theta = h/d_m$ a [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu. ∎

![O microscópio: a objetiva forma uma imagem intermediária real, ampliada e invertida A_1B_1 no plano focal objeto da ocular; a ocular a envia ao infinito, onde o olho relaxado a observa sob um ângulo grande.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-e35114bab533.svg)

*O [microscópio](#def-b1-optical-instruments-microscope): a [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) forma uma imagem intermediária real, ampliada e invertida $A_1B_1$ no plano focal objeto da [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope); a [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) a envia ao infinito, onde o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) relaxado a observa sob um ângulo grande.*

**Exemplo 4.12 (Um microscópio escolar).**

[Objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) $f_2' = 25\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$: $\gamma_1 = -40$, $G_2 = 10$, $G = 400$. O objeto fica a $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 =
-0.10\,\mathrm{mm}$ de $F_1$: $4.1\,\mathrm{mm}$ da [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope). Focalizar significa mover o tubo inteiro por frações de milímetro.

**Observação 4.13 (O limite de resolução).**

Aumentar sem limite seria inútil: a luz é uma onda, e uma [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) que aceita raios dentro de um semiângulo $u$ (num meio de índice $n$) não consegue separar dois pontos mais próximos que cerca de $\lambda/(2n\sin u)$ — o tratamento ondulatório do volume do segundo ano o deduz. Com $n\sin u \approx 1.4$ (imersão em óleo) e $\lambda =
0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$, o limite fica perto de $0.2\,\text{µ}\mathrm{m}$. Para tornar esse detalhe visível ao [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$, isto é, $75\,\text{µ}\mathrm{m}$), um aumento de cerca de $400$ basta; além de $1000$ a imagem fica apenas maior, não mais rica: é o *aumento vazio*.

## 4.4 A luneta astronômica

**Proposição 4.14 (Luneta refratora).**

Uma [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_1$ e uma [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ com $F_1' = F_2$ formam um [sistema afocal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet): uma estrela (no infinito) é vista no infinito, o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) relaxado a observa, e

$$
G = -\frac{f_1'}{f_2'} .
$$

A imagem do bordo da [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) através da [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) é a *[pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope)*: um disco luminoso de diâmetro $D/\abs G$ situado $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ atrás da [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope), onde a pupila do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) deve ser colocada para receber toda a luz.

**Demonstração.** $G$ foi deduzido na [Proposição 3.18](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet). A [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope), vista de $L_2$, é um objeto em $\overline{O_2O_1} = -(f_1'
+ f_2')$; Descartes dá $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2')
= f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$, e o aumento $\overline{O_2P'}/
\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$ leva o diâmetro $D$ a $D/\abs G$. Todo raio que entra na [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) sai pela [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope), pois cada ponto da [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) é ali conjugado. ∎

![A luneta astronômica: um feixe paralelo vindo de uma estrela é focalizado pela objetiva no plano focal comum e devolvido ao infinito pela ocular, sob um ângulo G vezes maior. Toda a luz recolhida pela objetiva de diâmetro D passa pela pupila de saída, de diâmetro D/ G.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-e1c65cb50dd5.svg)

*A luneta astronômica: um feixe paralelo vindo de uma estrela é focalizado pela [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) no plano focal comum e devolvido ao infinito pela [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope), sob um ângulo $\abs G$ vezes maior. Toda a luz recolhida pela [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) de diâmetro $D$ passa pela [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope), de diâmetro $D/\abs G$.*

**Proposição 4.15 (O que uma luneta ganha).**

Comparada ao [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu (pupila $d_p$):

- *[tamanho angular](#def-b1-optical-instruments-angular)* : multiplicado por $\abs G$ ;
- *luz recolhida* de uma fonte pontual: multiplicada por $(D/d_p)^2$ , desde que a [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) não seja maior que a pupila do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) , isto é, $\abs G \geq D/d_p$ ;
- *[resolução angular](#def-b1-optical-instruments-angular)* : a difração na [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) a limita a $\theta_{\min} \approx 1.22\,\lambda/D$ (critério de Rayleigh), muito abaixo do $\epsilon$ do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) ; o aumento que torna esse limite visível é $G_r = \epsilon/\theta_{\min}$ , e aumentos maiores só ampliam a mancha.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 4.16 (Um refrator amador de 150 milímetros).**

$D = 150\,\mathrm{mm}$, $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$, [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$: $G = -48$; [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $3.1\,\mathrm{mm}$; ganho de luz $(150/7)^2 \approx
460$ frente a uma pupila adaptada ao escuro de $7\,\mathrm{mm}$; resolução $1.22 \times
550\,\mathrm{nm}/0.15\,\mathrm{m} = 4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.9''$, ou seja, crateras de $1.7\,\mathrm{km}$ na Lua; $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times
10^{-6} \approx 67$ — a [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) não mostra mais detalhe, apenas um disco maior e mais fraco. O problema de fim de semana projeta este instrumento.

**Observação 4.17 (Refletores, binóculos, lunetas de Galileu).**

Um [espelho côncavo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1'$ substitui a [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) de [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) no telescópio *refletor* (sem dispersão cromática, e um espelho pode ter metros de largura e ser sustentado por trás): tudo o que foi dito acima vale com $f_1'$ igual à [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) do espelho. A imagem é invertida — inofensivo para estrelas; para uso terrestre, os binóculos inserem um par de prismas de [reflexão total](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/2-optica-geometrica-raios-reflexao-refracao#thm-b1-rays-reflection-refraction-tir) para endireitá-la, e a luneta de Galileu usa uma [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) divergente ($f_2' < 0$, $G > 0$), mais curta, mas com um campo estreito.

## 4.5 A câmera

**Definição 4.18 (Câmera; número f).**

Uma *câmera* é uma [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f'$ que forma uma [imagem real](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) sobre um sensor, em $\overline{OA'} \approx f'$ para motivos distantes; focalizar desloca a [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Um diafragma de diâmetro $D$ limita o feixe; o *número f* é $N = f'/D$ (escrito $f/N$). O *ângulo de campo* vale $2\arctan(\ell/2f')$ para um sensor de largura $\ell$.

**Proposição 4.19 (Exposição e profundidade de campo).**

A irradiância sobre o sensor varia como $1/N^2$, de modo que o tempo de exposição para um dado brilho de imagem varia como $N^2$. Um ponto a uma distância diferente daquela em que se focalizou forma um disco de confusão; exigindo que ele fique abaixo de um diâmetro tolerado $c$, uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) focalizada na *[distância hiperfocal](#prop-b1-optical-instruments-dof)*

$$
H = \frac{f'^2}{N c}
$$

mostra aceitavelmente nítido tudo o que estiver entre $H/2$ e o infinito.

**Demonstração.** Irradiância $=$ potência/área $\propto D^2/f'^2 = 1/N^2$ (a imagem de um dado motivo tem tamanho fixado por $f'$, e a potência recolhida cresce como $D^2$). Focalize à distância $p$, com a imagem em $q \approx f'$; um ponto no infinito focaliza em $f'$, isto é, $q - f'$ antes do sensor; o seu cone de raios, de base $D$ na [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), tem diâmetro $D(q - f')/q$ sobre o sensor (triângulos semelhantes). Com $1/q = 1/f' - 1/p$ paraxialmente, $q - f' \approx f'^2/p$ para $p \gg f'$, de modo que o borrão vale $Df'/p = f'^2/(Np)$; ele iguala $c$ para $p = H$. A mesma geometria do lado próximo dá o limite $H/2$. ∎

![Profundidade de campo: a lente está focalizada num ponto à distância p (imagem sobre o sensor); um ponto no infinito focaliza em F', antes do sensor, e deixa um disco de confusão de diâmetro c = Df'/p — menor para uma abertura pequena (grande N), donde o compromisso entre nitidez e tempo de exposição.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/fig-44e4417f4c4c.svg)

*[Profundidade de campo](#def-b1-optical-instruments-camera): a [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) está focalizada num ponto à distância $p$ (imagem sobre o sensor); um ponto no infinito focaliza em $F'$, antes do sensor, e deixa um disco de confusão de diâmetro $c = Df'/p$ — menor para uma abertura pequena (grande $N$), donde o compromisso entre nitidez e tempo de exposição.*

**Exemplo 4.20 (Full frame e celular).**

Uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $50\,\mathrm{mm}$ num sensor de $36\,\mathrm{mm}$ de largura: ângulo de campo $2\arctan(18/50) = 40^\circ$; em $f/8$ com $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, $H = 2500/(8 \times 0.03) = 10\,\mathrm{m}$: focalizada a $10\,\mathrm{m}$, tudo além de $5\,\mathrm{m}$ fica nítido. Uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de celular, $f' = 4.3\,\mathrm{mm}$ em $f/1.8$ num sensor de $6\,\mathrm{mm}$ com $c = 5\,\text{µ}\mathrm{m}$: mesmo ângulo de campo ($70{}^{\circ}$ de largura), $H = 18.5/(1.8 \times 0.005) =
2.1\,\mathrm{m}$ — quase tudo fica focalizado ao mesmo tempo, razão pela qual os celulares simulam o desfoque do fundo por software.

![As lentes de prova e a armação de prova de um optometrista: uma lente convergente ou divergente de vergência adequada diante do olho leva o seu ponto remoto de volta ao infinito.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ee6212e4f9ea.jpg)

*As [lentes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de prova e a armação de prova de um optometrista: uma [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) ou divergente de [vergência](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) adequada diante do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) leva o seu [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) de volta ao infinito.*

## 4.6 Exercícios

**Exercício 4.1 ★.**

Com a [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) $17\,\mathrm{mm}$ atrás do cristalino, calcule a [vergência](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de um [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) normal que olha para o infinito e depois para $25\,\mathrm{cm}$; deduza a [amplitude de acomodação](#def-b1-optical-instruments-punctum). A que distâncias focais isso corresponde?

**Solução de Exercício 4.1.**

Infinito: $f' = 17\,\mathrm{mm}$, $V = 1/0.017 = 58.8\,\delta$. $25\,\mathrm{cm}$: $V = 58.8 + 1/0.25 = 62.8\,\delta$, $f' = 15.9\,\mathrm{mm}$. Amplitude $4.0\,\delta$.

**Exercício 4.2 ★.**

Um [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) míope tem o [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) a $40\,\mathrm{cm}$. Que [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) o corrige ([distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), [vergência](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens))? Um [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) hipermetrope não consegue acomodar em nada mais perto que $1.0\,\mathrm{m}$: que [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) lhe permite ler a $25\,\mathrm{cm}$?

**Solução de Exercício 4.2.**

Míope: o infinito deve ser conjugado no [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum), $f' = -40\,\mathrm{cm}$, $V = -2.5\,\delta$. Hipermetrope: um objeto a $25\,\mathrm{cm}$ deve ser conjugado (virtualmente) a $1.0\,\mathrm{m}$: $V = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA}
= -1 + 4 = +3.0\,\delta$.

**Exercício 4.3 ★.**

Uma [lupa](#def-b1-optical-instruments-G) tem $f' = 4.0\,\mathrm{cm}$. Dê o seu [aumento angular](#def-b1-optical-instruments-G), onde o selo deve ser mantido e o [tamanho angular](#def-b1-optical-instruments-angular) de um detalhe de $2\,\mathrm{mm}$ através dela, comparado ao [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu a $25\,\mathrm{cm}$.

**Solução de Exercício 4.3.**

$G = 25/4.0 = 6.3$; selo no plano focal, a $4.0\,\mathrm{cm}$ da [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens). Detalhe de $2\,\mathrm{mm}$: $\theta' = 2/40 = 0.05\,\mathrm{rad}$, contra $2/250 = 0.008\,\mathrm{rad}$ a $25\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 4.4 ★.**

Um refrator tem $f_1' = 900\,\mathrm{mm}$. Calcule $G$ com uma [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ e com outra de $9\,\mathrm{mm}$, o comprimento do tubo em cada caso e o tamanho aparente da Lua ($0.52^\circ$).

**Solução de Exercício 4.4.**

$G = 900/25 = 36$ e $900/9 = 100$; comprimentos de tubo $f_1' + f_2' =
925\,\mathrm{mm}$ e $909\,\mathrm{mm}$; Lua: $36 \times 0.52^\circ = 19^\circ$ e $52^\circ$.

**Exercício 4.5 ★★.**

[Microscópio](#def-b1-optical-instruments-microscope): $f_1' = 4.0\,\mathrm{mm}$, $f_2' = 20\,\mathrm{mm}$, $\Delta = 160\,\mathrm{mm}$. Calcule $\gamma_1$, $G_2$, $G$ e a distância objeto–objetiva. Quanto o tubo precisa se deslocar para trazer ao foco um plano $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ mais profundo do objeto?

**Solução de Exercício 4.5.**

$\gamma_1 = -160/4 = -40$; $G_2 = 250/20 = 12.5$; $G = 500$. $\overline{F_1A} = -f_1'^2/\Delta = -16/160 = -0.10\,\mathrm{mm}$: objeto a $4.1\,\mathrm{mm}$ da [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope). O objeto deve permanecer a essa distância da [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope), de modo que o tubo inteiro se desloca $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ — é o botão de foco fino.

**Exercício 4.6 ★★.**

Dois faróis distam $1.5\,\mathrm{m}$ um do outro. De que distância o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu ($\epsilon = 3 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$) consegue distingui-los? Uma luneta com $D = 100\,\mathrm{mm}$: calcule o seu limite de difração ($\lambda =
550\,\mathrm{nm}$), a distância em que ela separa os faróis e o aumento $G_r$ além do qual ela nada mostra de novo.

**Solução de Exercício 4.6.**

[Olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu: $1.5/3\times10^{-4} = 5\,\mathrm{km}$. Luneta: $\theta_{\min}
= 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.100 = 6.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$; faróis separados até $1.5/6.7\times10^{-6} \approx 220\,\mathrm{km}$ (em princípio — o ar e a curvatura da Terra intervêm antes). $G_r = 3\times10^{-4}/
6.7\times10^{-6} = 45$.

**Exercício 4.7 ★★.**

Uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $50\,\mathrm{mm}$ em $f/2$: qual é o diâmetro da abertura? Uma cena é corretamente exposta em $f/2$ com $1/500$ $\mathrm{s}$; que tempo de exposição em $f/8$? O que a abertura menor traz em troca?

**Solução de Exercício 4.7.**

$D = 50/2 = 25\,\mathrm{mm}$. Exposição $\propto N^2$: $(8/2)^2 = 16$ vezes mais longa, $16/500 \approx 1/30$ $\mathrm{s}$. Ela traz [profundidade de campo](#def-b1-optical-instruments-camera) (e menos aberrações) ao preço de borrão de movimento ou de um tripé.

**Exercício 4.8 ★★.**

Calcule a [distância hiperfocal](#prop-b1-optical-instruments-dof) de uma [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de $35\,\mathrm{mm}$ em $f/11$ com $c = 0.03\,\mathrm{mm}$, e a faixa de distâncias nítidas quando ela está focalizada em $H$. Os fotógrafos de rua deixam isso pré-ajustado: por quê?

**Solução de Exercício 4.8.**

$H = 35^2/(11 \times 0.03) = 3.7\,\mathrm{m}$; nítido de $H/2 =
1.9\,\mathrm{m}$ ao infinito. Pré-ajustada em $H$, a [câmera](#def-b1-optical-instruments-camera) dispensa focalizar: a foto pode ser feita no instante em que a cena acontece.

**Exercício 4.9 ★★.**

Um binóculo “$8\times30$” tem $G = 8$ e $D = 30\,\mathrm{mm}$. Calcule a [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope); toda a luz é aproveitada por uma pupila noturna de $7\,\mathrm{mm}$? E para “$7\times50$”? Qual dos dois é melhor ao anoitecer, e por que “$20\times30$” é uma má escolha?

**Solução de Exercício 4.9.**

$8\times30$: [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $30/8 = 3.8\,\mathrm{mm} < 7\,\mathrm{mm}$, toda a luz entra no [olho](#def-b1-optical-instruments-eye). $7\times50$: $7.1\,\mathrm{mm}$, casando com a pupila noturna, e $(50/30)^2 = 2.8$ vezes mais luz recolhida: o par para o anoitecer. $20\times30$: [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $1.5\,\mathrm{mm}$, imagem fraca, campo estreito e tremor de mão ampliado vinte vezes.

**Exercício 4.10 ★★★.**

O [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) de um míope está a $25\,\mathrm{cm}$ do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye). Calcule a [vergência](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) da [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de contato corretora e depois a de óculos usados $15\,\mathrm{mm}$ à frente do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye). Qual correção é mais forte, e por que as duas diferem?

**Solução de Exercício 4.10.**

[Lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) de contato: $f' = -25\,\mathrm{cm}$, $V = -4.0\,\delta$. Óculos: o [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) fica a $25 - 1.5 = 23.5\,\mathrm{cm}$ da [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens), logo $f' =
-23.5\,\mathrm{cm}$, $V = -4.3\,\delta$ — mais forte. A [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) deve formar a imagem no [ponto remoto](#def-b1-optical-instruments-punctum) do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye), cuja distância à [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) depende de onde a [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) se encontra.

**Exercício 4.11 ★★★.**

Luneta de Galileu: $f_1' = 30\,\mathrm{cm}$, $f_2' = -10\,\mathrm{cm}$. Encontre a separação das [lentes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) para um [sistema afocal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#prop-b1-mirrors-thin-lenses-doublet), $G$ e a orientação da imagem. Localize a [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) e explique por que o campo de visão é estreito.

**Solução de Exercício 4.11.**

Afocal: $F_1' = F_2$, separação $f_1' + f_2' = 20\,\mathrm{cm}$ (mais curta que os $40\,\mathrm{cm}$ de uma kepleriana de mesmo $G$). $G = -30/(-10) =
+3$: direita. [Pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1' =
-10 \times 20/30 = -6.7\,\mathrm{cm}$: virtual, dentro do tubo, onde o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) não pode estar; o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) atrás da [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) capta apenas os feixes que por acaso o alcançam — campo estreito, a queixa clássica contra os binóculos de teatro.

**Exercício 4.12 ★★★.**

Uma luneta de $200\,\mathrm{mm}$ e uma pupila de $7\,\mathrm{mm}$. Por qual fator a luz de uma estrela é aumentada? Os astrônomos graduam o brilho por magnitudes, $m_2 - m_1 = 2.5\log_{10}(F_1/F_2)$; o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) alcança a magnitude $6$: que magnitude limite a luneta dá? Quantas vezes mais longe uma dada lâmpada pode ser vista?

**Solução de Exercício 4.12.**

$(200/7)^2 = 820$; $\Delta m = 2.5\log_{10}820 = 7.3$: magnitude limite $13.3$. Como o fluxo $\propto 1/r^2$, a lâmpada é vista $\sqrt{820} = 29$ vezes mais longe.

![A face visível da Lua (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): o alvo da luneta do problema de fim de semana, 3476\, km de diâmetro a 384\,000\, km.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-3/b1-optical-instruments/img-ce53ac82ea4e.jpg)

*A face visível da Lua (Lunar Reconnaissance Orbiter, NASA): o alvo da luneta do problema de fim de semana, $3476\,\mathrm{km}$ de diâmetro a $384\,000\,\mathrm{km}$.*

## 4.7 Problema: projetando uma luneta para a Lua

**Problema 4.1.**

Problema de fim de semana — um refrator de 150 milímetros no gramado do quintal: escolher as oculares, posicionar o olho, contar a luz e descobrir qual a menor cratera que ele consegue mostrar

A [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) é uma [lente convergente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $L_1$ de [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) $f_1' = 1200\,\mathrm{mm}$ e diâmetro $D = 150\,\mathrm{mm}$; há [oculares](#def-b1-optical-instruments-microscope) $L_2$ de distâncias focais $25\,\mathrm{mm}$ e $6\,\mathrm{mm}$. A Lua está a $3.84 \times 10^{5}\,\mathrm{km}$ e subtende $0.52^\circ$; a pupila noturna do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) vale $7\,\mathrm{mm}$ e a sua resolução $\epsilon = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad}$; $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$.

**Parte I — O arranjo afocal.**

1. Onde a [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) deve ser colocada para que uma estrela seja vista sem [acomodação](#def-b1-optical-instruments-eye) ? Dê a distância objetiva–ocular para cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
2. Verifique, com a [relação de Descartes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#thm-b1-mirrors-thin-lenses-lensconj) aplicada a cada [lente](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) por sua vez, que um ponto no infinito sobre o eixo é conjugado no infinito.
3. Mostre que um feixe vindo de uma estrela a um ângulo $\alpha$ do eixo emerge como feixe paralelo a um ângulo $\alpha' = -(f_1'/f_2')\alpha$ .
4. Calcule $G$ para cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) e o diâmetro aparente da Lua através de cada uma.
5. A imagem é invertida. Por que isso é aceitável aqui, e o que acrescentaria uma luneta terrestre?
6. Onde está a imagem intermediária real da Lua, e qual é o seu diâmetro? (Ela pode ser fotografada ali.)

**Parte II — Onde fica o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye).**

7. Mostre que a [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) forma uma [imagem real](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-image) do bordo da [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) em $\overline{O_2P'} = f_2'(f_1' + f_2')/f_1'$ atrás dela, de diâmetro $D/\abs G$ (a [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ).
8. Calcule a posição e o diâmetro da [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) para cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) .
9. Por que a pupila do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) deve ser colocada na [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) ? O que acontece com o campo se ela for colocada mais atrás?
10. Para que a luz de uma estrela seja plenamente aproveitada, a [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) não pode exceder a pupila do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) : deduza o aumento útil mínimo desta luneta à noite.

**Parte III — Resolução.**

11. Calcule o limite de difração $\theta_{\min} = 1.22\lambda/D$ em radianos e em segundos de arco.
12. Qual é a menor cratera a que esse ângulo corresponde na Lua? E a [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu?
13. Defina e calcule o aumento resolvente $G_r =  \epsilon/\theta_{\min}$ . Qual [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) chega mais perto dele?
14. Com a [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$ a imagem parece mais borrada e mais fraca do que com a de $25\,\mathrm{mm}$ . Explique os dois efeitos.
15. A turbulência atmosférica espalha as imagens das estrelas em cerca de $1''$ . Para que diâmetros de [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) o limite de Rayleigh deixa de importar a partir do solo, e o que um $D$ maior ainda traz?

**Parte IV — A luz.**

16. Por qual fator a [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) recolhe mais luz do que a pupila noturna?
17. Converta isso em magnitudes ( $\Delta m = 2.5\log_{10}$ da razão); se o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) alcança a magnitude $6$ , que magnitude a luneta alcança?
18. A Lua cheia entrega ao solo uma irradiância de cerca de $2 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ . Que potência entra na [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) , e como ela se distribui sobre a [retina](#def-b1-optical-instruments-eye) em comparação com a observação a [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu (mesmo argumento de potência por unidade de ângulo sólido: compare o brilho superficial através das duas [oculares](#def-b1-optical-instruments-microscope) )?
19. Por que uma luneta não torna a superfície da Lua mais brilhante por unidade de área do que o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu, ao passo que torna as estrelas mais brilhantes?

**Parte V — Campo de visão.** A [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) traz, no seu plano focal, um diafragma de campo circular de diâmetro $20\,\mathrm{mm}$ ([ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$) ou $5\,\mathrm{mm}$ ([ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $6\,\mathrm{mm}$).

20. Mostre que o campo de visão real vale $2\arctan(\phi/2f_1')  \approx \phi/f_1'$ para um diafragma de diâmetro $\phi$ .
21. Calcule-o para as duas [oculares](#def-b1-optical-instruments-microscope) e diga se a Lua inteira cabe no campo.
22. Calcule o campo aparente (o ângulo sob o qual o [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) vê o diafragma através da [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) ) para as duas.
23. A Terra gira $15''$ por segundo de tempo: quanto tempo a Lua leva para atravessar o campo de cada [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) sem acompanhamento?
24. Resuma o projeto: que [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) para a Lua inteira, qual para as crateras, e o menor tamanho de cratera que o instrumento consegue revelar — o seu único número.
25. A mesma [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) é substituída por um [espelho côncavo](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-mirror) de $150\,\mathrm{mm}$ de mesma [distância focal](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens) . Quais dos resultados acima mudam?

**Solução de Problema 4.1.**

**1.** $F_2 = F_1'$: separação $f_1' + f_2' = 1225\,\mathrm{mm}$ ([ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$) ou $1206\,\mathrm{mm}$ ($6\,\mathrm{mm}$).

**2.** $L_1$: $\overline{O_1A_1} = f_1'$ (imagem em $F_1'$). $L_2$: $\overline{O_2A_1} = -f_2'$, logo $1/\overline{O_2A'} = 1/f_2' + 1/(-f_2')
= 0$: imagem no infinito.

**3.** O feixe focaliza no plano focal comum à altura $h =
f_1'\alpha$ (raio que passa por $O_1$); dali, o raio que passa por $O_2$ fixa a direção emergente, $\alpha' = -h/f_2' = -(f_1'/f_2')\alpha$.

**4.** $G = -48$ e $-200$; Lua: $25^\circ$ e $104^\circ$.

**5.** Em cima e embaixo nada significam no céu; uma luneta terrestre acrescenta um par de prismas endireitadores (ou um relé de [lentes](https://one-course.com/books/physics/3/pt/chapter/3-espelhos-e-lentes-delgadas#def-b1-mirrors-thin-lenses-lens)).

**6.** No plano focal de $L_1$, diâmetro $f_1'\theta = 1200 \times
9.1\times10^{-3} = 11\,\mathrm{mm}$.

**7.** Objeto $O_1$ em $\overline{O_2O_1} = -(f_1' + f_2')$: $1/\overline{O_2P'} = 1/f_2' - 1/(f_1' + f_2') = f_1'/[f_2'(f_1' + f_2')]$; aumento $\overline{O_2P'}/\overline{O_2O_1} = -f_2'/f_1' = 1/G$, diâmetro $D/\abs G$.

**8.** $25\,\mathrm{mm}$: $\overline{O_2P'} = 25 \times 1225/1200 =
25.5\,\mathrm{mm}$, diâmetro $150/48 = 3.1\,\mathrm{mm}$. $6\,\mathrm{mm}$: $6.0\,\mathrm{mm}$ atrás, diâmetro $0.75\,\mathrm{mm}$.

**9.** Todo raio que entrou na [objetiva](#def-b1-optical-instruments-microscope) passa pela [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope): um [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) ali colocado recebe o campo inteiro. Mais atrás, ele intercepta apenas os feixes centrais: o campo encolhe a um buraco de fechadura.

**10.** $D/\abs G \leq 7\,\mathrm{mm}$: $\abs G \geq 150/7 \approx 21$.

**11.** $\theta_{\min} = 1.22 \times 5.5\times10^{-7}/0.150 =
4.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad} = 0.92''$.

**12.** $4.5\times10^{-6} \times 3.84\times10^5 = 1.7\,\mathrm{km}$; a [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu $3\times10^{-4} \times 3.84\times10^5 = 115\,\mathrm{km}$.

**13.** $G_r = 3\times10^{-4}/4.5\times10^{-6} = 67$; a [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ ($48$) é a mais próxima, ligeiramente abaixo; a de $6\,\mathrm{mm}$ ($200$) fica três vezes acima.

**14.** Em $G = 200$ a mancha de difração subtende $200 \times 4.5
\times10^{-6} = 9 \times 10^{-4}\,\mathrm{rad} > \epsilon$: visivelmente difusa. A luz da Lua se espalha sobre uma área $(200/48)^2 = 17$ vezes maior na [retina](#def-b1-optical-instruments-eye): mais fraca.

**15.** $1'' = 4.85 \times 10^{-6}\,\mathrm{rad}$: $D = 1.22\lambda/\theta =
140\,\mathrm{mm}$. Além disso, é a turbulência que limita a resolução a partir do solo (salvo óptica adaptativa); um $D$ maior ainda recolhe mais luz, alcançando objetos mais fracos.

**16.** $(150/7)^2 = 460$.

**17.** $\Delta m = 2.5\log_{10}460 = 6.7$: magnitude $12.7$.

**18.** $P = 2\times10^{-3} \times \pi(0.075)^2 = 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$, $460$ vezes a do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu. A imagem retiniana tem área $\abs G^2$ vezes maior: razão de brilho superficial $460/G^2 = 0.20$ ($G = 48$), $0.012$ ($G = 200$) — igual a $(D/\abs G)^2/d_p^2$, o quadrado da razão entre a [pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) e a pupila do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye).

**19.** Para um objeto extenso a luz recolhida cresce como $D^2$, mas a área da imagem cresce como $G^2 \geq (D/d_p)^2$: o brilho superficial pode, no máximo, igualar o valor a [olho](#def-b1-optical-instruments-eye) nu ([pupila de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope) $=$ pupila do [olho](#def-b1-optical-instruments-eye)). Uma estrela não é resolvida: toda a sua luz cai numa única mancha de difração, de modo que o seu brilho cresce como $(D/d_p)^2$.

**20.** Um ponto a um ângulo $\beta$ é conjugado à altura $f_1'\beta$ no plano focal; o diafragma deixa passar $\abs{f_1'\beta} \leq \phi/2$: campo total $\phi/f_1'$ (ângulos pequenos).

**21.** $20/1200 = 0.0167\,\mathrm{rad} = 0.95^\circ$: a Lua inteira cabe. $5/1200 = 0.24^\circ$: não cabe.

**22.** Campo aparente $\phi/f_2'$: $20/25 = 0.8\,\mathrm{rad} = 46^\circ$; $5/6 = 48^\circ$.

**23.** $0.95^\circ = 3420''$: $3420/15 = 230\,\mathrm{s}$, quase quatro minutos; $0.24^\circ = 864''$: $58\,\mathrm{s}$.

**24.** [Ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope) de $25\,\mathrm{mm}$ ($G = 48$, perto de $G_r$, brilhante, Lua inteira) para o disco; a de $6\,\mathrm{mm}$ ($G = 200$) para olhar as crateras de perto, mais fraca e mais difusa. O número do instrumento: crateras até $1.7\,\mathrm{km}$.

**25.** Mesmos $f_1'$ e $D$: mesmos $G$, campos, [pupilas de saída](#prop-b1-optical-instruments-telescope), resolução e luz (descontada uma eventual obstrução central). Ganhos: nenhuma aberração cromática. Mudança prática: o foco fica à frente do espelho, de modo que um pequeno espelho secundário precisa desviar o feixe para a [ocular](#def-b1-optical-instruments-microscope).